cap1 cinemática de una partícula

Cuaderno de Actividades: Física I

1) Cinemática de una Partícula

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 1


1) Cinemática de una Partícula

Fenómeno Movimiento

… Teoría de la relatividad (TR)…A Einstein

En la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar lo siguiente,

a) El observador, referencia, O

Descriptor del movimiento

“La trayectoria es función del estado del observador”, (O)

Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, tal como se muestra a continuación,

Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

O

1° 2°

O (reposo) O’ (v=cte)

’

2


b) El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la componente trasnacional.

Modelo de Partícula:

Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimiento usando las cantidades cinemáticas (cc):

: vector posición : vector velocidad : vector aceleración

1,1) Cantidades Cinemáticas, cc

i) Vector Posición,

Describe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la cinemática,

Vector desplazamiento, : Describe como cambia la ,


Móvil P

3


ti tf : t = tf - ti

ii) Vector velocidad,

Describe los cambios de la posición respecto del t,

Definición de Vector velocidad media,


tan

sec

4


Definición de rapidez,

: rapidez

¿? Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del tiempo” de Stephen Hawking.

¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de “Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.

¿? Cual es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y propalador de las ciencias.

iii) Vector Aceleración,

Describe los cambios de la velocidad respecto del t.

¿? Será importante definir . Existirá alguna rama de la tecnología

donde interese conocer esta cantidad.

1,2) Tipos de Movimientos

i) Movimiento Rectilíneo, MR



Definición: ()

j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU

k) Condición

kk) Ecuaciones

l)

II)



kkk) Graficas

l) v-t

A(t)=x(t)

ll) x-t

No da información cinemática


v

A 0 t

x

A 0 t

7

x(t)

v

x0

A


jj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

k) Condiciones

kk) Ecuaciones

l)

II)

IlI)



kkk) Gráficas

l) a-t

A(t)=v(t)


a

A 0 t

9

x(t)

v(t)

x0

A

a(t)


ll) v-t

A(t)=x(t)

lll) x-t

A: no proporciona información cinemática.

jjj) Movimientos Generales

a a(t) v v(t) x x(t)

de v

a a(t) : “fácil”

a a(v) : Regla de la cadena, definición de diferencial exacta o cambio de variable

a a(x) : Idem

de


v

A 0 t

x

t

10


x = x(t)

¿? Encuentre casos reales donde la aceleración dependa de la velocidad o posición.

S1P14) La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X esta dada por x = t3 - 12t2 + 36t + 30 con x en metros y t en segundos. Determine:

a) La velocidad media entre 2 s t 6 s.b) La aceleración media entre 0 s t 4 s.c) Los intervalos de tiempo de movimiento desacelerado. d) Los intervalos de tiempo de movimiento acelerado.

Solución:

x(t) = t3 -12t2 +36t + 30

a) vm :2 6

?

b) am : 0 4

?

c) d)


P

0 X(t) x

11


Movimientos acelerados:

DEF:

Movimientos desacelerados:

DEF:


v + a +

0 x

v - a +

x v + a -

a v

a

v + - - + t

0 2 4 6

12


v v(t) P

c)

d)

ii) Movimientos Planares o Bidimensionales

Las trayectorias están contenidas en un plano.

2 ()

j) Movimiento Parabólico, MP

Caso .

Los movimientos parabólicos con aceleración constante son determinados cuando la v(0) no es paralela a la . El plano del movimiento es determinado por los vectores velocidad inicial y aceleración . El eje de la parábola es


v

4 t

2 612

13


paralelo a la . Estos movimientos también presentan simetría de rapideces y tiempos a un mismo nivel.

y : simplifica la descripción:

x : MRU ax 0y : MRUV ay = a g (por lo general)

Esto es debido al “carácter” vectorial de la Física Cinemática.

Mov Parab MRUx “+” MRUVy

MRUVx “+” MRUVy (caso general, x e y en cualquier dirección)

Simetrías


y Z

A A’

ta td P

0 x 0 Y

X

P

14


Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje

Para todo nivelva vd

ta td

Aplicación importante del MP: Movimiento de proyectiles

Como ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores a 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectiles constituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos de investigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos por motivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2 guerras mundiales así como en la conquista del espacio…

El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros como tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos la siguiente geometría,


y Z

0 x 0 Y

X

15


i) Tiempo de vuelo, tv

ii) Alcance o Rango, R

iii) Altura máxima, H

¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en la naturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas.

¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de cte se desarrollan en el universo.

¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.

¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería con la carrera espacial.

¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería: Werner von Braun- Pedro Paulet.

¿? 2009: Año internacional de la astronomía.

¿? Asteroide 2009 DD45: eventos de colisión-extinción.

S1P16) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una rapidez inicial v0 directamente hacía una colina, cuyo ángulo de elevación es ¿cuál será el ángulo respecto de la horizontal al que deberá apuntarse el cañón, para obtener el mayor alcance R posible a lo largo de la colina?


R v0

16


Solución:

/ Rmáx =?

x, y P: y a + bx + cx2

x: MRU

x(t) x(0) + vx (0) t x 0 + v(0) cos t …. (1)

y: MRUV

y(t) y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2 , = 10, y 0 + v(0) sen t t2 …. (2)

De (1):

…(1’)

1’ 2:


y

P

R

(0)

0 x

17


P:

P – P: xp Rcos yp Rsen

Rsen tg Rcos - g R 2 cos 2 2v2(0)cos2

II I



¿? Evalúe para v(0)= 50, ¿? Resuelva el problema asumiendo un sistema con eje x sobre la colina. ¿? Es más simple.

jj) Movimiento Circular, MC

La trayectoria será de una circunferencia.

Y t n R t s x t=0

0

La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o , esto es, usando variables lineales o angulares.

k) Cantidades Cinemáticas del MC



l) Posición

m) Lineal: s= s(t)

mm) Angular: =(t)

mmm) Relación: s= R

ll) Velocidad

m) Velocidad Lineal, v=vt

La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,

mm) Velocidad Angular,

Describe los cambios de respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,

u[]= rad/s

mmm) Relación entre v y

lll) Aceleración

m) Aceleración, a

El vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas, tales como la radial y la tangencial, resultando,



A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración centrípeta, acp.

mm) Aceleración Angular,

Describe los cambios de la respecto del tiempo,

u[]= rad/s2

mmm) Relación entre at y

kk) Tipos de movimientos Circulares

Al igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV o generales.

¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.

¿? Los planetas hacen MC.

jjj) Movimientos Planares Generales: Coordenadas Polares (r,)

Este sistema se usa para describir movimientos planares ( MC). En particular es usado para los movimientos planetarios.



r,

,

¿?

k) Cantidades cinemáticas en (r,)

l)

ll)


y

t

y

r

j

i x x

22


iii)

¿? Aplicación de las coordenadas polares al movimiento planetario.

¿? En particular el movimiento de la Luna es problema CAOS. Leer “El reloj de Newton”.

kk) Movimiento Circular en (r,)

r R cte!

i)

ii)



iii)

S1P17) Una partícula se mueve en un plano sobre una trayectoria dada por , en donde está en metros, en radianes y t en

segundos, a) Describa el movimiento, b) Halle el vector velocidad por derivación directa de , c) Como la distancia sobre la

trayectoria es s = r, halle la celeridad hallando ds/dt. ¿Tiene el mismo valor que el módulo de hallado en la parte (b)?, d) Halle el vector aceleración en función de los vectores unitarios .

Solución:

= 2t

a)

b)

c) MC: s, variable lineal!

s vt at

, variable angular

,

MC MC (variables lineales, v angulares)

s Rvt Rat R



d)

…

,

S1P11) Un punto M tiene durante su movimiento dos velocidades constantes en modulo. La primera permanece siempre perpendicular al eje X y la segunda perpendicular al radio vector. Halle la ecuación de la trayectoria si parte del punto (r0, 0) y calcule la aceleración de M.

