1. E~"",,~:tek~no es un proyecto lucrativo, sino un esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAM para facilitar el acceso a los materiales necesarios para la educacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamos editar en formato digital libros que por su alto costo, o bien porque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no son accesibles para todos. Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto a sugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y a ayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin. El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin de cualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas. Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad de Ciencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguiente direccin de correo electrnico: eduktodos@gmail.comhttp:// eduktodos. dyndns. org

2. Calculus 3. TOIT1M. ApostolCALCULUS VOLUMEN IClculo con funciones de una variable, con una introduccin al lgebra lineal Segunda edicinEDITORIAL" REVERTE,S. A.Barcelona - Bogot - Buenos Aires - Caracas -Mxico 4. Ttulo de la obra original: CALCULUS, One -Variable Calculus, with an introduction to Linear Algebra Edicin original en lengua inglesa publicada por: Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts Copyright by Blaisdell Publishing Company, 1967 Versin espaola por: Dr. D. Francisco Vlez Cantarell Profesor adjunto de la Facultad de Ciencias de Barcelona Revisada por: Dr. D. Enrique Lins Escard Catedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona - ESPAA E-mail: reverte@reverte.com Internet: http://www.reverte.comyREVERT EDICIONES, S.A. DE C.V Ro Pnuco 141 Col Cuauhtmoc c.P. 06500 Mxico, D.F. - MXICO E-mail: resavbp@data.neLmx 101545.2361@compuserve.comReservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1984 REVERT EDICIONES, s. A. de C.V., 1999 9" Reimpresin2001Impreso en Espaa - Printed in Spain ISBN - 84 - 291 - 5002 - 1 (Espaa) ISBN - 968 - 6708 - 10 - 3 (Mxico) Depsito Legal: B - 32464 - 2001 Impreso por Imprimeix S.L. Eduard Maristany, 100 08912 Badalona (Barcelona) 5. a JaneyStephen 6. PRLOGOExtracto del prlogo a la primera edicinParece que no hay acuerdo sobre 10 que ha de constituir un primer curso de Clculo y Geometra Analtica. Unos sostienen que el camino verdadero para entender el Clculo principia con un estudio completo del sistema de los nmeros reales desarrollndolo paso a paso de manera lgica y rigurosa. Otros insisten en que el Clculo es ante todo un instrumento para los ingenieros y fsicos; y por consiguiente, que un curso debe llevar a las aplicaciones del Clculo apelando a la intuicin, para despus, por el ejercicio en la resolucin de problemas, alcanzar destreza operatoria. En ambos puntos de vista hay mucha parte de razn. El Clculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemtica pura. Al mismo tiempo es muy importante recordar que el Clculo tiene profundas races en problemas fsicos y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad de sus aplicaciones. Mas es posible combinar un desarrollo terico riguroso con una sana formacin tcnica, y este libro representa un intento de establecer un sensible equilibrio entre las dos tendencias. Aunque se trate el Clculo como ciencia deductiva, no por eso se abandonan las' aplicaciones a problemas fsicos. Las demostraciones de todos los teoremas importantes se consideran como una parte esencial en el desarrollo de las ideas matemticas, y con frecuencia van precedidas de una discusin geomtrica o intuitiva para dar al estudiante una visin ms penetrante del porqu de la demostracin. Aunque estas discusiones intuitivas pueden ser suficientes para el lector que no est interesado en los detalles de la demostracin, tambin se incluye la demostracin completa para aquellos que prefieran una exposicin ms rigurosa. La disposicin de este libro ha sido sugerida por el desarrollo histrico y filosfico del Clculo y la Geometra Analtica. Por ejemplo, se estudia la integracin antes de la diferenciacin. Aunque esta manera de ordenar la materia del curso sea poco frecuente, es histricamente correcta y pedaggicamente adecuada. Adems, es el mejor camino para hacer patente la verdadera conexin entre la derivada y la integral. El concepto de integral se define en primer lugar para funciones escalonadas. Puesto que la integral de una funcin escalonada no es ms que una suma, la VII 7. VIIIPrlogoteora de la integracin es extremadamente sencilla en este caso. Mientras el estudiante aprende las propiedades de la integral para funciones escalonadas, adquiere experiencia en el uso de la notacin sumacin y al mismo tiempo se familiariza con el simbolismo de la integral. De esta manera se van construyendo los peldaos para que la transicin de funciones escalonadas a otras funcicnes ms generales parezca fcil y natural.Prlogo a la segunda edicinLa segunda edicin difiere de la primera en muchos aspectos. Se ha aadido el lgebra lineal; los teoremas del valor medio y las aplicaciones del Clculo se han introducido en los primeros captulos, y se ha aadido buen nmero de nuevos y sencillos ejercicios. Una inspeccin del ndice revela que el libro se ha dividido en captulos de menor extensin, desarrollndose cada uno sobre un concepto importante. Varias secciones han sido escritas de nuevo y reorganizadas para proporcionar una mejor fundamentacin y mejorar la fluidez de las ideas. Al igual que en la primera edicin, cada concepto nuevo importante viene precedido de una introduccin histrica, que describe su desarrollo desde una primera nocin fsica intuitiva hasta su formulacin matemtica precisa. El estudiante descubre en parte los esfuerzos del pasado y los triunfos de los hombres que ms han contribuido al tema. De este modo el estudiante se convierte en participante activo en la evolucin de las ideas y no queda como mero observador pasivo de los resultados. La segunda edicin, como la primera, est dividida en dos volmenes. Las dos terceras partes primeras del Volumen 1 tratan del Clculo con funciones de una variable, incluyendo las series y una introduccin a las ecuaciones diferenciales. La ltima tercera parte del Volumen 1 introduce el lgebra lineal con aplicaciones a la Geometra y al Anlisis. Gran parte de estos temas se apoya slidamente en el clculo de ejemplos que ilustran la teora general. Ello proporciona una mezcla de lgebra y de Anlisis y contribuye a preparar el camino para la transicin del Clculo con una variable al Clculo con varias variables, que se trata en el Volumen Il. Un desarrollo ms amplio de lgebra lineal se har necesario en la segunda edicin del Volumen 11. Una vez ms reconozco con agrado mi deuda con los profesores H. F. Bohnenblust, A. Erdlyi, F. B. Fuller, K. Hoffman, G. Springer, y H. S. Zuckerman. Su influencia en la primera edicin ha continuado en la segunda. En la preparacin de la segunda edicin, recib tambin la ayuda del profesor Basil Gordon, que sugiri muchas mejoras. Estoy tambin agradecido a George Springer y William P. Ziemer, que leyeron las ltimas pruebas. El personal de Blaisdell Publishing Company, como siempre, ha prestado una gran ayuda; aprecio su simptica aceptacin de mis deseos en lo relativo al formato y a la tipografa. 8. PrlogoIXPor ltimo, tengo especial satisfaccin en expresar mi gratitud a mi esposa por haber contribuido en diversas formas a la preparacin de las dos ediciones. En testimonio de mi agradecimiento le dedico este libro.T.M.A. Pasadena,California 9. NDICE ANALTICOl.INTRODUCCINParte 1. Introduccin 11.1 I 1.2 I 1.3 *1 1.4 I 1.5 I 1.6Los dos conceptos bsicos del Clculo Introduccin histrica El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola Ejercicios Anlisis crtico del mtodo de Arqumedes La introduccin al Clculo que se utiliza en este libroParte 2. I I I I I2.1 2.2 2.3 2.4 2.53.