1. E~"",,~:tek~no es un proyecto lucrativo, sino un esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAM para facilitar el acceso a los materiales necesarios para la educacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamos editar en formato digital libros que por su alto costo, o bien porque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no son accesibles para todos. Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto a sugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y a ayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin. El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin de cualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas. Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad de Ciencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguiente direccin de correo electrnico: eduktodos@gmail.comhttp:// eduktodos. dyndns. org

2. Calculus 3. TOIT1M. ApostolCALCULUS VOLUMEN IClculo con funciones de una variable, con una introduccin al lgebra lineal Segunda edicinEDITORIAL" REVERTE,S. A.Barcelona - Bogot - Buenos Aires - Caracas -Mxico 4. Ttulo de la obra original: CALCULUS, One -Variable Calculus, with an introduction to Linear Algebra Edicin original en lengua inglesa publicada por: Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts Copyright by Blaisdell Publishing Company, 1967 Versin espaola por: Dr. D. Francisco Vlez Cantarell Profesor adjunto de la Facultad de Ciencias de Barcelona Revisada por: Dr. D. Enrique Lins Escard Catedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona - ESPAA E-mail: reverte@reverte.com Internet: http://www.reverte.comyREVERT EDICIONES, S.A. DE C.V Ro Pnuco 141 Col Cuauhtmoc c.P. 06500 Mxico, D.F. - MXICO E-mail: resavbp@data.neLmx 101545.2361@compuserve.comReservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1984 REVERT EDICIONES, s. A. de C.V., 1999 9" Reimpresin2001Impreso en Espaa - Printed in Spain ISBN - 84 - 291 - 5002 - 1 (Espaa) ISBN - 968 - 6708 - 10 - 3 (Mxico) Depsito Legal: B - 32464 - 2001 Impreso por Imprimeix S.L. Eduard Maristany, 100 08912 Badalona (Barcelona) 5. a JaneyStephen 6. PRLOGOExtracto del prlogo a la primera edicinParece que no hay acuerdo sobre 10 que ha de constituir un primer curso de Clculo y Geometra Analtica. Unos sostienen que el camino verdadero para entender el Clculo principia con un estudio completo del sistema de los nmeros reales desarrollndolo paso a paso de manera lgica y rigurosa. Otros insisten en que el Clculo es ante todo un instrumento para los ingenieros y fsicos; y por consiguiente, que un curso debe llevar a las aplicaciones del Clculo apelando a la intuicin, para despus, por el ejercicio en la resolucin de problemas, alcanzar destreza operatoria. En ambos puntos de vista hay mucha parte de razn. El Clculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemtica pura. Al mismo tiempo es muy importante recordar que el Clculo tiene profundas races en problemas fsicos y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad de sus aplicaciones. Mas es posible combinar un desarrollo terico riguroso con una sana formacin tcnica, y este libro representa un intento de establecer un sensible equilibrio entre las dos tendencias. Aunque se trate el Clculo como ciencia deductiva, no por eso se abandonan las' aplicaciones a problemas fsicos. Las demostraciones de todos los teoremas importantes se consideran como una parte esencial en el desarrollo de las ideas matemticas, y con frecuencia van precedidas de una discusin geomtrica o intuitiva para dar al estudiante una visin ms penetrante del porqu de la demostracin. Aunque estas discusiones intuitivas pueden ser suficientes para el lector que no est interesado en los detalles de la demostracin, tambin se incluye la demostracin completa para aquellos que prefieran una exposicin ms rigurosa. La disposicin de este libro ha sido sugerida por el desarrollo histrico y filosfico del Clculo y la Geometra Analtica. Por ejemplo, se estudia la integracin antes de la diferenciacin. Aunque esta manera de ordenar la materia del curso sea poco frecuente, es histricamente correcta y pedaggicamente adecuada. Adems, es el mejor camino para hacer patente la verdadera conexin entre la derivada y la integral. El concepto de integral se define en primer lugar para funciones escalonadas. Puesto que la integral de una funcin escalonada no es ms que una suma, la VII 7. VIIIPrlogoteora de la integracin es extremadamente sencilla en este caso. Mientras el estudiante aprende las propiedades de la integral para funciones escalonadas, adquiere experiencia en el uso de la notacin sumacin y al mismo tiempo se familiariza con el simbolismo de la integral. De esta manera se van construyendo los peldaos para que la transicin de funciones escalonadas a otras funcicnes ms generales parezca fcil y natural.Prlogo a la segunda edicinLa segunda edicin difiere de la primera en muchos aspectos. Se ha aadido el lgebra lineal; los teoremas del valor medio y las aplicaciones del Clculo se han introducido en los primeros captulos, y se ha aadido buen nmero de nuevos y sencillos ejercicios. Una inspeccin del ndice revela que el libro se ha dividido en captulos de menor extensin, desarrollndose cada uno sobre un concepto importante. Varias secciones han sido escritas de nuevo y reorganizadas para proporcionar una mejor fundamentacin y mejorar la fluidez de las ideas. Al igual que en la primera edicin, cada concepto nuevo importante viene precedido de una introduccin histrica, que describe su desarrollo desde una primera nocin fsica intuitiva hasta su formulacin matemtica precisa. El estudiante descubre en parte los esfuerzos del pasado y los triunfos de los hombres que ms han contribuido al tema. De este modo el estudiante se convierte en participante activo en la evolucin de las ideas y no queda como mero observador pasivo de los resultados. La segunda edicin, como la primera, est dividida en dos volmenes. Las dos terceras partes primeras del Volumen 1 tratan del Clculo con funciones de una variable, incluyendo las series y una introduccin a las ecuaciones diferenciales. La ltima tercera parte del Volumen 1 introduce el lgebra lineal con aplicaciones a la Geometra y al Anlisis. Gran parte de estos temas se apoya slidamente en el clculo de ejemplos que ilustran la teora general. Ello proporciona una mezcla de lgebra y de Anlisis y contribuye a preparar el camino para la transicin del Clculo con una variable al Clculo con varias variables, que se trata en el Volumen Il. Un desarrollo ms amplio de lgebra lineal se har necesario en la segunda edicin del Volumen 11. Una vez ms reconozco con agrado mi deuda con los profesores H. F. Bohnenblust, A. Erdlyi, F. B. Fuller, K. Hoffman, G. Springer, y H. S. Zuckerman. Su influencia en la primera edicin ha continuado en la segunda. En la preparacin de la segunda edicin, recib tambin la ayuda del profesor Basil Gordon, que sugiri muchas mejoras. Estoy tambin agradecido a George Springer y William P. Ziemer, que leyeron las ltimas pruebas. El personal de Blaisdell Publishing Company, como siempre, ha prestado una gran ayuda; aprecio su simptica aceptacin de mis deseos en lo relativo al formato y a la tipografa. 8. PrlogoIXPor ltimo, tengo especial satisfaccin en expresar mi gratitud a mi esposa por haber contribuido en diversas formas a la preparacin de las dos ediciones. En testimonio de mi agradecimiento le dedico este libro.T.M.A. Pasadena,California 9. NDICE ANALTICOl.INTRODUCCINParte 1. Introduccin 11.1 I 1.2 I 1.3 *1 1.4 I 1.5 I 1.6Los dos conceptos bsicos del Clculo Introduccin histrica El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola Ejercicios Anlisis crtico del mtodo de Arqumedes La introduccin al Clculo que se utiliza en este libroParte 2. I I I I I2.1 2.2 2.3 2.4 2.53.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7I 3.8 I 3.91 3 49 1012Conceptos bsicos de la teora/ de conjuntosIntroduccin a la teora de conjuntos Notaciones para designar conjuntos Subconjuntos Reuniones, intersecciones, complementos EjerciciosParte 3. I I *1 I *1 I Ihistrica1314 15 17 19Un conjunto de axiomas para el sistema de nmeros realesIntroduccin Axiomas de cuerpo Ejercicios Axiomas de orden Ejercicios Nmeros enteros y racionales Interpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntos de una recta Cota superior de un conjunto, elemento mximo, extremo superior Axioma del extremo superior (axioma de completitud) XI2122 2424 26 2628 28 30 10. /ndice analticoXII I I *1 *13.10 3.11 3.12 3.13*1 3.14 *1 3.15La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales Propiedades fundamentales del extremo superior Ejercicios Existencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativos Races de orden superior. Potencias racionales Representacin de los nmeros reales por medio de decimales3233 34 3536 37Parte 4. Induccin matemtica, smbolos sumatorios y cuestiones relacionadas I 4.1 I 4.2 *1 4.3I 4.4 *1 4.5I 4.6 I 4.7 I 4.8I 4.9 *1 4.10Ejemplo de demostracin por induccin matemtica El principio de la induccin matemtica El principio de buena ordenacin Ejercicios Demostracin del principio de buena ordenacin El smbolo sumatorio Ejercicios Valor absoluto y desigualdad triangular Ejercicios Ejercicios varios referentes al mtodo de induccin40 4142 44 4546 49 50 53 541. LOS CONCEPTOS DEL CLCULO INTEGRAL 1.1 1.2 *1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9Las ideas bsicas de la Geometra cartesiana Funciones. Ideas generales y ejemplos Funciones. Definicin formal como conjunto de pares ordenados Ms ejemplos de funciones reales Ejercicios El concepto de rea como funcin de conjunto Ejercicios Intervalos y conjuntos de ordenadas Particiones y funciones escalonadas 1.10 Suma y producto de funciones escalonadas 1.11 Ejercicios 1.12 Definicin de integral para funciones escalonadas 1.13 Propiedades de la integral de una funcin escalonada 1.14 Otras notaciones para las integrales 1.15 Ejercicios 1.16 La integral de funciones ms generales 1.17 Integrales superior e inferior 1.18 El rea de un conjunto de ordenadas expresada como una integral59 6165 6669 70 7374 75 77 78 79 81 85 86 88 91 92 11. lndice analticoXIIl1.19 1.20 1.21 1.22 1.23Observaciones relativas a la teora y tcnica de la integracin Funciones montonas y montonas a trozos. Definiciones y ejemplos Integrabilidad de funciones montonas acotadas Clculo de la integral de una funcin montona acotada Clculo de la integral f~ xP dx siendo p entero positivo931.24 1.25 1.26 1.27Propiedades fundamentales de la integral Integracin de polinomios Ejercicios Demostraciones de las propiedades fundamentales2. ALGUNAS APLICACIONES INTEGRACIN 2.12.2 2.3 2.42.5 2.6 2.72.