calculo-apostol vol 1

1. E ~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sino un esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAM para facilitar el acceso a los materiales necesarios para la educacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamos editar en formato digital libros que por su alto costo, o bien porque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no son accesibles para todos. Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto a sugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y a ayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin. El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin de cualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas. Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad de Ciencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguiente direccin de correo electrnico: [email protected] http:// eduktodos. dyndns. org

2. Calculus 3. TOIT1 M. Apostol CALCULUS VOLUMEN I Clculo con funciones de una variable, con una introduccin al lgebra lineal Segunda edicin " EDITORIAL REVERTE, S. A. Barcelona -Bogot -Buenos Aires - Caracas -Mxico 4. Ttulo de la obra original: CALCULUS, One -Variable Calculus, with an introduction to Linear Algebra Edicin original en lengua inglesa publicada por: Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts Copyright by Blaisdell Publishing Company, 1967 Versin espaola por: Dr. D. Francisco Vlez Cantarell Profesor adjunto de la Facultad de Ciencias de Barcelona Revisada por: Dr. D. Enrique Lins Escard Catedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid Propiedad de: EDITORIAL REVERT, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona - ESPAA E-mail: [email protected] Internet: http://www.reverte.com y REVERT EDICIONES, S.A. DE C.V Ro Pnuco 141 Col Cuauhtmoc c.P. 06500 Mxico, D.F. - MXICO E-mail: [email protected] [email protected] Reservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pbli- cos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1984 REVERT EDICIONES, s.A. de C.V., 1999 9" Reimpresin 2001 Impreso en Espaa - Printed in Spain ISBN - 84 - 291 - 5002 - 1 (Espaa) ISBN - 968 - 6708 - 10 - 3 (Mxico) Depsito Legal: B - 32464 - 2001 Impreso por Imprimeix S.L. Eduard Maristany, 100 08912 Badalona (Barcelona) 5. a Jane y Stephen 6. PRLOGO Extracto del prlogo a la primera edicin Parece que no hay acuerdo sobre 10 que ha de constituir un primer curso de Clculo y Geometra Analtica. Unos sostienen que el camino verdadero para entender el Clculo principia con un estudio completo del sistema de los nmeros reales desarrollndolo paso a paso de manera lgica y rigurosa. Otros insisten en que el Clculo es ante todo un instrumento para los ingenieros y fsicos; y por consiguiente, que un curso debe llevar a las aplicaciones del Clculo apelando a la intuicin, para despus, por el ejercicio en la resolucin de problemas, alcanzar destreza operatoria. En ambos puntos de vista hay mucha parte de razn. El Clculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemtica pura. Al mismo tiempo es muy importante recordar que el Clculo tiene profundas races en problemas fsicos y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad de sus aplicaciones. Mas es posible combinar un desarrollo terico riguroso con una sana formacin tcnica, y este libro representa un intento de establecer un sensible equilibrio entre las dos tendencias. Aunque se trate el Clculo como ciencia deductiva, no por eso se abandonan las' aplicaciones a problemas fsicos. Las demostraciones de todos los teoremas importantes se consideran como una parte esencial en el desarrollo de las ideas matemticas, y con frecuencia van precedidas de una discusin geomtrica o intuitiva para dar al estudiante una visin ms penetrante del porqu de la demostracin. Aunque estas discusiones intuitivas pueden ser suficientes para el lector que no est interesado en los detalles de la demostracin, tambin se incluye la demostracin completa para aquellos que prefieran una exposicin ms rigurosa. La disposicin de este libro ha sido sugerida por el desarrollo histrico y filosfico del Clculo y la Geometra Analtica. Por ejemplo, se estudia la integracin antes de la diferenciacin. Aunque esta manera de ordenar la materia del curso sea poco frecuente, es histricamente correcta y pedaggicamente adecuada. Adems, es el mejor camino para hacer patente la verdadera conexin entre la derivada y la integral. El concepto de integral se define en primer lugar para funciones escalonadas. Puesto que la integral de una funcin escalonada no es ms que una suma, la VII 7. VIII Prlogo teora de la integracin es extremadamente sencilla en este caso. Mientras el estudiante aprende las propiedades de la integral para funciones escalonadas, adquiere experiencia en el uso de la notacin sumacin y al mismo tiempo se familiariza con el simbolismo de la integral. De esta manera se van construyendo los peldaos para que la transicin de funciones escalonadas a otras funcicnes ms generales parezca fcil y natural. Prlogo a la segunda edicin La segunda edicin difiere de la primera en muchos aspectos. Se ha aadido el lgebra lineal; los teoremas del valor medio y las aplicaciones del Clculo se han introducido en los primeros captulos, y se ha aadido buen nmero de nuevos y sencillos ejercicios. Una inspeccin del ndice revela que el libro se ha dividido en captulos de menor extensin, desarrollndose cada uno sobre un concepto importante. Varias secciones han sido escritas de nuevo y reorganizadas para proporcionar una mejor fundamentacin y mejorar la fluidez de las ideas. Al igual que en la primera edicin, cada concepto nuevo importante viene precedido de una introduccin histrica, que describe su desarrollo desde una primera nocin fsica intuitiva hasta su formulacin matemtica precisa. El estudiante descubre en parte los esfuerzos del pasado y los triunfos de los hombres que ms han contribuido al tema. De este modo el estudiante se convierte en participante activo en la evolucin de las ideas y no queda como mero observador pasivo de los resultados. La segunda edicin, como la primera, est dividida en dos volmenes. Las dos terceras partes primeras del Volumen 1 tratan del Clculo con funciones de una variable, incluyendo las series y una introduccin a las ecuaciones diferenciales. La ltima tercera parte del Volumen 1 introduce el lgebra lineal con aplicaciones a la Geometra y al Anlisis. Gran parte de estos temas se apoya slidamente en el clculo de ejemplos que ilustran la teora general. Ello proporciona una mezcla de lgebra y de Anlisis y contribuye a preparar el camino para la transicin del Clculo con una variable al Clculo con varias variables, que se trata en el Volumen Il. Un desarrollo ms amplio de lgebra lineal se har necesario en la segunda edicin del Volumen 11. Una vez ms reconozco con agrado mi deuda con los profesores H. F. Boh- nenblust, A. Erdlyi, F. B. Fuller, K. Hoffman, G. Springer, y H. S. Zuckerman. Su influencia en la primera edicin ha continuado en la segunda. En la preparacin de la segunda edicin, recib tambin la ayuda del profesor Basil Gordon, que sugiri muchas mejoras. Estoy tambin agradecido a George Springer y William P. Ziemer, que leyeron las ltimas pruebas. El personal de Blaisdell Publishing Company, como siempre, ha prestado una gran ayuda; aprecio su simptica aceptacin de mis deseos en lo relativo al formato y a la tipografa. 8. Prlogo IX Por ltimo, tengo especial satisfaccin en expresar mi gratitud a mi esposa por haber contribuido en diversas formas a la preparacin de las dos ediciones. En testimonio de mi agradecimiento le dedico este libro. T.M.A. Pasadena, California 9. 11.1 I 1.2 I 1.3 *1 1.4 I 1.5 I 1.6 I 2.1 I 2.2 I 2.3 I 2.4 I 2.5 I 3.1 I 3.2 *1 3.3 I 3.4 *1 3.5 I 3.6 I 3.7 I 3.8 I 3.9 NDICE ANALTICO l. INTRODUCCIN Parte 1. Introduccin histrica Los dos conceptos bsicos del Clculo Introduccin histrica El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola Ejercicios Anlisis crtico del mtodo de Arqumedes La introduccin al Clculo que se utiliza en este libro Parte 2. Conceptos bsicos de la teora/ de conjuntos Introduccin a la teora de conjuntos Notaciones para designar conjuntos Subconjuntos Reuniones, intersecciones, complementos Ejercicios Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de nmeros reales Introduccin Axiomas de cuerpo Ejercicios Axiomas de orden Ejercicios Nmeros enteros y racionales Interpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntos de una recta Cota superior de un conjunto, elemento mximo, extremo superior Axioma del extremo superior (axioma de completitud) XI 1 3 4 9 10 12 13 14 15 17 19 21 22 24 24 26 26 28 28 30 10. XII I 3.10 I 3.11 *1 3.12 *1 3.13 *1 3.14 *1 3.15 I 4.1 I 4.2 *1 4.3 I 4.4 *1 4.5 I 4.6 I 4.7 I 4.8 I 4.9 *1 4.10 1.1 1.2 *1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 /ndice analtico La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales Propiedades fundamentales del extremo superior Ejercicios Existencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativos Races de orden superior. Potencias racionales Representacin de los nmeros reales por medio de decimales Parte 4. Induccin matemtica, smbolos sumatorios y cuestiones relacionadas Ejemplo de demostracin por induccin matemtica El principio de la induccin matemtica El principio de buena ordenacin Ejercicios Demostracin del principio de buena ordenacin El smbolo sumatorio Ejercicios Valor absoluto y desigualdad triangular Ejercicios Ejercicios varios referentes al mtodo de induccin 1. LOS CONCEPTOS DEL CLCULO INTEGRAL Las ideas bsicas de la Geometra cartesiana Funciones. Ideas generales y ejemplos Funciones. Definicin formal como conjunto de pares ordenados Ms ejemplos de funciones reales Ejercicios El concepto de rea como funcin de conjunto Ejercicios Intervalos y conjuntos de ordenadas Particiones y funciones escalonadas Suma y producto de funciones escalonadas Ejercicios Definicin de integral para funciones escalonadas Propiedades de la integral de una funcin escalonada Otras notaciones para las integrales Ejercicios La integral de funciones ms generales Integrales superior e inferior El rea de un conjunto de ordenadas expresada como una integral 32 33 34 35 36 37 40 41 42 44 45 46 49 50 53 54 59 61 65 66 69 70 73 74 75 77 78 79 81 85 86 88 91 92 11. lndice analtico 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 Observaciones relativas a la teora y tcnica de la integracin Funciones montonas y montonas a trozos. Definiciones y ejemplos Integrabilidad de funciones montonas acotadas Clculo de la integral de una funcin montona acotada Clculo de la integral f~xP dx siendo p entero positivo Propiedades fundamentales de la integral Integracin de polinomios Ejercicios Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral 2. ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRACIN 2.1 2.2 Introduccin El rea de una regin comprendida entre dos grficas expresada como una integral Ejemplos resueltos Ejercicios Las funciones trigonomtricas Frmulas de integracin para el seno y el coseno Descripcin geomtrica de las funciones seno y coseno Ejercicios Coordenadas polares La integral para el rea en coordenadas polares Ejercicios Aplicacin de la integracin al clculo de volmenes Ejercicios Aplicacin de la integracin al concepto de trabajo Ejercicios Valor medio de una funcin Ejercicios La integral como funcin del lmite superior. Integrales indefinidas Ejercicios 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 3. FUNCIONES CONTINUAS 3.1 Idea intuitiva de continuidad 155 3.2 Definicin de lmite de una funcin 156 3.3 Definicin de continuidad de una funcin 160 3.4 Teoremas fundamentales sobre lmites. Otros ejemplos de funciones continuas 162 3.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre lmites 167 XIIl 93 94 95 97 98 99 101 102 104 109 109 111 116 117 121 126 129 133 134 136 137 140 141 144 145 147 148 153 12. XIV 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 ndice analtico 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 Ejercicios Funciones compuestas y continuidad Ejercicios Teorema de Bolzano para las funciones continuas Teorema del valor intermedio para funciones continuas Ejercicios El proceso de inversin Propiedades de las funciones que se conservan por la inversin Inversas de funciones montonas a trozos Ejercicios Teorema de los valores extremos para funciones continuas Teorema de la continuidad uniforme Teorema de integrabilidad para funciones continuas Teoremas del valor medio para funciones continuas Ejercicios 4. CLCULO DIFERENCIAL 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 Introduccin histrica Un problema relativo a velocidad Derivada de una funcin Ejemplos de derivadas lgebra de las derivadas Ejercicios Interpretacin geomtrica de la derivada como una pendiente Otras notaciones para las derivadas Ejercicios Regla de la cadena para la derivacin de funciones compuestas Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variacin ligados y derivacin implcita Ejercicios Aplicaciones de la derivacin a la determinacin de los extremos de las funciones Teorema del valor medio para derivadas Ejercicios Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geomtricas de las funciones Criterio de la derivada segunda para los extremos Trazado de curvas Ejercicios Ejemplos resucitas de problemas de extremos Ejercicios 4.12 4.13 169 172 174 175 177 178 179 180 182 183 184 186 187 189 190 191 192 195 197 201 204 207 209 211 213 216 219 221 224 227 228 230 231 233 234 237 13. ':'4.22 ':'4.23 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 ':'5 .11 Indice analtico Derivadas parciales Ejercicios 5. RELACIN ENTRE INTEGRACIN y DERIVACIN 5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental de l c lculo Teorema de la derivada nula Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del clculo Propiedades de una funcin deducidas de propiedades de su derivada Ejercicios La notacin de Leibniz para las primitivas 1ntegracin por sustitucin Ejercicios 1ntcgracin por partes Ejercicios Ejercicios de repaso 5.2 5.3 5.4 6. F1 C1CTN LOGARITMO, FUNCIN EX POXENCIAL y FUNCIONES TRIGONOM~TRICASINVERSAS 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 J ntrcduccin Definicin del logaritmo natural como integral Definicin de logaritmo. Propiedades fundamentales Grfica del logaritmo natural Consecuencias de la ecuacin funcional L(ab) = L(a) + L(b) Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1 Frmulas de derivacin e integracin en las que intervienen logaritmos Derivacin logartmica Ejercicios Polinomios de aproximacin para el logaritmo Ejercicios La funcin exponencial Exponenciales expresadas como potencias de e Definicin de e' para x real cualquiera Definicin de a" para a>O y x real Frmulas de derivacin e integracin en las que intervienen exponenciales 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 xv 239 245 247 250 250 253 254 257 259 264 266 269 272 277 278 281 282 282 284 286 288 289 291 296 296 298 299 300 300 14. XVI 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 *7.7 7.8 7.9 lndice analtico 6.25 6.26 Ejercicios Funciones hiperblicas Ejercicios Derivadas de funciones inversas Inversas de las funciones trigonomtricas Ejercicios Integracin por fracciones simples Integrales que pueden transformarse en integrales de funciones racionales Ejercicios Ejercicios de repaso 304 307 308 308 309 314 316 323 326 328 333 335 337 340 341 342 347 348 350 354 356 357 362 363 366 368 371 8.1 Introduccin 373 8.2 Terminologa y notacin 374 8.3 Ecuacin diferencial de primer orden para la funcin exponencial 376 8.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 377 8.5 Ejercicios 381 7. APROXIMACIN DE FUNCIONES POR POLINOMIOS 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 Introduccin Polinomios de Taylor engendrados por una funcin Clculo con polinomios de Taylor Ejercicios Frmula de Taylor con resto Estimacin del error en la frmula de Taylor Otras formas de la frmula de TayIor con resto Ejercicios Otras observaciones sobre el error en la frmula de Taylor. La notacin 0- Aplicaciones a las formas indeterminadas Ejercicios Regla de L'Hpital para la forma indeterminada O/O Ejercicios Los smbolos + 00 y - oo , Extensin de la regla de L'Hpital Lmites infinitos Comportamiento de log x y ea: para valores grandes de x Ejercicios 8. INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 15. 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 In dice analtico 8.16 Algunos problemas fsicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden Ejercicios Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Existencia de soluciones de la ecuacin y" +by =O Reduccin de la ecuacin general al caso particular y" +by =O Teorema de unicidad para la ecuacin y" +by =O Solucin completa de la ecuacin y" +by =O Solucin completa de la ecuacin y" +ay' +by =O Ejercicios Ecuaciones lineales no homogneas de segundo orden con coeficientes constantes Mtodos particulares para la determinacin de una solucin particular de la ecuacin no homognea y"+ay' +by =R Ejercicios Ejemplos de problemas fsicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Ejercicios Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales Curvas integrales y campos direccionales Ejercicios Ecuaciones separables de primer orden Ejercicios Ecuaciones homogneas de primer orden Ejercicios Algunos problemas fsicos y geomtricos que conducen a ecuaciones de 'primer orden Ejercicios de repaso 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 8.28 9. NMEROS COMPLEJOS 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 Introduccin histrica Definiciones y propiedades Los nmeros complejos como una extensin de los nmeros reales La unidad imaginaria i Interpretacin geomtrica. Mdulo y argumento Ejercicios Exponenciales complejas Funciones complejas Ejemplos de frmulas de derivacin e integracin Ejercicios XVII 382 390 394 395 396 397 398 399 401 402 406 408 408 414 416 417 421 422 424 425 429 429 434 437 437 440 441 443 445 446 449 451 453 16. XVIII lndice analtico 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 *10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 * 10.21 10.22 10.23 10.24 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 10. SUCESIONES, SERIES, INrrEGRALES IMPROPIAS La paradoja de Zenn Sucesiones Sucesiones montonas de nmeros reales Ejercicios Series infinitas Propiedad de linealidad de las series convergentes Series telescpicas Serie geomtrica Ejercicios Ejercicios con expresiones decimales Criterios de convergencia Criterios de comparacin para series de trminos no negativos El criterio integral Ejercicios Criterios de la raz y del cociente para series de trminos no negativos Ejercicios Series alternadas Convergencia condicional y absoluta Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel Ejercicios Reordenacin de series Ejercicios varios de repaso Integrales impropias Ejercicios 11. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES Convergencia puntual de sucesiones de funciones Convergencia uniforme de sucesiones de funciones Convergencia uniforme y continuidad Convergencia uniforme e integracin Una condicin suficiente para la convergencia uniforme Series de potencias. Crculo de convergencia Ejercicios Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias Serie de Taylor generada por una funcin Condicin suficiente para la convergencia de una serie de Taylor 457 462 465 467 469 471 472 474 477 479 480 482 484 486 487 490 492 496 496 499 501 506 508 513 517 519 520 521 522 524 526 528 532 532 17. 11.11 *11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12 12.13 12.14 12.15 12.16 12.17 ndice analtico Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonomtricas Teorema de Bernstein Ejercicios Series de potencias y ecuaciones diferenciales La serie binmica Ejercicios 12. LGEBRA VECTORIAL Introduccin histrica El espacio vectorial de las n-plas de nmeros reales Interpretacin geomtrica para n ::;3 Ejercicios Producto escalar Longitud o norma de un vector Ortogonalidad de vectores Ejercicios Proyecciones. ngulo de dos vectores en el espacio de n dimensiones Los vectores coordenados unitarios Ejercicios Envolvente lineal de un conjunto finito de vecotres Independencia lineal Bases Ejercicios El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de nmeros complejos Ejercicios 13. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECrrORIAL A LA GEOMETRA ANALTICA 13.1 Introduccin 13.2 Rectas en el espacio n-dimensional 13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas 13.4 Rectas y funciones vectoriales 13.5 Ejercicios 13.6 Planos en el espacio eucldeo n-dimensional 13.7 Planos y funciones vectoriales 13.8 Ejercicios 13.9 Producto vectorial XIX 533 535 536 538 541 542 545 546 549 551 552 554 557 558 559 561 563 565 567 570 571 573 575 577 578 579 581 584 585 589 590 591 18. xx 13.10 13.11 13.12 13.13 13.14 13.15 13.16 13.17 13.18 13.19 13.20 13.21 13.22 13.23 13.24 13.25 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14 14.15 14.16 14.17 14.18 14.19 lndice analtico El producto vectorial expresado en forma de determinante Ejercicios Producto mixto Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales Ejercicios Vectores normales a planos Ecuaciones lineales cartesianas para planos Ejercicios Las secciones cnicas Excentricidad de las secciones cnicas Ecuaciones polares de las cnicas Ejercicios Cnicas simtricas respecto al origen Ecuaciones cartesianas de las cnicas Ejercicios Ejercicios varios sobre cnicas 14. CLCULO CON FUNCIONES VECTORIALES Funciones vectoriales de una variable real Operaciones algebraicas. Componentes Lmites, derivadas e integrales Ejercicios Aplicaciones a las curvas. Tangencia Aplicaciones al movimiento curvilneo. Vector velocidad, velocidad y aceleracin Ejercicios Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva Ejercicios Definicin de longitud de un arco Aditividad de la longitud de arco Funcin longitud de arco Ejercicios Curvatura de una curva Ejercicios Los vectores velocidad y aceleracin en coordenadas polares Movimiento plano con aceleracin radial Coordenadas cilndricas Eiercicios 595 597 598 601 602 604 606 607 609 612 614 615 616 618 621 623 627 627 628 632 633 637 641 643 646 648 651 652 655 657 659 660 663 664 665 19. 