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APUNTES DE ANALISIS ARMONICO

Irene Drelichman y Ricardo G. Duran

Indice general

Capıtulo 1. Clase 1 11. Algunas nociones historicas 12. La ecuacion de la cuerda vibrante 13. Metodo de separacion de variables 24. Desarrollo en series de Fourier 3

Capıtulo 2. Clase 2 71. La ecuacion del calor 72. La convolucion y el nucleo de Dirichlet 83. Otros tipos de convergencia 10

Capıtulo 3. Clase 3 131. Convergencia Cesaro y Abel de series de Fourier 132. Convergencia Abel para series de Fourier 163. Relacion con el problema de contorno en el disco 18

Capıtulo 4. Clase 4 191. La transformada de Hilbert en el caso periodico 192. Teorıa L2 para series de Fourier 203. Teorıa L2 para la transformada de Hilbert en el caso periodico 234. Convergencia en Lp para series de Fourier 23

Capıtulo 5. Clase 5 251. Teorıa Lp para la transformada de Hilbert en el caso periodico 252. El teorema de Marcinkiewicz 26

Capıtulo 6. Clase 6 311. Convergencia en Lp para le serie de Fourier 312. La transformada de Hilbert como multiplicador e integral singular 33

Capıtulo 7. Clase 7 371. La transformada de Fourier en R 37

Capıtulo 8. Clase 8 411. La transformada de Fourier en Rn 412. La ecuacion del calor en el semiespacio Rn × R+ 433. Transformada de Fourier en L2(Rn) 44

Capıtulo 9. Clase 9 451. La transformada de Fourier en L2(Rn) 45

3

4 INDICE GENERAL

2. El espacio S 453. El espacio S ′ 46

Capıtulo 10. Clase 10 491. Series de Fourier en Rn 492. Operadores dados por un multiplicador 49

Capıtulo 11. Clase 11 531. Operadores dados por un multiplicador 532. El problema de Dirichlet en el semiplano R× R+ 55

Capıtulo 12. Clase 12 571. La transformada de Hilbert en R 572. Operadores de convolucion con nucleo en S ′ 61

Capıtulo 13. Clase 13 631. Operadores de convolucion con nucleo en S ′ 632. Ejemplos de integrales singulares 65

Capıtulo 14. Clase 14 671. Operadores integrales singulares 67

Capıtulo 15. Clase 15 731. Otras condiciones para la continuidad de integrales singulares 73

Capıtulo 16. Clase 16 771. Operadores que conmutan con dilataciones (y traslaciones) 79

Capıtulo 17. Clase 17 811. Convergencia puntual de integrales singulares 81

Capıtulo 18. Clase 18 851. Espacios de Hardy (formulacion clasica) 862. Espacios de Hardy (version moderna) 87

Capıtulo 19. Clase 19 891. El espacio B.M.O. 89

Capıtulo 20. Clase 20 951. Espacios de Hardy 952. El espacio H1 96

Capıtulo 21. Clase 21 991. Descomposicion atomica 99

Capıtulo 22. Clase 22 1051. Dualidad entre H1 y B.M.O. 1052. Continuidad de integrales singulares en H1(Rn) 107

Capıtulo 23. Clase 23 1091. Pesos Ap 109

INDICE GENERAL 5

2. Condicion necesaria para el tipo debil 1093. Suficiencia para el tipo debil (1, 1) 111

Capıtulo 24. Clase 24 1151. Suficiencia para el tipo debil (p, p), p > 1 115

Capıtulo 25. Clase 25 1191. Caracterizacion de pesos A1 1192. Extrapolacion 120

Capıtulo 26. Clase 26 1231. La funcion maximal diadica 1232. Acotaciones con pesos para integrales singulares 123

Capıtulo 27. Clase 27 1271. Acotaciones con pesos para integrales singulares 127

Capıtulo 28. Clase 28 1311. Derivadas en integrales fraccionarias 1312. Condicion necesaria para la continuidad de la integral fraccionaria 132

Capıtulo 29. Clase 29 1351. Continuidad de la integral fraccionaria 1352. Teoremas de inmersion de Sobolev 136

Capıtulo 30. Clase 30 139

CAPıTULO 1

Clase 1

1. Algunas nociones historicas

En 1807 Fourier escribe su teorıa sobre la difusion del calor, utilizando los metodos delas series de funciones trigonometricas que llevan su nombre. Usa que dada una funcionf definida en un intervalo, digamos por comodidad f : [−π, π]→ R (o C), la podemospensar como una funcion periodica definida en toda la recta y representar como

f(x)“ = ”∞∑n=0

(an cos(nx) + bn sin(nx))

En la epoca de Fourier ni siquiera estaba bien definido que era una funcion, y recienDirichlet demostro tiempo despues que si f es una funcion derivable entonces la seriede Fourier converge.Unos 50 anos antes de que Fourier estudiara la ecuacion del calor, Daniel Bernoullihabıa resuelto con el mismo metodo la ecuacion de la cuerda vibrante, pero sus ideasno prosperaron porque no estaba claro que funciones podıan admitir un desarrollo enserie de Fourier.Alrededor de 1920 se probo que la serie de Fourier converge si f ∈ Lp para 1 < p <∞.Ya era conocido que existen funciones continuas tales que su serie de Fourier puede noconverger en algun punto. Veremos que la convergencia en Lp esta relacionada con latransformada de Hilbert, que es el primer ejemplo de integral singular.Carleson probo que basta con f ∈ L2 para que la serie de Fourier converja en casi todopunto.

2. La ecuacion de la cuerda vibrante

Supongamos que tenemos una cuerda de longitud L fija en los extremos y queremos estudiarcomo vibra si uno la pulsa. Para esto, dado x ∈ [0, L], llamamos u(x, t) la posicion del puntox en tiempo t. Podemos pensar ademas que la cuerda esta compuesta por masas puntuales enpuntos xn = nh, donde h = L

N y n = 0, . . . , N . Si la cuerda es homogenea y tiene densidad demasa constante por unidad de medida (digamos para fijar ideas que es igual a ρ), entonces lamasa total es ρL y la masa puntual en cada xn es ρL

N+1 = ρh NN+1 .

Llamemos yn(t) a la posicion de xn en el instante t, es decir, yn(t) = u(xn, t). Teniendo en cuentaque la fuerza que actua sobre xn depende de xn−1 y xn+1 y es proporcional, respectivamente, a

2 1. CLASE 1

las diferencias yn−1−ynh y yn+1−yn

h , deducimos que

Fn = ρhN

N + 1yn′′(t)

=N

N + 1τ(yn+1 − 2yn + yn−1)

h

=N

N + 1τ(u(xn+1, t)− 2u(xn, t) + u(xn−1, t))

h

donde τ es una constante que depende solo del material de la cuerda.

Pasando al lımite, deducimos la ecuacion de la cuerda vibrante (o ecuacion de ondas en unavariable espacial):

ρ∂2u

∂t2(x, t) = τ

∂2u

∂x2(x, t) (1.1)

Ademas de saber que la cuerda esta fija en los extremos, es decir que u(0, t) = u(L, t), necesitamosconocer los datos iniciales de posicion y velocidad, digamos u(x, 0) = f(x) y ∂u

∂t (x, 0) = g(x).Con estos datos iniciales la ecuacion esta bien planteada y puede resolverse mediante el metodode separacion de variables, que explicamos a continuacion.

3. Metodo de separacion de variables

Buscamos soluciones de la ecuacion (1.1) de la forma u(x, t) = ϕ(x)ψ(t). Por simplicidad, yaque ρ, τ ≥ 0, supondremos que τ

ρ = 1. Entonces obtenemos

ψ′′(t)ψ(t)

=ϕ′′(x)ϕ(x)

Como la parte derecha de la ecuacion no depende de x y la parte izquierda no depende de t,deducimos que deben para algun λ ∈ C deben verificarse las ecuaciones

ϕ′′(x) = λϕ(x)

ψ′′(t) = λψ(t)

Las soluciones de la primer ecuacion son de la forma ϕ(x) = Ae√λx + Be−

√λx. Como ademas

tienen que cumplir los datos de borde u(0, t) = u(L, t) = 0, resulta que ϕ(0) = ϕ(L) = 0, dedonde

e2√λL = 1

y, por lo tanto, tenemos una sucesion de posibles valores

λn = −n2π2

L2(n ∈ Z)

a la que corresponde una sucesion ϕn de soluciones linealmente independientes de la ecuacionϕ′′(x) = λnϕ(x), que eligiendo adecuadamente las constantes estan dadas por

ϕn(x) = sin(nπLx)

4. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER 3

Razonando analogamente para ψ(t) (teniendo en cuenta que en este caso no intervienen lascondiciones de borde), obtenemos

ψn(t) = c1 sin(nπLt)

+ c2 cos(nπLt)

En conclusion, tenemos una sucesion de soluciones de la ecuacion de la cuerda vibrante (sindatos inciales) dada por

un(x, t) = ϕn(x)ψn(t) = sin(nπLx)(

c1 sin(nπLt)

+ c2 cos(nπLt))

Si consideramos la solucion

u(x, t) =∞∑n=1

sin(nπLx)(

an sin(nπLt)

+ bn cos(nπLt))

e imponemos las condiciones iniciales

u(x, 0) = f(x)∂u

∂t(x, 0) = g(x)

necesitarıamos (operando formalmente con la serie) que se verificaran las igualdades

u(x, 0) =∞∑n=1

an sin(nπLx)

= f(x)

∂u

∂t(x, 0) =

∞∑n=1

bnnπ

Lsin(nπLx)

= g(x)

Surge por lo tanto el problema de determinar si para datos iniciales f, g existe una escritura enserie de senos como la que necesitamos. Como veremos, la respuesta es afirmativa.

4. Desarrollo en series de Fourier

Dada f : [0, π]→ R, queremos ver si es posible encontrar valores an tales que

f(x)“ = ”∞∑n=1

an sin(nx)

Si suponemos que dichos valores existen, multiplicando la serie por sin(kx), k ∈ N e integrando(operamos formalmente para intercambiar serie e integral)

f(x) sin(kx) =∞∑n=1

an sin(nx) sin(kx)

∫ π

0f(x) sin(kx) dx =

∞∑n=1

an

∫ π

0sin(nx) sin(kx) dx

4 1. CLASE 1

Observando que ∫ π

0sin(nx) sin(kx) dx =

π2 si k = n0 si k 6= n

podemos despejar

ak =2π

∫ π

0f(x) sin(kx) dx

Mas en general, dada una funcion f : [−π, π] → R, le podemos asociar una serie de senos ycosenos dada por

f(x) ∼ a0

2+∞∑n=1

(an cos(nx) + bn sin(nx))

y, razonando como antes,

an =1π

∫ π

−πf(x) cos(nx) dx

bn =1π

∫ π

−πf(x) sin(nx) dx

Es importante observar que si f ∈ L1[−π, π], an, bn estan bien definidos. Los llamamos coefi-cientes de Fourier de f .

Observacion 1.1. Notemos que si f es una funcion impar (es decir, f(x) = −f(−x)), entoncesan = 0 para todo n. Analogamente, si f es una funcion par (es decir, f(x) = f(−x)), entoncesbn = 0 para todo n.

En general es mas facil trabajar con una serie de exponenciales en lugar de una serie de senos ycosenos. O sea, dada f : [−π, π]→ C le asociamos la serie de Fourier

f(x) ∼∑n∈Z

cneinx

De manera analoga al caso anterior, multiplicando por e−ikx e integrando (siempre de maneraformal), deducimos que ∫ π

−πf(x)e−ikx dx =

∞∑n=1

cn

∫ π

−πei(n−k)x dx

Observando que ∫ π

−πei(n−k)x dx =

2π si k = n0 si k 6= n

deducimos que

ck =1

2π

∫ π

−πf(x)e−ikx dx

Notacion 1.2. Es frecuente el uso de la notacion f(k) = ck, por lo que en lo sucesivo escribi-remos la serie de Fourier asociada a f como f(x) ∼

∑n∈Z f(n)einx.

4. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER 5

Observacion 1.3. Si f toma valores reales, podemos pasar de la forma exponencial a la trigo-nometrica observando que en ese caso cn = c−n. Entonces

f(x) ∼−1∑

n=−∞cne

inx + c0 +∞∑n=1

cneinx

=∞∑n=1

c−ne−inx + c0 +

∞∑n=1

cneinx

=∞∑n=1

cne−inx + c0 +

∞∑n=1

cneinx

= c0 +∞∑n=1

[(cn + cn)cos(nx) + i(cn − cn) sin(nx)]

por lo que para pasar de una forma a otra basta utilizar las relaciones

an = cn + cn

bn = i(cn − cn)

CAPıTULO 2

Clase 2

1. La ecuacion del calor

Consideramos la ecuacion con condiciones iniciales ut − uxx = 0 (x, t) ∈ (0, π)× (0, T )u(0, t) = u(π, t) = 0 ∀t ∈ (0, T )u(x, 0) = f(x)

que modela como evoluciona la temperatura de una barra sabiendo que los extremos se mantienena cero grados y conociendo la temperatura inicial.

Usando el metodo de separacion de variables, que vimos la clase anterior, podemos obtenerla sucesion de soluciones de variables separadas un(x, t) = e−n

2t sin(nx) y armar una soluciongeneral de la forma

u(x, t) =∞∑n=1

bne−n2t sin(nx) (2.2)

que cumple con la condicion de borde. Para que satisfaga el dato inicial debemos encontrar bntales que

u(x, 0) =∞∑n=0

bn sin(nx) = f(x).

Como ya anticipamos, si f es suficientemente buena (mas adelante especificaremos en que sen-tido), los coeficientes bn existen y estan dados por

bn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inx dx.

Es interesante notar que este metodo para construir soluciones generaliza los resultados queconocemos en dimension finita. En efecto, supongamos que queremos encontrar y : [0, π] → Rsolucion del problema

y′ = Ay, A ∈ Rn×n.

Si A es diagonalizable, entonces sabemos que existe una base de autovectores v1, . . . , vn talesque Avn = λnvn y que entonces v1e

λ1t, . . . , vneλnt es una base de soluciones de sistema lineal

homogeneo, por lo que la solucion general es

y(t) =n∑k=1

bkvkeλkt.

8 2. CLASE 2

Si pensamos que reemplazamos la transformacion lineal y → Ay por ϕ(x, t) → d2

dx2ϕ y queϕn = sin(nx) son los “autovectores”(autofunciones) de este operador, entonces el desarrollo deFourier (2.2) generaliza al caso infinito la escritura de la solucion en una base de autofunciones.

2. La convolucion y el nucleo de Dirichlet

Observacion 2.1. Recordemos que dada f : [−π, π)→ C, si f ∈ L1([−π, π]) le podemos asociarsu serie de Fourier

f(x) ∼∑n∈Z

cneinx, cn =

12π

∫ π

−πf(x)e−inx dx.

De ahora en mas pensaremos siempre que f esta extendida de manera periodica a R o, gracias ala correspondencia x ↔ eix, que f : S1 → C, donde S1 es la circunferencia unitaria. Entonces,cuando hablamos de f continua entendemos que la continuidad vale en S1 o, lo que es lo mismo,que la extension periodica de la f es continua en todo R.

Definicion 2.2. Dadas f, g : R → C 2π-periodicas y tales que f, g ∈ L1(R), definimos suconvolucion como

(f ∗ g)(x) =∫ π

−πf(y)g(x− y) dy

Observacion 2.3. Si∫

R g(x) dx = 1, la convolucion (f ∗ g)(x) es un promedio regularizado dela funcion f alrededor del punto x.

Nuestro objetivo es estudiar si dada una serie de Fourier asociada a una funcion f la mismaconverge y, en caso afirmativo, si converge a f . El primer resultado afirmativo en este sentidoque demostraremos es que si f es derivable en x, entonces la serie de Fourier asociada convergepuntualmente a f en x. Para esto, definimos las sumas parciales

SN (f)(x) :=N∑−N

cneinx

y probaremos que se pueden representar como una convolucion.

Observacion 2.4. Para no sobrecargar la notacion, escribiremos SNf en lugar de SN (f).

Claramente,

SNf(x) =N∑

n=−Ncne

inx

=N∑

n=−N

(1

2π

∫ π

−πf(t)e−int dt

)einx

=1

2π

∫ π

−πf(t)

(N∑

n=−Ne−in(x−t)

)dt

2. LA CONVOLUCION Y EL NUCLEO DE DIRICHLET 9

que es una convolucion, pero nos interesa encontrar una expresion mas explıcita dependiente deN que no involucre sumas.

Para esto, si s 6= 2mπ,m ∈ Z podemos escribir

2πDN (s) :=N∑

n=−Neins

= e−iNsN∑

n=−Nei(n+N)s = e−iNs

2N∑k=0

eiks

= e−iNs(ei(2N+1)s − 1)

eis − 1=ei(N+1)s − e−iNs

eis − 1

= ei12s (ei(N+ 1

2)s − e−i(N+ 1

2)s)

eis − 1=ei(N+ 1

2)s − e−i(N+ 1

2)s

eis2 − e−i

s2

Por la cuenta anterior, vale entonces que

SNf(x) =1

2π(DN ∗ f)(x)

donde DN es el nucleo de Dirichlet , dado por

DN (s) =sin((N + 1

2)s)sin s

2

.

Observacion 2.5. Una propiedad que usaremos es que1

2π

∫ π

−πDN (t) dt = 1.

Esto se deduce facilmente si consideramos f ≡ 1, ya que por lo visto anteriormente SNf = 1 =1

2π

∫ π−πDN (t) dt. Sin embargo, no es cierto que ‖DN‖L1 ≤ C para C independiente de N , ya

que esto implicarıa (usando argumentos de analisis funcional) que la serie de Fourier convergepuntualmente para toda funcion continua, y esto no ocurre.

Lema 2.6 (Riemann-Lebesgue). Si f ∈ L1([−π, π]) y α ∈ R, entonces∫ π

−πf(x) cos(αx) dx→ 0 (α→∞)∫ π

−πf(x) sin(αx) dx→ 0 (α→∞)

Demostracion. Supongamos primero que f ∈ C1. Entonces∫ π

−πf(x) cos(αx) dx = −

∫ π

−πf(x) sin

(αxα

)′dx

= −∫ π

−πf ′(x) sin

(αxα

)dx+ f(x) sin

(αxα

) ]π−π

≤ 3α‖f ′‖∞ → 0 (α→∞)

10 2. CLASE 2

Para el caso general basta usar un argumento de densidad.

Corolario 2.7. Si f ∈ L1([−π, π]), sus coeficientes de Fourier tienden a cero para |n| → ∞.

Ahora estamos en condiciones de probar el teorema sobre convergencia:

Teorema 2.8. Si f ∈ L1([−π, π]) y f es derivable en x, entonces SNf(x) → f(x) cuandoN →∞

Demostracion. Escribimos

SNf(x) =1

2π

∫ π

−πf(x− t)

sin((N + 12)t)

sin( t2)dt

y

f(x) = f(x)(

12π

∫ π

−πDN (t) dt

)=

12π

∫ π

−πf(x)DN (t) dt.

Entonces

SNf(x)− f(x) =∫ π

−π

(f(x− t)− f(x))t

t

sin t2

sin((N +12

)t) dt

:=∫ π

−πgx(t)

t

sin t2

sin((N +12

)t) dt

y como tsin t2 es una funcion acotada, para aplicar el lema de Riemann-Lebesgue basta ver que

gx(t) := f(x−t)−f(x)t ∈ L1([−π, π]).

Pero como f es derivable en x, existe δ > 0 tal que si |t| < δ,∣∣∣∣f(x− t)− f(x)t

∣∣∣∣ ≤ Cy si |t| ≥ δ, ∫ ∣∣∣∣f(x− t)− f(t)

t

∣∣∣∣ dt ≤ 1δ

∫|t|≥δ|f(x− t)− f(x)| dt ≤ C

δ‖f‖L1 .

Observacion 2.9. Siguiendo la misma demostracion, se puede ver que alcanza con pedir quela funcion f sea Holder α. Tambien se puede que si f tiene tan solo derivadas laterales en x,entonces SNf(x)→ f(x+)+f(x−)

2 .

3. Otros tipos de convergencia

Definicion 2.10. Dadas una serie∑∞

n=1 an y su sucesion de sumas parciales SN = a1+· · ·+aN ,diremos que la serie converge en el sentido de Cesaro si la sucesion de promedios σN = S1+···+SN

Nes convergente.

3. OTROS TIPOS DE CONVERGENCIA 11

Observacion 2.11. Si una sucesion es convergente, entonces converge en el sentido de Cesaro,pero no vale la recıproca. Basta considerar, por ejemplo, la sucesion an = (−1)n+1.

Definicion 2.12. Dada una serie∑∞

n=1 an, diremos que converge en el sentido de Abel si paratodo 0 < r < 1 la serie

∑∞n=1 r

nan es convegente y ademas existe y es finito lımr→1−∑∞

n=1 rnan.

Observacion 2.13. Se puede probar que si una sucesion converge en el sentido de Cesaroentonces converge en el sentido de Abel, pero la recıproca no es cierta.

CAPıTULO 3

Clase 3

1. Convergencia Cesaro y Abel de series de Fourier

Dada f ∈ L1([−π, π]) extendida periodicamente, consideramos su serie de Fourier

f(x) ∼∑n∈Z

cneinx

y definimos las sumas parciales simetricas

SNf(x) :=∑|n|≤N

cneinx.

Para estudiar la convergencia Cesaro de la serie de Fourier, definimos

σNf(x) :=S0f + · · ·+ SNf

N + 1.

Veremos que si f es continua y periodica (recordar que esto incluye f(π) = f(−π)) entoncesσNf → f uniformemente.

Queremos encontrar una expresion de σNf como convolucion. Para esto, escribimos

σNf(x) =1

N + 1

N∑n=0

Snf(x)

=1

N + 1

N∑n=0

12π

∫ π

−πDn(x− t)f(t) dt

donde Dn es el nucleo de Dirichlet.

14 3. CLASE 3

Usando la expresion que ya calculamos para Dn, tenemos que

N∑n=0

Dn(t) =N∑n=0

sin((n+ 12)t)

sin( t2)

=1

2 sin2( t2)

N∑n=0

[cos(nt)− cos((n+ 1)t)] (3.3)

=1

2 sin2( t2)[1− cos((N + 1)t)]

=1

2 sin2( t2)

[1− cos2

((N + 1)t

2

)+ sin2

((N + 1)t

2

)](3.4)

=sin2( (N+1)t

2 )sin2( t2)

donde en (3.3) usamos que 2 sin(α) sin(β) = cos(α − β) − cos(α + β) y en (3.4) usamos quecos(2α) = cos2(α)− sin2(α).

Se deduce entonces que si definimos el nucleo de Fejer como

KN (t) :=1

N + 1sin2((N+1

2 )t)sin2( t2)

(3.5)

entonces vale que

σNf(x) =1

2π(KN ∗ f)(x). (3.6)

Para ver como esta expresion sirve para probar la convergencia en el sentido de Cesaro de laserie de Fourier de una funcion continua, a continuacion vamos a probar un teorema generalpara la convolucion con una sucesion de nucleos hN .

Teorema 3.1. Sea hNN∈N una sucesion de nucleos que satisface:

1.∫ π

−πhN (t) dt = 1 para todo N ;

2. hN (t) ≥ 0 para todo t y todo N ;

3.∫ε<|t|<π

hN (t) dt→ 0 cuando N →∞, para todo ε > 0.

Entonces, para toda f ∈ C(R) 2π-periodica, hN ∗ f → f uniformemente cuando N →∞.

Observacion 3.2. De 1 y 2 se deduce que ‖hN‖L1 = 1 para todo N . En realidad quedara claroen la demostracion que basta con pedir que las normas ‖hN‖L1 esten uniformemente acotadas.Este es el motivo por el cual el teorema no se aplica al nucleo de Dirichlet (ver ejercicio en lapractica).

1. CONVERGENCIA CESARO Y ABEL DE SERIES DE FOURIER 15

Demostracion. Consideremos

|(hN ∗ f)(x)− f(x)| =∣∣∣∣∫ π

−πhN (t)f(x− t) dt− f(x)

∣∣∣∣=∣∣∣∣∫ π

−πhN (t)[f(x− t)− f(x)] dt

∣∣∣∣ (por 1)

≤∫ π

−πhN (t)|f(x− t)− f(x)| dt (por 2)

Como f es continua, entonces es uniformemente continua en compactos, por lo que dado ε > 0existe δ > 0 tal que |f(x− t)− f(x)| < ε si |t| < δ. Luego, podemos escribir

|(hN ∗ f)(x)− f(x)| ≤∫|t|<δ

hN (t)|f(x− t)− f(x)| dt+∫δ≤|t|≤π

hN (t)|f(x− t)− f(x)| dt

≤ ε∫|t|<δ

hN (t) dt+ 2‖f‖∞∫δ≤|t|≤π

hN (t) dt

≤ 2ε si N es suficientemente grande (por 1 y 3)

Como caso particular, tenemos el siguiente

Teorema 3.3. Si f ∈ C(R) es una funcion 2π-periodica, entonces σNf → f uniformemente(es decir, la serie de Fourier converge a f en el sentido de Cesaro).

Demostracion. Aplicamos el Teorema 3.1 a hN = 12πKN .

Para ver que vale la condicion 1 basta tomar f ≡ 1. En efecto, para todo x ∈ [−π, π], por (3.6),

1 = σN1(x) =1

2π

∫ π

−πKN (t) dt.

La condicin 2 es evidente por la expresion (3.5).

Falta ver entonces que se cumple la condicion 3. ComoKN (t) es una funcion par, basta considerart > 0. En ese caso, notemos que si δ < t < π, entonces sin( δ2) < sin( t2). Por lo tanto, sin−2( t2) <sin−2( δ2) y ∫

δ<t<πKN (t) dt ≤ 1

(N + 1)(π − δ)sin2( δ2)

→ 0 cuando N →∞.

Corolario 3.4. Los polinomios trigonometricos son densos en las funciones periodicas y con-tinuas. En efecto, basta observar que σNf son polinomios trigonometricos y usar el teoremaanterior. Esto ademas nos dice que el sistema ortonormal einxn∈Z es completo.

16 3. CLASE 3

2. Convergencia Abel para series de Fourier

Definicion 3.5. Decimos que una serie∑

n∈Z cn converge en el sentido de Abel si valen lassiguientes condiciones:

1. para todo 0 < r < 1, la serie∑n∈Z

cnr|n| converge en el sentido usual;

2. existe lımr→1−

∑n∈Z

cnr|n|.

Si f ∼∑n∈Z

cneinx es una funcion continua y periodica, podemos aplicarle esta definicion a su

serie de Fourier. Afirmamos que para todo 0 < r < 1, la serie∑n∈Z

cnr|n|einx converge, mas aun,

converge absolutamente. En efecto, como f es continua, cn es una sucesion uniformente acotaday, como r < 1, ∑

n∈Zcnr|n| ≤ C

∑n∈Z

r|n| < +∞.

Para estudiar el comportamiento cuando r → 1−, definimos

Ar(f)(x) :=∑n∈Z

cnr|n|einx.

Como para el estudio de la convergencia en el sentido de Abel, queremos escribir Ar(f) comouna convolucion. Para esto, basta notar que

Arf(x) =∑n∈Z

(1

2π

∫ π

−πf(t)e−int dt

)r|n|einx

=1

2π

∫ π

−π

(∑n∈Z

r|n|ein(x−t)

)f(t) dt

=1

2π

∫ π

−πPr(x− t)f(t) dt (3.7)

donde Pr es el nucleo de Poisson dado por

Pr(x) :=∑n∈Z

r|n|einx.

2. CONVERGENCIA ABEL PARA SERIES DE FOURIER 17

Como para los nucleos de Dirichlet y Fejer, queremos encontrar para el nucleo de Poisson unaexpresion mas explıcita. Para esto, notemos que

Pr(t) =0∑

n=−∞r−neint +

∞∑n=0

rneint − 1

=∞∑n=0

rne−int +∞∑n=0

rneint − 1

=∞∑n=0

(re−it)n +∞∑n=0

(reit)n − 1

=1

1− re−it+

11− reit

− 1

=2− r(eit + e−it)− (1− re−it)(1− reit)

(1− re−it)(1− reit)

=1− r2

1− r(eit + e−it) + r2

=1− r2

1− 2r cos(t) + r2. (3.8)

Ahora podemos volver al problema de estudiar lımr→1− Ar(f).Vamos a ver que Pr2π cumple las

hipotesis del Teorema 3.1 cambiando el parametro N por r ∈ (0, 1).

Que1

2π

∫ π

−πPr(t) dt = 1 se puede ver considerando f ≡ 1.

Para ver que Pr(t) ≥ 0 para todo t y para todo r ∈ (0, 1), basta observar que |2r cos t| ≤ 1 + r2

y usar la expresion (3.8).

Por ultimo, nos queda por verificar la condicion 3 del Teorema 3.1. Como el Pr(t) es una funcionpar, basta ver que para todo δ > 0∫ π

δPr(t) dt→ 0 cuando r → 1−.

Para probar esto notemos primero que

1− 2r cos(t) + r2 = (r − cos(t))2 + (1− cos2(t)) ≥ 1− cos2(t) = sin2(t),

y que entonces, para δ < t < π2 ,

sin2 t ≥(

2πt

)2

>

(2πδ

)2

.

Por lo tanto, ∫ π

δPr(t) dt ≤

(π − δ)( 1π δ)

(1− r2)→ 0 cuando r → 1−.

