cálculus apostol 2

E~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el acceso a los materiales necesarios para laeducacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no sonaccesibles para todos.

Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto asugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y aayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin.El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin decualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.

Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad deCiencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguientedireccin de correo electrnico:

[email protected] http:// eduktodos. dyndns. org

Calculus

TOIIl M. Apostol

CALCULUSVOLUMEN 11

Clculo con funciones de varias variablesy lgebra lineal, con aplicaciones a las

ecuaciones diferenciales y a las probabilidades

Segunda edicin

EDITORIAL REVERT, S. A.Barcelona-Bogot-Buenos Ai res-Caraca s-Mxico

Ttulo de la obra original:CALCULUS, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra,With Applications to DitTerential Equations and Probability

Edicin original en lengua inglesa publicada por:Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts

Copyright by Blaisdell Publishing Company

Versin espaola por:Dr. D. Francisco Vlez CantarellProfesor de la Universitat de Barcelona

Revisada por:Dr. D. Enrique Lins EscardCatedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid

Propiedad de:EDITORIAL REVERT, S.A. yLoreto, 13-15, Local B08029 BarcelonaTel: (34) 934193336Fax: (34) 934195189E-mail: [email protected]: http://www.reverte.com

Reservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento in-formtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo p-blicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares delcopyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

2". EDICIN

REVERT EDICIONES, S.A. DE CVRo Pnuco 141 Col. Cuauhtmocc.r. 06500 Mxico, D.F.Tel: 55-33-56-58 al 60Fax: 55-14-67-99E-mail: [email protected]

Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1985 REVERT EDICIONES, S.A. DE C.V., 2001

78 REIMPRESIN: MARZO DE 2002

ISBN: 84-291-5001-3 (Obra completa) EspaaISBN: 84-291-5003-X (Tomo 2)

ISBN: 698-6708-12-X (Obra completa) MxicoISBN: 698-6708-11-1 (Tomo 2)Depsito legal: B-13143-2002

Impreso por DomingrafImpressorsPoI. Ind. Can MagarolaPje. Autopista, Nave 1208100 Mollet del Valls (Barcelona)

aJane y Stephen

PRLOGO

Este libro es una continuacin de mi Ca1culus, volumen 1, segunda edicin.El presente volumen fue escrito con el mismo plan fundamental que inspir alprimero. Un adecuado enfoque hacia la tcnica se combina con un rigurosodesarrollo terico. Se ha procurado hacer llegar al estudiante el espritu de lamatemtica moderna sin exagerar el formalismo. Como en el volumen 1, se hanincluido comentarios de tipo histrico para hacer vivir al lector la evolucin delas ideas.

El segundo volumen est dividido en tres partes, tituladas; Anlisis lineal,Anlisis no lineal, y Temas especiales. Los dos ltimos captulos del volumen 1han sido repetidos y son los dos primeros captulos del volumen Il, de modo quetoda la materia relativa al lgebra lineal est completa en cada volumen.

La parte 1 contiene una introduccin al lgebra lineal, incluyendo transfor-maciones lineales, matrices, determinantes, autovalores y formas cuadrticas.Se dan aplicaciones al anlisis, en particular al estudio de las ecuaciones diferen-ciales lineales. Se estudian los sistemas de ecuaciones diferenciales con la ayudadel clculo matricial. Se demuestran los teoremas de existencia y unicidad pormedio del mtodo de Picard de aproximaciones sucesivas, que tambin se tratautilizando los operadores de contraccin.

En la parte 2 se discute el clculo de funciones de varias variables. El clculodiferencial se unifica y simplifica con la ayuda del lgebra lineal. Se incluyenreglas de la cadena para campos escalares y vectoriales, y aplicaciones a lasecuaciones diferenciales en derivadas parciales y a problemas de extremos. Enclculo integral se incluyen integrales de lnea, integrales mltiples y de superficie,con aplicaciones al anlisis vectorial. En esto la exposicin sigue ms o menos lalnea clsica y no incluye un desarrollo formal de las formas diferenciales.

Los temas especiales tratados en la parte 3 son Probabilidades y Anlisisnumrico. El de probabilidades est dividido en dos captulos, uno que trata delos espacios muestrales finitos o infinitos numerables; el otro de espacios mues-trales no numerables, variables aleatorias, y funciones de distribucin. Las apli-caciones se ilustran en el estudio de variables aleatorias uni- y bi-dimensionales.

El ltimo captulo contiene una introduccin al anlisis numrico, poniendoespecial atencin en los distintos tipos de polinomios de aproximacin. Terminael libro con un estudio de las frmulas de integracin aproximada, tales como laregla de Simpson y una discusin de la frmula de sumacin de Euler.

VII

VIII Prlogo

En este volumen hay materia suficiente para un curso anual completo contres o cuatro sesiones semanales. Presupone un conocimiento del clculo con unavariable como se desarrolla en la mayora de los cursos del primer ao de clculo.El autor ha imaginado el curso con cuatro sesiones semanales, dos de exposicinpor parte del profesor y dos para preguntar a los alumnos, empleando aproxima-damente diez semanas en cada parte y omitiendo las secciones sealadas conasterisco.

Este segundo volumen ha sido planeado de modo que muchos captulospueden omitirse en cursos abreviados. Por ejemplo, el ltimo captulo de cadaparte puede suprimirse sin romper la continuidad de la exposicin. La parteprimera proporciona material para un curso combinado de lgebra lineal y deecuaciones diferenciales ordinarias. Cada profesor puede elegir los temas adecua-dos a sus necesidades y preferencias consultando el diagrama de la pgina si-guiente que muestra la interdependencia lgica de los captulos.

Una vez ms reconozco con agrado el asesoramiento de numerosos amigos ycolegas. Al preparar la segunda edicin recib valiosa ayuda de los profesoresHerbert s. Zuckerman de la Universidad de Washington, y Basil Gordon de laUniversidad de California, Los Angeles, cada uno de los cuales sugiri variasmejoras. Agradezco tambin al personal de la Blaisdell Publishing Company sucooperacin y ayuda.

Como en otras ocasiones me da especial satisfaccin expresar mi gratituda mi esposa por su valiosa y variada contribucin. En reconocimiento le dedicogustosamente este libro.

T. M. A.Pasadena, California

Interdependencia lgica de los captulos IX

1

ESPACIOSLINEALES

I

2 15

TRANSFORMACIONESINTRODUCCINAL ANLISIS

LINEALESNUMRICO

Y MATRICES

3DETERM INANTES

68 10 13

CLCULO DIFEREN INTEGRALES FUNCIONES DEECUACIONES CIAL EN CAMPOS DE LNEA CONJUNTO Y

DIFERENCIALES ESCALARES Y....

PROBABILIDADESLINEALES VECTORIALES ELEMENTALES

4

I r- AUTOVALORES Iy7 AUTOVECTORES

11SISTEMAS

I IDE ECUACIONES INTEGRALESDIFERENCIALES MLTIPLES5

14AUTOV ALORES DE

"1 I CLCULO DEOPERADORES QUE PROBABILIDADESACTAN EN ESPACIOSEUCLDEOS 9 12

APLICACIONES INTEGRALES

DEL CLCULO DE

DIFERENCIAL SUPERFICIE

NDICE ANALTICO

Parte 1. Anlisis lineal

1. ESPACIOS LINEALES

1.1 Introduccin 31.2 Definicin de espacio lineal 31.3 Ejemplos de espacios lineales 51.4 Consecuencias elementales de los axiomas 71.5 Ejercicios 81.6 Subespacios de un espacio lineal 91.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 111.8 Bases y dimensin 141.9 Componentes 151.10 Ejercicios 161.11 Productos interiores, espacios eucldeos. Normas 171.12 Ortogonalidad en un esp-acio eucldeo 211.13 Ejercicios 241.14 Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 261.15 Complementos ortogonales. Proyecciones 311.16 Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por

elementos de un subespacio de dimensin finita 341.17 Ejercicios 36

2. TRANSFORMACIONES LINEALESY MATRICES

2.1 Transformaciones lineales2.2 Ncleo y recorrido2.3 Dimensin del ncleo y rango de la transformacin

394142

XI

XII

3.13.2

3.33.43.53.63.73.83.93.103.113.123.133.143.153.163.17

Indice analtico

2.42.52.62.72.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.202.21

EjerciciosOperaciones algebraicas con transformaciones linealesInversasTransformaciones lineales uno a unoEjerciciosTransformaciones lineales con valores asignadosRepresentacin matricial de las transformaciones linealesConstruccin de una representacin matricial en forma diagonalEjerciciosEspacios lineales de matricesIsomorfismo entre transformaciones lineales y matricesMultiplicacin de matricesEjerciciosSistemas de ecuaciones linealesTcnicas de clculoInversas de matrices cuadradasEjerciciosEjercicios varios sobre matrices

3. DETERMINANTES

IntroduccinJustificacin de la eleccin de los axiomas para una funcindeterminanteConjunto de axiomas que definen una funcin determinanteClculo de determinantesEl teorema de unicidadEjerciciosProducto de determinantesDeterminante de la matriz inversa de una matriz no singularDeterminantes e independencia de vectoresDeterminante de una matriz diagonal en bloquesEjerciciosFrmulas para desarrollar determinantes. Menoresy cofactoresExistencia de la funcin determinanteDeterminante de una matriz transpuestaLa matriz cofactorRegla de CramerEjercicios

444648515355566062636566707275808384

87

889093969799

101102102104

105110112113115116

lndice analtico

4. AUr'OVALORES y AUTOVECTORES

XIII

4.1 Transformaciones lineales representadas mediante matrices dia-gonales 119

4.2 Autovectores y autovalores de una transformacin lineal 1204.3 Independencia lineal de autovectores correspondientes a auto-

valores distintos 1234.4 Ejercicios 1254.5 Caso de dimensin finita. Polinomios caractersticos 1264.6 Clculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensin

finita 1284.7 Traza de una matriz 1314.8 Ejercicios 1324.9 Matrices que representan la misma transformacin lineal.

Matrices lineales 1344.10 Ejercicios 139

5. AUTOVALORES DE OPERADORESEN ESP ACrOS EUCLDEOS

5.15.25.3

Autovalores y productos interiores o escalaresTransformaciones hermitianas y hemi-hermitianasAutovalores y autovectores de los operadores hermitianos yhemi-hermitianosOrtogonalidad de los autovectores correspondientes a autova-lores distintosEjerciciosExistencia de un conjunto ortonormal de autovectores paraoperadores hermitianos y hemi-hermitianos que actan en es-pacios de dimensin finitaRepresentacin matricial para operadores hermitianos y hemi-hermitianosMatrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta deuna matrizDiagonalizacin de una matriz hermitiana o hemi-hermitianaMatrices unitarias. Matrices ortogonalesEjerciciosFormas cuadrticasReduccin de una forma cuadrtica real a forma diagonalAplicaciones a la Geometra AnalticaEjercicios

5.4

5.55.6

5.7

5.8

5.95.105.115.125.135.145.15

141142

145

145146

148

149

150151152154156159161166

XIV

* 5.16

* 5.17

* 5.185.195.20

Indice analtico

Autovalores de una transformacin simtrica obtenidos comovalores de su forma cuadrticaPropiedades relativas a extremos de los autovalores de unatransformacin simtricaCaso de dimensin finitaTransformaciones unitariasEjercicios

6. ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES

6.16.2

Introduccin histricaRevisin de los resultados relativos a las ecuaciones de primery segundo ordenEjerciciosEcuaciones diferenciales lineales de orden nTeorema de existencia y unicidadDimensin del espacio solucin de una ecuacin lineal ho-mognealgebra de operadores de coeficientes constantesDeterminacin de una base de soluciones para ecuaciones li-neales con coeficientes constantes por factorizacin de ope-radoresEjerciciosRelacin entre las ecuaciones homogneas y no homogneasDeterminacin de una solucin particular de la ecuacin nohomognea. Mtodo de variacin de constantesNo singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones inde-pendientes de una ecuacin lineal homogneaMtodos especiales para determinar una solucin particularde la ecuacin no homognea. Reduccin a un sistema de ecua-ciones lineales de primer ordenMtodo del anulador para determinar una solucin particularde la ecuacin no homogneaEjerciciosEjercicios varios sobre ecuaciones diferenciales linealesEcuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analticosLa ecuacin de LegendrePolinomios de LegendreFrmula de Rodrigues para los polinomios de LegendreEjercicios