14.20 14.21 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 15.13 15.14 15.15 15.16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 16.11 16.12 16.13 16.14 16.15 16.16 In dice analtico Aplicaciones al movimiento planetario Ejercicios de repaso 15. ESPACIOS LINEALES Introduccin Definicin de espacio lineal Ejemplos de espacios lineales Consecuencias elementales de los axiomas Ejercicios Subespacios de un espacio lineal Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal Bases y dimensin Ejercicios Productos interiores, espacios eucldeos. Normas Ortogonalidad en un espacio eucldeo Ejercicios Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt Complementos ortogonales. Proyecciones Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por elementos de un subespacio de dimensin finita Ejercicios 16. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES Transformaciones lineales Ncleo y recorrido Dimensin del ncleo y rango de la transformacin Ejercicios Operaciones algebraicas con transformaciones lineales Inversas Transformaciones lineales uno a uno Ejercicios Transformaciones lineales con valores asignados Representacin matricial de las transformaciones lineales Construccin de una representacin matricial en forma diagonal Ejercicios Espacios lineales de matrices Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices Multiplicacin de matrices Ejercicios XXI 667 671 675 675 677 679 680 681 683 685 686 687 691 694 696 701 704 706 709 711 712 714 716 718 721 723 725 726 730 732 733 735 736 740 20. XXII lndice analtico 16.17 Sistemas de ecuaciones lineales 16.18 Tcnicas de clculo 16.19 Inversas de matrices cuadradas 16.20 Ejercicios 16.21 Ejercicios varios sobre matrices Soluciones a los ejercicios ndice alfabtico 742 745 750 752 754 757 805 21. Calculus 22. INTRODUCCIN Parte l. - Introduccin histrica 1 1.1 Los dos conceptos bsicos del Clculo El considerable progreso habido en la ciencia y en la tcnica durante los ltimos cien aos procede en gran parte del desarrollo de las Matemticas. La rama de la Matemtica conocida por Clculo integral y diferencial es un instrumento natural y poderoso para atacar mltiples problemas que surgen en Fsica, Astronoma, Ingeniera, Qumica, Geologa, Biologa, y en otros campos, incluyendo recientemente algunos de Ciencias sociales. Para dar una idea al lector de los muy diversos tipos de problemas que pueden tratarse por los mtodos de Clculo se expone a continuacin una pequea muestra de cuestiones seleccionadas entre los ejercicios que aparecen en captulos posteriores de este libro. Con qu velocidad debera ser impulsado un cohete para que nunca volviera a la Tierra? Cul es el radio del menor disco circular que cubra a todo tringulo issceles de permetro L? Cul es el volumen de material extrado de una esfera de radio 2r al atravesarla por un orificio cilndrico de radio r cuyo eje pase por el centro de la esfera? Si un cultivo de bacterias crece en razn directa a la cantidad que hay en cada instante, y la poblacin se duplica en una hora, en cunto se habr incrementado al cabo de dos horas? Si una fuerza de diez libras estira una cuerda elstica una pulgada, qu trabajo se necesita para estirarla un pie? Estos ejemplos, elegidos en distintos campos, ilustran algunas de las cuestiones tcnicas que pueden ser resueltas como aplicaciones ms o menos ruti- narias del Clculo. El Clculo no slo es un instrumento tcnico, sino que contiene una coleccin de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante centurias. Estas ideas estn relacionadas con velocidad, rea, volumen, razn de crecimiento, tangente a una lnea, y con otros conceptos referentes a otros dominios. El Clculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acerca del significado de estos conceptos. Otro carcter notable del Clculo es su poder 23. 2 Introduccin unificador. Muchos de estos problemas pueden ser formulados de manera que se reduzcan a otros problemas de naturaleza puramente geomtrica. A continuacin se procede a una breve descripcin de tales problemas. Considrese una curva C situada encima de una lnea horizontal base, como se indica en la figura 1.1. Se supone que esta curva tiene la propiedad de ser cortada por cada vertical, en un punto a lo ms. La parte sombreada de la figura est formada por aquellos puntos situados por debajo de la curva C, encima de la horizontal, y entre dos segmentos verticales paralelos que unen C con la base. El primer problema fundamental del Clculo es el siguiente: Determinar un nmero que mida el rea de esta regin sombreada. Considrese despus una recta que sea tangente a la curva, tal como se ve en la figura 1.1. El segundo problema fundamental puede formularse de la siguiente manera: Determinar un nmero que mida la pendiente de esta recta. FIGURA I.1 Fundamentalmente, el Clculo se ocupa en la formulacin precisa y la resolucin de estos dos problemas considerados. En el Clculo se definen los conceptos de rea y tangente y se calculan el rea de una regin dada y la pendiente de la tangente a una curva dada. El Clculo integral se ocupa del problema del rea y ser discutido en este captulo 1. El Clculo diferencial se ocupa del problema de la tangente y ser introducido en el captulo 4. El estudio del Clculo exige una cierta preparacin matemtica. El presente captulo trata de estos conceptos bsicos y est dividido en cuatro partes: La l ." parte da una perspectiva histrica; la 2.a se refiere a la notacin y terminologa en la matemtica de conjuntos; la 3.a trata del sistema de nmeros reales; la 4.a ofrece la induccin matemtica y la notacin sumatoria. Si el lector est infor- mado de estos temas, puede abordar directamente el desarrollo del Clculo integral en el captulo 1. Si no, deber familiarizarse con las materias contenidas en esta introduccin antes de iniciar el captulo 1. 24. 1ntroduccin histrica 3 I 1.2 Introduccin histrica El origen del Clculo integral se remonta a ms de 2000 aos, cuando los griegos intentaban resolver el problema del rea ideando el procedimiento que llamaron mtodo de exhaucin. Las ideas esenciales de este mtodo son real- mente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada una regin cuya rea quiere determinarse, se inscribe en ella una regin poligonal que se aproxime a la dada y cuya rea sea de fcil clculo. Luego se elige otra regin poligonal que d una aproximacin mejor y se contina el proceso tomando polgonos con mayor nmero de lados cada vez, tendiendo a llenar la regin dada. La figura 1.2 es una ilustracin del mtodo en el caso de una regin semicircular. Este mtodo fue usado satisfactoriamente por Arqumedes (287- 212 A.C.) para hallar frmulas exactas de las reas del crculo y de algunas otras figuras especiales. Desde Arqumedes, el desarrollo del mtodo de exhaucin tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de smbolos y tcnicas algebraicas se hizo pre- ciso en los estudios matemticos. El lgebra elemental que hoy da es familiar a la mayora de los alumnos de los ltimos cursos de enseanza secundaria, era totalmente desconocida en tiempos de Arqumedes, lo que haca imposible exten- der el mtodo a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada de poder expresar los largos clculos en forma simplificada. FIGURA 1.2 El mtodo de exhaucin aplicado a una regin semicircular. Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemticas, empez en el siglo XVI D.C. El engorroso sistema de numeracin romano fue desplazado gradualmente por los caracteres arbigos utilizados hoy da; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y se empezaron a reconocer las ventajas de la notacin decimal. Durante este mismo perodo, los brillantes resultados de los matemticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrari que dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cbica y curtica, estimul el desarrollo de la Matemtica y anim a la aceptacin del lenguaje algebraico nuevo y superior. Con la introduccin muy extendida de los bien elegidos smbolos algebraicos, revivi el inters por el antiguo mtodo de exhaucin y en el siglo XVI descubrieron mltiples resultados parciales, los que como Cava- lieri, Toricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros. 25. 4 Introduccin Gradualmente, el mtodo de exhaucin fue transformndose en lo que hoy se conoce como Clculo integral, nueva y potente disciplina que tiene numero- ssimas aplicaciones no slo en problemas relativos a reas y volmenes, sino tambin en problemas de otras ciencias. Este mtodo, que mantiene alguno de los caracteres originales del mtodo de exhaucin, recibi su mayor impulso en el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), y su desarrollo continu durante el siglo XIX, hasta que Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron una base matemtica firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teora han llegado hasta la Matemtica contempornea. 1 1.3 El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola Antes de proceder al estudio sistemtico del Clculo integral, ser instructivo aplicar el mtodo de exhaucin directamente a una de las figuras particulares tratadas por el mismo Arqumedes. La regin en cuestin est presentada en la figura 1.3 y puede describirse como sigue: Si se elige un punto arbitrario de la base de la figura y se designa por x su distancia a 0, la distancia vertical de este punto a la curva es x', En particular, si la longitud de la base es b la altura de la figura es b2 La distancia vertical de x a la curva se denomina orde- nada de x. La curva as descrita se denomina parbola y la regin limitada por ella y por los dos segmentos rectilneos, se llama segmento parablico. r----------------- o x Aproximacin por defecto FIGURA 1.3 Segmento parablico FIGURA 1.4 Aproximacin por exceso 26. El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola 5. Esta figura puede encerrarse en un rectngulo de base b y altura b", como se ve en la figura 1.3. Observando la figura parece natural afirmar que el rea del segmento parablico es menor que la mitad del rea del rectngulo. Arqu- medes hizo el sorprendente descubrimiento de que el rea del segmento parablico es exactamente un tercio de la del rectngulo; es decir, A =b3 /3, donde A designa el rea del segmento parablico. Se ver a continuacin cmo se llega a este resultado. Se hace notr que el segmento parablico dibujado en la figura 1.3 no est elegido exactamente tal como lo dibuj Arqumedes y que los detalles que b" rea del rectngulo = -. k2 n kb ... b = nb n n o b 2b n n FIGURA 1.5 Clculo del rea de un segmento parablico. siguen no son exactamente los utilizados por l. Sin embargo, las ideas esenciales son las de Arqumedes; lo que aqu se expone puede considerarse como el m- todo de exhaucin expuesto con la notacin moderna. El mtodo consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en un cierto nmero de bandas y se obtienen dos aproximaciones de la regin, una por defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos de rectngulos como se indica en la figura 1.4. (Se utilizan rectngulos mejor que polgonos arbitrarios para simplificar los clculos.) El rea del segmento parablico es mayor que el rea total de los rectngulos interiores pero menor que la de los rectngulos exteriores. Si cada banda se subdivide a su vez, se obtiene una nueva aproximacin con mayor nmero de bandas, la reunin de las reas de los rectngulos inte- 27. 