cinemática de la partícula

2. Cinemática de la Partícula

Mapa Guía

2.1. Introducción a la Mecánica

2.2. Magnitudes del movimiento

2.3. Análisis cinemático del movimiento

2.4. Movimientos rectilíneos

2.5. Movimientos curvilíneos

2.6. Movimiento relativo

Asignaciones

Mapa guía

Claves para el estudio del tema

Jorge Ledesma - Física 12

Mapa guía

Magnitudes Conceptos

3

Distancia

Instante de tiempo

Intervalo de tiempo

Rapidez

Posición

Desplazamiento

Velocidad

Aceleración

Radio de curvatura

Posición angular

Velocidad angular

Aceleración angular

Periodo

Frecuencia

Mecánica y su división

Movimiento y su clasificación

Móviles y sus tipos

Marco o sistema de referencia

Trayectoria

Ritmos de cambio: promedio e instantáneo

Componentes normal y tangencial de la aceleración

Problema fundamental de la cinemática

Análisis gráfico del movimiento

Aceleración debida a la gravedad

Proyectil

Sistemas inerciales

Modelos y principios

Movimientos unidimensionales

Movimiento rectilíneo y uniforme (MRU)

Movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado (MRUA)

Ley de la caída libre de los cuerpos

Movimientos bidimensionales

Movimiento de proyectiles

Movimiento circunferencial

Uniforme

No uniforme

Movimiento relativo

Principio clásico de relatividad


2.1. Introducción a la Mecánica


Introducción a la Mecánica


La Mecánica Clásica es la rama de la Física que estudia losmovimientos de cuerpos (no tan rápidos como la luz y no tanpequeños como las partículas subatómicas). Se clasifica en ramassegún dos criterios: el estado de movimiento y el objeto móvil.

Mecánica Clásica

Por su estado

Estática Dinámica

Cinemática Cinética

Por el móvil

PartículaSistema de partículas

Sólido rígido

Sólido deformable

Fluido

Ramas de la mecánica


La Estática estudia el estado de equilibrio de los cuerpos.Bajo sus principios se fundamenta el diseño la construcción deestructuras civiles y mecánicas, además de el estado de“reposo” de los cuerpos.

La Dinámica estudia el estado de movimiento de los cuerpos.Esta nos permite describir la caída de una hora de un árbol, elvaivén de las olas del mar, el movimiento de un vehículo demotor y sus partes, etc. Se divide en dos partes:

La Cinemática es el estudio del movimiento sin considerar lascausas que lo producen.

La Cinética describe los movimientos considerando las causas quelo producen.

El movimiento y su clasificación


El movimiento es un concepto primario de la mecánica (por locual no hay una forma exacta de definirlo). Un cuerpo se muevecuando alguna de sus partes, o el cuerpo completo, cambia delugar sin importar que vuelva a pasar por el mismo lugar o si sedetiene más tarde. Podemos clasificar los movimientos en tresgrandes grupos:

Traslación: Cambio de lugar de un cuerpo completo.

Rotación: Algunos puntos del cuerpo permanecen fijos a lolargo de un eje mientras los demás se mueven describiendocircunferencias alrededor de este eje.

Vibración: Un cuerpo permanece en el mismo lugar delespacio, pero sus puntos se mueven en torno a una posiciónde equilibrio.

Móvil y sus tipos


Un móvil es un cuerpo en movimiento. Para su estudio los móviles sepueden clasificar en los siguientes:

Partícula: Cuerpo cuyo tamaño se considera pequeño encomparación al del espacio en que ocurre su movimiento.Teóricamente es un punto material, que no tiene dimensiones.

Sistema de partículas: Grupo de partículas que puede interactuarentre sí.

Sólido rígido: Conjunto continuo de partículas unidas“fuertemente” y que no cambian sus posiciones unas respecto a lasotras (no se deforma).

Sólido deformable: Cuerpo sólido que, bajo ciertas condiciones,puede cambiar su forma.

Fluido: Conjunto continuo de partículas unidas “débilmente”, queno tienen forma propia (adquieren la del recipiente que loscontenga).

Elementos característicos del movimiento


Trayectoria: Rastro, camino o línea descrita por una

partícula al moverse. El movimiento puede clasificarse por

la forma de su trayectoria en rectilíneo o curvilíneo (que

se nombran según el tipo o de curva descrita, como

puede ser circunferencial, parabólico, hiperbólico,

elíptico,…).

Marco o sistema de referencia: Sistema de

coordenadas que permite orientar la visión de un

movimiento desde un observador particular. El origen de

coordenadas y las direcciones de los ejes siempre se

escogen a conveniencia del análisis a desarrollar.