6.36.46.56.6

6.76.8

6.96.106.11

6.12

6.13

6.14

6.156.166.176.186.196.206.21

166

168170170174

175

176178179181

181182

185190192

193

198

200

201204206207211215217218

lndice analtico

6.22 Mtodo de Frobenius6.23 Ecuacin de Bessel6.24 Ejercicios

7.24* 7.25* 7.26* 7.27

7. SISTEMAH DE ECUACIONESDIFERENCIALES

7.17.27.37.47.57.67.7

IntroduccinClculo con funciones matricialesSeries de matrices. Normas de matricesEjerciciosExponencial de una matrizEcuacin diferencial que se satisface por etATeorema de unicidad para la ecuacin diferencial matricialF'(t) = AF(t)Ley de exponentes para exponenciales de matricesTeoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales ho-mogneos con coeficientes constantesEl problema de calcular erATeorema de Cayley-HamiltonEjerciciosMtodo de Putzer para calcular etAOtros mtodos para calcular etA en casos especialesEjerciciosSistemas lineales no homogneos con coeficientes constantesEjerciciosSistema lineal general Y'(t) = P(t)Y(t) + O(t)Resolucin de sistemas lineales homogneos mediante series depotenciasEjerciciosDemostracin del teorema de existencia por el mtodo delas aproximaciones sucesivasAplicacin del mtodo de aproximaciones sucesivas a los sis-temas no lineales de primer ordenDemostracin de un teorema de existencia y unicidad para sis-temas no lineales de primer ordenEjerciciosAproximaciones sucesivas y puntos fjos de operadoresEspacios lineales normadosOperadores de contraccin

7.87.9

7.107.117.127.137.147.157.167.177.187.19

7.207.21

7.22

7.23

xv

222224231

235238239241242243

244245

246247249251253256260261264266

271272

273

279

281283285286287

XVI lndice analtico

* 7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contraccin* 7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo

8.18.28.38.48.58.68.78.88.98.108.118.128.138.148.158.16

8.218.22

* 8.23

Parte 2. Anlisis no lineal

8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOSESCALARES Y VECrrORIALES

8.178.188.198.20

Funciones de R" en R'". Campos escalares y vectorialesBolas abiertas y conjuntos abiertosEjerciciosLmites y continuidadEjerciciosLa derivada de un campo escalar respecto a un vectorDerivadas direccionales y derivadas parcialesDerivadas parciales de orden superiorEjerciciosDerivadas direccionales y continuidadLa diferencialGradiente de un campo escalarCondicin suficiente de diferenciabilidadEjerciciosRegla de la cadena para derivadas de campos escalaresAplicaciones geomtricas. Conjuntos de nivel. PlanostangentesEjerciciosDiferenciales de campos vectorialesLa diferenciabilidad implica la continuidadLa regla de la cadena para diferenciales de camposvectorialesForma matricial de la regla de la cadenaEjerciciosCondiciones suficientes para la igualdad de las derivadas par-ciales mixtasEjercicios varios8.24

289291

297298300302306308310311312313314316318320321

324327328330

331332336

337342

10.110.210.310.410.510.610.710.810.910.1010.11

10.1210.13

Indice analtico

9. APLICACIONES DE CLCULODIFERENCIAL

9.19.2

Ecuaciones diferenciales en derivadas parcialesEcuacin en derivadas parciales de primer orden con coe-ficientes constantesEjerciciosLa ecuacin de ondas uni-dimensionalEjerciciosDerivacin de funciones definidas implcitamenteEjemplos resueltosEjerciciosMximos, mnimos y puntos de ensilladuraFrmula de Taylor de segundo orden para campos escalaresDeterminacin de la naturaleza de un punto estacionario pormedio de los autovalores de la matriz hessianaCriterio de las derivadas segundas para determinar extremosde funciones de dos variablesEjerciciosExtremos condicionados. Multiplicadores de LagrangeEjerciciosTeorema del valor extremo para campos escalares continuosTeorema de la continuidad uniforme para campos escalarescontinuos

9.39.49.59.69.79.89.99.109.11

9.12

9.139.149.159.169.17

10. INTEGRALES DE LNEA

IntroduccinCaminos e integrales de lneaOtras notaciones para las integrales de lneaPropiedades fundamentales de las integrales de lneaEjerciciosEl concepto de trabajo como integral de lneaIntegrales de lnea con respecto a la longitud de arcoOtras aplicaciones de las integrales de lneaEjerciciosConjuntos conexos abiertos. Independientes del caminoSegundo teorema fundamental del clculo para integralesde lneaAplicaciones a la MecnicaEjercicios

XVII

345

346349351356359363368369375

378

380381383387388

391

393393394396399399401402403405

406408409

XVIII

10.14

10.15

10.16

10.1710.1810.19

10.2010.21

11.111.211.311.4

11.511.6

11.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.1511.1611.1711.1811.1911.2011.21

11.22

lndice analtico

El primer teorema fundamental del clculo para integralesde lneaCondiciones necesarias y suficientes para que un campo vec-torial sea un gradienteCondiciones necesarias para que un campo vectorial sea ungradienteMtodos especiales para construir funciones potencialesEjerciciosAplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primerordenEjerciciosFunciones de potencial en conjuntos convexos

11. INTEGRALES MLTIPLES

IntroduccinParticiones de rectngulos. Funciones escalonadasIntegral doble de una funcin escalonadaDefinicin de integral doble de una funcin definida y acotadaen un rectnguloIntegrales dobles superior e inferiorClculo de una integral doble por integracin uni-dimensio-nal reiteradaInterpretacin geomtrica de la integral doble como un volumenEjemplos resueltosEjerciciosIntegrabilidad de funciones continuasIntegrabilidad de funciones acotadas con discontinuidadesIntegrales dobles extendidas a regiones ms generalesAplicaciones a reas y volmenes .Ejemplos resueltosEjerciciosOtras aplicaciones de las integrales doblesDos teoremas de PappusEjerciciosTeorema de Green en el planoAlgunas aplicaciones del teorema de GreenCondicin necesaria y suficiente para que un campo vectorialbi-dimensional sea un gradienteEjercicios

411

413

415417420

422425426

431432433

436436

438439440442443445446450451453455459461462467

468471

* 11.23* 11.24* 11.2511.2611.2711.2811.29

11.30

11.3111.3211.3311.34

12.112.212.3

12.412.512.612.712.812.912.1012.1112.1212.1312.1412.15

* 12.16

* 12.1712.1812.1912.2012.21

lndice analtico

Teorema de Green para regiones mltiplemente conexasEl nmero de girosEjerciciosCambio de variables en una integral dobleCasos particulares de la frmula de transformacinEjerciciosDemostracin de la frmula de transformacin en un casoparticularDemostracin de la frmula de transformacin en el casogeneralExtensiones a un nmero mayor de dimensionesCambio de variables en una integral n-mltipleEjemplos resueltosEjercicios

12. INTEGRALES DE SUPERFICIE

Representacin paramtrica de una superficieProducto vectoriak fundamentalEl producto vectorial fundamental, considerado como una nor-mal a la superficieEjerciciosrea de una superficie paramtricaEjerciciosIntegrales de superficieCambio de representacin paramtricaOtras notaciones para las integrales de superficieEjerciciosTeorema de StokesEl rotacional y la divergencia de un campo vectorialEjerciciosOtras propiedades del rotacional y de la divergenciaEjerciciosReconstruccin de un campo vectorial a partir de surotacionalEjerciciosExtensiones del teorema de StokesTeorema de la divergencia (teorema de Gauss)Aplicaciones del teorema de la divergenciaEjercicios

XIX

473475478479484488

490

492494497500504

509513

516517518524525527530532534537539540545

546551552557561563

xx lndice analtico

13.113.213.313.413.513.613.713.813.913.1013.1113.1213.1313.1413.1513.1613.1713.1813.1913.2013.21

13.2213.23

Parte 3. Temas especiales

13. FUNCIONES DE CONJUNTOY PROBABILIDAD ELEMENTAL

Introduccin histricaFunciones de conjunto con aditividad finitaMedidas con aditividad finitaEjerciciosDefinicin de probabilidad para espacios muestrales finitosTerminologa propia del clculo de probabilidadesEjerciciosEjemplos resueltosEjerciciosAlgunos principios bsicos de anlisis combinatorioEjerciciosProbabilidades condicionadasIndependenciaEjerciciosExperimentos o pruebas compuestasPruebas de BernoulliNmero ms probable de xitos en n pruebas de BernoulliEjerciciosConjuntos numerables y no numerablesEjerciciosDefinicin de probabilidad para espacios muestrales infini-tos numerablesEjerciciosEjercicios variados sobre probabilidades

14. CLCULO DE PROBABILIDADES

571572574575577579581581584586591592595597598603605608610614

615617618

14.1 Definicin de probabilidad para espacios muestrales no nu-merables 621

14.2 Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad po-sitiva 622

14.3 Variables aleatorias 62314.4 Ejercicios 625

14.514.614.714.814.914.1014.1114.1214.1314.1414.1514.1614.1714.1814.1914.2014.21

14.2214.2314.2414.2514.2614.2714.2814.2914.3014.31

Indice analtico

Funciones de distribucinDiscontinuidad de las funciones de distribucinDistribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidadEjerciciosDistribuciones continuas. Funciones de densidadDistribucin uniforme sobre un intervaloDistribucin de CauchyEjerciciosDistribuciones exponencialesDistribuciones normalesObservaciones sobre distribuciones ms generalesEjerciciosDistribuciones de funciones de variables aleatoriasEjerciciosDistribucin de variables aleatorias bidimensionalesDistribuciones discretas bidimensionalesDistribuciones continuas bidimensionales. Funciones dedensidadEjerciciosDistribuciones de funciones de dos variables aleatoriasEjerciciosEsperanza y varianzaEsperanza de una funcin de una variable aleatoriaEjerciciosDesigualdad de ChebyshevLeyes de los grandes nmerosEl teorema central del lmiteEjerciciosReferencias citadas

15. INTRODUCCIN AL ANLISISNUMRICO

XXI

626630634637639641646647649652656657658660660663

664666668673676680681683685689691692

15.1 Introduccin histrica 69515.2 Aproximaciones por polinomios 69715.3 Aproximaciones polinmicas y espacios lineales normados 69815.4 Problemas fundamentales en la aproximacin por polinomios 70015.5 Ejercicios 70315.6 Polinomios de interpolacin 70515.7 Puntos de interpolacin igualmente separados 70815.8 Anlisis del error de la interpolacin por polinomios 709

XXII

15.915.1015.11

15.1215.1315.1415.1515.1615.1715.1815.1915.2015.2115.2215.23

lndice analtico

EjerciciosFrmula de interpolacin de NewtonPuntos de interpolacin igualmente separados. El operadorde las diferencias sucesivasPolinomios factorialesEjerciciosProblema de mnimo relativo a la norma del mximoPolinomios de ChebyshevPropiedad de mnimo de los polinomios de ChebyshevAplicacin a la frmula del error en la interpolacinEjerciciosIntegracin aproximada. Regla de los trapeciosRegla de SimpsonEjerciciosFrmula de sumacin de EulerEjerciciosReferencias citadasSoluciones a los ejerciciosIndice

713716

718720721724725728730730733736742745752755757805

PARTE 1

Anlisis lineal

1ESPACIOS LINEALES

1.1 Introduccin

A 10 largo de la Matemtica se encuentran muchos ejemplos de objetos mate-mticos que pueden sumarse unos con otros y multiplicarse por nmeros reales.Ante todo, los nmeros reales son objetos de tal naturaleza, Otros ejemplos sonlas funciones vectoriales, los nmeros complejos, las series y los vectores en elespacio n-dimensional. En este captulo tratamos un concepto matemtico general,llamado espacio lineal, que incluye todos esos ejemplos y muchos otros comocasos particulares.

