[tom apostol] cálculo_2_-_funções_de_varias_var

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2. - !-i." ,. '. -' i: . ' Clculo ' ,. .. ' ., ' . ~ ... . . -~ . . ~ ' .' 3. TOM M.APOSTOL CLCULO VOLUME2 Clculo com funes de vrias variveis e lgebra Linear, com aplicaes s equaes diferenciais e s probabilidaddes EDITORIAL REVERT, S. A. Barcelona- Bogot- Buenos Aires - Caracas -Mxico 4. Ttulo da obra Original: CALCULUS, Onc-Variable Calculus, With an introduction to Linear Algebra Second Edition. Volume 2 Ediiio original em lingua inglesa publicada por:. Blaisdell Publishing Company, Waltbam, Massachusetts, USA Copyright by Blaisdell Publishing Company Tradup de: Joaquim Ferreira Marques Doutor em Cincias Exactas Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 e-mail: [email protected] www.reverte.com Proibida a reproduo de toda ou parte desta obra, sob qualquer forma, sem auloriza~o por escrito do editor. Reservados todos os direitos Edio em portugus EDITORIAL REVERT, S. A., 1996 Reimpresin: octubre de 2004 lmpreso en Espana~ Printed in Spain ISBN:84-291-5016-I Tomo2 ISBN: 84-291-5014-5 Obra completa Depsito Legal: B-44494-2004 lmpreso por Domingraf lmpressors Pol. lnd. Can Magarola 08100 Mollet del Vails (Barcelona) 5. .,... ,.., a Jane e Stephen '" - -:' ' ' "! 6. PREFCIO Este livro a continuao do livro do autor Cdlculo, volume I, Segunda Edio. O presente volume foi escrito com a mesma ideia fundamental que norteou o primeiro. Uma adequada orientao para a. tcnica ligada a um rigoroso e profundo desenvol- vimento terico. Procurou-se fazer chegar ao estudante o esprito da materntica mo- derna sem exagerar o formalismo. Como no Volume I. incluem-se notas histricas para dar ao estudante uma ideia da evoluo do pensamento matemtico. O segundo volume est dividido em trs partes, intituladas Anlise Linear. Anlise no Linear e Tpicos Especiais. Os dois ltimos captulos do Volume I repetem-se aqui, constituindo os dois primeiros captulos deste Volume, com a finalidade de que todo o material relativo lgebra Linear se apresenta de forma completa em cada um dos volumes. A Parte I contm um introduo lgebra linear, incluindo transformaes li- neares, matrizcs, determinantes, valores prprios e formas quadrticas. Fazem-se algumas aplicaes Anlise, em particular ao estudo das equaes diferenciais li- neares. Com a ajuda do clculo matricial estudam-se os sistemas de equaes dife- renciais. Demonstram-se teoremas de existncia e unicidade por intermdio do mtodo de Picard das aproximaes sucessivas, que tambm se trata na teoria dos operadores de contraco. Na Parte 2 estuda-se o clculo para funes de vrias variveis. O clculo diferen- cial unificado e simplificado com auxlio da lgebra linear. Incluem-se a generali- zao da regra de d~rivao de uma funo composta para campos vectoriais e esca- lares e aplicaes s equaes de derivadas parciais e a problemas de extremos. O clculo integral inclui os integrais de linha, integrais mltiplos, e integrais de sup_er- fcie, com aplicaes Anlise vectorial. Aqui a exposio segue mais ou menos a linha clssica e no inclui um desenvolvimento formal das formas diferenciais. Os tpicos especiais tratados na Parte 3 so Prohabilidade.f e Anlise Numrica. A parte referente s Probabitidades est dividida em dois captulos, um que trata o VII 7. VIII Prefcio assunto considerando o conjunto fundamental (ou espao amostra) finito ou infinito numervel; o outro em que se consideram conjuntos fundamentais no numerveis, variveis aleatrias e funes de. repartio. Fazem-se algumas aplicaes no estudo de variveis aleatrias uni e bidimensionais. O ltimo captulo contm uma introduo Anlise Numrica, dando-se particular nfase ao estudo de diferentes tipos de aproximao polinomial. Aqui, mais uma vez se procura a unificao das ideias pela notao e terminologia da lgebr-a linear. O livro termina co.m o estudo de frmulas de integrao aproximada, tais como a regra de Simpson, e com uma discusso da frmula de somao de Euler. Contm este volume matria suficiente para um curso anual com trs-ou quatro tempos semanais. Pressupe a conhecimento do clculo para funes de uma varivel tal como se estuda na maior parte dos primeifos anos dos cursos de clcuio. O autor idealizou a matria exposta para um curso com quatro aulas semanais, duas de expo- sio por parte do professor e duas para questes postas aos alunos. desenvolvido ao longo de dez semanas para cada parte e omitindo as seces assinaladas com um as- terisco. Este segundo volume foi planeado de maneira a poderem omitirse vrios captulos em cursos abreviados. Por exemplo, o ltimo captulo de cada uma das partes pode ser omitido, sem que tal origine descontinuidade na exposio.- A Parte I proporciona material para um curso combinado de lgebra linear e equaes diferenciais ordin- .rias. Cada professor pode escolher os tpicos adequados s suas necessidades e pre- ferncias por consulta do diagrama da pgina seguinte que coindencia a interdepen- dncia lgica dos captulos. Mais uma vez agradeo com prazer a colaborao de muitos amigos e colegas. Ao preparar a segunda edio recebi valiosa ajuda dos Professores Herbert S. Zuckcrman da Universidade de Washington e Basil Gordoh da Universidade da Califrnia, Los Angeles, tendo cada um deles sugerido vrias modificaes. Agradecimento so tam- bm devidos ao pessoal da Baisde1 Publishing Company pela sua assistncia e coo- perao. Como noutras ocasies, para mim uma satisfao especial exprimir a minha gra- tido a minha esposa pela sua valiosa e variada colaborao. Em sinal de reconheci- mento dedico-lhe gostosamente este livro. T. M.A. Pasadena. Califrnia 8. I ESPAOS LINEARES _I 2 15 TRANSFOR- INTRODUO MAOES ANLISE LINEARES E NUMRICA MATRIZES 3 DETERMI- NANTES 8 10 13 6 CLCULO NTEGRAIS FUNOES DE EQUA0ES DIFERENCIAL DE CONJUNTO E DIFERENCIAl EM CAMPOS LINHA PROBABILIDADE LINEARES 4 ESCALARES E ELEMENTAR VECTORIAIS I r- VALORES -IPRPRIOSE 7 VECTORES PRPRIOS 11 SISTEMAS DE NTEGRAI IEQUAOES ~LTIPLOplFERENCIAI 5 14 VALORES I FLCULO DAPRPRIOS DE hOPERADORES PROBABILI- QUE ACTUAM 9 12 DADES ~ EN ESPAOS APLICA0ES INTEGRAIS EUCLIDEANOS DO CLCULO DE DIFERENCIAL SUPERFICIE 9. !.I. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. NDICE ANALTICO PARTE I. ANALISE LINEAR I. ESPAOS LINEARES Introduo 3 Definio de espao linar 3 Exemplos de espaos lineares 5 Consequncias elementares dos axiomas 6 Exerccios 8 Subespaos de um espao linear 9 Conjuntos dependentes e independentes num espao linear 10 Bases e dimenso 13 Componentes 15 Exerccios 15 Producto interno. espaos eUclidianos. Normas 16 Ortogonalidade num espao euclidiano 20 Exerccio~ 23 Construao de cnjuntos ortogonais. O mtodo de Gram-Schmidt Complementos ortogonais. Projecces 30 . A melhor aproximao de elementos de um espao euclidiano por elementos de um subespao de dimenso finita 32 Exerccios 34 2. TRANSFORMAOES LINEARES E MATRIZES 2.1. Transformaes lineares 35 2.2. Espao nulo e contradomnio 37 2.3. Nulidade e ordem 38 25 Xl 10. XII 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19: 2.20. 2.21. Exerccios 39 Operaes elgbricas relativas a transformaes lineares 41 Inversas 43 Transformaes lineares biunvocas 46 Exerccios 48 Transformaes lineares com valores determinados 50 Representao matricial das transformaes lineares 51 Construo de uma representao matricial. na. forma diagonal Exerccios 56 Espaos lineares de matrizes 58 Isomorfismo entre transformaes lineares de matrizes 59 Multiplicao de matrizes 61 Exerccios 64 Sistemas de equaes lineares 66 Tcnicas de clculo 68 Inversas de matrizes quadradas 73 Exerccios 76 Exerccios variados sobre matrices 77 3. DETERMINANTES Introduo 79 ndice analtico 54 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. Justificao da escolha dos axiomas para a funo determinante 80 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. Um conjunto de axiomas para a funo determinante 82 Clculo de determinantes 84 O teorema de unicidade 88 Exerccios 89 Producto de determinantes 91 Determinante da matriz inversa de uma matriz no singular 92 Determinantes e independncia de vectores 93 Determinante de uma ma triz diagonal por blocos 93 Exerccios 95 Frmulas para o desenvolvimento de determinantes. Menores e complementos algbricos 96 .Existncia da funo determinante 100 O determinante da matriz transposta 102 A matriz complementos algbricos 103 Regra de Cramer IOS Exerccios 106 4. VALORES PRPRIOS E VECTORES PRPRIOS 4.1. Transformaes lineares representadas por matrizes diagonais 109 4.2. Valores prprios e vectores prprios de urna transformao linear 110 4.3. Independncia linear de vectores prprios correspondentes a valores prprios distintos 113 4.4. Exerccios 113 4,5. O caso de dimenso finita. Polinmios caractersticos 116 11. indice analtico 4.6. Clculo de valores prprios e vectores prprios no caso de dimenso finita 117 4.7. Trao de uma matriz 120 4.8. Exerccios 121 4.9. Matrizes representarido a mesma transformao linear. Matrizes semelhantes 123 4.10. Exerccios 127 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. *5.16. *5.17. *5.18. 5.19. 5.20. 5. VALORES PRPRIOS DE OPERADORES. EM ESPAOS EUCLIDIANOS Valores prpios e productos in~ernos 129 Transformaes hermticas e hemihermticas 130 Valores prprios e vectores prprios de operadores hermticos e hemi-hermticos . 132 Ortogonalidade de vector"es prprios correspondentes a valores prprios distintos 133 Exerccios 134 Existncia de um conjunto ortonormal de vectores prprios para operadores hermticos e hemi-hermticos em espaos de dimenso finita 135 Representao matricial de operadores hermticos e hemi-hermticos 137 Matrizes ht::nnliCas e hemi-hermticas. A associada de uma matriz 138 Diagonalizao de uma matriz hermtica ou hemi-hermtica 138 Matrizes unitrias. Matrizes ortogonais 139 Exerccios 140 Formas quadrticas 143 Reduo de uma forma quadrtica real forma diagonal 145 Aplicaes geometria analtica 147 Exerccios 151 Valores prprios de uma transformao simtrica obtidos como valores de sua forma quadrtica 152 Propriedades extremais dos valores prprios de uma transformao simtrica 154 O caso de dimenso finita 155 Transformaes unitrias 155 Exerccios 158 6. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES 6.1. Introduo histrica 161 6.2. Reviso dos resultados j establecidos relativos s equaes diferenciais lineares de primeira e de segunda ordem 162 6.3. Exerccios 164 6.4. Equaes diferenciais lineares de ordem n 165 6.5. O teorema de existncia e unicidade 166 6.6. A dimenso do espao sOluo de .uma equao linear homognea 167 XIII 12. XIV lndice analtico 6.7. A lgebra de operadores de coeficientes constantes 168 6.8. Determinao de uma base de solues para equaes lineares com coeficientes constantes por factorizao de operadores 170 6.9. Exerccios 175 6.10. Relao entre as equaes homogneas e no homogneas 177 6.11. Determinao de uma soluo particular da equao no homognea. O mtodo de variao das constantes 178 6.12. No singularidade da matriz wronskiana de n solues independentes de uma equao linear homogea 182 6.13. Mtodos especiais para determinao de soluoes particulares de equaes no homogneas. Reduo a um sistema de equaes lineares de primeira ordem 184 6.14. O mtodo do anulador para determinao de uma soluo particular da equao no homognea 185 6.15. Exerccios 188 6.16. Exerccios variados sobre equaes diferenciais lineares 189 6.17. Equaes lineares de segunda .ordem com coeficientes analticos 191 6.18. A equao de Legendre 194 6.19. Os polinmios de Legendre 197 6.20. Frmula de Rodrigues para os polinmios de Legendre 199 6.21. Exerccios 200 6.22. O mtodo de Frobenius 204 6.23. A equao de Bessel 206 6.24. Exerccios 212 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. 