cinemática de una partícula

MECNICA

CINEMTICA DE LA PARTCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILNEOA) MAGNITUDES FUNDAMENTALES FORMULARIO Ecuacin vectorial horaria (radio vector o vector de posicin): r = x (t) i + y (t) j + z (t) k Ecuaciones analticas de la trayectoria y ley horaria:f1 ( x , y, z ) = 0 f2 ( x , y, z ) = 0 s = s (t )

CAPTULO III

Velocidad media y vector velocidad media:v= Dv Dt v= Dr Dtdr dr = |dr| dsVector desplazamiento. Vector velocidad media.

Vector velocidad:v= dr . . = r = v x (t ) i + v y (t ) j + v z (t ) k = st dt

t =

t : es el vector unitario tangente a la trayectoria y es una funcin del tiempo.

z zr2 r1

dr = v (t) dtt1

t2

Vector aceleracin media: Vector aceleracin:

a=

Dv Dt

d 2r dv .. . a = r = v = a x (t ) i + a y (t ) j + a z (t ) k = 2 = dt dt

z zv2 v1

dv = a (t ) dtt1

t2

v y a pertenecen al mismo plano (plano osculador).

Problema III-1. La ecuacin vectorial horaria de una partcula que se mueve en un plano, viene dada en el SI por la expresin: r = (2t 2 1) i + (t 3 + 1) j. Calcular: 1. El vector de posicin inicial. 2. La distancia al observador (distancia al origen del sistema de referencia) a los 5 s de haber empezado a contar el tiempo. 3. Espacio recorrido por la partcula en el tercer segundo. Solucin1) t = 0 r0 = - i + j m P0 (-1, 1) m

2) t = 5 s

r5 = 49i + 126j m

d = r = 492 + 1262 = 1352 m ,

. 3) r = 4t i + 3t 2 j

ds . . |r| = s = t 16 + 9t 2 = dt

s=

z

3

t 16 + 9t 2 dt =

2

1 (16 + 9t 2 )3/ 2 27

3 2

= 215 m ,

Problema III-2. La ecuacin vectorial horaria del movimiento de una partcula escrita en el SI es: r = (3 6t 2 3t 3) i + (5 + 4t 2 + 2t 3) j + (2 + 2t 2 + t 3) k. Determinar la ecuacin analtica de su trayectoria y su ley horaria.

54

CINEMTICA DE LA PARTCULA. MAGNITUDES FUNDAMENTALES. MOVIMIENTO RECTILNEO

Solucinx = 3 - 6t 2 - 3t 3 y = 5 + 4t + 2t2 3

x - 3 = - 3 (2t 2 + t 3 ) y - 5 = 2 (2t 2 + t 3 ) z - 2 = 2t 2 + t 3

z = 2 + 2t 2 + t 3

x -3 y -5 z -2 = = -3 2 1

La ecuacin analtica de la trayectoria es una recta cuyos parmetros directores son proporcionales a 3, 2, 1. 1erMTODO:

Para t = 0y =z =-

r0 = 3i + 5j + 2k, y como:y = z = dy 2 =dx 3 dz 1 =dx 3

2 ( x - 3) + 5 3 1 ( x - 3) + 2 3

s=

z

x

3

14 14 dx = ( x - 3) 9 3

sustituyendo x = x (t), obtenemos: 2MTODO:

s (t ) = m 14 (2t 2 + t 3 )

SI

v=

dr = - 3 (4t + 3t 2 ) i + 2 (4t + 3t 2 ) j + (4t + 3t 2 ) k dt

s=

z

ds . . v =|r| = s = 14 (4t + 3t 2 ) = dt

t

14 (4t + 3t 2 ) dt = 14 (2t 2 + t 3 )

SI

0

Problema III-3. La ecuacin vectorial horaria del movimiento de una partcula que se mueve en un plano OXY, viene dada en el SI: r = = (2t + 1) i + 2 (2t + 1)3/2/3 j. Determinar la ecuacin analtica [y = f (x)] y su ley horaria [s = s (t)] y representarlas. SolucinLa ecuacin analtica de su trayectoria [escrita en forma implcita y = f (x)] la obtenemos:x = 2t + 1 y= 2 (2t + 1)3/ 2 3 y= 2 3/ 2 x 3 (Grfica 1 )

SI

Problema III-3-1. Trayectoria.

La obtencin de su ley horaria se puede hacer utilizando dos procedimientos: 1erMTODO:

En nuestro caso: si t = 0s (t ) =x

s ( x) =

z

z zs s0

x0 = 1 m, obtenindose:x 2 1 + y dx

ds =

x0

y =

dy = x dx

1 + x dx =

1

LM 2 (1 + x) OP N3 Q3/ 2

x

=1

2 (1 + x)3/ 2 - 2 2 3SI

x = 2t + 1

s (t ) =

4 2 2 (2t + 2)3/ 2 - 2 2 = (t + 1)3/ 2 - 1 3 3

(Grfica 2 )

En la que para t = 0 Problema III-3-2. Ley horaria. 2MTODO:

s0 = 0.. ds = 2 2 t +1 v =s = dt

v=

dr . = r = 2i + 2 2t + 1 j dt

s (t) =

z

t

2 2 t + 1 dt =

0

4 2 (t + 1)3/ 2 - 1 3

SI

Problema III-4. La ley horaria de un punto mvil est dada en el SI por la expresin: s = t 2 + t + 1. Calcular: 1. Posicin inicial del mvil. 2. Velocidad media en el intervalo comprendido entre tres y cinco segundos. Solucin1) t = 0 s 0 = 1m

el mvil comienza su movimiento a 1 m del origen de espacios (mojn cero si fuera una pista).

MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE LA CINEMTICA DE LA PARTCULA

55

2) t = 3 s

s3 = 13 m

t=5s

s3 = 31 m

v=

Ds 31- 13 = = 9 m/s Dt 2

En esta ocasin no es conocida la ecuacin de la trayectoria del mvil, sin embargo, obtenemos informacin del movimiento en estudio.

Problema III-5. Un automvil ha ido de la ciudad A a la B distantes entre s 180 km en 3 h, y sin prdida de tiempo retorna en 3,5 h. 1. Cul es la velocidad media en el trayecto de ida? 2. Cul es la velocidad media en el trayecto de vuelta? 3. Cul es la velocidad media en el trayecto ida-vuelta? Solucin1) v= 180 = 60 km /h 3 2) v= 180 = 514 km /h , 3,5 3) v= 2 180 = 55,4 km /h 3 + 3,5

Problema III-6. La ley horaria del movimiento de una partcula en trayectoria plana queda determinada en el SI: s (t) = t 2 + t + 1. Si el mvil respecto de un sistema de referencia OXY, a los 2 s de iniciado el movimiento se encuentra en el punto (3, 3) m y a los 4 s, en el (5, 7) m. Determinar: 1. La velocidad media en su desplazamiento sobre su trayectoria. 2. El vector velocidad media y su mdulo. SolucinLa funcin s = s (t) para t = 0 s0 = 1 m, luego el origen de tiempo y espacio se encuentra a 1 m (medido sobre la trayectoria) del punto O que hemos elegido como origen de referencia OXY.1) t1 = 2 s t2 = 4 s 2) r1 = 3i + 3 j m r2 = 5i + 7 j m Dt = 2 s Dr = 2i + 4 j m v= s1 =7 m s 2 = 21m Dt = t 2 - t 1 = 2 s Dr = i + 2 j m/s Dt Ds = s 2 - s 1 = 14 m v= Ds = 7 m/s Dt

|v| = 5 m/s

Problema III-6. La partcula va de P a P recorriendo Ds sobre la trayectoria.

Obsrvese que v y |v| no coinciden, tampoco lo hacen Ds y |Dr| = 2 5 m .