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.1994 95 979899 101 102 104de la integralDE LAIntroduccin El rea de una regin comprendida entre dos grficas expresada como una integral Ejemplos resueltos Ejercicios Las funciones trigonomtricas Frmulas de integracin para el seno y el coseno Descripcin geomtrica de las funciones seno y coseno Ejercicios Coordenadas polares La integral para el rea en coordenadas polares Ejercicios Aplicacin de la integracin al clculo de volmenes Ejercicios Aplicacin de la integracin al concepto de trabajo Ejercicios Valor medio de una funcin Ejercicios La integral como funcin del lmite superior. Integrales indefinidas Ejercicios109 109 111 116 117 121 126 129 133 134 136 137 140 141 144 145 147 148 1533. FUNCIONES CONTINUAS 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5Idea intuitiva de continuidad Definicin de lmite de una funcin Definicin de continuidad de una funcin Teoremas fundamentales sobre lmites. Otros ejemplos funciones continuas Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre lmites155 156 160 de 162 167 12. ndice analticoXIV 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20Ejercicios Funciones compuestas y continuidad Ejercicios Teorema de Bolzano para las funciones continuas Teorema del valor intermedio para funciones continuas Ejercicios El proceso de inversin Propiedades de las funciones que se conservan por la inversin Inversas de funciones montonas a trozos Ejercicios Teorema de los valores extremos para funciones continuas Teorema de la continuidad uniforme Teorema de integrabilidad para funciones continuas Teoremas del valor medio para funciones continuas Ejercicios4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.54.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21169 172 174 175 177 178 179 180 182 183 184 186 187 189 190CLCULO DIFERENCIALIntroduccin histrica Un problema relativo a velocidad Derivada de una funcin Ejemplos de derivadas lgebra de las derivadas Ejercicios Interpretacin geomtrica de la derivada como una pendiente Otras notaciones para las derivadas Ejercicios Regla de la cadena para la derivacin de funciones compuestas Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variacin ligados y derivacin implcita Ejercicios Aplicaciones de la derivacin a la determinacin de los extremos de las funciones Teorema del valor medio para derivadas Ejercicios Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geomtricas de las funciones Criterio de la derivada segunda para los extremos Trazado de curvas Ejercicios Ejemplos resucitas de problemas de extremos Ejercicios191 192 195 197 201 204207 209 211 213 216 219 221 224 227228 230 231 233 234237 13. xvIndice analtico ':'4.22 ':'4.23Derivadas Ejercicios5.239parciales245RELACINENTRE INTEGRACINy DERIVACIN 5.15.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 ':'5 .11La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental de l c lculo Teorema de la derivada nula Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del clculo Propiedades de una funcin deducidas de propiedades de su derivada Ejercicios La notacin de Leibniz para las primitivas 1ntegracin por sustitucin Ejercicios 1n tcgracin por partes Ejercicios Ejercicios de repaso247 250 250 253 254 257 259264 266 269 2726. F C1CTN LOGARITMO, FUNCIN EX POXENCIAL y FUNCIONES TRIGONOM~TRICASINVERSAS 16.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.126.13 6.146.156.16J ntrcduccin Definicin del logaritmo natural como integral Definicin de logaritmo. Propiedades fundamentales Grfica del logaritmo natural Consecuencias de la ecuacin funcional L(ab) = L(a) Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1 Frmulas de derivacin e integracin en las que logaritmos Derivacin logartmica Ejercicios Polinomios de aproximacin para el logaritmo Ejercicios La funcin exponencial Exponenciales expresadas como potencias de e Definicin de e' para x real cualquiera Definicin de a" para a>O y x real Frmulas de derivacin e integracin en las que exponenciales+ L(b)277 278 281 282 282 284intervienen286 288 289 291296 296 298 299300 intervienen300 14. XVI 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26lndice analtico Ejercicios Funciones hiperblicas Ejercicios Derivadas de funciones inversas Inversas de las funciones trigonomtricas Ejercicios Integracin por fracciones simples Integrales que pueden transformarse en integrales racionales Ejercicios Ejercicios de repaso304 307 308 308 309 314 316 de funciones 323 326 3287. APROXIMACIN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS 7.1 7.2 7.3 7.4 7.57.6 *7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17Introduccin Polinomios de Taylor engendrados por una funcin Clculo con polinomios de Taylor Ejercicios Frmula de Taylor con resto Estimacin del error en la frmula de Taylor Otras formas de la frmula de TayIor con resto Ejercicios Otras observaciones sobre el error en la frmula de Taylor. notacin 0Aplicaciones a las formas indeterminadas Ejercicios Regla de L'Hpital para la forma indeterminada O/O Ejercicios Los smbolos + 00 y - oo , Extensin de la regla de L'Hpital Lmites infinitos Comportamiento de log x y ea: para valores grandes de x Ejercicios333 335 337 340 341 342 347 348 La 350 354 356 357 362 363366 368 3718. INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5Introduccin Terminologa y notacin Ecuacin diferencial de primer orden para la funcin Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Ejerciciosexponencial373 374 376 377 381 15. In dice analtico 8.68.7 8.88.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.158.16 8.17 8.18 8.19 8.208.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28Algunos problemas fsicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden Ejercicios Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Existencia de soluciones de la ecuacin y" + by = O Reduccin de la ecuacin general al caso particular y" + by = O Teorema de unicidad para la ecuacin y" + by =O Solucin completa de la ecuacin y" + by = O Solucin completa de la ecuacin y" + ay' + by = O Ejercicios Ecuaciones lineales no homogneas de segundo orden con coeficientes constantes Mtodos particulares para la determinacin de una solucin particular de la ecuacin no homognea y" + ay' + by = R Ejercicios Ejemplos de problemas fsicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Ejercicios Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales Curvas integrales y campos direccionales Ejercicios Ecuaciones separables de primer orden Ejercicios Ecuaciones homogneas de primer orden Ejercicios Algunos problemas fsicos y geomtricos que conducen a ecuaciones de 'primer orden Ejercicios de repasoXVII382 390 394 395 396 397 398 399 401 402 406 408 408 414 416 417 421 422 424425 429 429 4349. NMEROS COMPLEJOS 9.19.2 9.3 9.4 9.5 9.69.7 9.8 9.9 9.10Introduccin histrica Definiciones y propiedades Los nmeros complejos como una extensin de los nmeros reales La unidad imaginaria i Interpretacin geomtrica. Mdulo y argumento Ejercicios Exponenciales complejas Funciones complejas Ejemplos de frmulas de derivacin e integracin Ejercicios437 437440 441 443 445 446 449 451 453 16. XVIIIlndice analtico10. SUCESIONES, SERIES, INrrEGRALES IMPROPIAS 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 *10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 * 10.21 10.22 10.23 10.24La paradoja de Zenn Sucesiones Sucesiones montonas de nmeros reales Ejercicios Series infinitas Propiedad de linealidad de las series convergentes Series telescpicas Serie geomtrica Ejercicios Ejercicios con expresiones decimales Criterios de convergencia Criterios de comparacin para series de trminos no negativos El criterio integral Ejercicios Criterios de la raz y del cociente para series de trminos no negativos Ejercicios Series alternadas Convergencia condicional y absoluta Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel Ejercicios Reordenacin de series Ejercicios varios de repaso Integrales impropias Ejercicios457 462 465 467469 471 472 474 477 479 480 482484 486 487 490 492 496496 499 501 506 508 51311. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.911.10Convergencia puntual de sucesiones de funciones Convergencia uniforme de sucesiones de funciones Convergencia uniforme y continuidad Convergencia uniforme e integracin Una condicin suficiente para la convergencia uniforme Series de potencias. Crculo de convergencia Ejercicios Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias Serie de Taylor generada por una funcin Condicin suficiente para la convergencia de una serie de Taylor517 519 520521 522 524 526 528532 532 17. XIXndice analtico 11.11 *11.12 11.13 11.14 11.15 11.16Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonomtricas Teorema de Bernstein Ejercicios Series de potencias y ecuaciones diferenciales La serie binmica Ejercicios533 535 536 538 54154212. LGEBRA VECTORIAL 12.1 12.2 12.3 12.4 12.512.6 12.7 12.812.9 12.10 12.11 12.12 12.13 12.14 12.15 12.16 12.17Introduccin histrica El espacio vectorial de las n-plas de nmeros reales Interpretacin geomtrica para n ::;3 Ejercicios Producto escalar Longitud o norma de un vector Ortogonalidad de vectores Ejercicios Proyecciones. ngulo de dos vectores en el espacio n dimensiones Los vectores coordenados unitarios Ejercicios Envolvente lineal de un conjunto finito de vecotres Independencia lineal Bases Ejercicios El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de nmeros complejos Ejercicios545 546 549551 552 554557 558de 559561 563565567 570 571573 57513. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECrrORIAL A LA GEOMETRA ANALTICA 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9Introduccin Rectas en el espacio n-dimensional Algunas propiedades sencillas de las rectas Rectas y funciones vectoriales Ejercicios Planos en el espacio eucldeo n-dimensional Planos y funciones vectoriales Ejercicios Producto vectorial577 578 579 581 584 585 589 590 591 18. lndice analticoxx 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.15 13.16 13.17 13.18 13.19 13.20 13.21 13.22 13.23 13.24 13.25El producto vectorial expresado en forma de determinante Ejercicios Producto mixto Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales Ejercicios Vectores normales a planos Ecuaciones lineales cartesianas para planos Ejercicios Las secciones cnicas Excentricidad de las secciones cnicas Ecuaciones polares de las cnicas Ejercicios Cnicas simtricas respecto al origen Ecuaciones cartesianas de las cnicas Ejercicios Ejercicios varios sobre cnicas595 597598 601 602 604606 607 609 612 614 615 616 618 621 62314. CLCULO CON FUNCIONES VECTORIALES14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14 14.15 14.16 14.17 14.18Funciones vectoriales de una variable real Operaciones algebraicas. Componentes Lmites, derivadas e integrales Ejercicios Aplicaciones a las curvas. Tangencia Aplicaciones al movimiento curvilneo. Vector velocidad, velocidad y aceleracin Ejercicios Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva Ejercicios Definicin de longitud de un arco Aditividad de la longitud de arco Funcin longitud de arco Ejercicios Curvatura de una curva Ejercicios Los vectores velocidad y aceleracin en coordenadas polares Movimiento plano con aceleracin radial Coordenadas cilndricas14.19Eiercicios14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8627 627 628 632 633 637 641 643 646 648 651 652 655 657 659 660 663 664 665 19. XXIIn dice analtico 14.20 14.21Aplicaciones al movimiento Ejercicios de repaso667 671planetario15. ESPACIOS LINEALES 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 15.13 15.14 15.15 15.16Introduccin Definicin de