7.17. 7.18. 7.19. 7.20. 7. SISTEMAS DE EQUAOES DIFERENCIAIS Introduo 215 Conceitos do clculo para funes matriciais 218 Sries de matrizes. Normas de matrizes 218 Exerccios 220 A matriz exponencial 221 A equao diferencial verificada por e1A 222 Teorema da unicidade para a equao diferencial matricial F' (t) = AF(t) 223 Regra do producto de exponenciais de matrizes 224 Teoremas de existncia e unicidade para sistemas lineares homogneos O problema do clculo de etA 226 O teorema de Cayley-Hamilton 228 Exerccios 230 Mtodo de Putzer para o clculo de tfA 231 Outros mtodos para calcular e1 A em casos particulares 235 Exerccios 238 Sistemas lineares no homogneas com coeficientes constantes 239 Exerccios 241 O sistema linear geral Y'(t) = P(t)Y(t) + Q(t) 244 Resoluo de sistemas lineares homogneos por intermdio de sries de potncias 248 Exerccios 249 225 13. ndice analtico 7.21. Demostrao do teorema de existncia pelo mtodo das aproximaes sucessivas 258 7.22. O mtodo das aproximaes sucessivas aplicado a sistemas no lineares de primeira ordem 255 7.23. Demostrao de um teorema de existncia e unicidade para sistemas no lineares de primeira ordem 257 7'.24. Exerccios 259 *7.25. Aproximaes sucessivas e pontos fixos de operadores 261 *7.26. Espaos lineares normados 262 *7.27. Operadores de contraco . 263 . *7.28. Teorema do ponto fixo para operadores de contraco 264 ~1 .29. Aplicaes do teorema do ponto fixo 266 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8. 8.9. 8.10. 8.11. 8.12. 8.13. 8.14. 8.15. 8.16. 8.17. 8.18. 8.19. 8.20. 8.21. 8.22. '8.23. 8.24. PARTE 2. ANALISE NAO LINEAR 8. CALCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS Funes de Rn em Rm. Campos vectoriais e escalares 273 Bolas abertas e coujontos abertos 274 Exerccios 276 Limites e continuidade 278 Exerccios 282 A derivada de um campo escalar relativamente a um vector 283 Derivadas direccionais e derivadas parciais 286 Derivadas parciais de ordem superior 287 Exerccios 287 Derivadas direccionais .e continuidade 288 A diferencial 290 Gradiente de um campo escalar 291 Uma condio suficiente de diferenciabilidade 293 Exerccios 295 Gener~lizao do regra de derivao .de funes compostas para derivadas de campos escalares 296 Aplicaes geomtricas. Conjuntos de nvel. Planos tangentes 298 Exerccios 301 Derivadas de campos vectoriais 303 A diferenciabilidade implica a continuidade 304 Generalizao da regra de d~rivao da funo composta para derivadas de campos vectoriais 305 Forma matricial da regra de derivao para a composio 306 Exerccios 309 Condies suficientes para a igualdade das derivadas parciais mistas Exerccios variados 315 9. APLICAES DO CALCULO DIFERENCIAL 9.1. Equaes de derivadas parciais 319 XV 311 14. XVI lndice ana/itico 9.2. Uma equao de derivadas parciais de primeira ordem com coeficientes constantes 320 Exerccios 3229.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.7. 9.8. 9.9. 9.10. 9.11. - A equao unidimensional das ondas 324 9.12. 9.13. 9.14. 9.15. 9.16. 9.17. 10.1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. 10.6. 10.7. 10.8. 10.9. 10.10. 10.11. 10.12. .10.13. 10.14. 10.15. 10.16. 10.17. 10.18. 10.19. 10.20. 10.21. Exerccios 329 Derivadas de funes implcitas 331 Exemplos resolvidos 335 Exerccios 340 Mximos, mnimos e pontos sela 341 Frmula de Taylor de segunda ordem para campos escalares 346 A natureza do ponto de estacionaridade determinada pelos valores prprios da matriz Hessiana 348 Critrio das derivadas de segunda ordem para extremos de funes de duas variveis 351 Exerccios 351 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 353 EXerccios 357 Teorema do valor extremo para campos escalares continuas 358 O teorema da continuidade uniforme para campos escalares contnuos 10. INTEGRAIS DE LINHA Introduo 363 Integrais de linha e linhas de integrao 363 Outras notaes para os integrais de linha 364 Propriedades fundamentais dos integrais de linha Exerccios 368 O conceito de trabalho como um integral de linha Integrais de linha relativos ao comprimento de arco Outras aplicaes dos integrais de linha 371 Exerccios 372 366 369 370 Conjuntos conexos abertos. Independncia da linha 374 O segundo teorema fundamental do clculo para as integrais de linha Aplicaes mecnica 376 Exerccios 378 O primeiro teorema fondamental do clculo para integrais de linha Condies necessrias e suficientes para que um campo de vectores seja um gradiente 381 Condies necessrias para que um campo vectorial seja um gradiente Mtod~s especiais de construo de funes potenciais . 384 Exerccios 387 Aplicaes s equaes diferenciais exactas de primeira ordem 389 Exerccios 392 Funes potenciais em conjuntos convexos 393 11. INTEGRAIS MLTIPLOS 11.1. Introduo 397 361 374 379 382 15. ndice ana/itico 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. 11.8. 11.9. 11.10. 11.11. 11.12. 11.13. 11.14. 11.15. 11.16. 11.17. 11.18. 11.19. 11.20. 11.21. 11.22. *11.23. *11.24. *11.25. 11.26. 11.27. 11.28. 11.29. 11.30. 11.31. 11.32. 11.33. 11.34. Parties de retngulos. Funes em escada 398 O integral duplo de uma funo em escada 399 A definio de integral duplo de uma funo definida e limitada num retngulo 401 Integrais duplos superior e inferior 402 Clculo de um integral duplo por integrao unidimensional repetida Interpretao geomtrica do integral duplo como um volume 404 Exemplos resolvidos 405 Exerccios 407 Integrabilidade de funes continuas 408 Integrabilidade de funes limitadas com descontinuidades 409 Integrais duplos estendidos a regies mais gerais 410 Aplicaes a reas e volumes 414 Exemplos resolvidos 415 Exerccios 417 Outras aplicaes dos integrais duplos 419 Dois teoremas de Pappus 422 Exerccios 424 Teorema de Green no plano 425 Algumas aplicaes do teorema de Green 429 Uma condio necessaria e suficiente para que um campo vectorial bidimensional seja um gradiente 430 Exerccios 433 Teorema de Green para regies multiplamente conexas 435 O nmero de giros 437 Exerccios 439 Mudana de variveis num integral duplo 441 Casos particulares da frmula de mudana de variaveis 445 Exerccios 449 Demonstrao da frmula de mudana de variveis num caso particular 450 Demonstrao da frmula de mudana de variveis no caso geral Extenses a um nmero superior de dimenses 455 Mudana de variveis num integral n-mltiplo 457 Exemplos resolvidos 459 Exerccios 463 12. INTEGRAIS DE SUPERF!CIE 12.1. Representao paramtrica de uma superfcie 467 12.2. O producto vectorial fundamental 471 12.3. O producto vectorial fundamental definido uma normal superfcie 474 12.4. Exerccios 475 12.5. rea de uma superfcie na representao param~rica 475 12.6. Exerccios 481 12.7. Integrais de superfcie 481 12.8. Mudana de representao paramtrica 484 12.9. Outras notaes para os integrais ?e superfcie 486 XVII 403 453 16. XVIII 12.10. 12.11. 12.12. 12.13. 12.14. 12.15. *12.16. *12.17. 12.18. 12.19. 12.20. 12.21. lndice analtico Exerccios 489 O teorema de Stokes 490 O rotacional e a divergncia de um campo vectorial 493 Exerccios 495 Outras propriedades do rotacional e da divergncia 496 Exerccios 500 . Reconstruo de um campo vectorial a partir do seu rotacional 502 Exerccios 506 Extenses do teorema de Stokes 507 O teorema da divergncia (teorema de Gauss) 511 Aplicaes do teorema da divergncia 515 Exerccios 517 PARTE 3. TEMAS ESPECIAIS 13. FUNES DE CONJUNTO E PROBABILIDADE ELEMENTAR 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. 13.7. 13.8. 13.9. 13.10. 13.11. 13.12. 13.13. 13.14. 13.15. 13.16. 13.17. 13.18. 13.19. 13.20. 13.21. 13.22. 13.23. Introduo histrica 525 Funes de conjunto completamente aditivas 526 Medidas finitamente aditivas 528 Exerccios 529 A definio de probabilidade para conjuntos fundamentais finitos Terminologia peculiar da teoria das probabilidades 533 Exerccios 534 Exemplos resOlvidos 535 Exerccios 537 Alguns princpios bsicos de anlise combinatria 539 Exerccios 544 Probabilidade condicionada 545 Independncia aleatria 547 Exerccios 549 Experincias compostas 551 Esquema de Bernoulli 555 O nmero mais favorvel de ocorrncias do acontecimento favorvel .em n experincias dum esquema de Bernoulli 557 Exerccios 560 Conjuntos numerveis e no numerveis 562 Exerccios 566 Definio de probabilidade para conjuntos fundamentais infinitos numerveis 567 Exerccios 569 Exerccios variados sobre probabilidades 569 14. CALCULO DAS PROBABILIDADES 14.1. A d~finio de probabilidade para conjuntos fundamentais no numeraveis 573 530 14.2. Numerabilidade de conjuntos de pontos com probabilidade positiva 574 17. /ndice analitico 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9. 14.10. 14.11. 14.12, 14.13.. 14.14. 14.15. 14.16. 14.17. 14.18. 14.19. 14.20. 14.21. 14.22. 14.23. 14.24. 14.25. 14.26. 14.27. 14.28. 14.29. 14.30. 14.31. 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. . 15.9. 15.10. 15.11. 15.12. 15.13. 15.14. Variveis aleatrias 575 Exerccios 577 Funes de repartio 578 Discontinuidades das funes de repartio 582 Distribues discfetas. Funes de massa probabilstica 585 Exerccios 588 Distribuies continuas. Funes densidade 591 Distribuio uniforme num il.tervalo 592 Distribuio de Cauchy 597 - Exerccios 598 Distribuies exponenciais 599 Distribuies normais 602 Indicaes referentes a distribuies mais gerais 606 Exerccios 607 Distribuies de funes de variveis aleatrias 608 Exerccios 609 Distribuio de Variveis aleatrias bidimensionais 610 Distribuies discretas bidirnensionais 613 Distribuies bidimensionais continuas. Funes densidade 614 Exerccios 616 Distribuio de funes de duas variveis aleatrias 618 Exerccios 622 Esperana matemtica e varincia 625 Esperana matemtica de uma funo de urna varivel aleatria Exerccios 630 Desigualdade de Tchebycheff 632 Leis dos grandes nmeros 634 Teorema limite central do clculo das probabilidades 637 Exerccios 639 Bibliografia 641 15. INTRODUO A ANALISE NUMERICA Introduo histrica 643 Aproximao p'olinornial 644 Aproximao polinomial e espaos lineares normados Problemas fundamentais da aproximao polinorpial' Exerccios 650 Polinmios interpoladores 652 Pontos de interpolao igualmente separados Anlise do erro na interpolao polinomial Exerccios 659 Frmula de interpolao de Newton 662 Pontos de interpolao igualmente espaados. O operador das diferenas sucessivas 664 Polinmios factoriais 666 Exerccios 667 655. 656 Um problema de nmero relativo n~Jrma maximal 646 648 669 XIX 629 18. XX lndice analtico 15.15. Polinmios de Tchebycheff 670 15.16. Uma propriedade de mnimo dos polinmios de Tchebycheff 672 15.17. Aplicao formuia de erro na interpolao 674 15.18. Exerccios 675 15.19. Integrao aproximada. A regra trapezoidal 677 15.20. Regra de Simpson 680 15.21. Exerccios 685 15.22. A frmula de somao de Euler 688 15.23. Exerccios .694 Bibliografia 697 Solus dos exerccios 699 lndice alfabtico 745 19. : ..'-' Clculo, . 20. PARTE I ANLISE LINEAR 21. 