oscilaciones, ondas y termodinÁmica … · 1.1 cinemática del movimiento armónico simple....

Osc. Ondas y Termodinámica

OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA

MÓDULO 1: OSCILACIONES

Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté


Módulo 1: Oscilaciones

Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)

1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.

(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)

1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo

de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.

Lección 2. Oscilaciones amortiguadas

2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones

amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y

sobreamortiguamiento.

Lección 3. Movimiento Armónico Forzado

3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.

Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.

3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.

3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura

de la resonancia.

Lección 4. Superposición de varios MAS

4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.

4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.

4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.

4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.


En la naturaleza hay muchos sistemas que realizan movimientos armónicos o periódicos (que se repiten):



En la naturaleza hay muchos sistemas que realizan movimientos armónicos o periódicos (que se repiten):

Estudiar la cinemática (ec. del mov.)y la dinámica de estos movimientos

Objetivo:



1.1 Cinemática del movimiento armónico simple.

Quiero encontrar las ec. del movimiento (x(t), v(t) y a(t))




http://www.youtube.com/v/BRbCW2MsL94&rel=1






El MAS es la proyección sobre un eje de un MCU





x t =A cos t

A : amplitud del mov.(ωt +ϕ) : fase del mov. ω : frecuencia angular ϕ

: fase inicial

: frecuencia del mov.

: periodo del mov.

f=

2

T=1f

Posición del MAS


El MAS es la proyección sobre un eje de un MCU




Posición, Velocidad y aceleración del MAS (x(t), v(t) y a(t))

x t =A cos t

Posición




x t =A cos t

Posición

v t =dxdt

=− A sin t

Velocidad vmax




x t =A cos t

Posición

v t =dxdt

=− A sin t

a t =dvdt

=− A2 cos t

Velocidad

Aceleración

vmax

amax




x t =A cos t

Posición

v t =dxdt

=− A sin t

a t =dvdt

=− A2 cos t

a t =−2 x t

Velocidad

Aceleración

La ac. es proporcional yopuesta al desplazamiento.

vmax

amax




x t =A cos t

Posición

v t =dxdt

=− A sin t

a t =dvdt

=− A2 cos t

a t =−2 x t

Velocidad

Aceleración


También se cumple que:

xA=cos t

v− A

=sin t

x2

A2

v2

2 A2

=1

A= x2

v2

2 Relación generalentre a, x y v.

vmax

amax




x t =A cos t

Posición

v t =dxdt

=− A sin t

a t =dvdt

=− A2 cos t

a t =−2 x t

Velocidad

Aceleración


También se cumple que:

xA=cos t

v− A

=sin t

x2

A2

v2

2 A2

=1

A= x2

v2

2 Relación generalentre a, x y v.

tan =v0

− x0

(para t=0)

vmax

amax



x t =A cos t

v t =− A sin t

a t =− A2 cos t

A=x2v2

2

tan =v0

− x0

f =

2

T=1f

Ejercicio: Una partícula realiza un MAS de amplitud A=5m y en t=0 su posición es x

0=-3m y su velocidad positiva. Cuanto vale la

fase inicial. Solución: 4.069 rad

Ejercicio: Una partícula realiza un MAS y se encuentra en el origen para t=0. Si su periodo es T=24s, cuanto tiempo ha de transcurrir hasta que la elongación sea la mitad de la amplitud.

Solución: 2 s

a=−2 x



Cuestión: Una partícula realiza un MAS y se encuentra en la posición x. ¿El tiempo que tardará en volver a la misma posición será igual a un periodo?. Razona la respuesta.

Cuestión: En un MAS, ¿es cierto que en algún momento la partícula tiene velocidad y aceleración nulas?. Razona la respuesta.

x t =A cos t

v t =− A sin t

a t =− A2 cos t

A=x2v2

2

tan =v0

− x0

f =

2

T=1f

a=−2 x



x t =A cos t

v t =− A sin t

a t =− A2 cos t

A=x2v2

2

tan =v0

− x0

Ejercicio: De un MAS conocemos la posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración inicial. Determina la amplitud del movimiento, su frecuencia, el periodo y la fase inicial.