espacio lineal Ejemplos de espacios lineales Consecuencias elementales de los axiomas Ejercicios Subespacios de un espacio lineal Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal Bases y dimensin Ejercicios Productos interiores, espacios eucldeos. Normas Ortogonalidad en un espacio eucldeo Ejercicios Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt Complementos ortogonales. Proyecciones Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por elementos de un subespacio de dimensin finita Ejercicios16. TRANSFORMACIONES Y MATRICES 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16675 675 677 679 680 681 683 685 686687 691 694696 701 704706LINEALESTransformaciones lineales Ncleo y recorrido Dimensin del ncleo y rango de la transformacin Ejercicios Operaciones algebraicas con transformaciones lineales Inversas Transformaciones lineales uno a uno Ejercicios Transformaciones lineales con valores asignados Representacin matricial de las transformaciones lineales Construccin de una representacin matricial en forma diagonal Ejercicios Espacios lineales de matrices Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices Multiplicacin de matrices Ejercicios709 711 712 714 716 718 721723 725 726 730 732 733 735 736 740 20. XXIIlndice analtico16.17 Sistemas de ecuaciones lineales 16 .18 Tcnicas de clculo 16.19 Inversas de matrices cuadradas 16.20 Ejercicios 16.21 Ejercicios varios sobre matrices Soluciones a los ejercicios ndice alfabtico742745 750 752754 757 805 21. Calculus 22. INTRODUCCIN Parte l.1 1.1- IntroduccinhistricaLos dos conceptos bsicos del ClculoEl considerable progreso habido en la ciencia y en la tcnica durante los ltimos cien aos procede en gran parte del desarrollo de las Matemticas. La rama de la Matemtica conocida por Clculo integral y diferencial es un instrumento natural y poderoso para atacar mltiples problemas que surgen en Fsica, Astronoma, Ingeniera, Qumica, Geologa, Biologa, y en otros campos, incluyendo recientemente algunos de Ciencias sociales. Para dar una idea al lector de los muy diversos tipos de problemas que pueden tratarse por los mtodos de Clculo se expone a continuacin una pequea muestra de cuestiones seleccionadas entre los ejercicios que aparecen en captulos posteriores de este libro. Con qu velocidad debera ser impulsado un cohete para que nunca volviera a la Tierra? Cul es el radio del menor disco circular que cubra a todo tringulo issceles de permetro L? Cul es el volumen de material extrado de una esfera de radio 2r al atravesarla por un orificio cilndrico de radio r cuyo eje pase por el centro de la esfera? Si un cultivo de bacterias crece en razn directa a la cantidad que hay en cada instante, y la poblacin se duplica en una hora, en cunto se habr incrementado al cabo de dos horas? Si una fuerza de diez libras estira una cuerda elstica una pulgada, qu trabajo se necesita para estirarla un pie? Estos ejemplos, elegidos en distintos campos, ilustran algunas de las cuestiones tcnicas que pueden ser resueltas como aplicaciones ms o menos rutinarias del Clculo. El Clculo no slo es un instrumento tcnico, sino que contiene una coleccin de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante centurias. Estas ideas estn relacionadas con velocidad, rea, volumen, razn de crecimiento, tangente a una lnea, y con otros conceptos referentes a otros dominios. El Clculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acerca del significado de estos conceptos. Otro carcter notable del Clculo es su poder 23. 2Introduccinunificador. Muchos de estos problemas pueden ser formulados de manera que se reduzcan a otros problemas de naturaleza puramente geomtrica. A continuacin se procede a una breve descripcin de tales problemas. Considrese una curva C situada encima de una lnea horizontal base, como se indica en la figura 1.1. Se supone que esta curva tiene la propiedad de ser cortada por cada vertical, en un punto a lo ms. La parte sombreada de la figura est formada por aquellos puntos situados por debajo de la curva C, encima de la horizontal, y entre dos segmentos verticales paralelos que unen C con la base. El primer problema fundamental del Clculo es el siguiente: Determinarun nmero que mida el rea de esta regin sombreada. Considrese despus una recta que sea tangente a la curva, tal como se ve en la figura 1.1. El segundo problema fundamental puede formularse de la siguiente manera: Determinar un nmero que mida la pendiente de esta recta.FIGURAI.1Fundamentalmente, el Clculo se ocupa en la formulacin precisa y la resolucin de estos dos problemas considerados. En el Clculo se definen los conceptos de rea y tangente y se calculan el rea de una regin dada y la pendiente de la tangente a una curva dada. El Clculo integral se ocupa del problema del rea y ser discutido en este captulo 1. El Clculo diferencial se ocupa del problema de la tangente y ser introducido en el captulo 4. El estudio del Clculo exige una cierta preparacin matemtica. El presente captulo trata de estos conceptos bsicos y est dividido en cuatro partes: La l ." parte da una perspectiva histrica; la 2.a se refiere a la notacin y terminologa en la matemtica de conjuntos; la 3.a trata del sistema de nmeros reales; la 4.a ofrece la induccin matemtica y la notacin sumatoria. Si el lector est informado de estos temas, puede abordar directamente el desarrollo del Clculo integral en el captulo 1. Si no, deber familiarizarse con las materias contenidas en esta introduccin antes de iniciar el captulo 1. 24. 1ntroduccin I 1.2Introduccinhistrica3histricaEl origen del Clculo integral se remonta a ms de 2000 aos, cuando los griegos intentaban resolver el problema del rea ideando el procedimiento que llamaron mtodo de exhaucin. Las ideas esenciales de este mtodo son realmente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada una regin cuya rea quiere determinarse, se inscribe en ella una regin poligonal que se aproxime a la dada y cuya rea sea de fcil clculo. Luego se elige otra regin poligonal que d una aproximacin mejor y se contina el proceso tomando polgonos con mayor nmero de lados cada vez, tendiendo a llenar la regin dada. La figura 1.2 es una ilustracin del mtodo en el caso de una regin semicircular. Este mtodo fue usado satisfactoriamente por Arqumedes (287212 A.C.) para hallar frmulas exactas de las reas del crculo y de algunas otras figuras especiales. Desde Arqumedes, el desarrollo del mtodo de exhaucin tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de smbolos y tcnicas algebraicas se hizo preciso en los estudios matemticos. El lgebra elemental que hoy da es familiar a la mayora de los alumnos de los ltimos cursos de enseanza secundaria, era totalmente desconocida en tiempos de Arqumedes, lo que haca imposible extender el mtodo a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada de poder expresar los largos clculos en forma simplificada.FIGURA1.2El mtodode exhaucinaplicado a una regin semicircular.Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemticas, empez en el siglo XVI D.C. El engorroso sistema de numeracin romano fue desplazado gradualmente por los caracteres arbigos utilizados hoy da; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y se empezaron a reconocer las ventajas de la notacin decimal. Durante este mismo perodo, los brillantes resultados de los matemticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari que dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cbica y curtica, estimul el desarrollo de la Matemtica y anim a la aceptacin del lenguaje algebraico nuevo y superior. Con la introduccin muy extendida de los bien elegidos smbolos algebraicos, revivi el inters por el antiguo mtodo de exhaucin y en el siglo XVI descubrieron mltiples resultados parciales, los que como Cavalieri, Toricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros. 25. Introduccin4Gradualmente, el mtodo de exhaucin fue transformndose en lo que hoy se conoce como Clculo integral, nueva y potente disciplina que tiene numerossimas aplicaciones no slo en problemas relativos a reas y volmenes, sino tambin en problemas de otras ciencias. Este mtodo, que mantiene alguno de los caracteres originales del mtodo de exhaucin, recibi su mayor impulso en el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y su desarrollo continu durante el siglo XIX, hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron una base matemtica firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teora han llegado hasta la Matemtica contempornea.1 1.3 El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola Antes de proceder al estudio sistemtico del Clculo integral, ser instructivo aplicar el mtodo de exhaucin directamente a una de las figuras particulares tratadas por el mismo Arqumedes. La regin en cuestin est presentada en la figura 1.3 y puede describirse como sigue: Si se elige un punto arbitrario de la base de la figura y se designa por x su distancia a 0, la distancia vertical de este punto a la curva es x', En particular, si la longitud de la base es b la altura de la figura es b2 La distancia vertical de x a la curva se denomina ordenada de x. La curva as descrita se denomina parbola y la regin limitada por ella y por los dos segmentos rectilneos, se llama segmento parablico.r-----------------o FIGURAx 1.3SegmentoAproximacin parablicopor defecto FIGURAAproximacin 1.4por exceso 26. El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola5.Esta figura puede encerrarse en un rectngulo de base b y altura b", como se ve en la figura 1.3. Observando la figura parece natural afirmar que el rea del segmento parablico es menor que la mitad del rea del rectngulo. Arqumedes hizo el sorprendente descubrimiento de que el rea del segmento parablico es exactamente un tercio de la del rectngulo; es decir, A = b3/3, donde A designa el rea del segmento parablico. Se ver a continuacin cmo se llega a este resultado. Se hace notr que el segmento parablico dibujado en la figura 1.3 no est elegido exactamente tal como lo dibuj Arqumedes y que los detalles querea del rectnguloob" n= -. k2FIGURA1.5b2bkbnnn...Clculo del rea de un segmentob = nbn parablico.siguen no son exactamente los utilizados por l. Sin embargo, las ideas esenciales son las de Arqumedes; lo que aqu se expone puede considerarse como el mtodo de exhaucin expuesto con la notacin moderna. El mtodo consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en un cierto nmero de bandas y se obtienen dos aproximaciones de la regin, una por defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos de rectngulos como se indica en la figura 1.4. (Se utilizan rectngulos mejor que polgonos arbitrarios para simplificar los clculos.) El rea del segmento parablico es mayor que el rea total de los rectngulos interiores pero menor que la de los rectngulos exteriores. Si cada banda se subdivide a su vez, se obtiene una nueva aproximacin con mayor nmero de bandas, la reunin de las reas de los rectngulos inte- 27. Introduccin6riores crece, mientras que el total de las reas de los rectngulos exteriores decrece. Arqumedes vio que se poda lograr el rea con el grado de aproximacin deseado sin ms que tomar un nmero suficiente de bandas. El clculo efectivo en este caso se realiza como se indica a continuacin. Con objeto de simplificar se subdivide la base en n partes iguales, cada una de longitud bf n (vase fig. 1.5). Los puntos de subdivisin corresponden a los siguientes valores de x:o, ~ , 2b nn, 3b , ... n, (n nl)b , nb = b . nLa expresin general de un punto de la subdivisin es x =kb I n, donde k toma los valores sucesivos k = O, 1, 2, 3, .. , n, En cada punto kb I n se construye el rectngulo exterior de altura (kbln)2 como se indica en la figura 1.5. El rea de este rectngulo es el producto de la base por la altura y es igual a:Si se designa por S; la suma de las reas de todos los rectngulos exteriores, puesto que el rea del rectngulo k-simo es (b3 I n3)k2 se tiene la frmula:(1.1 )De forma anloga se obtiene la frmula para la suma s de todos los rectngulos interiores:(1.2)La forma de estas sumas es de gran importancia para su clculo. Ntese que el factor que multiplica a b" I n3 en la ecuacin (1.1) es la suma de los cuadrados de los n primeros nmeros naturales: 12+ 2 + ... + n 22 (El factor correspondiente en la ecuacin (1.2) es anlogo salvo que la suma tiene nicamente n - 1 sumandos.) Para valores grandes de n la obtencin de esta suma por adicin directa de sus sumandos es pesada, pero afortunada- 28. El mtodode exhaucinpara el rea de un segmentomente existe una interesante identidad que hace posible un camino ms simple, y es la siguiente: 12 + 22 +"'+n(1.3)23de parbolaobtener2n n =-+-+-. 