En definitiva, hemos demostrado el siguiente

18 3. CLASE 3

Teorema 3.6. Si f ∈ C(R) es una funcion 2π-periodica, entonces Arf → f uniformementecuando r → 1−. Es decir, la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en el sentido deAbel.

3. Relacion con el problema de contorno en el disco

Consideremos el problema de Dirichlet en el disco D = z ∈ C : |z| < 1:∆u = 0 en Du = g en ∂D

donde g : ∂D = S1 → R es una funcion continua.

Notemos que si z ∈ D, entonces z = reix con r ∈ [0, 1) y x ∈ [−π, π) (y esta escritura es unicasi z ∈ D − 0. Entonces, si definimos f(x) = g(eix) y

u(z) = u(reix) :=1

2π(Pr ∗ f)(x) = Arf(x)

sabemos que u(z) = u(reix) → f(x) = g(eix) cuando r → 1−. Para probar que u es armonica(es decir ∆u = 0) vamos a ver que es la parte real de una funcion analıtica.

Como estamos suponiendo que f toma valores reales, por la Observacion 1.3 sabemos que suscoeficientes de Fourier cumplen c−n = cn. Entonces

Arf(x) =∞∑n=1

rnc−ne−inx +

∞∑n=1

rncneinx + c0

=∞∑n=1

rncneinx +∞∑n=1

rncneinx + c0

=∞∑n=1

cn(reix)n +∞∑n=1

cn(reix)n + c0

Luego,

u(z) = c0 +∞∑n=1

cnzn +

∞∑n=1

cnzn.

Ahora, como la serie es absolutamente convergente, si definimos

F (z) = c0 + 2∞∑n=1

cnzn

entonces F es analıtica en D, por lo que Re(F ) es una funcion armonica. Pero Re(F ) = F+F2 =

u(z), por lo que ∆u = 0 en D, como querıamos ver.

CAPıTULO 4

Clase 4

1. La transformada de Hilbert en el caso periodico

La clase anterior vimos que si

F (z) = c0 + 2∞∑n=1

cnzn

con cn = f(n), entonces F es holomorfa en D y Re(F ) = u, donde u(z) = u(reix) = 12π (Pr∗f)(x).

Si llamamos v = Im(F ) entonces tambien vale que ∆v = 0 en D, y

v(z) =F − F

2i

= 2∞∑n=1

cnzn

2i− 2

∞∑n=1

cnzn

2i

=∞∑n=1

(−i)cnzn +∞∑n=1

icnzn

=∞∑n=1

(−i)cnrneinx +∞∑n=1

c−nrne−inx (4.9)

=∞∑n=1

(−i)cnrneinx +−1∑

n=−∞icne

inx

=∑n∈Z

(−i)r|n|einxsg(n) (4.10)

donde en (4.9) usamos que f toma valores reales y por lo tanto cn = c−n (ver la Observacion(1.3)) y la funcion sg en (4.10) es la funcion signo, definida como

sg(n) :=

1 n > 00 n = 0−1 n < 0

Formalmente, cuando r → 1−,

v(z)→ v(eix) =∑n∈Z

(−i)sg(n)cneinx.

20 4. CLASE 4

Entonces, dada f ∼∑cne

inx, podemos definir la transformada de Hilbert de f como

Hf(x) :=∑n∈Z

(−i)sg(n)cneinx.

Por lo tanto, nos interesa estudiar en que espacio debe estar f ∼∑cne

inx para que (−i)sg(n)cnsean los coeficientes de Fourier de otra funcion del mismo espacio.

Observacion 4.1. Volviendo al problema de contorno, vale la pena notar que dada u armonica,la funcion v que construimos es una conjugada armonica de u (es decir, F = u+iv es holomorfa).Mas aun, como dos conjugadas armonicas difieren en una constante, v es la unica conjugadaarmonica de u con la propiedad de que su valor de borde, v(eix) tiene coeficiente de Fourier deorden cero igual a cero, o sea ∫ π

−πv(eix) dx = 0.

Pero como v es una funcion armonica, por la propiedad del valor medio esto equivale a decirque v(0) = 0.

2. Teorıa L2 para series de Fourier

Dada f ∈ L2([−π, π]), sabemos que sus coeficientes de Fourier cn estan bien definidos. Veremosque ademas

SNf(x) :=∑|n|≤N

cneinx → f (N →∞)

donde la convergencia es en L2.

Para esto, observemos primero que las funciones ϕn(x) = 1√2πeinx, n ∈ Z forman un conjuntos

de funciones ortonormal en L2([−π, π]), es decir∫ π

−πϕn(x)ϕk(x) dx =

0 k 6= n1 k = n

Si ahora definimos el subespacio de los polinomios trigonometricos de grado menor o igual queN ,

VN := P ∈ L2([−π, π]) : P (x) =∑|n|≤N

aneinx, an ∈ C

vale la siguiente propiedad:

Proposicion 4.2. SNf es la proyeccion ortogonal de f sobre VN , es decir, SNf ∈ VN y∫ π

−π(f − SNf)P dx = 0 para todo P ∈ VN .

2. TEORIA L2 PARA SERIES DE FOURIER 21

Demostracion. Basta ver que vale para las funciones e−ikx para todo |k| ≤ N , ya que son unabase de VN . Pero

∫ π

−π

f(x)−∑|n|≤N

cneinx

e−ikx dx =∫ π

−πf(x)e−ikx dx−

∫ π

−πck dx

=∫ π

−πf(x)e−ikx dx− 2πck

= 0

Corolario 4.3. A partir de la proposicion anterior es inmediato ver que para todo P ∈ VNvale que

‖f − P‖22 = ‖f − SNf‖22 + ‖SNf − P‖22.

En particular, resulta que SNf es la mejor aproximacion de f en el subespacio VN , es decir,

‖f − SN‖2 ≤ ‖f − P‖2

para todo P ∈ VN .

Observacion 4.4. Si P ∈ VN , digamos P =∑|n|≤N ane

inx, entonces

12π‖P‖22 =

∑|n|≤N

|an|2.

En efecto,

‖P‖22 =∫ π

−π

∑|n|≤N

aneinx

∑|k|≤N

akeikx

dx

=∑|n|≤N

∑|k|≤N

anak

∫ π

−πeinxe−ikx dx

= 2π∑|n|≤N

|an|2.

Estamos entonces en condiciones de probar el resultado que anunciamos al principio:

Teorema 4.5. Si f ∈ L2([−π, π]), entonces SNf → f in L2.

Demostracion. Si f es una funcion continua, podemos aproximarla por polinomios trigo-nometricos. Es decir que dado ε > 0, existen M = M(ε) y P ∈ VM tal que ‖f − P‖2 < ε.Entonces, si N ≥M , P ∈ VN y por la Proposicion 4.2

‖f − SNf‖2 ≤ ‖f − P‖2 < ε.

22 4. CLASE 4

Si f no es continua, dado ε > 0 existe g continua tal que ‖f − g‖2 < ε. Por lo anterior, SNg → gen L2, o sea, si N ≥M = M(ε), ‖g − SNg‖ < ε. Entonces, si N ≥M ,

‖f − SNf‖2 ≤ ‖f − g‖2 + ‖g − SNg‖2 + ‖SN (g − f)‖2≤ ε+ ε+ ‖g − f‖2< 3ε.

Teorema 4.6 (Bessel-Parseval). Si f ∈ L2([−π, π]), f ∼∑cne

inx, entonces

12π‖f‖22 =

∑n∈Z|cn|2.

Demostracion. Por el Corolario 4.3 y la Observacion 4.4,

12π‖f‖22 =

12π‖f − SNf‖22 +

12π‖SNf‖22

= ‖f − SNf‖22 +∑|n|≤N

|cn|2.

Pero por el Teorema 4.5, ‖f − SNf‖2 → 0 cuando N →∞, por lo tanto, tomando lımite

12π‖f‖22 =

∑n∈Z|cn|2.

Observacion 4.7. El Teorema de Bessel-Parseval implica que si f ∈ L2([−π, π]), entonces suscoeficientes de Fourier estan en l2(Z), donde

l2(Z) := (an) : an ∈ C y∑n∈Z|an|2 <∞.

Es interesante notar que tambien vale la recıproca, es decir, si (an) ∈ l2(Z), existe una unicaf ∈ L2([−π, π]) tal que an = f(n) para todo n.

Demostracion. Dada (an) ∈ l2(Z), definimos PN ∈ VN como

PN (x) =∑|n|≤N

aneinx.

Afirmamos que (PN ) es una sucesion de Cauchy en L2. En efecto, dado ε > 0, como∑|an|2 <∞,

existe N0 = N0(ε) tal que para todo k ∈ N y N ≥ N0,

‖PN − PN+k‖ = 2π∑

N<|n|≤N+k

|an|2 < ε.

Como L2 es un espacio completo, deducimos entonces que existe f := lımN→∞ PN en L2.

4. CONVERGENCIA EN Lp PARA SERIES DE FOURIER 23

Falta ver entonces que an = f(n). Pero∫ π

−πf(t)e−ikt dt = lım

N→∞

∫ π

−π

∑|n|≤N

aneint

e−ikt dt

= lımN→∞

∑|n|≤N

an

∫ π

−πeinte−ikt dt

= 2πak.

3. Teorıa L2 para la transformada de Hilbert en el caso periodico

Por lo visto en la seccion anterior, dada f ∈ L2([−π, π]), entonces (f(n))n∈Z ∈ l2(Z) y como| − i sg(n)| ≤ 1, entonces (−i sg(n)f(n)) ∈ l2(Z), por lo que existe una unica funcion Hf ∈L2([−π, π]) tal que esos son sus coeficientes de Fourier, es decir,

Hf(n) = −i sg(n)f(n).

Por lo tanto, la transformada de Hilbert H : L2([−π, π])→ L2([−π, π]) esta bien definida.

Para poder decir ademas que Hf son los valores en ∂D de la unica conjugada armonica v de utal que v(0) = 0, donde

u(z) = u(reix) =1

2π(f ∗ Pr)(x)

faltarıa ver que para toda funcion g ∈ L2([−π, π]),1

2π(g ∗ Pr)→ g en L2.

Esta propiedad es cierta pero no la probaremos en el caso periodico, la veremos mas adelanteen R. Concluimos esta seccion con la siguiente propiedad:

Proposicion 4.8. H : L2([−π, π])→ L2([−π, π]) es un operador continuo.

Demostracion.1

2π‖Hf‖22 =

∑n∈Z| − i sg(n)f(n)|2

=∑

n∈Z−0

|f(n)|2

≤ 12π‖f‖22.

4. Convergencia en Lp para series de Fourier

Dada f ∈ Lp([−π, π]) nos preguntamos ahora si SNf → f en Lp. Veremos que la respuesta essı cuando 1 < p <∞ y no si p = 1 o ∞, y que la respuesta a este problema esta relacionada con

24 4. CLASE 4

la transformada de Hilbert que acabamos de ver. Por ahora, daremos una condicion necesaria ysuficiente para la convergencia en Lp, que usaremos mas adelante.

Teorema 4.9. SNf → f en Lp para toda f ∈ Lp si y solo si existe una constante C indepen-diente de N y de f tal que ‖SNf‖p ≤ C‖f‖p.

Demostracion. ⇐) Primero veamos que vale si f es una funcion continua. En este caso, dadoε > 0 sabemos que existen M = M(ε) y PM ∈ VM tal que ‖f −PM‖p ≤ ε. Entonces, si N ≥M ,como SN (PM ) = PM

‖f − SNf‖p ≤ ‖f − PM‖p + ‖SN (PM − g)‖p≤ (1 + C)‖f − PM‖p< (1 + C)ε.

Si f no es continua, dado ε, existe g continua tal que ‖f − g‖p < ε. Entonces, si N > M(ε),

‖f − SNf‖p ≤ ‖f − g‖p + ‖g − SNg‖p + ‖SN (g − f)‖p≤ ε+ ε+ C‖g − f‖p≤ (2 + C)ε.

⇒) Si SNf → f en Lp para toda f ∈ Lp, entonces ‖SNf‖p ≤ C(f). Pero entonces, por elprincipio de acotacion uniforme, existe una constante C independiente de f y de N tal que‖SNf‖p ≤ C‖f‖p.

CAPıTULO 5

Clase 5

1. Teorıa Lp para la transformada de Hilbert en el caso periodico

Para estudiar la continuidad en Lp de la transformada de Hilbert, primero veremos el siguiente

Lema 5.1.

(Hf)2 = f2 + 2H(fHf) +1

2π

∫ π

−π[(Hf)2 − f2] dx (5.11)

Demostracion. Observemos primero que

H(Hg) = −g +1

2π

∫ π

−πg dx (5.12)

para toda g ∈ L2. En efecto, como Hg(n) = (−i) sg(n)g(n),

H2g(n) = (−i sg(n))2g(n) =

0 n = 0−g(n) n 6= 0

y, por lo tanto,

H2g(x) =∑

n∈Z−0

g(n)einx = −∑n∈Z

g(n)einx + g(0)

de donde (5.12) se deduce inmediatamente.

Ahora, recordemos que si u(z) = (f ∗ Pr)(x) con z = eix, entonces f = u |∂D y Hf(x) = v(eix)donde v es la unica conjugada armonica tal que v(0) = 0.

Sabemos que F (z) = u(z) + iv(z) es holomorfa en D. Entonces tambien F 2 = (u + iv)2 lo es,pero F 2 = (u + iv)2 = (u2 − v2) + 2iuv y como u2 y v2 son armonicas, 2uv es la conjugadaarmonica de u2 − v2 que vale cero en cero, es decir H[f2 − (Hf)2] = 2(fHf).

Si ahora aplicamos H a ambos lados y usamos (5.12), tenemos finalmente que

−[f2 − (Hf)2] +1

2π

∫ π

−π[f2 − (Hf)2] dx = 2H(fHf),

y reordenando se obtiene el resultado del lema.

Corolario 5.2.

(Hf)2 ≤ f2 + 2H(fHf)

26 5. CLASE 5

Demostracion. Es inmediata a partir del lema anterior y la desigualdad ‖Hf‖2 ≤ ‖f‖2 (verla Proposicion 4.8).

Teorema 5.3. Si H es continuo en Lp entonces es continuo en L2p.

Demostracion. Vamos a usar que si a, b > 0, entonces para todo k > 0,

ab = (ka)(b

k

)≤ k2a2

2+

b2

2k2. (5.13)

Notemos que

‖Hf‖2p2p =∫ π

−π|Hf |2p dx

≤∫ π

−π[f2 + 2H(fHf)]p dx

≤ 2p−1

∫ π

−π[|f |2p + 2p(H(fHf))p] dx

≤ Cp(‖f‖2p2p +

∫ π

−π|f |p|Hf |p dx

)(5.14)

≤ Cp(‖f‖2p2p +

k2

2‖f‖2p2p +

12k2‖Hf‖2p2p

)(5.15)

donde en (5.14) usamos la continuidad de H en Lp, y en (5.15) usamos (5.13) con a = |f |p yb = |Hf |p.

Si elegimos k tal que Cp2k2 = 1

2 , resulta entonces que

12‖Hf‖2p2p ≤

(Cp +

k2

2

)‖f‖2p2p.

Observacion 5.4. Para despejar en (5.15) es necesario suponer que ‖Hf‖2p2p < ∞. Lo quedebemos hacer, en realidad, es trabajar en un subespacio denso donde la transformada de Hilberteste bien definida y de una funcion en L2p, y luego utilizar la densidad para deducir el resultadoen L2p. Por ejemplo, podemos tomar el subespacio de funciones de clase C1.

Corolario 5.5. H es un operador continuo en L2n para todo n ≥ 1.

A partir del corolario anterior y de un resultado de interpolacion que probaremos a continuacion,podremos deducir que la transformada de Hilbert es continua en Lp para p ∈ [2,∞).

2. El teorema de Marcinkiewicz

Definicion 5.6. Si T es un operador lineal o sublineal y 1 ≤ p, q ≤ ∞, diremos que T es detipo fuerte (p, q) si T : Lp → Lq es acotado.

2. EL TEOREMA DE MARCINKIEWICZ 27

Si 1 ≤ p, q <∞, diremos que T es de tipo debil (p, q) si existe C > 0 tal que para todo λ > 0

|x : |Tf(x)| > λ| ≤(C‖f‖pλ

)q.

En el caso p = q =∞, por convencion el tipo debil se define igual que el fuerte.

Observacion 5.7. Si T es de tipo fuerte (p, q), entonces es de tipo debil (p, q).

Demostracion.

|x : |Tf(x)| > λ| =∫|Tf |>λ

dx ≤∫|Tf |q

λqdx ≤

(C‖f‖pλ

)q.

Definicion 5.8. La funcion de distribucion de una funcion f , df (λ) : (0,+∞) → [0 +∞) sedefine por

df (λ) := |x : |f(x)| > λ|.

Proposicion 5.9. Usando Fubini y la definicion anterior, si 1 ≤ p <∞,

‖f‖pp =∫ ∞

0pλp−1df (λ) dλ.

Teorema 5.10 (Marcinkiewicz). Sean 1 ≤ p0 < p1 ≤ p y T un operador sublineal definido enLp0 + Lp1 tal que T es de tipo debil (p0, p0) y (p1, p1). Entonces T es de tipo fuerte (p, p) paratodo p ∈ (p0, p1).

Demostracion. Dado λ, escribimos

f = fχx:|f(x)|>cλ︸︷︷︸:=f0

+ fχx:|f(x)|≤cλ︸︷︷︸:=f1

donde c una constante que vamos a elegir despues.

Como T es sublineal, |Tf(x)| ≤ |Tf0(x)|+ |Tf1(x)|, entonces

dTf (λ) ≤ dTf0(λ

2

)+ dTf0

(λ

2

)y por hipotesis sabemos que

dTf0

(λ

2

)≤(

2A0‖f0‖p0λ

)p0, (5.16)

y que

dTf1

(λ

2

)≤(

2A1‖f1‖p1λ

)p1. (5.17)

Separamos la demostracion en dos casos,

Caso p1 =∞: Si elegimos c = 12A1

, entonces dTf1(λ2 ) = 0. En efecto,

‖Tf1‖∞ ≤ A1‖f1‖∞ ≤ A1cλ =λ

2,

28 5. CLASE 5

y, por lo tanto, ∣∣∣∣|Tf1| >λ

2

∣∣∣∣ = 0.

Entonces,

‖Tf‖pp = p

∫ ∞0

λp−1dTf (λ) dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1dTf0

(λ

2

)dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1

(2A0‖f0‖p0

λ

)p0dλ

= p(2A0)p0∫ ∞

0λp−1−p0

∫|f0(x)|p0 dx dλ

= p(2A0)p0∫ ∞

0λp−1−p0

∫|f |>cλ

|f(x)|p0 dx dλ

= p(2A0)p0∫|f(x)|p0

∫ |f(x)|c

0λp−1−p0 dx dλ

=p

p− p0(2A0)p0(2A1)p−p0‖f‖pp.

Caso p1 <∞: En este caso tenemos

‖Tf‖pp0p∫ ∞

0λp−1dTf (λ) dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1

[dTf0

(λ

2

)+ dTf1

(λ

2

)]dλ

≤ p∫ ∞

0λp−1−p0(2A0)p0

∫|f |>cλ

|f(x)|p0 dx dλ

+ p

∫ ∞0

λp−1−p1(2A1)p1∫|f |≤cλ

|f(x)|p1 dx dλ

=(p 2p0

p− p0

Ap00

cp−p0+

p 2p1

p1 − pAp11

cp−p1

)‖f‖pp.

Si elegimos c tal que (2A0c)p0 = (2A1c)p1 se obtiene que

‖Tf‖p ≤ 2 p1/p

(1

p− p0+

1p1 − p

)1/p

A1−θ0 Aθ1‖f‖p,

donde1p

=θ

p1+

1− θp0

, 0 < θ < 1.

Corolario 5.11. H es un operador continuo de Lp en Lp para todo p ∈ [2,∞).

2. EL TEOREMA DE MARCINKIEWICZ 29

Demostracion. Es consecuencia del teorema de interpolacion de Marcinkiewicz y del Corolario5.5.

CAPıTULO 6

Clase 6

1. Convergencia en Lp para le serie de Fourier

Vamos a relacionar la convergencia en Lp de la serie de Fourier con la acotacion de la transfor-mada de Hilbert. Para esto, probaremos primero que la transformada de Hilbert es acotada enLp si p ∈ (1, 2). Comenzamos con el siguiente lema:

Lema 6.1.

∫ π

−π(Hf)g = −

∫ π

−πf(Hg)

Demostracion. Usaremos que si f, g ∈ L2, entonces

12π

∫ π

−πf(x)g(x) dx =

∞∑n=−∞

f(n)g(n).

Por lo tanto,

12π

∫ π

−πHf(x)g(x) dx =

∞∑n=−∞

(−i)sg(n)f(n)g(n)

= −∞∑

n=−∞f(n)(−i)sg(n)g(n)

= − 12π

∫ π

−πf(x)Hg(x) dx.

Corolario 6.2. Si p ∈ (1, 2), entonces ‖Hf‖p ≤ C‖f‖p.

32 6. CLASE 6

Demostracion. Basta observar que como p′ ∈ [2,∞), la transformada de Hilbert es continuaen Lp

′por el Corolario 5.11, y entonces

‖Hf‖p = supg∈Lp′ ,‖g‖p′=1

∫ π

−πHf(x)g(x) dx

= supg∈Lp′ ,‖g‖p′=1

∫ π

−πf(x)Hg(x) dx

≤ supg∈Lp′ ,‖g‖p′=1

‖f‖p‖Hg‖p′

≤ C‖f‖p.

Teorema 6.3. Para toda f ∈ Lp([−π, π]), SNf → f en Lp, 1 < p <∞.

Demostracion. Notemos que

χ[−N,N ](n) =12

[sg(n+N)− sg(n−N)] +12

[χ−N(n) + χN(n)] (6.18)

Primero observemos que si definimos PMf(x) = f(M)eiMx (M ∈ Z), entonces ‖PMf‖p ≤ ‖f‖p.En efecto,

‖PMf‖pp =∫ π

−π|PMf(x)|p dx =

∫ π

−π|fM |p dx = 2π|f(M)|p

pero

|f(M)| =∣∣∣∣ 12π

∫ π

−πf(t)e−iMt dt

∣∣∣∣ ≤ 12π‖f‖p(2π)

1p′ =

1

(2π)1p

‖f‖p

y, por lo tanto,‖PMf‖pp ≤ ‖f‖pp. (6.19)

Por otro lado,∞∑

n=−∞sg(n+N)f(n)einx =

∞∑m=−∞

sg(m)f(m−N)e−iNx

=∞∑

m=−∞sg(m)f eiNt(m)eimxe−iNx

= ieiNx∞∑

m=−∞(−i)sg(m)f eiNt(m)eimx

= ieiNxH(feiNt)(x).

Analogamente, se puede ver que∞∑

n=−∞sg(n−N)f(n)einx = ieiNxH(fe−iNt)(x).

2. LA TRANSFORMADA DE HILBERT COMO MULTIPLICADOR E INTEGRAL SINGULAR 33

Entonces,

SNf(x) =i

2e−iNxH(feiNt)(x)− i

2eiNxH(fe−iNt)(x) +

12

(P−Nf(x) + PNf(x))

de donde, usando la continuidad en Lp para la transformada de Hilbert y (6.19), se deduce elteorema.

2. La transformada de Hilbert como multiplicador e integral singular

Dada una sucesion Λ = (λn), n ∈ Z, le podemos asociar (en principio formalmente) un operador

TΛf(x) =∞∑

n=−∞λnf(n)einx.

Queremos escribir este operador como una convolucion. Si por ejemplo (λn) fuera absolutamenteconvergente,

TΛf(x) =∞∑

n=−∞λn

(1

2π

∫ π

−πf(t)e−int dt

)einx

=∫ π

−πf(t)

(1

2π

∞∑n=−∞

λnein(x−t)

)dt

= (f ∗K)(x)

donde

K(t) :=1

2π

∞∑n=−∞

λneint, (6.20)

por lo que si (λn) ∈ l∞, entonces K ∈ L1[−π, π] y por la desigualdad de Young, para todo1 ≤ p ≤ ∞,

‖TΛf‖p = ‖f ∗K‖p ≤ ‖K‖1‖f‖p.

Nos interesa ahora estudiar un caso mas general, para poder incluir por ejemplo a λn =(−i)sg(n), y darle sentido a TΛ = H.

34 6. CLASE 6

Para esto vamos a ver que si definimos K(t) como en (6.20), entonces converge en el sentido deAbel. En efecto,

Kr(t) =1

2π

∞∑n=−∞

(−i)sg(n)r|n|eint

=1

2π

−1∑n=−∞

ir−neint − 12π

∞∑n=1

irneint

=i

2π

∞∑n=1

(re−it)n − i

2π

∞∑n=1

(reit)n

=i

2π

(re−it

1− re−it− reit

1− reit

)= − 1

2πr sin t

1− 2r cos t+ r2

y, por lo tanto, cuando r → 1−

Kr(t)→ −1

2πsin t

(1− cos t)= − 1

2π2 sin( t2) cos( t2)

(1− cos2( t2) + sin2( t2))= − 1

2πcos( t2)sin( t2)

.

Entonces, si llamamos

K(t) := − 12π

cot(t

2

),

obtenemos formalmente que

Hf(x) = (K ∗ f)(x) = − 12π

∫ π

−πf(x− t) cot

(t

2

)dt. (6.21)

Notemos que cuando t→ 0, cot( t2) ∼ 1t , y por lo tanto la expresion (6.21) no resulta integrable

ni siquiera para f ≡ 1. Sin embargo, si f ∈ C1, la expresion sı tiene sentido como valor principalo integral singular, definiendo

v.p.

∫ π

−πf(x− t) cot

(t

2

)dt := lım

ε→0

∫ε<|t|≤π

f(x− t) cot(t

2

)dt. (6.22)

En efecto, como cot( t2) es una funcion impar,∫ε<|t|≤π

cot(t

2

)dt = 0,

de donde se sigue que∣∣∣∣∣∫ε<|t|≤π

f(x− t) cot(t

2

)dt

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ε<|t|≤π

[f(x− t)− f(x)] cot(t

2

)dt

∣∣∣∣∣≤ ‖f ′‖∞

∫ε<|t|≤π

∣∣∣∣t cot(t

2

)∣∣∣∣ dty por lo tanto existe el lımite (6.22).

2. LA TRANSFORMADA DE HILBERT COMO MULTIPLICADOR E INTEGRAL SINGULAR 35

Observacion 6.4. Si definimos

Hf(x) = − 1π

lımε→0

∫ε<|x−y|<π

f(y)x− y

dy, (6.23)

entonces vale que H es continuo en Lp si y solo si H es continuo en Lp, pues (H − H)(f)(x) =(K ∗ f)(x) con K ∈ L1[−π, π], ya que cerca del origen cot( t2) = 2

t +O(t).

CAPıTULO 7

Clase 7

1. La transformada de Fourier en R

Si f : R→ R es una funcion continua de soporte compacto, digamos sop(f) ⊆ [−M,M ], y L estal que L/2 > M , podemos extender periodicamente a f con perıodo L y hacer su desarrollo deFourier. Formalmente, tenemos entonces que

f(x) =∑n∈Z

cn(L)e2πi nLx

con

cn(L) =1L

∫ L/2

−L/2f(t)e−2πi n

Lt dt.

Entonces, para todo x ∈ [−M,M ],

f(x) =∑n∈Z

1L

∫ L/2

−L/2f(t)e−2πi n

Lt dt e2πi n

Lx

=∑n∈Z

1L

∫ ∞−∞

f(t)e−2πi nLt dt e2πi n

Lx

ya que f ≡ 0 en R− [−M,M ].

Entonces, si definimos

f(nL

):=∫ ∞−∞

f(t)e−2πi nLt dt

y pensamos que es una funcion suficientemente “buena”, tomando lımite para L→∞ tenemosque ∑

n∈Z

1Lf(nL

)e2π n

Lx →

∫ ∞−∞

f(ξ)e2πiξx dξ.

Por lo tanto, al menos formalmente, tendrıamos que

f(x) =∫ ∞−∞

f(ξ)e2πiξx dξ (7.24)

donde

f(ξ) =∫ ∞−∞

f(x)e−2πiξx dx

38 7. CLASE 7

Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 7.1. Dada f ∈ L1(R), definimos su transformada de Fourier como

f(ξ) :=∫ ∞−∞

f(x)e−2πixξ dx. (7.25)

Notacion 7.2. Tambien usaremos para la transformada de Fourier la notacion F(f) := f .

Proposicion 7.3. Dada f ∈ L1(R), valen las siguientes propiedades:

1. f(ξ)→ 0 (|ξ| → ∞).2. f ∈ L∞ y ‖f‖∞ ≤ ‖f‖1.3. f es continua en R.

Demostracion. La demostracion de 1 la dejamos como ejercicio, mientras que la propiedad 2es inmediata de la definicion. Para ver que vale 3, notemos que

f(ξ + h)− f(ξ) =∫ ∞−∞

f(x)(e−2πix(ξ+h) − e−2πixξ) dx

=∫ ∞−∞

e−2πiξx(e−2πixh − 1)f(x) dx

y, por lo tanto, por convergencia mayorada

|f(ξ + h)− f(ξ)| ≤∫ ∞−∞|f(x)||e−2πixh − 1| dx→ 0.

Otras propiedades que usaremos y cuya demostracion dejamos como ejercicio son las siguientes:

Proposicion 7.4. Dada f ∈ L1(R):

1. Si f ′ ∈ L1(R), entonces f ′(ξ) = 2πiξf(ξ).2. (xf)(ξ) = − 1

2πi(f)′(ξ).