Problema III-7. Una partcula se mueve en el plano OXY; un observador colocado en O sabe que las ecuaciones paramtricas de la trayectoria escritas en el SI son: x = 2 + t, y = 2 + 3t + 2t 2. 1. Determinar la forma explcita de la trayectoria. 2. La expresin del vector de posicin y del vector velocidad de ella. 3. Las condiciones iniciales del movimiento. 4. Los valores del vector de posicin y velocidad para t = 2 s. 5. Distancia de la partcula al observador en ese momento. 6. El vector desplazamiento y el vector velocidad media entre t = 2 s y t = 5 s. Solucin1) Despejando t en la primera ecuacin y sustituyendo en la segunda:t =x -2 y = 2 + 3 ( x - 2) + 2 ( x - 2)2 y = 2x 2 - 5x + 4 (parbola)

2)

r (t ) = (t + 2) i + (2 + 3t + 2t 2 ) j

v (t ) =

dr = i + (3 + 4t ) j dt

SI

3) t = 04) t = 2 s

r0 = 2i + 2 j m

y

v 0 = i + 3 j m/sy v (2) = i + 11j m/s

r (2) = 4i + 16j m

5)

r2 = 42 + 162 = 4 17 m

6) = t =5 s

Dr r5 - r2 = Dt Dt r5 = 7i + 67 j m

Dr = r5 - r2 = 3i + 51j m Dt = 3 s

= i + 17 j m/s

56


Problema III-8. Una partcula se mueve de tal forma que en cada instante el valor de su velocidad (mdulo) queda determinada en el SI por la funcin: v = 10 2t. Determinar: 1. Las velocidades inicial y en los instantes t = 2 s y t = 9 s. 2. La ley horaria de su movimiento (distancia al origen de espacios recorridos s = 0), si para t = 0 el punto se encuentra a 11 m del origen y hacer una representacin grfica de esta ley. 3. Distancia al origen de espacios pata t = 2 s y t = 9 s, e indicar en qu instante cambia el sentido del movimiento. 4. Espacio recorrido por la partcula entre 2 y 9 s; tomando una trayectoria cualquiera en un sistema OXYZ, representar el sentido del movimiento sobre ella poniendo los puntos mencionados en los apartados anteriores. 5. Velocidad media de la partcula en el intervalo considerado.Problema III-8-1. Ley horaria del movimiento de la partcula.

Solucin1) t = 0 v0 = 10 m/s t=2s v2 = 6 m/s t=9s v9 = 8 m/s El signo menos de v9 indica que en el intervalo entre 2 y 9 s, la partcula ha cambiado el sentido de su velocidad y, en un instante intermedio se hace nula; a partir de tal instante no coinciden la distancia al origen de espacios con el camino recorrido por la partcula sobre su trayectoria.2) s = s 0 + v dt = 11+ (10 - 2t ) dt0 0

z

t

z

t

s (t ) = 11 + 10t - t 2

(parbola)

s (t) = 03) t = 2 s

t = 11 s (la solucin 1 no tiene sentido fsico).s 2 = 27 m t =9 s s 9 = 20 m

v =0

t =5 s

Para t = 5 s se encuentra el mximo en la grfica de la ley horaria, siendo s5 = 36 m (Fig. 1).4) s T =

Problema III-8-2. Trayectoria arbitraria que hemos supuesto para la partcula cuyo movimiento es: O P Q.

z z5

9

v dt +

v dt

=|s 5 - s 2| +|s 9 - s 5|

2

5

s T =|35 - 27 +|20 - 27 = 15m | |

5) Segn la definicin de velocidad media en ese intervalo, valdr:v= Ds s 9 - s 2 20 - 27 = -1m/s = = Dt 9-2 9-2

considerndola como el espacio total recorrido sobre la trayectoria en Dt = 7 s, diramos: v = 15/7 m /s .

Problema III-9. Una partcula se mueve sobre una trayectoria plana, cuya ecuacin expresada en el SI es: y = x2 + 1; para x = 1 m entonces vy = 3 m/s. Calcular el vector velocidad en ese momento. Soluciny = x2 +1 dy /dt v y dy = 2x = = dx dx /dt v x vx = vy 2x = 1, 5 m/s v = 1, 5 i + 3 j m/s

Problema III-9.

Problema III-10. Si el radio vector que nos define la posicin de una partcula viene dado por: r = (3t2 5) i + e t j + sen pt k. Calcular las expresiones del vector velocidad y del vector aceleracin. Solucinv= dr = 6t i + e t j + p cos pt k dt a= d 2r = 6i + e t j - p 2 sen pt k dt 2

Problema III-11. El radio vector de un punto mvil queda determinado por las siguientes componentes: x = 4 + 3t, y = t 3 + 5, z = 2t + 4t 2, en las que x, y, z vienen expresadas en cm y el tiempo en s. Determinar la velocidad y la aceleracin del punto en el instante t = 1 s.

MAGNITUDES FUNDAMENTALES DE LA CINEMTICA DE LA PARTCULA

57

Solucinr = (4 + 3t) i + (t 3 + 5) j + (2t + 4t 2 ) kt =1s

. v = r = 3 i + 3t 2 j + (2 + 8t) ka = 6 j + 8 k cm/s 2

. a = v = 6t j + 8k

v = 3i + 3 j + 10k cm /s

Problema III-12. El vector velocidad del movimiento de una partcula referido a un punto O (velocidad definida por un observador en O) viene dado en el SI por: v = (2t + 8) i + 6j + + (6t2 8) k. El vector que nos define la posicin inicial sobre la trayectoria es: r0 = 4i + 3j 6k m. Determinar: 1. El vector velocidad inicial y su mdulo. 2. El vector velocidad para t = 5 s. 3. La expresin del vector de posicin en cualquier instante. 4. La distancia del mvil al origen O (distancia a que se encontrara el mvil, de un observador colocado en el origen de los vectores de posicin) 1 s despus de haber empezado a contar el tiempo. Solucin1) t = 0 v 0 = 8i + 6 j - 8 k m/s2 2 2 v 0 = v 0 x + v 0y + v 0z = 64 + 36 + 64 m/s ~ 13 m/s -

2) t = 5 s

v = (2 5 + 8) i + 6 j + (6 25 - 8) k = 18i + 6 j + 142 m/s k

3) v x = vy = vz =

dx dt dy dt dz dt

x = v x dt = (2t + 8) dt = t 2 + 8t + C1 y = v y dt = 6 dt = 6t + C 2 z = v z dt = (6t 2 - 8) dt = 2t 3 - 8t + C3

z z z z z z

t =0 C1 = x 0 = 4 m t =0 C2 = y0 = 3 m t =0 C3 = z 0 = - 6 mSI

x = t 2 + 8t + 4 y = 6t + 3 z = 2t 3 - 8t - 6

r = (t 2 + 8 t + 4) i + (6t + 3) j + (2t 3 - 8 t - 6) k

4) t = 1 s

r = 13i + 9 j - 12k m

d = r = x 2 + y 2 + z 2 = 169+ 81+ 144 m ~ 20m -

Problema III-13. El vector aceleracin de una partcula referido a un punto O (vector aceleracin definido por un observador en O) viene dado por: a = 2 (18t 2 + 1) i + 9j (SI). En el instante t = 0 la velocidad es nula y el vector de posicin es: r0 = 4j + 6k m. Se trata de determinar el vector velocidad y el vector de posicin de la partcula en cualquier instante. SolucinClculo del vector velocidad:ax = dv x = 2 (18t 2 + 1) dt t =0 ay = dv y dt = 9 m/s 2 t =0 dv az = z = 0 dt t =0 vx =

v ox = 0 v y = 9 dt v oy = 0 v z = C3 v oz = 0

z z

2 (18t 2 + 1) dt = 12t 3 + 2t + C1 C1 = 0 v x = 12t 3 + 2t v = 2 (6t 3 + t) i + 9t j

v y = 9t + C 2 C2 = 0 v y = 9t

C3 = 0

vz = 0

Clculo del vector de posicin:vx = t =0 vy = t =0 dz vz = =0 dt t =0 z0 = 6 m dy = 9t dt y0 = 4 m dx = 2 (6t 3 + t) = 0 dt x0 = 0 x=

C1 0 =

y = 9t dt = 4,5t 2 + C 2 C2 4 m = z = C3 C3 6 m = z =6m

z z

2 (6t 3 + t) dt = 3t 4 + t 2 + C1 x = 3t 4 + t 2 r = (3t 4 + t 2 ) i + (4,5t 2 + 4) j + 6kSI

58


Problema III-14. El vector aceleracin de una partcula en movimiento viene expresado en el a = 6ti 2k, inicialmente la partcula se encuentra en P0 (1, 3, 2) m y transcurridos 3 s su velocidad es: v = 3i + 2j 6k m/s. Calclese el vector velocidad y el vector de posicin en cualquier instante. SolucinSI:

v=

z zt =3s

a dt = (6t i - 2k) dt = (3t 2 + C1) i + C 2 j + (-2t + C 3 ) kv 3 = ( 27 + C 1 ) i + C 2 j + ( -6 + C 3 ) k

que comparada con la expresin dada:27 + C1 = 3 C 2 = 2 m/s -6 + C3 = - 6r=

C1 = - 24 m/s v = (3t 2 - 24) i + 2 j - 2t k C3 = 0SI

z zv dt =

(3t 2 - 24) i + 2 j - 2t k dt = (t 3 - 24t + C1) i + (2t + C 2 ) j + (-t 2 + C 3 ) k

t =0

C1 x 0 = 1 m = C2 y0 = 3 m = C3 z 0 = -2 m =

r = (t 3 - 24t + 1) i + (2t + 3) j - (t 2 + 2) k

SI

B) MOVIMIENTOS RECTILNEOS. MAGNITUDES ANGULARES FORMULARIO Ecuaciones generales de los movimientos en trayectoria recta:x = x (t )x=0 O x0 t=0 v0

Magnitudes angularesq = q (t )

z zx2 x1

. v = v (t ) = xdx = v (t ) dtt1 t2

. .. a = a (t ) = v = r

X

z zv2 v1 w2 w1

v dv = a dx

dv = a (t ) dtt1

t2

Movimiento rectilneo.TR AY EC

TO

. w = w (t ) = q

z zq2 q1

. .. a = a (t ) = w = q

RIA

P2 P1

dq =

t2

t1

w (t ) dt

z zdw =

wdw = a dqq q1 q2

t2

t1

a (t ) dtO

RECTA DE REFERENCIA

Para definir la magnitud angular q, que en este caso es positiva por ser su sentido el contrario a las agujas del reloj.

