1. E~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el acceso a los materiales necesarios para laeducacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no sonaccesibles para todos.Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto asugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y aayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin.El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin decualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad deCiencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguientedireccin de correo electrnico:eduktodos@gmail.com http:// eduktodos. dyndns. org

2. Calculus 3. TOIT1 M. ApostolCALCULUSVOLUMEN IClculo con funciones de una variable, con unaintroduccin al lgebra linealSegunda edicin"EDITORIAL REVERTE, S. A.Barcelona -Bogot -Buenos Aires - Caracas -Mxico 4. Ttulo de la obra original:CALCULUS, One -Variable Calculus,with an introduction to Linear AlgebraEdicin original en lengua inglesa publicada por:Blaisdell Publishing Company, Waltham, MassachusettsCopyright by Blaisdell Publishing Company, 1967Versin espaola por:Dr. D. Francisco Vlez CantarellProfesor adjunto de la Facultad de Ciencias de BarcelonaRevisada por:Dr. D. Enrique Lins EscardCatedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de MadridPropiedad de:EDITORIAL REVERT, S. A.Loreto, 13-15, Local B08029 Barcelona - ESPAAE-mail: reverte@reverte.comInternet: http://www.reverte.comy REVERT EDICIONES, S.A. DE C.VRo Pnuco 141 Col Cuauhtmocc.P. 06500 Mxico, D.F. - MXICOE-mail: resavbp@data.neLmx101545.2361@compuserve.comReservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamientoinformtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pbli-cos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares del copy-right, bajo las sanciones establecidas por las leyes.Edicin en espaol EDITORIAL REVERT, S. A., 1984 REVERT EDICIONES, s.A. de C.V., 19999" Reimpresin 2001Impreso en Espaa - Printed in SpainISBN - 84 - 291 - 5002 - 1 (Espaa)ISBN - 968 - 6708 - 10 - 3 (Mxico)Depsito Legal: B - 32464 - 2001Impreso por Imprimeix S.L.Eduard Maristany, 10008912 Badalona (Barcelona) 5. aJane y Stephen 6. PRLOGOExtracto del prlogo a la primera edicinParece que no hay acuerdo sobre 10 que ha de constituir un primer cursode Clculo y Geometra Analtica. Unos sostienen que el camino verdadero paraentender el Clculo principia con un estudio completo del sistema de los nmerosreales desarrollndolo paso a paso de manera lgica y rigurosa. Otros insistenen que el Clculo es ante todo un instrumento para los ingenieros y fsicos; y porconsiguiente, que un curso debe llevar a las aplicaciones del Clculo apelando a laintuicin, para despus, por el ejercicio en la resolucin de problemas, alcanzardestreza operatoria. En ambos puntos de vista hay mucha parte de razn.El Clculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemtica pura. Al mismotiempo es muy importante recordar que el Clculo tiene profundas races en pro-blemas fsicos y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad desus aplicaciones. Mas es posible combinar un desarrollo terico riguroso con unasana formacin tcnica, y este libro representa un intento de establecer un sensibleequilibrio entre las dos tendencias. Aunque se trate el Clculo como ciencia deduc-tiva, no por eso se abandonan las aplicaciones a problemas fsicos. Las demos-traciones de todos los teoremas importantes se consideran como una parte esencialen el desarrollo de las ideas matemticas, y con frecuencia van precedidas de unadiscusin geomtrica o intuitiva para dar al estudiante una visin ms penetrantedel porqu de la demostracin. Aunque estas discusiones intuitivas pueden sersuficientes para el lector que no est interesado en los detalles de la demostracin,tambin se incluye la demostracin completa para aquellos que prefieran unaexposicin ms rigurosa.La disposicin de este libro ha sido sugerida por el desarrollo histrico yfilosfico del Clculo y la Geometra Analtica. Por ejemplo, se estudia la integra-cin antes de la diferenciacin. Aunque esta manera de ordenar la materia delcurso sea poco frecuente, es histricamente correcta y pedaggicamente adecuada.Adems, es el mejor camino para hacer patente la verdadera conexin entre laderivada y la integral.El concepto de integral se define en primer lugar para funciones escalonadas.Puesto que la integral de una funcin escalonada no es ms que una suma, laVII 7. VIII Prlogoteora de la integracin es extremadamente sencilla en este caso. Mientras el estu-diante aprende las propiedades de la integral para funciones