Nuestro problema ahora es ver cuando vale la igualdad (7.24). Veremos que, por ejemplo, vale sif ∈ L1 y f ∈ L1. Pero en general no es cierto que dada f ∈ L1 su transformada tambien este enL1. Por ejemplo, si f = χ[−1,1], entonces f(ξ) ∼ sin(πξ)

πξ 6∈ L1.

La idea es entonces intentar hacer algo analogo a la sumabilidad Abel que estudiamos para seriesde Fourier. Podrıamos preguntarnos, por ejemplo, si dada f ∈ L1 vale que

f(x) = lımt→0+

∫ ∞−∞

f(ξ)e−t|ξ|2e2πixξ dξ

o, mas en general, si dada g ∈ L1, continua en el origen y tal que g(0) = 1 (notemos que estoimplica que g(tξ)f(ξ) ∈ L1 para todo t > 0) vale que

f(x) = lımt→0+

∫ ∞−∞

f(ξ)g(tξ)e2πixξ dξ.

Antes de responder esta pregunta, comencemos con un lema.

1. LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN R 39

Lema 7.5. Si f, g ∈ L1(R), entonces∫ ∞−∞

f(ξ)g(ξ) dξ =∫ ∞−∞

f(ξ)g(ξ) dξ.

Demostracion. ∫ ∞−∞

f(ξ)g(ξ) dξ =∫ ∞−∞

(∫ ∞−∞

f(x)e−2πixξ dx

)g(ξ) dξ

=∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

e−2πixξg(ξ) dξf(x) dx

=∫ ∞−∞

f(x)g(x) dx

Definicion 7.6. Dada g ∈ L1(R) continua en el origen y tal que g(0) = 1, definimos, para todot > 0,

Ag,tf(x) =∫ ∞−∞

f(ξ)g(tξ)e2πixξ dξ. (7.26)

Observemos que, por el lema anterior,

Ag,tf(x) =∫ ∞−∞

f(y)F(g(tξ)e2πixξ)(y) dy

y

F(g(tξ)e2πixξ)(y) =∫ ∞−∞

g(tξ)e2πixξe−2πiyξ dξ

=∫ ∞−∞

g(tξ)e−2πiξ(y−x) dξ

=∫ ∞−∞

g(η)e−2πi( y−xt

)η 1tdη

=1tg

(y − xt

).

Por lo tanto, si definimos ϕ(x) = g(−x), y ϕt(x) = 1tϕ(xt ), entonces

Ag,tf(x) =∫ ∞−∞

f(y)1tϕ

(x− yt

)dy = (f ∗ ϕt)(x).

Supongamos que g ∈ L1(R) y que∫∞−∞ g(ξ) dξ = 1 (veremos que esto equivale a pedir g(0) = 1).

Entonces,∫ϕ = 1 y

∫ϕt = 1 para todo t > 0. Como ademas ϕ es continua, veremos que esto

implica que Ag,tf(x)→ f(x) cuando t→ 0+ tanto en Lp como en casi todo punto.

Observacion 7.7. La transformada de Fourier en Rn se construye de manera analoga, es decir,si f ∈ L1(Rn), entonces

f(ξ) =∫

Rnf(x)e2πix·ξ dx (7.27)

y valen las mismas propiedades que enunciamos para la transformada de f ∈ L1(R).

40 7. CLASE 7

Del mismo modo, valen las cuentas para Ag,tf , es decir,

Ag,t(x) =∫

Rnf(ξ)g(tξ)e2πix·ξ dξ = (f ∗ ϕt)(x)

con ϕ(x) = g(−x) y ϕt(x) = 1tnϕ(xt ).

CAPıTULO 8

Clase 8

1. La transformada de Fourier en Rn

Lema 8.1. Sea ϕ ∈ L1(Rn) tal que∫ϕ = 1 y sea ϕt(x) = 1

tnϕ(xt ). Entonces

1. Si f ∈ L∞(Rn) y es continua en x, (f ∗ ϕt)(x)→ f(x) cuando t→ 0.2. Si f ∈ Lp(Rn) para algun p ∈ [1,∞), (f ∗ ϕt)→ f en Lp.

Demostracion. 1. Primero observemos que como∫ϕ = 1, entonces

∫ϕt = 1. Entonces

(f ∗ ϕt)(x)− f(x) =∫

Rnf(x− y)ϕt(y) dy − f(x)

= [f(x− y)− f(x)]ϕt(y) dy

Ahora, dado ε > 0, sabemos que existe δ > 0 tal que |f(x− y)− f(x)| < ε si |y| < δ. Entonces

|f ∗ ϕt(x)− f(x)| ≤∫

Rn|f(x− y)− f(x)||ϕt(y)| dy

=∫|y|<δ

|f(x− y)− f(x)||ϕt(y)| dy +∫|y|≥δ

|f(x− y)− f(x)||ϕt(y)| dy

≤ ε‖ϕ‖1 + 2‖f‖∞∫|y|≥δ

|ϕt(y)| dy︸︷︷︸(∗)

< Cε

ya que

(∗) =∫|y|≥δ

1tn

∣∣∣ϕ(yt

)∣∣∣ dy=∫|z|> δ

t

ϕ(z) dz

y esta ultima integral claramente tiende a cero cuando t→ 0.

42 8. CLASE 8

2. Por la desigualdad integral de Minkowski,

‖f ∗ ϕt − f‖p ≤∫

Rn‖f(· − y)− f(·)‖p|ϕt(y)| dy

=∫

Rnωp(y)|ϕt(y)| dy

donde ωp(z) := ‖f(·−z)−f(·)‖p. Pero ωp(tz)→ 0 cuando t→ 0 y podemos aplicar convergenciamayorada pues ‖ωp‖∞ ≤ 2‖f‖p y ϕ ∈ L1(Rn).

Teorema 8.2. Si f ∈ Lp(Rn) ∩ L1(Rn) y g ∈ L1(Rn) es tal que∫

Rn g = 1, entonces Ag,tf → fcuando t → 0 en Lp para todo 1 ≤ p < ∞. Ademas, si p = ∞ y f es continua en x, entoncesAg,tf(x)→ f(x).

Demostracion. Ya vimos que Ag,tf = f ∗ϕt, donde g(−x) = ϕ(x) y, por lo tanto, el resultadose deduce del Lema 8.1.

Ejemplo 8.3 (Gauss-Weierstrass). Consideremos g(x) = e−π|x|2, g ∈ L1(Rn). Entonces, g(tξ) =

e−πt2|ξ|2, y llamando s = t2 tenemos

Ag,sf(x) =∫

Rnf(ξ)e−πs|ξ|

2e2πix·ξ dξ.

Observemos que basta calcular g(ξ) en una dimension ya que es de variables separadas, o seaque consideramos g(x) = e−πx

2con x ∈ R.

Notemos ademas que g ∈ C1, pues xe−πx2 ∈ L1(R), g′(ξ) = F(−2πixe−πx

2)(ξ) y F(xe−πx

2) es

continua, por lo que g′ es continua.

Por otro lado, g′(x) = 2πxe−πx2

y g′(ξ) = ig′(ξ) = i(2πiξg(ξ)) = −2πξg(ξ). Entonces, (eπξ2g(ξ))′ =

g′(ξ) + 2πξg(ξ) = 0, de donde se sigue que eπξ2g(ξ) = C = g(0) =

∫∞−∞ e

−πx2dx = 1.

En definitiva, g(ξ) = e−πξ2

= g(ξ). Aplicando el Teorema 8.2 a esta funcion, obtenemos elsiguiente teorema:

Teorema 8.4. 1. Si 1 ≤ p <∞ y f ∈ L1 ∩ Lp, entonces

f(x) = lımt→0

∫Rnf(ξ)e−πt|ξ|

2e2πix·ξ dξ en Lp.

2. Si p =∞ y f es continua en x, entonces

f(x) = lımt→0

∫Rnf(ξ)e−πt|ξ|

2e2πix·ξ dξ puntualmente.

En consecuencia, volviendo al caso general, si g es continua en el origen,

g(0) = lımt→0

∫Rng(ξ)e−πt|ξ|

2dξ

y si g ∈ L1(R) podemos aplicar convergencia mayorada y resulta

g(0) =∫

Rng(ξ) dξ.

2. LA ECUACION DEL CALOR EN EL SEMIESPACIO Rn × R+ 43

Corolario 8.5. En el Teorema 8.2 se puede reemplazar la hipotesis∫

Rn g = 1 por g(0) = 1.

Como corolario deducimos tenemos tambien el siguiente resultado:

Teorema 8.6 (Teorema de Inversion). Si f ∈ L1(Rn) y f ∈ L1(Rn), entonces

f(x) =∫

Rnf(ξ)e2πix·ξ dξ. (8.28)

Demostracion. Sale aplicando convergencia mayorada en g(x) en lugar de en g(0).

Definicion 8.7. Definimos la antitransformada de Fourier como

f(x) = F(x) =∫

Rng(ξ)e2πix·ξ dξ. (8.29)

2. La ecuacion del calor en el semiespacio Rn × R+

Buscamos u(x, t) solucion de ut −∆u = 0 en Rn × R+

u(x, 0) = f(x)

donde la condicion inicial hay que interpretarla como lımite cuando t→ 0+.

Si transformamos Fourier en x (para cada t), tenemos que

u(ξ, t) =∫

Rnu(x, t)e−2πix·ξ dx

y derivando dentro de la integral obtenemos que ut = ut. Por lo tanto, la ecuacion transformadaresulta ser ut − ∆u = 0. Pero

∆u =n∑j=1

∂2u

∂x2j

=n∑j=1

(−2πiξj)2u(ξ, t) = −4π2|ξ|2u(ξ, t).

Por lo tanto, la ecuacion que debemos resolver es ut + 4π2|ξ|2u = 0. Para xi fijo resolvemos ent y obtenemos que u(ξ, t) = f(ξ)e−4π2t|ξ|2 . Entonces

u(x, t) = (f(ξ)e−4π2t|ξ|2)ˇ(x)

= [f ∗ (e−4π2t|ξ|2)ˇ](x)

44 8. CLASE 8

pero sabemos que (e−π|ξ|2)(x) = e−π|x|

2, entonces

(e−4π2t|ξ|2)ˇ(x) =∫

Rne−4π2t|ξ|2e2πix·ξ dξ

=1

(2√πt)n

∫Rne−π|η|

2e

2πix· η

2√πt dη

=1

(2√πt)n

[e−π|η|2]ˇ(

x

2√πt

)=

1(2√πt)n

e−|x|24t .

En definitivau(x, t) =

1(2√πt)n

∫Rnf(x− y)e−

|y|24t dy

Observemos ademas que u(x, t) = (f ∗ϕ√t)(x) con ϕ√t(x) = 1(√t)nϕ( x√

t) y ϕ(x) = 1

(2√π)n

e−(|x|2

)2 ,por lo que podemos aplicar la teorıa que vimos para concluir que el dato inicial se alcanza enLp si f ∈ L1 ∩ Lp y puntualmente si f es continua y acotada.

3. Transformada de Fourier en L2(Rn)

Teorema 8.8. Si f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn), entonces f ∈ L2(Rn) y ‖f‖2 = ‖f‖2.

Demostracion. Sea g(x) = f(−x). Entonces g = ¯f y f ∗ g = f g = f

¯f = |f |2. Si llamamos

h = f ∗ g tenemos entonces que h ∈ L1(Rn) (por ser convolucion de dos funciones de L1(Rn) yademas es acotada y continua (por ser convolucion de dos funciones de L2(Rn)).

Ademas, como h ∈ L1(Rn) y es continua en el origen, sabemos por el lema de Fatou (notar queh = |f |2 ≥ 0) que

h(0) = lımt→0

∫Rnh(ξ)e−t|ξ|

2dξ ≥

∫Rn

lımt→0

h(ξ)e−t|ξ|2dξ =

∫Rnh(ξ) dξ

y por lo tanto f ∈ L1(Rn).

En consecuencia,

h(0) =∫

Rnh(ξ) dξ =

∫Rn|f(ξ)|2 dξ

y, por otro lado,

h(0) = (f ∗ g)(0) =∫

Rnf(y)g(−y) dy =

∫Rnf(y)f(y) dy =

∫Rn|f(y)|2 dy.

Luego, ‖f‖2 = ‖f‖2 y f ∈ L2(Rn).

CAPıTULO 9

Clase 9

1. La transformada de Fourier en L2(Rn)

Como L1∩L2(Rn) es denso en L2(Rn), la transformada de Fourier se puede extender de maneraunica a todo L2(Rn). En efecto, si f ∈ L2(Rn), f |B(0,R) ∈ L1(B(0, R)) para todo R > 0 y comoademas f |B(0,R) → f en L2, entonces

f(ξ) = lımR→∞

∫|x|<R

f(x)e−2πix·ξ dx

(el lımite anterior debe ser interpretado en L2).

Ademas como F es un operador lineal y continuo de L1 en L∞ y de L2 en L2, podemos extenderloa Lp para todo 1 < p < 2. En efecto, basta escribir f = f1 + f2 con f1 ∈ L1 y f2 ∈ L2 y definirf = f1 + f2.

Por supuesto habrıa que verificar que f ası definida esta bien definida (independientemente de ladescomposicion), pero no vamos a usar este enfoque, nuestro objetivo es definir a la transformadasobre un espacio mas general.

2. El espacio S

Notacion 9.1. Dado α = (α1, . . . , αn) con αj ∈ N0 para 1 ≤ j ≤ n, notamos |α| := α1+· · ·+αn,y definimos

xα := xα11 . . . xαnn

y

Dαϕ =∂|α|

∂xα11 . . . ∂xαnn

.

Definicion 9.2. Definimos el espacio S(Rn) como el espacio de las funciones en C∞(Rn) talesque ellas y todas sus derivadas son rapidamente decrecientes. Mas precisamente,

S(Rn) = ϕ ∈ C∞(Rn) : |xαDβϕ(x)| ≤ Cα,β para todos α, β ∈ (N0)n

Ejemplos 9.3. Las siguientes funciones estan en S(Rn):

1. ϕ(x) = e−t|x|2

para todo t > 0.2. ϕ ∈ C∞0 (Rn), es decir ϕ ∈ C∞ y sop(ϕ) ⊂ K, con K un compacto. En la teorıa de

distribuciones, el espacio C∞0 (Rn) se suele llamar D(Rn).

46 9. CLASE 9

Proposicion 9.4. Valen las siguientes propiedades:

1. S(Rn) ⊂ Lp(Rn) para todo 1 ≤ p ≤ ∞.2. Si ϕ ∈ S, entonces Dαϕ ∈ Lp(Rn) para todo 1 ≤ p ≤ ∞ y todo multiındice α.3. S es denso en Lp(Rn) para todo 1 ≤ p < ∞, y es denso en C0 (es decir, el espacio de

funciones continuas que tienden a cero en ∞) en norma ‖ · ‖∞.

Demostracion. 1. Como (1 + |x|2)k|ϕ(x)| ≤ Ck, |ϕ(x)| ≤ Ck(1+|x|2)k

y por lo tanto esta el Lp siconsideramos k > n/2.

2. Es analoga a la demostracion anterior.

3. Ya sabemos que si ϕ ∈ C∞0 (Rn) y∫ϕ = 1, entonces f ∗ ϕt → f en Lp si f ∈ Lp. Ademas

f ∗ ϕt ∈ C∞, pero no sabemos que este en S. Para solucionar este problema basta consideraruna sucesion ψj ∈ C∞, tal que ψj = 1 en |x| < j y ψj = 0 en |x| > j + 1, y tomar ψj(f ∗ ϕtj ).Dejamos los detalles como ejercicio.

Teorema 9.5. Si f ∈ S, entonces f ∈ S.

Demostracion. Primero veamos que f ∈ C∞. Recordemos que por la Proposicion 7.4 sixjf ∈ L1 y f ∈ L1, entonces ∂f

∂xjes continua. Iterando, obtenemos que para todo α, si xαf ∈ L1,

entonces f es derivable hasta orden |α|. Como f ∈ S, xαf ∈ L1 para todo α y se sigue quef ∈ C∞.

Falta ver entonces que ξαDβ f ∈ L∞ para todo α, β, pero esto se deduce inmediatamente de laigualdad ξαDβ f = Dα(xβf).

Observacion 9.6. S no es un espacio normado, pero sı es numerablemente normado. En efecto,para cada α, β podemos definir ‖ϕ‖α,β = ‖xαDβϕ‖∞ y decimos que ϕj → ϕ en S si ‖ϕ−ϕj‖α,β →0 cuando j →∞ para todo α, β.

Por ser numerablemente normado, S resulta ser un espacio metrico. En efecto, dada una nu-meracion de las normas ‖ · ‖k podemos definir

d(ϕ,ψ) =∑k

12k

‖ϕ− ψ‖k(1 + ‖ϕ− ψ‖k)

y vale que ϕj → ϕ en S si y solo si d(ϕ,ϕj)→ 0.

3. El espacio S ′

Definicion 9.7. Llamamos espacio de distribuciones temperadas al

S ′(Rn) := T : S(Rn)→ C lineales y continuas

donde por continua entendemos que si ϕj → ϕ en S, entonces 〈T, ϕj〉 → 〈T, ϕ〉 para toda ϕ ∈ S.

3. EL ESPACIO S′ 47

Ejemplo 9.8. Si f ∈ Lp(Rn), le podemos asociar Tf ∈ S ′(Rn) definida por

〈Tf , ϕ〉 =∫

Rnfϕ (para toda ϕ ∈ S).

Mas en general, si f ∈ L1loc(Rn) y |f(x)| ≤ C(1 + |x|m) para algun m ∈ N, entonces Tf esta bien

definida y Tf ∈ S ′(Rn). Como f → Tf es una aplicacion inyectiva, podemos pensar que se tratade una inclusion de espacios, por lo que escribiremos f en lugar de Tf .

Ejemplo 9.9 (Derivada en S ′). Queremos dar una definicion de derivada en S ′. Si T ∈ S ′ fueseuna funcion y 〈 , 〉 la integral, podrıamos integrar por partes y observar que los terminos de bordese anulan. Esto motiva la siguiente definicion:

〈 ∂T∂xj

, ϕ〉 := −〈T, ∂ϕ∂xj〉

Mas en general, podemos definir Dα : S ′ → S ′ como

〈DαT, ϕ〉 := (−1)|α|〈T,Dαϕ〉

Observemos que esta definicion implica, en particular, que si T ∈ S ′, entonces ∂2T∂xj∂xi

= ∂2T∂xi∂xj

.

Usando un razonamiento analogo al que empleamos para extender la nocion de derivada a S ′,obtenemos la siguiente definicion:

Definicion 9.10. Dada T ∈ S ′(Rn), su transformada de Fourier se define como

〈T , ϕ〉 := 〈T, ϕ〉 (9.30)

Observacion 9.11. Es importante notar que si T ∈ S ′, entonces T ∈ S ′. Que es lineal es claro,y para ver que es continua basta recordar que si ϕj → ϕ en S entonces ϕj → ϕ en S y entonces

〈T , ϕj〉 = 〈T, ϕj〉 → 〈T, ϕ〉 = 〈T , ϕ〉

Definicion 9.12. En general no se puede definir el producto de dos distribuciones temperadas,pero sı podemos definir el producto entre ϕ ∈ S y T ∈ S ′. Usando el mismo razonamiento conel que extendimos las otras operaciones, definimos ϕT ∈ S ′ por 〈ϕT, ψ〉 := 〈T, ϕψ〉 para todaψ ∈ S.

Mas aun, esta definicion tiene sentido siempre qeu ϕψ ∈ S, por ejemplo si ϕ es un polinomio ytambien si ϕ ∈ C∞ y todas sus derivadas estan acotadas por polinomios.

Con la definicion anterior tienen sentido las siguientes propiedades, cuya demostracion dejamoscomo ejercicio.

Proposicion 9.13. Si T ∈ S ′(Rn)

1. [(−2πixα)T ] = Dα(T ).2. DαT = (2πiξ)αT (ξ).

48 9. CLASE 9

Queremos ahora darle sentido a la convolucion entre T ∈ S ′(Rn) y ϕ ∈ S(Rn). Para esto,observemos que si tuviera f, g ∈ L1(Rn), entonces

(f ∗ g)(x) =∫

Rnf(y)g(x− y) dy =

∫Rnfτxg(y)

donde g(x) = g(−x) y τyh(x) = h(x− y). Esto motiva la siguiente definicion:

Definicion 9.14. Si ϕ ∈ S(Rn) y T ∈ S ′(Rn), su convolucion se define por

(T ∗ ϕ)(x) := 〈T, τxϕ〉.

Se puede ver que valen propiedades analogas a las de la convolucion en Lp, por ejemplo que〈T, τxϕ〉 = 〈τxT , ϕ〉. Para esto es necesario extender la definicion de τx a distribuciones, lodejamos como ejercicio.

CAPıTULO 10

Clase 10

1. Series de Fourier en Rn

En lo que sigue vamos a notar Tn al toro n-dimensional.

Definicion 10.1. Dada f ∈ L1(T n) definimos sus coeficientes de Fourier como

f(k) =∫

Tnf(x)e−2πix·k dx

donde k = (k1, . . . , kn) ∈ Zn, y definimos su serie de Fourier por

f ∼∑k∈Zn

f(k)e2πik·x.

Con esta definicion, nos interesa saber si la serie de Fourier converge para f ∈ Lp(Tn) y enque sentido. Recordemos que si n = 1, y

SNf(x) =∑|k|≤N

f(k)e2πikx (10.31)

entonces SNf → f en Lp(T) si f ∈ Lp(T) y 1 < p <∞.

Entonces, una generalizacion natural a mas variables es considerar

SNf(x) =∑‖k‖2≤N

f(k)e2πik·x.

Se puede ver que con esta definicion SNf → f en L2(Tn) para toda f ∈ L2(Tn), pero C.Fefferman demostro que este resultado no vale en Lp si p 6= 2.

2. Operadores dados por un multiplicador

Definicion 10.2. Dadas f ∈ S(Rn) y µ ∈ L∞(Rn), definimos el operador T con multiplicadorµ como

Tf(x) =∫

Rnµ(ξ)f(ξ)e2πix·ξ dξ = [µf ]ˇ(x)

50 10. CLASE 10

El caso que nos interesa es µ(ξ) = χ[0,N ](|ξ|). Entonces

TNf(x) =∫

Rnµ(ξ)f(ξ)e2πx·ξ dξ =

∫|ξ|≤N

f(ξ)e2πix·ξ dξ

ya que veremos que estudiar la convergencia en Lp(Rn) de este operador equivale a estudiar laconvergencia en Lp de la serie (10.31).

Observemos ademas que por lo que vimos anteriormente, la convergencia en Lp de TNf a fes equivalente a la acotacion ‖TNf‖p ≤ C‖f‖p, con C independiente de N . En efecto, unaimplicacion se sigue del principio de acotacion uniforme, y para la recıproca basta usar queTNf → f en Lp para toda f ∈ S (que es denso en Lp). Como la demostracion es analoga a ladel caso unidimensional, dejamos los detalles como ejercicio.

Observemos ademas que ‖TN‖L(Lp,Lp) = ‖T1‖L(Lp,Lp), por lo que el problema de ver si TNf → fen Lp para toda f ∈ Lp se reduce a ver si el operador

T1f(x) =∫

RnχB(0,1)(ξ)f(ξ)e2πix·ξ dξ

es continuo en Lp(Rn).

Teorema 10.3. Sea µ ∈ L∞(Rn) continua, y para R > 0 sea

SRf(x) =∑k∈Zn

µ

(k

R

)f(k)e2πik·x.

Entonces, SRf → f en Lp para toda f ∈ Lp(Tn) si y solo si el operador de multiplicador Tasociado a µ es continuo en Lp(Rn).

Observacion 10.4. El la demostracion veremos que para probar que SRf → f en Lp implicaque T es continuo en Lp solo hace falta pedir que µg es integrable Riemann para toda funciong ∈ C(Rn). Esto es importante porque nos interesa considedar el caso en que µ = χB(0,1), paraver la que serie de Fourier de varias variables no converge en Lp si p 6= 2.

Lema 10.5. Con las hipotesis del teorema anterior, si SR estan acotados uniformemente enLp(Tn), entonces T es continuo en Lp(Rn).

Demostracion. Supongamos que f, g ∈ C∞0 (Rn) y definamos, para R > 0, fR(x) = f(Rx) ygR(x) = g(Rx). Para R suficientemente grande, fR y gR tienen soporte en (−1/2, 1/2)n, ası quelas podemos pensar como funciones periodicas de perıodo 1.

Observemos ademas que ‖fR‖p,Tn = R−np ‖f‖p,Rn . Por lo tanto,∣∣∣∣∫

TnSRfR(x)gR(x) dx

∣∣∣∣ ≤ C‖fR‖p,Tn‖gR‖p′,Tn= CR−n‖f‖p,Rn‖g‖p′,Rn

y por Parseval ∣∣∣∣∫TnSRfR(x)gR(x) dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∑k∈Zn

µ

(k

R

)fR(k)ˆgR(k)

∣∣∣∣∣

2. OPERADORES DADOS POR UN MULTIPLICADOR 51

Notemos ademas que

fR(k) =∫

TnfR(t)e−2πik·t

=∫

Rnf(x)e−2πi k

R·xR−n dx

= f

(k

R

)R−n.

Entonces, tenemos que∣∣∣∣∣R−n ∑k∈Zn

µ

(k

R

)f

(k

R

)g

(k

R

)∣∣∣∣∣︸︷︷︸(∗)

≤ C‖f‖p,Rn‖g‖p′,Rn

pero (∗) es una suma de Riemann de µf g, por lo que el lado derecho de la desigualdad anteriortiende, cuando R→∞, a ∫

Rnµ(ξ)f(ξ)g(ξ) dξ =

∫RnTf(x)g(x) dx

y, por lo tanto, ∣∣∣∣∫RnTf(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ C‖f‖p,Rn‖g‖p′,Rncomo querıamos.

Lema 10.6. Si f ∈ C(Tn), y la pensamos como continua y periodica en Rn, entonces vale

lımε→0+

εn2

∫Rnf(x)e−επ|x|

2dx =

∫Tnf(x) dx.

Demostracion. Por densidad, basta probar que la desigualdad vale si f es un polinomiotrigonometrico. Mas aun, por linealidad, basta probarlo para f(x) = e2πik·x, k ∈ Zn.

Por un lado, notemos que ∫Tnf(x) dx =

∫Tne2πik·x dx = 0.

y, por otro,

εn2

∫Rne2πik·xe−επ|x|

2dx =

∫Rne

2πi k√ε·ye−π|y|

2dy

= [e−π|y|2]ˇ(k√ε

)= e−π

|k|2ε

que tiende a cero cuando ε→ 0 ya que |k| 6= 0.

CAPıTULO 11

Clase 11

1. Operadores dados por un multiplicador

Notacion 11.1. Llamaremos ωε(x) = e−επ|x|2, x ∈ Rn.

Dejamos como ejercicio la siguiente propiedad de estas funciones, que usaremos a continuacion:

Observacion 11.2. Dados a, b > 0,

ωa ∗ ωb = (a+ b)−n2 ω ab

a+b.

Lema 11.3. Si α, β > 0, α+ β = 1 y P,Q son polinomios trigonometricos, entonces

lımε→0

εn2

∫RnT (Pωεα)Qωεβ dx =

∫TnS(P )Q dx (11.32)

Demostracion. Por linealidad, basta ver que el resultado vale para P (x) = e2πim·x, Q(x) =e2πik·x, con m, k ∈ Zn. Empezamos calculando

Pωεα(ξ) =∫

Rne2πim·xe−εαπ|x|

2e−2πix·ξ dx

=∫

Rne−εαπ|x|

2e−2πi(ξ−m)·x dx

=∫

Rne−π|y|

2e−2πi(ξ−m)· y√

εα (εα)−n2 dy

= (εα)−n2 e−

π|ξ−m|2εα

Entonces, por la igualdad de Parseval

en2

∫RnT (Pωεα)Qωεβ dx = ε

n2 (εα)−

n2 (εβ)−

n2

∫Rnµ(ξ)e−

π|ξ−m|2εα e

−π|ξ−k|2

εβ dξ

= (εαβ)−n2

∫Rnµ(η +m)e−

π|η|2εα e

−π|(k−m)−η|2εβ dη

54 11. CLASE 11

Por la observacion 11.2 con a = 1εα y b = 1

εβ y recordando que α + β = 1 (lo que implica quea+ b = (εαβ)−1 y ab

a+b = ε−1) resulta que ω(εα)−1 ∗ ω(εβ)−1 = (εαβ)n2 ωε−1 . Entonces

εn2

∣∣∣∣∫RnT (Pωεα)Qωεβ

∣∣∣∣ ≤ ‖µ‖∞ ωε−1(k−m)

= ‖µ‖∞ e−|k−m|2

ε

que claramente tiende a cero cuando ε → 0 si k 6= m. Para ver que vale (11.32) en este caso,basta observar entonces que∫

TnS(P )Q dx = µ(m)

∫Tne2πim·xe−2πik·x

= 0 (si k 6= m)

Pasemos entonces al caso k = m. Por un lado tenemos que

lımε→0

εn2

∫RnT (Pωεα)Qωεβ dx = lım

ε→0(εαβ)−

n2

∫Rnµ(η +m)e−π|η|

2( 1εα

+ 1εβ

)dη

= lımε→0

(εαβ)−n2

∫Rnµ(η +m)e−

π|η|2εαβ dη

= µ(m),

donde usamos que si ϕ ≥ 0,∫ϕ = 1 y ϕt(x) = t−nϕ(xt ), entonces µ ∗ ϕt → µ cuando t→∞.