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7I 3.8 I 3.91 3 49 1012Conceptos bsicos de la teora/ de conjuntosIntroduccin a la teora de conjuntos Notaciones para designar conjuntos Subconjuntos Reuniones, intersecciones, complementos EjerciciosParte 3. I I *1 I *1 I Ihistrica1314 15 17 19Un conjunto de axiomas para el sistema de nmeros realesIntroduccin Axiomas de cuerpo Ejercicios Axiomas de orden Ejercicios Nmeros enteros y racionales Interpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntos de una recta Cota superior de un conjunto, elemento mximo, extremo superior Axioma del extremo superior (axioma de completitud) XI2122 2424 26 2628 28 30 10. /ndice analticoXII I I *1 *13.10 3.11 3.12 3.13*1 3.14 *1 3.15La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales Propiedades fundamentales del extremo superior Ejercicios Existencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativos Races de orden superior. Potencias racionales Representacin de los nmeros reales por medio de decimales3233 34 3536 37Parte 4. Induccin matemtica, smbolos sumatorios y cuestiones relacionadas I 4.1 I 4.2 *1 4.3I 4.4 *1 4.5I 4.6 I 4.7 I 4.8I 4.9 *1 4.10Ejemplo de demostracin por induccin matemtica El principio de la induccin matemtica El principio de buena ordenacin Ejercicios Demostracin del principio de buena ordenacin El smbolo sumatorio Ejercicios Valor absoluto y desigualdad triangular Ejercicios Ejercicios varios referentes al mtodo de induccin40 4142 44 4546 49 50 53 541. LOS CONCEPTOS DEL CLCULO INTEGRAL 1.1 1.2 *1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9Las ideas bsicas de la Geometra cartesiana Funciones. Ideas generales y ejemplos Funciones. Definicin formal como conjunto de pares ordenados Ms ejemplos de funciones reales Ejercicios El concepto de rea como funcin de conjunto Ejercicios Intervalos y conjuntos de ordenadas Particiones y funciones escalonadas 1.10 Suma y producto de funciones escalonadas 1.11 Ejercicios 1.12 Definicin de integral para funciones escalonadas 1.13 Propiedades de la integral de una funcin escalonada 1.14 Otras notaciones para las integrales 1.15 Ejercicios 1.16 La integral de funciones ms generales 1.17 Integrales superior e inferior 1.18 El rea de un conjunto de ordenadas expresada como una integral59 6165 6669 70 7374 75 77 78 79 81 85 86 88 91 92 11. lndice analticoXIIl1.19 1.20 1.21 1.22 1.23Observaciones relativas a la teora y tcnica de la integracin Funciones montonas y montonas a trozos. Definiciones y ejemplos Integrabilidad de funciones montonas acotadas Clculo de la integral de una funcin montona acotada Clculo de la integral f~ xP dx siendo p entero positivo931.24 1.25 1.26 1.27Propiedades fundamentales de la integral Integracin de polinomios Ejercicios Demostraciones de las propiedades fundamentales2. ALGUNAS APLICACIONES INTEGRACIN 2.12.2 2.3 2.42.5 2.6 2.72.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.1994 95 979899 101 102 104de la integralDE LAIntroduccin El rea de una regin comprendida entre dos grficas expresada como una integral Ejemplos resueltos Ejercicios Las funciones trigonomtricas Frmulas de integracin para el seno y el coseno Descripcin geomtrica de las funciones seno y coseno Ejercicios Coordenadas polares La integral para el rea en coordenadas polares Ejercicios Aplicacin de la integracin al clculo de volmenes Ejercicios Aplicacin de la integracin al concepto de trabajo Ejercicios Valor medio de una funcin Ejercicios La integral como funcin del lmite superior. Integrales indefinidas Ejercicios109 109 111 116 117 121 126 129 133 134 136 137 140 141 144 145 147 148 1533. FUNCIONES CONTINUAS 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5Idea intuitiva de continuidad Definicin de lmite de una funcin Definicin de continuidad de una funcin Teoremas fundamentales sobre lmites. Otros ejemplos funciones continuas Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre lmites155 156 160 de 162 167 12. ndice analticoXIV 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20Ejercicios Funciones compuestas y continuidad Ejercicios Teorema de Bolzano para las funciones continuas Teorema del valor intermedio para funciones continuas Ejercicios El proceso de inversin Propiedades de las funciones que se conservan por la inversin Inversas de funciones montonas a trozos Ejercicios Teorema de los valores extremos para funciones continuas Teorema de la continuidad uniforme Teorema de integrabilidad para funciones continuas Teoremas del valor medio para funciones continuas Ejercicios4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.54.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21169 172 174 175 177 178 179 180 182 183 184 186 187 189 190CLCULO DIFERENCIALIntroduccin histrica Un problema relativo a velocidad Derivada de una funcin Ejemplos de derivadas lgebra de las derivadas Ejercicios Interpretacin geomtrica de la derivada como una pendiente Otras notaciones para las derivadas Ejercicios Regla de la cadena para la derivacin de funciones compuestas Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variacin ligados y derivacin implcita Ejercicios Aplicaciones de la derivacin a la determinacin de los extremos de las funciones Teorema del valor medio para derivadas Ejercicios Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geomtricas de las funciones Criterio de la derivada segunda para los extremos Trazado de curvas Ejercicios Ejemplos resucitas de problemas de extremos Ejercicios191 192 195 197 201 204207 209 211 213 216 219 221 224 227228 230 231 233 234237 13. xvIndice analtico ':'4.22 ':'4.23Derivadas Ejercicios5.239parciales245RELACINENTRE INTEGRACINy DERIVACIN 5.15.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 ':'5 .11La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental de l c lculo Teorema de la derivada nula Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del clculo Propiedades de una funcin deducidas de propiedades de su derivada Ejercicios La notacin de Leibniz para las primitivas 1ntegracin por sustitucin Ejercicios 1n tcgracin por partes Ejercicios Ejercicios de repaso247 250 250 253 254 257 259264 266 269 2726. F C1CTN LOGARITMO, FUNCIN EX POXENCIAL y FUNCIONES TRIGONOM~TRICASINVERSAS 16.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.126.13 6.146.156.16J ntrcduccin Definicin del logaritmo natural como integral Definicin de logaritmo. Propiedades fundamentales Grfica del logaritmo natural Consecuencias de la ecuacin funcional L(ab) = L(a) Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1 Frmulas de derivacin e integracin en las que logaritmos Derivacin logartmica Ejercicios Polinomios de aproximacin para el logaritmo Ejercicios La funcin exponencial Exponenciales expresadas como potencias de e Definicin de e' para x real cualquiera Definicin de a" para a>O y x real Frmulas de derivacin e integracin en las que exponenciales+ L(b)277 278 281 282 282 284intervienen286 288 289 291296 296 298 299300 intervienen300 14. XVI 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26lndice analtico Ejercicios Funciones hiperblicas Ejercicios Derivadas de funciones inversas Inversas de las funciones trigonomtricas Ejercicios Integracin por fracciones simples Integrales que pueden transformarse en integrales racionales Ejercicios Ejercicios de repaso304 307 308 308 309 314 316 de funciones 323 326 3287. APROXIMACIN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS 7.1 7.2 7.3 7.4 7.57.6 *7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17Introduccin Polinomios de Taylor engendrados por una funcin Clculo con polinomios de Taylor Ejercicios Frmula de Taylor con resto Estimacin del error en la frmula de Taylor Otras formas de la frmula de TayIor con resto Ejercicios Otras observaciones sobre el error en la frmula de Taylor. notacin 0Aplicaciones a las formas indeterminadas Ejercicios Regla de L'Hpital para la forma indeterminada O/O Ejercicios Los smbolos + 00 y - oo , Extensin de la regla de L'Hpital Lmites infinitos Comportamiento de log x y ea: para valores grandes de x Ejercicios333 335 337 340 341 342 347 348 La 350 354 356 357 362 363366 368 3718. INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5Introduccin Terminologa y notacin Ecuacin diferencial de primer orden para la funcin Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Ejerciciosexponencial373 374 376 377 381 15. In dice analtico 8.68.7 8.88.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.158.16 8.17 8.18 8.19 8.208.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28Algunos problemas fsicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden Ejercicios Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Existencia de soluciones de la ecuacin y" + by = O Reduccin de la ecuacin general al caso particular y" + by = O Teorema de unicidad para la ecuacin y" + by =O Solucin completa de la ecuacin y" + by = O Solucin completa de la ecuacin y" + ay' + by = O Ejercicios Ecuaciones lineales no homogneas de segundo orden con coeficientes constantes Mtodos particulares para la determinacin de una solucin particular de la ecuacin no homognea y" + ay' + by = R Ejercicios Ejemplos de problemas fsicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Ejercicios Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales Curvas integrales y campos direccionales Ejercicios Ecuaciones separables de primer orden Ejercicios Ecuaciones homogneas de primer orden Ejercicios Algunos problemas fsicos y geomtricos que conducen a ecuaciones de 'primer orden Ejercicios de repasoXVII382 390 394 395 396 397 398 399 401 402 406 408 408 414 416 417 421 422 424425 429 429 4349. NMEROS COMPLEJOS 9.19.2 9.3 9.4 9.5 9.69.7 9.8 9.9 9.10Introduccin histrica Definiciones y propiedades Los nmeros complejos como una extensin de los nmeros reales La unidad imaginaria i Interpretacin geomtrica. Mdulo y argumento Ejercicios Exponenciales complejas Funciones complejas Ejemplos de frmulas de derivacin e integracin Ejercicios437 437440 441 443 445 446 449 451 453 16. XVIIIlndice analtico10. SUCESIONES, SERIES, INrrEGRALES IMPROPIAS 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 *10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 * 10.21 10.22 10.23 10.24La paradoja de Zenn Sucesiones Sucesiones montonas de nmeros reales Ejercicios Series infinitas Propiedad de linealidad de las series convergentes Series telescpicas Serie geomtrica Ejercicios Ejercicios con expresiones decimales Criterios de convergencia Criterios de comparacin para series de trminos no negativos El criterio integral Ejercicios Criterios de la raz y del cociente para series de trminos no negativos Ejercicios Series alternadas Convergencia condicional y absoluta Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel Ejercicios Reordenacin de series Ejercicios varios de repaso Integrales impropias Ejercicios457 462 465 467469 471 472 474 477 479 480 482484 486 487 490 492 496496 499 501 506 508 51311. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.911.10Convergencia puntual de sucesiones de funciones Convergencia uniforme de sucesiones de funciones Convergencia uniforme y continuidad Convergencia uniforme e integracin Una condicin suficiente para la convergencia uniforme Series de potencias. Crculo de convergencia Ejercicios Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias Serie de Taylor generada por una funcin Condicin suficiente para la convergencia de una serie de Taylor517 519 520521 522 524 526 528532 532 17. XIXndice analtico 11.11 *11.12 11.13 11.14 11.15 11.16Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonomtricas Teorema de Bernstein Ejercicios Series de potencias y ecuaciones diferenciales La serie binmica Ejercicios533 535 536 538 54154212. LGEBRA VECTORIAL 12.1 12.2 12.3 12.4 12.512.6 12.7 12.812.9 12.10 12.11 12.12 12.13 12.14 12.15 12.16 12.17Introduccin histrica El espacio vectorial de las n-plas de nmeros reales Interpretacin geomtrica para n ::;3 Ejercicios Producto escalar Longitud o norma de un vector Ortogonalidad de vectores Ejercicios Proyecciones. ngulo de dos vectores en el espacio n dimensiones Los vectores coordenados unitarios Ejercicios Envolvente lineal de un conjunto finito de vecotres Independencia lineal Bases Ejercicios El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de nmeros complejos Ejercicios545 546 549551 552 554557 558de 559561 563565567 570 571573 57513. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECrrORIAL A LA GEOMETRA ANALTICA 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9Introduccin Rectas en el espacio n-dimensional Algunas propiedades sencillas de las rectas Rectas y funciones vectoriales Ejercicios Planos en el espacio eucldeo n-dimensional Planos y funciones vectoriales Ejercicios Producto vectorial577 578 579 581 584 585 589 590 591 18. lndice analticoxx 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.15 13.16 13.17 13.18 13.19 13.20 13.21 13.22 13.23 13.24 13.25El producto vectorial expresado en forma de determinante Ejercicios Producto mixto Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales Ejercicios Vectores normales a planos Ecuaciones lineales cartesianas para planos Ejercicios Las secciones cnicas Excentricidad de las secciones cnicas Ecuaciones polares de las cnicas Ejercicios Cnicas simtricas respecto al origen Ecuaciones cartesianas de las cnicas Ejercicios Ejercicios varios sobre cnicas595 597598 601 602 604606 607 609 612 614 615 616 618 621 62314. CLCULO CON FUNCIONES VECTORIALES14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14 14.15 14.16 14.17 14.18Funciones vectoriales de una variable real Operaciones algebraicas. Componentes Lmites, derivadas e integrales Ejercicios Aplicaciones a las curvas. Tangencia Aplicaciones al movimiento curvilneo. Vector velocidad, velocidad y aceleracin Ejercicios Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva Ejercicios Definicin de longitud de un arco Aditividad de la longitud de arco Funcin longitud de arco Ejercicios Curvatura de una curva Ejercicios Los vectores velocidad y aceleracin en coordenadas polares Movimiento plano con aceleracin radial Coordenadas cilndricas14.19Eiercicios14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8627 627 628 632 633 637 641 643 646 648 651 652 655 657 659 660 663 664 665 19. XXIIn dice analtico 14.20 14.21Aplicaciones al movimiento Ejercicios de repaso667 671planetario15. ESPACIOS LINEALES 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 15.13 15.14 15.15 15.16Introduccin Definicin de espacio lineal Ejemplos de espacios lineales Consecuencias elementales de los axiomas Ejercicios Subespacios de un espacio lineal Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal Bases y dimensin Ejercicios Productos interiores, espacios eucldeos. Normas Ortogonalidad en un espacio eucldeo Ejercicios Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt Complementos ortogonales. Proyecciones Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por elementos de un subespacio de dimensin finita Ejercicios16. TRANSFORMACIONES Y MATRICES 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16675 675 677 679 680 681 683 685 686687 691 694696 701 704706LINEALESTransformaciones lineales Ncleo y recorrido Dimensin del ncleo y rango de la transformacin Ejercicios Operaciones algebraicas con transformaciones lineales Inversas Transformaciones lineales uno a uno Ejercicios Transformaciones lineales con valores asignados Representacin matricial de las transformaciones lineales Construccin de una representacin matricial en forma diagonal Ejercicios Espacios lineales de matrices Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices Multiplicacin de matrices Ejercicios709 711 712 714 716 718 721723 725 726 730 732 733 735 736 740 20. XXIIlndice analtico16.17 Sistemas de ecuaciones lineales 16 .18 Tcnicas de clculo 16.19 Inversas de matrices cuadradas 16.20 Ejercicios 16.21 Ejercicios varios sobre matrices Soluciones a los ejercicios ndice alfabtico742745 750 752754 757 805 21. Calculus 22. INTRODUCCIN Parte l.1 1.1- IntroduccinhistricaLos dos conceptos bsicos del ClculoEl considerable progreso habido en la ciencia y en la tcnica durante los ltimos cien aos procede en gran parte del desarrollo de las Matemticas. La rama de la Matemtica conocida por Clculo integral y diferencial es un instrumento natural y poderoso para atacar mltiples problemas que surgen en Fsica, Astronoma, Ingeniera, Qumica, Geologa, Biologa, y en otros campos, incluyendo recientemente algunos de Ciencias sociales. Para dar una idea al lector de los muy diversos tipos de problemas que pueden tratarse por los mtodos de Clculo se expone a continuacin una pequea muestra de cuestiones seleccionadas entre los ejercicios que aparecen en captulos posteriores de este libro. Con qu velocidad debera ser impulsado un cohete para que nunca volviera a la Tierra? Cul es el radio del menor disco circular que cubra a todo tringulo issceles de permetro L? Cul es el volumen de material extrado de una esfera de radio 2r al atravesarla por un orificio cilndrico de radio r cuyo eje pase por el centro de la esfera? Si un cultivo de bacterias crece en razn directa a la cantidad que hay en cada instante, y la poblacin se duplica en una hora, en cunto se habr incrementado al cabo de dos horas? Si una fuerza de diez libras estira una cuerda elstica una pulgada, qu trabajo se necesita para estirarla un pie? Estos ejemplos, elegidos en distintos campos, ilustran algunas de las cuestiones tcnicas que pueden ser resueltas como aplicaciones ms o menos rutinarias del Clculo. El Clculo no slo es un instrumento tcnico, sino que contiene una coleccin de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante centurias. Estas ideas estn relacionadas con velocidad, rea, volumen, razn de crecimiento, tangente a una lnea, y con otros conceptos referentes a otros dominios. El Clculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acerca del significado de estos conceptos. Otro carcter notable del Clculo es su poder 23. 