3 27esta suma porn 6Esta identidad es vlida para todo entero n 2: 1 Y puede demostrarse del siguiente modo: Se parte de la frmula (k+ l)3=k8+3F+3k+ 1 Y se pone en la forma+ 3k + 1 = (k + 1)3 -3k2 Haciendok = 1, 2, ... , n - 1, obtenemosk3.las n - 1 frmulas3 . 12 + 3 . 1Al sumar estas frmulas, excepto dos y se obtiene 3[P + 22 + ...+ (n-3 -133 . 223(n -3 -231)2+ 1 =2 + 3 .2 + 1= 3+ 3(n-1)+1=todos los trminos1)2]+ 3[1n3(n --1)3.del segundo+ (n -+ 2+ ...miembro+ (n1)]-se reducen1) = n3-P.La segunda suma del primer miembro es la suma de los trminos de una progresin aritmtica cuyo valor es t n(n - 1). Por tanto la ltima igualdad nos da 12+ 22 + ...+ (n - 1)232= !!..-_ !!..-3(lA)2+ !:!. . 6Sumando n' a los dos miembros, obtenemos (1.3). Las expresiones exactas dadas en los segundos miembros de (1.3) y (1.4) no son necesarias para el objeto que aqu se persigue, pero sirven para deducir fcilmente las dos desigualdades que interesan (I.5)12 + 22+ ... + (n3- 1)2n O}; el conjunto universal S en este caso se sobrentiende que es el conjunto de todos los nmeros reales. Del mismo modo, el conjunto de todos los nmeros pares positivos {2, 4, 6, ... } puede designarse con {x I x entero par positivo}. Naturalmente, la letra x puede reemplazarse por otro signo adecuado. As, se puede escribir {x Ix>O}= {y I y > O} = {t I t > O}etctera. Puede ocurrir que un conjunto no contenga elementos. Un tal conjunto se llama conjunto vaco, y se representa mediante el smbolo 0. Consideremos el 0 como subconjunto de cualquier conjunto. Hay quien imagina un conjunto como un recipiente (tal como una bolsa o una caja) que contiene ciertos objetos, sus elementos. Entonces, el conjunto vaco sera un recipiente vaco. Para evitar dificultades y confusiones, debemos distinguir entre el elemento x y el conjunto {x} cuyo nico elemento es x. (Una caja con un sombrero dentro, es conceptualmente distinto del sombrero considerado solo.) En particular el conjunto vaco 0 no es lo mismo que el conjunto { 0 }. En realidad el conjunto vaco o no contiene elementos, mientras que el conjunto {0} contiene un elemento, 0 (Una bolsa que contiene una bolsa vaca no est vaca.) Los conjuntos que contienen un solo elemento se llaman conjuntos de un elemento. Con frecuencia nos ayudamos de diagramas para hacer intuitivas las relaciones entre conjuntos. Por ejemplo, podemos pensar que el conjunto universal S es una regin en el plano, y cada uno de sus elementos un punto Los subconjuntos de S pueden imaginarse como colecciones de puntos interiores a S. Por ejemplo, en la figura 1.6(b) la porcin sombreada es un subconjunto de A y tambin de B. Las ayudas grficas de este tipo se llaman diagramas de Venn y se utilizan para comprobar la validez de ciertos teoremas de la Teora de conjuntos o para sugerir mtodos de demostracin de los mismos. Naturalmente, tales demostraciones se basan en las definiciones y conceptos y su validez depender de un razonamiento correcto y no precisamente de los diagramas. 38. Reuniones, intersecciones, complementos 1 2.417Reuniones, intersecciones, complementosA partir de dos conjuntos dados A y B, siempre podemos formar un nuevo conjunto llamado reunin de A y B. Este nuevo conjunto se representa con el smbolo AUB (se lee A reunin B)oCa) A u B FIGURA1.6Ce) A n B = 0A nBReunionese intersecciones.y se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Es decir, A U B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A, B. En la figura I.6(a) la parte sombreada representa A U B.Anlogamente, la interseccin de A y B que se representa con el smbolo AnB (se lee: A interseccin B)se define como el conjunto de los elementos comunes a A y a B. En la figura I.6(b) se representa la interseccin de A y B. En la figura I.6(c) se ve que la interseccin de A y B es el conjunto 0, puesto que A y B no tienen elementos comunes. Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si A n B= 0. Dados dos conjuntos A y B, se define la diferencia A - B (que tambin se llama complemento de B relativo a A) como el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B. As pues, segn la definicinIA - B = {x xEA Y xrF B} .En la figura I.6(b) la porcin no sombreada de A representa A - B; la no sombreada de B representa B - A. Las operaciones de reunin e interseccin poseen muchas analogas formales con la adicin y multiplicacin ordinarias de nmeros reales. Por ejemplo, puesto 39. Introduccin18que no existe cuestin de orden en las definiciones de reunin e interseccin, se deduce que A U B=B U A Y que A n B=B nA. Es decir, la reunin y la interseccin son operaciones conmutativas. Asimismo dichas definiciones estn dadas de tal modo que las operaciones son asociativas: y(A U B) U C = A U (B U C)(A n B) n C=A n (B n C) .Estos y otros teoremas relativos al lgebra de conjuntos se citan como Ejercicios en la Seccin 12.5. Uno de los mejores mtodos para que el lector se familiarice con la terminologa y las notaciones antes introducidas es deducir las demostraciones de cada una de estas leyes formales. Una muestra del tipo de razonamiento que se necesita aparece inmediatamente despus de los Ejercicios. Las operaciones de reunin e interseccin pueden extenderse a colecciones finitas o infinitas de conjuntos, de la manera siguiente: Sea .'!F una clase (t) no vaca de conjuntos. La reunin de todos los conjuntos de .'!F se define como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen por 10 menos a uno de los conjuntos de .'!F, y se representa con el smboloUA.AeFSi ff es una coleccin finita de conjuntos, sea por ejemplo ff = {Al> A2, An}, escribimosU AeF,nA =U Ak =Al U A2 U ...U An k~lAnlogamente, la interseccin de todos los conjuntos de .'!F se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos de.'!F; se representa con el smboloAl igual que antes, para colecciones finitas de conjuntos escribimos: nn A = ~n A A~k=Al n A2 n ... nA.n(t) Para simplificar el lenguaje llamamos clase a una coleccin de conjuntos. Para representar clases empleamos letras maysculas cursivas. La terminologa y la notacin usuales de la Teora de conjuntos se aplica, naturalmente, a las clases. As, por ejemplo, A E ~ significa que A es uno de los conjuntos de la clase~, y d S; [!J significa que todo conjunto de d pertenece a ~, y as sucesivamente. 40. Ejercicios19La reunin y la interseccin se han definido de manera que las leyes asociativas se satisfacen inmediatamente. En consecuencia no existir ambigedad cuando escribimos Al u A2 U ... U An o Al n A2 n ... n An .1 2.5Ejerciciosl. Utilizar la notacinen lista para representarIA = {x x21-==de nmerosreales.I x3 - 2x2 + x = 2} . E = {x I (x + 8)2 = 92}. F = {x I (x2 + 16x)2 = 17O} .DI (x - 1)2 = O} . e = {x I x + 8 = 9} . Blos siguientes conjuntos{x={x2} 2. Para los conjuntos del Ejercicio 1, obsrvese que B S; A. Citar todas las relaciones de inclusin S; que son vlidas entre los conjuntos A, B, e, D, E, F. 3. Sean A = { I }, B = { 1, 2}. Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qu las otras son falsas). (a) A e B. (b) A S; B. (e) A E B.(d) 1 EA. (e) ISA. (f) 1 e B.4. Resolver el Ejercicio 3 si A = {1} Y B = {{1}, 1}. 5. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Expresar todos los subconjuntos 16, si contamos 0 y S. 6. Dados los cuatro conjuntos siguientes A ={I, 2},B=e = {{l}, {l, 2}},{{l}, {2}},discutir la validez de las afirmaciones por qu las otras no lo son). (a) A = B. (b) A e; B. (e) A e C.7. Demostrar(d) A (e) A (f) BEC.e elas propiedadessiguientesD=de S. Hay en total{{l}, {2}, {l, 2}},(probar que unas son certas y explicar(g) BcD. (h) BE D. (i) A E D.D. C.siguientesde la igualdadde conjuntos.(a) {a, a} = {a}. (b) {a, b} = {b, a}. (e) {a} = {b, e} si y slo si a=b=c.Demostrar el conjunto de relaciones de los Ejercicios 8 al 19. (Al final de esta Seccin se dan ejemplos de estas demostracnes). 8. Leyes conmutativas;A v B = B v A,A n B = B n A. 41. 20Introduccin=A,13. A U 0 14. A U (AA nA= A,=B)UUC)= (A n B)UnC) = (An(AU(BA n 0 A, A=B)UA r, (B r. C)C,Urv B)nC.C).0.n(AB S C, entonces A(b) SiA S BU=A,=17. (a) SiA e B(AA n B S A.B)16. Si C S A Y= (A(A n C),Uyn15. Si A S CC)A11. A uAUA10. Leyes distributivas:12. A S A u B,(BA n (B9. Leyes asociativas:UC S B, entonces= UA.B S C.C SAnB.C,probarque A e C.Y B S C,probarque A S C.yBeB)(e) Qu puede afirmarse si A e B y B S C? (d) Si x E A Y A S; B, es cierto necesariamente (e) Si x E A Y A E B, es cierto necesariamenteque x E B? que x E B?18. A - (B n C) = (A - B) u (A - C). 19. Sea ~una clase de conjuntos. B -UA AE.'F=n (B -EntoncesyA)B -n A = U (B -AE.'FAE.'F20. (a) Demostrar que una de las dos frmulas nas veces es falsa:siguientes es siempre correcta y la otra algu-(i) A - (B - C)=(A - B)(ii) A - (B u C) (b) Establecer sea incorrectaA).AE.F=(A - B) - C.una condicin necesaria sea siempre vlida.y suficienteUC,adicionalpara que la frmulaqueDemostracin de la ley conmutativa A U B=B U A. Sean X=A U B, Y =B U A. Para demostrar que X = Y se demuestra que X S; Y e Y S X. Supngase que x E X. Entonces x est por lo menos en A o en B. Luego, x est por lo menos en B o en A; de modo que x E Y. As, pues, todo elemento de X est tambin en Y, con lo que X S; Y. Anlogamente, encontramos que Y S X, de modo que X =Y. Demostracin de A n B s; A. Si xEA n B, x est simultneamente en Ay en B. En particular, x E A. As, pues, todo elemento de A n B est tambin en A; por lo tanto, A n B S; A. 42. Introduccin21Parte 11I.