Por otro lado, tenemos que∫TnS(P )Qdx =

∫Tnµ(m)e2πim·xe−2πim·x dx

= µ(m).

Teorema 11.4. Si con las hipotesis anteriores el operador T es continuo en Lp(Rn), entoncesS es continuo para los polinomios trigonometricos y admite una unica extension a Lp(Tn).

Demostracion. Observemos que eligiendo α = 1p , β = 1

p′

εn2

∣∣∣∣∫RnT (Pω ε

p)Qω ε

p′dx

∣∣∣∣ ≤ ‖T‖L(Lp,Lp)εn2 ‖Pω ε

p‖p,Rn‖Qω ε

p′‖p′,Rn

= ‖T‖L(Lp,Lp)

(εn2

∫Rn|P (x)|pe−επ|x|2 dx

) 1p(εn2

∫Rn|Q(x)|p′e−επ|x|2 dx

) 1p′

= ‖T‖L(Lp,Lp)‖P‖Lp(Tn)‖Q‖Lp′ (Tn)

Tomando lımite ε→ 0, resulta entonces∣∣∣∣∫TnS(P )Qdx

∣∣∣∣ ≤ ‖T‖L(Lp,Lp)‖P‖Lp(Tn)‖Q‖Lp′ (Tn)

como querıamos ver.

Teorema 11.5. SRf → f en Lp(Tn) si y solo si T es continuo en Lp(Rn).

2. EL PROBLEMA DE DIRICHLET EN EL SEMIPLANO R× R+ 55

Demostracion. Supongamos primero que SRf → f converge, entonces ‖SRf‖p ≤ C(f) paratoda f ∈ Lp(Tn). Por el principio de acotacion uniforme, vale entonces que ‖SRf‖p ≤ C‖f‖ppara toda f ∈ Lp(Tn).

Para ver que vale la recıproca, si llamamos TRf(x) = (µ( ξR)f(ξ))(x), entonces si T es continuo,TR es continuo y ‖T‖p = ‖TR‖p. Por lo que vimos antes, si TR es continuo, SR es continuo yesta uniformemente acotado para todo R. Por lo tanto, la convergencia se deduce de la conver-gencia en un denso, por ejemplo los polinomios trigonometricos. Pero si P (x) =

∑|k|≤N cke

2πik·x,

SRP (x) =∑k≤N

µ

(k

R

)cke

2πik·x → µ(0)P (x).

2. El problema de Dirichlet en el semiplano R× R+

Dada f , buscamos u(x, t) armonica en R × R+ tal que u(x, 0) = f(x). Es inmediato ver que adiferencia del caso del disco, no hay unicidad para este problema. Basta considerar, por ejemplou1(x, t) = t y u2(x, t) = 0, entonces ambas funciones son armonicas y cumplen u1(x, 0) =u2(x, 0) = 0.

Si suponemos u ∈ S y transformamos Fourier en x, obtenemos

(utt + uxx)(ξ, t) = utt(ξ, t) + (−2πiξ)2u(ξ, t) = 0

Para ξ fijo, esta es una ecuacion ordinaria con solucion general

u(ξ, t) = A(ξ)e−2π|ξ|t +B(ξ)e2π|ξ|t

Como estamos buscando una solucion particular, y queremos que u ∈ S ′, consideramos B = 0.Entonces buscamos

u(ξ, t) = A(ξ)e−2π|ξ|t

u(ξ, 0) = f(ξ)

entonces, u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) con

Pt(x) = (e−2π|ξ|t)ˇ(x)

=∫ ∞−∞

e−2π|ξ|te2πiξx dξ

=∫ 0

−∞e2πξte2πiξx dξ +

∫ ∞0

e−2πξte2πiξx dξ

=∫ 0

−∞e2πξ(t+ix) dξ +

∫ ∞0

e2πξ(ix−t) dξ

=1

2π(t+ ix)− 1

2π(ix− t)

=1π

t

(x2 + t2)

56 11. CLASE 11

Si t = 1, P (x) = 1π

1(1+x2)

se llama nucleo de Poisson, y verifica P ∈ L1(R),∫∞−∞ P = 1 y

Pt = t−1P (xt ). Entonces, u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) y u(x, t)→ f(x) en Lp(R) si f ∈ Lp(R).

CAPıTULO 12

Clase 12

1. La transformada de Hilbert en R

Buscamos una conjugada armonica de u(x, t) = (f ∗ Pt)(x) con P (x) = 1π

1(1+x2)

y Pt(x) =t−1P (xt ). Para esto, observemos que si z = x+ it entonces z−1 es analıtica en el semiplano t > 0y vale que

i

π

1z

=i

π

z

|z|2=

1π

(t+ ix)(x2 + t2)

,

por lo que

Pt(x) = Re

(i

π

1z

)=

1π

t

(x2 + t2)

y si llamamos Q(x) = 1π

x(x2+1)

Qt(x) = Im

(i

π

1z

)=

1π

x

(x2 + t2),

entonces Pt(x), Qt(x) son funciones armonicas en R × R+ (pensadas como funciones de (x, t)).Entonces, (f ∗Pt)(x) y (f ∗Qt)(x) tambien son armonicas y v(x, t) = (f ∗Qt)(x) es una conjugadaarmonica de u(x, t).

Si pudieramos tomar lımite para t→ 0, tendrıamos ademas que

v(x, t)→ 1π

∫ ∞−∞

f(y)x− y

dy

pero en principio esta integral no tiene sentido porque es una convolucion con 1x 6∈ L1(R).

Sin embargo, veremos que sı tiene sentido como valor principal, lo que nos permite definir latransformada de Hilbert de f como

Hf(x) := lımε→0

1π

∫|x−y|>ε

f(y)x− y

dy. (12.33)

Veamos que si f ∈ S el lımite (12.33) existe. Para esto escribimos∫|y|>ε

f(x− y)y

dy =∫ε<|y|<1

f(x− y)y

dy︸︷︷︸(i)

+∫|y|>1

f(x− y)y

dy︸︷︷︸(ii)

58 12. CLASE 12

y, por un lado, tenemos que, como f ∈ S,

|(ii)| ≤∫|y|>1

|f(x− y)| dy < +∞

y, por el otro, como∫ε<|y|<1

1y dy = 0,

|(i)| =

∣∣∣∣∣∫ε<|y|<1

f(x− y)y

dy

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∫ε<|y|<1

f(x− y)− f(x)y

dy

∣∣∣∣∣y existe el lımite cuando ε → 0 porque el integrando es una funcion acotada (por ‖∇f‖∞), dedonde concluımos que Hf esta bien definida.

Si bien la transformada de Hilbert no es una convolucion con una funcion integrable, la podemospensar como una convolucion de f ∈ S con un nucleo K ∈ S ′. O sea, si definimos v.p. 1x ∈ S

′ por

〈v.p.1x, ϕ〉 = lım

ε→0

∫|y|>ε

ϕ(y)y

dy

para toda ϕ ∈ S, (dejamos como ejercicio verificar que efectivamente v.p. 1x ∈ S′), entonces vale

que

Hf(x) =(v.p.

1x∗ f)

para toda f ∈ S.

Si ahora transformamos Fourier, tenemos que

Hf(ξ) =1π

(v.p.

1x

)(ξ)f(ξ)

1. LA TRANSFORMADA DE HILBERT EN R 59

por lo que nos interesa conocer la transformada de v.p. 1x . Por definicion, si ϕ ∈ S,

〈(v.p.

1x

), ϕ〉 = 〈v.p.1

x, ϕ〉

= lımε→0

∫|ξ|>ε

ϕ(ξ)ξ

dξ

= lımε→0

∫|ξ|>ε

∫ ∞−∞

ϕ(x)e−2πixξ

ξdx dξ

= lımε→0,M→∞

∫ε<|ξ|<M

∫ ∞−∞

ϕ(x)e−2πixξ

ξdx dξ

= lımε→0,M→∞

∫ ∞−∞

ϕ(x)∫ε<|ξ|<M

e−2πixξ

ξdξ dx

= − lımε→0,M→∞

∫ ∞−∞

ϕ(x)∫ε<|ξ|<M

sin(2πxξ)ξ

dξ dx

= −∫ ∞−∞

ϕ(x) lımM→∞

∫|ξ|<M

sin(2πxξ)ξ

dξ dx

ya que podemos usar convergencia mayorada porque∣∣∣∣ϕ(x) sin(2πxξ)ξ

∣∣∣∣ ≤ |ϕ(x)|2πx

Entonces solo nos falta calcular

lımM→∞

∫ M

−M

sin(2πxξ)ξ

dξ = lımM→∞

∫ M

−M

sin(2πxξ)2πxξ

d(2πxξ)

= lımM→∞

∫ 2πxM

−2πxM

sin(y)y

dy

=

π x > 0−π x < 0

donde en la ultima igualdad usamos que∫∞−∞

sin yy dy = π (ver el lema 12.4 mas adelante). En

definitiva, probamos que

〈(v.p.

1x

), ϕ〉 =

∫ ∞−∞−iπsg(x)ϕ(x) dx

de donde concluimos que (v.p.

1x

)(ξ) = −πisg(ξ)

(estamos usando el abuso de notacion que consiste en identificar a la distribucion dada por unafuncion con la misma funcion) y, por lo tanto,

Hf(ξ) = −isg(ξ)f(ξ)

Corolario 12.1. Usando la igualdad de Parseval es inmediato ver que ‖Hf‖2 = ‖f‖2.

60 12. CLASE 12

Observacion 12.2. H(Hf) = −f

Demostracion. Basta observar que

[H(Hf)]ˆ = −isg(ξ)Hf(ξ) = (−isgξ)2f = −f

y antitransformar.

Observacion 12.3. Usando la observacion anterior, se puede ver que ‖Hf‖p ≤ C‖f‖p si 1 <p <∞, con una demostracion analoga a la que hicimos en el caso del disco.

Para la demostracion anterior nos faltaba probar el siguiente lema:

Lema 12.4. ∫ ∞−∞

sinxx

dx = π (12.34)

Demostracion. Probemos primero que∫ ∞−∞

sinxx

dx =∫ ∞−∞

sin2 x

x2dx. (12.35)

En efecto, integrando por partes,∫ M

−M

sinxx

dx =∫ M

−M

(1− cosx)′

xdx

=1− cosx

x

∣∣∣∣M−M

+∫ M

−M

1− cosxx2

dx

y tomando lımite para M →∞,∫ ∞−∞

sinxx

dx =∫ ∞−∞

1− cosxx2

dx

=∫ ∞−∞

2 sin2(x2 )x2

dx

=∫ ∞−∞

sin2 y

y2dy

como querıamos ver. Si ahora recordamos que

χ[− 12π, 12π

](ξ) =1π

sin ξξ

por Parseval resulta que

1π

=∫ ∞−∞

∣∣∣χ[− 12π, 12π

](x)∣∣∣2 dx =

1π2

∫ ∞−∞

sin2 ξ

ξ2dξ (12.36)

y combinando (12.35) y (12.36) obtenemos la igualdad del enunciado.

2. OPERADORES DE CONVOLUCION CON NUCLEO EN S′ 61

2. Operadores de convolucion con nucleo en S ′

Nuestro objetivo es estudiar la continuidad de operadores de convolucio, es decir, de la forma

Tf(x) = (K ∗ f)(x)

con K ∈ S ′(Rn) (por ejemplo, K = v.p. 1x en R como en el caso de la transformada de Hilbert).Estos operadores conmutan con translaciones, es decir que τhT = Tτh para todo h, dondeτhf(x) = f(−x). Mas aun, vale el siguiente teorema.

Teorema 12.5. Si T es un operador lineal definido en S(Rn) y continuo de Lp(Rn) en Lq(Rn)que ademas conmuta con translaciones, entonces existe K ∈ S ′ tal que para toda f ∈ S, Tf =K ∗ f .

CAPıTULO 13

Clase 13

1. Operadores de convolucion con nucleo en S ′

Para la demostracion siguiente usaremos el siguiente teorema de inmersion

Teorema 13.1. Si f ∈ Lp(Rn) con 1 ≤ p <∞ y Dαf ∈ Lp(Rn) para todo |α| ≤ n+ 1, entoncesf es continua y vale que para todo x ∈ Rn,

|f(x)| ≤ C∑|α|≤n+1

‖Dαf‖p

Demostracion. Supongamos primero que p = 1. Vamos a usar que

(1 + |x|2)n+1

2 ≤ (1 + |x1|+ · · ·+ |xn|)n+1 ≤ C∑|α|≤n+1

|xα|.

Entonces

|f(x)| = (1 + |x|2)−n+1

2

∑|α|≤n+1

|Dαf(x)|

≤ (1 + |x|2)−n+1

2

∑|α|≤n+1

‖Dαf‖1

Luego, f ∈ L1(Rn) y‖f‖1 ≤ C

∑|α|≤n+1

‖Dαf‖1

y, por lo tanto,‖f‖∞ ≤ ‖f‖1 ≤ C

∑|α|≤n+1

‖Dαf‖1

Para el caso en que p > 1, consideramos ϕ ≥ 0, ϕ ∈ C∞0 (Rn) y tal que

ϕ(x) =

1 x > 10 x ≥ 2

Como estamos suponiendo que Dαf ∈ Lp para todo |α| ≤ n + 1, entonces Dα(ϕf) ∈ L1 paratodo |α| ≤ n+ 1. En efecto,

Dα(ϕf) =∑|β|≤α

Cα,βDαϕDα−βf

64 13. CLASE 13

de donde, por la desigualdad de Holder,

‖Dα(ϕf)‖1 ≤ C∑|β|≤α

‖Dα−βf‖p.

Entonces, basta aplicar el caso p = 1 a ϕf .

Teorema 13.2. Si T : Lp(Rn) → Lq(Rn) es un operador lineal, continuo y que conmuta contraslaciones (o sea, τhT = Tτh), entonces existe K ∈ S ′ tal que para toda f ∈ S, Tf = (K ∗ f).Equivalentemente, Tf = (Kf ).

Demostracion. Observemos que tener τhT = Tτh implica que si f ∈ S, DαTf = T (Dαf).Dejamos como ejercicio verificar esta afirmacion, para la cual hay que ver que

∂ϕ

∂xj= lım

h→0

ϕ(x+ hej)− ϕ(x)h

donde la convergencia vale en S para toda ϕ ∈ S, y despues usar la hipotesis e induccion.

Como consecuencia, observemos que lo anterior implica que si ϕ ∈ S, entonces DαTϕ ∈ Lq paratodo α. En particular, Tϕ es continua.

Recordemos que estamos buscando K ∈ S ′ tal que Tf = (K ∗ f). Si fueran funciones, estoquerrıa decir que

Tf(0) =∫K(−y)f(y) dy

=∫K(y)f(y) dy

= 〈K, f〉.

Entonces, definimos K ∈ S ′ como 〈K, ϕ〉 = Tϕ(0). Veamos que con esta definicion K ∈ S ′ y,en consecuencia, K ∈ S ′. Notemos que como T es lineal, K es lineal. Tenemos que ver que siϕj ∈ S y ϕj → ϕ, entonces 〈K, ϕj〉 → 〈K, ϕ〉 en S, es decir, que Tϕj(0) → Tϕ(0). Pero por elteorema,

|T (ϕj − ϕ)(0)| ≤ C∑|α|≤n+1

‖DαT (ϕj − ϕ)‖q

= C∑|α|≤n+1

‖T (Dα(ϕj − ϕ))‖q

≤ C∑|α|≤n+1

‖Dα(ϕj − ϕ)‖p

y esta suma tiende a cero porque estamos suponiendo que ϕj → ϕ en S.

Por ultimo, falta ver que Tf = K ∗ f . Efectivamente,

Tf(−x) = τx(Tf)(0) = T (τxf)(0) = 〈K, τxf〉 = (K ∗ f)(−x).

2. EJEMPLOS DE INTEGRALES SINGULARES 65

2. Ejemplos de integrales singulares

Nuestro objetivo es analizar la continuidad en Lp(Rn) de operadores integrales singulares de Cal-deron-Zygmund, de la forma Tf = K ∗f donde K ∼ |x|−n y ademas cumple ciertas propiedadesque puntualizaremos mas adelante.

Ejemplo 13.3. Como dijimos anteriormente, la transformada de Hilbert es un ejemplo de unoperador de este tipo.

Ejemplo 13.4. Dada f ∈ C∞0 (Rn), una solucion de la ecuacion δu = f esta dada por u = G∗f ,donde G es una solucion fundamental del Laplaciano, es decir que verifica δG = δ en sentidodistribucional. En efecto, en ese caso tenemos que

∆u = ∆(G ∗ f) = ∆G ∗ f = δ ∗ f = f.

En el caso del Laplaciano, G(x) = Cn|x|2−n si n ≥ 3 y G(x) = C2 log |x| si n = 2. Supongamosque n ≥ 3, entonces

u(x) = Cn

∫Rn

f(y)|x− y|n−2

dy

y∂u

∂xi= C

∫Rn

(∂

∂xi

1|x− y|n−2

)f(y) dy

= C

∫Rn

(xi − yi)|x− y|n

f(y) dy

ya que xi|x|n ∈ L

1loc(Rn), y podemos usar convergencia mayorada para derivar dentro de la integral.

Consideremos ahora, para j 6= i

∂2u

∂xj∂xi= C

∂

∂xj

∫Rn


f(y) dy.

Como en este caso no podemos usar convergencia mayorada, podemos considerar, en sentidodistribucional

〈 ∂2u

∂xj∂xi, ϕ〉 =

∫Rn

∂

∂xj

∫Rn


f(y) dy ϕ(x) dx

= −∫

Rn

∫Rn


f(y)∂ϕ

∂xj(x) dy dx

= −∫

Rnlımε→0

∫|x−y|>ε


∂ϕ

∂xj(x) dx f(y) dy

= −∫

Rnlımε→0

[∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)ϕ(x) dx+∫|x−y|=ε


νjϕ(x) dS

]f(y) dy

donde

ki,j(x− y) =∂

∂xj


=c(xi − yi)(xj − yj)|x− y|n+2

∼ 1|x− y|n

y

νj =xj − yj|x− y|

66 13. CLASE 13

es la direccion j-esima de la normal unitaria.

Consideremos por separado

(1) =∫

Rnlımε→0

∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)ϕ(x) dx f(y) dy

=∫

Rnlımε→0

∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)f(y) dy ϕ(x) dx

y

(2) = lımε→0

∫Rn

∫|x−y|=ε

(xi − yi)(xj − yj)|x− y|n+1

ϕ(x) dS f(y) dy

= lımε→0

∫Rn

∫|x−y|=ε


(ϕ(x)− ϕ(y) + ϕ(y)) dS f(y) dy

= lımε→0

∫Rn

∫|x−y|=ε


(ϕ(x)− ϕ(y)) dS f(y) dy︸︷︷︸(i)

+ lımε→0

∫Rnϕ(y)

∫|x−y|=ε


dSf(y) dy︸︷︷︸(ii)

Tomando modulo dentro de la integral tenemos que

(i) ≤ εn

εn−1→ 0

mientras que calculando la integral mas interna,

(ii) = C

∫Rnf(y)ϕ(y) dy

En definitiva, u = G ∗ f satisface que ∆u = f y

∂2u

∂xi∂xj= lım

ε→0

∫|x−y|>ε

ki,j(x− y)f(y) dy︸︷︷︸=Tf(x)

+Cf(x)

donde Tf es un operador integral singular. Si vemos que T es continuo en Lp resultara entoncesque ademas vale la estimacion ‖D2u‖p ≤ C‖f‖p.

Ejemplo 13.5. Otro ejemplo de operador integral singular al que volveremos mas adelante sonlas transformadas de Riesz en Rn, definidas por

Rjf(x) = lımε→0

∫|x−y|>ε

xj − yj|x− y|n+1

f(y) dy.

CAPıTULO 14

Clase 14

1. Operadores integrales singulares

Nos interesa estudiar

Tf(x) = lımε→0

∫|x−y|>ε

K(x− y)f(y) dy︸︷︷︸=Tεf(x)

Nuestro objetivo es poner condiciones sobre K que impliquen que

1. Existe lımε→0 Tεf si f ∈ S;2. Dado 1 0existe una descomposicion de Rn en conjuntos disjuntos Ω y F tales que

1. f(x) ≤ λ para casi todo x ∈ F ;2. Ω = ∪jQj, donde Qj son cubos de Rn disjuntos dos a dos (con excepcion de las caras)

y tales que para todo j

λ <1|Qj |

∫Qj

f dx ≤ 2nλ.

Observacion 14.2. Observemos que de la condicion 2. resulta en particular que

|Ω| =∑j

|Qj | ≤1λ‖f‖1.

Demostracion. Como f ∈ L1(Rn), dado un cubo Q vale que

1|Q|

∫Qf dx ≤ 1

|Q|

∫Rnf dx→ 0 cuando |Q| → ∞.

O sea que dado λ > 0 podemos cubrir Rn con cubos Q suficientemente grandes tales que

1|Q|

∫Qf dx ≤ λ.

68 14. CLASE 14

Sea Q uno de estos cubos, lo dividimos uniformente en 2n cubos Q′. Entonces, Q′ cumple que obien

λ <1|Q′|

∫Q′f dx o bien

1|Q′|

∫Q′f dx ≤ λ.

En el primer caso, seleccionamos a Q′ como uno de los cubos Qj ; veamos que se cumple lo quequerememos. En efecto, como 2n|Q′| = |Q|, entonces

1|Q′|

∫Q′f dx =

2n

|Q|

∫Q′f dx ≤ 2n

|Q|

∫Qf dx ≤ 2nλ.

Si en cambio Q′ cumple la segunda condicion, entonces lo volvemos a subdividir en 2n cubos Q′′

como antes y repetimos el procedimiento.

De esta manera, obtenemos una familia numerable de cubos Qj con interiores disjuntos y talesque para todo j

λ <1|Qj |

∫Qj

f dx ≤ 2nλ.

Llamamos Ω = ∪jQj y F = Ωc. Ya sabemos que Ω cumple lo que necesitamos, falta ver que Ftambien. Para esto, notemos que si x ∈ F entonces, existe una sucesion de cubos Qk tales que|Qk| → 0 y x ∈ Qk para todo k. Ademas,

1|Qk|

∫Qk

f dx ≤ λ.

Entonces, por el teorema de Lebesgue, f(x) ≤ λ si x es punto de Lebesgue.

Teorema 14.3. Sea 1 < p <∞ y supongamos que K ∈ C1(Rn − 0) y K ∈ L2(Rn) (o algunaotra condicion para que K ∗f este definido en un denso), y supongamos que existe una constanteB tal que

1. ‖Tf‖2 ≤ B‖f‖22. |∇K(x)| ≤ B|x|−(n+1)

Entonces, dado p con 1 0 vale

|x : Tf(x) > λ| ≤ C ‖f‖1λ

donde C depende solamente de B y de n.

Fijado λ, aplicamos la descomposicion de Calderon-Zygmund para |f | para obtener Rn = Ω∪Fcon Ω = ∪jQj y

λ <1|Qj |

∫Qj

|f | dx ≤ 2nλ.

Descomponemos f = g + b con

g(x) =f(x) si x ∈ FfQj si x ∈ Qj

1. OPERADORES INTEGRALES SINGULARES 69

donde notamos con fQj = 1|Qj |

∫Qjf , y

b(x) =∑j

bj(x),

donde bj(x) = [f(x)−fQj ]χQj (x), y por son funciones soportadas en en Qj tales que∫bj dx = 0.

Veamos que |g(x)| ≤ 2nλ en casi todo punto. En efecto, si x ∈ F , entonces |g(x)| = |f(x)| ≤ λ,mientras que si x 6∈ F , entonces x ∈ Qj para algun j y por definicion g(x) = 1

|Qj |∫Qjf dx, de

donde se sigue que

|g(x)| ≤ 1|Qj |

∫Qj

|f | dx ≤ 2nλ.

Observemos ahora que

|x : |Tf(x)| > λ| ≤∣∣∣∣x : |Tg(x)| > λ

2

∣∣∣∣+∣∣∣∣x : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣Por un lado, tenemos entonces que

|x : |Tg(x)| > λ

2| ≤

∫Rn

(2|Tg(x)|

λ

)2

dx

≤ 4λ2

∫Rn|Tg(x)|2 dx

≤ 4λ2B2

∫Rn|g(x)|2 dx

≤ 4λ2B2

∫Rn

(2nλ)|g(x)| dx

=C(n,B)

λ

∫Rn|g(x)| dx

pero ∫Rn|g(x)| dx =

∫F|g(x)| dx+

∫Ω|g(x)| dx

=∫F|f(x)| dx+

∑j

∫Qj

|fQj | dx

≤∫F|f(x)| dx+

∑j

∫Qj

|f(x)| dx

= ‖f‖1

Nos falta ver entonces que ∣∣∣∣x : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ ≤ C

λ‖f‖1

con C = C(n,B). Para esto, para cada Qj definimos Q∗j como el cubo expandido que tiene elmismo centro que Qj y lados del doble de longitud, y definimos

Ω∗ = ∪j(Q∗j )o , F ∗ = (Ω∗)c

70 14. CLASE 14

Observemos que

|Ω∗| ≤∑j

|Q∗j | ≤ C∑j

|Qj | = C|Ω| ≤ ‖f‖1λ

y, por lo tanto,∣∣∣∣x : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣x ∈ Ω∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣+∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣≤ |Ω∗|+

∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣≤ C

λ‖f‖1 +

∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣o sea que basta acotar |x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2|. Pero |Tb| ≤∑|Tbj |, y como sop(bj) ⊂ Qj ,

Tbj(x) =∫Qj

K(x− y)bj(y) dy

=∫Qj

[K(x− y)−K(x− yj)]bj(y) dy

donde yj es el centro del cubo Qj y usamos para la segunda igualdad que∫bj(x) dx = 0.

Ahora, como x ∈ F ∗ = (Q∗j )c e y ∈ Qj , K(x−y) es de clase C1 (como funcion de y) para y ∈ Qj .

Entonces,

K(x− y)−K(x− yj) = ∇K(x− ξj)(yj − y)

para algun ξj ∈ Qj (que depende de y e yj). Por lo tanto,

|K(x− y)−K(x− yj)| ≤ |∇K(x− ξj)| diam(Qj) ≤B diam(Qj)|x− ξj |n+1

≤ C diam(Qj)|x− y|n+1

para todo y ∈ Qj . Entonces,

|Tbj(x)| ≤ C∫Qj

diam(Qj)|x− y|n+1

|bj(y)| dy.

Llamemos δ(y) a la distancia de y a F ∗, entonces diam(Qj) ≤ Cδ(y) para todo y ∈ Qj y tenemosque, para todo x ∈ F ∗

|Tb(x)| ≤∑j

|Tbj(x)| ≤∑j

C

∫Qj

δ(y)|bj(y)||x− y|n+1

dy ≤ C∫

Ω

δ(y)b(y)|x− y|n+1

dy

1. OPERADORES INTEGRALES SINGULARES 71

de donde deducimos finalmente que∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ ≤ 2∫F ∗

|Tb(x)|λ

dx

≤ C

λ

∫F ∗

∫Ω

δ(y)|b(y)||x− y|n+1

dy dx

=C

λ

∫Ωδ(y)|b(y)|

∫F ∗

1|x− y|n+1

dx dy

≤ C

λ

∫Ωδ(y)|b(y)|

∫|x−y|≥δ(y)

1|x− y|n+1

dx dy

donde para la ultima desigualdad usamos que para todo x ∈ F ∗, δ(y) ≤ |x − y|. Pasando acoordenadas polares, si z = |x− y|,∫

|z|≥δ(y)

1|z|n+1

dz = C

∫ ∞δ(y)

rn−1

rn+1dr ≤ 1

δ(y)

y reemplazando en la desigualdad anterior, obtenemos∣∣∣∣x ∈ F ∗ : |Tb(x)| > λ

2

∣∣∣∣ ≤ C

λ

∫Ω|b(y)| dy ≤ C

λ‖f‖1.

CAPıTULO 15

Clase 15

Vimos que T es de tipo debil (1, 1). Entonces, como estamos suponiendo que el operador escontinuo en L2(Rn), por el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz resulta que ‖Tf‖p ≤C‖f‖p para todo 1 < p ≤ 2, con C = C(B, p).

Para 2 < p <∞ usamos el siguiente argumento de “dualidad”: si f ∈ S,∫Tf(x)g(x) dx =

∫ ∫K(x− y)f(y)g(x) dy dx

=∫ ∫

K(x− y)g(x) dx f(y) dy

=∫T g(y)f(y) dy

donde T g = K ∗ g y K(x) = K(−x). Entonces

sup‖g‖p′=1

∫Tf(x)g(x) dx = sup

‖g‖p′=1

∫T g(x)f(x) dx

≤ sup‖g‖p′=1

‖T g‖p′‖f‖p

≤ sup‖g‖p′=1

C‖g‖p′‖f‖p

= C‖f‖p

ya que 1 < p′ < 2 y K cumple las mismas hipotesis que K con la misma constante, por lo que‖T g‖p′ ≤ C‖g‖p′ .