6 Introduccin riores crece, mientras que el total de las reas de los rectngulos exteriores decrece. Arqumedes vio que se poda lograr el rea con el grado de aproximacin deseado sin ms que tomar un nmero suficiente de bandas. El clculo efectivo en este caso se realiza como se indica a continuacin. Con objeto de simplificar se subdivide la base en n partes iguales, cada una de longitud bf n (vase fig. 1.5). Los puntos de subdivisin corresponden a los siguientes valores de x: o, ~ , 2b , 3b , ... , (n - l)b , nb = b . n n n n n La expresin general de un punto de la subdivisin es x =kb In, donde k toma los valores sucesivos k = O, 1, 2, 3, .. , n, En cada punto kb I n se construye el rectngulo exterior de altura (kbln)2 como se indica en la figura 1.5. El rea de este rectngulo es el producto de la base por la altura y es igual a: Si se designa por S; la suma de las reas de todos los rectngulos exteriores, puesto que el rea del rectngulo k-simo es (b 3 In3 )k2 se tiene la frmula: (1.1 ) De forma anloga se obtiene la frmula para la suma s de todos los rectngulos interiores: (1.2) La forma de estas sumas es de gran importancia para su clculo. Ntese que el factor que multiplica a b" In3 en la ecuacin (1.1) es la suma de los cua- drados de los n primeros nmeros naturales: 12 + 22 + ... + n2 (El factor correspondiente en la ecuacin (1.2) es anlogo salvo que la suma tiene nicamente n - 1 sumandos.) Para valores grandes de n la obtencin de esta suma por adicin directa de sus sumandos es pesada, pero afortunada- 28. El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola 7 mente existe una interesante identidad que hace posible obtener esta suma por un camino ms simple, y es la siguiente: (1.3) 3 2 12 22 2 n n n + +"'+n =-+-+-.3 2 6 Esta identidad es vlida para todo entero n 2: 1 Y puede demostrarse del siguiente modo: Se parte de la frmula (k+ l)3=k8 +3F+3k+ 1 Y se pone en la forma 3k2 + 3k + 1 = (k + 1)3 - k3 . Haciendo k = 1, 2, ... , n - 1, obtenemos las n - 1 frmulas 3 . 12 + 3 . 1 + 1 = 23 - 13 3 . 22 + 3 . 2 + 1 = 33 - 23 3(n - 1)2 + 3(n - 1) + 1 = n3 - (n - 1)3. Al sumar estas frmulas, todos los trminos del segundo miembro se reducen excepto dos y se obtiene 3[P + 22 + ... + (n - 1)2] + 3[1 + 2+ ... + (n - 1)] + (n - 1) = n3 - P. La segunda suma del primer miembro es la suma de los trminos de una pro- gresin aritmtica cuyo valor es t n(n - 1). Por tanto la ltima igualdad nos da (lA) 3 2 12 + 22 + ... + (n - 1)2 = !!..- _ !!..- + !:!. . 3 2 6 Sumando n' a los dos miembros, obtenemos (1.3). Las expresiones exactas dadas en los segundos miembros de (1.3) y (1.4) no son necesarias para el objeto que aqu se persigue, pero sirven para deducir fcilmente las dos desigualdades que interesan (I.5) n3 12 + 22 + ... + (n - 1)2 < - < 12 + 22 + ... + n2 3 que son vlidas para todo entero n 2: 1. Estas desigualdades pueden deducirse fcilmente como consecuencias de (1.3) Y (I.4), o directamente por induccin. (Vase la Seccin 1 4.1.) 29. 8 Introduccin Multiplicando ambas desigualdades en (1.5) por ba/na y haciendo uso de (1.1) Y (1.2) se tiene: (1.6) para cada n, y observndose que se presenta por primera vez el nmero b" /3. Las desigualdades en (1.6) expresan que para cada n el nmero ba /3 est comprendido entre s.; y S Pero ahora es fcil probar que b' /3 es el nico nmero que goza de esta propiedad; es decir, que si A es un nmero que verifica las desigualdades (1.7) para cada entero positivo n, ha de ser necesariamente A =ba!3. Por esta razn dedujo Arqumedes que el rea del segmento parablico es ba!3. Para probar que A =ba!3 se utilizan una vez ms las desigualdades (1.5). Sumando n2 a los dos miembros de la desigualdad de la izquierda en (1.5) se obtiene: Multiplicando por ba! na y utilizando (1.1) se tiene (1.8) Anlogamente, restando n2 de los dos miembros de la desigualdad de la derecha en (1.5) y multiplicando por b"/na se llega a la desigualdad: (1.9) Por tanto, cada nmero A que satisfaga (1.7) ha de satisfacer tambin: (LlO) para cada entero n ;:: 1. Ahora bien, hay slo tres posibilidades: A < b 3 3 ' 30. Ejercicios 9 Si se prueba que las dos primeras conducen a una contradiccin habr de ser A =b"j 3, ya que, al estilo de Sherlock Holmes, se agotan as todos las posibilidades. Supngase que la desigualdad A > b"j 3 fuera cierta. De la segunda desigualdad en (1.10) se obtiene: (I.11) b3 b3 A-- O} = {y I y > O} = {t I t > O} etctera. Puede ocurrir que un conjunto no contenga elementos. Un tal conjunto se llama conjunto vaco, y se representa mediante el smbolo 0. Consideremos el 0 como subconjunto de cualquier conjunto. Hay quien imagina un conjunto como un recipiente (tal como una bolsa o una caja) que contiene ciertos objetos, sus elementos. Entonces, el conjunto vaco sera un recipiente vaco. Para evitar dificultades y confusiones, debemos distinguir entre el elemento x y el conjunto {x} cuyo nico elemento es x. (Una caja con un sombrero dentro, es conceptualmente distinto del sombrero considerado solo.) En particular el conjunto vaco 0 no es lo mismo que el conjunto { 0 }. En realidad el conjunto vaco o no contiene elementos, mientras que el conjunto {0} contiene un elemen- to, 0 (Una bolsa que contiene una bolsa vaca no est vaca.) Los conjuntos que contienen un solo elemento se llaman conjuntos de un elemento. Con frecuencia nos ayudamos de diagramas para hacer intuitivas las relaciones entre conjuntos. Por ejemplo, podemos pensar que el conjunto universal S es una regin en el plano, y cada uno de sus elementos un punto Los subconjuntos de S pueden imaginarse como colecciones de puntos interiores a S. Por ejemplo, en la figura 1.6(b) la porcin sombreada es un subconjunto de A y tambin de B. Las ayudas grficas de este tipo se llaman diagramas de Venn y se utilizan para comprobar la validez de ciertos teoremas de la Teora de conjuntos o para sugerir mtodos de demostracin de los mismos. Naturalmente, tales demostraciones se basan en las definiciones y conceptos y su validez depender de un razonamiento correcto y no precisamente de los diagramas. 38. Reuniones, intersecciones, complementos 1 2.4 Reuniones, intersecciones, complementos 17 A partir de dos conjuntos dados A y B, siempre podemos formar un nuevo conjunto llamado reunin de A y B. Este nuevo conjunto se representa con el smbolo Ca) A u B A U B (se lee A reunin B) o A n B Ce) A n B = 0 FIGURA 1.6 Reuniones e intersecciones. y se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Es decir, A U B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos A, B. En la figura I.6(a) la parte sombreada representa A U B. Anlogamente, la interseccin de A y B que se representa con el smbolo A n B (se lee: A interseccin B) se define como el conjunto de los elementos comunes a A y a B. En la figura I.6(b) se representa la interseccin de A y B. En la figura I.6(c) se ve que la interseccin de A y B es el conjunto 0, puesto que A y B no tienen elementos comunes. Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si A n B= 0. Dados dos conjuntos A y B, se define la diferencia A - B (que tambin se llama complemento de B relativo a A) como el conjunto de los elementos de A que no pertenecen a B. As pues, segn la definicin A - B = {x Ix E A Y x rF B} . En la figura I.6(b) la porcin no sombreada de A representa A - B; la no sombreada de B representa B - A. Las operaciones de reunin e interseccin poseen muchas analogas formales con la adicin y multiplicacin ordinarias de nmeros reales. Por ejemplo, puesto 39. 18 Introduccin que no existe cuestin de orden en las definiciones de reunin e interseccin, se deduce que A U B=B U A Y que A n B=B nA. Es decir, la reunin y la interseccin son operaciones conmutativas. Asimismo dichas definiciones estn dadas de tal modo que las operaciones son asociativas: (A U B) U C = A U (B U C) y (A n B) n C = A n (B n C) . Estos y otros teoremas relativos al lgebra de conjuntos se citan como Ejercicios en la Seccin 12.5. Uno de los mejores mtodos para que el lector se familiarice con la terminologa y las notaciones antes introducidas es deducir las demostraciones de cada una de estas leyes formales. Una muestra del tipo de razonamiento que se necesita aparece inmediatamente despus de los Ejercicios. Las operaciones de reunin e interseccin pueden extenderse a colecciones finitas o infinitas de conjuntos, de la manera siguiente: Sea .'!F una clase (t) no vaca de conjuntos. La reunin de todos los conjuntos de .'!F se define como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen por 10 menos a uno de los conjuntos de .'!F, y se representa con el smbolo UA.AeF Si ff es una coleccin finita de conjuntos, sea por ejemplo ff ={Al> A2, , An}, escribimos n U A = U Ak = Al U A2 U ... U An AeF k~l Anlogamente, la interseccin de todos los conjuntos de .'!F se define como el conjunto de aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos de.'!F; se representa con el smbolo Al igual que antes, para colecciones finitas de conjuntos escribimos: n n A = nAk = Al n A2 n ... nA. A~ ~ n (t) Para simplificar el lenguaje llamamos clase a una coleccin de conjuntos. Para representar clases empleamos letras maysculas cursivas. La terminologa y la notacin usuales de la Teora de conjuntos se aplica, naturalmente, a las clases. As, por ejemplo, A E ~ significa que A es uno de los conjuntos de la clase~, y d S; [!J significa que todo conjunto de d pertenece a ~, y as sucesivamente. 40. Ejercicios 19 La reunin y la interseccin se han definido de manera que las leyes asociativas se satisfacen inmediatamente. En consecuencia no existir ambigedad cuando escribimos Al u A2 U ... U An o Al n A2 n ... n An . 1 2.5 Ejercicios l. Utilizar la notacin en lista para representar los siguientes conjuntos de nmeros reales. A = {x I x2 - 1 = O} . B = {x I(x - 1)2 = O} . e = {x Ix + 8 = 9} . D = {x Ix3 - 2x2 + x = 2} . E = {x I(x + 8)2 = 92}. F = {x I(x2 + 16x)2 = 172} 2. Para los conjuntos del Ejercicio 1, obsrvese que B S; A. Citar todas las relaciones de inclusin S; que son vlidas entre los conjuntos A, B, e, D, E, F. 3. Sean A = {I }, B = {1, 2}. Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son ciertas y explicar por qu las otras son falsas). (a) A e B. (b) A S; B. (e) A E B. (d) 1 EA. (e) ISA. (f) 1 e B. 4. Resolver el Ejercicio 3 si A = {1} YB = {{1}, 1}. 5. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Expresar todos los subconjuntos de S. Hay en total 16, si contamos 0 y S. 6. Dados los cuatro conjuntos siguientes A = {I, 2}, B = {{l}, {2}}, e = {{l}, {l, 2}}, D = {{l}, {2}, {l, 2}}, discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son certas y explicar por qu las otras no lo son). (a) A = B. (b) A e; B. (e) A e C. (d) A E C. (e) A e D. (f) B e C. (g) BcD. (h) BE D. (i) A E D. 7. Demostrar las propiedades siguientes de la igualdad de conjuntos. (a) {a, a} = {a}. (b) {a, b} = {b, a}. (e) {a} = {b, e} si y slo si a = b = c. Demostrar el conjunto de relaciones de los Ejercicios 8 al 19. (Al final de esta Seccin se dan ejemplos de estas demostracnes). 8. Leyes conmutativas; A v B = B v A, A n B = B n A. 41. 20 Introduccin 9. Leyes asociativas: A U (B U C) = (A U B) U C, A r, (B r. C) = (A rv B) n C. 10. Leyes distributivas: A n(B U C) = (A nB) U (A n C), A U (B n C) = (A U B) n (A U C). 11. A uA =A, A nA =A, 12. A S A u B, A n B S A. 13. A U 0 = A, A n 0 = 0. 14. A U (A n B) = A, A n (A U B) = A. 15. Si A S C y B S C, entonces A U B S C. 16. Si C S A Y C S B, entonces C S A n B. 17. (a) SiA e B y Be C,probar que A e C. (b) SiA S B Y B S C,probar que A S C. (e) Qu puede afirmarse si A e B y B S C? (d) Si x E A Y A S; B, es cierto necesariamente que x E B? (e) Si x E A Y A E B, es cierto necesariamente que x E B? 18. A - (B n C) = (A - B) u (A - C). 19. Sea ~ una clase de conjuntos. Entonces B - U A = n(B - A) AE.'F AE.'F y B - nA = U (B - A). AE.'F AE.F 20. (a) Demostrar que una de las dos frmulas siguientes es siempre correcta y la otra algunas veces es falsa: (i) A - (B - C) = (A - B) U C, (ii) A - (B u C) = (A - B) - C. (b) Establecer una condicin necesaria y suficiente adicional para que la frmula que sea incorrecta sea siempre vlida. Demostracin de la ley conmutativa A U B=B U A. Sean X=A U B, Y=B U A. Para demostrar que X =Y se demuestra que X S; Y e Y S X. Su- pngase que x E X. Entonces x est por lo menos en A o en B. Luego, x est por lo menos en B o en A; de modo que x E Y. As, pues, todo elemento de X est tambin en Y, con lo que X S; Y. Anlogamente, encontramos que Y S X, de modo que X =Y. Demostracin de A n B s; A. Si x E A n B, x est simultneamente en A y en B. En particular, x E A. As, pues, todo elemento de A n B est tambin en A; por lo tanto, A n B S; A. 42. Introduccin 21 Parte 11I.- Un conjunto de axiomas para el sistema de nmeros reales I 3.1 Introduccin Hay muchos mtodos para introducir el sistema de los nmeros reales. Un mtodo corriente es el de empezar con los enteros positivos 1,2,3, ... y utilizarlos como base para construir un sistema ms amplio que tenga las propiedades deseadas. Brevemente, la idea de este mtodo es tomar los enteros positivos como base para formar un sistema ms amplio, que es el de los nmeros racionales positivos (cocientes de enteros positivos). Los nmeros racionales positivos se utilizan a su vez como base para construir los irracionales positivos (nmeros reales como V2 y 7T que no son racionales). El paso final es la introduccin de los nmeros reales negativos y el cero. La parte ms difcil del proceso total es el paso de los nmeros racionales a los nmeros irracionales. Aunque la necesidad del nmero irracional se haba presentado ya a los matemticos de la antigua Grecia en sus estudios geomtricos, no se introdujeron mtodos satisfactorios de construccin de los nmeros reales a partir de los racionales hasta entrado el siglo XIX. En esta poca se perfilaron tres teoras distintas por Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918) y Richard Dede- kind (1831-1916). En 1889, el matemtico italiano Giuseppe Peana (1858-1932) dio cinco axiomas para los enteros positivos que se utilizaron como punto de partida para la construccin total. Una exposicin detallada de esta construccin empezando por los axiomas de Peana y utilizando el mtodo de Dedekind para introducir el nmero irracional, se encuentra en el libro de E. Landau, Funda- mentos del Anlisis (Nueva York, Chelsea Publishing Co., 1951). El punto de vista adoptado aqu no es constructivo. Se inicia el proceso en un punto bastante avanzado, considerando los nmeros reales como conceptos primitivos que satisfacen a un cierto nmero de propiedades que se toman como axiomas; es decir, se supone que existen ciertos objetos, llamados nmeros reales, que satisfacen los 10 axiomas enunciados en las cinco Secciones que siguen. Todas las propiedades de los nmeros reales que se utilizarn en este libro, o estn entre los axiomas o se pueden deducir de ellos. Cuando los nmeros reales se definen mediante un proceso constructivo, las propiedades que se toman como axiomas tendrn que demostrarse como teoremas. Mientras no se diga 10 contrario, las letras a, b, e, ... x, y, z que aparecen en los axiomas representan nmeros reales cualesquiera. Los axiomas se agrupan en forma natural en tres grupos, que son, axiomas de cuerpo, axiomas de orden y axioma del extremo superior (llamado tambin axioma de continuidad o axioma de completitud). 43. 22 1ntroduccin 1 3.2 Axiomas de cuerpo Junto con el conjunto de los nmeros reales se supone la existencia de dos operaciones llamadas adicin y multiplicacin, tales que para cada par de nmeros reales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro nmero real designado por x+y y el producto de x por y designado por xy o X' y. La suma x+y y el producto xy estn unvocamente determinados por x e y. A los signos + y . no se les asigna otro significado especial que el precisado en los axiomas. AXIOMA 1. PROPIEDAD CONMUTATIVA. x+y=y+x, xy=yx. AXIOMA 2. PROPIEDAD ASOCIATIVA. x+(y+z)=(x+y)+z, x(yz)= (xy)z. AXIOMA 3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. x(y+z)=xy+xz. AXIOMA 4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos nmeros reales distintos, que se indican por O y 1 tales que para cada nmero real x se tiene: O+x=x+O=x y I.: X=X' 1=x. AXIOMA 5. EXISTENCIA DE NEGATIVOS. Para cada nmero real x existe un nmero real y tal que x+y=y+x=O. AXIOMA 6. EXISTENCIA DEL RECPROCO. Para cada nmero real x =1= O existe un nmero real y tal que xy =yx = 1. Nota: Los nmeros O y 1 de los axiomas 5 y 6 son los mismos que los del axioma 4. De los axiomas anteriores se puede deducir todas las leyes usuales del lgebra elemental. Las ms importantes de ellas se recogen a continuacin como teoremas. En todos estos teoremas las letras a, b, e, d, representan nmeros reales cualesquiera. TEOREMA 1.1. LEY DE SIMPLIFICACIN PARA LA SUMA. Si a+b=a+c, entonces b =c. (En particular esto prueba que el nmero O del axioma 4 es nico.) TEOREMA 1.2. POSIBILIDAD DE LA SUSTRACCIN. Dados a y b existe uno y slo un x tal que a+x =b. Este x se designa por b - a. En particular O- a se escribe simplemente -a y se denomina el negativo de a. TEOREMA 1.3. b - a = b + (-a). TEOREMA lA. -(-a) = a. TEOREMA 1.5. a(b - e) = ab - ac. TEOREMA 1.6. O a = a' 0= O. 44. Axiomas de cuerpo 23 TEOREMA 1.7. LEY DE SIMPLIFICACIN PARA LA MULTIPLICACIN. Si ab =ac y a # O, entonces b =c. (En particular esto demuestra que el nmero 1 del axioma 4 es nico.) TEOREMA 1.8. POSIBILIDAD DE LA DIVISIN. Dados a y b con a =1= O, existe uno y slo un x tal que ax =b. La x se designa por b/ a o ~ y se denomina cociente a de b y a. En particular 1/a se escribe tambin a:' y se designa recproco de a. TEOREMA 1.9. Si a ~ O, entonces b]a = b . a-l. TEOREMA 1.10. Si a ~ O,entonces (a-1)-1 = a. TEOREMA 1.11. Si ab=O entonces o a=O o b=O. TEOREMA I.12. (-a)b = -(ab) y (-a)( -b) = ab. TEOREMA I.13. (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd) si b; O Y d; O. TEOREMA I.14. (a/b)(c/d) = (ac)/(bd) si b; O Y d ~ O. TEOREMA I.15. (ajb)j(c/d) = (ad)j(bc) si b ~ O, e ~ O, Y d ~ O. Para poner de manifiesto cmo estos teoremas pueden obtenerse como consecuencia de los axiomas, se dan las demostraciones de 1.1 hasta 1.4, Y sera instructivo para el lector tratar de demostrar los restantes. Demostracin de 1.1. Dado a+b=a+c. En virtud del axioma 5, se puede elegir y de manera que y+a=O, con lo cual y+(a+b)=y+(a+c), y aplicando la propiedad asociativa (y+a)+b=(y+a)+c, o sea, O+b=O+c. Pero en virtud del axioma 4, se tiene O+b=b y O+c=c, o sea, b=c. Obsrvese que este teorema demuestra que existe un solo nmero real que tiene la propiedad del O en el axioma 4. En efecto, si O y O' tuvieran ambos esta propiedad, entonces, 0+0'=0 y 0+0=0; por tanto, 0+0'=0+0 y por la ley de simplificacin 0=0'. Demostracin de 1.2. Dados a y b se elige y de manera que a+y=O y sea x=y+b. Entonces, a+x=a+(y+b)=(a+y)+b=O+b=b. Por tanto, hay por lo menos una x tal que a +x =b. Pero en virtud del teorema 1.1, hay a lo sumo una. Luego hay una y slo una x en estas condiciones. Demostracin de 1.3. Sea x=b-a y sea y=b+( -a). Se trata de probar que x=y. Por definicin de b-a, x+a=b y y + a = [b + (-a)] + a = b + [(-a) + a] = b + O = b. 45. 24 Introduccin Por tanto, x+a=y+a, Y en virtud de 1.1, x=y. Demostracin de 1.4. Se tiene a+( -a)=O por definicin de -a. Pero esta igualdad dice que a es el opuesto de (-a), es decir, que a= -( -a) como se afirma en el teorema. 1 3.3 Ejercicios 1. Demostrar los teoremas del 1.5 al 1.15, utilizando los axiomas 1 al 6 y los teoremas 1.1 al 1.4. En los ejercicios del 2 al 10, demostrar las afirmaciones indicadas, o establecer las igual- dades dadas. Aplquense los axiomas 1 al 6 y los teoremas del 1.1 al 1.15. 2. -O = O. 3. 1-1 = 1. 4. El cero no tiene recproco. 5. - (a + b) = - a-b. 6. - (a - b) = - a + b, 7. (a - b) + (b - e) = a-e. 8. Si a ; O Y b ; O, entonces (ab)-l = a-1 s. 9. - (a/b) = ( - aib) = a/( - b) si b ; O. 10. (a/b) - (e/d) = (ad - be)/(bd) sib ; O Y d; O. 1 3.4 Axiomas de orden Este grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que se establece una ordenacin entre los nmeros reales. Segn esta ordenacin se puede decidir si un nmero real es mayor o menor que otro. Se introducen aqu las propiedades de orden, como un conjunto de axiomas referentes al nuevo concepto primitivo de positivo, para definir despus los conceptos de mayor que y menor que a partir del de positivo. Supondremos que existe un cierto subconjunto R+ e R, llamado conjunto de nmeros positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes: AXIOMA 7. Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre a x+y y xy. AXIOMA 8. Para todo real x # O, o X E R+ o -x E R+, pero no ambos. AXIOMA 9. O rf: R+. Ahora se pueden definir los smbolos , ~, y ~ llamados respectivamente menor que, mayor que, igual o menor que, e igual o mayor que, de la manera siguiente: xx significa que x O si y slo si x es POSItIVO. Si x < O se dice que x es negativo; si x 2 O se dice que x es no negativo. El par de desigualdades simultneas x < y, y < z se escriben frecuentemente en la forma ms breve x < < y < z; interpretaciones anlogas se dan a las desigualdades compuestas x :5 y < z, x < y :5 z, X :5 Y :5 z, De los axiomas de orden se pueden deducir todas las reglas usuales de clculo con' desigualdades, las ms importantes de las cuales se dan a continuacin como teoremas. TEOREMA 1.16. PROPIEDAD DE TRICOTOMA. Para a y b nmeros reales cualesquiera se verifica una y slo una de las tres relaciones a < b, b < a, a = b, TEOREMA 1.17. PROPIEDAD TRANSITIVA. Si a O es ac < be. TEOREMA 1.20. Si a =1= O es a2 > O. TEOREMA 1.21. 