- Un conjunto de axiomas para el sistema de nmeros realesI 3.1IntroduccinHay muchos mtodos para introducir el sistema de los nmeros reales. Un mtodo corriente es el de empezar con los enteros positivos 1,2,3, ... y utilizarlos como base para construir un sistema ms amplio que tenga las propiedades deseadas. Brevemente, la idea de este mtodo es tomar los enteros positivos como base para formar un sistema ms amplio, que es el de los nmeros racionales positivos (cocientes de enteros positivos). Los nmeros racionales positivos se utilizan a su vez como base para construir los irracionales positivos (nmeros reales como V2 y 7T que no son racionales). El paso final es la introduccin de los nmeros reales negativos y el cero. La parte ms difcil del proceso total es el paso de los nmeros racionales a los nmeros irracionales. Aunque la necesidad del nmero irracional se haba presentado ya a los matemticos de la antigua Grecia en sus estudios geomtricos, no se introdujeron mtodos satisfactorios de construccin de los nmeros reales a partir de los racionales hasta entrado el siglo XIX. En esta poca se perfilaron tres teoras distintas por Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918) y Richard Dedekind (1831-1916). En 1889, el matemtico italiano Giuseppe Peana (1858-1932) dio cinco axiomas para los enteros positivos que se utilizaron como punto de partida para la construccin total. Una exposicin detallada de esta construccin empezando por los axiomas de Peana y utilizando el mtodo de Dedekind para introducir el nmero irracional, se encuentra en el libro de E. Landau, Fundamentos del Anlisis (Nueva York, Chelsea Publishing Co., 1951). El punto de vista adoptado aqu no es constructivo. Se inicia el proceso en un punto bastante avanzado, considerando los nmeros reales como conceptos primitivos que satisfacen a un cierto nmero de propiedades que se toman como axiomas; es decir, se supone que existen ciertos objetos, llamados nmeros reales, que satisfacen los 10 axiomas enunciados en las cinco Secciones que siguen. Todas las propiedades de los nmeros reales que se utilizarn en este libro, o estn entre los axiomas o se pueden deducir de ellos. Cuando los nmeros reales se definen mediante un proceso constructivo, las propiedades que se toman como axiomas tendrn que demostrarse como teoremas. Mientras no se diga 10 contrario, las letras a, b, e, ... x, y, z que aparecen en los axiomas representan nmeros reales cualesquiera. Los axiomas se agrupan en forma natural en tres grupos, que son, axiomas de cuerpo, axiomas de orden y axioma del extremo superior (llamado tambin axioma de continuidad o axioma de completitud). 43. 1ntroduccin22 1 3.2Axiomas de cuerpoJunto con el conjunto de los nmeros reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adicin y multiplicacin, tales que para cada par de nmeros reales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro nmero real designado por x+y y el producto de x por y designado por xy o X' y. La suma x+y y el producto xy estn unvocamente determinados por x e y. A los signos + y . no se les asigna otro significado especial que el precisado en los axiomas. AXIOMA1.PROPIEDADCONMUTATIVA.x+y=y+x,xy=yx.AXIOMA2.PROPIEDADASOCIATIVA.x+(y+z)=(x+y)+z,AXIOMA3.PROPIEDADDISTRIBUTIVA.x(y+z)=xy+xz.x(yz)= (xy)z.AXIOMA 4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos nmeros reales distintos, que se indican por O y 1 tales que para cada nmero real x se tiene: O+x=x+O=x y I.: X=X' 1=x. AXIOMA 5. EXISTENCIA DE NEGATIVOS. nmero real y tal que x+y=y+x=O.Para cada nmero real x existe unAXIOMA 6. EXISTENCIA DEL RECPROCO. un nmero real y tal que xy = yx = 1.Para cada nmero real x =1= O existeNota:Los nmeros O y 1 de los axiomas 5 y 6 son los mismos que los del axioma 4.De los axiomas anteriores se puede deducir todas las leyes usuales del lgebra elemental. Las ms importantes de ellas se recogen a continuacin como teoremas. En todos estos teoremas las letras a, b, e, d, representan nmeros reales cualesquiera. TEOREMAentonces b1.1.LEYDEPARA LA SUMA. Si a+b=a+c, que el nmero O del axioma 4 es nico.)SIMPLIFICACIN= c. (En particular esto pruebaTEOREMA 1.2. POSIBILIDAD DE LA SUSTRACCIN. Dados a y b existe uno y slo un x tal que a + x =b. Este x se designa por b - a. En particular O - a se escribe simplemente -a y se denomina el negativo de a.+ (-a).TEOREMA1.3.b- a= bTEOREMAlA.-(-a)TEOREMA1.5.a(b - e) = ab - ac.TEOREMA1.6.O a = a' 0= O.= a. 44. Axiomas de cuerpo 1.7.TEOREMAab = ac axiomay 4LEYDESIMPLIFICACIN23PARALAMULTIPLICACIN.Sia # O, entonces b = c. (En particular esto demuestra que el nmero 1 del es nico.)TEOREMA1.8.POSIBILIDADDados a y b con a =1= O, existeDE LA DIVISIN.uno y slo un x tal que ax = b. La x se designa por b/ a o ~ y se denomina cociente a1/a se escribe tambin a:' y se designa recproco de a.de b y a. En particular TEOREMA1.9.Si a ~ O, entonces b]a = b . a-l.TEOREMA1.10.Si a ~ O, entonces (a-1)-1TEOREMA1.11.Si ab=O entonces o a=O o b=O.TEOREMAI.12.(-a)bTEOREMAI.13.(a/b)TEOREMAI.14.(a/b)(c/d)= (ac)/(bd) siTEOREMAI.15.(ajb)j(c/d)= (ad)j(bc) si b ~=-(ab)y= a.(-a)( -b)+ (c/d) = (ad + bc)/(bd)=ab.si b; O Y d; O.b; OY d ~ O.O, e ~ O,Y d ~ O.Para poner de manifiesto cmo estos teoremas pueden obtenerse como consecuencia de los axiomas, se dan las demostraciones de 1.1 hasta 1.4, Y sera instructivo para el lector tratar de demostrar los restantes.Demostracin de 1.1. Dado a+b=a+c. En virtud del axioma 5, se puede elegir y de manera que y+a=O, con lo cual y+(a+b)=y+(a+c), y aplicando la propiedad asociativa (y+a)+b=(y+a)+c, o sea, O+b=O+c. Pero en virtud del axioma 4, se tiene O+b=b y O+c=c, o sea, b=c. Obsrvese que este teorema demuestra que existe un solo nmero real que tiene la propiedad del O en el axioma 4. En efecto, si O y O' tuvieran ambos esta propiedad, entonces, 0+0'=0 y 0+0=0; por tanto, 0+0'=0+0 y por la ley de simplificacin 0=0'. Demostracin de 1.2. Dados a y b se elige y de manera que a+y=O y sea x=y+b. Entonces, a+x=a+(y+b)=(a+y)+b=O+b=b. Por tanto, hay por lo menos una x tal que a + x = b. Pero en virtud del teorema 1.1, hay a lo sumo una. Luego hay una y slo una x en estas condiciones. Demostracin de 1.3. que x=y.Por definicin y + aSea x=b-a y sea y=b+( de b-a, x+a=b y= [b + (-a)]+ a=b+ [(-a) + a]-a).=bSe trata de probar+ O= b. 45. Introduccin24 Por tanto, x+a=y+a,Y en virtud de 1.1, x=y.Demostracin de 1.4. Se tiene a+( -a)=O por definicin de -a. Pero esta igualdad dice que a es el opuesto de (-a), es decir, que a= -( -a) como se afirma en el teorema. 1 3.3Ejercicios1. Demostrar los teoremas del 1.5 al 1.15, utilizando 1.1 al 1.4.los axiomas1 al 6 y los teoremasEn los ejercicios del 2 al 10, demostrar las afirmaciones indicadas, o establecer las igualdades dadas. Aplquense los axiomas 1 al 6 y los teoremas del 1.1 al 1.15. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 9. 10.-O = O. 1-1 = 1. El cero no tiene recproco. - (a + b) = - a-b. - (a - b) = - a + b, (a - b) + (b - e) = a-e. Si a ; O Y b ; O, entonces (ab)-l = a-1 - (a/b) = ( - aib) = a/( - b) si b ; O. (a/b) - (e/d) (ad - be)/(bd) sib ; O Y d; O.s.=1 3.4Axiomas de ordenEste grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que se establece una ordenacin entre los nmeros reales. Segn esta ordenacin se puede decidir si un nmero real es mayor o menor que otro. Se introducen aqu las propiedades de orden, como un conjunto de axiomas referentes al nuevo concepto primitivo de positivo, para definir despus los conceptos de mayor que y menor que a partir del de positivo. Supondremos que existe un cierto subconjunto R+ e R, llamado conjunto de nmeros positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes: AXIOMA7.Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre a x+y y xy.AXIOMA8.Para todo real x # O, oAXIOMA9.O rf: R+.XER+ o -xER+, pero no ambos.Ahora se pueden definir los smbolos , ~, y ~ llamados respectivamente menor que, mayor que, igual o menor que, e igual o mayor que, de la manera siguiente: xxde orden25significa que x b - 1. Para este n tenemos n + 1 > b. Puesto que n + 1 pertenece a P, esto contradice el que 'b sea una cota superior para P. Como corolarios del teorema cuencias siguientes: TEOREMA1.29.1.28, se obtienen inmediatamente las conse-Para cada real x existe un entero positivo n tal que n> x.Demostracin, Si no fuera as, x sera una cota superior de P, en contradiccin con el teorema 1.28. TEOREMA1.30.positivo n tal que nx Demostracin.Si x> y.>Oey es un nmero real arbitrario, existe un enteroAplicar el teorema 1.29 cambiando x por y].La propiedad descrita en el teorema 1.30, se denomina frecuentemente propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales. Geomtricamente significa que cada segmento, tan largo como se quiera, puede ser recubierto por un nmero finito de segmentos de longitud positiva dada, tan pequea como se quiera. En otras palabras, una regla corta puede medir distancias tan largas como se quiera colocndola consecutivamente. Arqumedes, considerando sta como una propiedad fundamental de la lnea recta, la consider como uno de los axiomas de la Geometra. En los siglos XIX y XX se han construido geometras no arquimedianas en las que se prescinde de este axioma. A partir de la propiedad arquimediana, podemos demostrar el teorema siguiente que nos ser til en Clculo integral. TEOREMA(1.14)1.31.Si tres nmeros reales a, x, e y satisfacen las desigualdades a ::;;x ::;;apara todo entero n ~ 1, entonces x = a.+~ 54. Propiedadesfundamentalesdel extremosuperior33Demostracin. Si x > a, el teorema 1.30 nos dice que existe un entero positivo n que satisface n(x - a) > y, en contradiccin con (1.14). Luego no puede ser x > a, con lo que deber ser x = a.1 3.11Propiedades fundamentales del extremo superiorEn esta Seccin se consideran tres propiedades fundamentales de los extremos superior e inferior que se utilizarn en lo sucesivo. La primera de ellas establece que todo conjunto de nmeros con extremo superior contiene nmeros tan prximos como se quiera a dicho extremo; del mismo modo, un conjunto con extremo inferior contiene nmeros tan prximos a l como se quiera. TEOREMA1.32.Sea h un nmero positivodado y S un conjuntode nme-ros reales. a)Si S tiene extremo superior, para un cierto x de S se tienex> b)sup S - h.Si S tiene extremo inferior, para un cierto x de S se tiene x< infS+h.Demostracin de a). Si es x ~ sup S - h para todo x de S, entonces sup S - h sera una cota superior de S menor que su extremo superior. Por consiguiente debe ser x > sup S - h por lo menos para un x de S. Esto demuestra a). La demostracin de b) es parecida.AyTEOREMA 1.33. PROPIEDAD B de R, sea e el conjuntoe= a){aSi A y B poseen extremo supb)ADITIVA.inf+ b I a E A,bEdos subconjuntossup Ainferior,+ supno vacosB} .superior, entoncese=Si A Y B tienen extremoDadose tiene extremosuperior,yeinferior,eB .entoncestiene extremoe = inf A + inf B .Demostracin. Supongamos que A y B tengan extremo superior. Si e E e, entonces e = a + b, donde a E A Y b E B. Por consiguiente e ~ sup A + sup B; 55. 