Ejercicio: Una partícula realiza un MAS y en t1=16s su posición

velocidad y aceleración valen: x1=9.80cm, v

1=132cm/s y

a1=-4743.2cm/s2. Encontrar la expresión de x(t).

Solución: x=11.491 cos (22 t + 5.5922) en cm

f =

2

T=1f

a=−2 x



Ejercicio (prob 6): Una partícula está encima de un émbolo que realiza un MAS vertical de periodo T y amplitud A. Determinar qué condición deben cumplir T, A y g para que la partícula deje de estar en contacto con el émbolo y en qué posición pasará esto.

A g T 2

42Solución:

x t =A cos t

v t =− A sin t

a t =− A2 cos t

A=x2v2

2

tan =v0

− x0

f =

2

T=1f

a=−2 x

















de la resonancia.







1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.

Fuerza que da origen al MAS:

Sabemos que:

a t =−2 x t




Sabemos que:

a t =−2 x t F=m a=−m2 x

2ª ley de Newton




Sabemos que:

a t =−2 x t F=m a=−m2 x

2ª ley de Newton

Cte.




Sabemos que:

a t =−2 x t F=m a=−m2 x F=−k x

con k=m2 , = k

m

Fuerza recuperadoraelástica.2ª ley de Newton

Cte.




Sabemos que:


con k=m2 , = k

m


La ecuación diferencial del movimiento es:

F =− m 2 x = m x

Cte.




Sabemos que:


con k=m2 , = k

m



F =− m 2 x = m x

x 2 x = 0

x km

x = 0

Ec. dif. del MAS

Cte.




Sabemos que:


con k=m2 , = k

m



F =− m 2 x = m x

x 2 x = 0

x km

x = 0

Ec. dif. del MAS

• Si al aplicar la 2ª Ley de Newton sale esta ecuación, la partícula realizará un MAS.

• Su solución es:

• Obteniendo esta ecuación podremos obtener la frecuencia del movimiento, que es constante.

Problema tipo

x t =A cos t

Cte.


1.3 Ejemplos de MAS.

Ejemplo: sistema masa muelle.




F=−k xFuerza elástica




F=−k x2ª ley de Newton

F =− k x = m x

Fuerza elástica




F=−k x

= km

, f=1

2 km

2ª ley de Newton

F =− k x = m x

x km

x = 0

Fuerza elástica

Ecuación diferencial

Es la ecuación de un MAS con: T=2 m

k




F=−k x

= km

, f=1

2 km

2ª ley de Newton

F =− k x = m x

x km

x = 0

Fuerza elástica

Ecuación diferencial

Es la ecuación de un MAS con:

Ejercicio: una partícula de masa m=2kg está sujeta de un muelle de constante k=20 N/m alargado inicialmente una longitud x

0=5cm. Si en

el instante inicial la partícula tiene una velocidad v0=2 m/s hacia el

origen, calcular la frecuencia, periodo, amplitud y fase inicial del movimiento.

T=2 mk



Ejemplo: muelle vertical




Sabemos que la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio (y

0).





0).

Buscaré y0 y luego aplicaré la

2ª Ley de Newton en función de y'





0).



Posición de equilibrio:

∑ F =−k y0 m g = 0





0).




∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk





0).




∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk

2ª Ley de Newton:

∑ F =− k y m g= m y





0).




∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk

2ª Ley de Newton:

∑ F =− k y m g= m y

y= y ' y0

y= y '





0).




∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk

2ª Ley de Newton:

∑ F =− k y m g= m y

y= y ' y0

y= y '

− k y ' y0 m g= m y '





0).




∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk

2ª Ley de Newton:

∑ F =− k y m g= m y

y= y ' y0

y= y '

− k y ' y0 m g= m y '

− k y ' − k y0 m g = m y '




= km

, f =1

2 km

y ' km

y ' = 0

Es un MASalrededor de y

0

T=2 mk


0).




