UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALAUNIDAD ACADEMICA DE CIENCIAS QUÍMICAS Y DE LA SALUD

INGENIERÍA QUÍMICA

Proyecto de aula

Integrantes:

Cajamarca Lituma Nardy Michelle

Dota Espinoza Silvana Daniela

Área:

Ingeniería química

Asignatura:

CÁLCULO DIFERENCIAL

Docente:

Dr. Richar Calderón Zambrano

Curso:

Primer semestre

Machala – El Oro – Ecuador 2016

Dedicatoria

El siguiente trabajo es dedicado a nuestros padres y abuelos por el apoyo incondicional

que nos brindaron durante el desarrollo del este proyecto.

A nuestro profesor, que aporto de manera significativa compartiéndonos sus

conocimientos e impartiéndonos valores de leales en nuestro trabajo.

También, a nuestros compañeros que de una u otra manera siempre estuvieron

dispuestos a ayudarnos en los casos complejos que se daban durante el desarrollo de

dicho trabajo.

Agradecimiento

En la realización de este proyecto participaron personas que aportaron directamente en

nuestro proyecto, pero en primer lugar agradecemos a Dios, tales fueron nuestros

compañeros, también, nuestros docentes que en su momento nos ayudaron brindando

tiempo a sus alumnos, por su paciencia y dedicación.

1. Introducción

En este proyecto se presentara la importancia del cálculo diferencia en la vida de un

ingeniero con el fin de conocer la utilidad del mismo también incluirá objetivos

generales y específicos que serán planteados en base a la investigación obtenida en

diferentes fuentes pero como fuente de apoyo principal el libro de Calculo Diferencial e

Integral de Willian Anthony Granville y su debido planteamiento del problema.

El cálculo diferencial en si es un método que se aplica en la vida de la ingeniería

química, civil, ambiental, biología, contabilidad, etc. De acuerdo a su contexto. En

cualquier proceso se puede formar una ecuación para la solución de un problema.

Existen muchos problemas en la cual pueden ir creciendo o decreciendo, lo que implica

que tie un valor máximo y un valor mínimo, posteriormente se precederá aplicar el

cálculo para determinar máximos y mínimos de una función es decir para determinar un

punto más alto o más bajo de una curva en donde su pendiente es cero y de problemas

de optimización aplicando los dos métodos de resolución de ejercicios con máximos y

mínimos aplicando la primera y segunda derivada. También se plantearán problemas y

se darán solución a cada uno de ellos con una explicación muy clara con su respectiva

solución.

Estos se encontraran en lenguaje matemático y la parte primordial para la resolución de

este tipo de problemas es saber plantear o proponer una función cuya función deberá

describir el comportamiento que se presenta en el enunciado. Una vez identificada la

función de procederá a aplicar el procedimiento para determinar máximos y mínimos.

2. Planteamiento del problema

¿De qué manera puede un ingeniero químico aplicar el cálculo diferencial dentro de su

capo laboral?

3. Justificación

Con el presente trabajo se busca reforzar las clases que se llevaron a cabo durante el

módulo de cálculo diferencial, cuyo fin es poner en práctica lo aprendido a través de

ejercicios de optimización aplicándolos en la vida de un ingeniero químico. El siguiente

trabajo se lo realizo mediante investigaciones y tutorías con el docente ya que respondía

a nuestras dudas y de esta manera dar mayor profundización a los temas a

desarrollarse, ya que hubieron clases que no fueron comprendidas totalmente.

4. Objetivos

4.1 Objetivo general

Aplicar los conocimientos adquiridos durante el periodo formativo de la

materia de cálculo diferencial en la resolución de ejercicios de manera

que intervenga en la vida de un ingeniero químico

4.2 Objetivo especifico

Establecer conceptos básicos para el desarrollo del proyecto.

Investigar en diferentes fuentes acerca del contenido para su debido

desarrollo.

Demostrar la aplicación de los conceptos en casos reales a través de

problemas de optimización.

5. Referente Teórico

5.1 Calculo diferencial

5.1.1 ¿Qué es el cálculo diferencial?

“El Cálculo Diferencial e Integral es una herramienta matemática que surgió en el siglo

XVII para resolver algunos problemas de geometría y de física. El problema de hallar

una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de

explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia,

tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos

del Cálculo.” (Conevyt, 2016)

5.1.2 ¿Qué son los problemas de optimización?

Son los enunciados que se presentan en lenguaje matemático en la cual nos permitirá

construir una función, consiste en minimizar el valor de una variable, es decir, calcular

o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

5.1.3 Derivada

El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con

que se produce y la razón de cambio de una situación; por ello la derivación constituye

una de las operaciones de mayor importancia dentro del cálculo cuando trabajamos con

funciones reales puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante

determinado.