escalonadas, adquiereexperiencia en el uso de la notacin sumacin y al mismo tiempo se familiarizacon el simbolismo de la integral. De esta manera se van construyendo los peldaospara que la transicin de funciones escalonadas a otras funcicnes ms generalesparezca fcil y natural.Prlogo a la segunda edicinLa segunda edicin difiere de la primera en muchos aspectos. Se ha aadidoel lgebra lineal; los teoremas del valor medio y las aplicaciones del Clculo sehan introducido en los primeros captulos, y se ha aadido buen nmero denuevos y sencillos ejercicios. Una inspeccin del ndice revela que el libro se hadividido en captulos de menor extensin, desarrollndose cada uno sobre unconcepto importante. Varias secciones han sido escritas de nuevo y reorganizadaspara proporcionar una mejor fundamentacin y mejorar la fluidez de las ideas.Al igual que en la primera edicin, cada concepto nuevo importante vieneprecedido de una introduccin histrica, que describe su desarrollo desde unaprimera nocin fsica intuitiva hasta su formulacin matemtica precisa. El estu-diante descubre en parte los esfuerzos del pasado y los triunfos de los hombresque ms han contribuido al tema. De este modo el estudiante se convierte enparticipante activo en la evolucin de las ideas y no queda como mero observadorpasivo de los resultados.La segunda edicin, como la primera, est dividida en dos volmenes. Las dosterceras partes primeras del Volumen 1 tratan del Clculo con funciones de unavariable, incluyendo las series y una introduccin a las ecuaciones diferenciales.La ltima tercera parte del Volumen 1 introduce el lgebra lineal con aplicacionesa la Geometra y al Anlisis. Gran parte de estos temas se apoya slidamente enel clculo de ejemplos que ilustran la teora general. Ello proporciona una mezclade lgebra y de Anlisis y contribuye a preparar el camino para la transicindel Clculo con una variable al Clculo con varias variables, que se trata en elVolumen Il. Un desarrollo ms amplio de lgebra lineal se har necesario en lasegunda edicin del Volumen 11.Una vez ms reconozco con agrado mi deuda con los profesores H. F. Boh-nenblust, A. Erdlyi, F. B. Fuller, K. Hoffman, G. Springer, y H. S. Zuckerman.Su influencia en la primera edicin ha continuado en la segunda. En la prepara-cin de la segunda edicin, recib tambin la ayuda del profesor Basil Gordon,que sugiri muchas mejoras. Estoy tambin agradecido a George Springer yWilliam P. Ziemer, que leyeron las ltimas pruebas. El personal de BlaisdellPublishing Company, como siempre, ha prestado una gran ayuda; aprecio susimptica aceptacin de mis deseos en lo relativo al formato y a la tipografa. 8. Prlogo IXPor ltimo, tengo especial satisfaccin en expresar mi gratitud a mi esposapor haber contribuido en diversas formas a la preparacin de las dos ediciones.En testimonio de mi agradecimiento le dedico este libro.T.M.A.Pasadena, California 9. 11.1I 1.2I 1.3*1 1.4I 1.5I 1.6I 2.1I 2.2I 2.3I 2.4I 2.5I 3.1I 3.2*1 3.3I 3.4*1 3.5I 3.6I 3.7I 3.8I 3.9NDICE ANALTICOl. INTRODUCCINParte 1. Introduccin histricaLos dos conceptos bsicos del ClculoIntroduccin histricaEl mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbolaEjerciciosAnlisis crtico del mtodo de ArqumedesLa introduccin al Clculo que se utiliza en este libroParte 2. Conceptos bsicos de la teora/ de conjuntosIntroduccin a la teora de conjuntosNotaciones para designar conjuntosSubconjuntosReuniones, intersecciones, complementosEjerciciosParte 3. Un conjunto de axiomas para el sistemade nmeros realesIntroduccinAxiomas de cuerpoEjerciciosAxiomas de ordenEjerciciosNmeros enteros y racionalesInterpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntosde una rectaCota superior de un conjunto, elemento mximo, extremo superiorAxioma del extremo superior (axioma de completitud)XI134910121314151719212224242626282830 10. XIII 3.10I 3.11*1 3.12*1 3.13*1 3.14*1 3.15I 4.1I 4.2*1 4.3I 4.4*1 4.5I 4.6I 4.7I 4.8I 4.9*1 4.101.11.2*1.31.41.51.61.71.81.91.101.111.121.131.141.151.161.171.18/ndice analticoLa propiedad arquimediana del sistema de los nmeros realesPropiedades fundamentales del extremo superiorEjerciciosExistencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativosRaces de orden superior. Potencias racionalesRepresentacin de los nmeros reales por medio de decimalesParte 4. Induccin matemtica, smbolossumatorios y cuestiones relacionadasEjemplo de demostracin por induccin matemticaEl principio de la induccin matemticaEl principio de buena ordenacinEjerciciosDemostracin del principio de buena ordenacinEl smbolo sumatorioEjerciciosValor absoluto y desigualdad