Brevemente, un espacio lineal es un conjunto de elementos de naturalezacualquiera sobre el que pueden realizarse ciertas operaciones llamadas adicin ymultiplicacin por nmeros. Al definir un espacio lineal no especificamos lanaturaleza de los elementos ni decinios cmo se realizan las operaciones entreellos. En cambio, exigimos que las operaciones tengan ciertas propiedades quetomamos como axiomas de un espacio lineal. Vamos ahora a hacer con detalle unadescripcin de esos axiomas.

1.2 Definicinde espacio lineal

Sea V un conjunto no vaco de objetos, llamados elementos. El conjunto Vse llama espacio lineal si satisface los diez axiomas siguientes que se enuncianen tres grupos.

Axiomas de clausuraAXIOMA 1. CLAUSURA RESPECTO DE LA ADICIN. A todo par ae elementos

~ e y de V corresponde un elemento nico de V llamado suma de x e y, designadopor x + y.

3

4 Espacios lineales

AXIOMA 2. CLAUSURA RESPECTO DE LA MULTIPLICACIN POR NMEROS REA-LES. A todo x de V y todo nmero real a corresponde un elemento de V llamadoproducto de a por x, designado por ax.

Axiomas para la adicin

AXIOMA 3. LEY CONMUTATIVA. Para todo x y todo y de V, tenemosx + y = y + x.

AXIOMA 4. LEY ASOCIATIVA. Cualesquiera que sean x, y, z de V, tenemos(x + y) + z = x + (y + z).

AXIOMA 5. EXISTENCIA DE ELEMENTO CERO. Existe un elemento en V, de-signado con el smbolo O, tal que

x+O=x para toao x de V:

AXIOMA 6. EXISTENCIA DE OPUESTOS. Para todo x de V, el elemento ( -1)xtiene la propiedad

x + (-l)x = O.

Axiomas para la multiplicacin por nmeros

AXIOMA 7. LEY ASOCIATIVA. Para todo x di! V Y todo par de nmerosreales a y b, tenemos

a(bx) = (ab)x .

AXIOMA 8. LEY DISTRIBUTIVA PARA LA ADICIN EN V. Para todo x y todoy de V y todo nmero real a, tenemos

a(x + y) = ax + ay.

AXIOMA 9. LEY DISTRIBUTIVA PARA LA ADICIN DE NMEROS. Para todox de V y todo par de nmeros reales a y b, tenemos

(a + b)x = ax + bx .

AXIOMA 10. EXISTENCIA DE ELEMENTO IDNTICO. Para todo x de V, tene-mos Ix = x.

Ejemplos de espacios lineales 5

Los espacios lineales as definidos, se llaman, a veces, espacios Ineales realespara resaltar el hecho de que se multiplican los elementos de V por nmerosreales, Si en los axiomas 2, 7, 8 Y 9 se reemplaza nmero real por nmero com-plejo, la estructura que resulta se llama espacio lineal complejo. Algunas vecesun espacio lineal se llama tambin espacio vectorial lineal o simplemente espaciovectorial; los nmeros utilizados como multiplicadores se llaman escalares. Unespacio lineal real tiene nmeros reales como escalares; un espacio lineal com-plejo tiene como escalares nmeros complejos. Si bien consideraremos principal-mente ejemplos de espacios lineales reales, todos los teoremas son vlidos paraespacios lineales complejos. Cuando digamos espacio lineal sin ms, se sobrenten-der que el espacio puede ser real o complejo.

1.3 Ejemplos de espacios lineales

Si precisamos el conjunto V y decimos cmo se suman sus elementos y cmose multiplican por nmeros, obtenemos un ejemplo concreto de espacio lineal.El lector fcilmente puede comprobar que cada uno de los ejemplos siguientessatisface todos los axiomas para un espacio lineal real.

EJEMPLO 1. Sea V = R, el conjunto de todos los nmeros reales, y seanx + y y ax la adicin y la multiplicacin ordinarias de nmeros reales.

EJEMPLO 2. Sea V = e el conjunto de todos los nmeros complejos, defi-nimos x + y como la adicin ordinaria de nmeros complejos, y ax como la mul-tiplicacin del nmero complejo x por el nmero real a. Aunque los elementos deV sean nmeros complejos, ste es un espacio lineal real porque los escalaresson reales.

EJEMPLO 3. Sea V = V, el espacio vectorial de todas las n-plas de nme-ros reales, con la adicin y la multiplicacin por escalares definidas en la formaordinaria en funcin de los componentes.

EJEMPLO 4. Sea V el conjunto de todos lof.-vectores Vn ortogonales a unvector no nulo dado N. Si n = 2, este espacio lineal es una recta que pasa por Ocon N como vector normal. Si n = 3, es un plano que pasa por O con N comovector normal.

Los siguientes ejemplos se llaman espacios funcionales. Los elementos de Vson funciones vectoriales, con la suma de dos funciones f y g definidas en la.forma ordinaria:

(f + g)(x) = (x) + g(x)

6 Espacios lineales

para todo real x en la interseccin de los dominios de I "y g. La multiplicacin deuna funcin I por un escalar real a se define as: al es aquella funcin cuyo valoren cada x del dominio de I es al(x). El elemento cero es la funcin cuyos valoresson nulos para todo x. El lector puede comprobar fcilmente que cada uno delos conjuntos siguientes es un espacio funcional.

EJEMPLO 5. El conjunto de todas las funciones definidas en un intervalodado.

EJEMPLO 6. El conjunto de todos los polinomios.

EJEMPLO 7. El conjunto de' todos los polinomios de grado ~ n, siendo nfijo. (Siempre que consideremos este conjunto, se sobrentender que siempre estincluido el polinomio nulo.) El conjunto de todos los polinomios de grado iguala n no es una espacio lineal porque no se satisfacen los axiomas de clausura. Porejemplo, la suma de dos polinomios de grado n puede no ser de grado n.

EJEMPLO 8. El conjunto de todas las funciones continuas en un intervalodado. Si el intervalo es [a, b]. designamos este espacio con C(a, b).

EJEMPLO 9. El conjunto de todas las funciones derivables en un punto dado.

EJEMPLO 10. El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalodado.

EJEMPLO 11. El conjunto de todas las funciones I definidas en el punto 1siendo I( 1) = O. El nmero O es esencial en este ejemplo. Si reemplazamos O porun nmero no nulo e, violamos el axioma de clausura.

EJEMPLO 12. El conjunto de todas las soluciones de una ecuacin diferenciallineal homognea y" + ay' + by = O, donde a y b son constantes dadas. Tambinaqu es esencial el O. El conjunto de soluciones de una ecuacin diferencial nohomognea no satisface los axiomas de clausura.

Estos ejemplos y muchos otros hacen patente cmo el concepto de espaciolineal est extendido por el lgebra, la Geometra y el Anlisis. Cuando se deduceun teorema de los axiomas de un espacio lineal, obtenemos un resultado vlidopara cada ejemplo concreto. Unificando varios ejemplos de este modo, consegui-mos un conocimiento ms profundo en cada uno. En ocasiones el conocimientode un determinado ejemplo ayuda para anticipar o interpretar resultados vlidospara otros ejemplos y pone en evidencia relaciones que de otro modo podranpasar inadvertidas.

Consecuencias elementales de los axiomas 7

1.4 Consecuencias elementales de los axiomas

Los teoremas que siguen se deducen fcilmente de los axiomas de un espaciolineal.

TEOREMA 1.1. UNICIDAD DEL ELEMENTO CERO. En cualquier espacio linealexiste un elemento cero y slo uno.

Demostracin. El axioma 5 nos asegura que existe por lo menos un elementocero. Supongamos que existan dos, sean 01 y O2, Haciendo x = 01 YO = O2 enel axioma 5, obtenemos 01 + O2 = 01, Anlogamente, haciendo x = O2 YO = O" encontramos O2 + 01 = O2, Pero 01 + O2 = O2 + 01 por la ley con-mutativa, as que 01 = O2,

TEOREMA 1.2. UNICIDAD DE ELEMENTOS OPUESTOS. En cualquier espaciolineal todo elemento tiene exactamente un opuesto. Esto es, para todo x existeun y, y slo uno tal que x + y = O.

Demostracin. El axioma 6 nos dice que cada x tiene por lo menos unopuesto, a saber (-1)x. Supongamos que x tenga dos opuestos, sean Y1 e Y2' En-tonces x + Y1 = O Y x + Y2 = O. Sumando Y2 a los dos miembros de la primeraigualdad y aplicando los axiomas 5, 4 y 3, obtenemos que

y

Y2 + (x + Yl) = (Y2 + x) + Yt = O + Yl = Yl + O = Yl .

Por consiguiente Y1 = Y2, con lo que x tiene exactamente un opuesto, el elemen-to (-l)x.

Notacin. El opuesto de x se designa por -x. La diferencia y - x se definecomo la suma y + (- x).

El teorema siguiente muestra un conjunto de propiedades que rigen losclculos algebraicos elementales en un espacio lineal.

TEOREMA 1.3. En un espacio lineal, designemos con x e y dos elementoscualesquiera y con a y b dos escalares cualesquier .. Tenemos entonces las pro-piedades siguientes:

a) Ox = O.b) aO = O.

8 Espacios lineales

e) (~a)x = - (ax) = a( - x).d) Si ax = O, entonces a = O' o x = O, o los dos.e) Si ax = ay y a =1=O entonces x = y.f) Si ax = bx y x =1=O, entonces a = b.g) - (x + y) = ( - x) + ( - y) = - x-y.h) x + x = 2x, x+ x +x = 3x, y en general, L~=l x = nx.

Demostraremos a). b) y e) y dejamos como ejercicios las demostraciones de lasotras propiedades.

Demostracin de a). Sea z = Ox. Deseamos demostrar que z = O. Su-mando z a s mismo y aplicando el axioma 9, encontramos que

z + z = Ox + Ox = (O + O)x = Ox = z .

Sumemos ahora - z a ambos miembros y obtenemos z = O.

Demostracin de b). Sea z = aO, sumar z a s mismo, y aplicar el axioma 8.

Demostracin de e), Sea z = (-a)x. Sumando z a ax y aplicando el axio-ma 9, encontramos que

z + ax = (-a)x + ax = (-a + a)x = Ox = O ,

as que z es el opuesto de ax, z = -(ax). Anlogamente, si sumamos a( -x) aax y aplicamos el axioma 8 y la propiedad b), encontramos que a( -x) = -(ax).

1.5 Ejercicios

En los ejercicios del 1 al 28, determinar si cada uno de los conjuntos dados es unespacio lineal real, si la adicin y multiplicacin por escalares reales est definida enla forma usual. Para aquellos en los que no es as, decir cules son los axiomas que no secumplen. Las funciones de los ejercicios 1 al 17 son reales. En los ejercicios 3, 4 Y 5, cadafuncin tiene un dominio que contiene O y 1. En los ejercicios 7 al 12, cada dominio con-tiene todos los nmeros reales.1. Todas las funciones racionales.2. Todas las funciones racionales tte. con el grado de 15 que el grado de g (incluyen-

do 1=0).3. Todas las I con 1(0) = 1(1).4. Todas las I con 2/(0) =1'(1).5. Todas las I con 1(1) = 1 + 1(0).6. Todas las funciones escalonadas definidas en [O, 1].7. Todas las I en las que I(x).~ O cuando x ~ + cc .8. Todas las funciones pares.9. Todas las funciones impares.