2.2. Magnitudes del movimiento


Magnitudes básicas del movimiento


Distancia 𝑑 ó 𝑠 : Longitud de una trayectoria o de un tramo de ésta. Enocasiones se emplea indistintamente 𝑠 ó Δ𝑠.

Instante de tiempo 𝑡 : Cantidad empleada para designar la ocurrencia de unsuceso en un momento.

Intervalo de tiempo Δ𝑡 : Lapso de tiempo ocurrido entre dos instantes. Es lacantidad de tiempo que realmente puede medirse. Se determina como la diferenciadel instante final y el inicial de dicho lapso.

Δ𝑡 = 𝑡 − 𝑡0

Rapidez promedio 𝑣 : Ritmo de cambio promedio de la distancia respecto altiempo. Se calcula como la razón de la distancia recorrida Δ𝑠 y el intervalo detiempo en que se recorrió ∆𝑡.

𝑣 =Δ𝑠

Δ𝑡

En un movimiento uniforme se recorren distancias iguales en intervalos detiempo iguales (la rapidez es constante)

Posición


La posición se refiere a laubicación de un punto. Parauna partícula ubicada en unpunto 𝑃 el vector posición 𝒓es aquel cuyo origen coincidecon el origen del marco dereferencia y su final coincidecon el punto 𝑃. Las magnitudesde sus componentes son lascoordenadas 𝑥, 𝑦, 𝑧 del punto𝑃.

𝒓 = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝒋 + 𝑧 𝒌

Desplazamiento


Cuando hay movimiento, la posicióndel móvil cambia en el tiempo. Adicho cambio se le llamadesplazamiento. Para una partículaque ha cambiado de su posicióninicial 𝒓𝟎a su posición final 𝒓 , elvector desplazamiento ∆𝒓 es ladiferencia entre su posición final y suposición inicial. De su orientación sepuede decir que se dirige desde elpunto de partida al punto de llegada.

∆𝒓 ≡ 𝒓 − 𝒓𝟎

La posición y el desplazamientotienen unidades de longitud.

Distancia Δ𝑠 vs. Desplazamiento Δ𝒓


Algunas distinciones y similitudes sobre distancia y desplazamiento son:

La distancia es un escalar positivo y el desplazamiento es un vector.

El desplazamiento depende únicamente de las posiciones de los puntos de salida yde llegada, mas la distancia es dependiente de la forma de la trayectoria recorrida.

La magnitud del desplazamiento siempre es la distancia más corta entre lospuntos de partida y llegada (la longitud del segmento de recta que los une),mientras que la distancia recorrida entre dos puntos siempre es mayor o igual aeste valor.

Δ𝑠 ≥ Δ𝒓

La distancia sólo coincide con el módulo del desplazamiento si el movimiento esrectilíneo de ida.

Siempre que hay movimiento hay distancia recorrida. En un viaje redondo (elpunto de partida y el de llegada son el mismo) el desplazamiento es cero.

Tanto la distancia como el desplazamiento son acumulativos. Undesplazamiento total se obtiene por la suma vectorial de desplazamientosindividuales de tramos del movimiento, y por igual una distancia total es la sumaescalar de las distancias de distintos tramos del movimiento.

Velocidad promedio


El ritmo de cambio de la posición enel tiempo es a lo que se le llamavelocidad. Si la posición varía duranteun intervalo de tiempo ∆𝑡, se tomacomo vector velocidad promedio𝒗𝒎 al desplazamiento de la partículadividido entre el intervalo de tiempo.

𝒗𝒎 ≡∆𝒓

∆𝑡

La dirección de esta velocidad es lamisma que del desplazamiento: ladirección global del movimientoentre dos puntos de su trayectoria.

Rapidez media 𝑣 vs. Velocidad media 𝒗𝒎


Algunas distinciones y similitudes sobre rapidez media y velocidadmedia son:

La rapidez media es un escalar positivo y la velocidad media es unvector.

Evaluándolas en un mismo intervalo de tiempo y tramo de unmovimiento, la rapidez media es mayor o igual al módulo de lavelocidad media.

𝑣 ≥ 𝒗𝒎

La rapidez promedio sólo coincide con el módulo de la velocidadpromedio si el movimiento es rectilíneo de ida (cuando la distanciase iguala a la magnitud del desplazamiento).

Siempre que hay movimiento existe una rapidez media asociada. Si elviaje es redondo, la velocidad media (al igual que el desplazamiento)es nula.

Velocidad instantánea


En ocasiones se desea conocer lavelocidad con extrema precisión en cadainstante de tiempo. La velocidadinstantánea 𝒗 de una partícula se definecomo el límite de la velocidad promedioconforme ∆𝑡 tiende a cero, el ritmo decambio instantáneo de la posición en eltiempo.