Problema III-15. La frmula que da la posicin de una partcula que se mueve en trayectoria recta, escrita en el SI es: x = 7t 3 2t 2 + 3t + 1. Calcular: 1. Ecuacin de la velocidad. 2. Ecuacin de la aceleracin. 3. Espacio recorrido por la partcula en el tercer segundo. Solucin1) v= dx = 21 2 - 4t + 3 t dtx 2 = 55 m x 3 = 181m

2)

a=

dv d 2 x = 2 = 42t - 4 dt dt

SI

Problema III-15. Trayectoria. La partcula se mueve O P Q.

3) t = 2 s t =3s

d = x 3 - x 2 = 126 m

Problema III-16. El movimiento de un punto material en lnea recta viene dado por la ecuacin escrita en el sistema CGS: x = e3 t 5. Calcular:

MOVIMIENTO RECTILNEO

59

1. Las expresiones de la velocidad y aceleracin en funcin del tiempo y de la posicin. 2. Valor de la aceleracin inicial. 3. Valor de la velocidad inicial. Solucin1) v= dx = 3e 3t = 3 ( x + 5) dta 0 = 9 cm/s 2

a=

dv = 9e 3t = 9 ( x + 5) dtv 0 = 3 cm/s 2

CGS

2) y 3) t = 0

Problema III-17. El extremo A de una varilla de longitud l de la figura asciende por el eje OY con una velocidad constante v, siendo y = 0 en t = 0. El extremo B se mueve sobre el eje OX. Determinar las ecuaciones del movimiento del extremo B. SolucinLa ecuacin del movimiento de la partcula A es: y = vt, y como:x (t ) = l 2 - v 2t 2 . u (t ) = x = v 2t l 2 - v 2t 2 . a (t ) = u = v 2l 2 (l - v 2t 2 )3/ 22

Problema III-18. La velocidad de una partcula que se mueve en trayectoria recta est dada por la ecuacin v = 7/(1 + t 2) SI. Calcular las expresiones de la posicin y de la aceleracin en funcin del tiempo sabiendo que en el instante inicial la partcula est en el origen.

Problema III-17.

x = v dt =

z z

Solucin7 dt = 7 arctg t + C 1+ t2 t =0 x0 = C = 0 x = 7 arctg t a= 14t dv =dt (1 + t 2 )2SI

Problema III-19. La ecuacin de la velocidad de una partcula que se mueve en trayectoria recta, viene dada en el SI por: v = 4t 2 6t + 2. Sabiendo que en el instante t = 0, x0 = 3 m, calcular: 1. Ecuacin de la posicin en cualquier instante. 2. Ecuacin de la aceleracin. 3. La velocidad inicial del mvil. 4. Aceleracin media entre los instantes t = 1 s y t = 2 s. Solucin1) v = dx dt dx = (4t 2 - 6t + 2) dt4t 3 - 3t 2 + 2t + C 3 t =0 C = x0 = 3 m 4t 3 - 3t 2 + 2t + 3 3

Problema III-19.

x = (4t 2 - 6t + 2) dt =

z

x=

SI

2)

a=

dv = 8t - 6 dt v1 = 0 v 2 = 6 m/s

3) t = 0

v = v 0 = 2 m/s

4) t = 1 s t =2s

a=

v 2 - v1 = 6 m/s 2 Dt

Problema III-20. Una partcula que posee un movimiento rectilneo recorre un espacio de 7,00 m antes de empezar a contar el tiempo, y cuando t = 2,00 s posee una velocidad de 4,00 m/s. Si la ecuacin de su aceleracin escrita en unidades del SI es: a = 3,00t 2 1,00. Calcular: 1. Ecuacin de la velocidad y posicin. 2. La velocidad media de la partcula entre los instantes t = 2,00 s y t = 3,00 s. 3. Representar grficamente x = x (t), v = v (t) y a = a (t) en el intervalo entre t = 0 y t = 4,00 s, haciendo un esquema de la trayectoria de la partcula. Solucin1) a = dv dt dv = (3t 2 - 1) dt v = (3t 2 - 1) dt

t =2s 4=8 -2+C

z

v = t3 - t + C

C = v 0 = - 2,00 m/s

v = t3 - t - 2

SI

60


v=x=

dx dt

dx = (t 3 - t - 2) dt

x = (t 3 - t - 2) dt

1 4 1 2 t - t - 2t + C 4 2

t =0 C = x 0 = 7,00 mSI

z

x=2) t = 2,00 s t = 3,00 s

1 4 1 2 t - t - 2t + 7 4 2x 2 = 5,00 m x 3 = 1675 m ,

El espacio total recorrido en tal intervalo de tiempo ser:Dx = x 3 - x 2 = 1175 m , v= Dx = 1175 m/s , DtP0 02,33 07,00 08,32 15,29 P3 03,00 16,75 22,00 26,00 P4 04,00 55,00 58,00 47,00

3)

Punto t (s) x (m) v (m/s) a (m/s2)

P0

P1 1,52 4,14 0,00 5,93

P2 02,00 05,00 04,08 11,00

0,00 7,00 2,00 1,00

Problema III-21. Un movimiento rectilneo es tal que su velocidad viene dada en funcin del desplazamiento por la ecuacin v = 3x + 1. Hallar sus ecuaciones horarias sabiendo que para t = 0 el mvil el se encuentra en el origen. Solucinv = 3x + 1 = dx dt1 ln 1 = 0 3e 3t - 1 3

z zv=

dx = dt 3x + 11 ln (3x + 1) = t 3dx = e 3t dt

1 ln (3x + 1) = t + C 3 t =03

x =03x + 1 = e tdv = 3e 3t dt

C=

x=

a=

Problema III-22. Una partcula parte del reposo en t = 0 y en trayectoria recta, su velocidad viene dada en el SI por la ecuacin: v = 2 x . 1. Demostrar que su aceleracin es constante con el tiempo y calcular su valor. 2. Determinar su ley horaria [x = x (t)].Problema III-20-1.1) a=

Solucindv dv dx 2 = = v = 2 m/s 2 dt dx dt 2 xx

c.q.d.t

dx . 2) v = x = 2 x = dt

z z0

dx = 2 x

dt

x =t

x = t2

SI

0

Problema III-20-2. Trayectoria: P 0 P 1 P2 P0 P 3 P 4 .

Problema III-23. El cuadrado de la velocidad de una partcula que se mueve en trayectoria recta de origen O, como indicamos en la figura, viene dado en el SI por la expresin: v2 = 345 5x. Determinar: 1. El tiempo que tarda la partcula en ir de P a Q distantes entre s 30 m. 2. Espacio recorrido por ella (Dx) un segundo antes de llegar a Q. Solucin

Problema III-23. La partcula pasa de P R Q.

1) La partcula llega al reposo cuando v = 0 x = 69 m (y se mantiene en l, puesto que 345 5x < 0 no tiene sentido fsico y las velocidades en P (v1) y en Q (v2) sern positivas. Llamando t1 al tiempo empleado en el recorrido OP, t2 en el OQ, Dt = t2 t1, x1 = OP = 15 m y x2 = OQ = = 45 m, tendremos:

MOVIMIENTO RECTILNEO. MAGNITUDES ANGULARES

61

v=

dx = 345- 5x dt

Dt =

el signo + de la ecuacin no tiene realidad fsica:

z zt2 t1

dt =

x2

x1

2 dx =m 5 345- 5x

e

345- 5x 2 - 345- 5x 1

j

Dt = 2,2 s

2) Si:

Dt = 1 s2 5

x 3 = OR

Dt = -

2 5

e

345- 5x 2 - 345- 5x 3x 3 = 328 m ,

j

1= -

e

345- 5 45 - 345- 5x 3

j

Dx = x 2 - x 3 = 12,2 m

Problema III-24. La ecuacin de la aceleracin en funcin de la velocidad de una partcula en trayectoria recta es: a = 3 1 - v 2 ; sabiendo que el mvil parte del reposo en el origen, calcular las ecuaciones de este movimiento [x = x (t), v = v (t) y a = a (t)]. Solucina= dv = 3 1- v2 dt dv 1- v2 = 3 dt arcsen v = 3t + C1 t =0 v =0 C1 = 0 arcsen v = 3t

v = sen 3t

a = 3 1 - sen 2 3t = 3 cos 3t

y como:v= dx = sen 3t dt dx = sen 3t dt x =t =0 1 cos 3t + C 2 3 x =0 C2 = 1 3 x= 1 (1 - cos 3t ) 3