Subespacios de un espacio lineal 9

10. Todas las funciones acotadas.11. Todas las funciones crecientes.12. Todas las funciones con perodo 2'lT.13. Todas las I integrables en [0,1] con n I(x)dx = O.14. Todas las I integrables en [0,1] connl(x)dx ~ O.15. Todas las I que satisfacen I(x) = l(l - x) para todo x,16. Todos los polinomios de Taylor de grado S;; n para un n fijo (incluyendo el polino-

mio cero).17. Todas las soluciones de una ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden

y" + P(x)y' + Q(x)y = O, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x.18. Todas las sucesiones reales acotadas.19. Todas las sucesiones reales convergentes.20. Todas las series reales convergentes.21. Todas las series reales absolutamente convergentes.22. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con z = O.23. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con x = O o y = O.24. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con y = 5x.25. Todos los vectores (x,y,z) de Va con 3x+4y= 1, z=O.26. Todos los vectores (x, y, z) de V~ que son productos de (l, 2, 3) por escalares.27. Todos los vectores (x, y, z) de Va cuyos componentes satisfacen un sistema de tres ecua-

ciones lineales de la forma

28. Todos los vectores de Vn que son combinaciones lineales de dos vectores dados A y B.29. Sea V = R+, el conjunto de los nmeros reales positivos. Definamos la suma de dos

elementos x e y de V como su producto x ..y (en el sentido ordinario), y definamos lamultiplicacin de un elemento x de V por un escalar e poniendo x. Demostrar queV es un espacio lineal real con el elemento cero.

30. a) Demostrar que el axioma 10 puede deducirse de los otros axiomas.b) Demostrar que el axioma 10 no puede deducirse de los otros axiomas si el axioma6 es reemplazado por el axioma 6': Para todo x de -V y todo y de V tenemos quex+y=O.

3. Sea S el conjunto de todos los pares ordenados (x, ,x?) de nmeros reales. En cada casedeterminar si S es o no un espacio lineal con las operaciones de adicin y multiplica-cin por escalares definidas como se indica. Si el conjunto no es un espacio lineal,indicar cules son los axiomas que no se cumplen.a) (Xl' X2) + (Yl, Y2) = (Xl + Yl , X2 + Y2), a(Xl, X2) = (aXl' O).b) (Xl' X2) + (Yl , Y2) = (Xl + Yl , O), a(Xl , X2) = (aXl , ax2)c) (Xl' X2) + (Yl , Y2) = (Xl' X2 + Y2), a(Xl' X2) = (aXl, ax2)d) (Xl' X2) + (Yl ,Y2) = (Ixl + x21, Iy +Y21), a(Xl' X2) = (Jaxll, !ax21)

32. Demostrar las partes de la d) a la h) del teorema 11.3.

1.6 Subespacios de un espacio lineal

Dado un espacio lineal V sea S un subconjunto no vaco de V. Si S es tam-bin un espacio lineal, entonces S se llama subespacio de V. El teorema que sigue

10 Espacios lineales

da un sencillo criterio para determinar si un subconjunto de un espacio lineales o no un subespacio.

TEOREMA 1.4. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio lineal V.Tal subconjunto S es un subespacio si y s610 si satisface los axiomas de clausura.

Demostracin. Si S es un subespacio, satisface todos los axiomas de unespacio lineal, y por tanto, en particular, los axiomas de clausura.

Demostremos ahora que si S satisface los axiomas de clausura, satisfacetambin los otros. Las leyes conmutativa y asociativa para la adicin (axiomas3 y 4) y los axiomas para la multiplicacin por escalares (axiomas del 7 al 10)se satisfacen automticamente en S porque son vlidos para todos los elementosde V. Falta comprobar los axiomas 5 y 6, la existencia del elemento cero en S,y la existencia de un opuesto para cada elemento de S.

Sea x un elemento cualquiera de S. (S tiene por lo menos un elemento ya queno es vaco.) Segn el axioma 2, ax est en S para todo escalar a. Tomando a = O,resulta que Ox est en S. Pero Ox = O, en virtud del teorema 1.3 a), con locual O E S, y se satisface el axioma 5. Tomando a = - 1, vemos que (-1)xest en S. Pero x + (- l)x = O ya que x y (- l)x estn ambos en V, as que elaxioma 6 se satisface en S. Por consiguiente S es un subespacio de V.

DEFINICIN. Sea S un subconjunto no vaco de un espacio lineal V. Unelemento x de V de la forma

k

X =2 CiXi,i~l

en donde Xl' , x, pertenecen todos a S y cl, , ci son escalares, se denominacombinacin lineal de elementos de S. El conjuntode todas las combinacioneslineales finitas de elementos de S satisface los axiomas de clausura y por tantoes un subespacio de V. Decimos de ese subespacio que est generado por S, otambin le llamamos la envolvente lineal de S, y lo designamos por L(S). Si Ses vaco, definimos L(S) como {a}, el conjunto consta s610 del elemento cero.

Conjuntos distintos pueden generar el mismo subespacio. Por ejemplo, el es-pacio V2 est generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores:{i, j}, {i, j, i + j}, {a, i, - i, j, - j, i + j}. El espacio de todos los polinomios n p(t)de grado :5n est generado por el conjunto de n + 1 polinomios {1, t, t", ... , tn}.

Tambin est generado por el conjunto { 1, t/2, t2/3, ... , t" /(n + 1)} y por{ 1, (1 + t) , (1 + t)2, ... , (1 + t)n}. El espacio de todos los polinomios est ge-nerado por el conjunto infinito de los polinomios { 1, t, t", ... }.

Al llegar aqu surgen de modo natural numerosas preguntas. Por ejemplo,qu espacios pueden generarse porun nmero finito de elementos? Si un espacioest generado por un nmero finito de elementos, cul es el menor nmero deelementos necesarios? Para discutir estas cuestiones y otras con ellas relacionadas

Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 11

introducimos los conceptos de dependencia, independencia, bases y dimensin.Ya en el volumen I. encontramos esas ideas al estudiar el espacio vectorial VnAhora vamos a extenderlas a espacios lineales de tipo general.

1.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal

DEFINICIN. Un conjunto S de elementos de un espacio lineal V se llamadependiente si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, Xl> , xi,y un correspondiente conjunto d escalares c1, , es, no todos cero, tales que

k

I c.x = O.i=l

El conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cuales-quiera que sean los elementos distintos X, . , x de S y los escalares c., ... , ci,

implica C1 = C2 = ... = Ck = O.

Si bien la dependencia y la independencia son propiedades de los conjuntosde elementos, podemos tambin aplicar esas denominaciones a los elementosmismos. Por ejemplo, los elementos de un conjunto independiente se llaman ele-mentos independientes.

Si S es un conjunto finito, la definicin anterior est de acuerdo con la dadaen el Volumen 1 para el espacio Vn No obstante, la definicin dada aqu no estrestringida a conjuntos finitos.

EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es dependiente, el mismoS es dependiente. Esto es lgicamente equivalente a la afirmacin de que todosubconjunto de un conjunto independiente es independiente.

EJEMPLO 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un escalar, Ses dependiente.

EJEMPLO 3. Si O E S. entonces S es dependiente

EJEMPLO 4. El conjunto vaco es independiente.

En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de conjuntos dependien-tes e independientes. Los ejemplos que a continuacin se comentan, ilustran esosconceptos en espacios funcionales. En cada caso el espacio lineal fundamental Ves el conjunto de todas las funciones reales definidas en la recta real.

i2 Espacios lineales

EJEMPLO 5. Sean u,(t) = ces" t , u2(t) = sen" t, u,,(t) = 1 para todo nme-ro real t. La identidad pitagrica prueba que u, + U2 - U3 = O, as que las tresfunciones u,, U2, u" son dependientes.

EJEMPLO 6. Sea Uk(t) = tI. para k = O, 1, 2, ... , y t real. El conjuntoS = {un, U,, U2, } es independiente. Para demostrar esto, basta demostrar quepara cada n los n + 1 polinomios Un, U,, , Un son independientes. Una rela-cin de la forma I CkUk = O significa que

(1.1)n

Icktk = O

k~O

para todo real t. Cuando t = O, encontramos que Co = O. Repitiendo el proceso,encontramos que cada coeficiente Ck es cero.

EJEMPLO 7. Si a" ... , a; son nmeros reales distintos, las n funcionesexponenciales

son independientes. Podemos demostrar esto por induccin sobre n. El resultadoes trivial cuando n = 1. Por consiguiente, supongamos que es vlida para n - 1funciones exponenciales y consideremos los escalares c., ... , CIl tales que

(1.2)n

I'ckeakx = O.

k~l'

Sea aM el mayor de los n nmeros a" ... , ano Multiplicando ambos miembros de(1.2) por ra.;:, obtenemos

(1.3)nI cke(ak-aM)x = O.

1.=1

Si k =1=M, el nmero ai - aM es negativo. Por consiguiente, cuando x ~ + 00 enla ecuacin (1.3), cada trmino con k =1=M tiende a cero y encontramos que CM = O.Suprimiendo el trmino M-simo de (1.2) Y aplicando la hiptesis de induccin,encontramos que cada uno de los n - 1 restantes coeficientes ci es cero.

TEOREMA 1.5. Sea S={Xl, ... , xd un conjunto independiente que constade k elementos de un espacio lineal V y sea L(S) el subespacio generado por S.Entonces todo conjunto de k+ 1 elementos rl US) es dependiente.

Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 13

Demostracin. La demostracin es por induccin sobre k, nmero de ele-mentos de S. Supongamos primero que k= 1. Entonces, por hiptesis, S contieneun solo elemento XI siendo Xl =1= O puesto que S es independiente. Ahora tome-mos en L(S) dos elementos distintos JI e J2' Entonces, cada uno de estos elementoses un escalar multiplicado por Xl, sea JI = CIXI e J2= C2Xl, en donde CI Y C2 noson ambos cero. Multiplicando Jl por C2 e J2 por CI Y restando, obtenemos

Por 10 tanto J'l e J2 son dependientes, quedando as demostrado el teoremacuando k= 1.

Supongamos ahora que el teorema es cierto para k - 1 Y demostremos quetambin 10 es para k. Tomemos un conjunto de k+ 1 elementos en L(S), seaT = {YI , Y2 , . , Yk + 1 }. Queremos probar que T es dependiente. Puesto que cadaelemento Yiest contenido en L(S), podemos escribir

(1.4)k

Yi = 'LaijXjj=1

para cada i= 1,2, , ... , k + 1. Examinemos todos los escalares ail que multipli-can a Xl y, para ello, consideremos dos casos en la demostracin.

CASO 1. ail=O para todo i=1,2, ... ,k+1. En este caso la suma (l.4)no incluye a x,; as cada Ji en T est en la envolvente lineal del conjuntoS'= {x2, ,xd. Pero S' es independiente y contiene k-1 elementos. Por induc-cin y para k-1, el teorema es cierto, siendo por 10 tanto, T dependiente. Estodemuestra el Caso 1.

CASO 2. No son cero todos los escalares a. Suponemos que a., =1= O.Tomando i= 1 en la ecuacin (l.4) Y mu1tiplicando los dos miembros por ci,siendo ci=aifall, obtenemos:

k

CiY1= ai1x1 + 'L cia1jxj.j~2

Si de esta ecuacin restamos la (l.4), resulta:

k

CiY1 - Yi = 'L(cia1j - aij)xj,j~2

para i=2, ... , k+ 1. Esta ecuacion expresa cada uno de los elementos CiYI - Yicomo una combinacin lineal de los k - 1 elementos independientes X2, , xi.


Por induccin,los k elementos CYl -Yi deben ser dependientes. En consecuencia,para cualquier eleccin de escalares t. ... , tk+l, no todos cero, tenemos

k+l

~ t;(CYl - Yi) = O,i~2

y de aqu deducimos

Esta es una combinacin de Yl, ... , Yk+l, que representa el vector cero, de estamanera los elementos Yl," . , Yk+l deben ser dependientes, completando as lademostracin.

1 ,8 Bases y dimensin

DEFINICIN. Un conjunto finito S de elementos de un espacio lineal V sellama base finita de V si S es independiente y genera V. El espacio V es dedimensin finita si tiene una base finita. De otro modo, V es de infinitas dimen-siones.