∑ F =−k y0 m g = 0 y0 =m gk

2ª Ley de Newton:

∑ F =− k y m g= m y

y= y ' y0

y= y '

− k y ' y0 m g= m y '

− k y ' − k y0 m g = m y '



Ejemplo: péndulo simpleEstá formado por una partículasujeta de una cuerda.



Ejemplo: péndulo simple

2ª Ley de Newton en la componentetangencial (angular).

∑ FT =− m g sin

Está formado por una partículasujeta de una cuerda.





∑ FT =− m g sin = m L

aT = R







aT = R

Para ángulos pequeños

sin ≈


f x ≈f x0 d fdx ∣x 0

x−x0 12

d2 f

dx2 ∣x0

x−x02 ...

Desarrollo en serie de Taylor






aT = R


sin ≈− m g = m L


f x ≈f x0 d fdx ∣x 0

x−x0 12

d2 f

dx2 ∣x0

x−x02 ...





= gL

, f =1

2 gL

, T=2 Lg

gL = 0

Es un MAS con:



aT = R




Desarrollo en serie de Taylor f x ≈f x0

d fdx ∣x 0

x−x0 12

d2 f

dx2 ∣x0

x−x02 ...




= gL

, f =1

2 gL

, T=2 Lg

gL = 0

Es un MAS con:



aT = R



Ejercicio: determinar el error relativo que se comete con la aproximación para θ=0.1 rad (5.7º) y θ=0.8 rad (45º)sin ≈

Solución: 0.17% y 12%


Desarrollo en serie de Taylor f x ≈f x0

d fdx ∣x 0

x−x0 12

d2 f

dx2 ∣x0

x−x02 ...



Ejemplo: péndulo físico (o compuesto)Está formado por un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo (O).



Ejemplo: péndulo físico (o compuesto)

Ecuación dinámica de la rotación (suma de momentos).

∑ M O =− m g D sin = IO

Está formado por un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo (O).





∑ M O =− m g D sin = IO Para ángulos pequeños

sin ≈− m g D = IO





= mg DI O

, f =1

2 m g DIO

, T=2 IO

m g D

m g D

I O

= 0Es un MAS con:








= mg DI O

, f =1

2 m g DIO

, T=2 IO

m g D

m g D

I O

= 0Es un MAS con:




Ejercicio: con qué periodo oscilará un disco de radio R y masa M que oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por su periferia?


T=2 3 R2 gSolución:



Ejemplo: péndulo de torsión• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)



Ejemplo: péndulo de torsión• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)

• Frente a la torsión, la barra presenta un comportamiento elástico (ley de Hooke):

M =− κ: cte. de torsión



Ejemplo: péndulo de torsión

Ecuación dinámica de la rotación del SR (suma de momentos).

∑ M O =− = IO = IO

• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)





Ejemplo: péndulo de torsión

=

I O

, f =1

2

IO

, T=2 IO

IO

= 0 Es un MAS con:

Ecuación dinámica de la rotación del SR (suma de momentos).

∑ M O =− = IO = IO

• Está formado por un SR unido a una barra sometida a torsión (cizalla)





Ejemplo: Asociación de muelles en paralelo (prob. 4).




x

− k1 x

− k2 x




2ª ley de Newton

∑ F =− k1 x−k2 x = m a

x

− k1 x

− k2 x




2ª ley de Newton

∑ F =− k1 x−k2 x = m a

− k1 k2 x = m x

x

− k1 x

− k2 x




x k1 k2

mx = 0

2ª ley de Newton

∑ F =− k1 x−k2 x = m a

− k1 k2 x = m x

• Se comporta como un muelle de constante equivalente k

eq = k

1 + k

2

x

− k1 x

− k2 x




= k1 k2

m, f =

12 k1 k2

m, T=2 m

k1 k2

x k1 k2

mx = 0

Es un MAS con:

2ª ley de Newton

∑ F =− k1 x−k2 x = m a

− k1 k2 x = m x


eq = k

1 + k

2

x

− k1 x

− k2 x




= k1 k2

m, f =

12 k1 k2

m, T=2 m

k1 k2

x k1 k2

mx = 0

Es un MAS con:

2ª ley de Newton

∑ F =− k1 x−k2 x = m a

− k1 k2 x = m x


eq = k

1 + k

2

Ejercicio: Determinar la keq del sistema de muelles:

Solución: keq

= k1 + k

2

x

− k1 x

− k2 x



Ejemplo: Asociación de muelles en serie

x1 x2




x1 x2

• Los dos muelles están sometidos a la misma fuerza

x





F =− k1 x1

F =− k2 x2

x1 x2

x





F =− k1 x1 x1 =−Fk1

F =− k2 x2 x2 =−Fk2

x1 x2

x





F =− k1 x1 x1 =−Fk1

F =− k2 x2 x2 =−Fk2

x = x1 x2 =−F 1k1

1k 2

x1 x2

x





F =− k1 x1 x1 =−Fk1

F =− k2 x2 x2 =−Fk2

x = x1 x2 =−F 1k1

1k 2 F =− k1 k2

k1k2 x

x1 x2

x

• Se comporta como un muelle de k

eq :

k eq = k1 k2

k1k2

1keq

=1k 1

1k 2





F =− k1 x1 x1 =−Fk1

F =− k2 x2 x2 =−Fk2

x = x1 x2 =−F 1k1

1k 2

F =− k1 k2

k1k2 x = m x

F =− k1 k2

k1k2 x

• Aplicando la 2ª Ley de Newton:

x1 x2

x

• Se comporta como un muelle de k

eq :

k eq = k1 k2

k1k2

1keq

=1k 1

1k 2




x 1m k1 k2

k1k2 x = 0

MAS


F =− k1 x1 x1 =−Fk1

F =− k2 x2 x2 =−Fk2

x = x1 x2 =−F 1k1

1k 2

F =− k1 k2

k1k2 x = m x

F =− k1 k2

k1k2 x

• Aplicando la 2ª Ley de Newton:• Se comporta como un muelle de k

eq :

k eq = k1 k2

k1k2

1keq

=1k 1

1k 2

x1 x2

x




x 1m k1 k2

k1k2 x = 0

MAS


Ejercicio: Si partimos un muelle de constante k por la mitad, la constante elástica que tendrá cada uno de los trozos es:

F =− k1 x1 x1 =−Fk1

F =− k2 x2 x2 =−Fk2

x = x1 x2 =−F 1k1

1k 2

F =− k1 k2

k1k2 x = m x

F =− k1 k2

k1k2 x

• Aplicando la 2ª Ley de Newton:• Se comporta como un muelle de k

eq :

k eq = k1 k2

k1k2

1keq

=1k 1

1k 2

Sol. k' = 2 k

x1 x2

x



Ejercicio (prob. 12): Una barra de masa m y longitud 2L esta unida a un muelle de constante k y articulada por su punto medio como muestra la figura. Si la barra está en equilibrio en la posición indicada, determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones.

Solución: T=2 m3k

Ejercicio (prob. 10): Un alambre homogéneo de masa m y longitud L se dobla por la mitad formando un codo de 60º. Si se coloca el codo sobre un eje horizontal de forma que el alambre realiza oscilaciones en un plano vertical, ¿cuánto valdrá el periodo del movimiento?.

Solución: T=23 23

Lg

















de la resonancia.