Solución:


y M

V2

r V1

0 x

y

M V1r v1

V2 V1

x

25


a) Ec / t 0 : (r0, 0)?

b) aM ?--------------------------------

a) Descomponiendo las velocidades en el sistema polar, tenemos

Ahora, comparando componentes,

r : … (I)

…(II)

En I aplicando regla de la cadena:

Despejando de II y reemplazando,

Separando variables para poder integrar,

Aplicando ci para determinar c:



b) Para la a de M,

De II,

iii) Movimientos Espaciales: Caso General

Los casos generales de movimiento podrían considerarse en el espacio.Por muy complicado que parezca siempre es posible, usando el Principio de Superposición, expresarlo en función de movimientos mas sencillos, de ello ya hemos revisado algunos casos, por ejemplo,

MP MRUx + MRUVy

M Helicoidal MRUz + MCxy

M Cicloidal MRUxy + MCxy

¿? Podría indicar 3 casos similares. Cree que es un tema de simetría.

La descripción del movimiento debe efectuarse usando un sistema de coordenadas que comparta la simetría del movimiento.



x, y, z Rectangulares r, Polares , , z Cilíndricas r, , Esféricas s Coordenada de sobre la curva, vectores tangencial, normal y binormal.

De no ser así, el desarrollo también ya se ha descrito,

Regla de la cadena Diferencial exacta Cambio de variable

Sistema de coordenadas sobre la curva

Es el sistema general. Este sistema que “viaja” con el móvil, está definido por la llamada coordenada sobre la curva s, y los vectores, , tangente unitario, , normal principal, y , binormal, los cuales son mutuamente perpendiculares.

i)

ii) , en la dirección de

iii)

tangente unitario



= 1

derivando respecto a s

; R: radio de curvatura

¿? Que información da la binormal.

¿? Podría construir ecuaciones para el radio de curvatura.


P

O R =

: curvatura

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S1P21) Un muchacho en A arroja una pelota directamente a una ardilla parada sobre una rama en B. Si la rapidez inicial de la pelota es de 16 m/s y la ardilla, en vez de asustarse, se deja caer del reposo en el instante en que se lanzo la pelota, demuestre que la ardilla puede atrapar la pelota y determine la longitud h que la ardilla cae antes de hacer la captura.

Solución:


B

h

A 5.5 m

1.5 m

10 m

30


t 0: Pelota en A y Ardilla en B

“directamente” hacia B:

Sea t: Pelota en C y ardilla en C

Usando xy en A:

Para la pelota,


B

h g H2 - H1 v(0) Cy A H2

x H1

A’ D

31


Para la Ardilla,

a) Como en t la ardilla puede coger la pelota!

b)

¿? Será posible resolverlo rápidamente usando la Ec de la parábola.

S1P) La aceleración de un móvil, en función de su posición, está dada por: a(x) = 3x – 2x3; para t = 0 se cumple que x = 0 y v = 0. Halle: (a) su velocidad cuando x = 0,5, (b) su posición cuando su velocidad es máxima, (c) la aceleración para esta velocidad máxima.

Solución:



a) b) c) ?

a)

b)

Aparentemente, el movimiento se realiza desde x=0 hasta

regresando a y permaneciendo allí t posterior. Este problema es inconsistente desde su planeamiento: t 0, a 0, v 0 x 0?! Si se le da

cierta ,

* ¿? La partícula “mágicamente” se empieza a mover hacia la derecha (+)s hacia la izquierda (-)s.

** ¿? Analizar mediante gráficos.



c)

S1P) Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana de un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un blanco a 8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja la pelota en dirección horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?, (b) ¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, con un ángulo de 29º con respecto a la horizontal?, (c) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota volando en el caso (b)?

SOLUCION:

a)

b)


Y g, g 10

v(0) 0 =A X

10

B(8,-10) 8

34


c)

S1P) Se lanza un objeto (Mov. Parabólico) de forma que pasa justamente sobre dos obstáculos cada uno de 11,35 m de altura y que están separados por la distancia horizontal de 52 m. Calcule el alcance horizontal total (R=X) y la velocidad inicial (V0) de lanzamiento sabiendo que el tiempo empleado en recorrer el espacio entre los 2 obstáculos es de 2,6 segundos. (g=9,8 m/s2)

SOLUCION:

Y

g= 9,8

H v’0y v’0 D’ d B’ C’ 11,35 v0

v0y

X 0 b B C b A 52

Del MP de B’ a C’: Como

Y:

Del MP de 0 a B’:

Y:

Del MP de B a C: Asumiendo “0” en B,

X:



a) De la ecuación del rango,

b)