TEOREMA 1 .6. Sea V un espacio lineal de dimensin finita. Entonces todabase finita de V tiene el mismo nmero de elementos.

Demostracin. Sean S y T dos bases finitas de V. Supongamos que S y Tconstan respectivamente de k y m elementos. Puesto que S es independiente y en-gendra V, el teorema 1.5 nos dice que todo conjunto de k + 1 elementos de Ves dependiente. Por consiguiente, todo conjunto de ms de k elementos de V esdependiente. Ya que T es un conjunto independiente, debe ser m :::;;k. El mismorazonamiento con S y T intercambiadas prueba que k :::;;m. Por lo tanto k = m.

DEFINICIN. Si un espacio lineal V tiene una base de n elementos, el en-tero n se llama dimensin de V. Escribimos n = dim V.

EJEMPLO 1. El espacio V" tiene dimensin n. Una base es el conjunto delos n vectores coordenados unitarios.

EJEMPLO 2. El espacio de todos los polinomios p(t) de grado :::;; n tienedimensin n + 1. Una base es el conjunto de n + 1 polinomios { 1, t, t", ... , t"}.Todo polinomio de grado :::;;ti es una combinacin lineal de esos n + 1 poli-nomios.

EJE MPLO 3. El espacio de las soluciones de la ecuacion diferencialy" - 2y' - 3y = O tiene dimensin 2. Una base est formada por las dos fun-ciones u(x) = >. u:z(x) = e", Toda solucin es una combinacin lineal deesas dos.

Componentes 15

EJEMPLO 4. El espacio de todos los polinomios p(t) es de infinitas dimen-siones. El conjunto infinito {1, t, t", ... } genera este espacio y ningn conjuntofinito de polinomios genera el espacio.

TEOREMA 1.7. Sea V un espacio lineal de dimensin finita con dim V = n.Se tiene:

a) Cualquier conjunto de elementos independiente de V es un subconjuntode una cierta base para V.

b) Cualquier conjunto de n elementos independientes es una base para V.

Demostracin. Para demostrar (a), consideremos el conjunto independienteS={Xl' ... , Xk} constituido por elementos en V. Si L(S) =V, entonces S es unabase. Si no, entonces hay algn elemento y en V que no est en L(S). Aadamosese elemento a S y consideremos el nuevo conjunto S'={Xl' ... , x , y}. Si en esteconjunto dependiente multiplicamos sus elementos por escalares cI, , Ck+lsiendo alguno diferente de cero, estableceremos que

k.2 c.x + Ck+lY = O .i~l

Pero Ck+l=l= O puesto que Xl , ,Xk son independientes. De aqu que podamosresolver esta ecuacin respecto a y llegando a la conclusin que yE L(S), lo quecontradice el supuesto de que y no pertenece a L(S). Por lo tanto el conjunto S' esindependiente y contiene k+ 1 elementos. Si L(S')=V, entonces S' es una base y,siendo S un subconjunto de S', la parte (a) queda demostrada. Si S' no es una base,entonces podemos proceder con S' de igual manera que procedimos con S y consi-derar otro nuevo conjunto S" que contiene k+2 elementos y es independiente.Si S" es una base, (a) queda demostrado. Si no, repetimos el proceso. Debemosllegar a una base despus de un nmero finito de etapas, ya que de otra maneraobtendramos un conjunto independiente con n+ 1 elementos, contradiciendo elteorema (1.5). Por eso, la parte (a) del teorema (1.7) queda demostrada.

Para demostrar la parte (b) consideremos un conjunto independiente S conn elementos. Por la parte (a), S es un subconjunto de base B. Pero por el teore-ma 1.6, la base B tiene exactamente n elementos, por tanto, S=B.

1.9 Componentes

Sea V un espacio lineal de dimensin n y consideremos una base cuyoselementos e, ... , en se toman en un cierto orden. Una tal base ordenada la con-sideramos como una n-pla (e" ... en). Si X E V, podemos expresar X como unacombinacin lineal de esos elementos base:

(l.S)n

X = L c.e.,i~l


Los coeficientes en esta ecuacin determinan una n-pla de nmeros (e, ... , cn)que est unvocamente determinada por x. En efecto, si tenemos otra represen-tacin de x como combinacin lineal de e" ... , en, por ejemplo x =L;~ldiei,restando de ( 1 ,5) encontramos que L~lCCi- di)ei = O. Pero ya que los ele-mentos base son independientes, eso implica que ci=di para cada i, con lo cual(e" ... , cn) = (di,'" ,dn).

Los componentes de la n-pla ordenada (c., ... , Cn) determinada por (1'.5)se llaman componentes de x respecto a la base ordenada (e" ... , en).

l.t O EjerciciosEn cada uno de los ejerCICIOS del 1 al 10, S es el conjunto de todos los vectores

(x, y, z) de Vo cuyos componentes satisfacen la condicin que se da. Determinar si S esun subespacio de Vo' Si lo es, calcular dim S.1. x = O.2. x + y = O.3. x + y + z = O.4. x =y.5. x = y = z,

6. x = yo x = z.7. x2 - y2 = O.8. x + y = 1.9. Y = 2x y z = 3x.

10. x + V + z = O y x - y - z = O.

Sea P, el espacio lineal de todos los polinomios de grado :::;;n, siendo n fijo. En cadaejercicio del 11 al 20, sea S el conjunto de todos los polinomios I de P. que satisfacen lacondicin dada. Determinar si S es un subespacio de P. Si lo es, calcular dim S.11. 1(0) = O.12. /'(0) = O.13. /"(0) = O.14. 1(0) + /'(0) = O.15. 1(0) = 10).16. 1(0) = 1(2).17. I es par.18. I es impar.19. I es de grado s; k, siendo k < n, o I = O.20. I es de grado k, siendo k < n, o I = O.21. En el espacio lineal de todos los polinomios reales p(t), describir el subespacio engen-

drado por cada uno de los siguientes conjuntos de polinomios y determinar su dimensin.a) {l, t2, t4}; b) {t, t3, t5}; e) {t, t2}; d) {l + t, (1 + t)2}.

22. En este ejercicio, L(S) es el subespacio generado por un subconjunto S de un espaciolineal V. Demostrar las proposiciones de la a) a la f).a) S S; L(S).b) Si S S; TS; Vy si T es un subespacio de V. entonces L(S) S; T. Esta propiedad seexpresa diciendo que L(S) es el menor subespacio de V que contiene S.e) Un subconjunto S de V es un subespacio de V si y slo si L(S) = S.d) Si S S; T S; V, entonces L(S) S; L(T).e) Si S Y T son subespacios de V, tambin lo es S \ T.f) Si S Y T son subconjuntos de V. entonces L(S n T) S;L(S) \ L(T).g) Dar un ejemplo en el que L(S \ T) #- L(S) \ L(T).

23. Sea V el espacio lineal de todas las funciones reales definidas en la recta real. Deter-minar si cada uno de los siguientes subconjuntos de V es dependiente o independiente .

. Calcular la dimensin del subespacio generado por cada conjunto.

Productos interiores, espacios eucldeos. Normas 17

a) {I, e"'x, ebX}, a ; b. f) reos x, senx}.b) {e"'x, xe"'X}. g) {cos" X,sen 2 x}.e) {I, eax, xeax}. h) {I, eos 2x,sen2 x}.d) {e"'x, xe'", x2eaX}. i) {sen x, sen 2x}.e) {eX, e-x, eoshx}. j) {eX eos x, e-X senx}.

24. Sean V un espacio lineal de dimensin finita, y S un subespacio de V. Demostrar cadauna de las proposiciones siguientes.a) S es de dimensin finita y dim S ~ dim V.b) dim S = dim V si y slo si S = V.e) Toda base de S es parte de una base de V.d) Una base de V no contiene necesariamente una base de S.

1.11 Productos interiores, espacios eucldeos. Normas

En la Geometra eucldea ordinaria, aquellas propiedades que cuentan conla posibilidad de medir longitudes de segmentos rectilneos y ngulos formados porrectas se llaman propiedades mtricas. En nuestro estudio de Vn, definimos laslongitudes y los ngulos en funcin del producto escalar. Queremos ahora exten-der esas ideas a espacios lineales ms generales. Primero introduciremos una ge-neralizacin del producto escalar, que llamaremos producto interior, y luegodefiniremos la longitud y el Anguloen funcin de este producto interior.

El producto escalar x . y de dos vectores x = (Xl' .. , xn) e y = (Yl, . " Yn)de Vn se defini en el Volumen 1 por la frmula

(1.6) nx Y = IXiYi'i~l

En un espacio lineal general, escribimos (x, y) en lugar de X' y para los productosinteriores, y definimos el producto axiomticamente y no mediante una frmula.Esto es, establecemos unas ciertas propiedades que queremos que satisfagan losproductos interiores y las consideramos como axiomas.

DEFINICIN. Un espacio lineal real V tiene un producto interior si a cadapar de elementos x e y de V corresponde un nmero real nico (x, y) que satis-face los siguientes axiomas cualesquiera que sean x, y, z de V y para todos losescalares reales c.

1) (x, y) = (y, x)2) (x, y + z) = (x, y) + (x, z)3) e(x,y) = (ex, y)4) (x, x) > O si x rf O

tconmutatividad, o simetra).tdistributividad, o linealidad).(asociatividad, u homogeneidad).(positividad).

Un espacio lineal con un producto interior se llama espacio real eucldeo.


Observacin: Haciendo e = O en (3), encontramos que (O, y) = O para todo y.

En un espacio lineal complejo, un producto interior (x, y) es un nmerocomplejo que satisface los mismos axiomas que los del producto interior real,excepto el de la simetra que se reemplaza por la relacin

(1/) (x, y) = (y, x) , (Sitnetra hermitianat'

siendo (y, x) el complejo conjugado de (y, x). En el axioma de homogeneidad, elmultiplicador escalar e puede ser cualquier nmero complejo. Del axioma de lahomogeneidad y (1'), llegamos a la relacin

(3/) (x, ey) = (ey, x) = (y, x) = (x, y) .

Un espacio lineal complejo con un producto interior se llama espacio eucldeocomplejo. (A veces se usa tambin la denominacin de espacio unitario.) Unejemplo es el espacio vectorial complejo vnCC) brevemente discutido en la sec-cin 12.16 del Volumen I.

Aunque nos interesan principalmente los ejemplos de espacios eucldeos rea-les, los teoremas de este captulo son vlidos para espacios eucldeos complejos.Cuando decimos espacio eucldeo, sin ms, entenderemos que puede ser real ocomplejo.

El lector debiera comprobar que cada ejemplo que sigue satisface todos losaxiomas del producto interior.

EJEMPLO l. En Vn sea (x, y) = x . y, el producto escalar ordinario de x e y.

EJEMPLO 2. Si x = (x, , x2) e Y = (y, , Y2) son dos vectores de V2, defini-mos (x, y) mediante la frmula

Este ejemplo pone de manifiesto que pueden existir ms de un producto interioren un espacio lineal dado.

EJEMPLO 3. Sea C(a, b) el espacio lineal de todas las funciones reales con-

t En honor de Charles Hermite (1822-1901) matemtico francs que contribuy muchoal desarrollo del lgebra y del anlisis.

Productos interiores, espacios eucldeos. Normas. 19

tinuas en un intervalo [a, b]. Definamos un producto interior de dos funcionesf y g con la frmula

(j, g) = J: f(t)g(t) dt .Esta frmula es anloga a la ecuacin (1.6). que define el producto escalar de dosvectores en V n. Los valores de las funciones f(t) y g(t) desempean el papel delos componentes x, e y-; y la integracin el de la suma.

EJEMPLO 4. En el espacio C(a, b), definimos

(j, g) = J: w(t)f(t)g(t) dt ,donde w es una funcin positiva fija de C(a, b.). Tal funcin se llama funcin peso.En el ejemplo 3 tenemos w(t) = 1 para todo t.

EJEMPLO 5. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, definimos

(j, g) = fo'X) e-t(t)g(t) dt .