2Introduccinunificador. Muchos de estos problemas pueden ser formulados de manera que se reduzcan a otros problemas de naturaleza puramente geomtrica. A continuacin se procede a una breve descripcin de tales problemas. Considrese una curva C situada encima de una lnea horizontal base, como se indica en la figura 1.1. Se supone que esta curva tiene la propiedad de ser cortada por cada vertical, en un punto a lo ms. La parte sombreada de la figura est formada por aquellos puntos situados por debajo de la curva C, encima de la horizontal, y entre dos segmentos verticales paralelos que unen C con la base. El primer problema fundamental del Clculo es el siguiente: Determinarun nmero que mida el rea de esta regin sombreada. Considrese despus una recta que sea tangente a la curva, tal como se ve en la figura 1.1. El segundo problema fundamental puede formularse de la siguiente manera: Determinar un nmero que mida la pendiente de esta recta.FIGURAI.1Fundamentalmente, el Clculo se ocupa en la formulacin precisa y la resolucin de estos dos problemas considerados. En el Clculo se definen los conceptos de rea y tangente y se calculan el rea de una regin dada y la pendiente de la tangente a una curva dada. El Clculo integral se ocupa del problema del rea y ser discutido en este captulo 1. El Clculo diferencial se ocupa del problema de la tangente y ser introducido en el captulo 4. El estudio del Clculo exige una cierta preparacin matemtica. El presente captulo trata de estos conceptos bsicos y est dividido en cuatro partes: La l ." parte da una perspectiva histrica; la 2.a se refiere a la notacin y terminologa en la matemtica de conjuntos; la 3.a trata del sistema de nmeros reales; la 4.a ofrece la induccin matemtica y la notacin sumatoria. Si el lector est informado de estos temas, puede abordar directamente el desarrollo del Clculo integral en el captulo 1. Si no, deber familiarizarse con las materias contenidas en esta introduccin antes de iniciar el captulo 1. 24. 1ntroduccin I 1.2Introduccinhistrica3histricaEl origen del Clculo integral se remonta a ms de 2000 aos, cuando los griegos intentaban resolver el problema del rea ideando el procedimiento que llamaron mtodo de exhaucin. Las ideas esenciales de este mtodo son realmente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada una regin cuya rea quiere determinarse, se inscribe en ella una regin poligonal que se aproxime a la dada y cuya rea sea de fcil clculo. Luego se elige otra regin poligonal que d una aproximacin mejor y se contina el proceso tomando polgonos con mayor nmero de lados cada vez, tendiendo a llenar la regin dada. La figura 1.2 es una ilustracin del mtodo en el caso de una regin semicircular. Este mtodo fue usado satisfactoriamente por Arqumedes (287212 A.C.) para hallar frmulas exactas de las reas del crculo y de algunas otras figuras especiales. Desde Arqumedes, el desarrollo del mtodo de exhaucin tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de smbolos y tcnicas algebraicas se hizo preciso en los estudios matemticos. El lgebra elemental que hoy da es familiar a la mayora de los alumnos de los ltimos cursos de enseanza secundaria, era totalmente desconocida en tiempos de Arqumedes, lo que haca imposible extender el mtodo a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada de poder expresar los largos clculos en forma simplificada.FIGURA1.2El mtodode exhaucinaplicado a una regin semicircular.Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemticas, empez en el siglo XVI D.C. El engorroso sistema de numeracin romano fue desplazado gradualmente por los caracteres arbigos utilizados hoy da; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y se empezaron a reconocer las ventajas de la notacin decimal. Durante este mismo perodo, los brillantes resultados de los matemticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari que dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cbica y curtica, estimul el desarrollo de la Matemtica y anim a la aceptacin del lenguaje algebraico nuevo y superior. Con la introduccin muy extendida de los bien elegidos smbolos algebraicos, revivi el inters por el antiguo mtodo de exhaucin y en el siglo XVI descubrieron mltiples resultados parciales, los que como Cavalieri, Toricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros. 25. Introduccin4Gradualmente, el mtodo de exhaucin fue transformndose en lo que hoy se conoce como Clculo integral, nueva y potente disciplina que tiene numerossimas aplicaciones no slo en problemas relativos a reas y volmenes, sino tambin en problemas de otras ciencias. Este mtodo, que mantiene alguno de los caracteres originales del mtodo de exhaucin, recibi su mayor impulso en el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y su desarrollo continu durante el siglo XIX, hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron una base matemtica firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teora han llegado hasta la Matemtica contempornea.1 1.3 El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola Antes de proceder al estudio sistemtico del Clculo integral, ser instructivo aplicar el mtodo de exhaucin directamente a una de las figuras particulares tratadas por el mismo Arqumedes. La regin en cuestin est presentada en la figura 1.3 y puede describirse como sigue: Si se elige un punto arbitrario de la base de la figura y se designa por x su distancia a 0, la distancia vertical de este punto a la curva es x', En particular, si la longitud de la base es b la altura de la figura es b2 La distancia vertical de x a la curva se denomina ordenada de x. La curva as descrita se denomina parbola y la regin limitada por ella y por los dos segmentos rectilneos, se llama segmento parablico.r-----------------o FIGURAx 1.3SegmentoAproximacin parablicopor defecto FIGURAAproximacin 1.4por exceso 26. El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola5.Esta figura puede encerrarse en un rectngulo de base b y altura b", como se ve en la figura 1.3. Observando la figura parece natural afirmar que el rea del segmento parablico es menor que la mitad del rea del rectngulo. Arqumedes hizo el sorprendente descubrimiento de que el rea del segmento parablico es exactamente un tercio de la del rectngulo; es decir, A = b3/3, donde A designa el rea del segmento parablico. Se ver a continuacin cmo se llega a este resultado. Se hace notr que el segmento parablico dibujado en la figura 1.3 no est elegido exactamente tal como lo dibuj Arqumedes y que los detalles querea del rectnguloob" n= -. k2FIGURA1.5b2bkbnnn...Clculo del rea de un segmentob = nbn parablico.siguen no son exactamente los utilizados por l. Sin embargo, las ideas esenciales son las de Arqumedes; lo que aqu se expone puede considerarse como el mtodo de exhaucin expuesto con la notacin moderna. El mtodo consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en un cierto nmero de bandas y se obtienen dos aproximaciones de la regin, una por defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos de rectngulos como se indica en la figura 1.4. (Se utilizan rectngulos mejor que polgonos arbitrarios para simplificar los clculos.) El rea del segmento parablico es mayor que el rea total de los rectngulos interiores pero menor que la de los rectngulos exteriores. Si cada banda se subdivide a su vez, se obtiene una nueva aproximacin con mayor nmero de bandas, la reunin de las reas de los rectngulos inte- 27. Introduccin6riores crece, mientras que el total de las reas de los rectngulos exteriores decrece. Arqumedes vio que se poda lograr el rea con el grado de aproximacin deseado sin ms que tomar un nmero suficiente de bandas. El clculo efectivo en este caso se realiza como se indica a continuacin. Con objeto de simplificar se subdivide la base en n partes iguales, cada una de longitud bf n (vase fig. 1.5). Los puntos de subdivisin corresponden a los siguientes valores de x:o, ~ , 2b nn, 3b , ... n, (n nl)b , nb = b . nLa expresin general de un punto de la subdivisin es x =kb I n, donde k toma los valores sucesivos k = O, 1, 2, 3, .. , n, En cada punto kb I n se construye el rectngulo exterior de altura (kbln)2 como se indica en la figura 1.5. El rea de este rectngulo es el producto de la base por la altura y es igual a:Si se designa por S; la suma de las reas de todos los rectngulos exteriores, puesto que el rea del rectngulo k-simo es (b3 I n3)k2 se tiene la frmula:(1.1 )De forma anloga se obtiene la frmula para la suma s de todos los rectngulos interiores:(1.2)La forma de estas sumas es de gran importancia para su clculo. Ntese que el factor que multiplica a b" I n3 en la ecuacin (1.1) es la suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales: 12+ 2 + ... + n 22 (El factor correspondiente en la ecuacin (1.2) es anlogo salvo que la suma tiene nicamente n - 1 sumandos.) Para valores grandes de n la obtencin de esta suma por adicin directa de sus sumandos es pesada, pero afortunada- 28. El mtodode exhaucinpara el rea de un segmentomente existe una interesante identidad que hace posible un camino ms simple, y es la siguiente: 12 + 22 +"'+n(1.3)23de parbolaobtener2n n =-+-+-. 3 27esta suma porn 6Esta identidad es vlida para todo entero n 2: 1 Y puede demostrarse del siguiente modo: Se parte de la frmula (k+ l)3=k8+3F+3k+ 1 Y se pone en la forma+ 3k + 1 = (k + 1)3 -3k2 Haciendok = 1, 2, ... , n - 1, obtenemosk3.las n - 1 frmulas3 . 