1 ESPAOS LINEARES 1.1. Introduo . No desenvolvimento da Matemtica encontramos muitos exemplos de objectos matemticos que podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por nmeros reais. O primeiro exemplo de tais objectos so os prpriOs nmeros reais. Outros exem- plos so as funes reais. os nmeros complexos. as sries infinitas, os vectores num espao n dimensional e as funes vectoriais. Nestt: captulo vamos analisar um con- ceito matemtico geral, chamado espao linear, que inclui todos estes exemplos e mui- tos outros como casos particulares. Em resumo, um espao linear um conjunto de elementos de natureza qualquer no qual se efectuam certas operaes (chamadas adio e multiplicao por nmeros). Ao definir-se um espao linear, no necessrio e.peciftcar a natureza dos elementos nem dizer como se realizam entre eles as operaes acabadas de referir. Em vez disso, exige-se que as oper_aes gozem de certas propriedades que se tomam como axiomas do espao linear. Vamos precisamente, em seguida, faze:r uma descrio pormenori- zada desses axiomas. 1.2. Definio de espao linear S~ja V um conjunto no vazio de objectos, chamados elementos. O conjunto. V cha- ma-se um espao linear se satisfaz aos dez axiomas que a seguir se enunciam, divididos em trs grupos. Axiomas de fecho. AXIOMA I. FECHO A RESPETTO DA ADIO. A todo o par de elementos x e)' de V corresponde um nico elemento de V. chqmado soma de x e y e representado p"or x + y. 22. 4 Clculo AXIOMA 2. FECHO A RESPEITO DA MULTIPLICAO POR NMEROS REAIS. A todo o x de V e todo o nmero real a corresponde um elemento de V, chamado o produto de a por x e representado por ax. Axiomas parti a adio. AXIOMA 3. PROPRIEDADE COMUTATIVA. Para todo o X e jJ de V. temse X+ y = y +X. AXIOMA 4. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA. Para todo O X, y e Z de V, tem-se x+(y+z)=(x+y)+z. AXIOMA 5. EXISTCNCJA DE ELEMENTO ZERO. Existe um elemento em V, representado pelo smbolo O, tal que x + O = x para todo o x de V. AXIOMA 6. EXISTINCIA DE SIMTRICOS. Para todo o X de V, o elemento (- 1)x tem a propriedade x+(-!)x=O. Axiomas pala a multiplicao por nmeros. AXIOMA 7. PROPRIEDADE ASSOCIATIVA~ Para todo o X de V, e todo o par de nmeros reais a e h. tem-se a(bx) = (ab)x. AXIOMA 8. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO EM V. Para todo o par x e y de V e todo o real a. tem-se a(x + y) = ax + ay. AXIOMA 9. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA PARA A ADIO DE NMEROS. Para todo o x em V e todo o par de reaL'f a e b tem-se (a+ b)x = ax + bx. AXIOMA 10. EXISTINCIA DE ELEMENTO IDENTIDADE. Para todo x em V, tem-se lx= x. Os espaos lineares. como foram definidos atrs, so muitas vezes chamados es- paos lineares reais, para fazer ressaltar o facto de que se multiplicam elementos de V por nmeros reais. Se nos Axiomas-2. 7, 8 e 9 substiuimos nmero real por nmero 23. Espaos lineares 5 complexo, a estrutura resultante chama-se lim espao /ineaJ' complexo. Por vezes um espao linear chama-se tambm espao vectorial linear. ou mais simpleSmente espao vectorial; os nmeros usados como multiplicadores diamam-se escalares. Um espao linear real admite os nmeros reais como escalares, um espao linear complexo admite os nmeros complexos como escalares. Embora se considerem aqui fundamental- mente exemplos de espaos vectoriais lineares reais, todos os teoremas so verdadei- ros igualmente para os espaos vectofiais complexos. Quando fazemos uso da expres- so espao linear, sem qualquer designao suplementar, deve subentender-se que o espao pode ser real ou complexo. 1.3. Exemplos de espaos lineares Se especificamos qual o. conjuil.to V e dizemos como somar os seus elementos e como multiplic-los por nmeros, obtemos um exemplo concreto de um espao linear. O leitor pode facilmente verificar que cada um dos seguintes exemplos satisfaz a todos os axiomas para um espao linear real. EXEMPLO I. Seja V= R o conjuntO dos.nmeros reais, e sejam x + y e ax a adio e multiplicao usuais de nmeros reais. EXEMPLO 2. Seja V~ C o conjunto dos nmeros complexos, eseja x + y a adio ordinria de nmeros complexos e ax a multiplicao de nmeros complexos x pelo nmero real a. Embora os elementos de V sejam nmeros complexos, este um es- paO linear real porque os escalares so reais. EXEMPLO 3. Seja V= Vn o espao vcctorial dos sistemas de n nmeros reais, com a adio e a multiplicao por escalares definida da maneira usual em funo das com- ponentes. EXEMPLO 4. Seja V o conjunto de todos os vectores em V" ortogonais a um dado vector no nulo N. Se n = 2, este espao linear uma recta que passa por O, ad~intin do N como vector normal. Se n = 3, um plano que passa por O com N como vector normal. Os exemplos que se seguem dizem-se espaos funcionaiS. Os elementos de V sO fun- es reais, com a adio de duas funes f c g definidas na forma usual: (f+ g)(x) = f(x) +g(x) para todo o real x pertencente interseco dos domnios de f e g. A multiplicao de uma funo f por um escalar real a define-se do modo seguinte: af a funo cujo valor para cada x no domnio de f e af(x). O elemento zero a funo cujos valores so sempre zero. O leitor verificar com facilidade que cada um dos conjuntos se- guintes ~ um espao funcionaL 24. ; Clculo EXEMPLO 5. O conjunto de todas as funes definidas num dado intervalo. EXEMPLO 6. O conjunto de todos os polinmios. EXEMPLO 7. O conjunto de todos os polinmios de grau ;:i n, com n fixo. (Sempre que se considera este conjunto subentende-se que o polinmio zero est tambm in- cluido). O conjunto de todos os polinmios de grau igual a n no um espao linear porque os axiomas de fecho nO so satisfeitos. Por exemplo, a soma de dois polin- mios de grau n no ter necessariamente grau n. EXEMPLO 8. O conjunto de todas as funes contnuas num dado intervalo. Se o intervalo [a, bl representamos este espao linear por C(a, b). EXEMPLO 9. O conjunto de todas as funes derivveis num dado ponto. EXEMPLO 10. O conjunto de todas as funes integrveis num dado intervalo. EXEMPLO 11. O conjunto de todas as funes f definidas no ponto I, comf(l)~ O: O nmerO O fundamental neste exemplo. Se substituirmos Opor um nmero c no nulO, violamos os axiomas de fecho. EXEMPLO 12. O conjunto de todas as solues de uma equao diferencial linear homognea y- +ay'+ by =O, com a e b constantes. Aqui mais uma vez o O essencial. O conjunto de solues de uma equao diferencial no homognea no satisfaz aos axiomas de fecho. Estes .exemplos e muitos outros mostram bem quanto o conceito de espao linear est estendido Algebra, Geometria e Anlise. Quando se deduz um teorema a partir dos axiomas de um espao linear, obtemos, de uma vez, um resultado vlido para cada exemplo concreto. Unificando diferentes exemplos desta maneira ganhainos um conhecimento mais aprofundado de cada um. Algumas vezes o conhecimento de um exemplo particular ajuda-nos a antecipar ou interpretar resultados vlidos para outros exemplos e pe em evidncia relaes que de outro modo poderiam passar desPer- ebidas. IA. Consequnciils elementares dos axiomas Os teoremas que se seguem deduzem-se facilmente dos axiomas para um espao linear. TEOREMA 1.1. UNICIDADE DO ELEMENTO ZERO. Em qualquer espao linear existe um e um s elemento zero. Demonstrao. oaxioma 5 diz-nos que existe pelo menos um elementozero. Supon- ham.os que existiam dois, por exemplo o, e o,.Tomando X~ o, 'e o~ o, no Axiom 25. Espaos lineares 7 5, obtemos O,+ O,= O,. Analogamente, tomando x =O, e O= O,, encontramos O,+ O,= O,. Mas O,+ O,= O,+ O,, devido propriedade comutativa, pelo que o,= o,. TEOREMA 1.2. UNICIDADE DOS ELEMENTOS SIMETRICOS. Em qualquer espao linear todo o elemento Qdmite unicament um simtrico, isto , para todo o x existe um e um s y tal que x + y= O. Demonstrao. O Axioma 6 di~-nos que cad x admitepelo menos um simtrico, a saber (-l)x. Admitamos agora que x tinha dois simtricos, y, e y,. Ento x + y, =O e x + y, = O. Somando y, a ambos os membros da primeira igualdade e utilizando os Axiomas 5, 4 e 3, encontramos y, + (x + y1) = y, +O= y,, e Portanto y, = y,, pelo que x tem precisamente um simtrico, o elemento (- l)x. Notao. o simtrico de X representa-se por -X. A diferena y:....... X definida pela soma y + (-x). O teorema seguinte refere um certo nmero de propriedades que regemo.s c.lculos algbricos elementares num espao linear. TEOREMA i .3. Num dado espao linear, sejam x e Yelementos arbitrrios e a e b esca- lares arbiJrrios. Ento verificam-se as seguintes propriedades: (a) Ox =O. (b)a0=0. (c) (-a)x = - (ax) = a(-x). (d)Seax=O, entoou a=Ooux=D. (e) Se ax = ay e a >' O, ento x = y. (f) Seax = bx e x >'O, ento a= h. (g) -(x + y) = (-x) + (-y) = -x- y. (h) x + x = 2x, x + x + x = 3x, e em geral L;=l x = nx. Vamos demonstrar (a), (b) e (c), deixando as demonstraes das restantes ao cuidado do leitor. Demonstrao de (a). Seja z = Ox. Desejamos provar que z =O. Somando z a si prprio e aplicando o Axioma 9, verificamos que .z + z = Ox + Ox = (O+ O)x = Ox = z. Adiconamos agora -z a ambos o"s membros e obtemos z = O. 26. 8 Clculo Demonstrao de (b). Seja z ~aO; adicionemos z a SI prprio e utilizemos o Axio- maS. Demonstrao de (c). z ~ (-a)x. Adicionando z a ax e utilizando o Axioma 9, veri- ficamos que z + ax = (-a)x + ax = (-a + a)x = Ox = O, pelo que z o simtrico de ax, z ~ -(ax). Analogamente, se adicionamos a(-x) a ax eutilizamos o Axioma 8 e a propriedade (b), encontramos que a(-x) ~ -(ax). 1.5. Exerccios Nos Exerccios I a 28, determinar se cada um dos conjuntos dados um espao linear real, com a adio e a multiplicao por escalares reais definidas da forma usual. Para os Exerccios em que assim no seja, dizer quais so o-s axiomas que no se verificam. As funes nos Exer- ccios I a 17 so reais. Nos Exerccios 3, 4 e 5 cada funo tem um domnio contendo Oe I. Nos Exerccios 7 a 12, o domnio eo conjunto de todos os nmeros reais. I. Todas as funes racionais. 2. Todas as funes racionais_f/g, com o-grau def;;[: que o grau de g(incluindof = 0). 3. Todas as funesfcomf(O) ~/(1). 4. Todas as funes f com 2{(0) ~f'( I). 5. Todas as funesfcomf(l) ~ I +f(O). 6. Todas as funes em escada definidas em escada [0, I L 7. Todas as funes comf(x) ___.,O quando x- + oo~ 8. Todas as funes pares. 9. Todas as funes mpares. 10. Todas as funes limitadas. I I. Todas as funes crescentes. 12. Todas as funes peridicas de perodo 2n. 13. Todas as funesfntegraveis em [0, 1], com J~f(x)dx =O. 14. Todas as funes/integrveis em [0, 11, comJ~f(x)dr f:; O. 15. Todas as funes verificandof(x) ~ /(1 - x) para todo o x. 16. Todos os polinmios de Taylor de grau ~ n para um n dado (incluindo o polinmio zero). 17. Todas as solues da equao diferencial linear homognea de segunda ordemy- + P(x)y' + Q(x)y =O, com P e Q funes dadas e contnuas para todo x. 18. Todas as sucesses reais limitadas. 19. Todas as sucesses reais convergentes. 20. Todas as sries reais convergentes. 21. Todas as sries reais absolutamente convergentes. 22. Todos os vectores (x, y, z) de V3 com z =O. 23. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com- x =O ou y =O. 24. Todos os vectores (x, y. z) de V3 com y = 5x. 25. Todos os vectores (x. y, z) de V3 com 3x + 4y = 1, Z =O. 26. Todos os vectores (x, y, z) de V3 que so mltiplos escal:ires de (I, 2, 3). 