1. Otras condiciones para la continuidad de integrales singulares

Observacion 15.1. La condicion

|∇K(x)| ≤ B

|x|n+1(15.37)

implica la siguiente condicion de Hormander: existe B′ tal que∫|x|≥2|y|

|K(x− y)−K(x)| dx ≤ B′. (15.38)

74 15. CLASE 15

Demostracion. Por el teorema de valor medio y la hipotesis (15.37),

|K(x− y)−K(x)| = |∇K(x) · y| ≤ B|y||z|n+1

para algun z entre x y x− y. Pero en la region de integracion que queremos considerar,

|x| ≤ |x− z|+ |z| ≤ |y|+ |z| ≤ |x|2

+ |z|

y, por lo tanto, ∫|x|≥2|y|

|K(x− y)−K(x)| dx ≤∫|x|≥2|y|

2n+1 B|y||x|n+1

dx

≤ C|y|∫ ∞

2|y|

rn−1

rn+1dr

≤ C

Teorema 15.2. El Teorema 14.3 vale reemplazando la hipotesis (15.37) por la condicion deHormander (15.38).

Demostracion. Lo unico que debemos ver es que podemos acotar Tb, ya que es el unico lugaren donde se usaba la hipotesis (15.37). Para esto, escribimos

Tb(x) =∑j

Tbj(x) =∑j

∫Qj

[K(x− y)−K(x− yj)]bj(y) dy

donde yj es el centro de Qj . Entonces, recordando que F ∗ ⊆ (Q∗j )c,∫

F ∗|Tb(x)| dx ≤

∑j

∫F ∗

∫Qj

|K(x− y)−K(x− yj)||bj(y)| dy dx

≤∑j

∫(Q∗j )c

∫Qj

|K(x− y)−K(x− yj)||bj(y)| dy dx

=∑j

∫Qj

∫(Q∗j )c

|K(x− y)−K(x− yj)| dx |bj(y)| dy

=∑j

∫Qj

∫(Q∗j )c

|K(x− yj︸︷︷︸=x′

−(y − yj︸︷︷︸=y′

))−K(x− yj︸︷︷︸=x′

)| dx |bj(y)| dy

Para poder decir que esta es la condicion (15.38), necesitamos ve que si x′ = x− yj e y′ = y− yjcon x ∈ (Q∗j )

c, entonces |x′| ≥ 2|y′|, pero esto efectivamente si elegimos el factor de expansionde Q∗j adecuadamente. Concluimos entonces que∫

F ∗|Tb(x)| dx ≤ B′

∑j

∫Qj

|bj(y)| dy ≤ 2B′∑j

∫Qj

|f(y)| dy ≤ 2B′‖f‖1

y podemos deducir, como antes, que el operador es de tipo debil (1,1).

Teorema 15.3. Si K cumple las siguientes condiciones

1. OTRAS CONDICIONES PARA LA CONTINUIDAD DE INTEGRALES SINGULARES 75

1. Para todo x 6= 0

|K(x)| ≤ B

|x|n(15.39)

2. Para todo 0 < a < b, ∫a<|x| 0

Tεf(x) =∫|y|>ε

K(y)f(x− y) dy = (Kε ∗ f)(x)

donde

Kε(x) =K(x) si |x| > ε

0 si |x| ≤ εentonces, para todo 1 ε).

Tenemos que ver que si K cumple la condicion (15.38), entonces Kε tambien la cumple, con unaconstante independiente de ε, es decir que debemos probar que∫

|x|>2|y||Kε(x− y)−Kε(x)| dx ≤ C(B).

Para esto distinguimos en casos

Si |x− y| > ε y |x| > ε, la Kε(x− y) = K(x− y) y Kε(x) = K(x), ası que no hay nadaque probar .Si |x| > ε y |x− y| < ε, como ademas estamos integrando en |x| > 2|y|, entonces

ε > |x− y| ≥ |x| − |y| > |x| − |x|2

=|x|2

por lo que lo que tenemos que acotar es∫|x|>2|y|

|x−y|<ε<|x|

|K(x)| dx ≤∫ε<|x|<2ε

|K(x)| dx ≤∫ε<|x|<2ε

B

|x|ndx = C

∫ 2ε

ε

rn−1

rdr = C log 2.

Si |x| < ε y |x− y| > ε, entonces usando de nuevo que |x| > 2|y|, vemos

ε < |x− y| ≤ |x|+ |y| < |x|+ |x|2< 2ε

76 15. CLASE 15

y entonces, al igual que en el caso anterior,∫|x|>2|y|

|x−y|<ε<|x|

|K(x− y)| dx ≤∫ε<|x−y|<2ε

|K(x− y)| dx ≤ C log 2.

Nos queda por ver entonces que se cumple que |Kε(ξ)| ≤ C, con una constante que no dependede ε.

ComoKε(ξ) = lım

R→∞

∫|x|<R

Kε(x)e−2πix·ξ dx

basta ver que la integral esta acotada independientemente de R. Para eso escribimos∫|x|<R

Kε(x)e−2πix·ξ dx =∫ε<|x|< 1

|ξ|

Kε(x)e−2πix·ξ dx︸︷︷︸=I1

+∫

1|ξ|<|x|<R

Kε(x)e−2πix·ξ dx︸︷︷︸=I2

Como Kε tiene integral cero en coronas,

I1 =∫ε<|x|< 1

|ξ|

Kε(x)(e2πix·ξ − 1) dx

y, por lo tanto

|I1| ≤∫|x|< 1

|ξ|

|Kε(x)| B|x|n|x||ξ| dx = CB|ξ|

∫|x|< 1

|ξ|

1|x|n−1

dx = C(n,B)

CAPıTULO 16

Clase 16

Para la acotacion de I2, notemos que si definimos y = ξ2|ξ|2 , entonces e2πiy·ξ = −1 y cambiando

variables tenemos que

I2 =∫

1|ξ|<|x−y|<R

e−2πi(x−y)·ξKε(x− y) dx

= −∫

1|ξ|<|x−y|<R

e−2πix·ξKε(x− y) dx

= −∫

1|ξ|<|x|<R

e−2πix·ξKε(x− y) dx+ J

donde

J =

(∫1|ξ|<|x|<R

−∫

1|ξ|<|x−y|<R

)e−2πix·ξKε(x− y) dx.

Por lo tanto,

I2 =12

∫1|ξ|<|x|≤R

[Kε(x)−Kε(x− y)]e−2πix·ξ dx︸︷︷︸=I3

+J

2

Ahora, observando que por como definimos y, 1|ξ| = 2|y|,

|I3| ≤∫

2|y|≤|x||Kε(x)−Kε(x− y)| dx ≤ CB.

Solo falta ver que podemos acotar J . Para esto, si definimos

E1 =z :

1|ξ|

< |z| ≤ R

, E2 =z :

1|ξ|

< |z + y| ≤ R

tenemos que

|J | =∣∣∣∣∫E2−E1

e−2πi(z+y)ξKε(z) dz∣∣∣∣ ≤ ∫

E24E1

|Kε(z)| dz.

Afirmamos que

E14E2 ⊆z :

12|ξ|≤ |z| ≤ 2

|ξ|

∪z :

R

2≤ |z| ≤ 2R

78 16. CLASE 16

En efecto, supongamos por ejemplo que z ∈ E1 − E2, entonces 1|ξ| < |z| ≤ R y ademas o

|z + y| ≤ 1|ξ| o bien |z + y| > R. En el primer caso, tenemos que

1|ξ|

< |z| ≤ |z + y|+ |y| ≤ 1|ξ|

+1

2|ξ|<

2|ξ|,

mientras que en el segundo,

R ≥ |z| ≥ |z + y| − |y| ≥ R− 12|ξ|

> R− R

2=R

2,

donde para la ultima desigualdad usamos que 1|ξ| < R (ya que sino la integral que queremos

acotar es vacıa).

Si z ∈ E2−E1, el razonamiento es analogo. Entonces, para terminar la demostracion bastara verque si a > 0, entonces ∫

a2<|z|≤2a

|Kε(z)| dz ≤ BC

con C es independiente de a. Para esto basta observar que∫a2<|z|≤2a

|Kε(z)| dz ≤ B∫a2<|z|≤2a

1|z|n

dz = BC

∫ 2a

a2

1rdr = BC log 4.

Teorema 16.1. En las condiciones del teorema anterior, para toda f ∈ Lp(Rn) existe en elsentido de Lp

lımε→0

Tεf =: Tf

y, en consecuencia, T resulta ser un operador continuo en Lp(Rn).

Demostracion. Primero veamos que el resultado vale si f ∈ C1 y tiene soporte compacto.Afirmamos que en este caso Tεf es de Cauchy en Lp(Rn). En efecto, si η > ε > 0, usando queK tiene integral cero en coronas, tenemos que

(Tηf − Tεf)(x) =∫ε<|y|≤η

K(y)f(x− y) dy =∫ε<|y|≤η

K(y)(f(x− y)− f(x)) dy

y entonces

‖Tηf − Tεf‖p ≤∫ε<|y|≤η

|K(y)|‖f(· − y)− f(·)‖p dy.

Como f tiene soporte compacto y podemos pensar que |y| < 1 (porque nos interesa η → 0), lafuncion |f(·−y)−f(·)| tambien tiene soporte compacto, y ademas |f(x−y)−f(x)| ≤ ‖∇f‖∞|y|.Entonces,

‖Tηf − Tεf‖p ≤ C∫ε<|y|≤η

|y||K(y)| dy ≤ CB∫|y|≤η

1|y|n−1

dy = CBη → 0.

Por lo tanto Tεf es de Cauchy en Lp(Rn) y entonces existe lımε→0 Tεf =: Tf .

1. OPERADORES QUE CONMUTAN CON DILATACIONES (Y TRASLACIONES) 79

Si ahora f ∈ Lp(Rn), dado δ > 0 existe g ∈ C1 de soporte compacto tal que ‖f − g‖p < δ.Entonces, si η > ε > 0,

‖Tηf − Tεf‖p ≤ ‖Tη(f − g)‖p + ‖Tηg − Tεg‖p + ‖Tε(g − f)‖p≤ C ‖f − g‖p︸︷︷︸

<δ

+ ‖Tηg − Tεg‖p︸︷︷︸→0

de donde deducimos que tambien en este caso Tεf es de Cauchy en Lp(Rn). Por lo tanto, existelımε→0 Tεf =: Tf en Lp(Rn) y vale ademas que ‖Tεf‖p → ‖Tf‖p, de donde deducimos que T escontinuo en Lp(Rn).

1. Operadores que conmutan con dilataciones (y traslaciones)

Dado ε, llamamos δεf(x) := f(εx). Dado Tf = K ∗ f , queremos ver que propiedades tiene quetener K para que δεT = Tδε para todo ε > 0.

Notemos que, por un lado,

δεTf(x) = Tf(εx) =∫

RnK(y)f(εx− y) dy =

∫RnεnK(εz)f(εx− εz) dz

y, por el otro,

T (δεf)(x) =∫

RnK(z)δεf(x− z) dz =

∫RnK(z)f(εx− εz) dz

por lo tanto, para todo ε > 0 debe valer K(z) = εnK(εz), o sea que K es una funcion homogeneade grado −n.

Observemos que si una funcion es homogenea, nos basta conocer sus valores en la esfera unitaria.En efecto,

K(x) = |x|−nK(x

|x|

)= |x|−nΩ

(x

|x|

)(16.42)

donde Ω es una funcion definida en la esfera unitaria. Nos proponemos ver entonces que propie-dades tiene que cumplir Ω para que K cumpla las condiciones (15.39), (15.40) y (15.41).

Teorema 16.2. Si Ω es una funcion definida en la esfera unitaria tal que Ω ∈ L∞(Sn−1),∫Sn−1

Ω(x′) dx′ = 0

y ademas cumple una condicion de Dini, es decir que si ω(δ) = sup|x′−y′|≤δ |Ω(x′) − Ω(y′)|(x′, y′ ∈ Sn−1) entonces para algun a > 0 vale∫ a

0

ω(t)t

dt <∞,

entonces el nucleo K definido por (16.42) cumple las condiciones (15.39), (15.40) y (15.41).

Demostracion.

Es inmediato que si ‖Ω‖∞ = B, entonces |K(x)| ≤ B|x|n .

80 16. CLASE 16

Para ver que K tiene integral cero en coronas, escribimos∫a<|x|<b

K(x) dx =∫Sn−1

∫ b

aK(rx′)rn−1 dr dx′

=∫Sn−1

∫ b

arnΩ(x′)rn−1 dr dx′

=∫ b

a

dr

r

∫Sn−1

Ω(x′) dx′︸︷︷︸=0

.

Nos falta probar que K cumple la condicion de Hormander (15.41). Para esto escribimos

K(x)−K(x− y) = |x|−nΩ(x

|x|

)− |x− y|−nΩ

(x− y|x− y|

)= Ω

(x

|x|

)[1|x|n− 1|x− y|n

]︸︷︷︸

(i)

+ |x− y|−n[Ω(x

|x|

)− Ω

(x− y|x− y|

)]︸︷︷︸

(ii)

Por un lado, tenemos que

|(i)| ≤ ‖Ω‖∞[

1|x|n− 1|x− y|n

]≤ ‖Ω‖∞

|y||x− ξ|n+1

con 0 < |ξ| < |y|. Pero como vamos a integrar en la region |y| < |x|2 , entonces |x−ξ| ≥ |x|− |ξ| >

|x| − |x|2 = |x|2 , de donde

|(i)| ≤ ‖Ω‖∞2n+1 |y||x|n+1

e integrando ∫|x|≥2|y|

(i) dx ≤ C|y|∫|x|≥2|y|

1|x|n+1

dx = C.

Por otro lado,

|(ii)| ≤ 1|x− y|n

ω

(∣∣∣∣ x|x| − x− y|x− y|

∣∣∣∣) ≤ 1|x− y|n

ω

(|y||x− ξ|

)con |ξ| < |y|. Por la cuenta anterior, si |y| ≤ |x|2 ,

|(ii)| ≤ 1|x− y|n

ω

(2|y||x|

)≤ 2n

|x|nω

(2|y||x|

)e integrando∫

|x|≥2|y||(ii)| ≤

∫|x|≥2|y|

2n

|x|nω

(2|y||x|

)= C

∫ ∞2y

1rω

(2|y|r

)dr = C

∫ 1

0

ω(t)t

dt <∞.

CAPıTULO 17

Clase 17

1. Convergencia puntual de integrales singulares

Dado

Tεf(x) =∫|y|>ε

K(y)f(x− y) dy

donde K(x) = |x|−nΩ(x′), x′ = x|x| ∈ S

n−1 y Ω cumple las condiciones del Teorema 16.2, que-remos ver si Tεf(x)→ Tf(x) en casi todo punto. Probaremos que este resultado efectivamentevale si 1 ≤ p <∞. Para esto, introducimos el operador maximal asociado a K,

T ∗f(x) = supε>0

∣∣∣∣∣∫|y|>ε

K(y)f(x− y) dy

∣∣∣∣∣y consideramos por separado los casos p = 1 y 1 < p <∞. Antes vamos a ver algunos resultadosprevios que necesitaremos.

Teorema 17.1. Dada ϕ ∈ L1(Rn), si ϕ esta acotada por una funcion ψ ∈ L1(Rn) radial,decreciente como funcion de r = |x| y tal que ‖ψ‖1 = A <∞, entonces

supε>0|(f ∗ ϕε)(x)| ≤ AMf(x)

para toda f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞.

Corolario 17.2. Con las mismas hipotesis sobre ϕ, si ademas ‖ϕ‖1 = 1, entonces existe encasi todo punto

lımε→0

(f ∗ ϕε)(x) = f(x).

Demostracion. Notemos que basta ver que si f ≥ 0, (f ∗ψ)(0) ≤ AMf(0), y supongamos queMf(0) <∞.

Ahora, como ψ es radial, por un abuso de notacion podemos escribir ψ(x) = ψ(r) y tenemosque

(f ∗ ψ)(0) =∫

Rnf(x)ψ(x) dx =

∫Sn−1

∫ ∞0

f(rx′)ψ(r)rn−1 dr dσ(x′)

Si definimos

λ(r) =∫Sn−1

f(rx′)rn−1dσ(x′)

82 17. CLASE 17

y

Λ(r) =∫|x|≤r

f(x) dx =∫ r

0λ(t)tn−1 dt

entonces ∫Rnf(x)ψ(x) dx =

∫ ∞0

λ(r)rn−1 dr = lımε→0,M→∞

∫ M

εΛ′(r)ψ(r) dr.

Al hacer partes, como los terminos integrados tienden a cero, tenemos que

(f ∗ ψε)(0) ≤∫ ∞

0Λ(r)d(−ψ)(r) ≤ ωnMf(0)

∫ ∞0

rnd(−ψ(r)) =1ωn

∫Rnψ(x) dx

Por otro lado,

Λ(r) =∫|x|≤r

f(x) dx = ωnrn 1ωnrn

∫|x|≤r

f(x) dx ≤ ωnrnMf(0).

Falta ver que Λ(M)ψ(M) − Λ(ε)ψ(ε) → 0 cuando M → ∞, ε → 0. Pero Λ(r) ≤ Crn, entoncesbasta ver que rnψ(r)→ 0 cuando r → 0 o r →∞. Pero esto se deduce de

ψ(r)rn ≤ C∫r2<|x|<r

ψ(x) dx→ 0

pues ψ ∈ L1(Rn).

Lema 17.3 (Cotlar). Con las hipotesis del Teorema 16.2

T ∗f(x) ≤M(Tf)(x) + CMf(x)

y, en consecuencia, ‖T ∗f‖p ≤ C‖f‖p si 1 < p <∞.

Demostracion. Sea ϕ ∈ C∞0 (Rn) tal que sop(ϕ) ⊆ |x| ≤ 1 y sea ψ = Tϕ−K1. Vamos a verque ψ esta acotada por una funcion radial decreciente en L1(Rn). Para esto separamos en casos.

Si |x| ≤ 1,

ψ(x) = lımε→0

∫ε<|y|≤2

K(y)ϕ(x− y) dy = lımε→0

∫ε<|y|≤2

K(y)[ϕ(x− y)− ϕ(x)]︸︷︷︸≤C |y||y|n

dy

que es acotado.

Si 1 < |x| ≤ 2,ψ(x) = (K ∗ ϕ)(x)−K1(x)

pero K ∗ ϕ se acota como antes y |K1(x)| ≤ B|x|−n ≤ B.

Si |x| > 2, como ϕ tiene integral 1, tenemos que

ψ(x) =∫

RnK(x− y)ϕ(y) dy −

∫RnK(x)ϕ(y) dy =

∫Rn

[K(x− y)−K(x)]ϕ(y) dy

1. CONVERGENCIA PUNTUAL DE INTEGRALES SINGULARES 83

Pero

|K(x− y)−K(x)| ≤∣∣∣∣Ω( x− y

|x− y|

)− Ω(x)

∣∣∣∣ |x− y|−n︸︷︷︸(i)

+ |Ω(x)|∣∣∣∣ 1|x− y|n

− 1|x|n

∣∣∣∣︸︷︷︸(ii)

y como estamos suponiendo que |y| ≤ 1 y |x| > 2, entonces |x| > 2|y|.

Notemos que por la condicion de Dini,

(i) ≤ Cω(C2

|x|

)|x|−n ∈ L1.

En efecto, ∫|x|>2

ω

(C2

|x|

)|x|−n dx = C

∫ ∞2

ω

(C2

r

)dr

r= C

∫ C2/2

0

ω(s)s

ds <∞.

Por otro lado,

(ii) ≤ C |y||x− ξ|n+1

≤ C 1|x|n+1

que es una funcion radial decreciente.

Ahora, afirmamos que como ψ = K ∗ ϕ−K1, entonces ψε = K ∗ ϕε −Kε. En efecto,

ψε(x) = ε−nψ(xε

)= ε−nTϕ

(xε

)− ε−nK1

(xε

)= K ∗ ϕε(x)−Kε(x)

donde para la ultima igualdad usamos que T conmuta con dilataciones.

Deducimos entonces que

Kε ∗ f = K ∗ ϕε ∗ f − ψε ∗ f = Tf ∗ ϕε − ψε ∗ fy, por lo tanto,

T ∗f(x) = supε>0|(Kε ∗ f)(x)| ≤ sup

ε>0|(Tf ∗ ϕε)(x)|+ sup

ε>0|(ψε ∗ f)(x)| ≤M(Tf)(x) + CMf

que es lo que querıamos probar.

Teorema 17.4. Con las hipotesis del teorema anterior, si 1 < p < ∞ y f ∈ Lp(Rn), Tεf → fen casi todo punto.

Demostracion. Si definimos

Λf(x) =∣∣∣∣lım sup

ε→0Tεf(x)− lım inf

ε→0Tεf(x)

∣∣∣∣ ,basta ver que Λf(x) = 0 en casi todo punto.

Si f ∈ C1 y tiene soporte compacto, entonces

Tεf(x) =∫ε<|y|<M

K(y)f(x− y) dy =∫ε<|y|<M

K(y) [f(x)− f(x− y)]︸︷︷︸≤C|y|

dy

y como el integrando esta en L1loc(Rn), entonces existe el lımite cuando ε→ 0, y Λf = 0.

84 17. CLASE 17

Si ahora f ∈ Lp(Rn) cualquiera, dado δ > 0 existen f1, f2 tales que f = f1 + f2 con f1 ∈ C1 desoporte compacto y ‖f2‖p ≤ δ. Entonces,

‖Λf‖p ≤ ‖Λf1‖p + ‖Λf2‖p = ‖Λf2‖p ≤ 2‖T ∗f‖p ≤ C‖f‖p ≤ Cδy como δ es arbitrario, ‖Λf‖p = 0, de donde Λf = 0 en casi todo punto.

CAPıTULO 18

Clase 18

Teorema 18.1. T ∗ es de tipo debil (1, 1) .

Demostracion. Dada f ∈ L1(Rn) y λ > 0, consideramos la descomposicion de Calderon-Zygmund de |f |, y obtenemos |f | = g + b, con |g(x)| ≤ λ, b =

∑j bj ,

∫bj = 0, sop(bj) ⊆ Qj y

| ∪j Qj | ≤ ‖f‖1λ .

T ∗g se puede acotar igual que Tg. Falta ver que

|x : T ∗b(x) > λ| ≤ C‖f‖1λ

.

Para esto introducimos Q∗j dilatados fijos de Q y definimos F ∗ = (∪jQ∗j )c. Ya sabemos que∣∣∪jQ∗j ∣∣ ≤ C‖f‖1λ

,

entonces basta ver que

|x ∈ F ∗ : T ∗b(x) > λ| ≤ C‖f‖1λ

.

Si probamos que para x ∈ F ∗ e yj el centro de Qj

T ∗b(x) ≤∑j

∫Qj

|K(x− y)−K(x− yj)||b(y)| dy + CMb(x),

entonces la demostracion sale del tipo debil (1, 1) para M y de la misma demostracion que paraT . Pero

Tεb(x) =∫|x−y|>ε,y∈Qj

K(x− y)b(y) dy

=∫∪jQj

Kε(x− y)b(y) dy

=∑j

∫Qj

Kε(x− y)b(y) dy

Ahora, dado ε > 0, si x ∈ F ∗ para cada Qj hay 3 posibilidades:

1. |x− y| < ε para todo y ∈ Qj ,2. |x− y| > ε para todo y ∈ Qj ,3. existe y ∈ Qj tal que |x− y| = ε.

86 18. CLASE 18

En el primer caso, Kε(x− y) = 0 para todo y ∈ Qj . En el segundo caso, Kε(x− y) = K(x− y)para todo y ∈ Qj y, por lo tanto, si yj es el centro de Qj∫

Qj

Kε(x− y)b(y) dy =∫Qj

K(x− y)b(y) dy =∫Qj

[K(x− y)−K(x− yj)]b(y) dy

y entonces ∣∣∣∣∣∫Qj

Kε(x− y)b(y) dy

∣∣∣∣∣ ≤∫Qj

|K(x− y)−K(x− yj)||b(y)| dy.

Por ultimo, si existe y ∈ Qj tal que |x−y| = ε, entonces existen C1, C2, C3 tales que ε ≥ C1l(Qj),Qj ⊆ B(x,C2ε) y |x− y| ≥ C3ε para todo y ∈ Qj . Entonces∫

Qj

|Kε(x− y)||b(y)| dy ≤ C∫Qj

1|x− y|n

|b(y)| dy ≤ C

εn

∫B(x,C2ε)

|b(y)| dy ≤ CMb(x).

Teorema 18.2. Si f ∈ L1(Rn), tambien vale que Tεf → f en casi todo punto.

Demostracion. Como T ∗ es de tipo debil (1, 1), definiendo Λ como antes, tenemos que paratodo λ > 0

|x : |Λf(x)| > λ| ≤ 2C‖f‖1λ

Escribimos f = f1 + f2, con f1 ∈ C1 de soporte compacto y ‖f2‖1 ≤ δ. Entonces Λf1 = 0 y

|x : |Λf2(x)| > λ| ≤ 2C‖f2‖1λ

<2Cδλ

de donde|x : Λf2(x) > λ| = 0

y, por lo tanto, Λf2 = 0 en casi todo punto.

1. Espacios de Hardy (formulacion clasica)

Dada F (z) holomorfa en el disco unitario D, Hardy estudio en que sentido se alcanzan los valoresde borde. Para eso, definio, para p > 0 y 0 ≤ r < 1

Mp(F, r) =(∫ π

−π|F (reiθ|p dθ

) 1p

y probo el siguiente:

Teorema 18.3. Si sup0≤r<1Mp(F, r) < ∞, entonces hay convergencia no tangencial a losvalores de borde.

Esto motiva ademas la siguiente:

2. ESPACIOS DE HARDY (VERSION MODERNA) 87

Definicion 18.4. Los espacios de Hardy clasicos se definen como

Hp(D) = F analıtica en D : sup0≤r<1

Mp(F, r) <∞

con ‖F‖Hp = sup0≤r<1Mp(F, r).

Analogamente, en el semiplano R× R+, si F es analıtica y z = x+ it, podemos definir

Mp(F, t) = supt>0

(∫R|F (x, t)|p dx

) 1p

Observacion 18.5. Vimos que si f ∈ Lp(T) con p ≥ 1, digamos f(θ) =∑

k∈Z ckeikθ, y definimos

F (z) = c0 + 2∑∞

k=1 ckzk, entonces F (z) es analıtica y lımr→1− ReF (reiθ) = f(θ) es solucion del

problema de Dirichlet.

Hardy demostro que esto pasa no solo para la convergencia en la direccion radial, sino tambienpara la convergencia no tangencial, o sea, que si F ∈ Hp, entonces existe lımr→1− ReF (reit) y‖f‖p ≤ ‖F‖Hp. Hoy en dıa se llaman espacios de Hardy a los espacios de estos valores lımite.

2. Espacios de Hardy (version moderna)

Ya sabemos que si f ∈ Lp(R) y u(x, t) = (f ∗Pt)(x) donde Pt(x) = 1tP (xt ) y P (x) = 1

π(1+x2)es el

nucleo de Poisson, entonces ∆u = 0 en R×R+ y u(x, t)→ f(x) cuando t→ 0 en Lp y tambienen casi todo punto si p ≥ 1. Queremos estudiar si tambien hay convergencia no tangencial.

Para esto, siNf(x) := sup

t>0|(f ∗ Pt)(x)|,

como P es una funcion radial decreciente, sabemos que Nf(x) ≤Mf(x).

Si ademas definimos la maximal no tangencial como

Naf(x) := sup|y−x|<at

|(f ∗ Pt)(y)|

entonces vale el siguiente:

Lema 18.6. Dado a, existe Ca tal que Naf(x) ≤ CaNf(x).

Demostracion. Observemos que podemos suponer f ≥ 0 (sino escribimos f = f+ − f− y lasanalizamos por separado).

Si (y, t) es tal que |y − x| < at, entonces

|(f ∗ Pt)(y)| = 1π

∣∣∣∣∫R

t

|y − z|2 + t2f(z) dz

∣∣∣∣Ahora, como estamos suponiendo |y − x| < at, entonces

|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z| < at+ |y − z| ⇒ |x− z|+ t < (a+ 1)t+ |y − z|

88 18. CLASE 18

y, por lo tanto, para todo z y todo y tal que |x− y| < at,t

|y − z|2 + t2< Ca

t

|x− z|2 + t2.

Entonces1π

∫R

∫t|y − z|2 + t2f(z) dz ≤ Ca

π

∫R

tf(z)|x− z|2 + t2

dz,

de donde se sigue que Naf(x) ≤ CaNf(x), como querıamos.

Observacion 18.7. Si p > 1 y f ∈ Lp, entonces como Naf(x) ≤ CaNf(x) ≤ CaMf(x), esinmediato que Naf ∈ Lp, y por lo tanto hay convergencia no tangencial a los valores de borde.

Si p = 1, se puede ver que para f ∈ L1 en general Na 6∈ L1. Lo que se define como el espacio deHardy H1 es el espacio de las f ∈ L1 tales que Naf ∈ L1.

CAPıTULO 19

Clase 19

1. El espacio B.M.O.

Definicion 19.1. Dada f ∈ L1(Rn) y un cubo Q ⊆ Rn, notamos fQ al promedio de f sobre Q,es decir,

fQ :=1|Q|

∫Qf

y definimos la oscilacion media de f sobre Q como

1|Q|

∫Q|f − fQ|.

Decimos que f ∈ B.M.O. si f tiene oscilacion media acotada, es decir si

M#f(x) = supQ3x

1|Q|

∫Q|f − fQ| < +∞

M#f se llama funcion maximal aguda, y si f ∈ B.M.O., entonces notamos ‖f‖∗ = ‖M#f‖∞.

Observacion 19.2. ‖f‖∗ es una seminorma, ya que ‖f‖∗ para toda f constante en casi todopunto. Por eso consideramos como B.M.O. al cociente de las funciones que acabamos de definirpor las funciones constantes en casi todo punto. Con esta definicion y ‖ · ‖∗, B.M.O. resulta serun espacio de Banach.