1ntroduccin34de modo que sup A + sup B es una cota superior de C. Esto demuestra extremo superior y que supe ~ supSea ahora n un entero positivo cualquiera. existen un a en A y un b en B tales quea> Sumando a+ b > suppuesto queaA+ sup+b2 B - ,b> supB1.32 (con h = 11n)1- 'se obtiene osup A+ sup~ sup C. Por consiguiente supe ~ supAB x2 para cada x en S, es decir, e > x para cada x en S; luego e es una cota superior de S, y puesto que e < b se tiene una contradiccin con el hecho de ser b el extremo superior de S. Por tanto, la desigualdad b2 > a es imposible. Supngase b' < a. Puesto que b > O se puede elegir un nmero positivo e tal que e < b y tal que e < (a - b2)j(3b). Se tiene entonces: (b+ C)2 = b2 + c(2b + c) < b2 + 3bc < b2 + (a- b2) = a.Es decir, b + e pertenece a S. Como b + e > b, esta desigualdad est en contradiccin con que b sea una cota superior de S. Por tanto, la desigualdad b2 < a es imposible y slo queda como posible b2 = a. *1 3.14 Races de orden superior. Potencias racionales El axioma del extremo superior se puede utilizar tambin para probar la existencia de races de orden superior. Por ejemplo, si n es un entero positivo 58. Representacin de los nmeros reales por medio de decimales37impar, para cada real x existe un nmero real y, y uno solo tal que yO = x. Esta y se denomina raz n-sima de x y se indica por: (I.15)oy=~.Si n es par, la situacin es un poco distinta. En este caso, si x es negativo, no existe un nmero real y tal que y = x, puesto que y O para cada nmero real y. Sin embargo, si x es positivo, se puede probar que existe un nmero positivo y slo uno tal que y = x. Este y se denomina la raz n-sima positiva de x y se indica por los smbolos (1.15). Puesto que n es par, (_y)n = yn y, por tanto, cada x > O tiene dos races n-simas reales, y y-y. Sin embargo, los smbolos Xli y 1"; se reservan para la raz n-sima positiva. No exponemos aqu las demostraciones de estas afirmaciones porque se deducirn ms adelante como consecuencia del teorema del valor intermedio para las funciones continuas (ver Seccin 3.10). Si r es un nmero racional positivo, sea r = m/n, donde m y n son enteros positivos, se define x' como (xm)l/n, es decir como raz n-sima de x", siempre que sta exista. Si x 7"= O, se define x-' = l/x' con tal que x" est definida. Partiendo de esas definiciones, es fcil comprobar que las leyes usuales de los exponentes son vlidas para exponentes racionales: x': x x'+, (x")" x'", y (xy)" xryr.=*1 3.15==Representacin de los nmeros reales por medio de decimalesUn nmero real de la forma (1.16) donde ao es un entero no negativo, y al> a. ... , a son enteros que satisfacen O S a S 9, se escribe corrientemente en la forma ms breve siguiente:Se dice que sta es la representacin decimal finita de r. Por ejemplo: 15- = - = 0,5 2 10 '1 2 -==0,02 2501029- = 475 + -2 + -- =101027,25 .Nmeros reales de esta clase son necesariamente racionales y todos ellos son de la forma r = a/lO donde a es un entero. Sin embargo, no todos los nmeros racionales pueden expresarse por medio de una representacin decimal finita. Por ejemplo, si t se pudiera expresar as, se tendra t = al 10 o 3a = 10 para 59. Introduccin38algn entero a. Pero esto es imposible, puesto que 3 no es divisor de ninguna potencia de 10. No obstante, cualquier nmero real x > O puede aproximarse con un error tan pequeo como se desee por medio de una suma de la forma (1.16) si se toma n suficientemente grande. La razn de ello puede verse mediante el siguiente argumento geomtrico: si x no es entero, x est comprendido entre dos enteros consecutivos, es decir, a < x < ao + 1. El segmento que une ao y ao+ 1 puede subdividirse en diez partes iguales. Si x no coincide con uno de estos puntos de subdivisin, x debe estar comprendido entre dos de ellos. Esto da lugar a un par de desigualdades de la forma aoal al + + -10 < x < ao + --- 10' 1donde al es un entero (0:5: al :5: 9). Se divide ahora, el segmento que une ala+-alyQo+ ---10+1en diez partes iguales (cada una de longitud 10-2) y10se contina el proceso. Si despus de un nmero finito de subdivisiones, uno de los puntos coincide con x, x es un nmero de la forma (1.16). Si no es as, el proceso se contina indefinidamente y se engendra un conjunto de infinitos enteros a, ac2, a3, ... En este caso se dice que x tiene la representacin decimal infinitaDespus de n subdivisiones, x satisface las desigualdades aoal al a + - + ... + -Un < x < U + - + ... + _n__+ 1 . 10 lOn o 10 io-las cuales dan dos aproximaciones de x, una por exceso y otra por defecto, por medio de decimales finitos que difieren en lO-no Por tanto, se puede lograr un grado de aproximacin deseado sin ms que tomar n suficientemente grande. Si x = 1, es fcil comprobar que ao = O Y a; = 3 para cada n ~ 1, Y por tanto la aproximacin decimal correspondiente es:1= 0,333....Cada nmero irracional tiene una representacin decimal infinita. Por ejemplo, si x = V2 se pueden calcular por tanteo tanto dgitos como se deseen de su aproximaci_n decimal. Pues V2 est comprendido entre 1,4 Y 1,5 ya que (l,4)2 < 60. Representacin de los nmeros reales por medio de decimales 2 < (1,5)2. Anlogamente, elevando al cuadrado las siguientes aproximaciones sucesivas: 1,41< v'2 que A(k + 1) es verdadera. l)En la prctica, nI es generalmente .igual a 1. La justificacin de este mtodo de demostracin es el siguiente teorema relativo a nmeros reales. TEOREMA1.36.PRINCIPIODE INDUCCINSea S un conjuntoMATEMTICA.de enteros positivos que tienen las dos propiedades siguientes: a) El nmero 1 pertenece al conjunto S. b) Si un entero k pertenece a S, tambin k + 1 pertenece Entonces todo entero positivo pertenece al conjunto S.a S.Demostracin, Las propiedades a) y b) nos dicen que S es un conjunto inductivo. (Vase la Seccin 1 3.6.) Por consiguiente S contiene cualquier entero positivo. Cuando se efecta la demostracin de una afirmaci6n A(n) para todo n ~ 1 por induccin matemtica, se aplica el teorema 1.36 al conjunto S formado por todos los enteros para los cuales la afirmacin A(n) es cierta. Si se desea probar que A(n) es cierta slo para todo n ~ ni, entonces se aplica el teorema 1.31 al conjunto de los nmeros n para los cuales es cierta A(n + n 1). 1*1 4.3-El principio de buena ordenacinHay otra propiedad importante de los enteros positivos, llamada principio de buena ordenacin, que se utiliza tambin como base para demostraciones por induccin. Puede formularse como sigue. 64. El principio de buena ordenacin TEOREMA1.37.PRINCIPIODE BUENA43 Todo conjunto no va-ORDENACIN.co de enteros positivos contiene uno que es el menor. Obsrvese que el principio de buena ordenacin se refiere a conjuntos de enteros positivos. El teorema no es cierto para cualquier conjunto de enteros. Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros no tiene uno que sea el menor. El principio de buena ordenacin puede deducirse a partir del principio de induccin. Esto se demuestra en la Seccin 14.5. Concluimos esta Seccin con un ejemplo en el que se muestra cmo se puede aplicar el principio de buena ordenacin para probar teoremas referentes a enteros positivos. Sea A(n) la siguiente igualdad: 2A(n): 1Se observa queA(23n n + 22 + ... + n 2 = - + - + n -. 3261) es cierta, puesto queSe tienen, pues,dos posibilidades. O bien: (i) A(n) es cierta para cada entero positivo n, o (ii) existe por lo menos un entero positivo n para el que A(n) es falsa. Se trata de probar que si se supone la (ii), se llega a una contradiccin. En virtud del principio de buena ordenacin existir un entero positivo k, que ser el menor entero positivo para el cual A(n) es falsa. k ha de ser mayor que 1 puesto que se ha visto que A( 1) es verdadera. Por tanto, la igualdad ha de ser cierta para k -1 ya que k es el menor entero para el cual A(k) es falsa. Se puede, pues, escribir: A(k _ 1): 12+ 22 + .. , + (k_ 1)2=(k -1)3+ (k-1)2+k-1 .326Sumando k2 a los dos miembros y simplificando el de la derecha, se tiene: 12+ 2 + ... + k 22k3= -32k k +- +- . 26Pero esta igualdad prueba que A(k) es cierta; con lo cual se llega a una contradiccin pues k era un entero para el cual A(k) era falsa. Como la proposicin (ii) conduce a una contradiccin, se verifica la (i), lo que prueba que la identidad en cuestin es vlida para todos los valores de n 1. Una consecuencia de esta identidad es la desigualdad de la derecha en (1.19). 65. Introduccin44Toda demostracin en la que, como aqu, se hace uso del principio de buena ordenacin, se puede sustituir por una demostracin por induccin. Por supuesto, que se poda haber hecho la demostracin en la forma acostumbrada, comprobando la A( 1), para despus pasar de la A(k) a la A(k + 1). 1 4.4Ejercicios1. Demostrar por induccin las frmulas siguientes: (a) l + 2 + 3 ++(b) 1 + 3 + 5 ++ (2n - 1) = n2(e) 13 + 23 + 33 ++(d) J3 + 23 + ... ++ 1)/2.n = n(n(n -O + 2 + 3 + ... +n3 =1)3 1 + nx +nx2 es cierta para todo x > O. Calcular nI' Y demostrar que la desigualdad es cierta para todos los enteros n ~ ni . 8. Dados nmeros reales positivos al , a2 , aa , ... , tales que a. ~ can_l para todo n ;::: 2, donde e es un nmero positivo fijo, aplquese el mtodo de induccin para demostrar que a.; ~ alcn-lpara cada n >: 1. 9. Demustrese por induccin la proposicin siguiente: Dado un segmento de longitud unidad, el segmento de longitud se puede construir con regla y comps para cada entero positivo n. 10. Sea b un entero positivo. Demostrar por induccin la proposicin siguiente: Para cada entero n ;::: O existen enteros no negativos q y r tales que:yr,;n=qb+ r,O~r 1 y los nicos divisores de n son 1 y n. Demostrar por induccin que cada entero n > 1 es o primo o producto de primos. 12. Explquese el error en la siguiente demostracin por induccin. Proposicin. Dado un conjunto de n nias rubias, si por 10 menos una de las nias tiene ojos azules, entonces las n nias tienen ojos azules. Demostracin . La proposicin es evidentemente cierta si n = 1. El paso de k a k + 1 se puede ilustrar pasando de n = 3 a n = 4. Supngase para ello que la proposicin es cierta para n = 3 Y sean 01' 02' 03' 04' cuatro nias rubias tales que una de ellas, por lo menos, tenga ojos azules, por ejemplo, la 01' Tomando 1,02' 03' conjuntamente y haciendo uso de la proposicin cierta para n = 3, resulta que tambin 02 y 03 tienen ojos azules. Repitiendo el proceso con 01' 02 Y 04' se encuentra igualmente que an4 tiene ojos azules. Es decir, las cuatro tienen ojos azules. Un razonamiento logo permite el paso de k a k + 1 en general.Corolario.Todas las nias rubias tienen ojos azules.Demostracin. Puesto que efectivamente existe una nia rubia con ojos azules, se puede aplicar el resultado precedente al conjunto formado por todas las nias rubias. Nota: Este ejemplo es debido a G. Plya, quien sugiere que el lector compruebe experimentalmente la validez de la proposicin.