27. Todo~ os vectores (x. y, z) de V3 cujas componentes satisfa!m a um sistema de trs equaes lineares de forma: 27. Espaos lineares 9 28. Todos os vectores de V,1 que so combinaes lineares de dois vectores dados A e B. 29. Seja V= R+. o conjunto dos nmeros reais positivos. Defina-se a ~soma" de dois elementos x e y em V como sendo o seu produto xy(no sentido usual) e defina-se"multiplicao" de um elemento x de V por um escalar c como sendo xc. Provar que -veum espao linear real com I como elemento zero. 30. (a) Provar que o Axioma lO pode ser provado a partir dos outros axiomas. (b} Provar que o Axioma to no pode ser deduzido dos outros Axiomas se o Axioma 6 for substitudo pelo Axioma 6':1 "Para todo x em V existe um elemento y de V tal que X+ _V= ON. . 31. SejaS o conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2 ) de Omeros reais. Em cada alnea determinar se sim ou no S um espao linear com as "operaes de adio e multipli- cao por escalares ddinidas como se indica. Se o conjunto no fr um espao linar. dizer quais os axiomas que no so verificados. (a) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (x1 +y1 ,x2 +y2), (b) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (x1 +y1 ,0), (c) (x1 ,x2) + (y.,y2) ~ (x1 ,x2 +y2), (d) (x1 ,x2) + (y1 ,y2) ~ (lx1 +x2(,(y. +y2(), 32. Demonstrar as partes da d at h do Teorema 1.3. 1.6. Subespaos de um espao linear a(x1 , x2) ~ (ax1 , O). a(x1 , x2) = (ax1 , ax2). a(x1 , x2) = (ax1 , ax2). a(x1 , x2) ~ (lax1 (, (ax21). Dado um espao linear V, seja S um conjunto no vazio de V. Se S tambm um eSpao linear. com as mesmas operaes de adio e multiplicao por escalares. ento S diz-se um subespao de V. O teorema que apresentamos a seguir d um cri- trio simples para determinar se sim ou no um subconjunto de um espao linear um subespao. TEOREMA 1.4. Se S um subconjunto no vazio de um espao linear V, ento S um subespao se e s se S satisfaz aos axiomas de fecho. Demonstrao. Se S um subespao, verificam-se todos os axiomas para um es- pao linear e por conseguinte, ~m particular, verificam-se os axiomas de fecho. Demonstremos agora que st: S satisfaz aos axiomas de fecho, satisfaz igualmente aos outros. As propriedades comutativa e associativa para a adio (Axiomas 3 e 4) e os axiomas para a multiplicao por escalares (Axiomas 7 e lO) so automaticamente satisfeitos em S porque so vlidos para todos os elementos de V. Falta verificar os Axiomas 5 e 6, a existncia em S do elemento zero e a existncia do simtrico de cada elemento de S.. Seja x um qualquer elemento de S. (S tem pelo menos um elemento visto que no vazio.) Pelo -Axioma 2, ax est em S para todo o escalar a. Fazendo a= O, re- sulta que Ox est em S. Mas Ox ~ O, pelo teorema 1.3(a), pelo que O E Se o Axio- ma 5 satisfeito. Fazendo a~ - I, vemos que (- I)x pertenece a S. Mas x + (- I)x ~ O visto que quer x, quer (-J)x esto em V, e consequentemente o Axioma 6 satis- feito em S. Deste modo S subespao de V DEFINIO. S~ia S um subconjunto no vazio de um espao linear V. Um elemento x de V da forma 28. 10 Clculo onde x. X2, ... , xk. pertencem todos aS e c,, C2, , ckso escalares, diz-Se uma combina- o linear finita de elementos de S. O conjunto de todas as combinaes linearesfinitas de elementos de S verificam os axiomas de fecho e por conseguinte um subespao de V. Chama-se este o subespao gerado por S. e representa-se por L(S). Se S vazio. defi- nimos L(S) como IOI, o conjunto constando unicamente do elemento :era. Conjuntos distintos podem gerar o mesmo subespao. Por exemplo, o espao V, gerado por cada um dos seguintes conjuntos de vectores {i, jl, {i, j, i+jl. {0, i-i, }-j. i+jl. O espao de todos os polinmios np(t) de grau ;:;; n gerado pelo conjunto de n + I polinmios. tambm gerado pelo conjunto 1, t/2, t'/3, ... , t!(n + I)I, e por li, (I + t), (I + t)', .. ., (I+ t}'>}. O espao de todos os polinmios gerado pelo conjunto infinito dos polin- mios li, t.t', ... }. Um certo nmero de perguntas se podem pr ao chegarmos a este ponto. Por exemplo, que espaos podem ser gerados por um conjunto finito de elementos? Se um espao pode ser gerado por um conjunto finito de elementos, qual o nmero mnimo de elementos necessrios? Para analisar estas e outras questes, introdu- zimos os conceitos de dependncia e independncia linear, bases e dimenso. Estas noes j (oram referidas no captulo 12 quando do estudo do espao vectorial V,. Agora apenas as vamos generalizar aos espaos lineares de tipo qualquer. 1.7. Conjuntos dependentes e independentes num espao linear DEFINICO. Um conjunto S de elementos de um espao linear V diz-se dependente se existe um conjunto finito de eli!menlos distintos de S; por exemplo X 1, X 2, ... , xk e um co- rrespondente conjunto de escalares C1 , c2 , . , ck. no conjuntamente todos nulos, tais que k L CJXi =o. i=l Uina eqao l C;X; =O com algum C; =I= Odiz-se ser uma representao nao trivial de O.1=1 .- O conjunto S diz-se linetirmente independente se no e dependente, isto . quGi.'lquer que sejam os elementos distintos x 1 , x2 , . , Xk de Se Os escalares C1 , c2 , , Ck, k 1: c,x, =o implica i=l -Embora a dependncia e irldependncia sejam propriedades dos conjuntos de el( _mentos, aplicam-se habitualmente estas designaes aos prprios elementos dess1 29. Espaos lineares 11 mesmos conjuntos. Por exemplo, os elementos de um conjunto independente dizem- se linearmente independentes. Se S um conjunto finito, a definio precedente concorda com a dada no Cap- tulo 12 para -o espao Vn Contudo, a presente definio no est rest_ringida a con- juntos finitos. EXEMPLO l. Se um subconjunto T de um conjunto S dependente, ento S tam- bm dependente. Isto logicamente equivalente afirmao de que cada subcon- junto de um conjunto independente 'independente. EXEMPLO 2. Se um elemento de S um mltiplo escalar do outro, ento S de- pendente. EXEMPLO 3. Se O E S. ento S dependente. EXEMPLO 4. O conjunto vazio independente. No Volume I foram discutidos muitos exemplos de conjunts dependentes e inde- pendentes de vectores de Vn Os exemplos seguintes ilustram esses conceitos em es- paos funcionais. Em. cada caso o espao linear fundamentalmente V o conjunto de todas as funes reais definidas na recta real. EXEMPLO 5. Sejam u,(l) = cos2 1, u2(1) = sen2 1, u,(l) =I, para todo o nmero real t: A identidade de Pitgoras mostra que u, + u2 - u3 =O, pelo que as trs funes u,, U2, U3, so dependentes. EXEMPLO 6. Seja u,(l) = 1' para k .~ O, I, 2, ... , e 1 real. O conjuntoS= {u,, u,, ...} independente. -Para demostrar isto, basta provar que para cada n. os n + I po1in- mios u0 , U 1, , u" so independentes. Uma relao da formaLc~k =O significa que (1.1) para todo o real I. Quando I= O; encontramos c0 =O. Derivando (1.1) e fazendo 1 =O, encontramos c, =O. Repetindo o processo, verificaffios que cada coeficiente ck zero. EXEMPLO 7. Se- a1, , a, so nmeros reais distintos, as n funes exponenciais so independentes. Podemos demonstr-lo por induo relativamente a n. O resultado verifica-se trivialmente quando n= I. Admitamos por conseguinte que verdadeira para n- l funes exponenciais e consideremos os escalares c1,.c1,. , c, tais que 30. 12 Clculo (1.2) Seja aMo maior-dos n nmeros a,; a,, ... , a. Multiplicando ambos os membros de (1.2) por e- 0 MX, obtemos (1.3) Lcke(a~;-a.I()X = o. k=l Se k#: M. o nmero ak- aM negativo. Deste modo. quando x- + oo na equao (1.3), cada termo com k* M tende para zero e encontramos que eM~ O. Suprimindo o termo de ordem M em (1.2) e aplicando a hiptese de induo, encontramos que cada um dos n- 1 restantes coeficientes ck zero. TEOREMA 1.5. Se S ~ lx,, x,. ... , xd um conjun(o independente formado por k ele- mentos de um espao linear V e se L(S) o subespao gerado por S, ento todo o conjunto de k + I elementos de L(S) dependente. Demonstrao. A demonstrao faz-se por induo em k. que representa o nmero de elementos de S. Em primeiro lugar suponhamos k ~ I. Ento, por hiptese, S formado por um nico elemento x" com x, 1=0, visto que S independente. Consi- deremos agora dois quaisquer elementos distintos y, e y2 em L(S). Ento cada um destes elementos um escalar multiplicado por X 1 seja y, = c,x1 e y2 = c2x" onde c, e Cz so ambos diferentes de o_ Multiplicando yl por Cz e Yz por CI e subtraindo, obtemos Esta uma representao no trivial de O, pelo que y 1 e y2 sero dependentes; est, pois, demonstrado o teorema quando k = l. Admitamos agora que o teorema verdadeiro para k- 1 e provemos que ainda verdadeiro para k. Tomemos um conjunto de k + I elementos em L(S), digamos T = {_r" y2 , ___ , J'k+l }_ Desejamos provar que T dependente. Visto que cada y,- est em L(S) podemos escrever k (1.4) Yi = Laii.ii j=l para cada i= I, 2, ___ , k + I_ ExaminemOs todos os escalares a,-1 que multiplicam x, e para tal devdamos a demonstrao em duas partes conforme todos estes escalares so ou no nulos_ CASO I. a1, ~O para cada i~ I, 2, ... , k +I. Neste caso a soma em (1.4) no con- tm Xp pelo que cada y,- em T est no subespao linear gerado pelo conjunto s;= lx,, ... , x,}. Mas S' independente e consta de k- I elementos. Pela hiptese 31. Espaos lineares 13 de induo, o teorema verdadeiro para k- I pelo que o conjunto T dependente. Est assim demonstrado o teorema no Caso I. CASO -2. Nem todos os escalares G;1 so nulos. Admitamos que 0 11 *O. (Se-neces- srio, podemos numerar de novo os y de modo a que isso se verifique.) Fazendo;= I na equao (IA) c multiplicando ambos os membros por c;. com C;= a;Ja11 , obtemos k c,y1 = anx1 +Lc1a11x 1 i=2 Se a-esta subtrairmos, mem~ro a membro, a equao (1.4)-resulta k c,y1 - y, = L(cia11 - a11 )x1 , .i=2 para i= 2,; .. , k + i. Esta equao exprime cada um dos k elemen~os C;J'1 - Y; como uma COf!lbinao linear de k- 1 elementos independentes x2... ' Xk. Pela hiptese de indtio, os k elementos C;J1 - Y; devem ser dependentes. Consequente-mente para de- terminada escolha dos escalares 12 , , tk+l no simultneamente nulos, temos k+l 2t,(c,y1 - y,) =O, i=2 donde resulta Esta, porm, uma combinao linear no trivial de y 1, , Yk+l que representa o elemento zero, pelo que os elementos y~> ... , Yk+ 1 devem ser dependenteS, ficando assim completado a demonstrao. 1.8. Bases e dimenso DEFINIO. Um conjunto finito S"de elementos num espaO linear_V chama-se uma base finita de V se S independente e gera V. O espao V diz-se de dimensofinita se tm uma base finita. ou se V forf!1ado unicamente por O. Caso contrrio V diz-se de dimenso infinita. TEOREMA 1.6. Se V eum espao linear de dimenso finita,' ento cada basefinita de V tem o mesmo nmero de elementos. Demonstrao. Sejam S e T duas bases finitas de V. Suponhamos que S formado por k elementos e T formada por m elementos. Uma vez que S independente a gera V, o teorema 1.5 diz-nos que cada conjunto de k + I elementos de V dependente. Por ' conseguinte, todo o conjunto de mais do que k elementos de V dependente. Visto 'I 32. 14 Clculo que T um conjunto independente. devemos ter m s k. O mesmo raciocnio com S e T permutados mostra que k:::; m. Portanto k = m. DEFINIO. Se um espao linear V tem uma base com n elementos, o inteiro n chama- se dimenso de V, e escreve-se n = dim V. Se V= 10} diz-se que V tem dimenso O. EXEMPLO 1. O espao Vn tem dimenso n. Urna base deste espao o conjunto dos n vectores coordenados unitrios. EXEMPLO 2. O espao de todos os polinmios p(t) de grau ,;; n tem dimenso n + I. Uma base o conjunto de n + I polinmios1, I, I', ... , l"l. Todo o polinmio de grau;;::: n uma combinao linear desses n + I polinmios. EXEMPLO 3. O espao das solues da equao diferencial y"- 2r- 3r ~ O tem dimenso 2. Uma base consiste das duas funes u1(x) =e-x, u2(.