𝒗 ≡ lim∆𝑡→0

∆𝒓

∆𝑡=

𝑑𝒓

𝑑𝑡

El vector de velocidad instantánea sueleser más interesante y útil que el de lavelocidad media. De hecho, al usar eltérmino “velocidad”, siempre nosreferiremos al vector de velocidadinstantánea 𝒗.

Características de la velocidad


La velocidad de cualquier móvil tiene 2características fundamentales:

Su magnitud en todo momento es elritmo de variación instantáneo de ladistancia recorrida respecto al tiempo,esto es la rapidez instantánea 𝒗 .

Su dirección es tangente a latrayectoria en cada punto, en elsentido y dirección instantáneosdel movimiento. Esto esdemostrable en base al cálculovectorial, y al vector unitario que estangente a una trayectoria se le llamavector tangente unitario 𝝉. Dichovector se define como el ritmo devariación de la posición sobre larespecto a la distancia.

En resumen, la velocidad tiene comomagnitud la rapidez instantánea y comodirección la del movimiento tangente a lacurva. Esto se puede expresar de lasiguiente forma:

𝒗 = 𝒗 𝝉

donde

𝒗 =𝑑𝑠

𝑑𝑡

y

𝝉 =𝑑𝒓

𝑑𝑠

Sobre trayectorias curvas (1)


Curvatura 𝜅 : En un punto de una trayectoria es una medida de qué tan rápido latrayectoria cambia su dirección en dicho punto. Específicamente, es la magnitud delritmo de cambio del vector tangente unitario con respecto a la distancia.

𝜅 = 𝑑𝝉/𝑑𝑠

Vector normal unitario 𝒏 : Es un vector unitario siempre perpendicular alvector tangente unitario y que indica la dirección de la trayectoria hacia dónde éstatiende a cambiar de dirección. Se calcula como sigue:

𝒏 =𝑑𝝉/𝑑𝑡

𝑑𝝉/𝑑𝑡

Plano osculador: Plano determinado por los vectores 𝝉 y 𝒏 en un punto 𝑃 de latrayectoria. Es el plano que se acerca más a contener parte de la trayectoria cercade 𝑃 (para una curva plana el plano osculador es simplemente el plano quecontiene a la curva).

Sobre trayectorias curvas (2)


Círculo osculador ode curvatura: Círculodel plano osculador quemejor describe elcomportamiento de unatrayectoria en un punto𝑃 . Queda en el ladocóncavo de la curva(hacia donde apunta 𝒏)y comparte con latrayectoria la mismatangente, normal ycurvatura en 𝑃 . Sucentro se conoce comocentro de curvatura.

Radio de curvatura (𝜌 o 𝑅): Radio del círculoosculador, recíproco de su curvatura.

𝜌 = 1/𝜅

De acuerdo al valor del radio de curvatura se puedetener una trayectoria rectilínea 𝜌 = ∞ o curvilínea𝜌 ≠ ∞ .

Aceleración media


Cuando la velocidad cambia enalguno de sus elementos (magnitud,dirección o sentido), a la razón decambio de la velocidad en el tiempose le llama aceleración. El vectoraceleración promedio 𝒂𝒎 de unapartícula se define como el cambioen su velocidad ∆𝒗 = 𝒗 − 𝒗𝟎dividido entre el intervalo de tiempo∆𝑡 durante el cual ocurrió dichocambio.

𝒂𝒎 ≡∆𝒗

∆𝑡

La dirección de la aceleración mediaes la misma que tiene el cambio envelocidad.

Aceleración instantánea


La aceleración instantánea 𝒂 deuna partícula se define como el límitede la aceleración promedio conforme∆𝑡 tiende a cero.

𝒂 ≡ lim∆𝑡→0

∆𝒗

∆𝑡=

𝑑𝒗

𝑑𝑡=

𝑑2𝒓

𝑑𝑡2

Este vector proporciona lainformación de cómo cambia lavelocidad en cada momento en quese considere. Normalmente nosinteresa más la aceleracióninstantánea, no la media.Emplearemos el término“aceleración” para referirnos alvector de aceleración instantánea.

Características de la aceleración (1)


La aceleración total puede incidir en lavariación de la magnitud tanto como de ladirección de la velocidad:

La componente encargada de variar larapidez del movimiento es la aceleracióntangencial 𝑎𝑡 o paralela a la trayectoria𝑎∥. Esta aceleración es el ritmo de cambioinstantáneo de la rapidez en el tiempo. Sudirección es la del vector tangente unitarioen cada punto.

Si se sigue una trayectoria curva quieredecir que continuamente se cambia ladirección del movimiento, y la componenteresponsable de esto es la aceleraciónnormal 𝑎𝑛 o perpendicular a latrayectoria 𝑎⊥ . Esta aceleración esdirectamente proporcional al cuadrado dela rapidez e inversamente proporcional alradio de curvatura. Su dirección es la delvector normal unitario en cada punto.