Problema III-25. En el proyecto de una pista de aterrizaje para grandes aviones a reaccin se ha propuesto un estanque de agua de poca profundidad (aproximadamente 1 m). El avin en el momento de contactar con el agua se considera que tiene una velocidad de 180 km/h y debe reducirse a 27 km/h en una distancia de 300 m; durante su recorrido la resistencia que se opone al movimiento produce una deceleracin que viene dada por: a = kv2. Calcular: 1. El valor de k (que depende del tamao y forma del tren de aterrizaje que se sumerge en el estanque). 2. El tiempo transcurrido en tal recorrido. Solucinv0 = 180 km/h = 50 m/s1) v dv = a dx. 2) a = v

v dv = - kv 2 dxdv dt

- kv 2 =

- k dt =0

z z zt

v = 27 km/h = 7,5 m/sdv = -k v0 vv

v

z

x = 300 mln v0 = kx vt=

x

dx

k=

0

ln v 0 /v = 6,324 10-3 m -1 x

v0

dv v2

kt =

1 1 v v0

v0 - v = 18 s kvv 0

Problema III-26. La variacin de la aceleracin de la gravedad con la altura viene dada por la frmula: GM 0 g =(R 0 + h)2 y cuando h = 0 entonces |g| = g0 = 9,8 m/s2. Teniendo en cuenta esta expresin, calcular la velocidad inicial v0 que habra que darle a un cuerpo (sin propulsin autnoma) para que lanzado desde la superficie terrestre, ascienda una altura vertical de 4 000 km. (Radio terrestre R0 = 6 000 km, y supondremos nula la resistencia del aire). SolucinLas ecuaciones diferenciales que caracterizan este movimiento rectilneo son:v= g= dh dt dv dt dh dv = v g

dt =

v dv = g dh

z zv dv = -

GM 0 dh (R 0 + h)2

GM 0 v2 = +C 2 R0 + h

Problema III-26.

cuando v = 0 entonces h = H = 4 000 km, luego:0= GM 0 +C R0 + H C =GM 0 R0 + H H -h 1 1 v2 = GM 0 = GM 0 2 R0 + h R0 + H (R 0 + h) (R 0 + H )

LM N

OP Q

62


v = v0 h =0 GM 0 g0 = 2 R0 v0 =

2g 0 R 0 H 2 9,8 6 106 4 106 ~ = - 6 858m/s R0 + H (6 + 4) 106

Problema III-27.

Problema III-27. La aceleracin a de una partcula que se mueve en el eje X viene expresada en funcin de la posicin por la frmula: a = w2x, cuando x = 0 entonces v = v0 y t = 0. Encontrar las expresiones de la velocidad v y de la posicin x en funcin del tiempo.1erMTODO:

Solucin

v dv = a dx

z zdx2 v0 - w 2 x 2

v dv = - w 2 x dx

v2 w2x 2 =+ C1 2 22 v = v0 - w 2 x 2 =

t =0 x =0 v = v0 C1 =

2 v0 2

dx dtt =0 x =0

separando variables podemos poner: Problema III-28.= dt wx 1 arcsen = t + C2 v0 w v0 sen wt w C2 = 0

x=

v=

dx = v 0 cos wt dt

2

MTODO:

El problema se puede resolver tambin teniendo en cuenta que:a= d 2x = - w2x dt 2 d 2x + w2x = 0 dt 2

ecuacin diferencial de segundo orden cuya solucin general es: x = A sen wt + B cos wt Problema III-28-1. v = Aw cos wt Bw sen wt

A este movimiento se le llama vibratorio armnico simple (MAS). Las condiciones iniciales nos conducen a:t =0 x =0= B v = v 0 = Aw A= v0 w x= v0 sen w t w v = v 0 cos w t

Problema III-28. Durante una fase del movimiento rectilneo de un vehculo experimental, el registro de su aceleracin en funcin de su desplazamiento [a = a (x)] viene dado por la grfica de la figura. La velocidad es de 12 km/h en x = 6 m y, el mecanismo del motor hace que la aceleracin descienda bruscamente (punto de discontinuidad en la grfica) en x = 15 m. Representar v = v (x) en el intervalo considerado y calcular la velocidad en x = 21 m.

v dv = a dx

z

Solucinv

v0

dv =

1 2 2 (v - v0 ) = A 210 m 3 s

F rea encerrada bajo la curva a = a (x)I GH en el intervalo de v a vJ K0

v 6 = 12 km /h =

en

x =6m

s: rea de un cuadro = 3 0,6 = 1,8 m2/s2 A1: rea bajo la curva entre 6 y 15 m 7 s = 12,6 m2/s2 A2: rea bajo la curva entre 15 y 21 m 3,4 s = 6,12 m2/s2 Llamando v15 la velocidad en x = 15 m:1 2 2 (v15 - v 6 ) = A1 2 1 2 100 v15 = 126 , 2 9

FG H

IJ K

v15 ~ 6,0 m/s -

1 2 2 (v 21 - v15) = A 2 2

1 2 (v 21 - 62 ) = 6,12 2

v 21 ~ 7 m/s -

Problema III-29.

Problema III-29. Un punto mvil parte del reposo de un punto O, en trayectoria recta, acelera durante 10 s a 2 m/s2 y a continuacin a 3 m/s2 hasta alcanzar una velocidad de 50 m/s, conservndola hasta que decelera durante 12 s y se para en un punto P. El tiempo total empleado en el trayecto OP es de 60 s. Representar las curvas a = a (t), v = v (t) y x = x (t) y calcular la distancia OP sobre la trayectoria.

MOVIMIENTO RECTILNEO. MAGNITUDES ANGULARES

63

SolucinCurva a = a (t): al ser la aceleracin constante o nula, la a = a (t) estar formada por lneas horizontales. Como la variacin de velocidad en un intervalo de tiempo es igual al rea bajo la curva a = a (t) y dicho intervalo: a la vista de la figura (a), obtenemos v10, t2 y a4; en efecto: 0 < t < 10 s la velocidad pasa de 0 a v10: v10 v = 10 2 50 20 = (t2 10) 3 v10 = 20 m/s t2 = 20 s

10 s < t < t2 la velocidad aumenta de 20 a 50 m/s: 20 < t < 48 48 < t < 60 la aceleracin es nula la velocidad disminuye de 50 m/s a 0:

0 50 = a4 (60 48)

a4 = 25/6 m/s2

Curva v = v (t): al ser la aceleracin constante o nula, estar formada por segmentos rectilneos que unirn los puntos que hemos calculado. El desplazamiento en un intervalo de tiempo Dt ser igual al rea encerrada bajo la curva v = v (t) en dicho intervalo. Por lo que podemos calcular x10 , x20 , x48 y OP = = x60 , en efecto: 0 < t < 10 s El desplazamiento es el rea del tringulo: 1 x 10 - 0 = 10 20 2

x 10 = 100m

10 s < t < 20 s

El desplazamietno ser el rea del trapecio: 1 x 20 - 100= (20 + 50) (20 - 10) 2 El desplazamiento ser el rea del rectngulo:x 48 - 450 = ( 48 - 20) 50

x 20 = 450m

20 s < t < 48 s

x 48 = 1 850 m

48 s < t < 60 s

El desplazamiento es el rea del tringulo: 1 x 60 - 1850= (60 - 48) 50 2

x 60 = 2 150 m = OP

Curva x = x (t): los puntos que hemos determinado deben unirse con tres arcos de parbola (tramos de aceleracin constante) y una lnea recta (tramo de aceleracin nula). Para el trazado de las parbolas se tendr en cuenta que para cualquiera que sea el instante considerado t, la pendiente de la curva x = x (t), es igual a la velocidad en ese instante (v = dx/dt).

Problema III-30. El movimiento de una partcula en trayectoria recta es tal que para t = 0 es x = 0 y la ecuacin de su velocidad viene dada en el SI por la ecuacin: v = t 2 2t. 1. Representar grficamente las funciones v (t), x (t) y a (t) en el intervalo de tiempo comprendido entre t1 = 1 s y t2 = 3 s. 2. Calcular el espacio total recorrido por la partcula en ese intervalo de tiempo. 3. Describir el movimiento de la partcula.

. 1) v (t ) = x = t 2 - 2t

z zx 0

Solucint

dx = (t 2 - 2t ) dt0

x (t ) =

1 3 t -t2 3

a (t ) = v = 2t - 2

SI

La grfica de v (t) es una parbola de vrtice (1, 1) m y para v = 0 solucin perteneciente al intervalo [1, 3] s.

t = 0 y t = 2 s, esta ltima

2) El espacio total recorrido vendr dado por el rea encerrada entre la curva v = v (t) y el eje del tiempo (sombreada en la Fig. 1), es decir:

s=

z z2 1

3

v (t) dt + v (t) dt =2

LM 1 t N3

3

-t2

OP Q

2

+1

LM 1 t N3

3

-t2

OP Q

3

= 2

2 4 + = 2m 3 3

Problema III-30-1.