triangularEjerciciosEjercicios varios referentes al mtodo de induccin1. LOS CONCEPTOS DEL CLCULOINTEGRALLas ideas bsicas de la Geometra cartesianaFunciones. Ideas generales y ejemplosFunciones. Definicin formal como conjunto de pares ordenadosMs ejemplos de funciones realesEjerciciosEl concepto de rea como funcin de conjuntoEjerciciosIntervalos y conjuntos de ordenadasParticiones y funciones escalonadasSuma y producto de funciones escalonadasEjerciciosDefinicin de integral para funciones escalonadasPropiedades de la integral de una funcin escalonadaOtras notaciones para las integralesEjerciciosLa integral de funciones ms generalesIntegrales superior e inferiorEl rea de un conjunto de ordenadas expresada como una integral32333435363740414244454649505354596165666970737475777879818586889192 11. lndice analtico1.191.201.211.221.231.241.251.261.27Observaciones relativas a la teora y tcnica de la integracinFunciones montonas y montonas a trozos. Definiciones y ejemplosIntegrabilidad de funciones montonas acotadasClculo de la integral de una funcin montona acotadaClculo de la integral f~xPdx siendo p entero positivoPropiedades fundamentales de la integralIntegracin de polinomiosEjerciciosDemostraciones de las propiedades fundamentales de la integral2. ALGUNAS APLICACIONES DE LAINTEGRACIN2.12.2IntroduccinEl rea de una regin comprendida entre dos grficas expresadacomo una integralEjemplos resueltosEjerciciosLas funciones trigonomtricasFrmulas de integracin para el seno y el cosenoDescripcin geomtrica de las funciones seno y cosenoEjerciciosCoordenadas polaresLa integral para el rea en coordenadas polaresEjerciciosAplicacin de la integracin al clculo de volmenesEjerciciosAplicacin de la integracin al concepto de trabajoEjerciciosValor medio de una funcinEjerciciosLa integral como funcin del lmite superior. Integrales indefinidasEjercicios2.32.42.52.62.72.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.193. FUNCIONES CONTINUAS3.1 Idea intuitiva de continuidad 1553.2 Definicin de lmite de una funcin 1563.3 Definicin de continuidad de una funcin 1603.4 Teoremas fundamentales sobre lmites. Otros ejemplos defunciones continuas 1623.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre lmites 167XIIl939495979899101102104109109111116117121126129133134136137140141144145147148153 12. XIV4.144.154.164.174.184.194.204.21ndice analtico3.63.73.83.93.103.113.123.133.143.153.163.173.183.193.20EjerciciosFunciones compuestas y continuidadEjerciciosTeorema de Bolzano para las funciones continuasTeorema del valor intermedio para funciones continuasEjerciciosEl proceso de inversinPropiedades de las funciones que se conservan por la inversinInversas de funciones montonas a trozosEjerciciosTeorema de los valores extremos para funciones continuasTeorema de la continuidad uniformeTeorema de integrabilidad para funciones continuasTeoremas del valor medio para funciones continuasEjercicios4. CLCULO DIFERENCIAL4.14.24.34.44.54.64.74.84.94.104.11Introduccin histricaUn problema relativo a velocidadDerivada de una funcinEjemplos de derivadaslgebra de las derivadasEjerciciosInterpretacin geomtrica de la derivada como una pendienteOtras notaciones para las derivadasEjerciciosRegla de la cadena para la derivacin de funciones compuestasAplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variacinligados y derivacin implcitaEjerciciosAplicaciones de la derivacin a la determinacin de los extremosde las funcionesTeorema del valor medio para derivadasEjerciciosAplicaciones del teorema del valor medio a propiedadesgeomtricas de las funcionesCriterio de la derivada segunda para los extremosTrazado de curvasEjerciciosEjemplos resucitas de problemas de extremosEjercicios4.124.13169172174175177178179180182183184186187189190191192195197201204207209211213216219221224227228230231233234237 13. :4.22:4.235.55.65.75.85.95.10:5 .11Indice analticoDerivadas parcialesEjercicios5. RELACIN ENTRE INTEGRACINy DERIVACIN5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamentalde l c lculoTeorema de la derivada nulaFunciones primitivas y segundo teorema fundamental del clculoPropiedades de una funcin deducidas de propiedades de suderivadaEjerciciosLa notacin de Leibniz para las primitivas1ntegracin por sustitucinEjercicios1ntcgracin por partesEjerciciosEjercicios de repaso5.25.35.46. F1C1CTN LOGARITMO, FUNCINEX POXENCIAL y FUNCIONESTRIGONOM~TRICASINVERSAS6.16.26.36.46.56.66.7J ntrcduccinDefinicin del logaritmo natural como integralDefinicin de logaritmo. Propiedades fundamentalesGrfica del logaritmo naturalConsecuencias de la ecuacin funcional