Debido al factor exponencial, esta integral impropia converge para todo par depolinomios f y g.

TEOREMA 1.8. En un espacio eucldeo V, todo producto interior satisfacela desigualdad de Cauchy-Schwarz:

I(x, y)12 ~ (x, x)(y, y) para todo x y (todo yen V.

Adems, el signo de igualdad es vlido si y slo si x e y SOn dependientes.

Demostracin. Si ocurre que o bien x=O o y=O la demostracin estrivial. Supongamos que x e y no son ambas cero. Sea z=ax+by en donde a y bson escalares que especificaremos despus. Tenemos la desigualdad (z,z) ~ O paratodo a y b. Cuando expresamos esta desigualdad en funcin de x e y con unaeleccin apropiada de a y b, obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Para expresar (z,z) en funcin de x e y usaremos las propiedades (I"), (2)Y (3'), obteniendo

(z; z) = (al- + by, ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by, ax) + (by, by)= aii(x, x) + ah(x,y) + bii(y, x) + bb(y,y) 2 o.

20. Espacios lineales

Tomando a=(y,y) y suprimiendo en la desigualdad el factor positivo (y,y),resulta

(y, y)(x, x)' + bix, y) + b(y, x) + bb ~ O.Ahora, hagamos b= -(x,y). Entonces, b= -(y,x) y la ltima desigualdad,

una vez simplificada, toma la forma

(y,y)(x, x) ~ (x,y)(y, x) = l(x,y)12.

Esto demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz. El signo de igualdad es vlidosi y slo si z=O. Esto ocurre si y slo si x e y son dependientes.

EJEMPLO. Aplicando el teorema 1.8 al espacio C(a, b) con el productointerior (j, g) = f~f(t)g(t) dt, encontramos que la desigualdad de Cauchy-Schwarzse transforma en

El producto interior puede utilizarse para introducir el concepto mtrico delongitud en cualquier espacio eucldeo.

DEFINICIN. En un espacio eucldeo V, el nmero no negativo Ilxll definidopor la ecuacin

Ilxll = (x, X)1/2

se denomina norma del elemento x.

Cuando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa en funcin de las nor-mas, toma la forma

I(x,y)/ ~ [x] IIyll .

Puesto que es posible definir un producto interior de muchas maneras, lanorma de un elemento depender del producto interior elegido. Esta falta de uni-cidad era de esperar. Este hecho es anlogo al de que podemos asignar nmerosdistintos a la medida de la longitud de un segmento rectilneo dado, segn laeleccin de escala o unidad de medida. El teorema que sigue da las propiedadesfundamentales de las normas que no dependen de la eleccin de producto interior.

Ortogonalidad en un espacio eucldeo 21

TEOREMA 1.9. En un espacio eucldeo, toda norma tiene las propiedadessiguientes para todos los elementos x e y, y todos los escalares c:

a) [x] = O si x = O.b) [x] > O si x o O (positividad).e) [ex] = [e] Ilxll (homogeneidad).d) IIx + yll ~ [x] + I/yll (desigualdad triangular).

El signo de igualdad es vlido en la desigualdad triangular si y slo si x e y sondependientes.

Demostracin. Las propiedades a), b) y e) se deducen inmediatamente delos axiomas del producto interior. Para demostrar d) observemos que

[x + yl12 = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x) == IIxl12+ IIyl12+ (x,y) + (x, y) .

La suma (x, y) + (x, y) es real. La desigualdad de Cauchy-Schwarz prueba que(x, y)1 ~ Ilxll Ilyll y que l(x,y)1 ~ Ilxll lbll. as que tenemos

[x + yll2 ~ IIxl12+ IIyl12+ 211xll Ilyll = (11xll + lIy11)2.Esto demuestra d). El signo de igualdad en d) es vlido siempre que lo sea en ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. Cuando y = ex, siendo e > O, tenemos

Ilx + yll = [x + ex] = (1 + c) !Ixll = I[xll + [ex] = Ilxll + Ilyl!.

DEFINICIN. En un espacio eucldeo real V, el ngulo formado por dos ele-mentos no nulos x e y se define como el nmero e del intervalo O ~ e ~ tr quesatisface la ecuacin

(1. 7) ros e = (x, y) .Ilxllllyll

Observacin: La desigualdad de Cauchy-Schwarz prueba que el cociente del se-gundo miembro de (1.7) est en el intervalo [-1, 1], as que existe slo un () en[O, 7T] cuyo coseno es igual al de este cociente.

L.12 Ortogonalidad en un espacio eucldeo

DEFINICIN. En un espacio eucldeo V, dos elementos x e y se llaman orto-gonales si su producto interior es cero. Un subconjunto S de V es un conjuntoortogonal si (x, y) = O para todo par de elementos distintos x e y de S. Un con-junto ortogonal se llama ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma 1.


El elemento cero es ortogonal a todo elemento de V; es el nico elementoortogonal a s mismo. El siguiente teorema demuestra una relacin entre ortogona-lidad y dependencia.

TEOREMA 1 .10. En un espacio eucldeo V, todo conjunto ortogonal deelementos no nulos es independiente. En particular, en un espacio eucldeo dedisnensin finita con dim V = n, todo conjunto ortogonal que conste de n ele-mentos no nulos es una base para V.

Demostracin. Sea S un conjunto ortogonal de elementos no nulos de V,y supongamos que una cierta combinacin lineal finita de elementos de S es cero,'Sea

k

!CiXi = O,i=l

donde cada x, E S. Formando el producto escalar de cada miembro por Xl yteniendo en cuenta que (Xl' Xi) = O si i =1= 1, encontramos que c, (Xl' Xl) = O.Pero (XI' Xl) =1= O ya que Xl =1= O con lo cual c, = O. Repitiendo el razonamientocambiando x, por x., encontramos que cada e = O.Esto prueba que S es indepen-diente. Si dim V = n y si S consta de n elementos, el teorema 1.7 b) demuestraque S es una base para V.

EJEMPLO. En el espacio lineal real C(O, 277") con el producto interior(f, g) = J~lTj(x)g(x) dx, sea S el conjunto de las funciones trigonomtricas {uo,ul, U2, .. } dadas por

uo(X) = 1, U2n_1(X) = cos nx, U2n(X) = sen nx , para n = 1,2, ....

Si m =1= n, tenemos las relaciones de ortogonalidad

as que S es un conjunto ortogonal. Puesto que ningn elemento de S es el ele-mento cero, S es independiente. La norma de cada elemento de S se calcula fcil-mente. Tenemos (uo , uo) = f~lT dx = 277" y, para n ~ 1, tenemos

I" 2(U2n-l' U2n-1) = o cos nx dx = 7T, . {2lT 2(U2n, U2n) =Jo sen nx dx = 7T.

Ortogonalidad en un espacio eucldeo 23

Por consiguiente, Iluoll =Vl; y /1 Un 11 = y:;;: para n ~ 1. Dividiendo cada Un porsu norma, obtenemos un conjunto ortonormal {9'!O,9'!l,9'!2, .,. } donde e.=un/llunll.As pues, tenemos

19'!o(x) = . /- ,

'V 217

sennx9'!2(X) = V; , para n ~ 1.

En la seccin 1.14 demostraremos que todo espacio eucldeo de dimensinfinita tiene una base ortogonal. El teorema que sigue muestra cmo se calculanlos componentes de un elemento relativos a una tal base.

TEOREMA 1 .11. Sea V un espacio eucldeo de dimensin finita n, y supon-gamos que S = {el' ... , e} es una base ortogonal para V. Si un elemento x estexpresado como una combinacin lineal de los elementos de la base, sea sta

(1.8) x = 2ciei'i=l

entonces sus componentes relativos a la base ordenada (el> ... , en) vienen dadospor las frmulas

(1.9) (x, ej)Cj = -(--) para j = 1, 2, ... , n.e., ejEn particular, si S es una base ortonormal, cada e viene dada por

(1.10)

Demostracin. Formando el producto interior de cada miembro de (1,8)con ej, obtenemos

n

(x, ej) = 2c;(ei, e) = cj(ej, e)i=l

puesto que (e, ej) = O si i =1=j. Esto implica (1.9), y cuando (e , e) = 1, obte-nemos (1.10).

Si {el' ... , en} es una base ortonormal, la ecuacin (1 .9) puede escribirseen la forma .

(1.11)n

X = 2(x, ei)eii=l


El siguiente teorema prueba que en un espacio eucldeo real de dimensinfinita con una base ortonormal el producto interior de dos elementos es igual a lasuma de los productos de sus componentes.

TEOREMA 1.12. Sea V un espacio eucldeo real de dimensin finita n,y supongamos lJue {el> ... , en} es una base ortonormal para V. Para todo par deelementos x e y de V, tenemos

(1.12)n

(x, y) = L (x, ei)(y, ei) (Frmula de Parseval).i=l

En particular, cuando x = y, tenemos

(1.13)n

IIxl12 = L I(x, e)12i=l

Demostracin. Formando. el producto interior de ambos miembros de laecuacin (1.11) con y, y aplicando la propiedad de linealidad del producto inte-rior, obtenemos (1.12). Cuando x = y, la ecuacin (1.12) se reduce a (1.13).

Observacin: La ecuacion (1.12) se denomina como se indica en honor' deM. A. Parseval (aproximadamente 1776-1836), que obtuvo este tipo de frmula en UDespacio funcional especial. La ecuacin (1.13) es una generalizacin del teorema dePitgoras.

1.13 Ejercicios

1. Sean x = (XI"'" xn) e y = (YI"'" Yn) vectores arbitrarios de Vn. Determinar en cadacaso, si (x, y) es un producto interior en Vn, si (x, y) est definido por la frmula que seda. En el caso en que (x, y) no sea un producto interior, decir cules son los axiomasque no se satisfacen.

n

a) (x, y) =LXi /Yi/'i=l (

n )1/2d) (x, y) = i~1 xy

n n ne) (x,y) = L(xi + Yi)2 - LX~ - LY'

i=l i=l i=ln n

e) (X,y) =LXi LYi .i~1 i~1

2. Supongamos que mantenemos los tres primeros axiomas del producto interior real(simetra, linealidad y homogeneidad) pero reemplazamos el cuarto axioma por uno nue-vo (4'): (x, x) = O si y slo si x = O. Demostrar que o (x, x) > O para todo x; Oo bien (x, x) < O para todo x ; O.

Ejercicios 25

[Indicacin' Suponer (x, x) > O para un cierto x , O Y (y, y) < O para un ciertoy , O. En el espacio generado por {x, y}, hallar un elemento z , O eon (z, z) = O.]

Demostrar que en los ejercicios del 3 al 7 cada una de las proposiciones es vlida paratodo par de elementos x e y de un espacio eucldeo real.3. (x,y) = O si y slo si [x + yll = [x - yll.4. (x,y) = O si y slo si Ilx + yl12 = IIxl12 + Ily112.5. (x,y) = O si y slo si [x + cyll :2 [x] para todo e real6. (x + y,x - y)= Osi y slo si [x] = Ilyll.7. Si x e y son elementos no nulos que forman un ngulo (), entonces

Ilx - yl12 = IIxl12 + lIyl12 - 2 Ilxll lIyll cos ().

8. En el espacio lineal real C(l, e), definimos un producto interior por

(f,g) =f: (log x)f(x)g(x) dx.a) Si I(x) = V.;, calcular 11/11.b) Hallar un polinomio de primer grado g(x) = a + bx que sea ortogonal a la funcinconstante I(x) = 1.

9. En el espacio lineal real C( -\, 1), sea (J, g) =f=-l f(t)g(t)dt. Considerar las tres fun-ciones U" u2 u3 dadas por

U3(t) = 1 + t .

Demostrar que dos de ellas son ortogonales, dos forman entre s un ngulo 'lT/3, y dosforman entre s un ngulo 'lT /6.

