clase 23 transformaciones isométricas.ppt

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AC

020M

T21-

A11

V1

Transformaciones isométricas


ACOMPAÑAMIENTO ANUALMT 21


Aprendizajes esperados

• Conocer los movimientos en el plano cartesiano.

• Aplicar traslación en puntos y figuras.

• Identificar vectores de traslación utilizando posición inicial y final.

• Aplicar rotaciones a puntos y figuras planas.

• Aplicar simetría axial a puntos y figuras planas.



Traslación

Contenidos

Rotación Simetría axial

Simetría central


La palabra isometría, significa “igual medida”, por lo tanto, en una transformación isométrica:

1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes).

2) Solo cambia la posición (orientación o sentido de esta).

Tipos de transformaciones isométricas

- Traslación

- Rotación

- Simetría



Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

P(x, y)T(a, b)

P´( x + a, y + b )

Una traslación en el plano cartesiano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b).

Traslación

P(1, 2)T(3, 4)

P´(1 + 3, 2 + 4)

P´(4, 6)

Ejemplo

Trasladar el punto P(1, 2) según el vector traslación T(3, 4).

(Sumando cada componente)


-1 1 2 3

3

1 2

4

y

x 4 5

-3

-2

-4

P

P´

Gráficamente, se tiene que en el plano cartesiano:

P(1, 2)T(3, 4)

P´(4, 6)

5 6

Traslación


Corresponde a un movimiento circular en un ángulo determinado con respecto a un centro de rotación.

<

αO

O: centro de rotación

α: ángulo de rotación

La rotación es positiva si es en sentido contrario a los punteros del reloj.

Rotación


Ejemplo

Rotar la figura en 90° con respecto al punto O.

<

90°O

Rotación


En el plano cartesiano, si se rota un punto con respecto al origen en ciertos ángulos, se pueden conocer las coordenadas de la imagen de este.

90° 180° 270° 360°

A(x,y)

Punto

Ángulo

(– y, x) (– x, – y) (y, – x) (x, y)

Si el punto tiene coordenadas A(x, y) y se rota en alguno de estos ángulos: 90°, 180°, 270° ó 360°, las coordenadas resultantes de la imagen vienen especificadas en la siguiente tabla:

Rotación


Rotar el punto A(3, – 4) en 90° con respecto al origen.

Ejemplo

Sabemos que si rotamos el punto A(x, y) en 90° con respecto al origen, éste cambia a las coordenadas A’(– y, x).

A(3, – 4)Rotar en 90°

A´(4, 3)

Rotación


Eje de simetría

En la simetría axial, cada punto de la figura original está a la misma distancia del eje que su imagen.

Se puede considerar una simetría axial como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).

Simetría axial


Encontrar el punto simétrico de A(3, 4) si el eje de simetría es la recta y = 2.

Ejemplo

1

234

2 3 4-1-2-3

1

5A

A’

Eje de Simetría: y = 2

El punto A(3, 4) está 2 unidades sobre el eje de simetría (y = 2), luego su simétrico debe estar 2 unidades bajo el eje, es decir, el punto A’(3, 0).

Simetría axial


¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado?

Ejemplo

Una recta será eje de simetría del cuadrado si lo divide en dos partes simétricas.

- Al trazar una diagonal: La diagonal es un eje de simetría. La otra diagonal también es eje de simetría.

-Al trazar una recta por los puntos medios de dos lados opuestos:Esta recta es un eje de simetría.La recta que pasa por los puntos medios del otro par de lados opuestos también es eje de simetría.Luego, el cuadrado tiene 4 ejes de simetría.

Simetría axial


Si la simetría axial de un punto es respecto a los ejes coordenados, se pueden obtener las coordenadas de la imagen como:

- Simetría con respecto al eje X.

(x, y) (x, – y)

- Simetría con respecto al eje Y.

(x, y) (– x, y)

(Se mantiene la primera coordenada, y se cambia de signo la segunda)

(Se mantiene la segunda coordenada, y se cambia de signo la primera)

Simetría axial


La simetría central con respecto al origen, es equivalente a una rotación en 180º con respecto al origen.

OA A´

Corresponde a la reflexión de una figura respecto a un punto.

O : centro de simetría

AO = OA’

Simetría central


¿Cuál es la alternativa correcta?

1. Al punto P(– 9, – 4) se le aplicó una traslación obteniéndose el punto P’(2, – 2). ¿Cuáles son las coordenadas del vector traslación?

A) (– 2, – 2)B) (11, – 2)C) (11, 2)D) (– 11, 2)E) (– 11, – 2)

Apliquemos nuestros conocimientos


Sea T(x, y) el vector traslación que mueve el punto P(– 9, – 4) hasta el punto P’(2, – 2).