1.4 Energía potencial elástica.

La fuerza elástica es conservativa por lo que podemos obtener su función energía potencial:

F =−dUdx




F =− k x =−dUdx

F =−dUdx




F =− k x =−dUdx

U =∫ k x dx =12

k x2 C

F =−dUdx




Energíapotencialelástica

F =− k x =−dUdx Tomando U=0

para x=0 → C=0 U =12

k x2

F =−dUdx

U =∫ k x dx =12

k x2 C






para x=0 → C=0U =∫ k x dx =

12

k x2 CU =

12

k x2

F =−dUdx







12

k x2 CU =

12

k x2

Y para la energía cinética:

F =−dUdx







12

k x2 CU =

12

k x2


E = EC U =12

k A2

F =−dUdx







12

k x2 CU =

12

k x2


E = EC U =12

k A2

EC =12

k A2 −12

k x2

12

k x2

F =−dUdx







12

k x2 CU =

12

k x2


E = EC U =12

k A2

EC =12

k A2 −12

k x2

12

k x2

E. cinética del MAS

F =−dUdx

EC =12

k A2 − x2







12

k x2 CU =

12

k x2


E = EC U =12

k A2

EC =12

k A2 −12

k x2

12

k x2

EC =12

k A2 − x2

E. cinética del MAS

F =−dUdx



También podemos encontrar estas energías en función del tiempo:

Energía potencial del MAS

U =12

k x2





U =12

k x2

U t =12

k A2 cos2 t





U =12

k x2

Energía cinética del MAS

U t =12

k A2 cos2 t





U =12

k x2


U t =12

k A2 cos2 t

EC =12

m v2





U =12

k x2


U t =12

k A2 cos2 t

EC =12

m v2

EC t =12

m2 A2 sin2

t





U =12

k x2


U t =12

k A2 cos2 t

EC =12

m v2

EC t =12

m2 A2 sin2

t

EC t =12

k A2 sin2 t

k





U =12

k x2


U t =12

k A2 cos2 t

EC =12

m v2

EC t =12

m2 A2 sin2

t

EC t =12

k A2 sin2 t

U y EC oscilan con

una frecuencia 2f

k


1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo de U.

● Dada una fuerza conservativa, su curva de U(x) puede presentar mínimos locales (posiciones de equilibrio estable).




● Podemos aproximar U(x) cerca del mínimo por a una parábola.






U x≈U x1 d Udx

x1

x−x1 12 d2U

dx2 x1

x−x12 ...





x1 es un mínimo

Desarrollo en serie de Taylor k=Cte > 0

U x≈U x1 d Udx

x1

x−x1 12 d2U

dx2 x1

x−x12 ...





x1 es un mínimo


U x≈U x1 12

k x−x12

k=Cte > 0

U x≈U x1 d Udx

x1

x−x1 12 d2U

dx2 x1

x−x12 ...





x1 es un mínimo


U x≈U x1 12

k x−x12

k=Cte > 0

F =−dUdx

=− k x−x1

● Por lo tanto, la fuerza cerca del mínimo se puede aproximar por:

U x≈U x1 d Udx

x1

x−x1 12 d2U

dx2 x1

x−x12 ...





x1 es un mínimo


U x≈U x1 12

k x−x12

k=Cte > 0

El movimientoserá un MAS con:

F =−dUdx

=− k x−x1

● Por lo tanto, la fuerza cerca del mínimo se puede aproximar por:

= km

con : k= d2 Udx2

x1

U x≈U x1 d Udx

x1

x−x1 12 d2U

dx2 x1

x−x12 ...


1.6 Método de la conservación de la energía.

En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía: dE

dt=0



En algunos casos puede ser más fácil obtener la ecuación diferencial del movimiento estableciendo la conservación de la energía:

Ejemplo: sistema masa-muelle dE

dt=0




Ejemplo: sistema masa-muelle

E =12

k x2 12

m dxdt

212

m v2

dEdt

=0





E =12

k x2 12

m dxdt

2

dEdt

=12

k 2 xdxdt

12

m 2dxdt

d2 x

dt2= 0

12

m v2

dEdt

=0





E =12

k x2 12

m dxdt

2

dEdt

=12

k 2 xdxdt

12

m 2dxdt

d2 x

dt2= 0

Ecuacióndinámica del MAS

x km

x = 0

12

m v2

dEdt

=0





E =12

k x2 12

m dxdt

2

dEdt

=12

k 2 xdxdt

12

m 2dxdt

d2 x

dt2= 0


x km

x = 0

Ejemplo: péndulo físico

12

m v2

dEdt

=0





E =12

k x2 12

m dxdt

2

dEdt

=12

k 2 xdxdt

12

m 2dxdt

d2 x

dt2= 0


E =−m g h cos 12

I O d dt

2

x km

x = 0

Ejemplo: péndulo físicoEc rot. del SR

12

m v2

dEdt

=0





E =12

k x2 12

m dxdt

2

dEdt

=12

k 2 xdxdt

12

m 2dxdt

d2 x

dt2= 0


E =−m g h cos 12

I O d dt

2

dEdt

= m g h sin d dt

12

IO 2d dt

d 2

dt2=0

x km

x = 0

Ejemplo: péndulo físicoEc rot. del SR

12

m v2

dEdt

=0





E =12

k x2 12

m dxdt

2

dEdt

=12

k 2 xdxdt

12

m 2dxdt

d2 x

dt2= 0


E =−m g h cos 12

I O d dt

2

dEdt

= m g h sin d dt

12

IO 2d dt

d 2

dt2=0

x km

x = 0


≈

Ec rot. del SR

12

m v2

dEdt

=0





E =12

k x2 12

m dxdt

2

dEdt

=12

k 2 xdxdt

12

m 2dxdt

d2 x

dt2= 0


E =−m g h cos 12

I O d dt

2

dEdt

= m g h sin d dt

12

IO 2d dt

d 2

dt2=0

x km

x = 0

m g h

IO

= 0


≈

Ec. dinámica del MAS

Ec rot. del SR

12

m v2

dEdt

=0


Ejemplos de MAS.

Ejercicio (prob. 10): Un alambre homogéneo de masa m y longitud L se dobla por la mitad formando un codo de 60º. Si se coloca el codo sobre un eje horizontal de forma que el alambre realiza oscilaciones en un plano vertical, ¿cuánto valdrá el periodo del movimiento?. Calcularlo usando el método de la conservación de la energía.

Solución: T=23 23

Lg

Ejercicio: con qué periodo oscilará un anillo de radio R y masa M que oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por su interior?

Ejercicio: la curva de energía potencial de una fuerza en unidades del S.I es:

Determinar si existe una posición de equilibrio estable y el periodo de las pequeñas oscilaciones que realizaría una partícula de masa m=2kg alrededor de esta posición.

T=2 2 RgSolución:

U=5 x3−3 x2

2

x0=0.4m T=2

3sSolución:


Lección 1: Cuestiones MAS (contesta razonadamente).

1. Para un MAS es cierto que la energía cinética de la partícula es proporcional a la elongación al cuadrado.

2. Si en un MAS, v es la velocidad de la partícula y a y x su aceleración y elongación respectivamente, se cumple que:

3. La frecuencia de un MAS disminuye si aumenta su amplitud.

4. Una partícula no puede realizar un MAS alrededor de un mínimo de energía potencial ya que la fuerza es nula.

5. La energía cinética y la energía potencial de un MAS están desfasadas π radianes entre si.

6. La energía mecánica de un MAS es proporcional a su amplitud al cuadrado.

7. Toda partícula sometida a una fuerza conservativa realiza un MAS

8. Si una partícula realiza un MAS y en el instante inicial se encuentra en el origen, su fase inicial es nula.

9. Al cortar un muelle en dos trozos, la constante elástica de cada trozo será mayor que la constante del muelle original.

v=2a x


5.1. Conceptos básicos

Vector velocidad

● La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la partícula dividido entre en el tiempo empleado

● En una dimensión:

x

y

z

x

r t

r t =x t i y t jz t k

i

j

k

oscilaciones, ondas y termodinÁmica … · 1.1 cinemática del movimiento armónico simple....

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