10. En el espacio lineal P. de todos los polinomios reales de grado ~ n, definimos

a) Demostrar que (J, g) es un producto interior para P.b) Calcular (J, g) cuando l(t) = t Y g(t) = at + b.e) Si I(t) = t, hallar todos los polinomios g ortogonales a l.

11. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, definimos (J, g) = S;; e-t(t)g(t) dt.a) Demostrar que esa integral impropia converge absolutamente para todos los polino-mios I y g.b) Si x.(t) = t" para n = O, 1, 2, ... , demostrar que (X., xm) = (m + n)! .e) Calcular (J, g) cuando l(t) = (t + 1)2 y g(t) = t2 + 1.d) Hallar \ todos los polinomios de primer grado g(t) = a + bt ortogonales a I(t) = 1+ t.

12. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, determinar si (/, g) es o no ur;producto interior cuando se define (J, g) con la frmula que se da. En el caso en que(J, g) no es un producto interior, indicar qu axiomas no son respetados. En e), f' yg' indican derivadas.


a) (f,g) = I(l)g(l)

b) (f,g) = IJ: I(t)g(t) dt le) (l.g) =J: f'(t)g'(t) dt,d) (f,g) = U:I(t) dt)U:g(t) dt).

13. V est formado con todas las sucesiones indefinidas de nmeros reales {x.} para loscuales las series 1:X2 convergen. Si x = {x.} e y = {y.} son dos elementos de V,definimos "

QO

(x,,,) = 1:x,.y" ."=1

a) Demostrar que esta serie converge absolutamente.[Indicacin: Usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para aproximar la suma

1:~=1 Ix,.y"I.l;b) Demostrar que V es un espacio lineal con (x, y) como producto interior.e) Calcular (x, y) si x; = l/n e y. = l/(n + 1) para n ~ 1.d) Calcular (x,Y) si x; = 2" e y. =l/n! para n ~ 1.

14. Sea V el conjunto de todas las funciones reales I continuas en [O, + 00) y tales que laintegral S:' e-tI2(t)dt converge. Definamos (J, g) = S:' e-tl(t)g(t)dt.a) Demostrar que la integral que da (/, g) converge absolutamente para cada par defunciones I y g de V.

[Indicacin: Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para aproximar la inte-gral Jf e-tl/(t)g(t)ldt.]

b) Demostrar que V es un espacio lineal con (j, g) como producto interior.e) Calcular (j, g) si I(t) = e-t y g(t) =t', donde n = 0, 1, 2, ....

15. En un espacio eucldeo complejo, demostrar que el producto interior tiene las siguientespropiedades para todos los elementos x, y, z y todos los complejos a y b.a) (ax, by) = a(x, y). b) (x, ay + bz) = a(x, y) + (x, z).

16. Demostrar que en todo espacio eucldeo son vlidas las identidades siguientes.a) Ilx + ylll = IIxl12 + lIy/l2 + (x,y) + (y. x).b) [x + yll2 - /Ix - yl12 = 2(x, y) + 2(y, x).e) Ilx + yl12 + Ilx - ylll = 2 Ilxlll + 2 Ily112.

17. Demostrar que el espacio de todas las funciones complejas continuas en un intervalo[a, b] se transforma en un espacio unitario si definimos un producto interior por lafrmula

(f, g) =J:w(t)/(t)g(t) dt ,donde w es una funcin positiva fija, continua en [a, b].

1.14 Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt

Todo espacio lineal de dimensin finita tiene una base finita. Si el espacio eseucldeo, podemos construir siempre una base ortogonal. Este resultado se dedu-

Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 27

cir como consecuencia de un teorema cuya demostracin ensea a construirconjuntos ortogonales en cualquier espacio eucldeo. de dimensin finita o deinfinitas dimensiones. La construccin se llama mtodo de Gram-Schmidt, en me-moria de J. P. Gram (1850-1916) y E. Schmidt (1845-1921).

TEOREMA 1.13. TEOREMA DE ORTOGONALIZACIN. Sea X, X2, ... , una su-cesin finita o indefinida de elementos de un espacio eucldeo V, y designemoscon L(xl, , Xk) el subespacio generado por los k primeros de esos elementos.Existe una sucesin correspondiente de elementos YI> Y2... , de V que tiene lassiguientes propiedades para cada entero k:

a) El elemento Yk es ortogonal a todo elemento del sub espacio L(YI> ... Yk-~).b) El sub espacio generado por YI> , Yk es el mismo que el generado

por Xl' . xi:

e) La suceston YI. Y2... es nica, salvo factores escalares. Esto es, siy; , Y2,' .. , es otra sucesin de elementos de V que satisfacen las propiedades a)y b), entonces para cada k existe un escalar Ck tal que Y~ = cltYlt

Demostracin. Construyamos los elementos Y1> Y2, ... , por induccin. Parainiciar el proceso, tomamos YI = Xl' Supongamos ahora que hemos construidoYI, , Yr de modo que a) y b) se satisfacen cuando k = r. Definamos Yr+1 me-diante la ecuacin

(1.14)r

Yr+l= xr+1 - !aiYi ,i=l

donde los escalares al' ... , a- tienen que determinarse. Para j ::;;r, el productointerior de Yr+l con Yi viene dado por

,(Y"'-1, Yi) = (X,+!, Yi) - !a(yi , Yi) = (X,+!, Yi) - a(Yi ' Yi)'

, i=1

puesto que (Yi, Yi) = O si i# j. Si Yi.=I=O, podemos hacer Yr+l ortogonal a Yitomando

(1.15) ai = (x,+!, Yi) .(Yi'Y;)

Si Yi = O, entonces Yr+l es ortogonal a Yi para cualquier a que se elija, en estecaso elegimos a = O. As pues, el elemento Yr+l est bien definido y es ortogonal


a cada uno de los anteriores elementos y" ... , Yr' Por consiguiente, es ortogonala todo elemento del subespacio '

Esto demuestra a) cuando k = r + 1.Para demostrar b) cuando k = r + 1 , tenemos que probar que

L(Y1,'" ,Yr+l) = L(x1,, xr+1), dado que L(Y1,'" ,Yr) = L(x1,, x.).Los r primeros elementos YH . , y, pertenecen a

y por tanto estn en el subespacio ms amplio L(x1, ... , xr+l)' El nuevo elemen-to Y'+1 dado por (1.14) es una diferencia de dos elementos de L(x1, X'+1)as que tambin est en L(X1 ... ' xr+l)' Esto demuestra que

La ecuacin (1 .14) prueba que xr+1 es la suma de dos elementos deL(Y1 , ... , Yr+1)con lo que un razonamiento anlogo da la inclusin en el otro sentido:

Esto demuestra b) cuando k = r + l. Por lo tanto a) y b) han sido demostradospor induccin respecto de k.

Finalmente demostramos e) por induccin respecto de k. El caso ic = 1 estrivial. Por consiguiente, supongamos que e) es cierto para k = r y consideremosel elemento Y;+l . En virtud de b), este elemento pertenece a

L(Y1,'" ,Yr+l)'

as que podemos escribir

r+1Y;+l = ! CiYi = z; + Cr+lYr+l '

i=1

donde Z, E L(y, ... y,). Queremos demostrar que z, = O. Por la propiedada), Y;+l y cr+lYr+l son ambos ortogonales a z-. Por consiguiente, su diferencia, z.,es ortogonal a z.. Dicho de otro modo, z; es ortogonal a s mismo, as quez; = O. Esto completa la demostracin del teorema de ortogonalidad.

En la construccin anterior, puede suceder que Yr+l = O para algn r. Enton-ces (1 .14) prueba que Xr+1 es una combinacin lineal de Y1 y" y por tanto

Construccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-Schmidt 29

de X" , x" as que los elementos X1J , Xr+l son dependientes. En otras pa-labras, si los Ti primeros elementos X1J , Xk son independientes, los elementoscorrespondientes Y1J , Yk son no nulos. En este caso los coeficientes ai de (1.14)vienen dados por (1.15), y las frmulas que definen Y" ... , Yk se convierten en

(1.16) Yl = Xl ,{' (x,+!, Yi) 1 2 k 1

Yr+l = xr+! - L (. .)Yi para r = , , ... , - .i~l y" y,

Estas frmulas constituyen el mtodo de Gram-Schmidt para construir un conjuntoortogonal de elementos no nulos Y1J , Yk que generan el mismo subespacio queel conjunto independiente dado X" '" xs. En particular, si X" , x es unabase para un espacio eucldeo de dimensin finita, entonces Y" ... , Yk es una baseortogonal para el mismo espacio. Tambin podemos convertir sta en una baseortonormal normalizando cada uno de los elementos Yi, esto es, dividindolo porsu norma. Por consiguiente, como corolario del teorema 1.13 tenemos el si-guiente.

TEOREMA 1.14. Todo conjunto eucldeo de dimensin finita tiene una baseortonormal.

Si X e y son elementos en un espacio eucldeo, con y =1= O, el elemento

(X, y) y(y, y)

Y3 = X3 - QtY, - Q Y Q. - ~2 2' I - (y, Y)

FIGURA 1.1 El mtodo de Gram-Schmidt en Va' Un conjunto ortogonal {Y" Y2' Y3}se construye a partir de un conjunto independiente {x., x2' xa}.


se llama la proyeccin de x sobre y. En el mtodo de Gram-Schmidt (1.16),construimos el elemento Yr+l restando de Xr+l la proyeccin de Xr+l sobre cadauno de los anteriores elementos YI> .. , Yr. La figura 1.1 representa la construc-cin geomtrica en el espacio vectorial V3

EJEMPLO 1. En V., hallar una base ortonormal para el subespacio generadopor los tres vectores Xl = (1, -1, 1, -1), X2 = (5, 1, 1, 1,),Y X3 = (-3, -3,1, -3).

Solucin. Aplicando el mtodo de Gram-Schmidt, encontramos

Yi= Xl = (1, -1, 1, -1) ,

(X2, YI) (4 2 O 2)Y2 = X2 - YI = X2 - YI = , " ,(YI, y)

(xa, YI) (xa, Y2) + (O O O O)Ya = Xa - --- YI - Y2 = X3 - YI Y2 = , " .(y , YI) (Y2, Y2)

Puesto que Y3 = O, los tres vectores X, X2, X3 deben ser dependientes. Pero yaque Yl e Y2 son no nulos, los vectores Xl y ~2 son independientes. Por consiguienteL(xl, X2, x3) es un subespacio de dimensin 2. El conjunto {YI> Y2} es una baseortogonal para ese subespacio. Dividiendo YI e Y2 cada uno por su norma llegamosa una base ortonormal que consta de dos vectores

YI 1 )---- = -(1 -1 1 -1IIYIII 2' "

y Y2 1 1 )---- = .17(2, ,0,1 .IIY211 v 6

EJEMPLO 2. Polinomios de Legendre. En el espacio lineal de todos los po-linomios, con el producto interior (x, y) =f=-l x(t) y(t) dt, consideramos la sucesinindefinida x", XI> x2, , donde xn(t) = t". Cuando se aplica a esa sucesin elteorema de ortogonalizacin se transforma en otra sucesin de polinomiosYo, YI> Y2' ... , que el matemtico francs A. M. Legendre (1752-1833) fue elprimero en encontrar en su trabajo sobre la teora del potencial. Los primeros deesos polinomios se calculan fcilmente con el mtodo de Gram-Schmidt. Antetodo, tenemos yo(t) = x,,(t) = 1. Puesto que

(Yo, Yo) =fl dt = 2-1

y (Xl ,Yo) =fl tdt = O,-1

encontramos que

Complementos ortogonales. Proyecciones 31

A continuacin, utilizamos las relaciones

JI 2 2(x2 , Yo) = t dt = - ,-1 3 (x2 , Yl) =Jl t3 dt = O,-1 JI 2 2(y , Y) = t dt = --1 3para obtener

Y2(t) = x2(t) - (x2 , Yo) Yo(t) _ (x2 , Yl) y(t) = t2 _ !.(Yo , Yo) (Yl , Yl) 3

Del mismo modo, encontramos que

3 3Y3(t) = t - 5 t , 4 6 2 3Y4(t) = t - - t + - ,

. 7 35. . 5 10 3 5

Ys(t) = t - - t + - t .9 21

En el captulo 6 encontraremos de nuevo esos polinomios en el estudio de lasecuaciones diferenciales, y probaremos que

n! dn(2 lnY (t) = - - t - ) .n (2n)! dt"

Los polinomios P; dados por

(2n)! 1 a: ( 2 )nPnCt) = 2n(n !)2 Yn(t) = 2nn! dtn t - 1

se conocen con el nombre de polinomios de Legendre. Los polinomios de la su-cesin ortonormal correspondiente rpo, ({!i, rp2" . , dados por rpn= Yn/IIYnll sellaman polinomios de Legendre normalizados. De las frmulas para Yo, ... , Y5dadas antes, encontramos que

J-I 3({!o(t) = vi' ({!(t) = 2 t ,1m

({!s(t) = 8~ 2" (63t5 - 70t3 + 15t) .