*1 4.5Demostracin del principio de buena ordenacinEn esta Seccin se deduce el principio de buena ordenacin del de induccin. Sea T una coleccin no vaca de enteros positivos. Queremos demostrar que 67. Introduccin46T tiene un nmero que es el menor, esto es, que hay en T un entero positivo t.; tal que to ::;; t para todo t de T. Supongamos que no fuera as. Demostraremos que esto nos conduce a una contradiccin. El entero 1 no puede pertenecer a T (de otro modo l sera el menor nmero de T). Designemos con S la coleccin de todos los enteros positivos n tales que n < t para todo t de T. Por tanto 1 pertenece a S porque 1 < t para todo t de T. Seguidamente, sea k un entero positivo de S. Entonces k < t para todo t de T. Demostraremos que k + 1 tambin es de S. Si no fuera as, entonces para un cierto t, de T tendramos ti ::;; k + 1. Puesto que T no posee nmero mnimo, hay un entero t2 en T tal que t2 < ti' Y por tanto t2 < k + 1. Pero esto significa que t2 ::;; k, en contradiccin con el hecho de que k < t para todo t de T. Por tanto k + 1 pertenece a S. Segn el principio de induccin, S contiene todos los enteros positivos. Puesto que T es no vaco, existe un entero positivo t en T. Pero este t debe ser tambin de S (ya que S contiene todos los enteros positivos). De la definicin de S resulta que t < t, lo cual es absurdo. Por consiguiente, la hiptesis de que T no posee un nmero mnimo nos lleva a una contradiccin. Resulta pues que T debe tener un nmero mnimo, y a su vez esto prueba que el principio de buena ordenacin es una consecuencia del de induccin.1 4.6El smbolo sumatorio En el clculo del rea de un segmento parablico, aparece la suma(1.20)12+ 2 + 3 + ... + n2 22Obsrvese que el trmino general de esta suma es de la forma k2 y se obtiene cada uno de los sumandos dando a k los valores 1,2,3, ... , n. Existe un smbolo muy til y conveniente que permite escribir sumas en forma abreviada denominado smbolo sumatorio y que consiste en la letra griega L. Utilizando el smbolo sumatorio se puede escribir la suma (1.20) como sigue:Este smbolo se lee: Suma de k2 desde 1 hasta n, El convenio es que los nmeros que aparecen encima y debajo de L indican el recorrido de los valores de k. La letra k se considera como el ndice de sumacin. Es evidente que no es necesario utilizar precisamente la letra k, sino que se puede tomar en su lugar otra letra cualquiera. Por ejemplo, en vez de L~~lk2 se puede escribir L~l i', L7~lr, L;:'~1 ", etc., todas las cuales son distintas notaciones para una misma m cosa. Las letras i, j, k, m, etc., que se utilizan al efecto, se denominan ndices. No sera acertado utilizar la letra n para el ndice en este ejemplo particular, pues n indica ya el nmero de trminos. 68. El smbolo Ms general, al'a2, ...cuando47sumatoriose desea formarla sumade ciertosnmerosreales, a:(1.21 ) utilizandoel smbolo sumatoriose escribe abreviadamente:(I.22)Por ejemplo: 4=al+a +a +a~ x =Xl+~ ak k~l24 ,35i=lX2++X3+X4X5.Algunas veces es conveniente empezar la sumacin valor del ndice diferente de 1. Por ejemplo, se tiene: 4~ x,= Xo + Xl + X2 + X3 + X4por el O o por algn,i~O 5~ n3 = 23+3 +4 + 3353.n=2Otras formas de utilizar el smbolo de sumacin, 4~ xm+1 = Xse indican a continuacin:+ x2 + x3 + x4 + x5,m=O 6~ 2i-1 = 1+2+2 +2 +2 +2 2345.i~lPara poner de manifiesto una vez ms que la eleccin del ndice carece de importancia, se observa que la ltima suma se puede escribir en cada una de las formas siguientes. 655~2q-1 q~l=L r~O2r =6L25n -n~O=L2k~l6k - 69. 1ntroduccin48Nota: Desde un punto de vista estrictamente lgico, los smbolos en (1.21) y (1.22) no se encuentran entre los axiomas del sistema de nmeros reales, y por lo tanto desde un punto de vista riguroso, se tendran que definir estos nuevos smbolos a partir de los smbolos primitivos del sistema considerado. Esto se consigue mediante una definicin por induccin, la cual, como la demostracin por induccin, consta de dos partes: a) Se defineb) SupuestadefinidaL~~l para akPor ejemplo, se puede tomar n=2L ak k~l DefinidaL~=lakun n ~ 1 fijo, se define:1 en b) y hacer uso de a) para obtener: 1=L ak + a2 = al + a2 . k=l, se puede aplicar otra vez b) con n = 2 para obtener 32k~lk=lL ak = L ak+ a3= (al+ a2) + a3 .En virtud de la propiedad asociativa de la adicin (axioma 2), la suma (al + a2) + a3 es la misma que al + (a2 + a3) y, por tanto, se pueden suprimir los parntesis sin peligro de confusin y escribir simplemente al + a2 + a3 para ak . Anlogamente:L~~l4L ak k=l3=L ak + a4 k=l=(al+ a2 + a3) + a4 En este caso se puede demostrar que la suma (al + a2 + a3) + a4 es la misma que (al + a2) + (a3 + a4) Y que al + (a2 + a3 + a4), y por tanto se pueden suprimir los parntesis tambin sin peligro de ambigedad y escribir: 4L ak= al+ a2 + a3 + a4 .k=lProsiguiendo as, se encuentra que a) y b) simultneamente dan una definicin completa del smbolo escrito en (1.22). Se considera que la notacin (1.21) es ms bien otra forma de escribir (1.22). Tal notacin est justificada por la ley asociativa general de la adicin, que aqu no se enunciar con ms detalle ni demostrar. Ntese que la definicin por induccin y la demostracin por induccin encierran la misma idea fundamental. Una definicin por induccin se denomina tambin definicinpor recurrencia. 70. Eiercicios 1 4.749Ejercicios1. Hallar los valores numricos de las sumas siguientes: 534(a)(e) L 22T+!,L k,k=l(e)r=O=O2 nn,(f)n=l2n+ 1)"del smbolo sumatorio.n+ bk)=n2 (cak) k=lnk=l2 (ak k=l(b)k(kk=l2. Establecer las siguientes propiedades(a)154(d)L (2i + 1),k=l2 ak + 2 bk(propiedadaditiva).n2 ak= e(propiedad homognea).k=ln2 (ak(e)-k=lak-l)= an - ao(propiedadtelescpica).Utilcense las propiedades dadas en el Ejercicio 2, siempre que sea posible, para deducir las frmulas en los Ejercicios del 3 al 8.n3.L 1 = n. k=l(El sentido de esta suma esL~~l akl,=cuando ak1.)n4. L(2k- 1)= n2[Indicaci6n. 2k - 1= k2 -(k - 1)2.]k=l[Indicaci6n. sese el Ejercicio 3 y el 4].~ 2 6. L.,. kn3=n2n'3 + 2" + (;.[lndicaci6n. k3-(k - 1)3=3k2k=ln4n3n2n1 _xn+1kn= ----"'" 7 'L.,. k3 = 4+- + 2 4'k=l8.a)x k=O1 -si x;,!, 1. Nota: Por definicin XXO=1.-3k+ 1.] 71. 1ntroduccin50 [Indicacin.Aplqueseel ejercicio 2 a (l - x)=b) Cul es la suma cuando xb) Demostrarrazonablepor induccin100del smbolo4=n=OLZ'!':siguientes100Ln(d)4proporcionala n, y hallarak .que para n ~ 1 se tiene100Ln.]!%~l -l)k(2k + 1) es (11. Determinar si cada una de las igualdades zonar la decisin.(a)k1?9. Demostrar por induccin, que la suma la constante de proporcionalidad. 10. a) Dar una definicinL~=oxn=lL (i + 1)2es cierta o falsa. En cada caso ra-99=i=lLi2i=O100(b)L2= 200.1=0 100(e)100L (2+ k)+ L k.= 2k=O12. Inducirk=Oy demostraruna regla generalque simplifique1n+Lk(k k=l13. Demostrarque1)'2(v;+1 - V~) < ~ < 2(~ - Vn -go este resultadopara demostrar6~n ~ 1. Utl/rceselue-1msi m ~ 2. En particular,1) sique2y'; - 2 > O.nsi. 77. Introduccin56 9. Si ak< bk para cada < I~=1 bk.valor de k=, n , es fcil demostrar1,2, ...por induccinI~=1 akDiscutir la desigualdad correspondiente para productos:"TIak" O, b > O, e > O. 19. Sean al"'" Qn n nmeros reales positivos cuyo producto es igual a 1. Demostrar que al + ... + an n y que el signo de igualdad se presenta slo cuando cada ak = 1. [Indicacin. Considrense dos casos: a) cada ak = 1; b) no todo ak = 1. Procdase por induccin. En el caso b) obsrvese que si a1a2'" an+! = 1, entonces por lo menos un factor, por ejemplo al ' es mayor que 1, y por lo menos un factor, sea an-tl,es menor que l. Hgase b1 = alan+! Y aplquese la hiptesis de induccin al producto bla2 ... ano teniendo en cuenta que (al - 1)(an-tl - 1) < O.] 79. 58Introduccin20. La media geomtrica G de n nmeros reales positivos Xl' , xn est definida por la frmula G = (XIX2' .. xn)l/n. (a) Desgnese con M la media de potencias p-simas. Demostrar que G:5 MI Y que G =!'vfl slo cuando Xl = X2 = ... = xn (b) Sean p y q enteros, q < O < p. A partir de (a) deducir que M < G < M si Xl, X, ... , X" no son todos iguales. 21. Aplquense los resultados del Ejercicio 20 para probar la siguiente proposicin: Si a, b, y e son nmeros reales y positivos tales que abe = 8, entonces a + b + e 6 Y ab22. Si+ ae + be Xl' ., xn 12. son nmeros positivos y si Yk = lfxk'23. Si a, b, y e son positivos y si8abe.SIa+b+e=demostrar1, demostrarqueque (1 - a)(l-b)(l-e) 80. 1 LOS CONCEPTOS DEL CLCULO INTEGRAL En este captulo se expone la definicin de integral y algunas de sus propiedades fundamentales. Para entender la definicin, es necesario tener conocimiento del concepto de funcin; por elio se dedican algunas de las secciones que siguen a la explicacin de este concepto y de otros relacionados con l.1.1Las ideas bsicas de la Geometra cartesianaComo se ha dicho anteriormente, una de las aplicaciones de la integral es la formulacin del concepto de rea. Ordinariamente no se habla del rea en s, sino del rea de algo, lo que indica que se parte de ciertos objetos (regiones poligonales, regiones circulares, segmentos parablicos, etc.), cuyas reas se desean medir. Si se desea llegar a una definicin de rea aplicable a clases distintas de objetos, primeramente se deber encontrar un camino efectivo para describir estos objetos. El mtodo ms simple de precisar dichos objetos fue el de dibujarlos, tal como hicieron los griegos. Un camino mucho mejor fue sugerido por Ren Descartes (1596-1650) al establecer en 1637 la base de la Geometra analtica. La columna vertebral de la geometra de Descartes (conocida actualmente por Geometra cartesiana o Geometra analtica) es la idea de representar puntos por nmeros. El mtodo seguido para puntos del plano es el siguiente: Se eligen dos rectas perpendiculares de referencia (llamadas ejes coordenados), uno horizontal (llamado eje de las x), y el otro vertical (el eje de las y). Su punto de interseccin, se indica por O y se denomina origen. En el eje x a la derecha del O se elige convenientemente un punto, y su distancia al O se denomina distancia unidad. Las distancias verticales correspondientes al eje de las y se miden con la misma distancia unidad. Entonces, a cada punto del plano (llamado algunas veces plano xy) se le asigna un par de nmeros, llamados sus coordenadas. Estas coordenadas representan las distancias del punto a los59 81. Los conceptos del clculo integral60ejes. En la figura 1.1 se dan algunos ejemplos. El punto de coordenadas (3,2) est situado tres unidades a la derecha del eje y y dos unidades encima del eje x. El nmero 3 es la coordenada x del punto, y el 2 la coordenada y. Los puntos a la izquierda del eje y tienen la coordenada x negativa, los situados debajo del eje x, la coordenada y negativa. La coordenada x de un punto se denomina tambin su abscisa, y la y su ordenada. Al dar un par de nmeros tal como (a, b) representante de un punto, se conviene que la abscisa a, o coordenada x, se escribe en primer lugar. Por esto, el par (a, b) se considera como un par ordenado. Es claro que dos pares ordenados (a, b) y (c, d) representan el mismo nmero si y slo si a ey b d. Puntos (a, b) tales que a y b son ambos positivos se dice que estn situados en el primer cuadrante; si a < O y b > O estn en el segundo cuadrante; si a < O y b < O estn en el tercer cuadrante; y si a > O y b < O estn en el cuarto cuadrante. La figura 1.1 presenta un punto en cada cuadrante. Para puntos del espacio se procede de forma anloga. Se toman tres rectas en el espacio perpendiculares entre s y que se corten en un punto (el origen). Estas rectas determinan tres planos perpendiculares dos a dos, y cada punto del espacio puede ser determinado dando tres nmeros, con los signos adecuados, que representan sus distancias a estos planos. De la Geometra cartesiana tridimensional se hablar con ms detalle ms adelante. De momento interesa la Geometra analtica plana. Una figura geomtrica, tal como una curva plana, es un conjunto de puntos que satisfacen a una o ms condiciones. Traduciendo estas condiciones en expre-=eje y=y4 3 2 ---------~(3,2) I I I( -2,1) . -----I I-5-4-31I I-2I I I--O2-2I I:4:5I I II:3eje x-3 -------------I I I I.. (4, -3)4I(-3, -4) .