Observacion 19.3. Vale que L∞ ⊆ B.M.O., y que M#f(x) ≤ CMf(x).

Demostracion. Basta notar que dado Q ⊆ Rn,

1|Q|

∫Q|f − fQ| ≤

1|Q|

∫Q|f |+ |fQ| ≤

2|Q|

∫Q|f |

y que ademas este ultimo termino se puede acotar por 2‖f‖∞.

Proposicion 19.4.

12‖f‖∗ ≤ sup

Qınfa∈C

1|Q|

∫Q|f(x)− a| dx ≤ ‖f‖∗

90 19. CLASE 19

Demostracion. La desigualdad de la derecha es inmediata. Para ver que vale la otra, bastaobservar que ∫

Q|f(x)− fQ| dx ≤

∫Q|f(x)− a| dx+ |Q||a− fQ|

=∫Q|f(x)− a| dx+ |Q|

∣∣∣∣ 1|Q|

∫Q

(a− f(x)) dx∣∣∣∣

≤ 2∫Q|f(x)− a| dx

Corolario 19.5. Usando la propiedad anterior y la desigualdad triangular, se puede ver queM#(|f |)(x) ≤ 2M#f(x), de donde se sigue que si f ∈ B.M.O. entonces |f | ∈ B.M.O.

Notemos que la recıproca no es cierta. En efecto, si

f(x) =

log 1|x| |x| < 1

0 |x| ≥ 1

entonces f ∈ B.M.O. pero sg(x)f(x) 6∈ B.M.O. Observemos que esta f tambien sirve para verque la inclusion L∞ ⊂ B.M.O. es estricta.

Teorema 19.6. Sea K un nucleo tal que

1. |K(x)| ≤ B|x|−n, si |x| > 0.2.∫R1<|x|<R2

K(x) dx = 0 para todo 0 < R1 < R2 <∞.3.∫|x|≥2|y| |K(x− y)−K(x)| dx ≤ B si |y| > 0.

Si f ∈ L∞(Rn) tiene soporte compacto, entonces

Tf(x) =∫

RnK(x− y)f(y) dy

esta en B.M.O. y ‖Tf‖∗ ≤ C‖f‖∞.

Demostracion. Sea Q ⊆ Rn y sea Q∗ = 2√nQ. Escribimos f = f1 + f2, con f1 = fχQ∗ y

f2 = fχ(Q∗)c . Por la proposicion 19.4 basta ver que si a = Tf2(cQ) con cQ el centro del cubo Q,entonces

1|Q|

∫Q|Tf(x)− a| dx ≤ C

donde C no depende de Q. Para esto escribimos

1|Q|

∫Q|Tf(x)− a| dx =

1|Q|

∫Q|T (f1 + f2)(x)− a| dx

≤ 1|Q|

∫Q|Tf1(x)| dx︸︷︷︸(i)

+1|Q|

∫Q|Tf2(x)− Tf2(cQ)| dx︸︷︷︸

(ii)

1. EL ESPACIO B.M.O. 91

Para (i) usando que las hipotesis sobre K son suficientes para la continuidad de T en L2(Rn),escribimos

(i) ≤ 1|Q|

(∫Q|Tf1(x)|2 dx

) 12

|Q|12

≤ C(

1|Q|

∫Q∗|f1(x)|2 dx

) 12

≤ C‖f‖∞(|Q∗||Q|

) 12

≤ C‖f‖∞

Por otro lado,

(ii) =1|Q|

∫Q

∣∣∣∣∣∫

(Q∗)c(K(x− y)−K(cQ − y))f(y) dy

∣∣∣∣∣ dx≤ ‖f‖∞|Q|

∫Q

∫(Q∗)c

|K(x− y)−K(cQ − y)| dy︸︷︷︸(∗)

dx

y

(∗) =∫

(Q∗)c|K((x− cQ) + (cQ − y))−K(cQ − y)| dy

≤∫|y|>2|x|

|K(x− y)−K(−y)| dy

≤ Bdonde llamamos y = y − cQ, x = x− cQ y usamos ademas que como y ∈ (Q∗)c y x ∈ Q,

|y| = |y − cQ| > 2√n lQ > 2|x− cQ| = 2|x|

Reemplazando en (∗), tenemos en definitiva que1|Q|

∫Q|Tf(x)− a| dx ≤ C‖f‖∞

de donde se sigue que ‖Tf‖∗ ≤ C‖f‖∞, como querıamos.

Observacion 19.7. Como las funciones de soporte compacto no son densas en L∞, no sepuede extender Tf a todo L∞ por densidad, por lo que es necesario definir el operador de algunamanera. Para esto, sea f ∈ L∞ y sea Q ⊆ Rn un cubo centrado en cero. Escribimos f = f1 + f2

como antes, y definimos, para x ∈ Q

Tf(x) := Tf1(x) +∫

Rn(K(x− y)−K(0− y))f2(y) dy

Notemos que Tf1 esta bien definida en casi todo punto porque f1 tiene soporte compacto, y quepor las cuentas anteriores la integral esta acotada. Tenemos que ver entonces que si tomamosotro dilatado Q′ de Q y definimos las respectivas f1 y f2, ambas definiciones coinciden. Para

92 19. CLASE 19

esto, notemos que la diferencia entre las dos definiciones, suponiendo que Q∗ ⊆ Q′

(ya queambos estan centrados en cero) es

T (f1 − f ′1)(x) +∫

(Q∗)c(K(x− y)−K(0− y))f(y) dy −

∫(Q′ )c

(K(x− y)−K(0− y))f(y) dy

= −∫Q′\Q∗

K(x− y)f(y) dy +∫Q′\Q∗

(K(x− y)−K(0− y))f(y) dy

= −∫Q′\Q∗

K(−y)f(y) dy

que es una constante independiente de x. Por lo tanto, ambas definiciones coinciden como fun-ciones de B.M.O.

Ya vimos un ejemplo de funcion no acotada en B.M.O. Nos interesa ahora estudiar que creci-miento pueden tener estas funciones. Para esto, volvamos al ejemplo anterior.

Ejemplo 19.8. El promedio de log 1|x| en (−a, a) es 1− log a, y si λ > 1∣∣∣∣x ∈ (−a, a) :∣∣∣∣log

1|x|− (1− log a)

∣∣∣∣ > λ

∣∣∣∣ ≤ 2ae−λ−1

El siguiente teorema nos dice que esencialmente esto es lo maximo que una funcion en B.M.O.puede separarse de su promedio.

Teorema 19.9 (John-Nirenberg). Si f ∈ B.M.O., Q ⊆ Rn y λ > 0, entonces existen constantesc1, c2 que solo dependen de la dimension tales que

|x ∈ Q : |f(x)− fQ| > λ| ≤ c1e−c2λ/‖f‖∗ |Q|.

Demostracion. Notemos que reemplazando f por un multiplo en la desigualdad que queremosprobar podemos suponer que ‖f‖∗ = 1 y, por lo tanto,

1|Q|

∫Q|f(x)− fQ| ≤ 1.

Consideramos la funcion |f(x)− fQ|χQ(x) y hacemos su descomposicion de Calderon-Zygmunda altura 2, para obtener una familia de cubos Q1,j tales que:

|f(x)− fQ| ≤ 2 si x 6∈ ∪jQ1,j∑j

|Q1,j | ≤12

∫Q|f(x)− fQ| dx ≤

12|Q|‖f‖∗ =

12|Q|

y

2 <1|Q1,j |

∫Q1,j

|f(x)− fQ| dx ≤ 2n+1

Notemos que de esta ultima propiedad se deduce ademas que

|fQ1,j − fQ| ≤

∣∣∣∣∣ 1|Q1,j |

∫Q1,j

|f(x)− fQ| dx

∣∣∣∣∣ ≤ 2n+1.

1. EL ESPACIO B.M.O. 93

Ahora consideramos para cada Q1,j la descomposicion de Calderon-Zygmund de |f − fQ1,j | aaltura 2 y obtenemos, para cada Q1,j , una familia de cubos Q2,k para los que vale

|f(x)− fQ1,j | ≤ 2 si x ∈ Q1,j \ ∪kQ2,k∑k

|Q2,k| ≤12

∫Q1,j

|f(x)− fQ1,j | dx ≤12|Q1,j |‖f‖∗ =

12|Q1,j |

y

|fQ2,k− fQ1,j | ≤

∣∣∣∣∣ 1|Q2,k|

∫Q2,k

|f(x)− fQ1,j | dx

∣∣∣∣∣ ≤ 2n+1.

Si consideramos la familia de los cubos correspondientes a todos los Q1,j y los renumeramosnuevamente en una sola familia que llamamos Q2,k, para esta nueva familia vale que si x 6∈∪Q2,k, entonces

|f(x)− fQ| ≤ |f(x)− fQ1,j |+ |fQ1,j − fQ| ≤ 2 + 2n+1 ≤ 2,2n+1

y que ∑k

|Q2,k| ≤∑j

12|Q1,j | ≤

14|Q|

Repitiendo este proceso, conseguimos para cada N una familia QN,j de cubos disjuntos talesque

|f(x)− fQ| ≤ N2n+1 si x 6∈ ∪jQN,jy ∑

j

|QN,j | ≤1

2N|Q|.

Para probar la desigualdad del enunciado, si λ ≥ 2n+1, tomamos N tal que N,2n+1 ≤ λ <(N + 1)2n+1 y tenemos que entonces

|x ∈ Q : |f(x)− fQ| > λ| ≤∑j

|QN,j | ≤1

2N|Q| = e−N log 2|Q| ≤ e−c2λ|Q|

tomando c2 = log 22n+2 .

Si, en cambio, λ < 2n+1, entonces para la misma constante c2 vale que c2λ <log 2

2 = log√

2 y,entonces,

|x ∈ Q : |f(x)− fQ| > λ| ≤ |Q| ≤ elog√

2−c2λ|Q| =√

2e−c2λ|Q|,por lo que basta tomar c1 =

√2.

CAPıTULO 20

Clase 20

1. Espacios de Hardy

Recordemos que si P (x) = 1π

1(1+x2)

es el nucleo de Poisson, podemos definir Pt(x) = 1tnP (xt ), y

las funciones maximales asociadas

Nf(x) = supt>0|(f ∗ Pt)(x)|

Naf(x) = sup|y−x|<at

|(f ∗ Pt)(y)|

y vimos que Nf(x) ≤ Naf(x) ≤ CaNf(x). Entonces, para p ≥ 1 podemos definir el espacio deHardy

Hp(R) = f ∈ Lp(R) : Nf ∈ Lp(R)(o, equivalentemente, pidiendo Naf ∈ Lp(R) para todo a > 0).

Mas en general, quisieramos poder definir, para p > 0,

Hp(R)“ = ”f ∈ S ′(R) : Nf ∈ Lp(R)pero si f ∈ S ′, f ∗ Pt podrıa no estar definido. Para solucionar este problema, nos restringimosal subespacio

S ′b = f ∈ S ′ : f ∗ ϕ ∈ L∞(R) para toda ϕ ∈ S.Veamos que efectivamente para f ∈ S ′b y g ∈ L1(R) cualquiera tiene sentido f ∗ g ∈ S ′. Paraesto, si ϕ ∈ S y se tratara de funciones, tendrıamos

〈f ∗ g, ϕ〉 =∫

R(f ∗ g)(x)ϕ(x) dx

=∫

R

∫Rf(x− y)g(y)ϕ(x) dy dx

=∫

R

∫Rf(x− y)ϕ(x) dx g(y) dy

=∫

R(f ∗ ϕ)(y)g(y) dy

donde ϕ(x) = ϕ(−x). Como esta ultima expresion tiene sentido ya que g ∈ L1 y f ∗ ϕ ∈ L∞, latomamos como definicion de la convolucion y tiene sentido considerar los espacios

Hp(R) = f ∈ S ′b(R) : Nf ∈ Lp(R)y ‖f‖Hp = ‖Nf‖p. Notemos que para p = 1 esta es una norma pero para p < 1 no lo es.

96 20. CLASE 20

Observacion 20.1. Si p > 1, Hp(R) = Lp(R).

Demostracion. Por ahora probaremos solamente que Lp ⊆ Hp. Ya vimos que

Nf(x) = supt>0|(f ∗ Pt)(x)| ≤Mf(x)

Pero, como p > 1, por lo anterior resulta que ‖Nf‖p ≤ C‖f‖p.

Observacion 20.2. Si p = 1, es inmediato a partir de la caracterizacion de Fefferman-Steinque H1 ⊆ L1 y H1 6= L1.

Las mismas definiciones se pueden extender a Rn, definiendo

Nf(x) = supt>0|(f ∗ Pt)(x)|

donde ahora P es el nucleo de Poisson en Rn,

P (x) =cn

(1 + |x|2)n+1

2

.

2. El espacio H1

Un resultado importante que no vamos a demostrar es el siguiente:

Teorema 20.3 (Fefferman-Stein). Si definimos, para ϕ ∈ S tal que∫ϕ 6= 0 las maximales

Nϕf(x) = supt>0|(f ∗ ϕt)(x)|

yNϕ,af(x) = sup

|y−x|<at|(f ∗ ϕt)(y)|

entonces vale que f ∈ Hp si y solo si Nϕf ∈ Lp (o, equivalentemente, Nϕ,af ∈ Lp).

Ademas, si p = 1, tambien vale que

H1(R) = f ∈ L1(R) : Hf ∈ L1(R)y, si n > 1,

H1(Rn) = f ∈ L1(Rn) : Rjf ∈ L1(Rn) para j = 1, . . . , n

Observacion 20.4. En particular, de la caracterizacion anterior se deduce que las funciones deH1 tienen integral cero.

Definicion 20.5. Si 1 < q ≤ ∞, decimos que a : Rn → C es un (1, q)-atomo si

a ∈ Lq(Rn)sop(a) ⊆ Q, donde Q es un cubo∫Qa(x) dx = 0

‖a‖q ≤1

|Q|1−1q

2. EL ESPACIO H1 97

Lema 20.6. Si a es un (1, q)-atomo, entonces a ∈ H1 y ademas ‖a‖H1 ∼ ‖Nϕa‖1 ≤ C, dondela constante es independiente del atomo.

Demostracion. Sin perdidad de generalidad, supongamos que Q esta centrado en cero y lla-memos Q a un expandido de Q, digamos Q = 5Q. Si ϕ ∈ C∞0 (Rn), sop(ϕ) ⊆ |x| < 1 y

∫ϕ = 1,

por un lado tenemos que, para todo x,

Nϕa(x) = supt>0|(a ∗ ϕt)(x)| ≤Ma(x)

y si x 6∈ Q,

(a ∗ ϕt)(x) =1tn

∫a(y)ϕ

(x− yt

)dy

=1tn

∫|y−x|<t

a(y)ϕ(x− yt

)dy

=1tn

∫|y−x|<t

a(y)[ϕ

(x− yt

)− ϕ

(xt

)]dy

Como x ∈ Q e y ∈ Q, tenemos que

t > |y − x| > |x| − |y| > |x| − |x|2

=|x|2

y, por lo tanto,

|(a ∗ ϕt)(x)| ≤ 1tn

∫Q|a(y)|‖∇ϕ‖∞

|y|tdy

≤ ClQtn+1

∫Q|a(y)| dy

≤lQ|x|n+1

‖a‖q|Q|1−1q

≤lQ|x|n+1

.

Entonces ∫RnNϕa(x) dx =

∫QNϕa(x) dx+

∫(Q)c

Nϕa(x) dx

≤∫QMa(x) dx︸︷︷︸

(i)

+ClQ

∫|x|>lQ

1|x|n+1

dx︸︷︷︸(ii)

pero, por lo anterior

(i) ≤ |Q|1−1q ‖Ma‖q ≤ C|Q|1−

1q ‖a‖q ≤ C

y

(ii) ≤ ClQ∫ ∞lQ

rn−1

rn+1dr = ClQ

∫ ∞lQ

1r2dr ≤ C

98 20. CLASE 20

Corolario 20.7. Si aj es una sucesion de (1, q)-atomos y λj ⊆ R es tal que∑

j |λj | <∞,entonces la funcion

f =∑j

λjaj ∈ H1(Rn)

y, ademas, ‖f‖H1 ≤ C∑

j |λj |

Demostracion. Por la sublinealidad de Nϕ,∫RnNϕf(x) dx ≤

∞∑j=1

|λj |∫

RnNϕaj(x) dx ≤ C

∞∑j=1

|λj |.

CAPıTULO 21

Clase 21

1. Descomposicion atomica

Definicion 21.1. Si 0 < p ≤ 1 y 1 < 1 ≤ ∞, decimos que a ∈ Lq(Rn) es un (p, q)-atomo si secumplen las siguientes condiciones:

sop(a) ⊆ Q, donde Q es un cubo∫Qa(x)xα dx = 0 para todo α tal que |α| ≤

⌊n

(1p− 1)⌋

‖a‖q ≤1

|Q|1p− 1q

Teorema 21.2. Sean 0 < p ≤ 1 y f ∈ Hp(Rn). Entonces, dado 1 < q ≤ ∞ existen sucesion de(p, q)-atomos ak y λk ⊆ C tales que

f =∑k

λkak y∑k

|λk|p ≤ C(p, q, n)‖f‖pHp

donde la igualdad con la serie vale en el sentido de S ′ y si p = 1 tambien en L1(Rn).

Recıprocamente, si ak es una sucesion de (p, q)-atomos y λk ⊆ C es tal que∑

k |λk|p <∞,entonces

f =∑k

λkak ∈ Hp(Rn) y ‖f‖pHp ≤ C(p, q, n)∑k

|λk|p.

La demostracion de este teorema la vamos a ver solo en el caso particular en que n = 1, p = 1y q = 2, siguiendo una demostracion de Wilson, y la definicion de H1 con el nucleo de Poisson.Primero necesitamos algunos lemas.

Lema 21.3. Existe una funcion ψ ∈ C∞(R) par, tal que sop(ψ) ⊆ [−1, 1],∫ψ(x) dx = 0 y∫ ∞

0e−2πsψ(s) ds = − 1

2π. (21.43)

Demostracion. Como ψ es par, ψ tambien lo es. Entonces basta encontrar ψ que cumpla lasdemas propiedades y tal que ∫ ∞

−∞e−2π|s|ψ(s) ds = − 1

π

100 21. CLASE 21

o, equivalentemente, ∫ ∞−∞

(e−2π|s|)ˆ(x)︸︷︷︸=P (x)

ψ(x) dx = − 1π.

Claramente, es suficiente ver que esta ultima integral es no nula. Pero como P es una funcionpar, sabemos que ∫ 1

−1P (x)ϕ(x) dx = 0

para toda ϕ ∈ C∞0 (R) impar tal que∫ϕ = 0 y sop(ϕ) ⊆ [−1, 1]. Por lo tanto, si∫ 1

−1P (x)ψ(x) dx = 0

entonces resultarıa que ∫ 1

−1P (x)η(x) dx = 0

para toda funcion η ∈ C∞0 (R) tal que∫η = 0 y sop(η) ⊆ [−1, 1], de donde se sigue que P es

constante en [−1, 1], que es absurdo.

Lema 21.4 (Formula de representacion de Calderon). Si ψ es una funcion de Rn radial, ψ(ξ) =ψ(|ξ|) con ψ como en el lema anterior, y f ∈ L1(Rn), entonces

f(x) =∫

Rn×R+

∂u

∂t(y, t) ψt(x− y) dy dt

donde u(y, t) = (f ∗ Pt)(y).

Observacion 21.5. Por un abuso de notacion, en lo sucesivo escribiremos ψ en lugar de ψ.

Demostracion. Observemos que[∫Rn

∂u

∂t(y, t)ψt(x− y) dy

](ξ) =

[∂

∂t(f ∗ Pt)(·, t) ∗ ψt

](ξ)

=∂

∂t[f(ξ)P (tξ)]ψ(t|ξ|)

=∂

∂t

[f(ξ)e−2πt|ξ|

]ψ(t|ξ|)

= f(ξ)(−2π|ξ|)e−2πt|ξ|ψ(t|ξ|)

Entonces basta ver que

f(ξ) = f(ξ)∫ ∞

0(−2π|ξ|)e−2πt|ξ|ψ(t|ξ|)dt,

que se deduce inmediatamente haciendo el cambio de variables s = t|ξ| y usando (21.43).

Ahora podemos proceder a demostrar el Teorema 21.2 para n = 1, p = 1, q = 2.

Demostracion. Sea f ∈ H1(R). Entonces, por definicion, N2f ∈ L1(R).

1. DESCOMPOSICION ATOMICA 101

Para cada k ∈ Z consideramos los abiertos Ek = x : N2f(x) > 2k y escribimos

Ek = ∪∞j=1Ikj

donde Ikj son intervalos abiertos disjuntos.

Dado un intervalo I, si llamamos

I = (y, t) ∈ R× R+ : (y − t, y + t) ⊆ I

podemos definir las regiones

Ek = ∪∞j=1Ikj y T kj = Ikj \ Ek+1,

y claramente vale que R× R+ = ∪j,kT kj .

Entonces, por la formula de representacion,

f(x) =∑k,j

∫Tkj

∂u

∂t(y, t)ψt(x− y) dy dt︸︷︷︸

:=gkj (x)

Si ahora

λkj = C2k|Ikj | y akj =gkj

C2k|Ikj |,

donde C es una constante positiva, entonces f =∑

j,k λkjakj . Afirmamos que los akj son (1, 2)-

atomos.

Para ver que∫akj (x) dx = 0, basta usar Fubini y que

∫ψt = 0.

Para ver que sop(akj ) ⊆ Ikj , basta notar que el soporte de ψt es el cono |x − y| < t, y que six 6∈ Ikj , entonces este conjunto no interseca al cono.

Falta entonces ver que

‖akj ‖2 ≤1

|Ikj |12

. (21.44)

Si esto vale, observemos que entonces∑j,k

|λkj | = C∑j,k

2k|Ikj | = C∑k

2k|Ek| ≤ C‖N2f‖1 ∼ C‖f‖H1

(los Ek no son disjuntos, pero usando la definicion es facil ver que vale la acotacion anterior).

102 21. CLASE 21

Ahora, notemos que (21.44) es equivalente a probar que ‖gkj ‖2 ≤ C2k|Ikj |12 . Para ver esto, por

dualidad, si h ∈ L2 es tal que ‖h‖2 = 1 (se puede tomar como gkj dividido su norma), entonces

∣∣∣∣∫ gkj (x)h(x) dx∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∫h(x)

∫Tkj

∂u

∂t(y, t)ψt(x− y)︸︷︷︸

=ψt(y−x)

dy dt dx

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∫Tkj

∂u

∂t(y, t)

∫(h ∗ ψt)(y) dy dt

∣∣∣∣∣≤(∫

Tkj

t|∇u(y, t)|2 dy dt︸︷︷︸(i)

) 12(∫

R×R+

|(h ∗ ψt)(y)|2 dydtt︸︷︷︸

(ii)

) 12

Empecemos por acotar (ii). Haciendo el cambio de variables s = tξ tenemos que

(ii) =∫ ∞

0

∫R|h(ξ)|2|ψ(tξ)|2 dξ dt

t

=∫

R|h(ξ)|2

∫ ∞0|ψ(s)|2 ds dξ

≤ C

donde la integrabilidad en el cero vale porque ξ(0) = 0.

Pasemos ahora a (i). Tenemos que

(i) =∫Tkj

t∇u(y, t) · ∇u(y, t) dy dt

= −∫Tkj

div(t∇u(y, t))u(y, t) dy dt︸︷︷︸(iii)

+∫∂Tkj

u(y, t) (t∇u(y, t) · η) dS

donde para la ultima igualdad usamos el teorema de Green en T kj .

Como ∆u = 0,

(iii) = −∫Tkj

[(0, 1)−∇u(y, t)] · u(y, t) dy dt

= −∫Tkj

∂u

∂t(y, t)u(y, t) dy dt

=∫Tkj

u(y, t)∂u

∂t(y, t) dy dt−

∫∂Tkj

|u(y, t)|2η2 dS

siendo η2 la segunda componente del vector normal, de donde se sigue que

(iii) =12

∫∂Tkj

|u(y, t)|2η2 dS

1. DESCOMPOSICION ATOMICA 103

y, volviendo a la expresion que tenıamos para (i),∫Tkj

t|∇u(y, t)|2 dy dt ≤∫∂Tkj

(|u(y, t)|+ t

∣∣∣∣∂u∂η (y, t)∣∣∣∣+

12|u(y, t)|2η2

)dS (21.45)

Ahora, por definicion sabemos que en T kj , 2k < N2f ≤ 2k+1. Por lo tanto, si x ∈ Ikj ∩ ∂T kj hayun cono de apertura 2 con vertice en x tal que 2k < N2f ≤ 2k+1 (y entonces |u(y, t)| ≤ 2k+1) yestos conos cubren todo el borde de T kj . Entonces,∫

∂Tkj

12|u(y, t)|2 η2 dS ≤ C22k|∂T kj | ≤ C22k|Ikj |

Si vemos que en ∂T kj , t|∂u∂η | ≤ C2k, entonces todos los terminos de (21.45) se acotan de la mismamanera. Afirmamos que como |u| ≤ C2k en un cono de apertura 2 con vertice en x, entoncest|∇u| ≤ C2k en un cono de apertura 3

2 con vertice en x. En efecto, dado (x, t) en el cono deapertura 3

2 existe B centrada en (x, t) contenida en el cono centrado en x de apertura 2. Comou es armonica, tanto ∂u

∂x como ∂u∂t lo son, y entonces por valor medio

∂u

∂t(x, t) =

1(c1t)n

∫B

∂u

∂t(y, s) dy ds =

1(c1t)n

∫∂Bu · η dS ≤ 1

(c1t)nC2ktn−1 = C

2k

t.

Por lo tanto, t|∇u| ≤ C2k en el cono de apertura 32 , como querıamos ver.

CAPıTULO 22

Clase 22

1. Dualidad entre H1 y B.M.O.

Definicion 22.1. Llamaremos H10 (Rn) a todas las combinaciones lineales finitas de (1, 2)-ato-

mos.

Lema 22.2. Dada b ∈ B.M.O(Rn),

Lb(f) =∫

Rnf(x)b(x) dx (22.46)

es una funcional lineal y acotada en H10 (Rn).

Demostracion. Primero notemos que Lb esta bien definida, ya que si cambiamos b por b + ccon c una constante, (22.46) no cambia.

Ahora, como f ∈ H10 (Rn), f =

∑Nk=1 λkak donde ak son (1, 2)-atomos, con soporte en Qk.

Entonces

|Lb(f)| =∣∣∣∣∫

Rnf(x)b(x) dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣N∑k=1

λk

∫Qk

ak(b(x)− bQk) dx

∣∣∣∣∣≤

N∑k=1

|λk|‖ak‖2(∫

Qk

|b(x)− bQk |2 dx

) 12

≤N∑k=1

|λk|(

1|Qk|

∫Qk

|b(x)− bQk |2 dx

) 12

≤ C‖f‖H1‖b‖∗

donde para la ultima igualdad usamos que(

1|Qk|

∫Qk|b(x)− bQk |2 dx

) 12 ≤ C‖b‖∗ (ver ejercicio

de la practica).

Teorema 22.3. Existen constantes que solo dependen de la dimension tales que dada b ∈B.M.O.(Rn), la funcional lineal definida en H1

0 (Rn) por (22.46) admite una unica extensionacotada a H1(Rn) con norma a lo sumo C‖b‖∗.

106 22. CLASE 22

Recıprocamente, dada una funcional lineal y acotada L definida sobre H1(Rn), existe una funcionb ∈ B.M.O.(Rn) tal que para toda f ∈ H1

0 (Rn) vale L(f) = Lb(f) y ademas ‖b‖∗ ≤ C‖Lb‖L(H1,C)

Demostracion. Como H10 (Rn) es un subespacio denso de H1(Rn), Lb admite una unica ex-

tension acotada a H1(Rn). Es decir, dada f ∈ H1(Rn), sean fj ∈ H10 (Rn) tales que fj → f en

H1(Rn). Por la cuenta anterior,

|Lb(fj)− Lb(fk)| ≤ C‖b‖∗‖fj − fk‖H1

y por lo tanto Lb(fj) es una sucesion de Cauchy en C. Entonces, si Lb(f) = lımj→∞ Lb(fj), Lbesta bien definida en H1(Rn), coincide con Lb en H1

0 (Rn) y satisface |Lb(f)| ≤ C‖b‖∗‖f‖H1 paratoda f ∈ H1(Rn).

Para la implicacion recıproca, notemos primero que si llamamos L20(Q) al subespacio de funciones

de L2 con soporte en un cubo Q e integral cero, se puede ver como en la demostracion del Lema20.6 que todo elemento de L2

0(Q) esta en H1(Rn) y vale ‖g‖H1 ≤ C|Q|12 ‖g‖2. Entonces, si L es

una funcional lineal y acotada en H1(Rn), tambien es una funcional lineal y acotada en L20(Q)

con norma a lo sumo C|Q|12 ‖L‖. Por el teorema de representacion de Riesz existe FQ en L2

0(Q)tal que, para toda g ∈ L2

0(Q),

L(g) =∫QFQ(x)g(x) dx y ‖FQ‖L2(Q) ≤ C|Q|

12 ‖L‖.

Notemos que si Q esta contenido en otro cubo Q′, entonces FQ′ − FQ es constante sobre Q, ya

que si definen la misma funcional sobre Q tiene que valer, para toda g ∈ L20(Q),∫

(FQ′(x)− FQ(x))g(x) dx = 0.

