cinemÁtica de una partÍcula

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Area de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas Sección: Física Periodo:2007- II

SEPARATA N° 1 DE FISICA I (CB-302 U)

1.- Un aeroplano vuela hacia el sur con una velocidad de 110 km/h con respecto al aire. Vuela durante 2 horas, voltea hacia el suroeste y sigue durante 3 h. Ambas direcciones se miden con respecto al piso. Durante todo el viaje sopla un viento hacia el este, a 30 km/h (a) ¿Cuál es la rapidez media del avión con respecto al terreno? (b) ¿Cuál es la velocidad media del avión con respecto al terreno? (c) ¿Cuál es el vector de posición final?

2.- Un aeroplano debe volar hacia el norte, desde nueva Orleans hasta St. Louis, una distancia de 673 mi. Este día, y a la altura de crucero, sopla un viento desde el oeste a una velocidad constante de 105 mi/h. El avión puede mantener una velocidad de 575 mi/h con respecto al aire. No tenga en cuenta los periodos de despegue y aterrizaje. (a) ¿En qué dirección debe apuntar el aeroplano para llegar a St. Louis sin cambiar de dirección? Trace un diagrama e identifique esa dirección con un ángulo. ¿Cambiaría este cálculo si la distancia entre las ciudades fuera el doble? (b) ¿Cuál es el tiempo de vuelo para este viaje? (c) Vuelva a calcular el tiempo de vuelo si el aeroplano pone proa hacia el norte hasta llegar a la latitud se St. Louis y después dala vuelta hacia el oeste, contra el viento.

3.- Se pide a un bote atravesar un río de 150 m de ancho. La corriente del río se mueve con velocidad constante de 6 km/h. Se puede remar en el bote, en agua estancada, con una velocidad de 10 km/h. Establezca un sistema conveniente de coordenadas con el que se pueden describir los diversos desplazamientos. Con ese sistema, formule el vector de posición del bote cuando el tiempo es t, suponiendo que el bote se mueve con velocidad uniforme y que deja una orilla con su vector velocidad formando un ángulo θ con la dirección del río. Calcule el valor θ que haga que el bote llegue a un punto en la orilla exactamente opuesto al punto de partida ¿Cuánto dura el viaje?

4.- Una rueda de 72 cm de diámetro rueda por una carretera, y sus centro se mueven línea recta, a velocidad uniforme de 18km/h. ¿Cuáles son el vector de posición de velocidad y de aceleración de un punto fijo en la periferia de la rueda, en relación con un punto fijo de la recta que sigue la rueda sobre la carretera?

Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 1


5.- La aceleración a de una partícula unida a un resorte es proporcional a su desplazamiento s a partir de la posición de la fuerza de resorte nula y esta dirigida en sentido contrario al desplazamiento. La relación existente es a = - k2 s, donde k es una constante. Si la velocidad de la partícula es v0

cuando s = 0 y si el tiempo t es cero cuando s = 0, determine el desplazamiento y la velocidad en función del t.

6.- Una partícula se mueve en línea recta con la velocidad mostrada en la figura. Sabiendo que x = -16 m para t = 0, dibújense las curvas a - t y x - t para 0 < t < 40 y determínese:a) El máximo valor de la coordenada de posición de la partícula.b) Los valores de t en los que la partícula esta a una distancia de 36 m del

origen.c) Los intervalos de tiempo en que el movimiento es acelerado o retardado.

7.- La gráfica velocidad-tiempo del movimiento de una partícula esta representada por una semielipse, como se muestra en la figura. Determine la velocidad media de 0 a 20 s y la ley de movimiento si v(1) = 12 m/s.

8.- Las componentes de la aceleración del movimiento de una partícula están dadas por : at = (3t -2) i + (5t + 1) j -2 k y an = (2t) i x at donde t esta en segundos y la aceleración en m/s2. Si la velocidad inicial es 6 m/s y el móvil parte del punto (2, 3, 4), determine la ubicación del centro de curvatura y la velocidad de la partícula cuando t = 2 s.

Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo

v (m/s)

6

2

0 10 18 24 30 t (s)

- 6

v

v0

0 20 t

2


9.- Un móvil recorre la curva (x + y - 3)2 = (x - 2) y parte del punto (2,1). Su hadagrafa referida al mismo sistema de coordenadas es 1=+ yx . Para el instante que el módulo de la velocidad es mínimo, calcule: a) la posición, b) el espacio recorrido, c) las componentes tangencial-normal de la aceleración, d) el radio de curvatura.

10.- El movimiento curvilíneo plano de una partícula esta definida en coordenadas polares por r = 0,833 t3 + 5t y θ = 0,3 t2, donde r esta dado en cm, θ esta en radianes y t esta en segundos. En el instante en que t = 2 s, determine las magnitudes de la velocidad, la aceleración y el radio de curvatura de la trayectoria.

11.- Un punto M tiene durante su movimiento dos velocidades constantes en modulo. La primera permanece siempre perpendicular al eje X y la segunda perpendicular al radio vector. Halle la ecuación de la trayectoria si parte del punto (r0 , θ0) y calcule la aceleración de M.

12.- Para objetos que se mueven en círculo alrededor del origen O, se puede emplear los vectores unitarios

θµµ ˆˆ yr mutuamente perpendiculares, definidos como en la figura (coordenadas polares). Halle:

a) θµµ ˆˆ yr en función de jyi ˆˆ .b) jyi ˆˆ en función de rµ y θµ .

c)td

d θµ en función de rµ , considere que θ = θ (t).


θe M re

V2

r V1

θ 0

x

Y θµ

rµ

j

θ 0 i

X

3


13.- Un móvil inicialmente en x = 2 m se mueve sobre el eje X, siendo su velocidad descrita en función del tiempo por la figura. Halle:

a) La gráfica aceleración - tiempob) La gráfica posición - tiempoc) Describa brevemente el movimiento (intervalos de tiempo donde es

acelerado ó desacelerado, etc.)

14.- La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta dada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos. Determine:a) La velocidad media en 2 s ≤ t ≤ 6 sb) La aceleración media en 0 s ≤ t ≤ 4 sc) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado

15.- Desde un trampolín que esta a 6 m por encima de la superficie del agua de un lago, se deja caer un balín de plomo. El balín cae en el agua con cierta velocidad y se hunde hasta el fondo con esta misma velocidad. Alcanza el fondo 10s después de que se le dejo caer. (a) ¿Cuál es la profundidad del lago? (b) ¿Cuál es la velocidad promedio del balín? (c) suponga que se deseca el lago y se lanza el balín desde el trampolín, de manera que alcanza el fondo en 10s , ¿cuál es la velocidad inicial del balín?

16.- Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una rapidez inicial v0 directamente hacía una colina cuyo ángulo de elevación es α ¿cuál será el ángulo respecto de la horizontal al que deberá apuntarse el cañón para obtener el mayor alcance R posible a lo largo de la colina?

17.- Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dado por tyr r πθµ 2ˆ10 == , en donde r está en metros, θ en radianes y t en

segundos a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad dtrdV /= por derivación directa de r , c) Como la distancia sobre la trayectoria es s = rθ, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo valor que el módulo


V(m/s)60 parábola

0 1 2 3 4 5 t(s)

-90

R v0

α

4


de V hallado en la parte (b) d) Halle el vector aceleración a en función de los vectores unitarios θµµ ˆˆ yr .

18.- La posición de una partícula que se mueve en el plano XY descrita en coordenadas polares r, θ y los vectores unitarios θµµ ˆ,ˆ r esta dada por

rrr µ= . Halle los vectores velocidad y aceleración.

19.- Una partícula se mueve con aceleración ( ) 2/10,5,0 smza −−= . Donde z es la variable en el eje Z. Si

la velocidad para t = 0 es ( )kjiV ˆ4ˆ3ˆ20 ++−=

y la posición

para ese mismo instante de tiempo es ( )mkir ˆ10ˆ100 +=:

a) Halle la velocidad en función del tiempo

b) Halle la posición en función del tiempoc) Identifique un posible problema físico que esté representado por estas

condiciones.