1 > O. TEOREMA 1.22. Si a be. TEOREMA 1.23. Si a < b, es -a > - b, En particular si a < O,es - a > O. TEOREMA 1.24. Si ab > O entonces a y b son o ambos positivos o ambos negativos. TEOREMA 1.25. Si a < e y b < d,entonees a + b < e + d. Tambin aqu se demostrarn slo algunos de estos teoremas, como ejemplo de cmo se procede en la demostracin. Los dems se dejan como ejercicio al lector. Demostracin de 1.16. Sea x = b - a. Si x = O, entonces b - a = a- b = O y, por tanto, en virtud del axioma 9 no puede ser ni a > b ni b > a. 47. 26 Introduccin Si x =1= O, el axioma 8 afirma que o x > O o x < O, pero no ambos; por consiguiente, o es a O y e - b > O. En virtud del axioma 7 se puede sumar obtenindose (b - a) + (c - b) > o. Es decir, e - a > O, y por tanto, a < c. Demostracin de 1.18. Sea x = a + e, y = b + c. Entonces y - x = b - a. Pero b - a> O, por tanto, a < b. De donde y - x > O, lo que significa x < y. Demostracin de 1.19. Si a O. Si c> O en virtud del axioma 7, se puede multiplicar e por (b - a) obtenindose (b - a) e > o. Pero (b - a)c = be - ac, por tanto, be - ac > O y esto significa be > ac como se quera demostrar. Demostracin de 1.20. Si a> O, en virtud del axioma 7 a- a > o. Si a < O, entonces - a > O y, por tanto, (- a) (- a) > O en virtud del axioma 7. En ambos casos se tiene a2 > O. Demostracin de 1.21. Aplicando el teorema 1.20 al caso a = 1. *1 3.5 Ejercicios 1. Demostrar los teoremas 1.22 al 1.25 utilizando los teoremas anteriores y los axiomas del 1 al 9. En los ejercicios del 2 al 10 demostrar las proposiciones y establecer las desigualdades dadas. Se pueden utilizar los axiomas del 1 al 9 y los teoremas del 1. 1 al 1.25. 2. No existe ningn nmero real tal que x2 + 1 = O. 3. La suma de dos nmeros negativos es un nmero negativo. 4. Si a > O; tambin l/a> O; si a < O, entonces l/a < O. 5. Si O < a < b, entonces, O < b-l < a-l. 6. Si a :$ b Y b -s e, es a :$ c. 7. Si a :$ b Y b s: c y a = c, entonces b = c. 8. Para nmeros reales a y b cualesquiera, se tiene a2 + b2 ~ O. Si ab ~ 0, entonces es a2 + b2 > O. 9. No existe ningn nmero real a tal que x :$ a para todo real x. 10. Si x tiene la propiedad que O :$ x < h para cada nmero real positivo h, entonces x = O. 1 3.6 Nmeros enteros y racionales Hay ciertos subconjuntos de R que se distinguen porque tienen propiedades especiales de que no gozan todos los nmeros reales. En esta Seccin se discutirn dos de estos subconjuntos, los nmeros enteros y los nmeros racionales. 48. N meros enteros y racionales 27 Para introducir los enteros POSItiVOSse empieza con el nmero 1, cuya existencia queda asegurada por el axioma 4. El nmero 1 + 1 se representa por 2, el 2 + 1 por 3, y as sucesivamente. Los nmeros 1, 2, 3, ... , obtenidos de este modo por la adicin repetida del 1 son todos positivos, y se llaman enteros positivos. En rigor, esta descripcin de los enteros positivos no es del todo precisa pues no hemos explicado con detalle lo que entendemos por y as sucesivamente o por adicin repetida del 1. Si bien la significacin intuitiva puede parecer clara, en un estudio cuidadoso del sistema de los nmeros reales es necesario dar una definicin ms precisa de los enteros positivos. Hay varios modos de hacerlo. Un mtodo consiste en introducir primero la nocin de conjunto inductivo. DEFINICIN DE CONJUNTO INDUCTIVO. Un conjunto de nmeros reales se denomina conjunto inductivo si tiene las propiedades siguientes: a) El nmero 1 pertenece al conjunto. b) Para todo x en el conjunto, el nmero x + 1 pertenece tambin al conjunto. Por ejemplo, R es un conjunto inductivo. Tambin lo es el conjunto R+. Definire- mos los enteros positivos como aquellos nmeros reales que pertenecen a todo conjunto inductivo. DEFINICIN DE ENTEROS POSITIVOS. Un nmero real se llama entero positivo si pertenece a todo conjunto inductivo. Sea P el conjunto de todos los enteros positivos. Es un conjunto inductivo ya que a) contiene el 1, y b) contiene a x + 1 siempre que contenga x. Puesto que los elementos de P pertenecen a todo conjunto inductivo, nos referiremos a P como el menor conjunto inductivo. Esta propiedad del conjunto P constituye la base lgica para un tipo de razonamiento que los matemticos denominan demostracin por induccin, que se expone con detalle en la parte 4 de esta Introduccin. Los opuestos de los enteros positivos se llaman enteros negativos. Los enteros positivos junto con los enteros negativos y el O (cero), constituyen un conjunto Z que se llama simplemente conjunto de los enteros. En un estudio completo del sistema de los nmeros reales, sera necesario al llegar aqu demostrar ciertos teoremas acerca de los enteros. Por ejemplo, la suma, la diferencia o el producto de dos enteros es un entero, pero el cociente de dos enteros no es necesariamente entero. Sin embargo, no entraremos en los detalles de tales demostraciones. Los cocientes de enteros a/b (siendo b =1=O) se llaman nmeros racionales. El conjunto de los nmeros racionales, representado por Q, contiene a Z como subconjunto. El lector debera comprobar que Q satisface todos los axiomas de cuerpo y de orden. Por esta razn se dice que el conjunto de los nmeros racio- 49. 28 Introduccin nales es un cuerpo ordenado. Los nmeros reales que no pertenecen a Q se llaman irracionales. I 3.7 Interpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntos de una recta Sin duda que el lector debe estar familiarizado con la representacin de los nmeros reales por medio de los puntos de una recta. Se elige un punto para representar el O y otro a la derecha del O para representar el 1, como se indica en la figura 1.7. Esta eleccin determina la escala. Si se adopta un conjunto de axiomas apropiados para la Geometra eucldea, cada nmero real corresponde a uno y slo un punto de la recta y, recprocamente, cada punto de la recta a un nmero real y slo uno. Por esta razn la recta se denomina frecuentemente recta real o eje real, y es costumbre utilizar las palabras nmero real y punto como sinnimos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vez del punto correspondiente al nmero real x. La relacin de orden entre los nmeros reales tiene una interpretacin geomtrica simple. Si x < y, el punto x est a la izquierda del punto y, como se ve en la figura 1.7. Los nmeros positivos estn a la derecha del O y los negativos a la izquierda del O. Si a < b, un punto x satisface las desigualdades a < x < b, si y slo si x est entre a y b, Esta posibilidad de representar geomtricamente los nmeros reales es un auxiliar poderoso, pues permite descubrir y comprender mejor ciertas propiedades de los nmeros reales. Aunque el lector debe observar que todas las propiedades de los 'nmeros reales que se han dado como teoremas deben deducirse de los axiomas sin ninguna referencia geomtrica, esto no prejuzga que no deba hacerse uso de la Geometra en el estudio de las propiedades de los nmeros reales. Por el contrario, la Geometra sugiere a menudo el mtodo de demostracin para un teorema particular, y algunas veces un argumento geomtrico es ms sugestivo que la demostracin puramente analtica (dependiente exclusivamente de los axiomas del nmero real). En este libro, se utiliza con frecuencia la intuicin geom- I I I I O I x y FIGURA 1.7 Nmeros reales representados geomtricamente en una lnea trica para aclarar determinadas cuestiones o para inducir a discusiones de otras. No obstante, las demostraciones de todos los teoremas importantes se presentan en forma analtica. I 3.8 Cota superior de un conjunto. elemento mximo, extremo superior Los nueve axiomas expuestos hasta ahora contienen todas las propiedades de los nmeros reales estudiados ordinariamente en lgebra elemental. Hay otro 50. Cota superior de un conjunto 29 axioma de importancia fundamental en el Clculo que de ordinario no se estudia en los cursos de Algebra elemental. Este axioma (u otro equivalente) es necesario para establecer la existencia del nmero irracional. En Algebra elemental se presentan nmeros irracionales cuando se trata de resolver ciertas ecuaciones cuadrticas. Por ejemplo, se desea tener un nmero real x tal que x2 = 2. A partir de los nueve axiomas anteriores no se puede probar que exista un x en el sistema de los nmeros reales que verifique tal ecuacin, ya que estos nueve axiomas son satisfechos tambin por los nmeros racionales y no hay ningn nmero racional cuyo cuadrado sea 2. (En el Ejercicio 11 de la Sec- cin 13.12 se esboza una demostracin de esta afirmacin.) El axioma 10 permite introducir nmeros irracionales en el sistema de los nmeros reales. Se ver tambin que atribuye al conjunto de los nmeros reales una propiedad de continuidad que es especialmente importante en el estudio del Clculo. Antes de exponer el axioma 10, conviene introducir alguna terminologa y notacin especiales. Sea S un conjunto no vaco de nmeros reales y supongamos que existe un nmero B tal que x~B para todo x de S. Entonces se dice que S est acotado superiormente por B. El n- mero B se denomina una cota superior para S. Decimos una cota superior debido a que todo nmero mayor que B tambin es una cota superior. Si una cota superior B pertenece tambin aS, entonces B se llama el elemento mximo de S. A lo sumo puede existir un B que sea elemento mximo. Si existe, se escribe B = maxS. As que, B = max S si B E S Y x ~ B para todo x de S. Un conjunto sin cota superior se dice que es no acotado superiormente. Los ejemplos que siguen ilustran el significado de estas denominaciones. EJEMPLO 1. Sea S el conjunto de todos los nmeros reales positivos. Es un conjunto no acotado superiormente. No tiene cotas superiores ni elemento mximo. EJEMPLO 2. Sea S el conjunto de todos los nmeros reales x tales que O .~ x ~ 1. Este conjunto est acotado superiormente por el 1. Su elemento mximo es el 1. EJEMPLO 3. Sea T el conjunto de todos los nmeros reales x tales que O ::::;;x < 1. Es parecido al conjunto del ejemplo 2 salvo que el punto 1 no est incluido. Este conjunto est acotado superiormente por el 1 pero no tiene elemen- to mximo. 51. 30 1ntroduccin Algunos conjuntos, parecidos al del ejemplo 3, estn acotados superiormente pero no tienen mximo. Para ellos existe un concepto que sustituye al del mximo. Este se llama extremo superior del conjunto y se define como sigue: DEFINICIN DE EXTREMO SUPERIOR. Un nmero B se denomina extremo superior de un conjunto no vaco S si B tiene las dos propiedades siguientes: a) B es una cota superior de S. b) Ningn nmero menor que B es cota superior para S. Si S tiene mximo, ste es tambin extremo superior de S. Pero si S no posee mximo, puede tener extremo superior. En el ejemplo 3 precedente, el nmero 1 es extremo superior para T si bien T no tiene mximo. (Ver figura 1.8.) cotas superiores de T / 1~/////////////// extremo superior de T O S / cotas superiores de S / .