En resumen, la aceleración tiene componentesnormal y tangencial a la trayectoria, siendo laprimera la que cambia la dirección y lasegunda la magnitud de la velocidad. Esto sepuede expresar de la siguiente forma:

𝒂 = 𝑎𝑡𝝉 + 𝑎𝑛𝒏

donde

𝑎𝑡 =𝑑 𝒗

𝑑𝑡

y

𝑎𝑛 =𝒗 2

𝜌

Características de la aceleración (2)


Clasificación del movimiento por las

componentes intrínsecas de la aceleración


2.3. Análisis cinemático del

movimiento


Problema fundamental de la cinemática (1)


La cinemática combina dosmagnitudes fundamentales: espacio ytiempo. A partir de estas dostenemos la posición, la velocidad y laaceleración. A estas tres magnitudesse les conoce como magnitudescinemáticas del movimiento. Elproblema fundamental de lacinemática consiste en conocer elcomportamiento de estasmagnitudes en cualquier instante detiempo para el movimiento bajoanálisis.

A las relaciones matemáticas de lasmagnitudes cinemáticas en funcióndel tiempo se les llama ecuacionescinemáticas.

En general obtener las ecuacionescinemáticas que describen unasituación particular conlleva resolverecuaciones diferenciales concondiciones iniciales para la posición𝒓𝟎 y la velocidad 𝒗𝟎. Según se vayacalculando desde la aceleración a laposición o viceversa, el problemafundamental de la cinemática seclasifica de dos formas:

Problema directo: de laaceleración a la posición, se llegaintegrando.

Problema inverso: de laposición a la aceleración se llegaderivando.

Problema fundamental de la cinemática (2)


Matizando sobre todo lo dichoanteriormente, el problemafundamental de la cinemática esdeterminar posición, velocidad yaceleración de la partícula,referidas a un sistema dereferencia que consideramos fijo,interrelacionadas entre sí por lasecuaciones:

2.4. Movimientos rectilíneos


Conceptos básicos


Movimiento rectilíneo: Esaquel cuya trayectoria es unalínea recta; es por tanto unmovimiento unidimensional.

Elegimos como sistema dereferencia en el estudio delmovimiento unidimensional a lalínea recta sobre la que seencuentra la partícula, sobre laque tomaremos un puntocomo origen. Las cantidadescinemáticas que apunten haciaun lado del origen(generalmente a la derecha oarriba) serán positivas y haciael otro negativas.

Condiciones iniciales: Si enel instante 𝑡 = 0, la posición dela partícula no coincide con elorigen, diremos que existe unaposición inicial 𝑥0 que seobtendrá haciendo 𝑡 = 0 en laecuación 𝑥 = 𝑥 𝑡 . A lavelocidad que posee el móvilen 𝑡 = 0 la llamaremosvelocidad inicial 𝑣0 y seobtendrá haciendo 𝑡 = 0 en𝑣 = 𝑣 𝑡 .

Ecuaciones del movimiento rectilíneo


Para un punto 𝑃 que se mueve sobre

el eje 𝑂𝑋 (puede ser cualquier otro

eje), las ecuaciones de su movimiento

las obtendremos de las generales

planteadas en el problema

fundamental de la cinemática,

considerando únicamente las

componentes en el eje 𝑂𝑋 y

prescindiendo del cálculo vectorial,

es decir:

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑎 =

𝑑𝑣

𝑑𝑡

Eliminando 𝑑𝑡 entre las dos

ecuaciones anteriores, se obtiene una

relación diferencial, muy útil en la

resolución de problemas, entre la

posición, la velocidad y la aceleración:

𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑥

Estas son las ecuaciones diferenciales

del movimiento rectilíneo de la

partícula; para emplearlas en un

problema será necesario tener las

condiciones de contorno (iniciales,

intermedias o finales) necesarias para

su resolución.

Análisis gráfico del movimiento rectilíneo


Las representaciones gráficas de las

relaciones entre las variables 𝑥, 𝑣, 𝑎 y 𝑡en el movimiento rectilíneo nos

proporcionan en muchos problemas la

suficiente información para su resolución.

Las representaciones gráficas no solo son

útiles para analizar las relaciones entre las

magnitudes del movimiento en un

problema, sino también para aproximar

los resultados por derivación o

integración gráfica cuando desconocemos

su función matemática explícita.

Gráfico posición-tiempo


En un gráfico de 𝒙 vs. 𝒕, la velocidad es la pendiente de la

curva en un instante determinado. La velocidad media es la

pendiente entre dos instantes del gráfico.