3) La partcula (ver Fig. 2) para t = 1 s se encuentra a 2/3 m del origen y alejndose de l, disminuyendo su velocidad con aceleracin positiva y en aumento, hasta que a los 2 s se encuentra 4/3 m del origen donde se para (v = 0), y su aceleracin se hace 2 m/s2. A partir de t = 2 s la partcula retrocede, se acerca al origen con velocidad positiva y aceleracin tambin positiva y creciente; en t = 3 s se encuentra en el origen con velocidad y aceleracin crecientes y con valores v = 3 m/s y a = 4 m/s2...

Problema III-30-2.

64


Problema III-31. Un mecanismo de freno consiste esencialmente en un pistn que puede desplazarse en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el pistn retrocede con una velocidad inicial v0, el aceite es forzado a pasar a travs de orificios que tiene el pistn, originando en el mismo una deceleracin proporcional a su velocidad, es decir: a = kv. Expresar v (t), x (t) y v (x), dibujando las curvas correspondientes.

a = - kv =

dv dt

Problema III-31-1.

z zdv = v

Solucin-k dt ln v = - kt + C1

v 0e -kt =

dx dt

z

t =0 v = v0 v 0e -kt dt =

C1 = ln v 0

v (t ) = v 0e -kt t =0 x =0 v0 k

z

dx

-

v 0 -kt e = x + C2 k

C2 = -

x (t) =

v0 (1 - e -kt ) k

v ( x) = v 0 - kx

Problema III-31-2.

Problema III-32. Se dispara un cohete verticalmente, su vuelo se sigue por radar desde un punto O que dista d del punto de lanzamiento P como se indica en la figura. Determinar la velocidad . . y aceleracin del cohete en funcin de r y q y sus derivadas respecto al tiempo r y q . Solucinx =d y = r sen q vx = 0 . . ? v y = y = r sen q + r q cos q. ? v = v y = r sen q + r q cos q

ax = 0 ?? ?2 . .. .? .? a y = v y = r sen q + r q cos q + r q cos q + r q cos q - r q sen q

Problema III-31-3.

. .. .? ?? a = a y = (r - r q 2) sen q + (2r q + r q ) cos q

Problema III-33. La velocidad de rotacin de un faro luminoso es constante e igual a w y est situado a una distancia d de una playa completamente recta. Calcular la velocidad y aceleracin con que se desplaza el punto luminoso sobre la playa cuando el ngulo que forman d y el rayo es q. Solucinv= dx dx d q = dt d q dt v= wd cos 2 q a= dv dv d q 2w 2d sen q = = dt d q dt cos 3 q

x = d tg q dq =w dt

Problema III-32.

Problema III-34. Queremos filmar un coche que viaja a velocidad v constante por una carretera recta desde un punto que dista d de ella. Calcular la velocidad angular y la aceleracin angular de giro con que debemos mover la cmara para un ngulo cualquiera q. Solucin? . En este caso debemos obtener q y w; partimos de la misma ecuacin que en el problema anterior, es decir (Fig. III-34):x = d tg q . v=x = d d ? q= w cos 2 q cos 2 q w= v cos 2 q d

Derivando respecto del tiempo obtenemos la aceleracin angular:2v ? v2 . a =w =q cos q sen q = - 2 cos 2 q sen 2q d d

Problema III-33 y 34.

MOVIMIENTO RECTILNEO Y UNIFORME

65

C) MOVIMIENTOS RECTILNEOS Y UNIFORMES FORMULARIO Movimiento rectilneo y uniforme: Movimiento rectilneo y uniformemente acelerado: a=0 a = cte v = cte v = v0 + at x = x0 + vtx = x 0 + v 0t + 1 2 at 2

Problema III-35. Sabiendo que la estrella a-Centauro (la ms prxima a nosotros despus del Sol) se encuentra de la Tierra a 4,04 1013 km, calcular el tiempo que tarda la luz de a-Centauro en llegar a la Tierra. SolucinSabemos que la luz viaja en el vaco a la velocidad constante de c = 3 10 8 m/s, luego:x = ct t= x 4,04 1016 = = 13467 108 s = 4,27 a , c 3 108

razn por la que se dice que la estrella a-Centauro se encuentra a 4,27 aos luz (el ao luz ser por tanto una unidad de distancia).

Problema III-36. La distancia mnima a que debe estar un muro para que se produzca eco al emitir enfrente de l una slaba, es de 17 m; el mnimo tiempo para que se perciban dos slabas distintamente es 0,1 s (poder separador del odo medio). Calcular con estos datos la velocidad de propagacin del sonido en el aire, teniendo en cuenta que el sonido va y vuelve en el trayecto de 17 m. Cul es el valor de una velocidad supersnica en km/h? SolucinEl sonido recorre: 2 17 = 34 m en 0,1 s. La velocidad es:c= x 34 = = 340m/s t 0,1 c = 340m/s = 340 3 600 km /h = 1224km /h 1000

La velocidad supersnica es mayor que 1 224km/h

Problema III-37. Entre dos observadores hay una distancia de 1 050 m; uno de ellos dispara un arma de fuego y el otro cuenta el tiempo que transcurre desde que ve el fogonazo hasta que oye el sonido, obteniendo un valor de 3,0 s. Despreciando el tiempo empleado por la luz en hacer tal recorrido, calcular la velocidad de propagacin del sonido. SolucinLa velocidad es:c= x 1050 = = 350m/s t 3

Problema III-37.

Problema III-38. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en los dos problemas anteriores, calcular: 1. La componente de la velocidad del viento en la direccin de los observadores en la experiencia del problema. 2. Qu tiempo tardara el sonido en recorrer los 1 050 m si los observadores del anterior problema invirtieran sus posiciones? Solucin1) La componente de la velocidad del viento es la diferencia de los resultados de los dos problemas anteriores:350 - 340 = 10 m /s

2) Haciendo la observacin inversamente, el sonido se propagar en contra del viento, con una velocidad:c = 340 - 10 = 330m/s t= x 1050 = = 3,2 s c 330

66


Problema III-39. Nos encontramos en una batalla naval, en un buque situado entre el enemigo y los acantilados de la costa. A los 3 s de ver el fogonazo omos el disparo del can, y a los 11 s del fogonazo percibimos el eco. Calcular la distancia a que estn de nosotros el enemigo y la costa. Velocidad del sonido, 340 m/s. SolucinDespreciando el tiempo empleado por la luz en su recorrido, la distancia a que se encuentra el enemigo es: Problema III-39.x = 340 3 = 1020m

El sonido emplea para ir y volver a la costa, desde nuestra posicin, un tiempo que es:t = 11- 3 = 8 s 2x = 340 8 x = 1360 m

Problema III-40. Un ciclista marcha por una regin donde hay muchas subidas y bajadas. En las cuestas arriba lleva una velocidad constante de 5 km/h y en las cuestas abajo de 20 km/h. Calcular: 1. Cul es su velocidad media si las subidas y bajadas tienen la misma longitud? 2. Cul es su velocidad media si emplea el mismo tiempo en las subidas que en las bajadas? 3. Cul es su velocidad media si emplea doble tiempo en las subidas que en las bajadas? Solucin1) v= s total x subidas + x baja 2v1v 2 2x = = = = 8 km /h x x t total t total v1 + v 2 + v1 v 2

2)

v=

v1t + v 2t v1 + v 2 = = 125 km /h , 2t 2

3)

v=

v1 2t + v 2t 2v + v 2 2 5 + 20 = 1 = = 10 km /h 3t 3 3

(Obsrvese que la velocidad media es la media aritmtica de las velocidades uniformes nicamente en el caso en que el tiempo que duran los distintos recorridos es el mismo).

Problema III-41. Dos mviles marchan en sentidos contrarios, dirigindose el uno al encuentro del otro con las velocidades de 4 y 5 cm/s respectivamente. Sabiendo que el encuentro tiene lugar a 1,52 m, de la posicin de partida del primero, determinar la distancia entre los mviles al comenzar el movimiento y el tiempo transcurrido hasta que se encontraron. Solucinx 1 = v1t x 2 = v 2t x 1 v1 = x 2 v2 152 4 , = x2 5 x 2 = 190 m , t= x1 x 152 = 2 = = 38 s v1 v2 4

Problema III-41.