Afirmamos que existe b ∈ L1loc(Rn) tal que para cada cubo Q existe una constante c(Q) tal que

FQ = b − c(Q) en Q. Observemos primero que si Qm = [−m,m]n (m ∈ N) y l < m, comoFQm − FQl es constante en Ql e igual al promedio de FQm − FQl sobre Ql, tenemos que

FQm − FQl =1|Ql|

∫Ql

FQm(t)− FQl(t) dt

y entonces

FQm − 1|Ql|

∫Ql

FQm(t) dt = FQl − 1|Ql|

∫Ql

FQl(t) dt.

Por lo tanto, si x ∈ Qm, la funcion

b(x) = FQm(x)− 1|Q1|

∫Q1

FQm(t) dt

esta bien definida. Entonces, siQ = Qm para algunm ∈ N, basta tomar c(Qm) = − 1|Q1|

∫Q1FQm(t) dt.

Si Q es cualquier otro cubo de Rn, como FQm −FQ es constante sobre Q, tambien es constantesobre Q vale FQ = b− c(Q).

Entonces, para todo cubo Q y toda g ∈ L20(Q),

L(g) =∫Qb(x)g(x) dx.

2. CONTINUIDAD DE INTEGRALES SINGULARES EN H1(Rn) 107

Falta ver que b(x) ∈ B.M.O.(Rn). Pero

supQ

1|Q|

∫Q|b(x)− c(Q)| dx = sup

Q

1|Q|

∫Q|FQ(x)| dx ≤ sup

Q|Q|−

12 ‖FQ‖L2(Q) ≤ C‖L‖

y, por lo tanto, ‖b‖∗ ≤ C‖L‖.

Ademas, para toda f ∈ H10 (Rn), f =

∑Nk=1 λkak con ak (1, 2)-atomos,

L(f) =N∑k=1

λkL(ak) =∫b(x)f(x) dx

2. Continuidad de integrales singulares en H1(Rn)

Teorema 22.4. Sea K un nucleo tal que

|K(x)| ≤ B|x|−n si |x| > 0∫|x|≥2|y|

|K(x− y)−K(x)| dx ≤ B si |y| > 0∫R1<|x|<R2

K(x) dx = 0 si 0 < R1 < R2 <∞

y sea

Tf(x) =∫f(x)K(x− y) dy.

Entonces, para todo (1, 2)-atomo a vale que ‖Ta‖H1 ≤ C.

Demostracion. Sea Q un cubo con centro cQ tal que sop(a) ⊆ Q y sea Q∗ el cubo con elmismo centro y lado 2

√nlQ. Entonces, por un lado, usando que T es continuo en L2,∫

Q∗|Ta(x)| dx ≤ |Q∗|

12

(∫Q∗|Ta(x)|2 dx

) 12

≤ |Q∗|12 ‖a‖2 ≤

(|Q∗||Q|

) 12

≤ C

y, por otro lado,∫(Q∗)c

|Ta(x)| dx =∫

(Q∗)c

∣∣∣∣∫QK(x− y)a(y) dy

∣∣∣∣ dx=∫

(Q∗)c

∣∣∣∣∫Q

(K(x− y)−K(x− cQ)a(y) dy∣∣∣∣ dx

≤∫Q

∫(Q∗)c

|K(x− y)−K(x− cQ)| dx︸︷︷︸(i)

|a(y)| dy

Ahora, si x := x− cQ y y := y − cQ, como x ∈ (Q∗)c e y ∈ Q,

|x| = |x− cQ| > 2√nlQ > 2|y − cQ| = 2|y|,

108 22. CLASE 22

y entonces,

(i) ≤∫|x|>2|y|

|K(x− y)−K(x)| dx ≤ C.

Se sigue que ∫(Q∗)c

|Ta(x)| dx ≤∫Q|a(y)| dy ≤ C‖a‖2|Q|

12 ≤ C.

Corolario 22.5. Si T es como antes y f ∈ H1(Rn), entonces ‖Tf‖H1 ≤ C‖f‖H1.

Demostracion. Si f ∈ H10 (Rn),

‖Tf‖H1 ≤N∑k=1

|λk|‖Tak‖H1 ≤ CN∑k=1

|λk| = C‖f‖H1

y en el caso f ∈ H1(Rn) sale por densidad.

CAPıTULO 23

Clase 23

1. Pesos Ap

Dada una funcion w(x) ≥ 0 definida en Rn y localmente integrable, nos interesa encontrarcondiciones para que valga∫

Rn|Tf(x)|pw(x) dx ≤ C

∫Rn|f(x)|pw(x) dx

cuando T es uno de los operadores que estudiamos.

Comencemos considerando el caso de la maximal de Hardy-Littlewood

Mf(x) = supQ3x

1|Q|

∫Q|f(x)| dx.

En este caso B. Muckenhoupt encontro condiciones necesarias y suficientes sobre w para quevalga el tipo fuerte si p > 1 y el tipo debil si p = 1, que veremos a continuacion. Primerointroducimos la siguiente:

Notacion 23.1. Si A ⊆ Rn, notamos

w(A) =∫Aw(x) dx

y

‖f‖Lpw =(∫

Rn|f(x)|pw(x) dx

) 1p

2. Condicion necesaria para el tipo debil

Supongamos f ≥ 0 y que para w vale la desigualdad de tipo (p, p)-debil

w(x : Mf(x) > λ) ≤ C

λp

∫Rnfp(x)w(x) dx (23.47)

Si Q ⊆ Rn es un cubo y λ es tal que

0 < λ <1|Q|

∫Qf(x) dx (23.48)

110 23. CLASE 23

entonces Q ⊆ x : Mf(x) > λ y por (23.47) vale entonces que

w(Q) ≤ C

λp

∫Rnfp(x)w(x) dx

para todo λ que cumpla (23.48). Deducimos entonces que para todo Q ⊆ Rn y toda f ∈ Lpw,f ≥ 0 tiene que valer

w(Q)

(∫Q f(x) dx

|Q|

)p≤ C

∫Rnfp(x)w(x) dx (23.49)

Observacion 23.2. La condicion anterior implica que w > 0 en casi todo punto, como se deducefacilmente considerando f = χS con S ⊆ Q medible y tal que |S| > 0.

Ahora, si p = 1, S ⊆ Q es un conjunto medible tal que |S| > 0 y f = χS , por (23.49) vale que

w(Q)|Q|

≤ Cw(S)|S|

. (23.50)

Entonces, si a = ınfQw(x) (donde por ınfimo entendemos el ınfimo esencial), dado ε > 0 existeSε ⊆ Q tal que |Sε| > 0 y w(x) ≤ a+ ε para x ∈ Sε, y por (23.50)

w(Q)|Q|

≤ C∫Sεw(x) dx|Sε|

≤ C(a+ ε).

Como ε es arbitrario, deducimos que para todo cubo Q ⊆ Rn debe valer

w(Q)|Q|

≤ C ınfQw(x)

y, en consecuencia, para casi todo x ∈ Rn debe valer Mw(x) ≤ Cw(x).

Definicion 23.3. Definimos la clase de pesos A1 como los w que cumplen Mw(x) ≤ Cw(x) encasi todo punto.

Pasemos ahora al caso p > 1. Si elegimos f = w− 1p−1χQ, por (23.49) debe valer

w(Q)(

1|Q|

∫Qw− 1p−1

)p≤ C

∫Qw− pp−1w dx

o, equivalentemente, (1|Q|

∫Qw

)(1|Q|

∫Qw− 1p−1

)p−1

≤ C

Definicion 23.4. Definimos la clase de pesos Ap como los w que cumplen(1|Q|

∫Qw

)(1|Q|

∫Qw− 1p−1

)p−1

≤ C

para todo cubo Q ⊆ Rn.

Ejemplo 23.5. Se puede ver que |x|α ∈ Ap(Rn) si y solo si −n < α < n(p− 1)

3. SUFICIENCIA PARA EL TIPO DEBIL (1, 1) 111

3. Suficiencia para el tipo debil (1, 1)

Lema 23.6. Sean f ∈ L1(Rn), f ≥ 0 y λ > 0. Si Qj son los cubos de la descomposicion deCalderon-Zygmund a altura λ y Q∗j son expandidos (por un factor fijo) de Qj, entonces existecn que solo depende de la dimension y del factor de expansion de los cubos tal que

x : Mf(x) > cnλ ⊆ ∪jQ∗j

Demostracion. Basta ver que si x 6∈ ∪jQ∗j , entonces Mf(x) ≤ cnλ. Probaremos entonces quepara todo Q tal que x ∈ Q,

1|Q|

∫Qf ≤ cnλ

Para esto separamos en casos:

Si Q ∩ ∪jQj = ∅, entonces Q ⊆ F y, por lo tanto, 1|Q|∫Q f ≤ λ.

Si Q ∩ ∪jQj 6= ∅, o bien existe algun j tal que Q ∩ Qj 6= ∅ y |Qj | ∼ |Q| o bien para todo j talque Q ∩Qj 6= ∅ vale que l(Qj) ≤ l(Q). En el primer caso,

1|Q|

∫Qf ≤ C

|Qj |

∫Qj

f ≤ cnλ.

En el segundo caso, escribimos1|Q|

∫Qf(x) dx =

1|Q|

∫Q∩(∪jQj)

f(x) dx︸︷︷︸(i)

+1|Q|

∫Q\(∪jQj)

f(x) dx︸︷︷︸(ii)

Como Q \ (∪jQj) ⊆ F ,

(ii) ≤ λ

|Q||Q \ (∪jQj)| ≤ λ.

Para el otro termino tenemos que

(i) =1|Q|

∑j

∫Q∩Qj

f(x) dx

≤∑

j:Qj∩Q6=∅

|Qj ||Q|

1|Qj |

∫Qj

f(x) dx︸︷︷︸≤2nλ

≤ C2nλ

Teorema 23.7 (Fefferman-Stein). Si w ≥ 0 y 1 λ) ≤ C1

λ

∫Rn|f(x)|Mw(x) dx

112 23. CLASE 23

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer f ≥ 0.

Afirmamos que

‖Mf‖L∞w ≤ ‖f‖L∞Mw.

Para ver esto, notemos que podemos suponer Mw(x) ≥ 0 para casi todo x (sino w ≡ 0 y no haynada que probar). Si consideramos a > ‖f‖L∞Mw

, entonces∫f>a

Mw(x) dx = 0,

pero esto implica |f > a| = 0. Equivalentemente, f ≤ a en casi todo punto, pero entoncesMf ≤ a en casi todo punto. Luego, ‖Mf‖L∞w ≤ ‖f‖L∞Mw

para todo a ≥ ‖f‖L∞Mw, de donde

‖Mf‖L∞w ≤ ‖f‖L∞Mw.

Veamos ahora que vale el tipo debil (1, 1). Para esto, basta ver que para todo λ > 0∫Mf>cnλ

w(x) dx ≤ C

λ

∫Rnf(x)Mw(x) dx

siendo cn la constante del lema anterior. Como sabemos que Mf > cnλ ⊆ ∪jQ∗j , entonces∫Mf>cnλ

w(x) dx ≤∫∪Q∗j

w(x) dx

≤∑j

∫Q∗j

w(x) dx

≤ C∑j

|Qj |

(1|Q∗j |

∫Q∗j

w(x) dx

)

≤ C

λ

∑j

∫Qj

f(y) dy

(1|Q∗j |

∫Q∗j

w(x) dx

)

=C

λ

∑j

∫Qj

f(y)

(1|Q∗j |

∫Q∗j

w(x) dx

)dy

≤ C

λ

∑j

∫Qj

f(y)Mw(y) dy

≤ C

λ

∫Rnf(y)Mw(y) dy

es decir,

w(Mf > λ) ≤ C

λ

∫Rnf(y)Mw(y) dy

como querıamos.

Como corolario inmediato del teorema anterior tenemos el siguiente:

3. SUFICIENCIA PARA EL TIPO DEBIL (1, 1) 113

Teorema 23.8. Sea w ≥ 0. Entonces w ∈ A1 si y solo si existe C tal que

w(x : Mf(x) > λ) ≤ C

λ

∫Rn|f(x)|w(x) dx

CAPıTULO 24

Clase 24

1. Suficiencia para el tipo debil (p, p), p > 1

Primero veamos que la condicion Ap implica (23.49) para alguna constante C. En efecto, usandola desigualdad de Holder, si w ∈ Ap,(

1|Q|

∫Qf(x) dx

)p≤ 1|Q|p

(∫Qf(x)pw(x) dx

)(∫Qw(x)−

1p−1 dx

)p−1

=(

1|Q|

∫Qf(x)pw(x) dx

)(1|Q|

∫Qw(x)−

1p−1 dx

)p−1

≤(

1|Q|

∫Qf(x)pw(x) dx

)(1|Q|

∫Qw(x) dx

)−1

y despejando se obtiene (23.49). Ademas, esto implica, como en (23.50) que

w(Q)(|S||Q|

)p≤ Cw(S) (24.51)

para todo S ⊆ Q medible.

Ahora, dada f ≥ 0 hacemos su descomposicion de Calderon-Zygmund a altura λ. Notemos queesto es posible porque si f ∈ Lpw entonces f ∈ L1

loc y la demostracion vale para fk := fχB(0,k)

con constantes independientes de k. Por el Lema 23.6 tenemos entonces que

w(x : Mf(x) > λ) ≤∑j

w(Q∗j )

≤ C∑j

w(Qj) (por (24.51))

≤ C∑j

∫Qj

f(x)pw(x) dx|Qj |p

f(Qj)p(por (23.49))

≤ C

λp

∑j

∫Qj

f(x)pw(x) dx (porque son cubos de C-Z)

≤ C

λp

∫Rnf(x)pw(x) dx

como querıamos.

Proposicion 24.1. Valen las siguientes propiedades, que dejamos como ejercicio:

116 24. CLASE 24

1. Si 1 ≤ p < q, entonces Ap ⊆ Aq.2. w ∈ Ap si y solo si w−

1p−1 ∈ Ap′.

3. Si w0, w1 ∈ A1, entonces w0w1−p1 ∈ Ap.

Corolario 24.2. Si w ∈ Ap, entonces para todo q > p∫Rn|Mf(x)|qw(x) dx ≤ C

∫Rn|f(x)|qw(x) dx

Demostracion. Sale usando el teorema de Marcinkiewicz para interpolar entre p e∞ (recordarque ‖Mf‖L∞w ≤ ‖f‖L∞w ).

Por lo anterior, vale que ∪p<qAp ⊆ Aq. Vamos a probar que vale ∪p<qAp = Aq o, equivalen-temente, que si w ∈ Aq, entonces existe ε > 0, ε = ε(w) tal que w ∈ Aq−ε. Comencemos porprobar el siguiente lema:

Lema 24.3. Si w ∈ Ap, entonces para todo 0 < α < 1 existe 0 < β < 1 tal que si S ⊆ Q y|S| ≤ α|Q| vale que w(S) ≤ βw(Q).

Demostracion. Cambiamos S por Q− S en (24.51), y obtenemos

w(Q)(|Q| − |S||Q|

)≤ C(w(Q)− w(S))

pero como |S| ≤ α|Q|, esto implica

w(Q)(1− α)p ≤ C(w(Q)− w(S))

o, equivalentemente,

w(S) ≤ C − (1− α)p

Cw(Q)

por lo que basta tomar β = C−(1−α)p

C .

Teorema 24.4 (Propiedad de Holder inversa). Si w ∈ Ap para algun p ≥ 1, entonces existeε > 0 (que depende de w) tal que para todo cubo Q(

1|Q|

∫Qw(x)1+ε dx

) 11+ε

≤ C(

1|Q|

∫Qw(x) dx

).

Demostracion. Dado Q, como w ∈ L1(Q) podemos hacer la descomposicion de Calderon-Zygmund de w en Q para una sucesion 0 < λ0 < λ1 < . . . < λk < . . . . Notemos que para hacerla descomposicion necesitamos que 1

|Q|∫Qw(x) dx ≤ λ0. Elegimos λ0 para que valga la igualdad,

y vamos a elegir λk despues.

Para cada λk tenemos entonces cubos Qk,j tales que Ωk = ∪jQk,j , λk < 1|Qk,j |w(Qk,j) ≤ 2nλk, y

w(x) ≤ λk para casi todo x 6∈ Ωk. Por construccion, vale ademas que Ωk+1 ⊆ Ωk.

1. SUFICIENCIA PARA EL TIPO DEBIL (p, p), p > 1 117

Fijemos un cubo Qk,j0 de nivel λk. Como Qk,j0 ∩ Ωk+1 = ∪i∈IQk+1,i para algun conjunto deındices I, tenemos que

|Qk,j0 ∩ Ωk+1| =∑i∈I|Qk+1,i| ≤

∑i∈I

1λk+1

∫Qk+1,i

w(x) dx ≤ 1λk+1

∫Qk,j0

w(x) dx ≤ 2nλkλk+1

|Qk,j0 |.

Si elegimos α = 2n λkλk+1

< 1, entonces λk = (2n

α )kλ0 y, por la cuenta anterior,

|Qk,j0 ∩ Ωk+1| ≤ α|Qk,j0 |.Entonces, por el Lema 24.3 existe β < 1 que depende de α tal que

w(Qk,j0 ∩ Ωk+1) ≤ βw(Qk,j0).

Sumando sobre todos los j0 tenemos que

w(Ωk+1) ≤ βw(Ωk)

y, en generalw(Ωk) ≤ βkw(Ω0).

Entonces, observando que |Ωk| → 0,∫Qw(x)1+ε dx =

∫Q\Ω0

w(x)1+ε dx+∞∑k=0

∫Ωk\Ωk+1

w(x)1+ε dx

≤ λε0w(Q) +∞∑k=0

λεk+1w(Ωk)

= λε0w(Q) + λε0

∞∑k=0

(2n

α

)(k+1)ε

w(Ωk)

≤ λε0w(Q) + λε0

∞∑k=0

(2n

α

)(k+1)ε

βkw(Q)

Para que la serie sea convergente necesitamos que (2n

α )εβ < 1, pero β < 1 y ε lo podıamos elegir,ası que eligiendo ε suficientemente chico tenemos que∫

Qw(x)1+ε dx ≤ Cλε0

∫Qw(x) dx.

Como λ0 = w(Q)|Q| , entonces∫

Qw(x)1+ε dx ≤ C C

|Q|ε

(∫Qw(x) dx

)1+ε

.

Dividiendo por |Q| a ambos lados y elevando a la 11+ε se obtiene la estimacion que querıamos.

Como corolario de esta propiedad se obtiene la siguiente propiedad, que dejamos como ejercicio:

Corolario 24.5. Si w ∈ Ap, entonces existe ε > 0 (que depende de w) tal que Ap−ε. O sea,Aq = ∪p<qAp.

Tambien se obtiene como consecuencia el siguiente teorema

118 24. CLASE 24

Teorema 24.6. w ∈ Ap si y solo si∫Rn|Mf(x)|pw(x) dx ≤ C

∫Rn|f(x)|pw(x) dx.

CAPıTULO 25

Clase 25

1. Caracterizacion de pesos A1

Para caracterizar los pesos que estan en A1 primero probaremos el siguiente:

Lema 25.1 (Kolmogorov). Si S es un operador de tipo debil (1, 1), 0 < η < 1 y E ⊆ Rn es unconjunto finitamente medible, entonces existe C = C(η) tal que∫

E|Sf(x)|η dx ≤ C|E|1−η‖f‖η1

Demostracion.∫E|Sf(x)|η dx = η

∫ ∞0

λη−1|x ∈ E : Sf(x) > λ| dλ

≤ η∫ ∞

0λη−1 mın|E|, C

λ‖f‖1 dλ

= η

∫ C‖f‖1|E|

0λη−1|E| dλ+

∫ ∞C‖f‖1|E|

λη−2C

λ‖f‖1 dλ

= |E|λη∣∣∣C‖f‖1|E|

0+

η

η − 1C‖f‖1λη−1

∣∣∣∞C‖f‖1|E|

= C(η)‖f‖η1|E|1−η

Teorema 25.2. 1. Si f ∈ L1loc y 0 ≤ δ < 1, entonces w(x) = (Mf(x))δ ∈ A1 con constante A1

que depende solo de δ.

2. Si w ∈ A1, entonces existen f ∈ L1loc, 0 ≤ δ < 1 y k ∈ L∞ con k−1 ∈ L∞ tales que

w(x) = k(x)(Mf(x))δ.

Demostracion. 1. Queremos ver que dado Q vale que1|Q|

∫Q

(Mf(y))δ dy ≤ C(Mf(x))δ

para casi todo x ∈ Q, con una constante independiente de Q y de f .

Para esto, dado Q, llamamos Q∗ al cubo de lado doble e igual centro, y escribimos f = f1 + f2

con f1 = fχQ∗ , f2 = f(1 − χQ∗). Usando la sublinealidad de M y que o ≤ δ < 1, tenemos

120 25. CLASE 25

entonces que(Mf(x))δ ≤ (Mf1(x))δ + (Mf2(x))δ

por lo que basta estos terminos por separado.

Por un lado, por el lema anterior

1|Q|

∫Q

(Mf1(y))δ dy ≤ C

|Q||Q|1−δ‖f1‖δ1 = C

(1|Q|

∫Q∗|f(y)| dy

)δ≤ C(Mf(x))δ.

Por otro lado, si y ∈ Q y R es un cubo tal que y ∈ R y 1|R|∫R |f2(x)| dx 6= 0, entonces tiene que

ser l(R) ≥ 12 l(Q). Como x ∈ Q entonces x ∈ cnR, de donde

1|R|

∫R|f2(y)| dy ≤ 1

|R|

∫cnR|f2(y)| dy ≤ cnMf(x)

y, por lo tanto, Mf2(y) ≤ cnMf(x) para todo y ∈ Q, y se deduce inmediatamente que1|Q|

∫Q

(Mf2(y))δ dy ≤ cn(Mf(x))δ.

2. Como w ∈ A1, por la propiedad de Holder inversa existe ε > 0 tal que(1|Q|

∫Qw1+ε(x) dx

) 11+ε

≤ C

|Q|

∫Qw(x) dx.

Entonces, usando ademas que w ∈ A1, vale que (Mw1+ε(x))1

1+ε ≤ CMw(x) ≤ Cw(x). Por otrolado, como en casi todo punto w1+ε(x) ≤Mw1+ε, resulta en definitiva que

w(x) ≤ (Mw1+ε(x))1

1+ε ≤ Cw(x),

por lo que definiendo f = w1+ε, δ = 11+ε y k(x) = w(x)

(Mf(x))δvale lo que querıamos.

Observacion 25.3. La parte 1. del teorema anterior vale tambien para µ una medida de Borellocalmente finita, con Mµ(x) = supx∈Q

µ(Q)|Q| . Si tomamos como medida a la delta de Dirac,

vale que Mδ(x) = cn|x|n , y por el teorema resulta entonces que 1

|x|nε ∈ A1 para todo 0 ≤ ε < 1o, equivalentemente, |x|α ∈ A1 si −n < α ≤ 0. Observemos que ademas esta condicion esnecesaria, porque sino |x|α deja de ser localmente integrable (si α > 0) o la maximal deja deesta acotada (si α > 0).

Recordando ademas que si w0, w1 ∈ A1 entonces w0w1−p1 ∈ Ap se deduce ademas que |x|α ∈ Ap

si −n < α < n(p− 1), y es claro que esta condicion es ademas necesaria para la integrabilidadlocal de los factores que aparecen en la condicion Ap.

2. Extrapolacion

Teorema 25.4. Sea 1 < r <∞. Si T es un operador tal que para todo w ∈ Ar∫|Tf(x)|rw(x) dx ≤ C

∫|f(x)|rw(x) dx,

2. EXTRAPOLACION 121

entonces, para todo 1 r. En este caso,(∫|Tf(x)|p dx

) rp

= ‖|Tf |r‖ rp

=∫|Tf(x)|ru(x) dx

para alguna u ∈ L( pr

)′ tal que ‖u‖( pr

)′ = 1.

Pero u(x) ≤ (Mus)1s para todo s > 1 y (Mus)

1s ∈ A1 si us ∈ L1

loc. Entonces,∫|Tf(x)|ru(x) dx ≤

∫|Tf(x)|r(Mus(x))

1s dx ≤ C

∫|f(x)|r(Mus(x))

1s dx.

Si ahora llamamos t = (pr )′, elegimos s tal que 1 < s < t y aplicamos la desigualdad de Holdercon exponente p

r , tenemos en definitiva que(∫|Tf(x)|p dx

) rp

≤ C(∫|f(x)|p dx

) rp(∫

(Mus(x))ts dx

) 1t

≤ C(∫|f(x)|p dx

) rp

,

donde para el ultimo paso usamos la acotacion de la maximal en Lts .

Pasemos ahora al caso p < r. Observemos que en este caso |Mf(x)|r−pr−1 ∈ A1, por lo que

|Mf(x)|p−r ∈ Ar. Escribimos entonces∫|Tf(x)|p dx =

∫|Tf(x)|p|Mf(x)|−

pr

(r−p)|Mf(x)|pr

(r−p) dx

≤(∫|Tf(x)|r|Mf(x)|p−r dx

) pr(∫|Mf(x)|

pr

(r−p)( rp

)′dx

) 1( rp )′

=(∫|Tf(x)|r|Mf(x)|p−r dx

) pr(∫|Mf(x)|p dx

) r−pr

≤ C(∫|f(x)|r|Mf(x)|p−r dx

) pr(∫|Mf(x)|p dx

) r−pr

≤ C(∫|f(x)|r|f(x)|p−r dx

) pr(∫|f(x)|p dx

) r−pr

= C

∫|f(x)|p dx.

Observacion 25.5. Es importante notar que en la primera parte de la demostracion solo usamosque T esta acotado en Lr para todo peso A1, por lo que esta hipotesis es suficiente si soloqueremos extrapolar para p > r.

Observacion 25.6. En la demostracion no interviene ninguna propiedad de T mas que la aco-tacion el Lrw, por lo que el enunciado no vale solamente para operadores sino tambien paradesigualdades.

CAPıTULO 26

Clase 26

1. La funcion maximal diadica

Consideramos [0, 1]n y la grilla formada por sus trasladados enteros. Vamos a decir que un cuboQ es un cubo diadico si es un dilatado en 2k, k ∈ Z de uno de estos cubos.

Podemos considerar entonces la funcion maximal diadica,

Mdf(x) = supQ diadico, Q3x

1|Q|

∫Q|f(y)| dy.

Observacion 26.1. Dada f ∈ L1, f ≥ 0, la descomposicion de Calderon-Zygmund se puedehacer tomando solo cubos diadicos, y vale que

Ω = ∪jQj = x : Mdf(x) > λ.

2. Acotaciones con pesos para integrales singulares

Consideramos los operadores tales que para toda f ∈ S, si x 6∈ sop(f) entonces

Tf(x) =∫K(x− y)f(y) dy

acotados en Lp para 1 1, entonces

M#(Tf)(x) ≤ C(M |f |s)1s (x)

Demostracion. Dado un cubo Q tal que x ∈ Q sea Q∗ = 2√nQ. Escribimos f = f1 + f2 con

f1 = fχQ∗ y elegimos a = Tf2(x). Entonces,

1|Q|

∫Q|Tf(y)− a| dy ≤ 1

|Q|

∫Q|Tf1(y)| dy︸︷︷︸(i)

+1|Q|

∫Q|Tf2(y)− Tf2(x)| dx︸︷︷︸

(ii)

124 26. CLASE 26

Por un lado, como s > 1,

(i) ≤(

1|Q|

∫Q|Tf1(y)|s dy

) 1s

≤(

1|Q|

∫Rn|f1(y)|s dy

) 1s

=(

1|Q|

∫Q∗|f(y)|s dy

) 1s

≤ 2(M |f |s)1s (x).

Por otro lado,

|Tf2(y)− Tf2(x)| ≤∫|K(y − z)−K(x− z)||f2(z)| dz.

Como z ∈ (Q∗)c y x, y ∈ Q, si x = x− z y y = x− y, entonces |x| ≥ 2|y|, por lo que

|K(y − z)−K(x− z)| ≤ B|x− y||x− z|n+1

≤ Bl(Q)|x− z|n+1

.

Luego,

(ii) ≤ C

|Q|

∫Q

∫(Q∗)c

l(Q)|x− z|n+1

|f2(z)| dz dy

≤ Cl(Q)∞∑

k=−1

∫2kl(Q)≤|x−z|<2k+1l(Q)

|f(z)||x− z|n+1

dz

≤ Cl(Q)∞∑

k=−1

1(2kl(Q))n+1

∫|x−z|<2k+1l(Q)

|f(z)| dz

≤ Cl(Q)∞∑

k=−1

12kl(Q)

2n

(2k+1l(Q))n

∫|x−z|<2k+1l(Q)

|f(z)| dz

≤ CMf(x)

≤ C(M |f |s)1s (x)

Lema 26.3. Para todo γ > 0 y todo λ > 0,

|x : Mdf(x) > 2λ,M#f(x) < γλ| ≤ 2nγ|x : Mdf(x) > λ|

Demostracion. Como x : Mdf(x) > λ = ∪jQj con Qj diadicos, disjuntos y maximales enel sentido de la descomposicion de Calderon-Zygmund, basta demostrar que la desigualdad valepara uno de estos cubos. O sea que si Q es algun Qj , queremos ver que

|x ∈ Q : Mdf(x) > 2λ,M#f(x) < γλ| ≤ 2nγ|Q|.

Para esto, sea Q∗ = 2Q, entonces sabemos que fQ∗ = 1|Q∗|

∫Q∗ |f(x)| dx ≤ λ.