12 + 3 . 1Al sumar estas frmulas, excepto dos y se obtiene 3[P + 22 + ...+ (n-3 -133 . 223(n -3 -231)2+ 1 =2 + 3 .2 + 1= 3+ 3(n-1)+1=todos los trminos1)2]+ 3[1n3(n --1)3.del segundo+ (n -+ 2+ ...miembro+ (n1)]-se reducen1) = n3-P.La segunda suma del primer miembro es la suma de los trminos de una progresin aritmtica cuyo valor es t n(n - 1). Por tanto la ltima igualdad nos da 12+ 22 + ...+ (n - 1)232= !!..-_ !!..-3(lA)2+ !:!. . 6Sumando n' a los dos miembros, obtenemos (1.3). Las expresiones exactas dadas en los segundos miembros de (1.3) y (1.4) no son necesarias para el objeto que aqu se persigue, pero sirven para deducir fcilmente las dos desigualdades que interesan (I.5)12 + 22+ ... + (n3- 1)2n b3j(A-b3j3). Por tanto, la desigualdad A> b' j 3 conduce a una contradiccin. De forma anloga se demuestra que la desigualdad A < b" j 3 conduce a su vez a una contradiccin y por tanto debe ser A = b3j3 como se ha afirmado antes.*1 1.4Ejercicios1. (a) Modificar la regin en la figura 1.3 tomando como ordenada para cada x el valor en vez de x2 Dibujar la nueva figura. Sganse en este caso los pasos principales apartado anterior y comprense ambos, estudiando la repercusin del cambio en el culo de A. Efectese lo mismo si la ordenada en cada x es: (b) 3x2, (e) !x2, (d) 2x2 + 1, (e) ax2 + c. 2. Modifquese la regin en la figura 1.3 tomando como ordenada para cada x, x3 en de x2 Dibjese la nueva figura. (a) sese una construccin anloga a la dibujada en la figura 1.5 y prubese que sumas interior y exterior S; y s, estn dadas por(b) Utilcense las desigualdades Seccin 1 4.2). (1.12)t3(que pueden+ 23 + ... + (n-1)3probarsepor induccincompleta;2x2del cl-vez lasvasen4 4< - < 13 + 23 + ... + n3para demostrar que s; < b4/4 < S; para cada n, y probar que b4/4 es el nico nmero comprendido entre s, y S; para cada n, (e) Qu nmero sustituye a b4/4 si la ordenada en cada x es ax3 + c? 31. Introduccin103. Las desigualdades (1.5) y (1.12) son casos particulares de las desigualdades ms generales(1.13)lk+ 2k + ... + (nnk+1- l)k< -k+1< lk + 2k + ... + nkque son vlidas para cada entero n ~ 1 Y cada entero k generalcense los resultados del ejercicio 2.1 1.5 1.Supuestas vlidas (1.13)Anlisis crtico del mtodo de ArqumedesMediante clculos anlogos a los realizados en el apartado 1 1.3, Arqumedes lleg a la conclusin de que el rea del segmento parablico considerado es b3/3. Este hecho se acept como un teorema matemtico, hasta que pasados unos 2000 aos se pens que deban analizarse los resultados desde un punto de vista ms crtico. Para comprender por qu hubo quien puso en duda la validez de las conclusiones de Arqumedes, es necesario tener presente los cambios importantes que han tenido lugar en la reciente historia de la Matemtica. Cada rama del conocimiento es un conjunto de ideas descritas por medio de palabras y smbolos, y no se pueden comprender estas ideas sin un conocimiento exacto de las palabras y smbolos que se utilizan. Ciertas ramas del conocimiento conocidas por sistemas deductivos, se distinguen de otras porque en ellas se elige a priori un nmero de conceptos no definidos y todo otro concepto en el sistema se define a partir de aqullos. Ciertas relaciones entre estos conceptos no definidos se toman como axiomas o postulados y otras relaciones que pueden deducirse de estos axiomas se denominan teoremas. El ejemplo ms familiar de sistema deductivo es la Geometra elemental euclidiana, que ha sido estudiada por toda persona culta desde la poca de la Grecia antigua. El espritu de la Matemtica griega, siguiendo el mtodo de postulados y teoremas como en la Geometra de los Elementos de Euclides, domin el pensamiento de los matemticos hasta la poca del Renacimiento. Una fase nueva y vigorosa en el desarrollo de la Matemtica empez con la aparicin del lgebra en el siglo XVI; Y los 300 aos que siguieron fueron testigos de gran cantidad de descubrimientos importantes. El razonamiento lgico preciso del mtodo deductivo con el uso de axiomas, definiciones y teoremas, estuvo manifiestamente ausente en este perodo. Los matemticos de los siglos XVI, XVII Y XVIII recurran a una mezcla curiosa de razonamiento deductivo combinado con la intuicin y la pura conjetura; y no es extrao que algunos de sus resultados se haya visto posteriormente que eran incorrectos. No obstante, un nmero sorprendente de descubrimientos importantes ocurren en este perodo, y una gran parte de esta obra ha sobrevivido la prueba de la Historia, representando un tributo a la destreza y talento de aquellos cientficos. 32. Anlisiscrtico del mtodode Arqumedes11Cuando empez a disminuir el caudal de nuevos descubrimientos, apareci un nuevo perodo de anlisis crtico; y poco a poco, los matemticos se vieron obligados a volver a las ideas clsicas del mtodo deductivo, al intentar poner fundamentos firmes a la nueva Matemtica . Esta fase del desarrollo, que empez a principios del siglo XIX y ha continuado hasta el momento presente, ha alcanzado un grado de abstraccin y pureza lgica que ha superado todas las tradiciones de la ciencia griega. A la vez, ha. proporcionado una comprensin ms clara de los fundamentos no slo del Clculo, sino de todas las ramas de la Matemtica. Hay muchas formas de estructurar el Clculo como sistema deductivo. Una manera posible, es tomar los nmeros reales como conceptos no definidos o primitivos. Algunas de las reglas que rigen las operaciones con los nmeros reales pueden tomarse como axiomas. Este sistema de axiomas se ha incluido en la parte 3 de esta introduccin. Nuevos conceptos, tales como integral, lmite, continuidad, derivada, pueden definirse a partir de los nmeros reales. Las propiedades de estos conceptos se deducen como teoremas a partir de los axiomas. Considerando el Clculo como una parte del sistema deductivo, el resultado de Arqumedes para el rea del segmento parablico no puede aceptarse como un teorema si no se da previamente una definicin satisfactoria de rea. No es claro que Arqumedes hubiera formulado alguna vez una definicin precisa de lo que l entenda por rea. Parece haber tomado como convenio que cada regin tiene una rea asociada a ella. Con esta hiptesis se ocupa de calcular reas de regiones particulares. En sus clculos utiliza propiedades del rea que no se pueden probar mientras no se precise qu se entiende por rea. Por ejemplo, supone que si una regin es interior a otra, el rea de la regin menor no puede exceder a la de la regin mayor; y tambin que si una regin se descompone en dos o ms partes, la suma de las reas de cada parte es igual al rea de toda la regin. Todas estas propiedades se atribuyen al rea, y en toda definicin que se d del rea estas propiedades han de poder deducirse como teoremas. Es verosmil que el mismo Arqumedes tomara el rea como concepto primitivo, utilizando las propiedades mencionadas como axiomas. Actualmente se considera la obra de Arqumedes como importante ms que por calcular reas de figuras particulares, porque ha sugerido un camino razonable para definir el concepto de rea para figuras ms o menos arbitrarias. A su vez, el mtodo de Arqumedes sugiere un mtodo para definir un concepto mucho ms general, que es la integral; y a su vez, la integral no slo se utiliza para definir y calcular reas, sino tambin para establecer conceptos como longitud de un arco, volumen, trabajo y otros. Anticipndose a futuros desarrollos, y utilizando la terminologa del Clculo integral, el resultado del clculo efectuado en la Seccin 1 1.3, para el segmento parablico, se expresa frecuentemente como sigue: La integral de x2 de O a b es b3/3. 33. 12Introducciny se escribe simblicamente:(bx2dxJo= h3. 