~) = e'x. Toda a so- luo uma combinao linear destas duas. EXEMPLO 4. O espao de todos os polinmios p(l) de dimenso infinita. O con- junto infinito li, I, t', ...gera este espao e nenhum conjuntofinilo de polinmios gera .o espao. TEOREMA 1.7 Seja V um espao linear de dimenso finita com dim V= n. Ento verifi- ca-se que: (a) Todo o conjunto de elementos independientes de V um subconjunto de alguma base de V. (b) Todo o conjunto de n elementos independentes uma base para V. DemOnstrao. Para demonstrar (a), designamos por S = {x1, , xk} qualquer con- junto independente de elementos de V. Se L(S) ~ V, ento S uma base. Caso con- trrio, existe algum elemento y em V, o qual no pertencer a L(S). Juntemos este ele- mento aS e consideremos o novo conjuntoS'= {x1, , xk>y}. Se este conjunto fosse dependente existiriam escalares c10 ..:..... ck+., no todos nulos, tais que I c,x, + cHY = O . i=l Mas ck + 1*O visto x 1, , x k serem independentes. Consequentemente. podemos resolver esta equao em relao a y, chegando concluso de que y E L(S), o que contradiz o facto de que y no pertence a L(S). Portanto, o conjuntos independente e contm k + I elementos. Se L(S) ~ V, ento S uma base e, visto ser S um sul>- conjunto de S , a alnea (a) est demonstrada. Se S no uma base, podemos racio- cinar de novo com s' como o flZemos com S, obtendo um novo conjuntos- o qual conter k + 2 elementos e ser independente. Se S- uma base, ento a alnea (a) est demonstrada. Caso contrrio, repete-se o processo. Devemos assim chegar a uma base ao fim de um nmero finito de etapas, doutro. modo obteramos eventualmente um conjunto independente com n + I elementos, contradizendo o teorema 1.5. Por isso, a alnea (a) do teorema 1.7 est demonstrada. 33. Espaos lineares 15 Para demonstrar a alnea (b), designemos por S qualquer conjunto independente formado por n elementos. Devido alnea (a), S um subconjunto de certa base, por exemplo B. Mas pelo teorema 1.6, a base B tem precisamente n elementos, e assim s~ B. 1.9. Cnrnp(_mcntes Seja V um espao linear de dimenso n e consideremos uffia base cujos elementos e., ... , en se tomam segundo determinada ordem. Representamos uma tal base orde- nada por um n-sfstema {e,, ... , en). Se x E V, podemos exprimir x como uma combi- naOIIinear destes elementos da base: (1.5) n x=:ciei. i=l Os coeficientes nesta igualdade determinam um n-sistema de nmeros (c" c2, , cn) o qual fia univocamente determinado para x. Com efeito, se tivessemos outra repre- sentao dex como combinao linear de e1, , e"' por exemplo x = 2 '!= 1 d;e1, ento subtraindo membro a membro de (1.5), encontramos 27~ 1 (c,- d,)e,~O. Mas porque os elementos de base so independentes. a igualdade anterior implica c;= d; para todo o i~ 1, 2, ... , n, pelo que ser (c,, c,, ... , c.)= (d,, d,, ... , d.). Os elementos do n-sistema ordenado (c,," c,, ... , cJ definidos por (1.5) dizem-se as componentes de X relativamente buse ordenada (e~" e2, , e,n)- 1.1O. Exerccios Em cada um dos Exerccios I a 10, S o conjunto de todos os vectores (x, y, z) de V3 cujas componentes satisfazem condio dada. Determinar-se S um subespao de V3 Se S for um subespao, calcular dim S. 1. X= 0, 2. X+ y = 0. J. X+ y + Z = 0: 4. X =y. 5. x = y =z. 6. X= J OU X =_z. 7.x2 -y2 =0. 8. X+ y = 1. 9. y = 2x e z = 3x. 10. X +y + Z = 0 e X - y - Z = 0. Seja P, o espao linear de todos os polinmios de grau -;;;,- n, com n fixo. Em cada um aos Exerccios 11 a 20, representeS o conjunto de todos os polinmios f em P, satisfazendo s condies dadas. Determinar se sim ou no S um subespao de P,. Se S for um subespao, calcular dim S. 11. J(O) ~O. 12.['(0) =0. 13. J"(O) ~O. 14.[(0) +['(O) ~o. 15.[(0) =[(1). 16. [(O) ~ [(2). 17.f par. 18. f mpar. 19. f tem grau,; k, com k o se x * O (positividade). Um espao linear dotado com a operao produto interno diz-se um espao eucli- diano real. Nota. Fazendo c= Oem (3), encontramos (0, y) =O para todo o y. Num espao linear complexo, um produto interno (x, y) um nmero complexo satisfazendo aos mesmos axiomas que_ os do produto interno real, excepto o axioma de simetria que substituido pela relao (!') (x, y) = (y, x), (simetra hermticat) onde (y, x) representa o complexo conjugado de (y, x). No axioma da homogeneidade, o factor escalar c pode ser qualquer nmero complexo. Do axioma da homogeneidade e (I ) obtemos a relao (3') (x, cy) = (cy, x) = c(y, x) = c(x, y). Um espao linear complexo dotado de produto interno chama-se um espao eucli- diano complexo. (Algumas vezes tambm se usa a designao espao unitrio). Um exemplo o espao vectorial complexo V,(C) j referido na Seco 12.16 do Volume I. Embora o nosso interesse resida fundamentalmente nos exemplos de espaos eucli- dianos reais, os teoremas que se apresentam a seguir so vlidos igualmente para espaos euclidianos complexos. Quando usarmos a expresso espao euclidiano, sem fazer qualquer referncia complementar, subentender-se- que o espao pode ser real ou complexo. O leitor verificar que cada um dos exemplos seguintes satisfaz a todos os axiomas do produto interno. EXEMPLO I. Em v. seja (x, y) ~ x y, o produto escalar usual de x por y. EXEMPLO 2. Se x ~ (x,, x,) e y ~ (y,, y,) so dois vectores quaisquer de V,, definir (x, y) pela frmula (x, y) = 2x,y1 + x1y2 + x,y1 + x,y,. (t) Em honra de Charles Hermite (1822-1901). um matemtico francs que contribuiu muito para o de- senvolvimento da lgebra e anlise. 36. 18 C/cu/c Este exemplo mostra que _pode estar definido mais do que Um produto interno num dado espao linear. EXEMPLO 3. Represente C(a. h) o espao linear de todas as funes reais contnuas definidas num intervalo la, hl. Definamos o produto interno de duas funes f e g pela frmula (f, g) =I:/(t)g(t) dt. Esta frmula anloga Equao (1.6) que define o _produto escalar de dois vectores de v. Os valores das funes f(t) e g(t) desempenham o papel das componentes x; e Yi e a integrao substitui a somao. EXEMPLO 4. No espao C(a, b), definimos (f, g) = J: w(t)f(t)g(t) dt, com w uma funo positiva dada em C(a, b). A funo w diz-se a funo peso. No exem- plo 3 temos w(t) = I para todo o t. EXEMPLO 5. Nb espao linear dos polinmios reais, definimos u. g) = r .-'j(i)g(t) dt. Em virtude do factor exponencial, este integral imprprio convci"ge para todo o par de polinmiosfe g. TEOREMA 1.8. I'lum espao euclidiano V, todo o produto interno verifica a desiguq/dade de Cauchy:Schwarz: j(x,y)j' ~ (x, x)(y,y) quaisquer que sejam x e y em V. Alm disso. o sinal de igualdade verifica-se se e s se x e y so dependentes. Demonstrao. Se acontece que ou x = O ou y = O' a demonstrao trivial, pelo que supomos que ambos X e y so no nulos. Seja z = ax + by, com a e b escalares a serem especificados mais adiante. Temos a desigualdade (z, z) i: O para todo o par a e b. Quando explicitamos esta desigualdade em funo de x e y com uma escolhe. adequada de a e b, obtemos a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Para exprimir (z, z) em funo de x e y servimo-nos das propriedades (!'), (2) e (3.) e conclumos que 37. r Espaos lineares (z, z) = (ax + by, ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by, ax) + (by, by) = a(x, x) + ah(x,y) + b(y, x) +bh(y,y);?: O. fomando a= (r, y) e suprimindo na desigualdade o factor positivo (y, y) resulta' (y,y)(x, x) + h(x,y) + b(y, x) + bh;?: O. 19 Faamos agora b = - (x, y). Ento b= - (y, x) e a ltima desigualdade simplifica-se, tomando a forma (y, y)(x, x) :?: (x, y)(y, x) = i(x, y)l'. o que prova a desigualdade de Cauchy-Schwarz. O sinal de igualdade vlido atravs da demonstrao, se e s se:::= O.lsto verifica-se, em particular, se e s se x e y so dependentes. EXEMPLO. Aplicando a teorema 1.8 ao espao C(a, b) com o produto interno (f, g) = J;;f(t)g(t)dt, encontramos para a desigualdade de Cauchy-Schwarz (J:f(t)g(t) dt)' :o;; ({' f'(t) ar)(J: g'(t) ar). O produto interno pode ser usado para introduzir o conceito mtrico de compri- mento em qualquer espao euclidiano. DEFtNtO. Num espao euclidiano V. o nmero no negativo 11 xll definido pela igual- dade llx !I = (x, x)li chama-se a norma do elemento x. Exprimindo a desigualdade de Cauchy-Schwarz em .termos de no~mas escreve-se l(x,y)l :o;; llxll llyll- Visto ser possvel definir um produto interno de diferentes maneiras, a norma de um elemento depender da escolha do produto inerno. Esta falta de unicidade era de esperar. Tal facto anlogo ao de podermos atribuir diferentes nmeros medida do comprimento de. dado segmento de recta, dependendo da escolha da unidade de medida. O teorema seguinte define propriedades fundameiltais das normas que no dependem da escolha do produto interno. 38. 20 Clculo TEOREMA 1.9. Num espao euclidiano, toda a norma goza das seguintes propriedades para todos os elementos x e y, e todo o escalar c: (a) 11 xll ~O se x ~ O. (blllxii>O se x*O. (c) llcx~~kl~xll (positividade). (homogeneidade). (desigualdade triangular).(d) llx + Yll ,; llxll +li.vil O sinal de igualdade verifica-se em (d) se x = O. se y =O. ou se y =ex para algum c> O. Demonstrao. As propriedades (a), (b) c (c) deduzem-se imediatamente dos axio- mas do produto interno. Para demonstrar (d), observemos que llx + yll' = (x + y, x + y) = (x, x) + (y,y) + (x,y) + (y, x) = llxll' + llyll' + (x,y) + (x,y). A soma (x, y) + (x, y) real. A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra quel(x, _v)l ;" ~ xll ~Y~ e l(x, y)l o llxl[ll.vll. pelo que se tem llx + yll' :S: Jlxll' + llyll' + 211xll llyll = (llxll + llyll)'. o que demonstra (d). Cuandoy ~ex, com c> O, temos Jlx + yll = llx + cxJI = (I +c) llxJI = JlxJI + llcxJI = Jlxll + llyll. DEFINIO. Num espao euclidiano real V, o ngulo definido por dois elementos no nulos x e y define-se como sendo o nmero Odo intervalo O::;; O:s: n dado por (1.1) cosO = (x, y) . llxJIJiyJI Nota: A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra que o valor do quociente-no segundo membro de (1.7) pertence ao interValo [-I, li, pelo que existe um e um s 8 no intervalo lO, nl cujo cosseno igual ao valor daquele quociente. 1.12. Ortogonalidade num espao euclidiano DEFINIO. Num espao euclidiano V. dois elementos x e y dizem-se. ortogonais se o correspondente produto interno for zero. Um subconjunto S de V diz-se um subconjunto ortogonal se (x, y) ~O para cada par de elementos distintos x e y de S. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se cada um dos seus elementos tem norma l. 39. Espaos lineares 21 O element zero ortogonal a todo o elemento de V; o nico elemento ortogonal a si prprio. O teorema seguinte mostra uma relao entre oitogonalidade e de- pendncia. TEOREMA 1.10. Num espao euclidiano V. todo o conjunto ortogonal de elementos no nulos independente. Em particular, num espao euclidiano de dimenso finita com dim V= n, todo o conjUnto ortogonal formado por n elementos no nulos define uma base de V. Demonstrao. Seja S um conjunto ortogonal de elementos no nulos de V, e su- ponhamos .que certa combinao linear finita de elementos de S igual a zero, qu~r dizer k :2cixi=O, i=l onde cada xiES: Multiplicando escalarmente ambos os membros por x, e tendo pre- sente que (x,, x;) =O se i =F I, encontramos que c,(x1, x 1) =O. Mas (x1, x,-) *O visto que X 1 *O, donde resulta c1 =O. Repetindo o raciocnio com x 1 substituido por x_;. enContramos cada c1= O, o que prova que S independente. Se dim V= n e se S formado por n elementos, o teorema 1.7(b) mostra que S uma base de V. EXEMPLO. No espao linear real C(O, 2") com o produto interno (f, g) = (i."f(x)g(x) dx, seja S o conjunto de funes trigonomtricas (u0 , u1, ) definido da seguinte maneira u0 (x) = I, u2n_1(x) = cos nx, para n = 1,2, .... Se rn *n, temos as relaes de .ortogonalidade "'"J, u,(x)um(x) dx = O, e portanto S um conjunto ortogonal. Visto que nenhum elemento de S o elemento zero, S independente. A norma de cada elemento de S calcula-se facilmente. Temos (u0 , u0) = f~n dx = 2n e, para n ~ I, temos f. ,, 2 (uz.11_ 1 , U 271_ 1) = 0 ~os nx dx = 7T, . . f." 2 (u211 , u211 ) = 0 sen nx dx = 7T. Por conseguinte, 11 u,l= ..(hr e 11u,ll = .,;;; para nf; I. Dividindo cada u, pela respectiva norma, obtemos um conjunto ortonormado {~0, rp,, ~,...} com 1{1, = u,~lu,,ll. Ento resulta 40. 22 . I