La distancia entre los mviles al comenzar el movimiento ser:

x = x 1 + x 2 = 3,42 m

Problema III-42. Un acorazado se aleja de la costa, en la que hay un alto acantilado. A 680 m de la costa dispara un caonazo; el eco es percibido 4,1 s despus. Calcular la velocidad del acorazado. (Se supone para el sonido la velocidad de 340 m/s).Llamamos c a la velocidad del sonido:2x 1 + x 2 = ct x2 = v t 2x 1 + vt = ct

Solucinct - 2x 1 340 4,1 - 2 680 = = 8,3 m /s t 4,1

Problema III-42.

v=

Problema III-43. Un mvil parte de un punto con una velocidad de 110 cm/s y recorre una trayectoria rectilnea con aceleracin de 10 cm/s2. Calcular el tiempo que tardar en pasar por un punto que dista 105 cm del punto de partida. (Interpretar fsicamente las dos soluciones que se obtienen). SolucinLa ecuacin del movimiento haciendo x0 = 0, es:x = v 0t + 1 2 at 2 105= 110 t 1 10t 2 2 t 2 - 22t + 21= 0 t 1 = 21 s t2 = 1 s

MOVIMIENTO RECTILNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

67

t2 representa el tiempo que tarda el mvil en recorrer los 105 primeros cm. t1 representa el tiempo que tarda el mvil en pararse por su movimiento retardado y retrocediendo luego con movimiento acelerado llegar de nuevo al punto que dista del origen 105 cm.

Problema III-44. Hallar las frmulas de un movimiento uniformemente variado sabiendo que la aceleracin es 8 cm/s2, que la velocidad se anula para t = 3 s, y que pasa por el origen (x = 0) en t = 11 s. Solucin0 = v0 + 8 3 1 0 = x 0 - 24 11+ 8 121 2 v 0 = - 24 cm/s x 0 = - 220cm x = - 220- 24t + 4t 2CGS

v = - 24 + 8t

Problema III-45. La velocidad de un punto que se mueve en trayectoria recta queda expresada en el SI por la ecuacin: v = 40 8t. Para t = 2 s el punto dista del origen 80 m. Determinar: 1. La expresin general de la distancia al origen. 2. El espacio inicial. 3. La aceleracin. 4. En qu instante tiene el mvil velocidad nula? 5. Cunto dista del origen en tal instante? 6. Distancia al origen y espacio recorrido sobre la trayectoria a partir de t = 0, cuando t = 7 s, t = 10 s, y t = 15 s. Solucin1) x = v dt = (40 - 8t ) dt = 40t - 4t 2 + C2) 80 = x 0 + 80 - 16 x 0 = 16 m

z z

x = x 0 + 40t - 4t 2

Problema III-45-1. Representacin grfica de la distancia al origen en funcin del tiempo.

3)

a=

dv = -8 m/s 2 dt

4) 0 = 40 - 8t

t =5 s

x7 = 16 + 40 7 - 4 7 25) x 5 = 16 + 40 5 - 4 5 = 116m2

= 100m 16 mProblema III-45-2. En la grfica de la velocidad frente al tiempo, el rea limitada por el eje de abcisas y la grfica entre dos instantes, coincide numricamente con el camino recorrido por el mvil entre esos dos instantes.

6)

x 10 = 16 + 40 10 - 4 102 =

x 15 = 16 + 40 15 - 4 152 = - 284mClculo de caminos sobre la trayectoria a partir de t = 0: El mvil cambia el sentido de su velocidad para t = 5 s. El recorrido en los 5 primeros segundos es: C = x x0 = 40t 4t 2 = 100 m A ellos hay que sumar el recorrido en los segundos restantes que se obtienen de la integral de la ecuacin general de la velocidad, en valor absoluto, entre los lmites t = 5 s y t = instante final.C7 = 100+

z

7

(40 - 8t ) dt = 116m

C10 = 100+

5

C15 = 100+

z

z

10

(40 - 8t ) dt = 200m

5

15

(40 - 8t ) dt = 500m

5

Problema III-46. Trazar la curva de la posicin y la de la velocidad en funcin del tiempo en el movimiento dado por la frmula x = 4,00 26,00t + 4,00t 2 (SI) y determinar los instantes para los cuales la velocidad y el espacio tienen el mismo valor numrico. Solucinv= dx = - 26 + 8t dt

La curva: x = x (t), es una parbola. Clculo del mximo o mnimo:dx = - 26 + 8t = 0 dtd 2x = 8,00 > 0 dt 2

t = 3,25 s

x m = - 38,25 m

el punto (3,25, -38,25) es el mnimo.

Clculo de cortes con los ejes: La parbola corta el eje de las posiciones en: x = 4,00 m, para t = 0.

Problema III-46.

68


La parbola corta al eje de los tiempos en las soluciones de la ecuacin: 0 = 4 26t + 4t 2 t1 = 0,26 s t2 = 6,34 s

La funcin: v = v (t), es una recta que corta al eje de tiempos en la solucin de la ecuacin: 0 = 26,00 + 8,00t corta al eje de las velocidades en: v = 26,00 m/s t = 3,25 s

Los grficos son los de la figura. La velocidad y el espacio tendrn el mismo valor cuando:4,00 - 2600t + 4,00t 2 = - 2600 + 8,00t , , 4,00t 2 - 3400t + 3000 = 0 , , t= 100 s , 7,50 s

Problema III-47. Un automvil arranca de un punto con movimiento uniformemente acelerado, alcanzando a los 5 s la velocidad de 108 km/h desde cuyo momento la conserva, hasta que a los 2 minutos de alcanzarla, frena hasta pararse al producirle los frenos una deceleracin de 10 m/s2. 1. Calcular el tiempo transcurrido y el espacio recorrido desde que arranca hasta que se para. 2. Hacer una representacin grfica de x = x (t), v = v (t) y a = a (t). Solucin1) v = 108 km/h = 30 m/s t1 = 5 s t2 = 2 60 s = 120 s a3 = 10 m/s2

0 = v + a3t 3x1 = 1 2 a1t1 2

t3 =

30 =3 s 10

t = t1 + t 2 + t 3 = 128 s = 2min 8 s

x1 =

v = a1t1

1 1 vt1 = 30 5 = 75 m 2 2 x = x 1 + x 2 + x 3 = 3720 m x3 = 302 v2 = = 45 m 2a 3 2 10

x 2 = vt 2 = 30 120= 3 600m2 v = v 0 + 2ax

0 = v 2 + 2a 3 x 3

a (t) = cte = 6 m/s 2 2) En el primer intervalo: v (t) = 6t x (t) = 3t 2 a (t) = cte = 0 En el segundo intervalo: v (t) = cte = 30 m/s x (t) = 3t a (t) = cte = - 10 m/s 2 En el tercer intervalo: v (t) = 30 - 10t x (t) = 30t - 5t 2

Problema III-47. (Las cotas en los ejes no se han representado a escala).

Problema III-48. El grfico de la figura nos representa el movimiento realizado por un mvil en trayectoria recta. Interpretar y clasificar su movimiento. SolucinTRAMO AB. Su ecuacin es: El movimiento es uniforme de velocidad: el espacio inicial (para t = 0) vale x0 = 10 m TRAMO BC. Su ecuacin es: x = 30 m El mvil est parado en el intervalo de tiempo de 2 a 3 s. TRAMO CD. Su ecuacin es: Problema III-48. El movimiento es uniforme de velocidad:x = 10 + 20 t 3

x = 10 + 10t

v=

dx =10m/s dt

v=

dx 20 = m/s dt 3

El mvil comienza este movimiento a los 3 s de partir y dista del origen de espacios 30 m. TRAMO DE. Su ecuacin es: El movimiento es uniforme de velocidad: x = 50 25tv= dx = - 25m/s dt

MOVIMIENTO RECTILNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

69

el signo menos indica que se mueve en sentido opuesto al llevado en los tramos anteriores, y en el instante t = 8 s se encuentra en el origen de los espacios. El mvil comienza a los 6 s de partir y dista del origen de posiciones 50 m.