S1P) En la grafica mostrada dos móviles son lanzados simultáneamente, y chocan en el punto “M”. Si el que sale de A lo hace con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de 37°, ¿Cuál debe ser el ángulo y velocidad de lanzamiento del móvil que sale de B? (9,8 m/s2)

SOLUCION:

Como el movimiento de los móviles es simultaneo, , y usando el sistema 0XY mostrado,

Y


M

va vb

37° A 80 m 60 m B

36


X

Para el móvil A,

Para el móvil B,

Usando

a) De

b) De la ecuación

S1P) Una bola es lanzada del origen de coordenadas con una velocidad inicial de v0

= 50 m/s. Si transcurridos 3 s alcanza su altura máxima, halle el punto del plano (x,y) donde se encuentra la bola transcurridos 4 s después de su lanzamiento.

SOLUCION:

Describamos el problema mediante el siguiente grafico,


M g

va vb

37° A 80 m 60 m B

37


Del calculamos el ángulo : como alcanza su altura máxima e 3 s, el

,

S1P) ¿Cuál es el ángulo de elevación del lanzamiento de un proyectil para que su alcance sea el doble que su altura máxima?

SOLUCION:


y

v (0) t=3 t 4

? Qt0

0 x

38


S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez de 40 m/s, haciendo un ángulo de 37º, desde la azotea de un edificio de altura H, impactando en el suelo a una distancia de 160 m, medida desde la base del edificio. Halle la altura máxima alcanzada por el cuerpo con respecto al piso.

SOLUCION:

De la grafica adjunta, representando al punto de impacto con el piso, P=P (160,-H), y reemplazarlo en la ecuación de la parábola para hallar H,

Ahora, en el MP de 0Q, hallamos la altura máxima,


y v(0)

37º h 0 Q 160

X

H

piso P(160,-H)

-H

39


S1P) Se lanza un cuerpo con una rapidez v(0)=20 m/s, haciendo un ángulo de 53º, desde la azotea de un edificio de altura 20 m, impactando en el suelo a una distancia d, medida desde la base del edificio. Halle la distancia d y la altura máxima alcanzada por el cuerpo con respecto al suelo.

SOLUCION:

a) Usando el eje Y para calcular el tiempo de movimiento, t,

,

Ahora usando X para hallar d,

b) Ahora, en el tramo de ascenso, usamos,


y v(0)vy(0)

t=0 53° d

0 X

d P(d,-20)

-20 t=t

40


S1P) Europa, la Luna de Júpiter, tiene un radio orbital de 6,67 x 108 m y un periodo de 85,2 h. Calcule la magnitud de a) la velocidad orbital, b) la velocidad angular y c) la aceleración centrípeta de Europa.

SOLUCION:

b)

a)

c)

S1P) Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los extremos de un diámetro AB y en los sentidos indicados en la figura. Si giran con periodos TA = 25 segundos y TB = 30 segundos respectivamente, calcular al cabo de que tiempo logran cruzarse por segunda vez.

SOLUCION:


A

B

A

AB

B1° t1

B AB A t1

AB B

A

t1

41


S1P) En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas en un minuto y otro sólo 2 vueltas en un minuto. Si ambos parten de dos puntos diametralmente opuestos y avanzan uno al encuentro del otro ¿en qué tiempo s encontraran y que porción de circunferencia habrá recorrido cada uno?

SOLUCION:

A:

B:

a)

b)


AB B t0 B

A

0 A

42


¿? Completar el siguiente problema…

S1P51) La figura adjunta representa a un campesino irrigando un sistema de andenes, indicados por rayas horizontales, separados 3 m; la pendiente del cerro esta dado por = 30º : a) El campesino desea averiguar cuantos andenes podrá irrigar con v0 = 15

m/s y variando de 30º a 45º.Considere que el primer andén dista 3 m de “0”.

b) Encuentre el valor de que nos permita irrigar el máximo número de andenes. ¿Cuál es ese número máximo?. Tome

g= -10 jm/s2.

SOLUCION:


y -gsen g x P A

R 0 x

43


..…()

b) de lo anterior 60º

En () :

Podrá irrigar 5 ANDERES

a) En () usando 45º

Solo podrá irrigar 3 ANDERES

* Hacer la variante de calcular R con x’


cap1 cinemática de una partícula

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