--------=-FIGURA1.1FIGURA 1.2 La circunferencia representada por la ecuacin cartesiana x2 + y2 = r2 82. Funciones.Ideas generales y ejemplos61siones analticas en las coordenadas x e y, se obtienen una o ms ecuaciones que caracterizan la curva en cuestin. Por ejemplo, considrese que la curva es una circunferencia de radio r con centro en el origen, como se indica en la figura 1.2. Sea P un punto arbitrario de esta circunferencia, y supngase que P tiene de coordenadas (x, y). Entonces, el segment OP es la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos tienen de longitud Ixl, e ]yl y por tanto en virtud del teorema de Pitgoras: x2+ y2 =,2.Esta ecuacion se denomina la ecuacin cartesiana de la circunferencia, y se satisface por las coordenadas de todos los puntos de la circunferencia y slo por ellas, de manera que esta ecuacin caracteriza completamente la circunferencia. Este ejemplo muestra cmo se aplica la Geometra analtica para reducir proposiciones geomtricas sobre puntos a proposiciones analticas con nmeros reales. Durante todo su desarrollo histrico, el Clculo y la Geometra analtica han estado ntimamente ligados. Descubrimientos en uno de ellos han dado lugar a progresos en el otro. En este libro se irn tratando conjuntamente como en su desarrollo histrico, pero sin olvidar que e! propsito inicial es introducir el Clculo diferencial e integral. Los conceptos de Geometra analtica requeridos para ello, se irn exponiendo conforme se vayan necesitando. De momento, slo se requieren pocos conceptos muy elementales de Geometra analtica plana para comprender los rudimentos de Clculo. Para extender el alcance y las aplicaciones del Clculo se necesita un estudio ms profundo de la Geometra analtica, que se har en los captulos 5 y 6 usando los mtodos de! Clculo vectorial. Mientras tanto, lo que se necesita de Geometra analtica es estar un poco familiarizado en el dibujo de las grficas de las funciones.1,2Funciones.Ideas generales y ejemplosEn diversos campos de la actividad humana, se presentan relaciones que existen entre un conjunto de unos objetos y otro conjunto de otros objetos. Grficas. cartogramas, curvas, tablas, frmulas, encuestas en la opinin pblica, etc. son familiares a todo aquel que lee los peridicos. En realidad se trata de puros artificios usados para describir relaciones especiales en forma cuantitativa. Los matemticos consideran como funciones algunos tipos de estas relaciones. En esta Seccin. se dan unas ideas generales del concepto de funcin. En la Seccin 1.3 ofrecemos una definicin rigurosa de funcin. EJEMPLO l. La fuerza F necesaria para estirar un muelle de acero una longitud x a partir de su longitud normal, es proporcional a x. Es decir F = ex, donde e es un nmero independiente de x, que es la constante del muelle. Esta 83. 62Los conceptos del clculo integralfrmula descubierta por Robert Hooke a mediados del siglo XVII se denomina la ley de Hooke y se dice que expresa la fuerza en funcin del alargamiento. EJEMPLO 2. Se dice que el volumen de un cubo es funcin de la longitud de sus aristas. Si las aristas tienen de longitud x, el volumen est dado por la frmu-la V = x". EJEMPLO J. Un nmero primo es todo-entero n > 1 que no puede expresarse en la forma n = ab, donde a y b son enteros positivos ambos menores que n. Los primeros nmeros primos son: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Dado un nmero real x > O es posible contar el nmero de nmeros primos menores que x. Este nmero se dice que es una funcin de x, si bien no se conoce una frmula algebraica sencilla para calcularlo (sin necesidad de contarlos) cuando se conoce x.La palabra funcin fue introducida en Matemticas por Leibniz, que utilizaba este trmino para designar cierto tipo de frmulas matemticas. Ms tarde se vio que la idea de funcin de Leibniz tena un alcance muy reducido, y posteriormente el significado de la palabra funcin fue experimentando generalizaciones progresivas. Actualmente, la definicin de funcin es esencialmente la siguiente: Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto X y el conjunto Y, una funcin es una ley que asocia a cada objeto de X uno y slo un objeto en Y. El conjunto X se denomina el dominio de la funcin. Los objetos de Y, asociados con los objetos en X forman otro conjunto denominado el recorrido de la funcin. reste puede ser todo el conjunto Y, pero no es necesario.) Letras de los alfabetos espaol y griego, se utilizan frecuentemente para designar funciones. En particular se usan mucho las letras f, g, h, G, H, y tp. Si f es una funcin dada y x es un objeto de su dominio, la notacin f(x) se utiliza para designar el objeto que en el recorrido corresponde a x, en la funcin j, y se denomina el valor de la funcin f en x o la imagen de x por f. El smbolo f(x) se lee, f de x. La idea de funcin se puede ilustrar esquemticamente de muchas maneras. Por ejemplo, en la figura 1.3(a) los conjuntos X e Y son sendos conjuntos de puntos, y una flecha indica cmo se aparea un punto arbitrario x de X con su punto imagen f(x) de Y. Otro esquema es el de la figura 1.3(b) donde la funcin f se imagina como una mquina en la cual los objetos del conjunto X se transforman para producir objetos del conjunto Y. Cuando un objeto x es transformado por la mquina, el resultado final es el objeto f(x). En Clculo elemental tiene inters considerar en primer lugar, aquellas funciones en las que el dominio y el recorrido son conjuntos de nmeros reales. Estas funciones se llaman funciones de variable real o ms brevemente funciones reales y se pueden representar geomtricamente mediante una grfica en el plano x y. Se representa el dominio X en el eje x, y a partir de cada punto x 84. Funciones. Ideas generalesyejemplos63 x~f ~ f(x)(a) FIGURA1.3Representacin(b)esquemticadel conceptode funcin.de X se representa el punto (x, y) donde y == f(x). La totalidad de puntos se denomina la grfica de la funcin. A continuacin consideramos otros ejemplos de funciones reales.(x,y)EJEMPLO 4. La funcin identidad. Supongamos que f(x) = x para todo real x. Esta funcin con frecuencia se denomina la funcin identidad. Su dominio es el eje real, esto es, el conjunto de todos los nmeros reales. Para cada punto (x, y) de la grfica es x = y. La grfica es una recta que forma ngulos iguales con los ejes coordenados (vase figura 1.4). El recorrido de f es el conjunto de todos los nmeros reales. EJEMPLO 5. La funcin valor absoluto. Consideremos la funcin que asigna a cada nmero real x el nmero no negativo Ixl. Una parte de su grfica est representada en la figura 1.5. Designando esta funcin con la letra q;, seyy q;(x)=lxixFIGURAfuncin1.4 Grfica de la identidad (x) = x,FIGURA 1.5 Funcin valor absoluto '1'(x) = [x], 85. Los conceptos del clculo integral64==tiene O y definamos g en el intervalo [ka, kbJ para la igualdad g(x) = f(x/k). Designemos por !(g) e l(g) las integrales inferior y superior de g en [ka, kbJ. Demostraremos que (1.17)!(g)=l(g)=krf(x) dx .Sea s cualquier funcin escalonada inferior a g en [ka, kbJ. Entonces la funcin definida en [a, bJ por la igualdad SI (x) = s(kx) es una funcin escalonada 129. Los conceptos del clculo integral108inferior a f en [a, b]. Adems, toda funcin escalonada SI inferior tiene esta forma. Tambin, en virtud de la propiedad de dilatacin grales de funciones escalonadas, tenemosJ.kb s(x) kadx=klb as(kx) dx=kJrb SI(X) aa f en [a, b] para las inte-dx .Por consiguiente](g)=sup(tbSI s ::;;g) = sup (k f I SISI ::;; f)=k f f(x)Anlogamente, encontramos l(g) = kS:f(x) dx, que demuestra El mismo tipo de demostracin puede utilizarse si le < o.(1.17) si kDemostracin del teorema de comparacin (Teorema 1.20). g ::;; f en el intervalo [a, b]. Sea s cualquier sea t cualquier funcin escalonada superior a tanto el teorema 1.34 nos daf Esto demuestragque=supS:(fIs s ::;; g) ::;; infg ::;;S: f,funcin escalonada f. Se tiene entonces(f t I t s: t) = f r.como desebamos.dx .> o.Supongamos inferior a g. y f~s ::;;f~t, Y por 130. 2 ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 2.1IntroduccinEn la Seccin 1.18 se expres el rea de un conjunto de ordenadas de una funcin no negativa como una integral. En este captulo demostraremos que tambin se pueden expresar mediante integrales las reas de regiones ms generales. Asimismo discutiremos otras aplicaciones de la integral a conceptos tales como volumen, trabajo, y promedios. Luego, al final del captulo, estudiaremos las propiedades de las funciones definidas mediante integrales.2.2El rea de una regin comprendida entre dos grficas expresada como una integralSi dos funciones t y g estn relacionadas por la desigualdad/ex) ~ g(x) para todo x en un intervalo [a, b], ponemos t ~ g en [a, b]. En la figura 2.1 se ven dos ejemplos. Si t ~ g en [a, b], el conjunto S consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen las desigualdades (x) ~ y ~ g(x) ,se denomina regin entre las grficas de t y g. El siguiente teorema nos dice cmo se expresa el rea de S como una integral. 109 131. Algunas aplicaciones de la integracin110ab(a) FIGURA2.1(b)El rea entre dos grficas expresada como una integral: a(S) =f:[g(x) - (x)] dx,TEOREMA 2.1. Supongamos que f y g son integrables y que satisfacen f ~ g en [a, b J. La regin S entre sus grficas es medible y su rea a(S) viene dada por la integrala(S) =(2.1)J: [g(x) -(x)] dx .Demostracin. Supongamos primero que f y g son no negativas, como se muestra en la figura 2.1(a). Sean F y G los siguientes conjuntos:IF = {(x, y) a ~ x ~ b, O ~ Y< (x)},IG = {(x, y) a ~ x ~ b, O ~ Y ~ g(x)} .Esto es, G es el conjunto de ordenadas de g, y F el de f, menos la grfica de f. La regin S es la diferencia G - F. Segn los teoremas 1.10 y 1.ll,F Y G son ambos medibles. Puesto que F S G, la diferencia S = G - F es jambin medible, y se tiene a(S)=a(G) - a(F)=J: g(x) dx - J: (x)dx=f:[g(x) - (x)] dx .Esto demuestra (2.1) cuando f y g son no negativas. Consideremos ahora el caso general cuando f ~ g en la, b], pero no son necesariamente no negativas. En la figura 2.1(b) se muestra un ejemplo. Este caso 132. Ejemplos resueltos111lo podemos reducir al anterior trasladando la regin hacia arriba hasta que quede situada por encima del eje x. Esto es, elegimos un nmero positivo e suficientemente grande que asegure que O :::; (x) + e :::; g(x) + e para todo x en [a, b]. Por lo ya demostrado, la nueva regin T entre las grficas de f + e y g + e es medible, y su rea viene dada por la integral a(T)=J:Pero siendo T congruente a(S)Esto completa2.3+ e) -[(g(x)+ e)] dx(f(x)J:=[g(x) - f(x)]dx .a S, sta es tambin medible y tenemos=a(T)=ra[g(x) - f(x)]dx .la demostracin.Ejemplos resueltos EJEMPLO1.Calcular el rea de la region S situada entre las grficas de [O, 2] siendo f(x) x(x - 2) Y g(x) x/2.=f y g sobre el intervalo=Solucin. Las dos grficas estn dibujadas en la figura 2.2. La porcion sombreada representa S. Ya que f:::; g en el intervalo [O, 2], hacemos uso del teorema 2.1 para escribir a(S)EJEMPLOintervalo=12[g(x) - f(x)]dxo2.[-1,2]12 -=2(5 x - x2 ) dx 0235=- 2 - 2 =- . - 7 2233Calcular el rea de la regin S entre las grficas de si f(x) = x y g(x) = x3/4.f y g en eltsSolucin. La regin S est representada en la figura 2.3. Ahora no es g en todo el intervalo [-1, 2]. No obstante, tenemos f :::; g en e