L(ab) = L(a) + L(b)Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1Frmulas de derivacin e integracin en las que intervienenlogaritmosDerivacin logartmicaEjerciciosPolinomios de aproximacin para el logaritmoEjerciciosLa funcin exponencialExponenciales expresadas como potencias de eDefinicin de e para x real cualquieraDefinicin de a" para a>O y x realFrmulas de derivacin e integracin en las que intervienenexponenciales6.86.96.106.116.126.136.146.156.16xv239245247250250253254257259264266269272277278281282282284286288289291296296298299300300 14. XVI6.176.186.196.206.216.226.236.247.17.27.37.47.57.6*7.77.87.9lndice analtico6.256.26EjerciciosFunciones hiperblicasEjerciciosDerivadas de funciones inversasInversas de las funciones trigonomtricasEjerciciosIntegracin por fracciones simplesIntegrales que pueden transformarse en integrales de funcionesracionalesEjerciciosEjercicios de repaso3043073083083093143163233263283333353373403413423473483503543563573623633663683718.1 Introduccin 3738.2 Terminologa y notacin 3748.3 Ecuacin diferencial de primer orden para la funcin exponencial 3768.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 3778.5 Ejercicios 3817. APROXIMACIN DE FUNCIONESPOR POLINOMIOS7.107.117.127.137.147.157.167.17IntroduccinPolinomios de Taylor engendrados por una funcinClculo con polinomios de TaylorEjerciciosFrmula de Taylor con restoEstimacin del error en la frmula de TaylorOtras formas de la frmula de TayIor con restoEjerciciosOtras observaciones sobre el error en la frmula de Taylor. Lanotacin 0-Aplicaciones a las formas indeterminadasEjerciciosRegla de LHpital para la forma indeterminada O/OEjerciciosLos smbolos + 00 y - oo , Extensin de la regla de LHpitalLmites infinitosComportamiento de log x y ea: para valores grandes de xEjercicios8. INTRODUCCIN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES 15. 8.68.78.88.98.108.118.128.138.148.15In dice analtico8.16Algunos problemas fsicos que conducen a ecuaciones diferencialesde primer ordenEjerciciosEcuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantesExistencia de soluciones de la ecuacin y" +by =OReduccin de la ecuacin general al caso particular y" +by =OTeorema de unicidad para la ecuacin y" +by =OSolucin completa de la ecuacin y" +by =OSolucin completa de la ecuacin y" +ay +by =OEjerciciosEcuaciones lineales no homogneas de segundo orden concoeficientes constantesMtodos particulares para la determinacin de una solucinparticular de la ecuacin no homognea y"+ay +by =REjerciciosEjemplos de problemas fsicos que conducen a ecuaciones linealesde segundo orden con coeficientes constantesEjerciciosObservaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no linealesCurvas integrales y campos direccionalesEjerciciosEcuaciones separables de primer ordenEjerciciosEcuaciones homogneas de primer ordenEjerciciosAlgunos problemas fsicos y geomtricos que conducen a ecuacionesde primer ordenEjercicios de repaso8.178.188.198.208.218.228.238.248.258.268.278.289. NMEROS COMPLEJOS9.19.29.39.49.59.69.79.89.99.10Introduccin histricaDefiniciones y propiedadesLos nmeros complejos como una extensin de los nmeros realesLa unidad imaginaria iInterpretacin geomtrica. Mdulo y argumentoEjerciciosExponenciales complejasFunciones complejasEjemplos de frmulas de derivacin e integracinEjerciciosXVII382390394395396397398399401402406408408414416417421422424425429429434437437440441443445446449451453 16. XVIII lndice analtico10.110.210.310.410.510.610.710.810.9*10.1010.1110.1210.1310.1410.1510.1610.1710.1810.1910.20* 10.2110.2210.2310.2411.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1010. SUCESIONES, SERIES, INrrEGRALESIMPROPIASLa paradoja de ZennSucesionesSucesiones montonas de nmeros realesEjerciciosSeries infinitasPropiedad de linealidad de las series convergentesSeries telescpicasSerie geomtricaEjerciciosEjercicios con expresiones decimalesCriterios de convergenciaCriterios de comparacin para series de trminos no negativosEl criterio integralEjerciciosCriterios de la raz y del cociente para series de trminos nonegativosEjerciciosSeries alternadasConvergencia condicional y absolutaCriterios de convergencia de Dirichlet y AbelEjerciciosReordenacin de seriesEjercicios varios de repasoIntegrales impropiasEjercicios11. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONESConvergencia puntual de sucesiones de funcionesConvergencia uniforme de sucesiones de funcionesConvergencia uniforme y continuidadConvergencia uniforme e integracinUna condicin suficiente para la convergencia uniformeSeries de potencias. Crculo de convergenciaEjerciciosPropiedades de las funciones representadas por series reales depotenciasSerie de Taylor generada por una funcinCondicin suficiente para la convergencia de una serie de Taylor457462465467469471472474477479480482484486487490492496496499501506508513517519520521522524526528532532 17. 