Por otra parte, si x ∈ Q es tal que Mdf(x) > 2λ, entonces tambien Md(fχQ)(x) > 2λ (por lamaximalidad de Q). Entonces, para estos x, Md((f − fQ)χQ)(x) > λ pues

1|Q|

∫Q|f − fQ∗ | ≥

1|Q|

∫Q|f |︸︷︷︸

>2λ

− 1|Q|

∫QfQ∗︸︷︷︸

≤λ

> λ

2. ACOTACIONES CON PESOS PARA INTEGRALES SINGULARES 125

Pero Md es tipo debil (1, 1) con constante 1, por lo que

|y : Md((f − fQ∗)χQ)(y) > λ| ≤ 1λ‖(f − fQ∗)χQ‖1

≤ 1λ

∫Q|f(y)− fQ∗ | dy

≤ 2n|Q|λ

1|Q∗|

∫Q∗|f(y)− fQ∗ | dy

≤ 2n|Q|λ

M#f(x)

≤ 2n|Q|γ

Lema 26.4. Si w ∈ Ap y 1 < p <∞, entonces∫|Mdf(x)|pw(x) dx ≤ C

∫|M#f(x)|pw(x) dx

siempre que el lado izquierdo de la desigualdad sea finito.

Demostracion. Veamos primero la demostracion en el caso sin pesos (w ≡ 1). En este caso,si el lado izquierdo es finito, escribimos

I =∫ ∞

0pλp−1|x : Mdf(x) > 2λ| dλ

= 2p−1

∫ ∞0

pλp−1|x : Mdf(x) > λ| dλ

≤ 2p∫ ∞

0pλp−1|x : Mdf(x) > λ,M#f(x) ≤ γλ| dλ+ 2p

∫ ∞0

pλp−1|x : M#f(x) > γλ| dλ

≤ 2pC1

∫ ∞0

pλp−1γ|x : Mdf(x) > λ| dλ+ 2p∫ ∞

0pλp−1|x : M#f(x) > γλ| dλ

≤ 2pC1γI + 2p∫ ∞

0p

(λ

γ

)p−1

|x : M#f(x) > λ|1γdλ

y, por lo tanto, eligiendo γ tal que 2pC1γ = 12 obtenemos I ≤ 2 2p

γp ‖M#f‖pp.

Para el caso con pesos, como x : Mdf(x) > λ = ∪jQj , basta ver que si Q es alguno de estosQj , para todo γ > 0 y w ∈ Ap existe δ > 0 tal que

w(x ∈ Q : Mdf(x) > 2λ,M#f(x) ≤ γλ) ≤ Cγδw(Q).

La demostracion es analoga a la del caso anterior usando que si w ∈ Ap entonces para todoS ⊆ Q medible vale que

w(S)w(Q)

≤ C(|S||Q|

)δ(que es consecuencia de la propiedad de Holder inversa).

CAPıTULO 27

Clase 27

1. Acotaciones con pesos para integrales singulares

Teorema 27.1. Sea T es un operador integral singular que se escribe como

Tf(x) =∫K(x− y)f(y) dy

para toda f ∈ S y x 6∈ sop(f), y tal que K cumple

|K(x)| ≤ B|x|−n si |x| > 0|K(x− y)−K(x)| ≤ B|y|

|x−y|n+1 si |x| > 2|y|

Entonces, si T es acotado en Lp, es acotado tambien en Lpw para todo w ∈ Ap y 1 < p <∞.

Demostracion. Consideremos f ∈ L∞ de soporte compacto (estas funciones son densas enLpw). Sabemos que entonces Tf ∈ Lp para todo 1 < p < ∞, y que Tf(x) ≤ Md(Tf)(x) encasi todo punto. Entonces, por los lemas anteriores, si

∫(Md(Tf)(x))pw(x) dx < +∞ podemos

escribir ∫|Tf(x)|pw(x) dx ≤

∫|(Md(Tf)(x))pw(x) dx

≤ C∫

(M#(Tf))pw(x) dx

≤ C∫M(|f |s)

ps dx

si s > 1. Pero sabemos que existe s (dependiendo de w) tal que 1 < s < p y w ∈ A ps, por lo que

eligiendo este s obtenemos ∫|Tf(x)|pw(x) dx ≤ C

∫|f |p dx.

Falta entonces ver que efectivamente Md(Tf) ∈ Lpw, ası que bastara probar que Tf ∈ Lpw. Paraesto, si sop(f) ⊆ B(0, R) escribimos∫

|Tf(x)|pw(x) dx =∫|x|<2R

|Tf(x)|pw(x) dx︸︷︷︸(i)

+∫|x|≥2R

|Tf(x)|pw(x) dx︸︷︷︸(ii)

.

128 27. CLASE 27

Por un lado tenemos que

(i) ≤

(∫|x|<2R

(w(x))1+ε dx

) 11+ε(∫|x|<2R

|Tf(x)|p(1+ε)ε

) 1+εε

Basta observar entonces que el primer factor es acotado para ε suficientemente chico por lapropiedad de Holder inversa, mientras que el segundo es acotado porque como f ∈ L∞ tienesoporte compacto, entonces f ∈ L

p(1+ε)ε (y luego Tf tambien).

Para acotar (ii), notemos primero que como |x| ≥ 2R y |y| ≤ R, entonces |x−y| ≥ |x|−|y| ≥ |x|2 .Luego,

|Tf(x)| =∣∣∣∣∫ K(x− y)f(y) dy

∣∣∣∣ ≤ B ∫|y|≤R

|f(y)||x− y|n

dy ≤ 2nB∫|y|≤R

|f(y)||x|n

dy ≤ C

|x|n

donde la constante depende de B,n y tambien de f . Entonces

(ii) ≤∫|x|≥2R

|Tf(x)|pw(x) dx

≤ C∫|x|≥2R

w(x)|x|np

dx

=∞∑k=1

∫2kR<|x|<2k+1R

w(x)|x|np

dx

≤ C∞∑k=1

(2kR)−npw(B(0, 2k+1R))

Como w ∈ Ap, sabemos que w ∈ Ap−ε para algun ε > 0, por lo que dado un cubo Q,

w(Q)(|S||Q|

)p−ε≤ w(S) para todo S ⊆ Q medible. Aplicando esta propiedad para bolas, tene-

mos entonces que w(B(0, 2k+1R)) ≤ C(2kR)n(p−ε) y reemplazando en la cadena de acotacionesanteriores la serie resulta convergente.

Es importante destacar que es necesario usar que w ∈ Ap implica w ∈ Ap−ε, ya que sino elargumento anteior no servirıa para acotar la serie.

Teorema 27.2. Con las mismas hipotesis del teorema anterior sobre T , si w ∈ A1 entonces

w(x : |Tf(x)| > λ) ≤ C

λ

∫|f(x)|w(x) dx.

Demostracion. Esta demostracion es analoga a la de la acotacion sin pesos. Para cada λhacemos la descomposicion de Calderon-Zygmund de f = g + b, y acotamos por separadow(x : |Tg(x)| > λ) y w(x : |Tb(x)| > λ).

Por un lado, usando que w ∈ A1 ⊆ A2 y que g(x) ≤ Cλ en casi todo punto, tenemos que

w(x : |Tg(x)| < λ) ≤∫|Tg(x)|2

λ2w(x) dx ≤ C

∫|g(x)|2

λ2w(x) dx ≤ C

∫|g(x)|λ

w(x) dx

1. ACOTACIONES CON PESOS PARA INTEGRALES SINGULARES 129

Ahora, como

g(x) =f(x) en (∪Qj)cfQj en Qj

tenemos que ver que ∫Qj

|g(x)|λ

w(x) dx ≤∫Qj

|f(x)|λ

w(x) dx

Pero ∫Qj

|g(x)|w(x) dx ≤∫Qj

(1|Qj |

∫Qj

|f(y)| dy

)w(x) dx

=∫Qj

|f(y)|w(Qj)|Qj |

dy

≤ C∫Qj

|f(y)|w(y) dy

usando en la ultima desigualdad que w ∈ A1.

Por otro lado, si Q∗j = 2√nQj , tenemos que

w(∪jQ∗j ) ≤ C∑j

w(Qj) = C∑j

w(Qj)|Qj |

|Qj | ≤C

λ

∑j

∫Qj

|f(y)|w(y) dy

donde usamos nuevamente que w ∈ A1 y las propiedades de los cubos de Calderon-Zygmund.

Entonces solo falta acotar

w(x ∈ (∪Q∗j )c : |Tb(x)| > λ) ≤ C

λ

∑j

∫(Q∗j )c

|Tbj(x)|w(x) dx

Pero usando que∫bj = 0, si llamamos cj al centro del cubo Qj ,

Tbj(x) =∫Qj

(K(x− y)−K(x− cj))bj(y) dy,

de donde

|Tbj(x)| ≤∫Qj

|K(x− y)−K(x− cj)||bj(y)| dy

≤ C∫Qj

|y − cj ||x− cj |n+1

|bj(y)| dy

≤ C∫Qj

l(Qj)|x− cj |n+1

|bj(y)| dy

130 27. CLASE 27

y entoncesC

λ

∑j

∫(Q∗j )c

|Tbj(x)|w(x) dx ≤ C

λ

∑j

∫(Q∗j )c

∫Qj

|bj(y)| l(Qj)|x− cj |n+1

w(x) dx dy

=C

λ

∑j

∫Qj

|bj(y)|∫

(Q∗j )cl(Qj)

w(x)|x− cj |n+1

dx︸︷︷︸(∗)

dy

Afirmamos que (∗) ≤ CMw(y) si y ∈ Qj , de donde, como w ∈ A1,

|Tbj(x)| ≤ C

λ

∑j

∫Qj

|bj(y)|Mw(y) dy ≤ C

λ

∑j

∫Qj

|bj(y)|w(y) dy

Como bj(x) = (f(x)− fQj )χQj (x), entonces∫Qj

|bj(y)|w(y) dy ≤∫Qj

|f(y)− 1|Qj |

∫Qj

f |w(y) dy

≤∫Qj

|f(y)|w(y) dy +1|Qj |

∫Qj

∫Qj

|f(z)| dzw(y) dy

≤∫Qj

|f(y)|w(y) dy +∫Qj

|f(z)|w(Qj)|Qj |

dz

≤∫Qj

|f(y)|w(y) dy +∫Qj

|f(z)|w(z) dz

lo que concluye la demostracion si probamos nuestra afirmacion sobre (∗). Para esto, notemosque ∫

(Q∗j )c

w(x)|x− cj |n+1

dx ≤∫|x−cj |>l(Qj)

w(x)|x− cj |n+1

dx

=∞∑m=0

∫l(Qj)2m<|x−cj |≤l(Qj)2m+1

w(x)|x− cj |n+1

dx

≤ C∞∑m=0

(2ml(Qj))−(n+1)w(B(cj , l(Qj)2m+1))

≤ C∞∑m=0

(2ml(Qj))−1w(B(cj , l(Qj)2m+1))|B(cj , l(Qj)2m+1)|

≤ C∞∑m=0

(2ml(Qj))−1Mw(y)

≤ C

l(Qj)Mw(y)

como querıamos.

CAPıTULO 28

Clase 28

1. Derivadas en integrales fraccionarias

Nos proponemos estudiar los espacios de Sobolev, que se definen para un abierto Ω ⊂ Rn,1 ≤ p ≤ ∞ y k ∈ N0 por

W k,p(Ω) = f ∈ Lp(Ω) : Dαf ∈ Lp(Ω) para todo multiındice |α| ≤ k.

Este es un espacio de Banach con la norma

‖f‖Wk,p(Ω) =

∑|α|≤k

‖Dαf‖p

1p

.

En particular, probaremos que valen los teoremas de inmersion de Sobolev, de los que el siguientees un caso particular:

Lema 28.1. W 1,1(R) ⊆ L∞(R).

Demostracion. Si f ∈ C1 tiene soporte compacto, por la regla de Barrow

f(x) =∫ ∞

0f ′(x− t) dt

de donde es inmediato que ‖f‖∞ ≤ ‖f ′‖1. En general se hace por densidad.

Para dimension n > 1 no es cierto que W 1,1(Rn) ⊆ L∞(Rn), pero veremos que sı existe q > 1(que depende de n) tal que esta incluıdo en Lq(Rn). Para eso necesitamos generalizar la reglade Barrow a mas variables.

Consideremos entonces f ∈ C∞0 (Rn). Dado x ∈ Rn y σ ∈ Sn−1 definimos g(t) = f(x − tσ).Entonces

f(x) = g(0) = −∫ ∞

0g′(t) dt =

n∑j=1

∫ ∞0

∂f

∂xj(x− σt)σj dt

132 28. CLASE 28

Integrando en Sn−1 tenemos que

f(x) =n∑j=1

1|Sn−1|

∫Sn−1

∫ ∞0

∂f

∂xj(x− tσ)

σjtn−1

tn−1 dt dσ

=n∑j=1

1|Sn−1|

∫Rn

∂f

∂xj(x− y)

yj|y|n

dy

=1

|Sn−1|

∫Rn∇f(x− y) · y

|y|ndy

Para definir una nocion de derivada (e integral) fraccionaria, recordemos que

∂f

∂xj= [(−2πiξj)f(ξ)]ˇ

Esto nos permite definir, para cualquier s ∈ R, la derivada de orden s como

(−∆f)s2 = ((2π|ξ|)sf)ˇ.

La inversa de este operador es (salvo constantes) la integral fraccionaria, o sea el operador

f →(cn|ξ|s

f

).

Lema 28.2. Si 0 < α < n, entonces ( 1|ξ|α )(x) = cn

1|x|n−α .

Demostracion. Sale usando que la transformada de una funcion radial es radial y que latransformada de una funcion homogenea de grado −α es homogenea de grado α− n.

Definicion 28.3. Para 0 < α < n, definimos la integral fraccionaria de f en x (en principiopara f ∈ S) por

Iα(x) =∫

Rn

f(y)|x− y|n−α

dy.

Observacion 28.4. Por lo que vimos anteriormente, vale que cn(−∆)−α2 = Iα y que |f(x)| ≤

cnI1(|∇f |)(x)

2. Condicion necesaria para la continuidad de la integral fraccionaria

Supongamos que ‖Iαf‖q ≤ C‖f‖p para toda f ∈ Lp(Rn) con C independiente de f . Entonces,dada f ∈ Lp podemos considerar, para λ > 0, fλ(x) = f(λx) y tenemos que

‖fλ‖p =(∫|f(xλ)|p dx

) 1p

=(∫|f(y)|pλ−n dy

) 1p

= λ−np ‖f‖p.

Por otro lado,

Iαfλ(x) =∫

Rn

f(λy)|x− y|n−α

dy =∫

Rn

f(z)|x− λ−1z|n−α

λ−α dz = λ−αIαf(λx)

2. CONDICION NECESARIA PARA LA CONTINUIDAD DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA 133

de donde‖λ−αIαf(λx)‖q = λ−α‖(Iαf)λ‖q = λ

−α−nq ‖Iαf‖q.

Deducimos entonces que para todo λ > 0

λ−α−n

q ‖Iαf‖q ≤ Cλ−np ‖f‖p

de donde se sique que debe ser α+ nq = n

p o, equivalentemente, 1q = 1

p −αn .

Veremos que esta condicion es ademas suficiente salvo en los casos q =∞ o p = 1. Si la acotacionvaliera en el caso p = 1, tendrıamos que, en particular,

‖Iαfk(x)‖ nn−α≤ C‖fk‖1

con fk aproximaciones de la identidad, es decir, tales que fk ≥ 0,∫fk = 1 y sop(fk) = (− 1

k ,1k ).

Como ∫fk(y)

|x− y|n−αdy → C

|x|n−α,

entonces resultarıa que (|x|−(n−α))n

n−α = |x|−n es integrable, que es absurdo.

CAPıTULO 29

Clase 29

1. Continuidad de la integral fraccionaria

Teorema 29.1. Sean 0 < α < n y 1 ≤ p < q <∞ tales que 1q = 1

p −αn . Entonces vale

Si f ∈ Lp(Rn), la integral que define Iα es absolutamente convergente para casi todo x.Si p > 1,

‖Iαf‖q ≤ C‖f‖pSi p = 1,

|x : |Iαf(x)| > λ| ≤(C‖f‖1λ

) nn−α

Demostracion. Sea K(x) = 1|x|n−α . Escribimos entonces K = K1 + K∞ con K1 = Kχ|x|≤µ

donde µ es una constante positiva a elegir.

Para ver el primer punto, basta tomar µ = 1 y observar que tanto∫K1(x − y)f(y) dy como∫

K∞(x− y)f(y) dy son absolutamente convergentes para casi todo x.

En efecto, por un lado, como K1 ∈ L1 y f ∈ Lp, K1 ∗ f ∈ Lp y la integral es absolutamenteconvergente para casi todo x. Por otro lado, afirmamos que K∞ ∈ Lp

′, de donde se sigue que

|(K∞ ∗ f)(x)| ≤ ‖K∞‖p′‖f‖p. Que K∞ ∈ Lp′

es equivalente a ver que (n − α)p′ > n, es decirp′ > n

n−α . Pero esto se sigue de la relacion 1q = 1

p −αn , ya que

1p′

= 1− α

n− 1q

=n− αn− 1q<n− αn

.

Para ver que valen las otras afirmaciones del enunciado vamos a probar que para p, q como enel enunciado vale

|x : |(K ∗ f)(x)| > 2λ| ≤(C‖f‖pλ

)q. (29.52)

por lo que el tipo debil (1, nn−α) va a resultar un caso particular, y el tipo fuerte para p > 1

va a ser consecuencia del teorema de Marcinkiewicz. Para ver (29.52) consideramos como antesK = K1 +K∞ con µ a determinar. Tenemos entonces que

|x : |(K ∗ f)(x)| > 2λ| ≤ |x : |(K1 ∗ f)(x)| > λ|︸︷︷︸(i)

+ |x : |(K∞ ∗ f)(x)| > λ|︸︷︷︸(ii)

136 29. CLASE 29

Por un lado,

(i) ≤(‖K1 ∗ f‖p

λ

)p≤(

1λ‖K‖1‖f‖p

)p≤(Cµα‖f‖p

λ

)pya que

‖K1‖1 =∫|x|≤µ

1|x|n−α

dx = C

∫ µ

0

rn−1

rn−αdr = C

∫ µ

0rα−1 dr = Cµα.

Por otro lado,‖K∞ ∗ f‖∞ ≤ ‖K∞‖p′‖f‖p ≤ Cµ−

nq ‖f‖p

ya que

‖K∞‖p′

p′ =∫|x|>µ

1|x|(n−α)p′

dx = C

∫ ∞µ

rn−1

r(n−α)p′dr = C

∫ ∞µ

r−1−np

′q dr = Cµ

−np′q ,

donde en la anteultima desigualdad usamos que

1q

=1p− α

n=n− αn− 1p′

⇒ p′(n− α) =p′n

q+ n.

Ahora, notemos que podemos suponer ‖f‖p = 1, por lo que resulta‖K∞ ∗ f‖∞ ≤ Cµ−nq , y

eligiendo µ tal que Cµ−nq = λ resulta que (ii) = 0.

En consecuencia,

|x : |(K ∗ f)(x)| < 2λ| ≤(Cµα

λ

)p=(

C

λqα

+1

)p=

C

λ(αn

+ 1q

)pq=C

λq,

como querıamos.

Esto concluye la demostracion del tipo debil (p, q) y, en particular, del tipo debil (1, nn−α). Si

ahora p > 1, podemos elegir p1 > p y tenemos que Iα es tambien de tipo debil (p1, p∗1), donde

p∗1 cumple la relacion 1p∗1

= 1p1− α

n . Por el teorema de Marcinkiewicz, si 1p = θ + 1−θ

p1, resulta

entonces que Iα es de tipo fuerte (p, q) con 1q = θ

1∗ + 1−θp∗1

, por lo que basta ver que este q esel que cumple la relacion del teorema. Mas facilmente, se puede usar que ya probamos que larelacion entre p, q, n y α que queremos era necesaria, por lo que sabemos de antemano que q lava a cumplir.

2. Teoremas de inmersion de Sobolev

Recordemos que para 1 ≤ p ≤ ∞,

W k,p(Rn) = f ∈ Lp : Dαf ∈ Lp para todo |α| ≤ k.

Teorema 29.2. Sea f ∈W 1,p(Rn). Entonces:

Si 1 ≤ p < n, W 1,p ⊂ Lq para 1q = 1

p −1n .

Si p = n, W 1,n 6⊂ L∞, pero sı vale que W 1,n ⊂ Lrloc para todo r <∞.Si p > n, f es continua (es decir, admite un representante continuo).

2. TEOREMAS DE INMERSION DE SOBOLEV 137

Demostracion. Supongamos primero que 1 < p < n y 1q = 1

p−1n . Como C∞0 es denso en W k,p,

basta demostrar que ‖f‖Lq ≤ ‖f‖W 1,p para toda f ∈ C∞0 . Pero

f(x) = cn

∫∇f(y) · (x− y)

|x− y|ndy,

de donde |f(x)| ≤ cnI1(|∇f |)(x) y entonces ‖f‖Lq ≤ cn‖I1(|∇f |)‖Lq ≤ C‖∇f‖Lp . El caso p = 1lo dejamos para mas adelante.

Pasemos ahora al caso p = n, y consideremos fm → f en W 1,p, fm ∈ C∞0 . Dado K compacto,consideremos η ∈ C∞0 (B(0, R)). Entonces, para todo x ∈ K y R suficientemente grande,

|ηfm(x)| ≤ cn∫|y|≤R

|∇(ηfm)(x− y)||y|n−1

dy.

Recordemos que por la desigualdad de Young generalizada, si 1r = 1

p + 1s −1, entonces ‖h∗g‖r ≤

‖h‖p‖g‖s. Entonces podemos tomar h(x) = |∇(ηfm)(x)| y g(x) = 1|x|n−1χB(0,r)(x) siempre que

g ∈ Ls, pero esto es equivalente a que s(n− 1) < 1, y como r <∞, entonces1p

+1s− 1 > 0 ⇒ 1

s> 1− 1

p= 1− 1

n=n− 1n

.

Por lo tanto‖fm‖Lr(K) ≤ CK‖fm‖W 1,p ,

pero como fm → f en W 1,p, entonces fm es de Cauchy en W 1,p y, por lo tanto, en Lr(K), yaque

‖fm − fl‖Lr(K) ≤ C‖fm − fl‖W 1,p .

Luego fm → f en Lr(K), pero como fm → f en Lp(K) entonces f = f , como querıamos ver.

Por ultimo, si p > n, para usar la desigualdad de Holder donde antes usamos la de Young esclaro que basta ver que p′(n− 1) < n. Pero

1p′

= 1− 1p> 1− 1

n⇔ p < n,

y por lo tanto la convolucion que tenemos es entre una funcion de Lp y otra de Lp′, y por lo

tanto resulta ser una funcion continua. Como las fm ademas convergen uniformemente, entoncesel lımite es una funcion continua.

CAPıTULO 30

Clase 30

Nos faltaba probar el caso p = 1, n > p del teorema de inmersion de Sobolev. Para eso vamos ausar el siguiente lema:

Lema 30.1. Sea n ≥ 2 y sean f1, . . . , fn ∈ Ln−1(Rn−1). Si para x ∈ Rn definimos

xi = (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn),

entonces,

f(x) = f1(x1) . . . fn(xn)

y ademas

‖f‖L1(Rn) ≤n∏i=1

‖fi‖Ln−1(Rn−1)

Demostracion. Por induccion en n.

Si n = 2, f1, f2 ∈ L1(R) y f(x1, x2) = f1(x2)f2(x1). Entonces,∫R2

|f(x1, x2)| dx =∫

R2

|f1(x2)||f2(x1)| dx = ‖f1‖L1(R)‖f2‖L1(R)

Supongamos que la afirmacion vale para n, y que ahora f(x) = f1(x1) . . . fn(xn)fn+1(xn+1).Fijado xn+1 tenemos que, usando la desigualdad de Holder y la hipotesis inductiva,∫

Rn|f(x)| dx1 . . . dxn =

∫Rn|f1(x1) . . . fn(xn)||fn+1(xn+1)| dx1 . . . dxn

≤ ‖fn+1‖Ln(Rn)

(∫Rn|f1 . . . fn|n

′dx1 . . . dxn

) 1n′


(n∏i=1

‖|fi|n′‖Ln−1(Rn−1)

) 1n′

= ‖fn+1‖Ln(Rn)

n∏i=1

‖fi‖Ln(Rn−1)

140 30. CLASE 30

Entonces, si definimos gi(xn+1) = ‖fi‖Ln(Rn−1), resulta que gi ∈ Ln(R) y g1 . . . gn ∈ Ln(Rn−1).Por lo tanto, ∫

Rn+1

|f(x)| dx1 . . . dxn+1 =∫

R‖fn+1‖Ln(Rn)

n∏i=1

‖fi‖Ln(Rn−1) dxn+1

= ‖fn+1‖Ln(Rn)

∫R

n∏i=1

‖fi‖Ln(Rn−1) dxn+1


(n∏i=1

∫Rn|fi|n dx

) 1n

=n+1∏i=1

‖fi‖Ln(Rn)

donde para la ultima desigualdad usamos el Holder generalizado con exponentes 1 = 1n + · · ·+ 1

n .

Teorema 30.2. Si f ∈W 1,1(Rn) y n ≥ 2, entonces ‖f‖L

nn−1≤ C‖∇f‖L1 .

Demostracion. Por densidad, basta verlo para f ∈ C∞0 . Como

f(x1, . . . , xn) =∫ x1

−∞

∂f

∂x1(t, x2, . . . , xn) dt,

entonces,

|f(x1, . . . , xn)| ≤∫ ∞−∞

∣∣∣∣ ∂f∂x1(t, x2, . . . , xn)

∣∣∣∣ dty, analogamente,

|f(x1, . . . , xn)| ≤∫ ∞−∞

∣∣∣∣ ∂f∂xi (x1, . . . , t︸︷︷︸i

, . . . , xn)∣∣∣∣ dt.

Si definimos fi(xi) como esta ultima integral, por el lema anterior

|f(x)|n ≤n∏i=1

fi(xi)

y entonces, elevando a la 1n−1 a ambos lados e integrando,∫

|f(x)|nn−1 dx ≤

n∏i=1

‖fi(xi)1

n−1 ‖Ln−1(Rn−1) =n∏i=1

‖fi(xi)‖1

n−1

L1(Rn−1)=

n∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n−1

L1(Rn)

.

Por lo tanto,

‖f‖L

nn−1 (Rn)

≤n∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

L1(Rn)

≤ ‖∇f‖L1(Rn) (30.53)

Observacion 30.3. El caso 1 < p < n tambien se puede deducir del caso p = 1.

30. CLASE 30 141

Demostracion. Si t ≥ 1 aplicamos la primer desigualdad de (30.53) a |f |t−1f y tenemos que∣∣∣∣ ∂∂xi (|f |t−1f)∣∣∣∣ ≤ tf t−1

∣∣∣∣ ∂f∂xi∣∣∣∣ .

Entonces,

‖f‖tLt nn−1≤ t

n∏i=1

∣∣∣∣|f |t−1 ∂f

∂xi

∣∣∣∣ 1n

L1

≤ tn∏i=1

‖f‖t−1n

Lp′(t−1)

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

Lp= t‖f‖t−1

Lp′(t−1)

n∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

Lp

y eligiendo t tal que t nn−1 = p∗ = np

n−p se obtiene (despejando) que

‖f‖Lp∗ ≤ Cn∏i=1

∥∥∥∥ ∂f∂xi∥∥∥∥ 1n

Lp≤ C‖∇f‖Lp .

Teorema 30.4. Si f ∈W 1,p(Rn) y p > n, entonces f ∈ C1,1−np , es decir

|f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|1−np .

Demostracion. Sea ϕ ∈ C∞0 ,∫ϕ = 1 y ϕt(x) = 1

tnϕ(xt ). Sabemos que entonces f ∗ ϕt → fcuando t→ 0.

Si definimos F (x, t) = (f ∗ ϕt)(x), podemos escribir

f(x)− f(y) = f(x)− (f ∗ ϕt)(x)︸︷︷︸(i)

+ (f ∗ ϕt)(x)− (f ∗ ϕt)(y)︸︷︷︸(ii)

+ (f ∗ ϕt)(y)− f(y)︸︷︷︸(iii)

.

Entonces, para t fijo

|(ii)| = |F (x, t)− F (y, t)| ≤ ‖∇xF‖∞|x− y| ≤ Ct−np ‖∇f‖Lp (30.54)

donde en la ultima desigualdad usamos que∣∣∣∣ ∂F∂xj (x, t)∣∣∣∣ =

∣∣∣∣( ∂f

∂xj∗ ϕt

)(x)∣∣∣∣ ≤ ∥∥∥∥ ∂f∂xj

∥∥∥∥Lp‖ϕt‖Lp′

y que

‖ϕt‖p′

Lp′=∫|ϕt|p

′dx =

∫1tnp′

∣∣∣ϕ(xt

)∣∣∣p′ dx =∫

tn

tnp′|ϕ(y)|p′ dy = ‖ϕ‖p

′

Lp′tn(1−p′),

de donde se sigue que ‖ϕt‖Lp′ = Ct−np .

Tomando t = |x− y|, por (30.54) tenemos entonces que |(ii)| ≤ C|x− y|1−np ‖∇f‖Lp .

Nos falta acotar (i) y (iii) (que son claramente analogos). Para esto vamos a usar un truco quese debe a Calderon, y que consiste en observar que

∂ϕt∂t

= −n∑j=1

∂((xjϕ)t)∂xj

apuntes de analisis armonico drelichman y duran.pdf

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