20.- Un móvil A parte del origen de coordenadas, otro móvil B parte de x = -8m en el mismo instante. Si el diagrama v-t de los dos móviles se muestra en la figura:a) Haga un análisis gráfico y determine el instante en que se encuentran

ambos móviles.b) Dibuje los diagramas x-t y a-t para cada uno de los móviles.c) Para el móvil A encuentre los intervalos de tiempo en que su movimiento

es acelerado y retardado.


Z

0 Y X

v(m/s) B 8

4 A

0 4 t(s)

5


21.- Un muchacho en A arroja una pelota directamente a una ardilla parada sobre una rama en B. Si la rapidez inicial de la pelota es de 16 m/s y la ardilla, en vez de asustarse, se deja caer desde el reposo fuera de la rama en el instante en que se soltó la pelota en A, demuestre que la ardilla puede aun atrapar la pelota y determine la distancia h que la ardilla cae antes de hacer la captura.

22.- La figura describe el movimiento de una partícula que partiendo del reposo se mueve con aceleración constante. ¿cuál es la velocidad de la partícula cuando ésta pasa por el origen de coordenadas.

23.- La gráfica mostrada explica el movimiento de una partícula, que parte del reposo y se somete durante los 6 primeros segundos a las aceleraciones representadas. Grafique v-t y x-t en el mismo intervalo de tiempo.


B

h

A 5.5 m

1.5 m

10 m

X(m) 6

t(s)

2 -2

a(m/s2)

10

3 2 4 6

t(s) -10

6


24.- Un cuerpo se mueve según el eje X, con aceleraciones que se indican en el gráfico adjunto. Si en t ≡ 0, X ≡ 0 y X ≡ 0, determine:

i) El gráfico v-tii) El gráfico x-tiii) El desplazamiento de 5-15 siv) La longitud recorrida de 0-20 s

25.- Una partícula de masa m = 1 kg parte del origen de coordenadas en t = 0. Si su velocidad esta dada por la siguiente regla de correspondencia, descubrir su movimiento, sobre la base de x = x(t), v = v(t) y a = a(t), construyendo sus gráficas.

V t

t

t t

t t

( )

,

,

,

=≤ <

+ ≤ <− + ≥

2 0 4

1 4 8

2 8

26.- Una partícula se mueve en el espacio a lo largo de la trayectoria z = Ax2 + By3, de tal manera que

, ,x At y Bt= =2 2

en donde A y B son constantes. Para t = 0 la partícula pasa por el origen. Halle la posición, velocidad y aceleración de la partícula, como funciones del tiempo.

27.- Un partícula se mueve en el espacio a lo largo de la trayectoria x + y2 - 2z3 = bt2 y para t = 0: r = ci + 3j - 2k ; v = di + 5j + k ; a = 10i + 2j + 3k en donde b, c y d son constantes. Determine estas constantes.

28.- Un cohete asciende verticalmente a partir de la Tierra. La aceleración ascendente, medida en km/s2, puede expresarse como: ,y at= en donde a es una constante y t está en segundos. Suponiendo que ya se ha tomado en


2s

ma

10

0 5 15 20 t(s)

7


cuenta la acción de la gravedad, hallar la altura del cohete cuando t = 10 segundos, dado que a = 0,3.

29.- La velocidad angular del vector de posición de una partícula que se mueve sobre una superficie plana, está dada por w = 4t 3 - 12t2, en donde w está en rad/s, y t en segundos. Cuando t = 0, la partícula parte del reposo desde la posición en que θ = -3 rad. Determinar: (a) la aceleración angular, (b) el desplazamiento angular, y (c) el ángulo total descrito entre t = 0 y t = 5 s.

30.- En una demostración de laboratorio del “tiro al coco”, la posición del coco

está expresada por el vector (h0 - 1

2gt2) j, mientras que la del proyectil,

apuntando hacia el coco cuando el tiempo es t = 0, es (-L + tu)i + [(h0tu/L) - (1

2gt2)]j. Demuestre que el proyectil y el coco siempre chocan y determine el

instante en el que esto sucede. Exprese el vector desplazamiento del coco en relación con el proyectil.