~1"" O T / mximo de S a) S tiene mximo: maxS=l b) T no tiene mximo, pero s extremo superior: sup T = 1 FIGURA 1.8 Cotas superiores, mximo y extremo superior. TEOREMA 1.26. Dos nmeros distintos no pueden ser extremos superiores para el mismo conjunto. Demostracin. Sean B y e dos extremos superiores para un conjunto S. La propiedad b) implica que e ~ B puesto que B es extremo superior; anlogamente, B e ya que e es extremo superior. Luego, tenemos B = C. Este teorema nos expresa que si existe extremo superior para un conjunto S, hay solamente unoy puede decirse el extremo superior. Con frecuencia se emplea el trmino supremo de un conjunto en vez de extremo superior utilizando la abreviatura sup, escribiendo entonces: B = sup S. 1 3.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud) Podemos ahora establecer el axioma del extremo superior para el sistema de nmeros reales. 52. Axioma del extremo superior 31 AXIOMA 10. Todo conjunto no vaco S de nmeros reales acotado superiormente posee extremo superior; esto es, existe un nmero real B tal que B = sup S. Insistamos una vez ms en que el extremo superior de S no pertenece necesariamente a S. En realidad sup S pertenece a S si y slo si S posee mximo, en cuyo caso max S = sup S. Las definiciones de cota inferior, acotado inferiormente, mnimo, se formulan en forma parecida. El lector debera hacerlo como ejercicio. Si S tiene mnimo, se expresa poniendo min S. Un nmero L se llama extremo inferior (o nfimo) de S si a) L es una cota inferior para S, y b) ningn nmero mayor que L es cota inferior para S. El extremo inferior de S, cuando existe, es nico y se designa por inf S. Si S posee mnimo, entonces min S = inf S. Con el axioma 10, se puede demostrar el siguiente TEOREMA 1.27. Todo conjunto no vaco S acotado inferiormente posee extremo inferior; esto es, existe un nmero real L tal que L = inf S. Demostracin. Sea - S el conjunto de los nmeros opuestos de los de S. Entonces -S es no vaco y acotado superiormente. El axioma 10 nos dice que existe un nmero B que es extremo superior de -S. Es fcil ver que - B = inf S. Consideremos una vez ms los ejemplos de la Seccin anterior. En el ejemplo 1, el conjunto de todos los nmeros reales positivos, tiene el O como extremo inferior. Ese conjunto no tiene mnimo. En los ejemplos 2 y 3, el O es el mnimo. En todos esos ejemplos resulta fcil decidir si el conjunto S es o no acotado superior o inferiormente, y tambin es fcil determinar los nmeros sup S e inf S. El ejemplo siguiente muestra que averiguar la existencia de las cotas superior o inferior puede resultar difcil. EJEMPLO 4. Sea S el conjunto de todos los nmeros de la forma (l + l/n)n, donde n = 1, 2, 3, .... Si, por ejemplo, hacemos n = 1,2, Y 3, encontramos que los nmeros 2,L y .~.~pertenecen a S. Todo nmero del conjunto es mayor que 1, con lo que el conjunto est acotado inferiormente y por tanto tiene un extremo inferior. Con un pequeo esfuerzo podemos probar que 2 es el menor elemento de S de modo que inf S = min S = 2. Tambin el conjunto S est acotado superiormente, aunque no es tan fcil demostrarlo. (Intntese!) Una vez sabido que S est acotado superiormente, el axioma 10 nos asegura la existencia del extremo superior de S. En este caso no resulta fcil determinar el valor del extremo superior de S a partir de la definicin de este conjunto. En un prximo captulo veremos que el sup S es un nmero irracional aproximadamente igual a 2,718. Es un n- mero importante en Clculo llamado nmero de Euler o nmero e. 53. 32 Introduccin 1 3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales Esta Seccin contiene algunas propiedades importantes del sistema de los nmeros reales que son consecuencia del axioma del extremo superior. TEOREMA 1.28. El conjunto P de los enteros positivos 1, 2, 3, ., . no est acotado superiormente. Demostracin. Supngase P acotado superiormente. Demostraremos que esto nos conduce a una contradiccin. Puesto que P no es vaco, el axioma 10 nos dice que P tiene extremo superior, sea ste b. El nmero b - 1, siendo menor que b, no puede ser cota superior de P. Luego, existe un mnimo entero positivo n tal que n > b - 1. Para este n tenemos n + 1 > b. Puesto que n + 1 pertenece a P, esto contradice el que 'b sea una cota superior para P. Como corolarios del teorema 1.28, se obtienen inmediatamente las consecuencias siguientes: TEOREMA 1.29. Para cada real x existe un entero positivo n tal que n > x. Demostracin, Si no fuera as, x sera una cota superior de P, en contradiccin con el teorema 1.28. TEOREMA 1.30. Si x > O e y es un nmero real arbitrario, existe un entero positivo n tal que nx > y. Demostracin. Aplicar el teorema 1.29 cambiando x por y]. La propiedad descrita en el teorema 1.30, se denomina frecuentemente propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales. Geomtricamente significa que cada segmento, tan largo como se quiera, puede ser recubierto por un nmero finito de segmentos de longitud positiva dada, tan pequea como se quiera. En otras palabras, una regla corta puede medir distancias tan largas como se quiera colocndola consecutivamente. Arqumedes, considerando sta como una propiedad fundamental de la lnea recta, la consider como uno de los axiomas de la Geometra. En los siglos XIX y XX se han construido geometras no arquimedianas en las que se prescinde de este axioma. A partir de la propiedad arquimediana, podemos demostrar el teorema siguiente que nos ser til en Clculo integral. TEOREMA 1.31. Si tres nmeros reales a, x, e y satisfacen las desigualdades (1.14) a ::;;x ::;;a + ~ para todo entero n ~ 1, entonces x = a. 54. Propiedades fundamentales del extremo superior 33 Demostracin. Si x > a, el teorema 1.30 nos dice que existe un entero positivo n que satisface n(x - a) > y, en contradiccin con (1.14). Luego no puede ser x > a, con lo que deber ser x = a. 1 3.11 Propiedades fundamentales del extremo superior En esta Seccin se consideran tres propiedades fundamentales de los extremos superior e inferior que se utilizarn en lo sucesivo. La primera de ellas establece que todo conjunto de nmeros con extremo superior contiene nmeros tan prximos como se quiera a dicho extremo; del mismo modo, un conjunto con extremo inferior contiene nmeros tan prximos a l como se quiera. TEOREMA 1.32. Sea h un nmero positivo dado y S un conjunto de nmeros reales. a) Si S tiene extremo superior, para un cierto x de S se tiene x> sup S - h. b) Si S tiene extremo inferior, para un cierto x de S se tiene x < inf S + h. Demostracin de a). Si es x ~ sup S - h para todo x de S, entonces sup S - h sera una cota superior de S menor que su extremo superior. Por consiguiente debe ser x > sup S - h por lo menos para un x de S. Esto demuestra a). La demostracin de b) es parecida. TEOREMA 1.33. PROPIEDAD ADITIVA. Dados dos subconjuntos no vacos A y B de R, sea e el conjunto e = {a + b Ia E A, b E B} . a) Si A y B poseen extremo superior, entonces e tiene extremo superior, y sup e = sup A + sup B . b) Si A Y B tienen extremo inferior, entonces e tiene extremo inferior, e inf e = inf A + inf B . Demostracin. Supongamos que A y B tengan extremo superior. Si e E e, entonces e = a + b, donde a E A Y b E B. Por consiguiente e ~ sup A + sup B; 55. 34 1ntroduccin de modo que sup A + sup B es una cota superior de C. Esto demuestra que e tiene extremo superior y que sup e ~ sup A + sup B . Sea ahora n un entero positivo cualquiera. Segn el teorema 1.32 (con h = 11n) existen un a en A y un b en B tales que 1 a> sup A - , 1 b > supB - ' Sumando estas desigualdades, se obtiene 2 a + b > sup A + sup B - , o 2 2 sup A + sup B < a + b + ~ sup e + ' puesto que a + b ~ sup C. Por consiguiente hemos demostrado que 2 sup e ~ sup A + sup B < sup e + para todo entero n ~ 1. En virtud del teorema 1.31, debe ser sup e = sup A + sup B. Esto demuestra a), y la demostracin de b) es parecida. TEOREMA 1.34. Dados dos subconjuntos no vacos S y T de R tales que para todo s de S y todo t de T. Entonces S tiene extremo superior, y T extremo inferior, y se verifica sup S ~ inf T. Demostracin. Cada t de T es cota superior para S. Por consiguiente S tiene extremo superior que satisface la desigualdad sup S ~ t para todo t de T. Luego sup S es una cota inferior para T, con lo cual T tiene extremo inferior que no puede ser menor que sup S. Dicho de otro modo, se tiene sup S ~ inf T,como se afirm. *1 3.12 Ejercicios 1. Si x e y son nmeros reales cualesquiera, x < y, demostrar que existe por lo menos un nmero real z tal que x < z < y. 56. Existencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativos 35 2. Si x es un nmero real arbitrario, probar que existen enteros m y n tales que m < x < n. 3. Si x > O, demostrar que existe un entero positivo n tal que l/n < x. 4. Si x es un nmero real arbitrario, demostrar que existe un entero n nico que verifica las desigualdades n ::; x < n + 1. Este n se denomina la parte entera de x y se designa por [x]. Por ejemplo, [5] = 5, [tl = 2, r-n = - 3. 5. Si x es un nmero real arbitrario, probar que existe un entero nico n que satisface la desigualdad n s; x < n + 1. 6. Si x e y son nmeros reales arbitrarios, x < y, probar que existe por lo menos un n- mero racional r tal que x < r < y y deducir de ello que existen infinitos. Esta propiedad se expresa diciendo que el conjunto de los nmeros racionales es denso en el sistema de los nmeros reales. 7. Si x es racional, x ~ O, e y es irracional, demostrar que x + y, x - y, xy, x/y, y] son todos irracionales. 8. La suma o el producto de dos nmeros irracionales es siempre irracional? 9. Si x e y son nmeros reales cualesquiera, x < y, demostrar que existe por lo menos un nmero irracional z tal que x < z < y y deducir que existen infinitos. 10. Un entero n se llama par si n = 2m para un cierto entero m, e impar si n + 1 es par. Demostrar las afirmaciones siguientes: a) Un entero no puede ser a la vez par e impar. b) Todo entero es par o es impar. e) La suma o el producto de dos enteros pares es par. Qu se puede decir acerca de la suma o del producto de dos enteros impares? d) Si n2 es par, tambin lo es n. Si a2 = 2b2 , siendo a y b enteros, entonces a y b son ambos pares. e) Todo nmero racional puede expresarse en la forma al b, donde a y b son enteros, uno de los cuales por lo menos es impar. 11. Demostrar que no existe nmero racional cuyo cuadrado sea 2. [Indicacin. Utilizar el razonamiento de reduccin al absurdo. Supngase (a/b)2 = 2, siendo a y b enteros, uno de ellos por lo menos impar. Utilizar partes del Ejercicio 10.] 12. La propiedad arquimediana del sistema de nmeros reales se dedujo como consecuencia del axioma del extremo superior. Demostrar que el conjunto de los nmeros racionales satisface la propiedad arquimediana pero no la del extremo superior. Esto demuestra que la propiedad arquimediana no implica el axioma del extremo superior. ~'I3.13 Existencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativos Se ha visto anteriormente que la ecuacin x2 = 2 no tiene solucin entre los nmeros racionales. Con auxilio del axioma 1 se puede demostrar que la ecuacin x2 = a tiene solucin entre los nmeros reales si a :2 O. Tal x se denomina raz cuadrada de a. En primer lugar, sin tener en cuenta el axioma 10, se pueden hacer las siguientes consideraciones. Los nmeros negativos no pueden tener races cuadradas, pues si x2 = a, al ser a un cuadrado ha de ser no negativo (en virtud del teorema 1.20). Adems, si a = 0, x = Oes la nica raz cuadrada (por el; teorema 1.11). 