1.15 Complementos ortogonales. Proyecciones

Sean V un espacio eucldeo y S un subespacio de dimensin finita. Vamosa considerar el siguiente problema de aproximacin: Dado un elemento x de


V, determinar un elemento en S cuya distancia a x sea lo ms pequea posible.La distancia entre dos elementos x e y se define como la norma Ilx - Y,.

Antes de discutir este problema en su forma general, consideremos un casoparticular, representado en la figura 1.2. Aqu V es el espacio vectorial V" y S esun subespacio de dimensin dos, un plano que pasa por el origen. Dado x de V,el problema consiste en encontrar, en el plano S, el punto s ms prximo a x.

Si x E S, evidentemente la solucin es s = x. Si x no pertenece a S, el puntoms prximo s se obtiene trazando una perpendicular desde x al plano. Este sen-cillo ejemplo sugiere una introduccin al problema general de aproximacin y daorigen a la discusin que sigue.

DEFINICIN. Sea S un subconjunto de un espacio eucldeo V. Se dice que unelemento de V es ortogonal a S si es ortogonal a todo elemento de S. El conjuntode todos los elementos ortogonales a S se designa con Si- y es el perpendiculara S.

Es un ejerCICIOsencillo comprobar que Si- es un subespacio de V, tanto,si S lo es como si no loes. En el caso en que S sea un subespacio, entonces Si- sellama complemento ortogonal de S.

EJEMPLO. Si S es un plano que pasa por el origen, como se ve en la figu-ra 1.2. entonces Si- es una recta por el origen perpendicular a ese plano. Esteejemplo da tambin una interpretacin geomtrica para el teorema siguiente.

sJ..

FIGURA 1.2 Interpretacin geomtrica del teorema de descomposicin ortogonal en V3

Complementos ortogonales. Proyecciones 33TEOREMA 1.15. TEOREMA DE LA DESCOMPOSICION ORTOGONAL. Sean V un

espacio eucldeo y S un subespacio de V de dimensin finita. Todo elemento xde V puede representarse en forma nica como una suma de dos elementos, unode S y otro de S.l-. Esto es, tenemos

(1.17) x = s + s.l-, donde s E S

Adems, la norma de x viene dada por la frmula pitagrica

(1.18)

Demostracin. Demostremos primero que existe en realidad una descom-posicin ortogonal (1.17). Puesto que S es de dimensin finita, tiene una baseortonormal finita, sea sta {el' ... , en}. Dado x, definimos los elementos s y s.l-as:

(1.19)n

S = L (x, ei)ei ,i~l

.LS =x-s.

Observemos que cada trmino (x, ei)ei es la proyeccin de x sobre et. El elemen-to s es la suma de las proyeccciones de x sobre cada elemento de la base. Puestoque s es una combinacin lineal de los elementos de la base, s est en S. La defi-nicin de sol prueba que la ecuacin (1 .17) es vlida. Para demostrar que solest en S.1, consideremos el producto interior de s.1.y cualquier elemento e de labase. Tenemos

Pero de (1.19;), encontramos que (s, e) = (x, e), as que s.1.es ortogonal a ej.Por consiguiente si es ortogonal a todo elemento de S, lo cual significa ques.1. E S.1..

Probamos a continuacin que la descomposicin ortogonal (1.17) es nica.Supongamos que x tuviera dos descomposiciones, sean stas

(1.20) I x=s+sl y x = (+ (.l.,

donde s y t estn en S, y sI Y (1 estn en S1o. Queremos demostrar que s = t Ys-L-= (l.. De (1.2.0), tenemos s - t = (1. - s.L, as que slo necesitamos demos-trar que s - t = O. Pero s - t E S Y (1. - s-L E S1.. con lo que s - t es orto-gonal a (1.. - s.L e igual a t..l..- sl-. Puesto que el elemento cero es el nico ele-mento ortogonal a s mismo, debe ser s - t = O. Esto demuestra que la descom-posicin es nica.


Finalmente, demostremos que la norma de x viene dada por la frmula pita-grica. Tenemos

IIxl12 = (x, x) = (s + s~, s + SL) = (s, s) + (S~, SJ),

siendo nulos los restantes trminos ya que s y s~ son ortogonales. Esto demues-tra (1.18).

DEFINICIN. Sea S un sub espacio de dimensin finita de un espacio eucldeoV, y sea {el> ... , en} una base ortonormal para S. Si x E V, el elemento s defi-nido por la ecuacin

n

S = 2 (x, ei)eii=l

se denomina proyeccin de x sobre el subespacio S.

Demostramos seguidamente que la proyeccin de x sobre S es la solucindel problema de aproximacin establecido al comienzo de esta seccin.

1.16' Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo por elementosde un subespacio de dimensin finita

\

TEOREMA 1.16. TEOREMA DE APROXIMACIN. Sea S ,un subespacio de di-mensin finita de un espacio eucldeo V, y sea x un elemento de V. La proyeccinde x sobre S es ms prxima a x que cualquier otro elemento de S. Esto es, si ses la proyeccin de x sobre S, tenemos

[x - sil ~ [x - tjl

para todo t de S; es vlido el signo de igualdad si y slo si t = s.

Demostracin. En virtud del teorema 1.15 podemos escribir x = s + s~,donde s E S Y s~ E S~. Entonces, para cualquier t de S, tenemos

x - t = (x - s) + (s - t) .Puesto que s - t E S Y x - s = s~ E S~, sta es una descomposicin ortogonalde x - t, as que su norma viene dada por la frmula pitagrica

Ilx - tl12 = IIx -,sI12 + lis - t112.

Aproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo 35

Pero lis - tl12 0, con lo que Ilx - tW Ilx - sW, valiendo el signo igual siy slo si s = t. Esto completa la demostracin.

EJEMPLO 1. Aproximacin de funciones continuas en [O, 217],por polino-mios trigonomtricos. Sea V = C(O, 217), el espacio lineal de todas las funcionesreales continuas en el intervalo [0,277], y definamos un producto interior mediantela ecuacin (1,g) = n" f(x)g(x) dX.En la seccin 1.12 vimos un conjunto orto-normal de funciones trigonomtricas CFo, CFI, CF2, , donde

(1.21) 1CFo(X) = _/- ,V 217

cos kxCF2k-l(X) = y; , sen kxCP2k(X) = y;' para k 1 .

Los 2n + 1 elementos epo, epI' ... , ep2n generan un subespacio S de dimensin2n + 1. Los elementos de S se llaman polinomios trigonomtricos.

Si f E C(0,27T), sea l la proyeccin de f sobre el sub espacio S. Tenemosentonces

(1.22)2n

I; = l:O


~ n. Si I E C( -1, 1), designemos con In la proyeccin de I sobre S. Tenemosentonces

n

I,=I (J, f(!k)f(!k ,k~O

donde (J, f(!k) =L: f(t)f(!it) dt .Este es el polinomio de grado ~ n para el que la norma 1II - Inll es la menor.Por ejemplo, cuando I(x) = sen nx, los coeficientes

Ejercicios 37

4. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, con producto interior (x, y) =fAx(t)y(t)dt, sea x.(t) = t" para n = 0, 1, 2, '" . Demostrar que las funciones

Yo(t) = 1 , YI(t) =V3 (2t - 1) , 12(1) = v5 (6t2 - 6t + 1)forman un conjunto ortonormal que genera el mismo subespacio que {XO' Xl' X2}.

5. Sea V el espacio lineal de todas las funciones reales 1 continuas en [O, + '!J) y talesque la integral J~ e-tf2(t)dt converge. Definamos (f, g) = J~ e-tl(t)g(t)dt, y sea Yo, YI'Y2' , el conjunto obtenido aplicando el mtodo de Gram-Schmidt a XO' Xl' x2' ,donde x.(t) = t" para n ;:: O. Demostrar que yo(t) = 1, YI(t) = t - 1, y2(t) = t2 - 4t + 2,Y (t) = t3 - 9t2 + 18t - 6.

6. E~ el espacio lineal real C(1, 3) con producto interior (f, g) =H I(x)g(x)dx, seaI(x) = l/x y demostrar que el polinomio constante g ms prximo a 1 es g = i log 3.Calcular lls - fl12para este g.

7. En el espacio lineal real C(O, 2) con producto interior (f, g) = H I(x)g(x)dx, seaI(x) = e" y demostrar que el polinomio constante g ms prximo a 1 es g = i(e2 - 1).Calcular IIg - 1112 para este g.

8. En el espacio' lineal real C( -1, 1) con producto interior (f, g) =J~l/(x)g(x)dx, seaI(x) = e" y hallar el polinomio g ms prximo a l. Calcular Ilg - 11/2 para este g.

9. En el espacio lineal real C(O, 2'1T) con producto interior (f, g) = Hu I(x)g(x)dx, seaI(x) = x. En el subespacio generado por uo(x) = 1, ul(x) = cos x, u

2(x) = sen x, hallar

el polinomio trigonomtrico ms prximo a f.10. En el espacio lineal V del ejercicio 5, poner I(x) = e-X y hallar el polinomio de primer

grado ms prximo a f.

2TRANSfORMACIONESLINEALES Y MATRICES

2.1 Transfonnaciones lineales

Uno de los modernos objetivos del Anlisis es un estudio amplio de funcio-nes cuyos dominios y recorridos son subconjuntos de espacios lineales. Tales fun-ciones se llaman transformaciones, aplicaciones, u operadores. Este captulo tratade los ejemplos ms sencillos, llamados transformaciones lineales, que se presen-tan en todas las ramas de la Matemtica. Las propiedades de transformacionesms generales se obtienen a menudo aproximndolas mediante transformacio-nes lineales.

Introducimos primero la notacin y la terminologa ms corriente relativa afunciones cualesquiera. Sean V y W dos conjuntos. El smbolo

T: V-- W

se usar para indicar que T es una funcin cuyo dominio es V y cuyos valoresestn en W. Para cada x de V, el elemento T(x) de W se llama imagen de xa travs de T, y decimos que T aplica x en T(x). Si A es un subconjunto cual-quiera de V, el conjunto de todas las imgenes T(x) para x de A se llama la ima-gen de A a travs de T y se representa por T(A). La imagen del dominio V, T(V),es el recorrido de T.

Supongamos ahora que V y W son espacios lineales que tienen el mismo con-junto de escalares, y definamos una transformacin lineal como sigue.

DEFINICIN. Si V Y W son dos espacios lineales, una funcin T: V ~ W sellama transformacin lineal de V en W, si tiene las propiedades siguientes:

a) T(x + y) = T(x) + T(y)b) T(cx) = cT(x)

cualesquiera que sean x e y de V,para todo x de V y cualquier escalar c.

39

40 Transformaciones lineales y matrices

Esto significa que T conserva la adicin y la multiplicacin por escalares.Las dos propiedades pueden combinarse en una frmula que establece que

T(ax + by) = aT(x) + bT(y)para todo x y todo y de V y todos los escalares a y b. Por induccin, tenemostambin la relacin ms general

para n elementos cualesquiera Xl"'" x de V, y n escalar

cálculus apostol 2

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