𝑣 𝑡1 = 𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑡1

=pendiente de 𝑥 𝑡

en 𝑡 = 𝑡1

𝑣𝑚12 =𝑥2 − 𝑥1

𝑡2 − 𝑡1=

pendiente de 𝑥 𝑡desde 𝑡1 a 𝑡2

Grafico velocidad-tiempo


En un gráfico de 𝒗 vs. 𝒕, la aceleración es la pendiente de la curva en un instantedeterminado. La aceleración media es la pendiente entre dos instantes del gráfico. Eldesplazamiento de la partícula es el área entre el gráfico y el eje del tiempo en unintervalo.

𝑎 𝑡1 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑡1

=pendiente de 𝑣 𝑡

en 𝑡 = 𝑡1

𝑎𝑚12 =𝑣2 − 𝑣1

𝑡2 − 𝑡1=

pendiente de 𝑣 𝑡desde 𝑡1 a 𝑡2

𝑥2 − 𝑥1 = 𝑡1

𝑡2

𝑣 𝑑𝑡 =área entre la curva 𝑣 𝑡

y el eje de tiempo, desde 𝑡1 a 𝑡2

La última expresión es válida para el desplazamiento si se consideran áreas tantopositivas como negativas. Si sólo se considera el valor absoluto de las áreas, su sumaproporciona la distancia recorrida en el intervalo dado.

Grafico aceleración-tiempo


En un gráfico de 𝒂 vs. 𝒕, el cambio en la velocidad de la

partícula es el área bajo la curva en un intervalo.

𝑣2 − 𝑣1 = 𝑡1

𝑡2

𝑎 𝑑𝑡 =área entre la curva 𝑎 𝑡

y el eje de tiempo, desde 𝑡1 a 𝑡2

Movimiento rectilíneo y uniforme (MRU)


Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): Es unmovimiento cuya trayectoria es una línea recta y su velocidadconstante.

Ecuaciones cinemáticas del movimiento

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 𝑣 = 𝑣0 = cte 𝑎 = 0

Características

La partícula recorre espacios iguales en tiempos iguales.

La velocidad media e instantánea son iguales.

Su gráfica de posición-tiempo es una recta oblicua, y la de velocidad-tiempo una recta horizontal (de ordenada no nula).

Movimiento rectilíneo y uniformemente

acelerado (MRUA)


Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA):Es un movimiento cuya trayectoria es una línea recta y suaceleración constante.

Ecuaciones cinemáticas del movimiento

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + 12𝑎𝑡2 𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑎 = cte

Ecuación independiente del tiempo: Al combinar lasecuaciones cinemáticas se obtiene una independiente del tiempoque sirve para relacionar las tres magnitudes cinemáticas:

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑎 𝑥 − 𝑥0

Características del MRUA


La velocidad cambia cantidadesiguales en intervalos iguales.

La partícula recorre espaciosdiferentes en intervalos iguales.

Su gráfica de posición-tiempo esuna parábola, y la de velocidad-tiempo una recta oblicua, mientrasla de aceleración es una rectahorizontal (de ordenada no nula).

Se le llama acelerado cuandocoinciden lo signos de 𝑣 y 𝑎(velocidad y aceleración tienen elmismo sentido), y desaceleradocuando no.

Este modelo engloba el modeloanterior (MRU) para el caso enque la aceleración es unaconstante e igual a cero.

Caída libre de los cuerpos


Ley de la caída de los cuerpos: Todos los cuerpos caen sobre la Tierra,en el vacío, para puntos próximos a su superficie y para pequeñasvariaciones de altura comparadas con el radio de ésta (𝑅 ≈ 6370 km), conla misma aceleración a la que llamamos aceleración de la gravedad (g),con un valor aproximado de 9.81 m/s2.

Un objeto en caída libre (aquel sobre el cual la única acción aplicada es lagravedad de cualquier planeta) experimenta una aceleración dirigida haciael centro del planeta, sin importar que se mueva subiendo o bajando. Si la“resistencia del aire” es despreciable y el movimiento ocurre “cerca” de lasuperficie del planeta, la aceleración de caída libre g se considera constantedurante el movimiento.

Los movimientos en caída libre se analizan bajo el modelo de MRUA.

Cuando se lanza una partícula hacia arriba, la rapidez al subir y bajar son lamisma en el mismo punto del trayecto. En su punto más alto la rapidezvertical es cero, pero su aceleración sigue siendo constante.

Es demostrable que el tiempo que emplea un cuerpo para subir desde unpunto a la cúspide, es igual al que emplea para bajar de ésta al mismopunto.

2.5. Movimientos curvilíneos


Conceptos básicos


Movimiento curvilíneo: Aquel cuya trayectoria es una curva. Puede seren el plano o en el espacio tridimensional.