Problema III-49. El grfico de la figura nos representa la velocidad de un mvil en trayectoria recta, en el que para t = 0, x0 = 0. Determinar las ecuaciones de la posicin y de la aceleracin interpretando el movimiento que tiene en cada caso. SolucinTRAMO OA. Su ecuacin es: la ecuacin del espacio: y como para t = 0, x = 0 v = 10t

x = v dt = 10t dt = 5t 2 + C1

C1 = 0

z z

x = 5t 2a= dv = 10m/s 2 dt

El movimiento es uniformemente acelerado de aceleracin:

v = 10 m/s TRAMO AB. Su ecuacin es: luego el movimiento es uniforme (a = 0) desde el primero al tercer segundo; la ecuacin de la posicin la calcularemos:x = v dt = 10dt = 10t + C 2

para calcular C2 tendremos en cuenta que en el segundo anterior (Tramo OA) el mvil recorri una distancia: t=1s xOA = 5t 2 = 5 m luego:t =1s 5 = 10 1 + C 2 C 2 = -5 m x = -5 + 10t

z z

Problema III-49.

v = 35 + 15t TRAMO BC. Su ecuacin es: tngase en cuenta que el mvil comienza este movimiento cuando t = 3 s y su velocidad es v = 10 m/s en ese instante. La ecuacin de la posicin ser:x = v dt = (-35 + 15t ) dt = -35t +

para calcular C3 , tendremos en cuenta que la distancia recorrida hasta el tercer segundo se obtendr sustituyendo en la ecuacin de la posicin del tramo AB, t = 3 s.x OB = -5 + 10 3 = 25 m 25 = -35 3 + 7,5 9 + C 3 C 3 = 625 m , x = 625 - 35t + 7,5t 2 ,

z z

15 2 t + C3 2

tngase en cuenta que el mvil comienza a moverse cuando t = 3 s, entonces la distancia que ha recorrido antes es de 25 m. El movimiento es uniformemente acelerado de aceleracin:a= dv = 15m/s 2 dt

TRAMO CD. Su ecuacin es: v = 25 m/s luego el movimiento es uniforme (a = 0) desde el cuarto al quinto segundo; la ecuacin de la posicin la calcularemos:x = v dt =

para calcular C4 , tendremos en cuenta que la distancia recorrida hasta el cuarto segundo se obtendr sustituyendo en la ecuacin de la posicin del tramo BC, t = 4 s:x OC = 625 - 35 4 + 7,5 42 = 425 m , , 425 = 25 4 + C 4 , C 4 = -57,5 m x = -57,5 + 25t

z zv=

25dt = 25t + C 4

TRAMO DE. Su ecuacin es: la ecuacin de la posicin ser:

200 25 t 3 3

x = v dt =

si sustituimos en la ecuacin de la distancia del tramo CD, t por 5 s, obtendremos:x OD = -57,5 + 25 5 = 67,5 m 67,5 = 200 25 525 + C5 3 6 C5 = 485 m 3 x =485 200 25 2 + tt 3 3 6

z

200 25 2 tt + C5 3 6

El movimiento es uniformemente decelerado y transcurridos 8 s el mvil llega al reposo; su deceleracin es:

70


a=

dv 25 =m/s 2 dt 3

y dista del punto de partida:

t=8s

x = 105 m

Problema III-50. Dos puntos materiales A y B se mueven con movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo; la aceleracin de B es doble que la de A y el tiempo que emplea A en su trayectoria es triple que el de B. Qu camino recorre B, con respecto al recorrido por A? SolucinxB = 1 2 at 2 xB 2 = 9 xA

1a 9t 2 xA = 22

Problema III-51. Un automvil que est parado, arranca con una aceleracin de 1,5 m/s2. En el mismo momento es adelantado por un camin que lleva una velocidad constante de 15 m/s. Calcular: 1. Distancia contada desde el punto de cruce en la que alcanza el automvil al camin. 2. Velocidad del automvil en ese momento. Solucin1) x = 1 2 at = vt 2 t =0 2v 30 t= = = 20 s a , 15 2) x = 15 20 = 300m v = at = 15 20 = 30 m/s ,

Problema III-52. Un automvil y un camin parten en el mismo momento, incialmente el coche se encuentra a una cierta distancia del camin; si el coche tiene una aceleracin de 3 m/s2 y el camin de 2 m/s2 y el coche alcanza al camin cuando este ltimo ha recorrido 60 m. Calcular: 1. Distancia inicial entre ambos. 2. Velocidad de cada uno en el momento del encuentro. Solucin1) x C = 1 aC t 2 2xA =

t=

2x C 2 60 = = 2 15 s aC 2d = x A - x C = 30 m

1 1 a A t 2 = 3 60 = 90 m 2 2

2)

v A = a A t = 6 15 m/s

v C = a C t = 4 15 m/s

Problema III-53. Dos cuerpos A y B situados a 2 km de distancia salen simultneamente en la misma direccin y sentido, ambos con movimiento uniformemente acelerado, siendo la aceleracin del ms lento, el B, de 0,32 cm/s2. Deben encontrarse a 3,025 km de distancia del punto de partida del cuerpo B. Calcular el tiempo que invertirn en ello y cul ser la aceleracin de A, as como las velocidades de los dos en el momento de encontrarse. Solucinx B = 302500cm =x A = 502500cm =

1 0,32t 2 21 a At 2 2

t = 1375 s2x A = 0,53 cm/s 2 t2

Problema III-53.

aA =

v A = a A t ~ 728 cm /s ~ 7,28 m/s -

v B = a B t = 400 cm /s = 4,4 m/s

Problema III-54. Desde la cornisa de un edificio de 60 m de alto se lanza verticalmente hacia abajo un proyectil con una velocidad de 10 m/s (tomar g = 9,8 m/s2) . Calcular: 1. Velocidad con que llega al suelo. 2. Tiempo que tarda el llegar al suelo. 3. Velocidad cuando se encuentra en la mitad de su recorrido. 4. Tiempo que tarda en alcanzar la velocidad del apartado 3).

MOVIMIENTO DE CADA DE LOS CUERPOS SOBRE LA TIERRA

71

SolucinTomamos como origen de coordenadas el punto de lanzamiento y como sentido positivo el del eje vertical descendente. Las ecuaciones de este movimiento sern:v = v 0 + gt 1 s = v 0t + gt 2 2 v = 10 + 9,8t 1) y 2) h = 60 m 1 60 = 10t + 9,8t 2 2 v = 10 + 9,8t 3) y 4) h= 30 m 1 2 30 = 10t + 9,8t 2 v 0 = 10 m/s g = 9,8 m/s 2 t = 2,6 s , v = 357 m/s , t = 17 s , v = 262 m/s

Problema III-54.

Problema III-55. Desde el balcn situado a 14,1 m sobre el suelo de una calle, lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tardar en llegar al suelo (g = 9,8 m/s2). SolucinTomando como origen de coordenadas el punto de lanzamiento y como sentido positivo el del eje vertical ascendente, nuestros datos son: v0 = 10 m/sSustituyendo en la ecuacin general:

h = 14,1 mh = v 0t + 1 2 gt 2

g = 9,8 m/s2- 141 = 10t , 1 9,8t 2 2

Ecuacin de segundo grado en t, que resuelta nos da para valores del tiempo: t1 = 3 s y t2 = 0,96 s. El tiempo pedido es 3 s; el tiempo invertido por el cuerpo en subir hasta la cspide del trayecto y caer desde ella hasta al calle. El tiempo negativo 0,96 s (anterior al origen de tiempos) hubiese sido el empleado por el cuerpo lanzado desde el suelo, en subir hasta el origen (O) y pasar por l a la velocidad de 10 m/s hacia arriba (no tiene sentido fsico).

Problema III-55.

Problema III-56. Desde lo alto de una torre de 100 m de alta se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con la velocidad de 15 m/s. La piedra llega a una determinada altura y comienza a caer por la parte exterior de la torre. Tomando como origen de ordenadas el punto de lanzamiento, calcular la posicin y la velocidad de la piedra al cabo de 1 y 4 s despus de su salida. Cul es la altura alcanzada por la piedra y qu tiempo tarda en alcanzarla? Asimismo calcular la velocidad cuando se encuentra a 8 m por encima del punto de partida y cuando cayendo pasa por el punto de partida. Cunto tiempo transcurre desde que se lanz hasta que vuelve a pasar por dicho punto? Cunto tiempo tarda en llegar al suelo y qu velocidad lleva en ese momento? (g = 10 m/s2). SolucinTomamos como sentido positivo el del eje vertical ascendente. Las ecuaciones de este movimiento sern:v = v 0 + gt 1 h = v 0t + gt 2 2v = 15 - 10 1 = 5 m/s (subiendo) t =1s h = 15 1 1 10 12 = 10 m 2 t =4s

v 0 = 15 m/s g = -10 m/s 2v = 15 - 10 5 = -25 m/s (bajando) h = 15 4 1 10 16 = -20 m 2 v =0 15 = 10t h= t= 3 s 2

1 9 45 10 = m 2 4 4

8 = 15t h =8 m

1 10t 2 2

t 1 = 07 s , t 2 = 2,3 s h =0

0 = 15t -

1 10t 2 2

t1 = 0 s t2 = 3 s h = -100m -100= 15t 1 10t 2 2 t ~ 6,2 s -

v1 = 15 - 10 07 = 8 m/s , v 2 = 15 - 10 2,3 = -8 m/s

v1 = 15 - 0 10 = 15 m/s v 2 = 15 - 3 10 = -15 m/s

v = 15 - 10 6,2 = -47 m/s

Problema III-57. Una piedra que cae libremente pasa a las 10h frente a un observador situado a 300 m sobre el suelo, y a las 10h 2 s frente a un observador situado a 200 m sobre el suelo (g = 10 m/s2). Se pide calcular: 1. La altura desde la que cae. 2. En qu momento llegar al suelo. 3. La velocidad con que llegar al suelo.