31.- Se suelta una bolsa desde un globo. Su altura está descrita por la fórmula h = H-tu - (u/B) e-Bt. ¿Cuáles son las velocidades cuando t → ∞? Calcule las aceleraciones cuando t = 0 y t = ∞.

32.- Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana de un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un blanco a 8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja la pelota en dirección horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?,(b) ¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, en un ángulo de 29º con respecto a la horizontal? ,(c) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota volando en el caso (b)?

33.- Un malabarista puede manejar cuatro pelotas al mismo tiempo. Se tarda 0,5 s en pasar cada pelota de una mano a otra, arrojarla y estar listo para atrapar la siguiente. (a) ¿Con qué velocidad debe arrojar cada pelota hacia arriba? (b) ¿cuál es la posición de las otras tres pelotas cuando acaba de atrapar la cuarta? (c) ¿qué altura deben alcanzar las pelotas para manejar cinco?

34.- La trayectoria de un proyectil está descrita por la ecuación de la parábola

,)(cos2 0

2

02

0

xtanxv

gy θ

θ+−=

en donde v0 es el ángulo de inclinación con respecto a la horizontal, cuando x = y = 0. Deduzca las ecuaciones para la altura máxima y la distancia horizontal máxima.



35.- Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria elíptica x2/a2 + y2/b2 = 1 de tal manera que su rapidez es una constante v(figura.) Halle la velocidad de la partícula.

36.- La aceleración de una partícula que cae a través de la atmósfera está definida por la relación a = g(1 - k2v2). Sabiendo que la partícula parte de reposo t = 0. a) Muestre que la velocidad en el tiempo t es v = (1/k) tan h(kgt), b)Escriba una ecuación que defina la velocidad de la partícula para cualquier valor de la distancia x que haya caído, c) ¿Por qué? V t = 1/k se llama velocidad terminal?.

37.- La aceleración de la gravedad a una altura y sobre la superficie de la tierra

puede expresarse como:2

61037.61

81.9

+

−=

x

ya

donde a se mide en

m/s2 , y en metros. Usando esta expresión calcule la altura alcanzada por una bala disparada verticalmente hacia arriba sobre la superficie de la tierra con las siguientes velocidades iniciales: a) 200 m/s, b) 2000 m/s y c) 11.18 km/s.

38.- El registro de aceleración aquí mostrado se obtuvo de un avión pequeño que viaja en línea recta. Si x = 0 y v = 60 m/s en t = 0, determine: a) la velocidad y la posición del avión para t = 20s y b) su velocidad promedio durante el intervalo 6s < t < 14s.


y

b v O a x

P

y

a(m/s2) 0.75

0 6 8 10 12 14 20 t(s)-0,75

9


39.- Una pelota lanzada a una plataforma en A rebota con velocidad v0 a un ángulo de 70º con la horizontal. Determínese el intervalo de valores de v 0

para el cual la pelota entrará por la abertura BC.

40.- a) Demuestre que la aceleración tangencial y normal de una partícula que se mueve sobre una curva en el espacio se da por d2s/dt2 y k(ds/dt)2

donde s es la longitud del arco de la curva medida desde algún punto inicial y k es la curvatura.

b) Halle la tangente unitaria T

c) La normal principal N

d) El radio de curvatura R e) La curvatura kf) La magnitud de la aceleración tangencial y la magnitud de la aceleración

normal de la curva en el espacio x = t, y = t2/2, z = t.

41.- El vector de posición de una partícula móvil a lo largo de una curva, esta dado por:

r = a θ i + b cos θ j + b sen θ R donde a, b, c son constantes.

Halle el radio de curvatura por dos métodos diferentes, (deducir previamente las relaciones que usa).

42.- Un objeto que parte del origen tiene un movimiento parabólico y se mueve con a = (3,4,5) m/s2 y velocidad en t = 0 de V = (-1,5,2) m/s.a) Demuestre que el movimiento tiene lugar en un planob) Halle la ecuación vectorial de dicho planoc) Halle la ecuación cartesiana del plano de movimiento

43.- Una partícula se está moviendo a lo largo de una parábola y = x2 de modo que en cualquier instante vx = 3m/s. Calcule la magnitud y la dirección de la velocidad y la aceleración de la partícula en el punto x = 2/3m.