'upngase, pues, a > O. Si x2 = a entonces x =1= Y (_X)2 = a, por tanto, x y 57. 36 Introduccin su opuesto son ambos races cuadradas. Pero a lo sumo tiene dos, porque si x2 = a e y2 = a, entonces x2 = y2 Y (x + y) (x - y) = O, Y en virtud del teorema 1.11, o x = y o x = - y. Por tanto, si a tiene races cuadradas, tiene exactamente dos. La existencia de una raz cuadrada por lo menos se deducir posteriormente de un teorema importante de Clculo, conocido por el teorema del valor intermedio para las funciones continuas, pero es instructivo ver como la existencia de la raz cuadrada se puede probar directamente a partir del axioma 10. TEOREMA 1.35. Cada nmero real no negativo a tiene una raz cuadrada no negativa nica. Nota: Si a ~ O, su raz cuadrada no negativa se indicar por a1/2 o por -V;;. Si a > O, la raz cuadrada negativa es - a1/2 o - .ya. Demostracin. Si, a = O, entonces O es la nica raz cuadrada. Supngase pues que a > O. Sea S el conjunto de todos los nmeros reales positivos x tales que x2 :;;;a. Puesto que (1 + a)2 > a, el nmero (1 + a) es una cota superior de S. Pero, S es no vaco, pues ajO + a) pertenece a S; en efecto a2 :;;;a O + a)2 y por tanto a2jO + a)2:;;; a. En virtud del axioma 10, S tiene un extremo superior que se designa por b. Ntese que b~ ajO + a) Y por tanto b > O. Existen slo tres posibilidades: b2 > a, b2 < a, b2 = a. Supngase b" > a y sea e = b - (b2 - a)j(2b) = Hb + ajb). Entonces O < e a .. Por tanto, e' > x2 para cada x en S, es decir, e > x para cada x en S; luego e es una cota superior de S, y puesto que e a es imposible. Supngase b' < a. Puesto que b > O se puede elegir un nmero positivo e tal que e b, esta desigualdad est en contradiccin con que b sea una cota superior de S. Por tanto, la desigualdad b2 < a es imposible y slo queda como posible b2 = a. *1 3.14 Races de orden superior. Potencias racionales El axioma del extremo superior se puede utilizar tambin para probar la existencia de races de orden superior. Por ejemplo, si n es un entero positivo 58. Representacin de los nmeros reales por medio de decimales 37 impar, para cada real x existe un nmero real y, y uno solo tal que yO = x. Esta y se denomina raz n-sima de x y se indica por: (I.15) o y=~. Si n es par, la situacin es un poco distinta. En este caso, si x es negativo, no existe un nmero real y tal que y = x, puesto que y O para cada nmero real y. Sin embargo, si x es positivo, se puede probar que existe un nmero positivo y slo uno tal que y = x. Este y se denomina la raz n-sima positiva de x y se indica por los smbolos (1.15). Puesto que n es par, (_y)n = yn y, por tanto, cada x > O tiene dos races n-simas reales, y y-y. Sin embargo, los smbolos Xli y 1"; se reservan para la raz n-sima positiva. No exponemos aqu las demostraciones de estas afirmaciones porque se deducirn ms adelante como consecuencia del teorema del valor intermedio para las funciones continuas (ver Seccin 3.10). Si r es un nmero racional positivo, sea r = m/n, donde m y n son enteros positivos, se define x' como (xm)l/n, es decir como raz n-sima de x", siempre que sta exista. Si x 7"= O, se define x-' = l/x' con tal que x" est definida. Partiendo de esas definiciones, es fcil comprobar que las leyes usuales de los exponentes son vlidas para exponentes racionales: x': x = x'+, (x")" = x'", y (xy)" = xryr. *1 3.15 Representacin de los nmeros reales por medio de decimales Un nmero real de la forma (1.16) donde ao es un entero no negativo, y al> a. ... , a son enteros que satisfacen O S a S 9, se escribe corrientemente en la forma ms breve siguiente: Se dice que sta es la representacin decimal finita de r. Por ejemplo: 1 5 - = - = 0,5 2 10 ' 1 2 -=- =0,02 50 102 29 2 5 - = 7 + - + -- = 7,25 . 4 10 102 Nmeros reales de esta clase son necesariamente racionales y todos ellos son de la forma r = a/lO donde a es un entero. Sin embargo, no todos los nmeros racionales pueden expresarse por medio de una representacin decimal finita. Por ejemplo, si t se pudiera expresar as, se tendra t = al 10 o 3a = 10 para 59. 38 Introduccin algn entero a. Pero esto es imposible, puesto que 3 no es divisor de ninguna potencia de 10. No obstante, cualquier nmero real x > O puede aproximarse con un error tan pequeo como se desee por medio de una suma de la forma (1.16) si se toma n suficientemente grande. La razn de ello puede verse mediante el siguiente argumento geomtrico: si x no es entero, x est comprendido entre dos enteros consecutivos, es decir, a < x < ao + 1. El segmento que une ao y ao+ 1 puede subdividirse en diez partes iguales. Si x no coincide con uno de estos puntos de subdivisin, x debe estar comprendido entre dos de ellos. Esto da lugar a un par de desigualdades de la forma + al < < + al + 1a - x a --- o 10 o 10' donde al es un entero (0:5: al :5: 9). Se divide ahora, el segmento que une al al + 1 a + - y Qo + --- en diez partes iguales (cada una de longitud 10-2 ) y 10 10 se contina el proceso. Si despus de un nmero finito de subdivisiones, uno de los puntos coincide con x, x es un nmero de la forma (1.16). Si no es as, el proceso se contina indefinidamente y se engendra un conjunto de infinitos enteros a, ac2, a3, ... En este caso se dice que x tiene la representacin decimal infinita Despus de n subdivisiones, x satisface las desigualdades al Un al a + 1ao + - + ... + - < x < U + - + ... + _n__ . 10 lOn o 10 io- las cuales dan dos aproximaciones de x, una por exceso y otra por defecto, por medio de decimales finitos que difieren en lO-no Por tanto, se puede lograr un grado de aproximacin deseado sin ms que tomar n suficientemente grande. Si x = 1, es fcil comprobar que ao = O Y a; = 3 para cada n ~ 1, Y por tanto la aproximacin decimal correspondiente es: 1= 0,333 .... Cada nmero irracional tiene una representacin decimal infinita. Por ejemplo, si x = V2 se pueden calcular por tanteo tanto dgitos como se deseen de su aproximaci_ndecimal. Pues V2 est comprendido entre 1,4 Y 1,5 ya que (l,4)2 < 60. Representacin de los nmeros reales por medio de decimales 39 2 < (1,5)2. Anlogamente, elevando al cuadrado y comparando con 2 se obtienen las siguientes aproximaciones sucesivas: 1,41 < v'2 < 1,42, 1,414 < v'2 < 1,415, 1,4142 < v'2 < 1,4143 . Obsrvese que el proceso anterior engendra una sucesin de intervalos de longitud 10-" 10-2 , 10-3 , , cada uno contenido en el anterior y conteniendo cada uno el punto x. Esto es un ejemplo del llamado encaje de intervalos, concepto que se utiliza algunas veces como base para construir los nmeros irracionales a partir de los racionales. Puesto que en este libro se har poco uso de los decimales, no se estudiarn sus propiedades con todo detalle, y slo se ver cmo se pueden definir analtica- mente expresiones decimales, con auxilio del axioma del extremo superior. Si x es un nmero real positivo dado, sea a el mayor entero j; x. Toma- do a., sea al el mayor entero tal que: al ao + - < x. 10- En general, determinados a, al' ... , an-l, sea a; el mayor entero tal que (I.17) Sea S el conjunto de todos los nmeros: (1.l8) obtenidos de esta forma para n = O, 1, 2, . " . Puesto que S es no vaco y acotado superiormente, tiene un extremo superior que es fcil comprobar que coincide con x. Los enteros ao, al' a2, as obtenidos se pueden utilizar para definir una expresin decimal de x, poniendo: donde el dgito a; que ocupa el lugar n es el mayor entero que satisface (1.17). Por tanto, se puede escribir: t = 0,125000 .... Si en (1.17) se sustituye el signo de desigualdad j; por : 1. 9. Demustrese por induccin la proposicin siguiente: Dado un segmento de longitud unidad, el segmento de longitud yr,; se puede construir con regla y comps para cada entero positivo n. 10. Sea b un entero positivo. Demostrar por induccin la proposicin siguiente: Para cada entero n ;::: O existen enteros no negativos q y r tales que: n = qb + r, O~r 1 y los nicos divisores de n son 1 y n. Demos- trar por induccin que cada entero n > 1 es o primo o producto de primos. 12. Explquese el error en la siguiente demostracin por induccin. Proposicin. Dado un conjunto de n nias rubias, si por 10 menos una de las nias tiene ojos azules, entonces las n nias tienen ojos azules. Demostracin . La proposicin es evidentemente cierta si n = 1. El paso de k a k + 1 se puede ilustrar pasando de n = 3 a n = 4. Supngase para ello que la proposicin es cierta para n = 3 Y sean 01' 02' 03' 04' cuatro nias rubias tales que una de ellas, por lo menos, tenga ojos azules, por ejemplo, la 01' Tomando 1,02' 03' con- juntamente y haciendo uso de la proposicin cierta para n = 3, resulta que tambin 02 y 03 tienen ojos azules. Repitiendo el proceso con 01' 02 Y 04' se encuentra igualmente que 4 tiene ojos azules. Es decir, las cuatro tienen ojos azules. Un razonamiento anlogo permite el paso de k a k + 1 en general. Corolario. Todas las nias rubias tienen ojos azules. Demostracin. Puesto que efectivamente existe una nia rubia con ojos azules, se puede aplicar el resultado precedente al conjunto formado por todas las nias rubias. Nota: Este ejemplo es debido a G. Plya, quien sugiere que el lector compruebe experimentalmente la validez de la proposicin. *1 4.5 Demostracin del principio de buena ordenacin En esta Seccin se deduce el principio de buena ordenacin del de induccin. Sea T una coleccin no vaca de enteros positivos. Queremos demostrar que 67. 46 Introduccin T tiene un nmero que es el menor, esto es, que hay en T un entero positivo t.; tal que to ::;; t para todo t de T. Supongamos que no fuera as. Demostraremos que esto nos conduce a una contradiccin. El entero 1 no puede pertenecer a T (de otro modo l sera el menor nmero de T). Designemos con S la coleccin de todos los enteros positivos n tales que n < t para todo t de T. Por tanto 1 pertenece a S porque 1 < t para todo t de T. Seguidamente, sea k un entero positivo de S. Entonces k < t para todo t de T. Demostraremos que k + 1 tambin es de S. Si no fuera as, entonces para un cierto t, de T tendramos ti ::;; k + 1. Puesto que T no posee nmero mnimo, hay un entero t2 en T tal que t2 < ti' Y por tanto t2 < k + 1. Pero esto significa que t2 ::;; k, en contradiccin con el hecho de que k < t para todo t de T. Por tanto k + 1 pertenece a S. Segn el principio de induccin, S contiene todos los enteros positivos. Puesto que T es no vaco, existe un entero positivo t en T. Pero este t debe ser tambin de S (ya que S contiene todos los enteros positivos). De la definicin de S resulta que t < t, lo cual es absurdo. Por consiguiente, la hiptesis de que T no posee un nmero mnimo nos lleva a una contradiccin. Resulta pues que T debe tener un nmero mnimo, y a su vez esto prueba que el principio de buena ordenacin es una consecuencia del de induccin. 1 4.6 El smbolo sumatorio En el clculo del rea de un segmento parablico, aparece la suma (1.

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