La gran mayoría de los movimientos de partículas que se estudian en laFísica aplicada son movimientos rectilíneos o curvilíneos planos. El análisistridimensional de los movimientos en coordenadas cartesianas, es obvioque es el mismo que en el bidimensional añadiendo el estudio delmovimiento de la partícula en el eje 𝑧 y aplicando las ecuacionesfundamentales de la cinemática. En estos casos se usan para el análisis losvectores y sus componentes.

Movimiento general con aceleración constante: Si una partícula semueve con aceleración constante 𝒂 y tiene una velocidad inicial 𝒗𝟎 yposición inicial 𝒓𝟎 en 𝑡 = 0, su velocidad y posición en un tiempo 𝑡 estándados por las siguientes ecuaciones vectoriales. Por cada ecuación de estasse tiene tres ecuaciones escalares equivalentes (una para cada componenteen 3D):

𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝑡 𝒓 = 𝒓𝟎 + 𝒗𝟎𝑡 + 12𝒂𝑡2

Movimiento de proyectiles: Introducción


Proyectil: Cualquier cuerpo querecibe una velocidad inicial ycontinúa su movimiento en unatrayectoria solamente bajo lainfluencia de la gravedad y laresistencia del aire.

Movimiento de proyectil:Modelo cinemático con resistenciadel aire despreciable, por lo que elproyectil sólo se mueve bajo lainfluencia de la gravedad. Elmovimiento ocurrirá en un planovertical determinado por ladirección de la velocidad inicialporque la aceleración de lagravedad es constante y vertical(por lo que no podrá afectar elmovimiento del proyectillateralmente).

Movimiento de proyectiles: Descomposición


Movimiento de proyectiles: Descomposición


Descomposición del movimiento:Es útil pensar en el movimiento deproyectiles en términos de unacombinación de dos movimientosrectilíneos:

La partícula bajo velocidad constante enla dirección 𝑥 (𝑎𝑥 = 0).

La partícula en caída libre en ladirección 𝑦 (𝑎𝑦 = −g).

Por lo general, lo más sencillo estomar la posición inicial (en 𝑡 = 0)como origen; así, 𝑥0 = 𝑦0 = 0.

Las componentes de la velocidadinicial usualmente se expresan entérminos de la rapidez inicial 𝑣0 y elángulo de lanzamiento con lahorizontal 𝛼0.

𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝛼0 𝑣0𝑥 = 𝑣0 sen 𝛼0

Movimiento de proyectil: Características


Ecuación de la trayectoria: Esdemostrable que eliminando 𝑡 de lasecuaciones 𝑥 = 𝑥 𝑡 y 𝑦 = 𝑦 𝑡 quedefinen el movimiento de unproyectil, se llega a una ecuación dela forma

𝑦 = 𝑘1 + 𝑘2𝑥 − 𝑘3𝑥2

donde las constantes 𝑘1 , 𝑘2 y 𝑘3dependen de las condiciones dellugar (g) y del tiro (𝑣0, 𝛼0, 𝑥0 y 𝑦0).Esta ecuación es la de una parábolaabierta hacia abajo y que es tangentea la velocidad inicial en el punto delanzamiento 𝑥0, 𝑣0 .

Alcance máximo (𝑹): Distanciadesde el lugar de tiro al punto enque el proyectil pasa por la mismahorizontal de aquél. Dos ánguloscomplementarios producen elmismo alcance. El alcance mayores el tiro de 45∘.

Altura máxima (𝑯): Distanciavertical alcanzada en el puntodonde la rapidez vertical se hacecero.

Tiempo de vuelo (𝑻𝒗): Intervalode tiempo necesario para lograr elalcance máximo desde ellanzamiento. También es el dobledel tiempo necesario para llegar ala altura máxima.

Magnitudes angulares: Posición


Otra forma de describir elmovimiento en el plano (a parte deemplear coordenadas cartesianasimplica el uso de coordenadaspolares 𝑟, 𝜃 . Aquí 𝑟 es el módulodel vector de posición de lapartícula y 𝜃 (la posición angular)es el ángulo que forma dicho vectorrespecto al eje +𝑥.

Al describir un movimiento, laforma más natural de medir elángulo 𝜃 no es en grados, sino enradianes. El radián ( rad ) es launidad angular del SI.

Magnitudes angulares: Desplazamiento


Si ocurre movimientohabrá desplazamientoangular asociado

Δ𝜃 = 𝜃 − 𝜃0

El signo para estedesplazamiento angularconvenimos que espositivo si se recorre ensentido antihorario yserá negativo en el casocontrario.