44.- La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una circunferencia esta descrita por s(t) = 9t2 -3t + 2, donde “S” es la distancia medida en metros, recorrida por la partícula a lo largo de su trayectoria a partir de un origen conveniente y “t” es el tiempo en segundos. Halle la magnitud de la aceleración “a” en el instante en que la magnitud de la aceleración normal es de 24 m/s2.


C

2 v0 B

3 A 70º

2.5

10


45.- Un móvil es disparado desde P0 sobre el plano 3x - 2y + 5z = 38. P0 es el punto de intersección de la recta perpendicular al plano y que pasa por el origen de coordenadas. La velocidad inicial del móvil es v0 = 38m/s siguiendo la dirección perpendicular al plano. Calcule:a) El instante en que el móvil impacta con el plano XYb) La ubicación del punto de impactoc) La velocidad cuando z = 0d) La ecuación del plano del movimientoe) ¿Cómo puede modificar los puntos para simplificar los cálculos?

46.- Si se lanza una pelota desde el punto P0(1,0,3) con velocidad V0 = (3,4,5), halle la ecuación cartesiana del plano de la trayectoria, considere

g = -10

K m/s2. Ahora imagine que una persona intercepta la pelota en z = 3 viajando directamente desde P1 = (-2, 5, -1), halle la dirección que siguió la persona y la longitud que recorrió.

47.- Dada la gráfica de la aceleración en función del tiempo y las condiciones iniciales siguientes x = 0m, para t = 0, v = 20 m/s, para t = 20 s, construir las correspondientes gráficas de la posición en función del tiempo y de la velocidad en función del tiempo.

48.- En la figura, el bloque B se mueve hacia la derecha con una rapidez de 3m/s, la cual disminuye a razón de 0,3 m/s2 y el bloque C esta fijo. Determine la velocidad y la aceleración del bloque A.

49.- El vector de posición de una partícula esta dado por: r = 3t2 i + 6t j +t3 k en donde t está en segundos y r en metros.a) Exprese la velocidad y la aceleración en componentes tangencial y

normalb) Halle el radio de curvatura en t = 2 s.

50.- Dos puntos P y Q tienen vectores de posición en un marco de referencia dados por r0p = 50t i (metros) y r0q = 40 i -20t j . Encuentre la distancia mínima entre P y Q y el tiempo en que esto ocurre.


a (m/s2) 5

0 20 30 40 50 t(s)

-10

A B C

11


51.- La figura adjunta representa a un campesino irrigando un sistema de andenes, indicados por rayas horizontales, separados 3 m; la pendiente del cerro esta dado por α = 30º : a) El campesino desea averiguar cuantos andenes podrá irrigar con v0

= 15 m/s y β variando de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m de “0”.

b) Encuentre el valor de β que nos permita irrigar el máximo número de andenes. ¿Cuál es ese número máximo?. Tome

g = -10 j m/s2.

52.- En un instante dado los siguientes datos del cohete son obtenidos por un radar: θ = 60º, θ = 0,03 rad/s. ( θ aumentando), θ = -0,001

rad/s2; ( θ = disminuyendo), r = 7000 m, r = 800 m/s, y r = 50 m/s2.

Calcule la magnitud de la velocidad y aceleración del cohete, a) En coordenadas polares,b) En coordenadas rectangulares

53.- Un punto se mueve sobre una trayectoria con un vector de posición dado en función del tiempo por r0p = sen 2t i + 3t j + e6t k , en metros, cuando t está en segundos. Obtenga:a) La velocidad del punto en t = 0


y

0v

A

R

β α0 x

y

r θ x

y

x

y = 5

12

x - 6

12


b) Su aceleración en t = π/2s

c) La componente del vector velocidad, en t = 0, que es paralela a la recta l

en el plano XY dado por y = 5

12

x - 6 mostrada en la figura.


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