11.11*11.1211.1311.1411.1511.1612.112.212.312.412.512.612.712.812.912.1012.1112.1212.1312.1412.1512.1612.17ndice analticoDesarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial ytrigonomtricasTeorema de BernsteinEjerciciosSeries de potencias y ecuaciones diferencialesLa serie binmicaEjercicios12. LGEBRA VECTORIALIntroduccin histricaEl espacio vectorial de las n-plas de nmeros realesInterpretacin geomtrica para n ::;3EjerciciosProducto escalarLongitud o norma de un vectorOrtogonalidad de vectoresEjerciciosProyecciones. ngulo de dos vectores en el espacio den dimensionesLos vectores coordenados unitariosEjerciciosEnvolvente lineal de un conjunto finito de vecotresIndependencia linealBasesEjerciciosEl espacio vectorial Vn(C) de n-plas de nmeros complejosEjercicios13. APLICACIONESDEL ALGEBRA VECrrORIALA LA GEOMETRA ANALTICA13.1 Introduccin13.2 Rectas en el espacio n-dimensional13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas13.4 Rectas y funciones vectoriales13.5 Ejercicios13.6 Planos en el espacio eucldeo n-dimensional13.7 Planos y funciones vectoriales13.8 Ejercicios13.9 Producto vectorialXIX533535536538541542545546549551552554557558559561563565567570571573575577578579581584585589590591 18. xx13.1013.1113.1213.1313.1413.1513.1613.1713.1813.1913.2013.2113.2213.2313.2413.2514.114.214.314.414.514.614.714.814.914.1014.1114.1214.1314.1414.1514.1614.1714.1814.19lndice analticoEl producto vectorial expresado en forma de determinanteEjerciciosProducto mixtoRegla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuacioneslinealesEjerciciosVectores normales a planosEcuaciones lineales cartesianas para planosEjerciciosLas secciones cnicasExcentricidad de las secciones cnicasEcuaciones polares de las cnicasEjerciciosCnicas simtricas respecto al origenEcuaciones cartesianas de las cnicasEjerciciosEjercicios varios sobre cnicas14. CLCULO CON FUNCIONESVECTORIALESFunciones vectoriales de una variable realOperaciones algebraicas. ComponentesLmites, derivadas e integralesEjerciciosAplicaciones a las curvas. TangenciaAplicaciones al movimiento curvilneo. Vector velocidad, velocidady aceleracinEjerciciosVector tangente unitario, normal principal y plano osculador auna curvaEjerciciosDefinicin de longitud de un arcoAditividad de la longitud de arcoFuncin longitud de arcoEjerciciosCurvatura de una curvaEjerciciosLos vectores velocidad y aceleracin en coordenadas polaresMovimiento plano con aceleracin radialCoordenadas cilndricasEiercicios595597598601602604606607609612614615616618621623627627628632633637641643646648651652655657659660663664665 19. 14.2014.2115.115.215.315.415.515.615.715.815.915.1015.1115.1215.1315.1415.1515.1616.116.216.316.416.516.616.716.816.916.1016.1116.1216.1316.1416.1516.16In dice analticoAplicaciones al movimiento planetarioEjercicios de repaso15. ESPACIOS LINEALESIntroduccinDefinicin de espacio linealEjemplos de espacios linealesConsecuencias elementales de los axiomasEjerciciosSubespacios de un espacio linealConjuntos dependientes e independientes, en un espacio linealBases y dimensinEjerciciosProductos interiores, espacios eucldeos. NormasOrtogonalidad en un espacio eucldeoEjerciciosConstruccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-SchmidtComplementos ortogonales. ProyeccionesAproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo porelementos de un subespacio de dimensin finitaEjercicios16. TRANSFORMACIONES LINEALESY MATRICESTransformaciones linealesNcleo y recorridoDimensin del ncleo y rango de la transformacinEjerciciosOperaciones algebraicas con transformaciones linealesInversasTransformaciones lineales uno a unoEjerciciosTransformaciones lineales con valores asignadosRepresentacin matricial de las transformaciones linealesConstruccin de una representacin matricial en forma diagonalEjerciciosEspacios lineales de matricesIsomorfismo entre transformaciones lineales y matricesMultiplicacin de matricesEjerciciosXXI667671675675677679680681683685686687691694696701704706709711712714716718721723725726730732733735736740 20. XXII lndice analtico16.17 Sistemas de ecuaciones lineales16.18 Tcnicas de clculo16.19 Inversas de matrices cuadradas16.20 Ejercicios16.21 Ejercicios varios sobre matricesSoluciones a los ejerciciosndice alfabtico742745750752754757805 21. Calculus 22. INTRODUCCINParte