O, ou (x, x) < O. ISugesto: Supor (x, x) >O para certo x =F O e (y, y) (t)dt). 13. V formado por todas as sucesses infinitas {x nl de nmeros reais para as quais as sries ! x~ convergem. Se x = {xnl e y = tyn} so dois elementos de V, define-se ro (x,y) = IxnYn R=l (a) Provar que esta srie converge absolutamente: !Sugesto. Utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar a soma I!'...1 lx,.y,.l.l. 43. Espaos .lineares (b) Provar que V um espao linear com (x, y) como produto interno. (c) Calcular(x,y)sex.~ I/ney.~ 1/(n+ l)paran;,l. (d) Calcular (x, y) se X 11 = 211 e Yn = 1/n! para n ~ I. 25 4. Seja V o conjunto de todas as funes reais f contnuas em [0, +co) e tais que o integral -~"'eJ'(t)dt converge. Definir if, g) ~ J,"'ef(t)g(t)dt. (a) Provar que o integral para (f, g) converge absolutamente para cada par de funesf e g em V. !Sugesto: Utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para estimar o integral ~e-1/(t)g(t)l dtl. (b) Provar que V um espao linear com ({. g) como produto interno. (c) Calcular (f, g) se/(1) ~ e- e g(l) ~ t", com n ~O, I, 2, . 15. Num espao euclidiano complexo, provar que o produto interno tem as seguintes proprie- dades para todos os elementos x, vez e todos os complexos a c h. (a) (ax, by) ~ ab(x, y) - (b) (x. ay + bz) ~ (x, y) + b(x, z). 16. Provar que as identidades seguintes so vlidas em todo o espao euclidiano. (a) llx + yll' ~ llxll' + llyll' + (x,y) + (y, x). (b) llx + yll2 - llx- yll' ~ 2(x,y) + 2(y,x)_ (c) llx + yll'+ llx- yll' ~ 2 llxll2 + 2 llyll'- 17. Provar que o espao de todas as funes complexas contnuas num intervalo la, bl se transforma num espao unitrio se definirmos um produto interno pela frmula ([,g) ~ J: w(t)f(t)g(t) dt, com w uma funo positiva dada, contnua em a, h]. 1.14 Construo de conjuntos ortogonais. O mtodo de Gram-Schmidt Todo o espao linear de dimenso finita possui uma base finita. Se o espao eucli- diano, podemos sempre construir uma base ortogonal. Este resultado ser deduzido como uma consecuncia de um teorema geral, cuja demonstrao ensina a construir conjuntos ortogonais. em qualquer espao euclidiano, com dimenso finita ou infinita. A proceso de construo chama-se o mtodo de ortogonalizao de Gram-Schmidt, em honra de J. p_ Gram (1850-1916) e E. Schmidt ( 1845-1921 )_ TEOREMA l.IJ TEOREMA DE ORTOGONALIZAO. Seja x 1 X 2, .. uma sucesso fiiita ou infinita de elementos de um espao euclidiano V. e seja L(x 1, x 2) o subespao ge.rado pelos primeiros k daqueles elementos. Existe uma sucesso correspondente de ele- mentos Yi. y2 , de V, a qual goza das .eguintes propriedades para todo o inteiro k: (a) O elemento Yk ortogonal a todo o elemento do subespaO L(y1 , y2 , Yk-~). (b) O subespao gerado por y 1 Yt. o mesmo que o gerado por x1 x2 . x/.:: L(y,,. __ ,y.) = L(x,, __ ., x,). (c) A suces5o _)'1 y2 , nica. a menos defactores e."icalares. isto . sey;.y;.... outra sucesso de elementos de V satisfazendo s propriedades (a) e (b), ento para cada k existe um escalar ck tal que Yi = CJ..:Yk 44. 26 Clculo Demonstrao. Construamos os elementos y,, y2 , :, por induo. Para iniciar o Processo, fazemos y1 = x1 Suponhamos agor que construmos Y~> . _., y, de maneira que (a) e (b) sejam satisfeitas quando k ~r. Definamos y,+, pela igualdade (1.14) ' Yr+l =. Xr+l - .L aiyi . i=l com os escalares a1, ,a, a determinar. Paraj::; r, o produto internodey,+ comyi dado por '(yH1,y;) = (x,+,,y;)- l;a;(y,,y1) = (x,+1 ,y1) - a;(y,,y;), i=l visto que {y;, Yj) ~O se i* j. Se Yj* O, podemos fazer y,+, ortogonal a Yj tomando (1.15) Se Yj = O, entO Yr+ 1 ortogonal a y1 para qualquer escolha de a1, e neste caso escol- hemos a1=O. Assim, o elemento Yr+ 1 fica bem definido e ortogonal a cada um dos elementos precedentes y,, ... , y,., portanto ortogon'.l a todo o elemento do sub- espao L(y,, ... , y,) . Isto prova (a) quando k ~ r+ I. Para demonstrar (b) quando k~ r+ I, devemos provar que L(y,, ... ,yn,)~ L(x,, ... , x,+,), dado que L(y,, ... , y,) ~ L(x,, ... , x,). Os r primeiros elementos y, ... , y, esto em L(x,, ... , x,) e por isso esto no subespao mais amplo L(x,, ... , x,+ 1). O novo elemento Yr+t dado por (1.14) a diferena de dois elementos de L(x,, x,, ... , x,+ ,), pelo que tam- bm est em L(x1 , x,+ 1). Isto prova que A equao (1.14) mostra que xr. Os elementos T(ek+1 ), , T(ek-1-n) so dependentes uma vez que n >r. Utilizar esta concluso para obter lima tal contradio.! 2.5. Operaes algbricas relativas a transformaes lineares Funes cujos valores pertencem ao espao linear W podem somar-se entre-siou ITJ.Itiplicarem-se por escalares em W de acordo com a seguinte definio. DEFINIO. Sejam fi: V 4 W e T: V 4 W duas fun+es com um domnio comum V e cujo_s valores esto num espao linear W. Se c qualquer escalar em W, definimos a soma S + Te o produto cT pelas igualdades (2.4) (S + T)(x) = S(x) + T(x), (cT)(x) = cT(x) para todo o x ae V. Interessa-nos particularmente o caso em que V tambm um espao linear com os mesmos escalares que W. Nesie caso designamos por !l'(V, W) o conjunto de todas as transformaes lineares de V em W. Se S e T so duas transformaes lineares de !l' (V, W), uma questo simples a verificao de que S + Te cTso tambm transformaes lineares de !l'(V, W). Mais do que isso, ainda, com as operaes acabadas de definir, o conjunto !l'(V, W) ele prprio um novo espao linear. A transformao zero serve de elemento zero deste espao e a transformao (- I)T a simtrica de T. uma questo imedita a verifi- 60. 42 Clculo cao de que os dez axiomas para uril espao linear so satisfeitos. Portanto, temos o seguinte. TEOREMA 2.4. O conjunto ..2'(V, W) de todas as transformaes lineares de V em W um espao linear com as operaes de adio e multiplicao por escalares definids em (2.4). A oper.ao algb~ica mais interessante que se efectua com as transformaes li- neares a composio ou multiplicao de transformaes. Esta operao no faz qualquer uso da.estrutura algbrica de um espao linear e pode definir-se, com toda a generalidade, de modo seguinte: FIG. 16.1. Composio de duas transformaes. DEFINIO. Dados os conjuntos U, V e W. sejam T: U~ V uma funo com domnio U e valores em V, e S: V-+ W outra funo com domnio V e valores em W. A composiO ST a funo ST: Ut~ W definida por (ST)(x) = S[T(x)] para todo o x em U Assim~ pafa aplicar x mediante a composico ST, aplicamos em primeiro lugar x por Te depois aplicamos T(x) por S. Isto est representado na figura 2.1. A composio de funes reais tem-se encOntrado repetidas vezes no nosso estudo e vimos que a operao no , em geral, comutativa. COntudo aqui, como no caso das funes reais, a composio satisfaz a propriedade associativa. TEOREMA 2.5. Se T: U~ V. S: V~ W. e R: W~X so trs funes, tem-se R(ST) = (RS)T. Demonstrao. Ambas as funes R(SD .e (RS)T tm domnio U e valores em X: Para cada x de U, temos 61. Transformaes lineares e "matrizes 43 [R(ST)](x) = R((ST)(x)] = R(S[T(x)]] e [(RS)Jl(x) = (RS)[T(x)] = R[S[T(x)]], o que prova que R(ST) ~ (RS)T. DEFINIO. Seja T: V~ V uma funo que aplica V em si prprio. Definem-se as po- tincias inteiras de T por induo do modo seguinte: T" =I, yn = rrn-1 para n :2: 1. Aqui I representa a transformao identidade. O leitor poder verificar que a pro- priedade .associativa implic a regra TmTn = Tm+n, quaisquer que sejam os inteiros no negativos m e n. O teorema que se enuncia a seguir mostra que a composio de transformaes li- neares ainda linear. TEOREMA 2.6. Se U, V. W so espaos lineares com Os mesmos escalares e se T: U- V e S: V~ W so tran:iformaes linedres, ento a composio ST: V - W linear. Demonstrao. Para quaisquer x e y de U e quaisquer escalares a e b, temos (ST)(ax + by) = S[T(ax + by)] = S[aT(x) + bT(y)] = aST(x) + bST(y). A composio pode combinar-se com as operaes algbricas de adio e mu.Jtipli- cao por escalares em 2( V, W) para dar origem ao seguinte: TEOREMA 2.7. Sejam :v. V e W espaos lineares com os mesmos escalares, suponha- se que Se T pertencem a .!f( V, W) e seja c um escalar qualquer. (a) Para qualquer funo R com I'Q/ores em V, tem-se (S + T)R = SR + TR e (cS)R = c(SR). (b) Para qualquer transformao.linear R: w__, U. tem-se R(S + T) = RS + RT e R(cS) ~ c(RS). A demonstrao uma aplicao imediata da defin-io de composio e deixada ao leitor como exerccio. 2.6. Inversas No nosso estudo das funes de uma varivel real aprendemos a construir novas funes por inverso das funes montonas. Pretendemos agora generalizar n pro- ~- cesso de inverso a uma classe mais geral de funes. f l' 62. 44 Clculo Dada uma funo T, _ nosso objectivo encontrar,- se possvel, outra funo S cuja composio com T seja a transformao idntica. Visto a composio no ser, em geral, comutativa, temos que distinguir TS de ST. Para tal introduzimos duas espcies de funes inversas que chamamos inversa esquerda e inversa direita. DEFINIO. Dados dois cm~jumos V e W e uma jimo T: V---+ W. di:-se que uma funo S: T (V)- V a inversa esquerda de T se S I T(x)l ~ x para todo o x em V, isto , se onde I v a transformao idemidade em V Uma funo R: T( V) ...... V di::-se inversa direi_- ta de T se TIR (y)l ~ y para todo o r em T( V), isto , se TR =[T-, k=l t(x) ~ c,.x'+1 k=O (a) Seja p(x) = 2 + 3x - x2 + x 3 e determinar a imagem de p sob cada: uma das seguintes transformaes: R, S, T, ST, TS, (TS)', T'S', S'T', TRS, RST. (b) Provar que R~ Se Tso lineares e determinar o espao nulo e o contradomnio de cada uma. (c) Provar que T biunvoca em V e determinar a sua inversa. (d) Se n ~ I. exprimir (TS)" e SirTn em funo de 1 e R. 32. Considerar o Exerccio 28 da Seco 2.4. Determinar se T biunvoca em V. Caso afirma- tivo, dizer qual a sua inversa. 68. 