72


Solucinh1 = 300m h2 = 200m h3 = 100m t1 = 2 s g = 10 m/s 2

1) v 2 = v1 + gt1 h3 = v1t1 + h4 =2 v2

1 2 gt1 2

v 2 = v1 + 10 2 100= 2v1 + h4 =2 v2

1 10 4 2

2g

v1 = 40 m/s v 2 = 60 m/s h4 = 180m

H = 200 + 180= 380m

H = h2 + h4

2 10

2) Llamando t2 al tiempo que tarda en recorrer h1:h1 = v1t 2 + 1 2 gt 2 2 300 = 40t 2 + 1 2 10t 2 2 t2 = 5 s Luego llega al suelo a las 10h 5s

3)

v = 2gH = 2 10 380 = 87 m/s

Problema III-57.

Problema III-58. Determinar la profundidad de un pozo si el sonido producido por una piedra que se suelta en su brocal, al chocar con el fondo, se oye 2 s despus de ser soltada. (Velocidad del sonido: 340 m/s; g = 9,8 m/s2). Solucint1: tiempo de bajada de la piedra. t2: tiempo de subida del sonido. h: profundidad del pozo.1 2 2 gt 1 = 4,9 t 1 2 h = vt 2 = 340t 2 t1 + t 2 = 2 s h=

h = 18,5 m

Problema III-59. Se deja caer una piedra desde un globo que asciende con una velocidad de 3 m/s; si llega al suelo a los 3 s, tomando g = 10 m/s2, calcular: 1. Altura a que se encontraba el globo cuando se solt la piedra. 2. Distancia globo-piedra a los 2 s del lanzamiento. SolucinTomaremos el origen de coordenadas en el punto en que se suelta la piedra. Magnitudes positivas son las que tienen direccin hacia arriba.1) v 0 = 3 m/s g = -10 m/s 2 t =3 s h = v 0t + 1 2 1 gt = 3 3 - 10 9 = -36 m 2 2

2) t = 2 s. h1: distancia del globo al origen en t h2: distancia de la piedra al origen en t . .h1 = v 0t = 3 2 = 6 m h2 = v 0t + 1 1 2 gt = 3 2 - 10 4 = -14 m 2 2 d = 6 + 14 = 20 m

Problema III-59.

Problema III-60. Dos proyectiles se lanzan verticalmente de abajo hacia arriba, el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con la velocidad inicial de 30 m/s. Qu intervalo de tiempo tiene que haber entre los dos lanzamientos para que los dos lleguen a la vez al suelo? (Tomar g = 10 m/s2). SolucinEl tiempo que tarda el primero en llegar al suelo se calcula:h = 0 = v 01t 1 1 2 gt 1 22 50t 1 - 5t 1 = 0

t 1 = 10 s Dt = t 1 - t 2 = 4 s

El tiempo real del segundo ser: 1 2 h = 0 = v 02t 2 - gt 2 22 30t 2 - 5t 2

=0

t2 = 6 s

Problema III-61. Dos proyectiles se lanzan verticalmente hacia arriba con dos segundos de intervalo, el primero con una velocidad inicial de 50 m/s y el segundo con la velocidad inicial de

MOVIMIENTO DE CADA DE LOS CUERPOS SOBRE LA TIERRA

73

80 m/s. Cul ser el tiempo transcurrido hasta que los dos se encuentren a la misma altura? A qu altura suceder? Qu velocidad tendr cada uno en ese momento? (g = 9,8 m/s2). Solucinh = 50t - 4,9t 2 = 80(t - 2) - 4,9 (t - 2)2 50t = 4,9t 2 = 80t - 160- 4,9t 2 - 4,9 4 + 2 4,9 2th ~ 50 3,62 - 4,9 3,622 = 1168 m , -

t ~ 3,62 s -

v1 ~ 50 - 9,8 3,62 = 145 m/s , -

v 2 ~ 80 - 9,8 162 = 641 m/s , , -

Problema III-62. La cabina de un ascensor de altura 3 m asciende con una aceleracin de 1 m/s2. Cuando el ascensor se encuentra a una cierta altura del suelo, se desprende la lmpara del techo. Calcular el tiempo que tarda la lmpara en chocar con el suelo del ascensor. (g = 9,8 m/s2).1er

SolucinMTODO:

En el instante en que empieza a caer el cuerpo al ascensor lleva una velocidad vertical y hacia arriba v. El espacio vertical y hacia abajo que debe recorrer la lmpara es: h (vt + at 2/2) (h = altura del ascensor) y (vt + at 2/2) ascenso del suelo de ste. La lmpara al desprenderse lleva una velocidad inicial hacia arriba v. Aplicando la ecuacin: y = vt + at 2/2, siendo positivas las magnitudes hacia arriba y negativas las descendentes, tendremos:

-h + vt +

1 2 1 at = vt - gt 2 2 2

t=

23 2h s = 074 s , = 9,8 + 1 g +a

2 MTODO: La aceleracin de la lmpara respecto al ascensor, considerando magnitudes positivas hacia abajo, es: aBA = aB aA = 9,8 (1) = 10,8 m /s2h= 1 a BA t 2 2 t= 23 2h = = 074 s , a BA , 108

Problema III-62.

Problema III-63. A una cierta hora del da los rayos solares inciden sobre un lugar con un ngulo j con la horizontal; dejamos caer libremente un cuerpo desde una altura h sobre un terreno horizontal. Calcular la velocidad de la sombra cuando el cuerpo se encuentra a una altura y del suelo. SolucinAl ser:x= y tg j dx 1 dy = dt tg j dt V = 1 v tg j

por otro lado, la velocidad del cuerpo cuando ha recorrido un espacio h y es: Problema III-63.v = 2g (h - y) V = 2g (h - y) tg j

Problema III-64. Si la resistencia que opone el aire en reposo produce una deceleracin a = kv (se opone al movimiento en su seno), y suponiendo que g es constante, calcular: 1. La posicin en funcin del tiempo en el ascenso de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0. 2. La altura mxima alcanzada por el objeto. Solucin1) Trabajando en el eje OY, tomando su direccin positiva hacia arriba; el valor de la aceleracin del movimiento rectilneo que posee el proyectil, ser:. dv a = -g - kv = v = dt - dt =0

z zy

z zt

v

v0

dv g + kv

-t =

g + kv 1 ln k g + kv 0

v=

1 dy (g + kv 0 ) e -kt - g = k dt

dy =

t

0

0

1 (g + kv 0 ) e -kt - g dt k

y (t ) =

1 (g + kv 0 ) (1 - e -kt ) - gkt k2

74


2) En la cspide:

v =0

(g + kv 0 ) e -kt = g

t=

1 g + kv 0 ln k g

sustituyendo en y (t ) y operando:

h=

g + kv 0 1 v 0k - g ln g k2

FG H

IJ K

D) OSCILACIONES FORMULARIO Movimiento vibratorio armnico simple (MAS) en trayectoria recta:

x = A sen (wt + j) . v = x = Aw cos (wt + j) = w

A2 - x 2

w=

. .. 2 2 a = v = x = -Aw sen (wt + j) = -w xComposicin de dosMAS

2p = 2pn T

de la misma direccin y frecuencia:2 2 A 2 = A1 + A 2 + 2A1A 2 cos (j1 - j 2 )

x 1 = A1 sen (wt + j1) x 2 = A 2 sen (wt + j 2 )Si los dosMAS

x = x 1 + x 2 = A sen (wt + j)

tg j =

A1 sen j1 + A 2 sen j 2 A1 cos j1 + A 2 cos j 2

se encuentran en2 2 A 2 = A1 + A 2

CUADRATURA

[j1 j2 = p/2 (2K + 1) p/2, (K Z)]:tg F = A1 A2

j = j1 + F

La partcula en su MAS pasa de P0 Q O R O P0 ... realizando un movimiento de vaivn; en este caso v < j < p/2.

Composicin de n

MAS

de la misma direccin y frecuencia:

A2 = x=i

i i i

j

Ai A j cos (ji - j j ) Ai sen ji Ai cos ji

x i = A sen (wt + j)

tg j =

Composicin de

MAS

de la misma direccin y diferente frecuencia:x = A1 sen (w 1t + j1) + A 2 sen (w 2t + j 2 )

x 1 = A1 sen (w 1t + j1) x 2 = A 2 sen (w 2t + j 2 ) Si: w 1 n 1 T2 n1 = = = w 2 n 2 T1 n2

(con n1 y n2 nmeros primos entre s)

Diversos valores de la fase para distintas posiciones iniciales de la partcula en su MAS.

T = n1T1 = n2T2

OSCILACIONES

75

Composicin de ciones:

MAS

de la misma direccin y pequea diferencia de frecuencia. Modulacin de amplitud. Pulsa2 2 A (t ) = A1 + A 2 + 2 A1 A 2 cos (w1 - w 2 ) t

|w1 - w 2|

cinemática de una partícula

Documents