3El smbolo f (una S alargada) se llama signo integral y fue introducido por Leibniz en 1675. El proceso que determina el nmero b3/3 se denomina integracin. Los nmeros O y b que afectan al signo integral se denominan lmites de integraci6n. El signo fg x2 dx se ha de considerar como un todo. Su definicin debe darse de la misma manera que el diccionario describe la palabra Marte sin hacer referencia a mar ni a te. El smbolo de Leibniz para la integral fue aceptado pronto por muchos matemticos, porque vean en la integracin un tipo de proceso de sumacin que permita sumar infinitas cantidades infinitamente pequeas. Por ejemplo, en el caso del segmento parablico, el rea se conceba como la suma de una infinidad de rectngulos infinitamente pequeos de altura x2 y base dx. El signo integral representa el proceso de sumacin de todos estos rectngulos. Esta forma de razonar es muy sugestiva y til frecuentemente. Desde el punto de vista lgico, adolece del defecto de no poder atribuir un significado exacto al concepto cantidad infinitamente pequea. Actualmente se sabe cmo introducir la integral mediante el nmero real, sin utilizar conceptos misteriosos e inexplicables, como infinitesimal. Esta definicin se dar en el captulo 1.1 1.6 La introduccin al Clculo que se utiliza en este libro Una exposicin rigurosa y completa tanto del Clculo integral como del diferencial, depende esencialmente de un estudio cuidadoso del sistema de los nmeros reales. El estudio en s de este sistema llevado a cabo en su totalidad, es un tema muy interesante pero un tanto largo, de forma que requiere un pequeo volumen para su completa exposicin. El mtodo seguido en este libro es empezar con los nmeros reales como elementos primitivos y tomar simplemente algunas de sus propiedades fundamentales como axiomas. Estos axiomas y algunos de los teoremas ms sencillos que pueden deducirse de ellos se discutirn en la parte 3 de este captulo. Muchas de las propiedades de los nmeros reales que se han tomado como axiomas son probablemente familiares al lector, por sus estudios de lgebra elemental. Sin embargo, hay algunas propiedades de los nmeros reales que no se suelen tener en cuenta en el lgebra elemental, pero que juegan un papel importante en el Clculo. Estas propiedades son consecuencia del llamado axioma del extremo superior (conocido tambin por axioma de la continuidad) que se estudiar aqu con detalle. El lector puede parar su atencin en ia parte 3 antes de entrar en el cuerpo fundamental del texto, o bien dejar la lectura de esta materia para ms adelante cuando se encuentre con aquellas partes de la teora en las que se 34. Introduccin a la teora de conjuntos13utilizan propiedades del extremo superior. Las materias en el texto que dependan del axioma del extremo superior se sealarn claramente. Para desarrollar el Clculo como una teora matemtica completa, sera necesario exponer, junto al sistema de axiomas del nmero real, un conjunto de mtodos de demostracin que permitieran deducir los teoremas a partir de los axiomas. Cada afirmacin en la teora tendra que ser justificada o como una ley establecida (es decir, un axioma, una definicin o un teorema previamente probado), o como el resultado de aplicar a leyes establecidas uno de los mtodos de demostracin aceptados. Un programa de esta naturaleza resultara extremadamente largo y trabajoso, y ayudara muy poco a la comprensin de la materia por el principiante. Afortunadamente no es necesario proceder de esta forma para llegar a una buena comprensin y manejo del Clculo. En este libro se introducen las cuestiones prescindiendo de un formalismo exagerado y se hace amplio uso del razonamiento geomtrico cuando se cree conveniente; pero al mismo tiempo, se procura que la exposicin de las materias goce de la precisin y claridad propias de la ciencia moderna. Todos los teoremas importantes de la teora en cuestin, estn explcitamente expuestos y rigurosamente demostrados. Para evitar interrumpir la sucesin de ideas, algunas de las demostraciones aparecen en secciones separadas sealadas con asterisco. Por la misma razn, algunos de los captulos van acompaados de secciones suplementarias en las cuales se tratan con detalle algunos temas importantes relacionados con el Clculo. Algunos de ellos estn tambin sealados con asterisco para indicar que pueden omitirse o posponerse sin que se interrumpa la continuidad de la exposicin. El que se tomen ms o menos en consideracin los apartados con asterisco, depende en parte de la preparacin del lector y en parte de su inters. La persona que desee un curso completo de Clculo tanto en teora como en la prctica, tendr que leer toda la materia. El que se interese primeramente por las ideas bsicas y la prctica, podr suprimir los apartados con asterisco.Parte I 2.111. - Conceptos bsicos de la Teora de conjuntosIntroduccin a la Teora de conjuntosEn el estudio de cualquier rama de la Matemtica, sea Anlisis, lgebra o Geometra, resulta til emplear la notacin y la terminologa de la Teora de conjuntos. Esta teora, que fue desarrollada por Boole y Cantor (t) a fines del siglo XIX, ha tenido una profunda influencia en el desarrollo de la Matemtica en el si(t) George Boole (1815-1864) fue un lgico-matemtico ingls. Su libro, Investigacin de las leyes del pensamiento, publicado en 1854, seala la creacin del primer sistema prctico de Lgica simblica. George F. L. P. Cantor (1845-1918) y su escuela crearon la moderna Teora de conjuntos en el perodo 1874-1895. 35. Introduccin14glo xx. Ha unificado muchas ideas aparentemente inconexas y ha contribuido a reducir gran nmero de conceptos matemticos a sus fundamentos lgicos por un mtodo elegante y sistemtico. Un estudio riguroso de la Teora de conjuntos requerira una amplia discusin que consideramos fuera del alcance de este libro. Por fortuna, las nociones bsicas son en nmero reducido, y es posible desarrollar un conocimiento prctico de los mtodos e ideas de la Teora de conjuntos a travs de una discusin informal. En realidad. no vamos a hacer una discusin de la moderna Teora de conjuntos, sino precisar la terminologa que deberemos aplicar a las ideas ms o menos familiares. En Matemticas, la palabra conjunto se emplea para representar una coleccin de objetos considerada como una sola entidad. Las colecciones designadas con nombres tales como rebao, tribu, muchedumbre, equipo y electorado son todas ejemplos de conjunto. Los objetos que constituyen la coleccin se llaman elementos o miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen o que estn contenidos en el conjunto. A su vez, se dice que el conjunto contiene o est compuesto de sus elementos. Nos ocuparemos principalmente de conjuntos de entes matemticos: conjuntos de nmeros, de curvas, de figuras geomtricas, etc. En muchas aplicaciones conviene considerar conjuntos en los que no se supone nada acerca de la naturaleza de sus elementos. Tales conjuntos se llaman abstractos. La Teora de conjuntos abstractos ha sido desarrollada para tratar con tales colecciones de objetos arbitrarios, y precisamente a esa generalidad se debe el gran alcance de tal teora.1 2.2.Notaciones para designar conjuntosCorrientemente los conjuntos se designan con letras maysculas: A, B, e, ...,x, Y, Z: y los elementos con minsculas: a, b, e, ... , x, y, z. Utilizamos la notacin XESpara indicar que x es un elemento de S o que x pertenece a S, Si x no pertenece a S esoribimos x r$ S. Cuando convenga, desigharemos conjuntos escribiendo los elementos entre corchetes; por ejemplo, el conjunto de los enteros positivos pares menores que 10 se expresa con el smbolo {2, 4, 6, 8} mientras que el de todos los enteros positivos se representa con {1, 2, 3, ... }; los tres puntos significan y as sucesivamente. Los puntos suspensivos tan slo se utilizan cuando el significado de y as sucesivamente sea claro. El mtodo de citar los elementos de un conjunto entre corchetes se llama frecuentemente la notacin en lista. El primer concepto fundamental que relaciona un conjunto con otro es la igualdad de conjuntos: DEFINICIN DE IGUALDAD DE CONJUNTOS. Se dice que dos conjuntos A y B son iguales (o idnticos) si constan exactamente de los mismos elementos, en cuyo 36. Subconjuntos15caso escribiremos A = B. Si uno de los conjuntos contiene algn elemento que no est en el otro, decimos que los conjuntos son distintos y escribimos A#B. EJEMPLO 1. De acuerdo con esta definicin, los dos conjuntos {2, 4, 6, 8} Y {2, 8, 4, 6} son iguales, ya que ambos constan de los cuatro elementos 2, 4, 6, Y 8. De este modo, cuando usamos la notacin en lista para expresar un conjunto, el orden en que aparecen los elementos es indiferente. EJEMPLO 2. Los conjuntos {2, 4, 6, 8} Y {2, 2, 4, 4, 6, 8} son iguales a pesar de que en el segundo conjunto los elementos 2 y 4 estn citados dos veces. Ambos conjuntos contienen los cuatro elementos 2, 4, 6, 8 Y no otros, as que la definicin exige que consideremos iguales esos conjuntos. Este ejemplo pone de manifiesto que no debemos exigir que los elementos citados en la notacin en lista sean todos distintos. Anlogamente el conjunto de letras en la palabra Mississippi es idntico al conjunto {M, i, s, p} que consta de las cuatro letras distintas M, i, s, y p.1 2.3SubconjuntosA partir de un conjunto dado podemos formar nuevos conjuntos, llamados subconjuntos de aqul. Por ejemplo, el conjunto de los enteros positivos menores que 10 y divisibles por 4 (que es el conjunto {4, 8}) es un subconjunto de los enteros positivos pares menores que 10. En general, daremos la definicin siguiente: DEFINICINdel conjuntoDE SUBCONJUNTO.Se dice que un conjuntoA es un subconjuntoB, y escribimos Ar;;B,cuando todo elemento de A pertenece tambin a B. Decimos tambin que A est contenido en B o que B contiene a A. El smbolo r;; se utiliza para representar la relacin de inclusin de conjuntos. La relacin A r;; B no excluye la