l. - Introduccin histrica1 1.1 Los dos conceptos bsicos del ClculoEl considerable progreso habido en la ciencia y en la tcnica durante losltimos cien aos procede en gran parte del desarrollo de las Matemticas.La rama de la Matemtica conocida por Clculo integral y diferencial es uninstrumento natural y poderoso para atacar mltiples problemas que surgen enFsica, Astronoma, Ingeniera, Qumica, Geologa, Biologa, y en otros campos,incluyendo recientemente algunos de Ciencias sociales.Para dar una idea al lector de los muy diversos tipos de problemas quepueden tratarse por los mtodos de Clculo se expone a continuacin una pe-quea muestra de cuestiones seleccionadas entre los ejercicios que aparecen encaptulos posteriores de este libro.Con qu velocidad debera ser impulsado un cohete para que nunca volvieraa la Tierra? Cul es el radio del menor disco circular que cubra a todo tringuloissceles de permetro L? Cul es el volumen de material extrado de una esferade radio 2r al atravesarla por un orificio cilndrico de radio r cuyo eje pase porel centro de la esfera? Si un cultivo de bacterias crece en razn directa a la can-tidad que hay en cada instante, y la poblacin se duplica en una hora, en cuntose habr incrementado al cabo de dos horas? Si una fuerza de diez libras estirauna cuerda elstica una pulgada, qu trabajo se necesita para estirarla un pie?Estos ejemplos, elegidos en distintos campos, ilustran algunas de las cues-tiones tcnicas que pueden ser resueltas como aplicaciones ms o menos ruti-narias del Clculo.El Clculo no slo es un instrumento tcnico, sino que contiene una colec-cin de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humanodurante centurias. Estas ideas estn relacionadas con velocidad, rea, volumen,razn de crecimiento, tangente a una lnea, y con otros conceptos referentes aotros dominios. El Clculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acercadel significado de estos conceptos. Otro carcter notable del Clculo es su poder 23. 2 Introduccinunificador. Muchos de estos problemas pueden ser formulados de manera que sereduzcan a otros problemas de naturaleza puramente geomtrica. A continuacinse procede a una breve descripcin de tales problemas.Considrese una curva C situada encima de una lnea horizontal base, comose indica en la figura 1.1. Se supone que esta curva tiene la propiedad de sercortada por cada vertical, en un punto a lo ms. La parte sombreada de lafigura est formada por aquellos puntos situados por debajo de la curva C, enci-ma de la horizontal, y entre dos segmentos verticales paralelos que unen C conla base. El primer problema fundamental del Clculo es el siguiente: Determinarun nmero que mida el rea de esta regin sombreada.Considrese despus una recta que sea tangente a la curva, tal como seve en la figura 1.1. El segundo problema fundamental puede formularse de lasiguiente manera: Determinar un nmero que mida la pendiente de esta recta.FIGURA I.1Fundamentalmente, el Clculo se ocupa en la formulacin precisa y la reso-lucin de estos dos problemas considerados. En el Clculo se definen los con-ceptos de rea y tangente y se calculan el rea de una regin dada y la pen-diente de la tangente a una curva dada. El Clculo integral se ocupa del problemadel rea y ser discutido en este captulo 1. El Clculo diferencial se ocupa delproblema de la tangente y ser introducido en el captulo 4.El estudio del Clculo exige una cierta preparacin matemtica. El presentecaptulo trata de estos conceptos bsicos y est dividido en cuatro partes: La l ."parte da una perspectiva histrica; la 2.ase refiere a la notacin y terminologaen la matemtica de conjuntos; la 3.atrata del sistema de nmeros reales; la4.aofrece la induccin matemtica y la notacin sumatoria. Si el lector est infor-mado de estos temas, puede abordar directamente el desarrollo del Clculo inte-gral en el captulo 1. Si no, deber familiarizarse con las materias contenidasen esta introduccin antes de iniciar el captulo 1. 24. 