50 'Clculo 2.9. Transformaes lineares com valores determinados Se V tem dimenso fin.ta, podemos sempre construir uma transformao linear T: V~ W com valores determinados para os elementos duma base de V, como se ex- plica no seguinte: TEOREMA 2.12. Se e1, , en constitui uma base de um espao linear n-dimensiona/ V e ui' .... un so n elementos arbitrrios de um espao linear W, ento existe uma e uma s transformao linear T: V ..... W tal que (2.7) T(e,) = u para k = I, 2, ... , n. Esta transformao T aplica um elemento arbitrrio x de V do modo seguinte: n (2.8) Se x = !x.e ento T(x) = !x.u. k=l iO=l Demonstrao. Cada x de V pode exprimir-se de uma nica maneira como combi- nao linear de e,, ... , en sendo os coeficientes x1, Xn as componentes de x na base ordenada {e,, ... , en> Se definimos Tpor (2.8), uma questo imediata a verifi- cao de que T linear. Se x = ek para certo k, ento todas as componentes de x so O, excepto a de ordem k, que I, pelo que (2.8) d T(e.) ~ u., como se pretendia provar. Para demonstrar que existe unicamente uma transformao linear satisfazendo (2.7), designamos por T' outra transformao e calculamos T'(x). Encontramos Visto que T'(x) ~ T(x) para todo o x em V, temos T'= T, o que completa a demons- trao. EXEMPLO. Deter111inar a transformao linear T: V2 -+ V2 que aplica os elementos base i= (I, O) e j = (0, I) do modo seguinte: T(i)=i+j, T(j) = 2i- j. Resoluo. Se x = x 1i + x,j um elemento arbitrrio de V,, ento T(x) dada por T(x) = x1T(i) + x,T(j) = x,(i +j) + x2(2i- j) = (x1 + 2x,)i + (x1 - x2)j. 69. J~ Transformaes lineares e matrizes, ;.y 51 2.10. Representao matricial das transformaes lineares O teorema 2.12 mostra que uma transformao linear T: V- W de um espao linear de dimenso finita V fica completamente determinada pela sua aco sobre um dado conjunto de elementos de uma base e1 eh . , en de V. Suponhamos agora que o es- pao W tem tambm dimenso finita, por exemplo dim W= m e seja w1, , wn uma base de W. (As dimenses ni e n podem no ser iguais.) Visto T ter valores em W, cada elemento T(ek) pode representar-se de maneira nica, como uma combinao linear dos elementos de base w1, w2, , ~m. a saber m T(e.) =I r,.w,, i=l onde t1 k, ... , tmk so as componentes de T(ek) na base ordenada (w,, w2 , , wm). Disporemos verticalmente o m-sistema (t, b ... , t miJ do modo seguinte: (2.9) Esta disposi chama-se um vector coluna ou uma matriz coluna. Teremos um tal vector coluna para cada um dos n elementos T(e,), ... , T(e.). Colocamo-los lado a lado, encerrando-os por um par de parntesis rectos de modo a obter-se a seguinte disposio rectangular. Este arranjo diz-se uma mfltriz formada por m linhas e n colunas. Chamamo-la uma matriz m por n ou uma matriz m X n. A primeira linha uma matriz 1 X n (t,,. t12, ... , r,.). A matriz m X I destacada em (2.9) a coluna de ordem k. Os escalares t;k esto afectados de dois ndices, indicando o primeiro (o ndice i) a linha, e o segundo (o ndice k) a coluna em que se situa t;k Chamamos a l;k o elemento ik da matriz. Tambm se utiliza por vezes uma notao mais compacta ou 70. 52 Clculo para presentar a matriz cujo elemento ik t1k. Assim, cada transformao linear T de um espao n dimensional V sobre um es- pao m dimensional W d iugar a uma matriz m Xn, (t1k), cujas colunas so as com- ponentes de T(e,), ... , T(en) relativamente base (w,, ... , wml A matriz considerada define a representao matricial de T relativamente escolha de bases ordenadas (e,, ... , en) para V e (w, ... , wm) para W. Uma vez conhecida a matriz (t1k), as com- ponentes de qualquer elemento T(x) relativamente base (w,, ... ,~ wm) pode determi- nar-se como se indica a seguir. TEOREMA 2.13. Seja T uma transformao /ine~r em .2'(V. W). onde dim V= n e dim W = m e sejam (e,, ... , enJ e (w, ... , wm) bases ordenadas de V e W, respectiva- mente, e seja (t1k) uma matriz m X n cujos elementos so definidos pelas equaes m (2.10) T(e,) =I t1,w1 , para k =I, 2, ... , n. i=l Ento um elemento arbitrrio (2.11) -de Ji com componeTites (x1, -, Xn) relativamente a (e,, ... , en) ~aplicado por T num elemento m (2.12) T(x) =I y1w1 i=1 de W com componentes '" ... ,Ym) relativamente a (w,, ... , wm) Os Y; esto relacionados com as componentes de .x mediante as equa~s /lneares n (2.13) Yi = Ltitxk jiaiil i= 1, 2, ... , m. -Demonstrao. Aplicando T a cada membro de (2.11) e considerando (2.10), ob- temos onde cada y1 dado por (2.13), o que completa a demonstrao~ Tendo escolhido um par de bases (e, ... , eJ e (w,, ... , w..,) para V e W, respectiva- mente, toda a trarisformao _linear T: V__,. W admhe numa representao matricial (t1kl Inversamente, se dispomos mn escalares conforme os elementos da matriz (t1k) e 71. ,,, f) '!!f,rransformaes lineares e matrizes 53 ;~' ::'escolhemos um par de bases ordenadas para V e W, ento fcil provar que existe pre- cisamente uma transformao linear T: V-+ W tendo aquela representao matricial. Definimos muito simplesmente T com os elementos base de V por intermdio de (2.10). Ento, pelo teorema 2.12, existe uma e uma s transformao linear T: V- W com aqueles valores previamente determinados. A imagem T(x) de um ponto arbitr- rio x de V ento dada pelas eqaes (2.12) e (2.13). EXEMPLO I. Construo de uma dada transformao linear a partir de uma matriz .dada. Suponhamos que partimos com a matriz 2 X 3 de elementos Escolhamos as bases usuais de vectores unitrios coordenados para V3 e V2 Ento, a matriz dada representa uma transformao linear T: V3 - V2 a qual aplica um v~ctor arbitrrio (x,, x,, x,) de V, no vector (y,, y,) de V, segundo as equaes lineares y,= x,+Ox2 +4x3 EXEMPLO 2. Construo da representao matricial de uma transformao linear dada. Seja V o espao linear de todos os polinmios reais p(x) de grau ,; 3. Este espao tem dimenso 4, e escolhamos a base (1, x, x', x'). Seja Do operador derivao que aplica cada polinmios p(x) em V na sua derivada p"(x). Podemos considerar D como uma transformao linear de V em W, onde W o espao tridimensional de todos os poli- nmios reais de grau ::; 2. Em W escolhemos a base (l, x, x2 ). Para determinar are- presentao matricial de D, relativamente a esta escolha de bases, transformamos (derivamos) cada elemento da base de V e exprimimo-lo como uma combinao li- near dos elementos da base de W. Assim, encontramos D(l) =O= O+ Ox + Ox', D(x).= l =I+ Ox + Ox', D(x') = 2x = O + 2x + Ox', D(x') = 3x' = O+ Ox + 3x'. Os coeficientes destes polinmios determinam as colunas da representao matricial de D. Deste modo. a representao pedida vem dada pela matriz 3 X 4: 72. 54 C/cu/ Para evidenciar o facto de que a representao matricial depende no s dos ele- mentos das bases mas tambm da respectiva ordem, invertamos a ordem dos elementos da base de W e utilizemos, em seu lugar, a base ordenada (x', x, 1). Ento os elementos da base de V so transformados nos mesmos polinmios obtidos atrs, mas as com- ponentes destes polinmios relativamente nova base (x', x, I) aparecem por ordem inversa. Portanto, a representao matricial de D vem agora [~ ~ ~ ~lCalculemos uma terceira representao matricial para D, usando a base (I, I + x, I + x + x', I + x + x' + x') para V, e a base {I, x, x') para W. Os elementos da base de V transformam-se do modo seguinte: D(l) =O, D{l + x) =I, D(l + x + x') = I+ 2x, D(l + x + x' + x') = I f 2x + 3x', pelo que a representao matricial vem, neste caso, 2.11. Construo de uma representao matricial na forma diagonal Uma vez que possvel obter diferentes representaes matriciais de uma dada transformao linear por diferentes escolhas de bases, mitural tentar a escolha de bases de maneira que a matriz resultante tenha uma forma particularmente simples. O teorema que enunciaremos a seguir mostr que podemos fazer com que todos os elementos da matriz sejam nulos, excepto possivelmente ao longo da diagonal par- -tindo do canto superior esquerdo da matriz. Esta diagonal ser formada por uma fi- leira de elementos I seguidos de zeros, sendo o nmero de I igual ordem da trans- forma-o. Uma matriz (t;t) com todos os elementos l;k =O quando i i= k chama-se matriz diagonal. TEOREMA 2.14. Sejam V e W espaos lineares de dimenso finita. com dim V~ n e dim W ~ m. Admita-se que TE .!l'( V, W) e represente r~ dim T( V) a ordem de T. Exis- tem ento uma base para V (e,, ... , en), e uma base (w,, ... , wn) para W tais que (2.14) T(et) = wi pai-a i= 1, 2, ... , r, 73. "'>,r _,_ Transformaes lineares e matrizes 55 e (2.15) T(e,) = O para i= r+ I, ... , n. Por conseguinte. a matriz (t;d de T relativa a estas bases tem todos os elementos zero, excepto para os r elementos da diagonal ln = f22 = ' = lrr = 1 Demonstrao: Construmos, em primeiro lugar, uma base para W. Porque T( V) um subespao de W com dim T( V)= r, o espao T( V) tem uma base de r elementos em W, sejam w,, w1 , wr. Pelo teorema 1.7, estes elementos formam um subconjunto de uma certa base de W. Deste modo podemos juntar os elementos wr+to ... , wmde modo que (2.16) seja uma base de W. Seguidamente construmos uma base para V. Cada um dos primeiros r elementos w, em (2.16) a. imagem de pelo menos um elemento de V. Escolhamos um tal ele- mento de V c designemo-lo por e,. Ento T(e,) = w,para i= I, 2, ... , r pelo que (2.14) satisfeita. Seja agora k a dimenso do espao nulo N(D. Pelo teorema 2.3 temos n = k + r. Visto ser dim N( D = k, o espao N(D admite uma base formada por k ele- mer .vs de V, que designamos por er+ ... , er+k. Para cada um destes elementos, a equao (16.15) satisfeita. Portanto, para completar a demonstrao, devemos provar que o conjunto ordenado (2.17) uma base para V. Porque dim V= n = r+ k, necessitamos unicamente mostrar _que estes elementos so independentes. Suponhamos que certa combinao linear deles seja zero, por exemplo (2.18) 1'+k Ic,e,=O. i=l Aplicando Te usando as equaes (2.14) e (2.15) encontramos r+k r Ic,T(e,) = Ic,w, =O. i=l i=l Mas w1, :, wr sO independentes e p.or isso c1 = ... =Cr= O. Daqui resulta que os 1 primeiros termos em (2.18) so zero, pelo que (2.18) se reduz a 74. 56 Clculo Mas e,+u ... , e,+k so-independentes visto tormarenl uma base para N(D. e por isso c,+o = ... = c,+k = 0.. Porque todos os c; em (2.18) so nulos, os elementos de (2.17) formam uma base para V, e o teorema est demonstrado. EXEMPLO. Consideremos o Exemplo 2 da Seco 2.10, onde D o operador deri- vao que aplica o espao V dos polinmios de grau 5 3 no espao W dos polinmios de grau 5 2. Neste exemplo, o contradomnio T( V)= W, pelo que T tem ordem 3. Aplicando o mtodo usado para demonstrar o teorema 2.14 definimos uma base qual- quer para W, por exemplo a base (I, x, x'). Um conjunto de polinmios de V que se aplica nestes elementos (x, x2 , tx3 ). Ampliase este conjunto para obtermos uma base para V juntando-lhe o polinmio constante I, o qual uma base para o espao nulo-de D. Deste modo, se utilizamos a base (x, !x', tx', I) para V e a base (I, x, x') para W, a correspondente representao matricial para D tem a forma diagonal 2.12. Exerccios Em todos os exerccios .em que intervenha o espao vectorial Vn, considera-se a base usual formada pelos vectores coordenados unitrios, a menos que se diga expressamente o contrrio. Nos exerccios relativos matriz de uma transformao linear T: V-+ W com V= W, toma-se a mesma base quer em V quer em W, a menos que seja indicada outra escolha. I. Determinar a matriz de cada uma das seguintes transformaes lineares de Vn em V,.: (a) a transformao identidade. (b) a transformao zero. (c) multiplicao por unl escalar dado c. 2. Determinar a matriz de cada uma das seguintes projeces. (a) T: vl- vl. onde T(xu Xz xl) = (x Xz). (b) T: V,- V,, onde T(x,. x,. x,) ~ (x,, x,). (c) T: V5 ..... V1 , onde T(x 1, l"2 x3 X 4, X 5) = (x1 , x3, x4). 