posibilidad de que B r;; A. En realidad, podemos tener las dos relaciones A r;; B y B r;; A pero esto se presenta tan slo si A y B tienen los mismos elementos. En otras palabras, A =Bsi y slo siA r;; B Y B r;; A .Este teorema es consecuencia inmediata de las definiciones anteriores de igualdad e inclusin. Si A r;; Bpero A B, decimos que A es un subconjunto propio de B; indicamos esto escribiendo A e B. En todas nuestras aplicaciones ocurrir que tendremos fijado de antemano un cierto conjunto S, y slo nos interesarn subconjuntos de aqul. El conjunto fun-*- 37. J ntroduccin16damental S puede variar de una aplicacin a otra; y ser considerado como el conjunto universal de cada teora particular. La notacin {xIxES Y x satisface P}designar el conjunto de todos los elementos x de S que satisfacen la propiedad P. Cuando el conjunto universal al que nos refiramos se sobrentiende, omitiremos el citarlo abreviando la notacin poniendo {x I x satisface P}. Esto se lee el conjunto de todos los x que satisfacen P. Los conjuntos representados de este modo quedan caracterizados por una propiedad definidora. Por ejemplo, el conjunto de todos los nmeros reales positivos podra designarse por {x I x>O}; el conjunto universal S en este caso se sobrentiende que es el conjunto de todos los nmeros reales. Del mismo modo, el conjunto de todos los nmeros pares positivos {2, 4, 6, ... } puede designarse con {x I x entero par positivo}. Naturalmente, la letra x puede reemplazarse por otro signo adecuado. As, se puede escribir {x Ix>O}= {y I y > O} = {t I t > O}etctera. Puede ocurrir que un conjunto no contenga elementos. Un tal conjunto se llama conjunto vaco, y se representa mediante el smbolo 0. Consideremos el 0 como subconjunto de cualquier conjunto. Hay quien imagina un conjunto como un recipiente (tal como una bolsa o una caja) que contiene ciertos objetos, sus elementos. Entonces, el conjunto vaco sera un recipiente vaco. Para evitar dificultades y confusiones, debemos distinguir entre el elemento x y el conjunto {x} cuyo nico elemento es x. (Una caja con un sombrero dentro, es conceptualmente distinto del sombrero considerado solo.) En particular el conjunto vaco 0 no es lo mismo que el conjunto { 0 }. En realidad el conjunto vaco o no contiene elementos, mientras que el conjunto {0} contiene un elemento, 0 (Una bolsa que contiene una bolsa vaca no est vaca.) Los conjuntos que contienen un solo elemento se llaman conjuntos de un elemento. Con frecuencia nos ayudamos de diagramas para hacer intuitivas las relaciones entre conjuntos. Por ejemplo, podemos pensar que el conjunto universal S es una regin en el plano, y cada uno de sus elementos un punto Los subconjuntos de S pueden imaginarse como colecciones de puntos interiores a S. Por ejemplo, en la figura 1.6(b) la porcin sombreada es un subconjunto de A y tambin de B. Las ayudas grficas de este tipo se llaman diagramas de Venn y se utilizan para comprobar la validez de ciertos teoremas de la Teora de conjuntos o para sugerir mtodos de demostracin de los mismos. Naturalmente, tales demostraciones se basan en las definiciones y conceptos y su validez depender de un razonamiento correcto y no precisamente de los diagramas. 38. Reuniones, intersecciones, complementos 1 2.417Reuniones, intersecciones, complementosA partir de dos conjuntos dados A y B, siempre podemos formar un nuevo conjunto llamado reunin de A y B. Este nuevo conjunto se representa con el smbolo AUB (se lee A reunin B)oCa) A u B FIGURA1.6Ce) A n B = 0A nBReunionese intersecciones.y se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Es decir, A U B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A, B. En la figura I.6(a) la parte sombreada representa A U B.Anlogamente, la interseccin de A y B que se representa con el smbolo AnB (se lee: A interseccin B)se define como el conjunto de los elementos comunes a A y a B. En la figura I.6(b) se representa la interseccin de A y B. En la figura I.6(c) se ve que la interseccin de A y B es el conjunto 0, puesto que A y B no tienen elementos comunes. Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si A n B= 0. Dados dos conjuntos A y B, se define la diferencia A - B (que tambin se llama complemento de B relativo a A) como el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B. As pues, segn la definicinIA - B = {x xEA Y xrF B} .En la figura I.6(b) la porcin no sombreada de A representa A - B; la no sombreada de B representa B - A. Las operaciones de reunin e interseccin poseen muchas analogas formales con la adicin y multiplicacin ordinarias de nmeros reales. Por ejemplo, puesto 39. Introduccin18que no existe cuestin de orden en las definiciones de reunin e interseccin, se deduce que A U B=B U A Y que A n B=B nA. Es decir, la reunin y la interseccin son operaciones conmutativas. Asimismo dichas definiciones estn dadas de tal modo que las operaciones son asociativas: y(A U B) U C = A U (B U C)(A n B) n C=A n (B n C) .Estos y otros teoremas relativos al lgebra de conjuntos se citan como Ejercicios en la Seccin 12.5. Uno de los mejores mtodos para que el lector se familiarice con la terminologa y las notaciones antes introducidas es deducir las demostraciones de cada una de estas leyes formales. Una muestra del tipo de razonamiento que se necesita aparece inmediatamente despus de los Ejercicios. Las operaciones de reunin e interseccin pueden extenderse a colecciones finitas o infinitas de conjuntos, de la manera siguiente: Sea .'!F una clase (t) no vaca de conjuntos. La reunin de todos los conjuntos de .'!F se define como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen por 10 menos a uno de los conjuntos de .'!F, y se representa con el smboloUA.AeFSi ff es una coleccin finita de conjuntos, sea por ejemplo ff = {Al> A2, An}, escribimosU AeF,nA =U Ak =Al U A2 U ...U An k~lAnlogamente, la interseccin de todos los conjuntos de .'!F se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos de.'!F; se representa con el smboloAl igual que antes, para colecciones finitas de conjuntos escribimos: nn A = ~n A A~k=Al n A2 n ... nA.n(t) Para simplificar el lenguaje llamamos clase a una coleccin de conjuntos. Para representar clases empleamos letras maysculas cursivas. La terminologa y la notacin usuales de la Teora de conjuntos se aplica, naturalmente, a las clases. As, por ejemplo, A E ~ significa que A es uno de los conjuntos de la clase~, y d S; [!J significa que todo conjunto de d pertenece a ~, y as sucesivamente. 40. Ejercicios19La reunin y la interseccin se han definido de manera que las leyes asociativas se satisfacen inmediatamente. En consecuencia no existir ambigedad cuando escribimos Al u A2 U ... U An o Al n A2 n ... n An .1 2.5Ejerciciosl. Utilizar la notacinen lista para representarIA = {x x21-==de nmerosreales.I x3 - 2x2 + x = 2} . E = {x I (x + 8)2 = 92}. F = {x I (x2 + 16x)2 = 17O} .DI (x - 1)2 = O} . e = {x I x + 8 = 9} . Blos siguientes conjuntos{x={x2} 2. Para los conjuntos del Ejercicio 1, obsrvese que B S; A. Citar todas las relaciones de inclusin S; que son vlidas entre los conjuntos A, B, e, D, E, F. 3. Sean A = { I }, B = { 1, 2}. Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qu las otras son falsas). (a) A e B. (b) A S; B. (e) A E B.(d) 1 EA. (e) ISA. (f) 1 e B.4. Resolver el Ejercicio 3 si A = {1} Y B = {{1}, 1}. 5. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Expresar todos los subconjuntos 16, si contamos 0 y S. 6. Dados los cuatro conjuntos siguientes A ={I, 2},B=e = {{l}, {l, 2}},{{l}, {2}},discutir la validez de las afirmaciones por qu las otras no lo son). (a) A = B. (b) A e; B. (e) A e C.7. Demostrar(d) A (e) A (f) BEC.e elas propiedadessiguientesD=de S. Hay en total{{l}, {2}, {l, 2}},(probar que unas son certas y explicar(g) BcD. (h) BE D. (i) A E D.D. C.siguientesde la igualdadde conjuntos.(a) {a, a} = {a}. (b) {a, b} = {b, a}. (e) {a} = {b, e} si y slo si a=b=c.Demostrar el conjunto de relaciones de los Ejercicios 8 al 19. (Al final de esta Seccin se dan ejemplos de estas demostracnes). 8. Leyes conmutativas;A v B = B v A,A n B = B n A. 41. 20Introduccin=A,13. A U 0 14. A U (AA nA= A,=B)UUC)= (A n B)UnC) = (An(AU(BA n 0 A, A=B)UA r, (B r. C)C,Urv B)nC.C).0.n(AB S C, entonces A(b) SiA S BU=A,=17. (a) SiA e B(AA n B S A.B)16. Si C S A Y= (A(A n C),Uyn15. Si A S CC)A11. A uAUA10. Leyes distributivas:12. A S A u B,(BA n (B9. Leyes asociativas:UC S B, entonces= UA.B S C.C SAnB.C,probarque A e C.Y B S C,probarque A S C.yBeB)(e) Qu puede afirmarse si A e B y B S C? (d) Si x E A Y A S; B, es cierto necesariamente (e) Si x E A Y A E B, es cierto necesariamenteque x E B? que x E B?18. A - (B n C) = (A - B) u (A - C). 