1ntroduccin histrica 3I 1.2 Introduccin histricaEl origen del Clculo integral se remonta a ms de 2000 aos, cuando losgriegos intentaban resolver el problema del rea ideando el procedimiento quellamaron mtodo de exhaucin. Las ideas esenciales de este mtodo son real-mente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada unaregin cuya rea quiere determinarse, se inscribe en ella una regin poligonalque se aproxime a la dada y cuya rea sea de fcil clculo. Luego se elige otraregin poligonal que d una aproximacin mejor y se contina el proceso to-mando polgonos con mayor nmero de lados cada vez, tendiendo a llenar laregin dada. La figura 1.2 es una ilustracin del mtodo en el caso de una reginsemicircular. Este mtodo fue usado satisfactoriamente por Arqumedes (287-212 A.C.) para hallar frmulas exactas de las reas del crculo y de algunasotras figuras especiales.Desde Arqumedes, el desarrollo del mtodo de exhaucin tuvo que esperarcasi 18 siglos, hasta que el uso de smbolos y tcnicas algebraicas se hizo pre-ciso en los estudios matemticos. El lgebra elemental que hoy da es familiara la mayora de los alumnos de los ltimos cursos de enseanza secundaria, eratotalmente desconocida en tiempos de Arqumedes, lo que haca imposible exten-der el mtodo a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada depoder expresar los largos clculos en forma simplificada.FIGURA 1.2 El mtodo de exhaucin aplicado a una regin semicircular.Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones ma-temticas, empez en el siglo XVI D.C. El engorroso sistema de numeracinromano fue desplazado gradualmente por los caracteres arbigos utilizados hoyda; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y se empezaron areconocer las ventajas de la notacin decimal. Durante este mismo perodo, losbrillantes resultados de los matemticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrarique dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cbica y curtica, estimulel desarrollo de la Matemtica y anim a la aceptacin del lenguaje algebraiconuevo y superior. Con la introduccin muy extendida de los bien elegidos sm-bolos algebraicos, revivi el inters por el antiguo mtodo de exhaucin y enel siglo XVI descubrieron mltiples resultados parciales, los que como Cava-lieri, Toricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros. 25. 4 IntroduccinGradualmente, el mtodo de exhaucin fue transformndose en lo que hoyse conoce como Clculo integral, nueva y potente disciplina que tiene numero-ssimas aplicaciones no slo en problemas relativos a reas y volmenes, sinotambin en problemas de otras ciencias. Este mtodo, que mantiene alguno delos caracteres originales del mtodo de exhaucin, recibi su mayor impulsoen el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642-1727) y GottfriedLeibniz (1646-1716), y su desarrollo continu durante el siglo XIX, hasta queAugustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieronuna base matemtica firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teorahan llegado hasta la Matemtica contempornea.1 1.3 El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbolaAntes de proceder al estudio sistemtico del Clculo integral, ser instruc-tivo aplicar el mtodo de exhaucin directamente a una de las figuras particu-lares tratadas por el mismo Arqumedes. La regin en cuestin est presentadaen la figura 1.3 y puede describirse como sigue: Si se elige un punto arbitrariode la base de la figura y se designa por x su distancia a 0, la distancia verticalde este punto a la curva es x, En particular, si la longitud de la base es b laaltura de la figura es b2 La distancia vertical de x a la curva se denomina orde-nada de x. La curva as descrita se denomina parbola y la regin limitada porella y por los dos segmentos rectilneos, se llama segmento parablico.r-----------------o x Aproximacin por defectoFIGURA 1.3 Segmento parablico FIGURA 1.4Aproximacin por exceso 26. El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola 5.Esta figura puede encerrarse en un rectngulo de base b y altura b", comose ve en la figura 1.3. Observando la figura parece natural afirmar que el readel segmento parablico es menor que la mitad del rea del rectngulo. Arqu-medes hizo el sorprendente descubrimiento de que el rea del segmento para-blico es exactamente un tercio de la del rectngulo; es decir, A =b3/3, dondeA designa el rea del segmento parablico. Se ver a continuacin cmo sellega a este resultado.Se hace notr que el segmento parablico dibujado en la figura 1.3 no estelegido exactamente tal como lo dibuj Arqumedes y que los detalles queb"rea del rectngulo = -. k2nkb ... b = nbn no b 2bn nFIGURA 1.5 Clculo del rea de un segmento parablico.siguen no son exactamente los utilizados por l. Sin embargo, las ideas esencialesson las de Arqumedes; lo que aqu se expone puede considerarse como el m-todo de exhaucin expuesto con la notacin moderna.El mtodo consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en uncierto nmero de bandas y se obtienen dos aproximaciones de la regin, unapor defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos de rectngulos comose indica en la figura 1.4. (Se utilizan rectngulos mejor que polgonos arbitrariospara simplificar los clculos.) El rea del segmento parablico es mayor que elrea total de los rectngulos interiores pero menor que la de los rectngulosexteriores.Si cada banda se subdivide a su vez, se obtiene una nueva aproximacincon mayor nmero de bandas, la reunin de las reas de los rectngulos inte- 27. 