Magnitudes angulares: Ritmos de cambio


Llamaremos velocidadangular (𝜔) a la variación dela posición angular con eltiempo, y aceleraciónangular (𝛼) a la variación dela velocidad angular con eltiempo. Un estudio análogo alhecho para las magnitudeslineales nos conduce a ladescripción angular delmovimiento, obteniéndose susecuaciones sustituyendo en lasdefiniciones de las magnitudescinemáticas 𝑥 por 𝜃, 𝑣 por 𝜔 y𝑎 por 𝛼, es decir:

𝜃 = 𝜃 𝑡

𝜔 =𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝛼 =𝑑𝜔

𝑑𝑡= 𝜔

𝑑𝜔

𝑑𝜃

Las magnitudes 𝜃 , 𝜔 y 𝛼 semedirán en el SI en rad, rad/sy rad/s2 respectivamente.

Relación lineal-angular (1)


El radián es la unidad angular del SI,adimensional, definida como elángulo subtendido en el centro deun círculo por un arco decircunferencia de longitud igual alradio del círculo. Por tanto, unaposición angular 𝜃 medida enradianes es la razón de la distanciarecorrida 𝑠 sobre un arco decircunferencia y el radio 𝑟 de dichacircunferencia.

𝜃 =𝑠

𝑟→ 𝑠 = 𝑟𝜃



Al derivar ambos lados de laexpresión 𝑠 = 𝑟𝜃 , recordandoque en una trayectoriacircunferencial el radio esconstante, se obtiene la siguienterelación entre rapidez yrapidez angular

𝑑𝑠

𝑑𝑡= 𝑟

𝑑𝜃

𝑑𝑡→ 𝑣 = 𝑟𝜔

Debe recordarse que lascantidades de esta expresión sonrapideces (siempre positivas), porlo que no indican el sentido demovimiento.



Al derivar la expresión 𝑣 = 𝑟𝜔 seobtiene la relación entre rapidezaceleración tangencial y angular:

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝑟

𝑑𝜔

𝑑𝑡→ 𝑎𝑡 = 𝑟𝛼

Al combinar la misma relación derapideces con la definición deaceleración radial (normal ocentrípeta) se tiene

𝑎𝑟 =𝑣2

𝑟=

𝑟𝜔 2

𝑟→ 𝑎𝑟 = 𝑟𝜔2



Es importante recordar que laecuación 𝑠 = 𝑟𝜃 es válida sólosi 𝜃 se mide en radianes. Lomismo sucede con todas lasecuaciones derivadas de ella.Al usar estas ecuaciones,debemos expresar los ángulosen radianes, no revoluciones nigrados.

De ser necesario emplear laconversión entre unidadesangulares las siguientesrelaciones son útiles:

1 rev = 180∘ = 𝜋 rad

Movimiento circunferencial


El movimiento circunferencial (llamado por muchosautores movimiento circular) es aquel que presenta unatrayectoria en forma de circunferencia o un arco decircunferencia. Puede ser uniforme (MCU),uniformemente acelerado (MCUA) o variado (MCV).

Las ecuaciones de los movimientos circulares uniforme yuniformemente acelerado, son las mismas que las de los“rectilíneos” de un punto, haciendo las sustituciones delas cantidades lineales por su análogo angular.

En los movimientos circunferenciales son válidas todas lasrelaciones lineales-angulares presentadas en lasdiapositivas anteriores.

Movimiento circunferencial uniforme (MCU)


Definición: Movimiento en trayectoria circunferencial con rapidezangular constante.

Ecuaciones del movimiento

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔𝑡 𝜔 = 𝜔0 = cte 𝛼 = 0

Características

En este movimiento al recorrer el móvil los mismos ángulos en losmismos tiempos, también recorrerá iguales arcos en los mismostiempos y por tanto el módulo de su velocidad será constante.

Este movimiento es periódico puesto que la partícula pasa por cadapunto de la circunferencia trayectoria a intervalos de tiempo iguales.

La única aceleración existente es la normal o centrípeta por ser ladirección lo único que varía en la velocidad. Su valor es constante enmódulo por ser 𝑣 y 𝑟 constantes

Magnitudes del MCU


Los movimientos periódicos como el MCU se caracterizan por 2magnitudes:

Período (𝑇) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa.Se mide en unidades de tiempo.

Frecuencia (𝑓) el número de vueltas dadas en la unidad de tiempo(medida en hertz, Hz, en el SI). Es la magnitud inversa del período.

𝑓 = 1/𝑇

La rapidez angular se relaciona con el periodo y la frecuencia mediante

𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋

𝑇

Movimiento circunferencial uniformemente

acelerado (MCUA)


Definición: Movimiento en trayectoria circunferencialcon aceleración angular constante.