Entonces se tiene:

P(– 9, – 4) + T(x, y) = P’(2, – 2)

(– 9 + x, – 4 + y) = (2, – 2)

– 9 + x = 2 – 4 + y = – 2

x = 2 + 9x = 11

y = – 2 + 4y = 2

Por lo tanto, el vector traslación es T(11, 2).

Sumando las coordenadas:

Igualando las componentes se tienen dos ecuaciones:

(Despejando las incógnitas en ambas ecuaciones)


Resolución:

Habilidad: Aplicación

C



2. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a una rotación de 270° de la figura con respecto al punto P?

A)

B)

C)

D)

E)

P



Una rotación positiva gira la figura en sentido anti horario en el ángulo dado.

P270°

Luego, la figura que mejor representa una rotación en 270° es la de la alternativa C).


Habilidad: Comprensión

C

Resolución:



3. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSAS?

I) Al rotar el punto R(1, 2) en 360° con respecto al origen, se obtiene el punto R’(2, 1).

II) Al trasladar el punto Q(– 4, – 1) según el vector T(– 2, – 1), se obtiene el punto Q’(– 6, – 2).

III) Si al punto S(– 2, 3) se le aplica una rotación negativa de 270°, seobtiene el punto S’(– 3, 2).

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III



Analizando las opciones:

I) Al rotar el punto R(1, 2) en 360° con respecto al origen, se obtiene el punto R’(2, 1).

Al rotar un punto A(x, y) en 360° con respecto al origen, se obtiene un punto de coordenadas A’(x, y).

Esto quiere decir, que el punto A queda con las mismas coordenadas.

Por lo tanto, la imagen de R(1, 2) al rotarlo en 360° es R’(1, 2).

Luego, la opción I) es Falsa.


Resolución:


II) Al trasladar el punto Q(– 4, – 1) según el vector T(– 2, – 1) se obtiene el punto Q’(– 6, – 2).

Al trasladar el punto Q en el vector T se tiene:

Por lo tanto, el punto Q’ = (– 6, – 2).

Luego, la opción II) es verdadera.

Q(– 4, – 1) + T(– 2, – 1) =

(– 4 + – 2, – 1 + – 1) =

(Sumando las coordenadas)

(– 6, – 2)


Resolución:


III) Si al punto S(– 2, 3) se le aplica una rotación negativa de 270° se obtiene el punto S’(– 3, 2).

Una rotación negativa de 270° es equivalente a una rotación positiva de 90°.

Al rotar positivamente el punto (x, y) en 90° se tiene el punto de coordenadas (– y, x).

Al rotar el punto S(– 2, 3) se obtiene el punto S’(– 3, – 2).

Por lo tanto, la opción III) es Falsa.

Como debemos considerar solo las Falsas, I) y III), la alternativa correcta es E).


Resolución:

Habilidad: Análisis

E



4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P(3, – 6) con respecto al origen?

A) P’(– 6, – 3)B) P’(– 6, 3)C) P’(– 3, – 6) D) P’(– 3, 6) E) P’(6, – 3)



Como el origen es el punto (0, 0), el punto simétrico de P(3, – 6) corresponde a una simetría central.

La simetría central con respecto al origen, corresponde a una rotación en 180°.

Una rotación en 180° en torno al origen cambia un punto (x, y) en (– x, – y)

Aplicando la rotación en 180°:

P’(– 3, 6)

180°P’(3, – 6)

P’

P

Centro de rotación

y

x 3

6

–3–2

–6


Resolución:

D Habilidad: Aplicación



5. Al punto P(– 5, 7) se le aplica una simetría con respecto al origen; luego, una traslación mediante el vector T(– 3, 2); y finalmente, una simetría con respecto al eje Y. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de P después de aplicar dichas transformaciones isométricas?

A) (– 2, – 5)B) (– 2, 5)C) (2, – 5)D) (2, 5)E) (5, – 2)



1°: Aplicando la simetría central en torno al origen (es equivalente a una rotación en 180°):

P(– 5, 7) P’(5, – 7)180°

2°: Al punto P’ se le aplica una traslación mediante el vector T(– 3, 2).

P’(5, – 7) P’’(5 + (– 3) , – 7 + 2) = P’’(2, – 5)T(– 3, 2)

3°: Al punto P’’ se le aplica una simetría con respecto al eje Y.

P’’(2, – 5) P’’’(– 2, – 5)Simetría eje Y

Luego, las coordenadas de la imagen de P(– 5, 7) después de las sucesivas transformaciones isométricas son (– 2, – 5).


Resolución:

Habilidad: Aplicación

A


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En la próxima sesión, estudiaremosÁrea y volumen de sólidos


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Equipo Editorial: Área Matemática

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