6 Introduccinriores crece, mientras que el total de las reas de los rectngulos exterioresdecrece. Arqumedes vio que se poda lograr el rea con el grado de aproximacindeseado sin ms que tomar un nmero suficiente de bandas.El clculo efectivo en este caso se realiza como se indica a continuacin.Con objeto de simplificar se subdivide la base en n partes iguales, cada una delongitud bf n (vase fig. 1.5). Los puntos de subdivisin corresponden a los si-guientes valores de x:o, ~ , 2b , 3b , ... , (n - l)b , nb = b .n n n n nLa expresin general de un punto de la subdivisin es x =kb In, donde k tomalos valores sucesivos k = O, 1, 2, 3, .. , n, En cada punto kb I n se construye elrectngulo exterior de altura (kbln)2 como se indica en la figura 1.5. El reade este rectngulo es el producto de la base por la altura y es igual a:Si se designa por S; la suma de las reas de todos los rectngulos exteriores,puesto que el rea del rectngulo k-simo es (b3In3)k2 se tiene la frmula:(1.1 )De forma anloga se obtiene la frmula para la suma s de todos los rectngulosinteriores:(1.2)La forma de estas sumas es de gran importancia para su clculo. Nteseque el factor que multiplica a b" In3en la ecuacin (1.1) es la suma de los cua-drados de los n primeros nmeros naturales:12+ 22+ ... + n2 (El factor correspondiente en la ecuacin (1.2) es anlogo salvo que la sumatiene nicamente n - 1 sumandos.) Para valores grandes de n la obtencin deesta suma por adicin directa de sus sumandos es pesada, pero afortunada- 28. El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola 7mente existe una interesante identidad que hace posible obtener esta suma porun camino ms simple, y es la siguiente:(1.3)3 212 22 2 n n n+ +"+n =-+-+-.3 2 6Esta identidad es vlida para todo entero n 2: 1 Y puede demostrarse del siguien-te modo: Se parte de la frmula (k+ l)3=k8+3F+3k+ 1 Y se pone en la forma3k2+ 3k + 1 = (k + 1)3 - k3.Haciendo k = 1, 2, ... , n - 1, obtenemos las n - 1 frmulas3 . 12 + 3 . 1 + 1 = 23 - 133 . 22 + 3 . 2 + 1 = 33 - 233(n - 1)2 + 3(n - 1) + 1 = n3 - (n - 1)3.Al sumar estas frmulas, todos los trminos del segundo miembro se reducenexcepto dos y se obtiene3[P + 22 + ... + (n - 1)2] + 3[1 + 2+ ... + (n - 1)] + (n - 1) = n3 - P.La segunda suma del primer miembro es la suma de los trminos de una pro-gresin aritmtica cuyo valor es t n(n - 1). Por tanto la ltima igualdad nos da(lA)3 212 + 22 + ... + (n - 1)2 = !!..- _ !!..- + !:!. .3 2 6Sumando n a los dos miembros, obtenemos (1.3).Las expresiones exactas dadas en los segundos miembros de (1.3) y (1.4) noson necesarias para el objeto que aqu se persigue, pero sirven para deducirfcilmente las dos desigualdades que interesan(I.5) n312 + 22 + ... + (n - 1)2 < - < 12 + 22 + ... + n23que son vlidas para todo entero n 2: 1. Estas desigualdades pueden deducirsefcilmente como consecuencias de (1.3) Y (I.4), o directamente por induccin.(Vase la Seccin 1 4.1.) 29. 8 IntroduccinMultiplicando ambas desigualdades en (1.5) por ba/na y haciendo uso de(1.1) Y (1.2) se tiene:(1.6)para cada n, y observndose que se presenta por primera vez el nmero b" /3.Las desigualdades en (1.6) expresan que para cada n el nmero ba/3 est com-prendido entre s.; y S Pero ahora es fcil probar que b /3 es el nico nmeroque goza de esta propiedad; es decir, que si A es un nmero que verifica lasdesigualdades(1.7)para cada entero positivo n, ha de ser necesariamente A =ba!3. Por esta razndedujo Arqumedes que el rea del segmento parablico es ba!3.Para probar que A =ba!3 se utilizan una vez ms las desigualdades (1.5).Sumando n2a los dos miembros de la desigualdad de la izquierda en (1.5) seobtiene:Multiplicando por ba! na y utilizando (1.1) se tiene(1.8)Anlogamente, restando n2de los dos miembros de la desigualdad de la derechaen (1.5) y multiplicando por b"/na se llega a la desigualdad:(1.9)Por tanto, cada nmero A que satisfaga (1.7) ha de satisfacer tambin:(LlO)para cada entero n ;:: 1. Ahora bien, hay slo tres posibilidades:A < b33 30. Ejercicios 9Si se prueba que las dos primeras conducen a una contradiccin habr de serA =b"j 3, ya que, al estilo de Sherlock Holmes, se agotan as todos las posibili-dades.Supngase que la desigualdad A > b"j 3 fuera cierta. De la segunda desi-gualdad en (1.10) se obtiene:(I.11)b3b3A--