5.1.4 Constantes

“…un número cuyo valor no varía se llama constante“ (Palmer, 2003). Es una cantidad

que durante el proceso analítico en la resolución de un ejercicio tienen un valor fijo

5.1.4.1 Constante numérico

Son aquellas que conservan su valor durante todo el proceso analítico.

5.1.4.2 Constantes arbitrarias

Son aquellas que se les asignan valores numéricos y los conservan solo durante un

proceso analítico específico, se representan con los primeras letras del alfabeto desde la

A hasta la K.

5.1.4.3 Constantes trascendentales

Son aquellas que están establecidas con un valor numérico se representan como

símbolos en las operaciones como α, ∑, etc.

5.1.5 Función ( f ):

En matemáticas, es una expresión algebraica cuya estructura está formada por

constantes y al menos dos variables. Es una relación entre un conjunto dado x (llamado

dominio o término independiente) y otro conjunto de elementos y (llamado rango o

término dependiente), donde el número y es único para cada valor especifico de x,

donde y se considera función de x.

5.1.6 ¿Qué son los máximos y mínimos?

“...el método de máximos y mínimos aplicado a las líneas curva es un método para

hallar líneas curvas que gocen de una propiedad de máximo o de mínimo dada de

antemano” (Euler, 1993)

En matemáticas, son conocidos como extremos de una función, en una función cuando

la parábola es cóncava hacia arriba se dice que tiene un punto máximo y cuando la

parábola es convexa esta tiene un punto mínimo, esto se identifica por medio de los

puntos críticos.

5.1.7 Punto crítico

“…un punto interior al dominio de una función f ( x , y ) donde f x y f y se anulan, o bien

donde alguna de estas derivadas no existe, es un punto crítico de f .” (George B.

Thomas)

5.1.8 Volumen

“…es el espacio que ocupa la materia” (Margarita Canales, 1999)

5.1.9 Área

El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de

una superficie.

6. Problemas de optimización

6.1 Desarrollo

Un ingeniero químico requiere cerrar dos lotes para la construcción de un edificio,

cuenta con 150m. Determinar las dimensiones de lote para que el área que se requiere

cerrar sea máxima. Suponiendo que uno de sus lados comparten un lado.

xx

x x

yy y

Perímetro

P=4 x+3 y

Área

A=2 x∗y

Despejamos y

P=4 x+3 y=150

y=150−4 x3

Reemplazamos en y

A=2 x∗y

A=2 x ( 150−4 x3 )

A=100 x−8 x2

3

Derivamos y obteneos puntos

críticos

A=100 x−8 x2

3

A=100 dydx

(x )−dydx ( 8 x2

3 )

A=100−163

x

Un ingeniero químico vende acido clorítico a $20 cada litro y los gastos de

producción están dados por p(x ) x2

1000 los gasto de envió es de E ( x )= 1 $

litro entregado

¿cuantas litros se deben de producir para que el beneficio sea máximo?

Tenemos el precio que es

P ( X )= X2

1000

Entonces los gastos son el precio de costo más el precio de distribución

G ( x )= x2

1000+1 x

La función a maximizar es el beneficio

Igualamos a 0

A=100−163

x=0

163

x=100

x=100× 316

=30016 Punto critico

Aplicamos la segunda derivada

A =100- {16} over {3} x

A = {dy} over {dx} left (100 right ) - {dy} over {dx} left ({16} over {3} right )

A =- {16} over {3} <

Máximo

Reemplazamos el valor de x en y

y=150−4 x3

y=150−4 (18.75 )3

y=25m

B (x )=2 ox− x2

1000−x=19 x− x2

1000

B' ( X )=19− 2 x1000

→ B' ( x )=0

19− 2 x1000

=0 → 19= 2 x1000

→ x=190002

→ x=9500

Verifico con la segunda derivada que es menor a cero

B' ( x )= 21000

<0

Un ingeniero quiere construir un envase cilíndrico de base circular para fermentar

vinagre de banano cuyo volumen del cilindro deberá ser 64 cm3. Hallar las dimensiones

de lámina metálica se mínima.

V=π R2 h=64 Primera ecuación

Nos pide minimizar el área del cilindro y nos pide encontrar las dimensiones

A=2 π R2+2 πRh segunda ecuacion

Luego despejo H de la primera ecuación y sustituimos 3 en 2

h= 64πR2 Tercera ecuación

Remplazo en la segunda ecuación

A ( R )=2π R2+2πR . 64πR2

Seguidamente se deriva la función

A ( R )=2π R2+128 R1

A' (R )=4 πR−128 R−2=0

πR−32 R−2=0

πR−32R2 =0 → πR3−32

R2 =0

π R3−32=0→ R3=32π

→ R= 3√ 32π

A' ' ( R )=4 π+2(128) R−3

A' ' (8 )=4 π+ 256R3

A' '( 3√ 32

π )>0 MINIMO

V=64=π R2 h →h= 64π R2

h= 64

( 3√ 32π )

2

π

6.2 ll

6.3 f