19. Sea ~una clase de conjuntos. B -UA AE.'F=n (B -EntoncesyA)B -n A = U (B -AE.'FAE.'F20. (a) Demostrar que una de las dos frmulas nas veces es falsa:siguientes es siempre correcta y la otra algu-(i) A - (B - C)=(A - B)(ii) A - (B u C) (b) Establecer sea incorrectaA).AE.F=(A - B) - C.una condicin necesaria sea siempre vlida.y suficienteUC,adicionalpara que la frmulaqueDemostracin de la ley conmutativa A U B=B U A. Sean X=A U B, Y =B U A. Para demostrar que X = Y se demuestra que X S; Y e Y S X. Supngase que x E X. Entonces x est por lo menos en A o en B. Luego, x est por lo menos en B o en A; de modo que x E Y. As, pues, todo elemento de X est tambin en Y, con lo que X S; Y. Anlogamente, encontramos que Y S X, de modo que X =Y. Demostracin de A n B s; A. Si xEA n B, x est simultneamente en Ay en B. En particular, x E A. As, pues, todo elemento de A n B est tambin en A; por lo tanto, A n B S; A. 42. Introduccin21Parte 11I.- Un conjunto de axiomas para el sistema de nmeros realesI 3.1IntroduccinHay muchos mtodos para introducir el sistema de los nmeros reales. Un mtodo corriente es el de empezar con los enteros positivos 1,2,3, ... y utilizarlos como base para construir un sistema ms amplio que tenga las propiedades deseadas. Brevemente, la idea de este mtodo es tomar los enteros positivos como base para formar un sistema ms amplio, que es el de los nmeros racionales positivos (cocientes de enteros positivos). Los nmeros racionales positivos se utilizan a su vez como base para construir los irracionales positivos (nmeros reales como V2 y 7T que no son racionales). El paso final es la introduccin de los nmeros reales negativos y el cero. La parte ms difcil del proceso total es el paso de los nmeros racionales a los nmeros irracionales. Aunque la necesidad del nmero irracional se haba presentado ya a los matemticos de la antigua Grecia en sus estudios geomtricos, no se introdujeron mtodos satisfactorios de construccin de los nmeros reales a partir de los racionales hasta entrado el siglo XIX. En esta poca se perfilaron tres teoras distintas por Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918) y Richard Dedekind (1831-1916). En 1889, el matemtico italiano Giuseppe Peana (1858-1932) dio cinco axiomas para los enteros positivos que se utilizaron como punto de partida para la construccin total. Una exposicin detallada de esta construccin empezando por los axiomas de Peana y utilizando el mtodo de Dedekind para introducir el nmero irracional, se encuentra en el libro de E. Landau, Fundamentos del Anlisis (Nueva York, Chelsea Publishing Co., 1951). El punto de vista adoptado aqu no es constructivo. Se inicia el proceso en un punto bastante avanzado, considerando los nmeros reales como conceptos primitivos que satisfacen a un cierto nmero de propiedades que se toman como axiomas; es decir, se supone que existen ciertos objetos, llamados nmeros reales, que satisfacen los 10 axiomas enunciados en las cinco Secciones que siguen. Todas las propiedades de los nmeros reales que se utilizarn en este libro, o estn entre los axiomas o se pueden deducir de ellos. Cuando los nmeros reales se definen mediante un proceso constructivo, las propiedades que se toman como axiomas tendrn que demostrarse como teoremas. Mientras no se diga 10 contrario, las letras a, b, e, ... x, y, z que aparecen en los axiomas representan nmeros reales cualesquiera. Los axiomas se agrupan en forma natural en tres grupos, que son, axiomas de cuerpo, axiomas de orden y axioma del extremo superior (llamado tambin axioma de continuidad o axioma de completitud). 43. 1ntroduccin22 1 3.2Axiomas de cuerpoJunto con el conjunto de los nmeros reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adicin y multiplicacin, tales que para cada par de nmeros reales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro nmero real designado por x+y y el producto de x por y designado por xy o X' y. La suma x+y y el producto xy estn unvocamente determinados por x e y. A los signos + y . no se les asigna otro significado especial que el precisado en los axiomas. AXIOMA1.PROPIEDADCONMUTATIVA.x+y=y+x,xy=yx.AXIOMA2.PROPIEDADASOCIATIVA.x+(y+z)=(x+y)+z,AXIOMA3.PROPIEDADDISTRIBUTIVA.x(y+z)=xy+xz.x(yz)= (xy)z.AXIOMA 4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos nmeros reales distintos, que se indican por O y 1 tales que para cada nmero real x se tiene: O+x=x+O=x y I.: X=X' 1=x. AXIOMA 5. EXISTENCIA DE NEGATIVOS. nmero real y tal que x+y=y+x=O.Para cada nmero real x existe unAXIOMA 6. EXISTENCIA DEL RECPROCO. un nmero real y tal que xy = yx = 1.Para cada nmero real x =1= O existeNota:Los nmeros O y 1 de los axiomas 5 y 6 son los mismos que los del axioma 4.De los axiomas anteriores se puede deducir todas las leyes usuales del lgebra elemental. Las ms importantes de ellas se recogen a continuacin como teoremas. En todos estos teoremas las letras a, b, e, d, representan nmeros reales cualesquiera. TEOREMAentonces b1.1.LEYDEPARA LA SUMA. Si a+b=a+c, que el nmero O del axioma 4 es nico.)SIMPLIFICACIN= c. (En particular esto pruebaTEOREMA 1.2. POSIBILIDAD DE LA SUSTRACCIN. Dados a y b existe uno y slo un x tal que a + x =b. Este x se designa por b - a. En particular O - a se escribe simplemente -a y se denomina el negativo de a.+ (-a).TEOREMA1.3.b- a= bTEOREMAlA.-(-a)TEOREMA1.5.a(b - e) = ab - ac.TEOREMA1.6.O a = a' 0= O.= a. 44. Axiomas de cuerpo 1.7.TEOREMAab = ac axiomay 4LEYDESIMPLIFICACIN23PARALAMULTIPLICACIN.Sia # O, entonces b = c. (En particular esto demuestra que el nmero 1 del es nico.)TEOREMA1.8.POSIBILIDADDados a y b con a =1= O, existeDE LA DIVISIN.uno y slo un x tal que ax = b. La x se designa por b/ a o ~ y se denomina cociente a1/a se escribe tambin a:' y se designa recproco de a.de b y a. En particular TEOREMA1.9.Si a ~ O, entonces b]a = b . a-l.TEOREMA1.10.Si a ~ O, entonces (a-1)-1TEOREMA1.11.Si ab=O entonces o a=O o b=O.TEOREMAI.12.(-a)bTEOREMAI.13.(a/b)TEOREMAI.14.(a/b)(c/d)= (ac)/(bd) siTEOREMAI.15.(ajb)j(c/d)= (ad)j(bc) si b ~=-(ab)y= a.(-a)( -b)+ (c/d) = (ad + bc)/(bd)=ab.si b; O Y d; O.b; OY d ~ O.O, e ~ O,Y d ~ O.Para poner de manifiesto cmo estos teoremas pueden obtenerse como consecuencia de los axiomas, se dan las demostraciones de 1.1 hasta 1.4, Y sera instructivo para el lector tratar de demostrar los restantes.Demostracin de 1.1. Dado a+b=a+c. En virtud del axioma 5, se puede elegir y de manera que y+a=O, con lo cual y+(a+b)=y+(a+c), y aplicando la propiedad asociativa (y+a)+b=(y+a)+c, o sea, O+b=O+c. Pero en virtud del axioma 4, se tiene O+b=b y O+c=c, o sea, b=c. Obsrvese que este teorema demuestra que existe un solo nmero real que tiene la propiedad del O en el axioma 4. En efecto, si O y O' tuvieran ambos esta propiedad, entonces, 0+0'=0 y 0+0=0; por tanto, 0+0'=0+0 y por la ley de simplificacin 0=0'. Demostracin de 1.2. Dados a y b se elige y de manera que a+y=O y sea x=y+b. Entonces, a+x=a+(y+b)=(a+y)+b=O+b=b. Por tanto, hay por lo menos una x tal que a + x = b. Pero en virtud del teorema 1.1, hay a lo sumo una. Luego hay una y slo una x en estas condiciones. Demostracin de 1.3. que x=y.Por definicin y + aSea x=b-a y sea y=b+( de b-a, x+a=b y= [b + (-a)]+ a=b+ [(-a) + a]-a).=bSe trata de probar+ O= b. 45. Introduccin24 Por tanto, x+a=y+a,Y en virtud de 1.1, x=y.Demostracin de 1.4. Se tiene a+( -a)=O por definicin de -a. Pero esta igualdad dice que a es el opuesto de (-a), es decir, que a= -( -a) como se afirma en el teorema. 1 3.3Ejercicios1. Demostrar los teoremas del 1.5 al 1.15, utilizando 1.1 al 1.4.los axiomas1 al 6 y los teoremasEn los ejercicios del 2 al 10, demostrar las afirmaciones indicadas, o establecer las igualdades dadas. Aplquense los axiomas 1 al 6 y los teoremas del 1.1 al 1.15. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10.-O = O. 1-1 = 1. El cero no tiene recproco. - (a + b) = - a-b. - (a - b) = - a + b, (a - b) + (b - e) = a-e. Si a ; O Y b ; O, entonces (ab)-l = a-1 - (a/b) = ( - aib) = a/( - b) si b ; O. (a/b) - (e/d) (ad - be)/(bd) sib ; O Y d; O.s.=1 3.4Axiomas de ordenEste grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que se establece una ordenacin entre los nmeros reales. Segn esta ordenacin se puede decidir si un nmero real es mayor o menor que otro. Se introducen aqu las propiedades de orden, como un conjunto de axiomas referentes al nuevo concepto primitivo de positivo, para definir despus los conceptos de mayor que y menor que a partir del de positivo. Supondremos que existe un cierto subconjunto R+ e R, llamado conjunto de nmeros positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes: AXIOMA7.Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre a x+y y xy.AXIOMA8.Para todo real x # O, oAXIOMA9.O rf: R+.XER+ o -xER+, pero no ambos.Ahora se pueden definir los smbolos , ~, y ~ llamados respectivamente menor que, mayor que, igual o menor que, e igual o mayor que, de la manera siguiente: xxde orden25significa que x