Ecuaciones del movimiento

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0𝑡 + 12𝛼𝑡2 𝜔 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 𝛼 = cte

Características Como 𝛼 es constante y el radio de la circunferencia

trayectoria también lo es, por la ecuación 𝑎𝑡 = 𝑟𝛼deducimos que el módulo de la aceleración tangencialserá constante.

2.6. Movimiento relativo


Conceptos básicos


Distintos observadores de un mismo fenómeno estableceránsistemas de referencia diferentes para estudiar dicho fenómeno. Esposible relacionar sus mediciones del fenómeno bajo estudio si sesabe cómo se mueve un observador respecto al otro.

Las leyes de la mecánica son idénticas para dos observadores que sehallan uno con respecto al otro en movimientos rectilíneo yuniforme o en reposo. Los sistemas que cumplen tales condicionesson inerciales o galileanos.

Cuando un marco de referencia acelera en relación con elfenómeno estudiado se dice que este, y cualquier marco que semueva con velocidad constante en relación con este, es un marco dereferencia no inercial.

Hipótesis del tiempo absoluto: En Mecánica Clásica el tiempotranscurre de la misma manera en dos sistemas de referenciacualquiera.

Transformaciones relativistas: posición


Consideremos dosobservadores inerciales 𝐴 y𝐵 estudiando el movimientode una partícula 𝑃 . Laposición 𝒓𝑃/𝐴 de 𝑃 medidapor 𝐴 se puede relacionarcon la posición 𝒓𝑃/𝐵 de lamisma partícula medida por𝐵. Si se conoce la velocidadrelativa del sistema 𝐵respecto al sistema 𝐴 ,denotada 𝒗𝐵/𝐴 , entonces laposición del sistema 𝐵respecto al 𝐴 es 𝒓𝐵/𝐴 =𝒗𝐵/𝐴𝑡 . Por relacionesvectoriales se tiene lasiguiente ecuación

𝒓𝑃/𝐴 = 𝒓𝑃/𝐵 + 𝒓𝐵/𝐴

Transformaciones relativistas: velocidad y

aceleración


Al derivar la relación relativista de lasposiciones respecto al tiempo seobtiene una relación de lasvelocidades de la partícula respecto acada observador y la velocidadrelativa de los observadores.

𝒗𝑃/𝐴 = 𝒗𝑃/𝐵 + 𝒗𝐵/𝐴

En general si 𝐴 y 𝐵 son dos puntos omarcos de referencia cualesquiera, lavelocidad relativa del primerorespecto al segundo es opuesta a ladel segundo respecto al primero.

𝒗𝐵/𝐴 = −𝒗𝐴/𝐵

Derivando nuevamente la relaciónrelativista de velocidades se obtienela relación de aceleraciones medidasrespecto al cada sistema dereferencia:

𝒂𝑃/𝐴 = 𝒂𝑃/𝐵

La aceleración de una partículamedida por un observador es lamisma que la medida por cualquierotro observador que se mueva convelocidad constante en relación conel primero.

Principio Clásico de Relatividad


Principio de relatividad clásico de Galileo: Las leyes de la FísicaClásica permanecen invariantes (tienen la misma forma) en un cambio decoordenadas definido por las transformaciones relativistas clásicas, siempreconsiderando la hipótesis del tiempo absoluto.

El primer paso de la mecánica es estudiar el “lugar” (sistema de referencia)en el que realizamos los experimentos e investigaciones, ya que losresultados de éstos son distintos en diferentes condiciones de movimiento.(Las leyes físicas no son las mismas en laboratorios con distintasaceleraciones y en uno con velocidad rectilínea y uniforme). Nuestradificultad está en elegir el sistema inercial conveniente para nuestrosestudios.

Las medidas realizadas en sistemas de referencia inerciales diremos que son“absolutas” y se considera que este sistema está “fijo” en el espacio.

En realidad no existen sistemas inerciales perfectos. Deberemos puesconformarnos con sistemas que sean “casi” inerciales, es decir, aquellos enque la aceleración del propio sistema sea despreciable frente a las queintervienen en el fenómeno en estudio.

Asignaciones


Asignaciones

Lectura recomendada Preguntas y problemas


Sears: capítulos 2 y 3.

Burbano: capítulos 3 y 4.

Preguntas Sears: Preguntas de inicio de los

capítulos 2 y 3.

Todos los “Evalúe sucomprensión” de los capítulos2 y 3.

Problemas Sears: Todos los ejemplos resueltos

de los capítulos 2 y 3.

Problemas 2.55, 2.66, 2.76,2.85, 2.90, 2.98, 3.35, 3.44,3.59, 3.63, 3.79, 3.82, 3.86,3.93.

Vídeos: Universo Mecánico

2. La ley de la caída de los cuerpos

3. Derivadas

7. Integración

9. El círculo en movimiento

cinemática de la partícula

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