3. Uma transformao linear T: V2 ..... V2 aplica os vectores da base i e j da maneira seguinte: T(i) ~i +j, TU)~ 2 -j. (a) Calcular T(3i - 4j) e P(3i- 4j) em funco de i ej. (b) Determinar as matrizes de Te P. (c) Resolver a alnea (b) se a base (i.j) substituida por (e1, e2). onde e1 =i- j. e2 = Ji + j. 4. Uma transformao linear T: V2 ..... V2 define-se do modo seguinte: Cada vector (x; y) trans- forma-se no seu simtrico relativamente ao eixo OY.e depois duplica-se o seu comprimento para se obter T(x, y). Determinar a matriz de Te de P. 5. Seja T: V1 ..... V3 uma transformao linear tal que 75. ':J; Transformaes lineares e matrizes 57 T(k) ~ 2i + 3j + 5k, T(j+k) ~i, T(i +j + k) ~j- k. (a) Calcular T(i + 2j + 3k) e determinar a nulidade e ordem de T. (b) Determinar a matriz de T. 6. Para a transformao linear do Exerccio 5, escolhamse ambas as bases definidas por (e~> e2, e3), onde e1 =(2, 3, 5), e2 = (1, O, 0), e3 = (0, I, -I); determinar a matriz de Trelativa s novas bases. 7. Uma transformao linear T: V1 ..... V2 aplica os vectores da base da maneira seguinte: T(i)~(O,O), T(j)~(l, 1), T(k)~(l, -I). (a) Calcular T(4i-j + k) e determinar a nulidade e a ordem de T. (b) Determinar a matriz de T. (c) Usar a base (i,j, k) de v3 e a base {wu Wz) de v2 com wl = (1, I), Wz = (1, 2). Determinar a matriz de T relativa a estas bases. (d) Determinar bases (e1, e2, e3) de V1 e (w1, w2) de V2, relativamente s quais a matriz de T ...- tenha a forma diagonal. 8. Uma transformao linear T: V2 __,. V3 aplica os vectores da base do modo seguinte: T(i) = (1,0, 1), T(j)~(-1,0, 1). (a) Calcular T(2i- 3j) e determinar a nulidade (dimenso do ncleo) e a ordem T (b) Determinar a matriz de T. (c) Achar bases (e1, e2) para V2 e (w1, W 2, w3) para V3 para as quais a matriz de Ttem a forma diagonal. 9. Resolver o Exerccio 8 se T(i) ~(I, O, I) e T(j) ~(I. I, 1). 10. Sejam V e W espaos lineares, cada um com dimenso 2 e ambos com a base (eu e2). Seja T. V___,. W uma transformao linear tal que (a) CalcularT(e2 - e1) e determinar a nulidade e a orderr. de T. (b) Determinar a matriz de T relativa a uma base dada. (c) Utilizar a base (e1, e2) para V e determiriar uma nova base da forma(e1 + ae2, 2e1 + be2) para W, relativamente qual a matriz de T ter a forma diagonal. No espao linear de todas as funes reais, cada um dos conjuntos seguintes independente e gera um subespao V de dimenso finita. Utilizar o conjunto dado como base para V e seja D: V___,. V o operador derivao. Em cada caso determinar a matriz de D e de D1 , relativa base que se indica. 11. (sen t", cos x). 15. (-cosx,senx). 12. (l,x,e"). 16. (senx,cosx,xsel).x,xcosx). 13. (I, I + x, I + x +e"). 17. (ersenx,excosx). 14. (e", xe"). 18. (ezx sen 3x, ezx cos 3x). 19. Escolher a base (I, x, xl, x 3 ) no espao linear V de todos os polinmio(reais de grau:::= 3. Representando D o operador derivao, seja T: V___,. V a transfoqnao linear que aplica . p(x) em xp'(x). Relativamente base dada, determinar a matriz dcada uma das seguintes transformaes: (a) T; (b) DT; (c) TD; (d) TD- DT; (e) T'; (!) .T'D'- D'T'. 20. Considerar o Exerccio 19. Seja W a imagem de V pela transf9rmao TD. Determinar bases para V e para W relativamente s quais a matriz de TD tem. forma diagonal. 76. 58 Clculo 2.13. Espaos lineares de matrizes Vimos corria as matrizes se apresentam de Uma maneira natural, como represen- taes de transformaes lineares. Mas as matrizes podem tambm considerar-se como existentes por direito prprio, sem neceSsariamente estarem ligados s trans- formaes lineares. Consideradas como tal. formam outra classe de objectos matem- ticos relativamente aos quais podem definir-se operaes algbricas. A ligao com as transformaes lineares serve como motivao para estas definies, mas esta li- gao ser ignorada por agora. Sejam m e n dois inteiros positivos e Im, no conjunto de todos os pares de inteiros (i, J) tal que I ,; i,; m, I ,; j,; n. Qualquer funo A cujo domnio Im.n chama-se uma matriz m X n. O valor da funo A(i,J) chama-se o elemento ij da matriz e representa-se por a,j. Habitualmente dispem-se todos os valores da funo num rectngulo por intermdio de m linhas e n colunas, como se indica Os elementos aij podem ser objectos arbitrrios de riatureza qualQuer. Usualmente sero nmeros reais ou complexos, mas por vezes conveniente considerar matrizes cujos elementos so de outra natureza, por exemplo funes. Tambm pOdemos re- presentar as matrizes na notao mais compacta ou A= (aii). Se m = n, a matriz diz-se quadrada. Uma matriz l X n diz-se uma matriz linha e uma matriz m X l diz-se uma matriz coluna. Duas funes so iguais se e s se tiverem o mesmo domnio e tomarem os mesmos valores em cada elemento do domnio. Visto que as matrizes so funes, duas ma- trizes A= (a;j) e B = (bi} so iguais se e s se tiverem o mesmo nmero de linhas e de colunas, e forem iguais os elementos aij= bupara todo o par {i,J). Supondo agora que os elementos da matriz so nnieros (reais ou complexos), vamos definir a adio de matrizes e a multiplicao por escalares pelo mesmo mtodo usado para funes reais ou complexas quaisquer. DEFINIO. Se A= (aij) e B = (bij) so duas matrizes m x n e se c um escalar qual- quer, definem-se as matrizes A +- B e cA do f!lOdo seguinte: A + B = (a;; + b;;), cA = (ca;;). 77. Transformaes lineares e matrizes 59 A soma define-se unicamente quando A e B so do mesmo tipo m X n (mesmo nmero de linhas e mesmo nmero de colunas). EXEMPLO. Se temos pois [ 6 A+ B = O . [ I A= -I 2 -2 2A = [ 2 -2 e . [5B= I o -2 4-6].o 8 (-I)B ='[-5. -1 o -I]o 2 -3 Definimos a matriz nula O, como sendo a matriz m X n na qual todos os elementos so O. Com estas definies um exerccio simples verificar que o conjunto de todas as matrizes m X n define um espao linear. RepresentamOs este espao linear por Mm, ,. Se os elem,entos so nmeros reais, o espao Mm.n um espao linear real. Se os ele- mentos-so complexos, Mm,n um espao linear_ complexo. igualmente fcil provar que este espao tem dimenso mn. Com efeito, uma base para Mm,n consiste de mn matrizes, tendo cada uma delas um elemento igual a I e todos os outros iguais a O. Por exemplo, as seis matrizes [ I oo], o o o [o1 o]. o o o [ o o 1],o o o [ooo].I O O formam uma base para o conjunto de todas as matrizes 2 X 3. 2.14. Isomorfismo entre transformaes lineares de matrizes Voltamos agora relao entre matrizes e transformaes lineares~ Sejam V e W espaos lineares de dimenso finita, com dim V= n e dim W = m. Escolhamos uma base (e,, ... , e.) para V e uma base (w,, ... , w.) para W. Nesta discusso estas bases consideram-se fixas. Seja 2'( V, W) o espao linear de todos as transformaes lineares de V em W. Se TE .P(V, W), seja m(7) a matriz de T relativamente s bases dadas. Lembramos que m(1) se define como segue: A imagem de cada elemento base ek exprime-se como uma combinao linear dos elementos da base de W: (2.19) m T(e,) =L t;,w; para k = I, 2, oo., n. i=l Os coeficientes escalares tik so os elementos ik de m(n. Assim temos (2.20) m(T) = (1;,);:';~1 78. 60 Clculo A equao (2.20) define uma nova funo m cujo domnio !f'( V, W) e cuyos valo- res so matrizes de M m n Uma vez que .cada matriz m X n a matriz m(D para algum Tem !f'( V, W), o cont~adomno de m Mm. n O teorema que apresentamos a seguir mostra que a transformao m: !f' (V, W)~ Mm.n linear e biunvoca em !l'(V, W). TEOREMA 2.15. TEOREMA DO ISOMORFISMO. Para todo S e todo Tem !f'(V, W) e todo escalar c. tem-se m(S + D = m(S) + m(D e m(cD= cm(D. Alm disso. m(S) = m(D implica S= T, pelo que m biunvoca em !f'( V, W). Demonstrao. A matriz m(D formada pelos coeficientes t;k de (2.19). Analoga- mente. a matriz m(S) formada pelos coeficientes s;k nas equaes (2.21) Uma vez que se tem m S(e,) = I s,.w, para k = 1, 2, ... , n. i=l m m (S + T)(e,) =I (s,. + t,.)w, e (cT)(e) = I (ct..)w,, i=l i=l obtemos m(S + n= (s,.+ t"J = m(S) + m(D e m(cD = (ct,,) = cm(D. o que provoca quem linear. Para provar que m biunvoca, suponhamos que m(S) = m( D. onde S =(s;k) e T =(r,,). As equaes (2.19) e (2.21) mostram que S(e,) ~ T(e,) para cada elemento da base e,, pelo que S(x) = T(x) para todo x de V, e por conseguinteS= T. Nota: A funo m chama-se um isomorfismo. Para uma dada escolha das bases. m estabelece uma correspondncia biunvoca entre o conjunto de transformaes li- neares, 2(V. W) e o conjunto M m,n de matrizes m X n. As operaes de adio e multiplicao por escalares conservam-se atravs desta correspondncia. Os espaos lineares !P( V, W) eMm.n dicem-se isomorfos. Incidentemente, o teor.ema 2.11 mos-. tra .que o domnio de uma transformao linear biunvoca tem a mesma dimenso que o respectivo contradomnio. Portanto, dirn 2(V, W) = dim M ....~ = mn. Se V= W e se escolhermos a mesma base em V e W, ento a matriz m(/) que co- rres_ponde transformao identidade /: V- V umq matriz diagonal n X n, con cada elemento da diagon:il igual unidade e todos o.s restantes iguais a O. Esta a matriz identidade ou matriz unidad2 c representa-se por I ou por !n- 79. Transformaes lineares e matrizes 61 2.15. Multiplicao de matrizes Algumas transformaes lineares podem multiplicar-se por meio da composio. Va- mos passar a definir multiplicao de matrizes de tal maneira que o produto de duas matrizes corresponda composio das transformaes lineares que representam. Recordamos que se T: U- V e S: V- W so transformaes lineares, a sua compo- sio ST: U- W uma transformao linear dada por ST(x) = S[T(x)] para todo x de U. Suponhamos que U, V e W so de dimenso finita, por exemplo dimU=n, dim V=p, dim W= m. Escolhamos bases para U, V e W. Relativamente a estas bases, a matriz m(S) uma matriz m X p, a matriz T uma matriz p X n e a matriz de ST e uma matriz m x n. A definio que a seguir se apresenta de multiplicao de matrizes permite-nos deduzir a relao m(ST) ~ m(S)m(T), o que estende aos produtos a propriedade de isomor- fismo. DEFINIO. Sejam A uma matriz m X p qualquer, e B outra matriz p X n qualquer, por exemplo e O produto AB define-se romo sendo a matriz m X n, C~ (eij), cujo elemento ij dado por (2.22) cii = L0 iJcbki k=l Nota: O produto AB s se define quando o nmero de colunas de A igual ao nmero de linhas de 8. Se c;;screve.rmos A1 para a linha de ordem i de A, e Bi para a coluna de ordem j de B e imaginamos estas como vectores p-dimensionais, ento a soma (2.22) simples- mente o produto escalar A; B i, isto , o elemento ij de AB e o produto escalar da linha i de A com a colunaj de B: Assim a m~ltiplicaci de matrizes pode considerar-se como uma generaliza~o de produto escalar. 80. 62 Clculo EXEMPLO I. Seja A = [ _: : ~]e B = [: - :lVisto que A 2 X 3 e B 3 X 2, o produto A 8 uma matriz 2 X 2, [ A, B' A, B'] [17 AB= = A, B1 A, B' 1 Os elementos de A e B calculam-se do modo seguinte: 21] -7 A, B1 = 3 4 + I 5 + 2 O = 17, A, B' = 3 6 + I (-I)+ 2 2 = 21, A, B' = ( -1) 4 + I 5 + OO = 1, A, B' = ( -1) 6 + 1 (-I) + O 2 = -7. EXEMPLO 2. Seja e Aqui A 2 X 3 e B 3 X I, pelo que AB a matriz 2 X I dada por AB = [A, B'] = [-9],A, B1 8 visto que A,B' =2(-2)+ 11 +(-3)2= -9 eA,B'= 1(-2)+21 +42=8. EXEMPLO 3. Se A e B so ambas matrizes quadradas da mesma ordem, ento defi- ne-se AB e BA. Por exemplo, se encontramos que A= [ 1-I ~] . AB = [13 -~l. 2 [-1 10]BA= . 3 .12 . Este exemplo prova que AB * BA, o que acontece em geral. Se AB = BA, dizemos que A e B comutam (ou que so permutveis). EXEMPLO 4. Se I, a matriz identidade p X p, ento IpA =A para qualquer matriz A, p X n, e 81P=B para qualquer B, m X p. Por exemplo, 81. ~ ~' !t Transformaes lineares e matrizes 63 [: o ~][:]=