fisica 2 movimiento armonico

8/16/2019 FISICA 2 Movimiento Armonico

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Facultad de Ingeniería Pesquera y AlimentosEscuela Profesional de Ingenieria de Alimentos

Grupo Horario: 9 G Alumnos:

Tucto .illegas$ /arol lisset &'(')&(0

Solis Han+a!a1a$2icole 3imena &'())94 Palomino 5rti# Francia ,arum" &'())0&

62I.78SI%A%2ACI52A %7



Universidad Nacional del Callao

MOVIMIENTOARMÓNIO

!IMP"E

Física II P#gina $




INTRODUCCIÓN

Las oscilaciones o vibraciones se presentan en la Naturaleza con muchafrecuencia. Ejemplos de oscilaciones son el movimiento de una cuerda de

guitarra tras pulsarla, o de cualquier otro instrumento de cuerda, o el del muelleestirado una vez que se deja libre uno de sus extremos, as como cualquier otro material el!stico. "ediante las oscilaciones de un p#ndulo se pudoempezar a medir los intervalos de tiempo de una manera fiable $ reproducible.

En la actualidad, tambi#n hablamos de oscilaciones al referirnos a laproducci%n de ondas electromagn#ticas de radio, televisi%n o la telefona m%vil&o dentro de la teora at%mico'molecular al se(alar el movimiento vibratorio de!tomos $ mol#culas en un cristal.

Un tipo particular de fuerza que act)a sobre un cuerpo adherido a un resorteque se presenta frecuentemente en la pr!ctica, es la fuerza el!stica que seorigina siempre que se deforme el resorte, cuando desplazado de su posici%nde equilibrio se observa que efect)a oscilaciones alrededor de su posici%n deequilibrio& las ecuaciones de movimiento que describe la din!mica del cuerpoes de segundo orden cu$a soluci%n es una funci%n senoidal, que en algunoscasos se les denominan *arm%nicos+, por ello a ese tipo de movimiento sellama *movimiento arm%nico+.

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II. OBJETIVO

eterminar experimentalmente el periodo $ la frecuencia de oscilaci%n

del sistema.

-erificar las ecuaciones din!micas $ cinem!ticas que rigen el

movimiento arm%nico para el sistema masa'resorte.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO

Física II P#gina &




El movimiento de oscilaci%n m!s

sencillo es el movimiento arm%nico

simple "/01, que se repiteperi%dicamente sin p#rdida de energa,

es decir, manteniendo la amplitud o

m!xima separaci%n de la partcula

oscilante respecto de su posici%n de

equilibrio. icha amplitud, A, $ el

periodo, T tiempo que tarda la

partcula en realizar cada oscilaci%n

completa1 determinan el "/0. En

lugar del periodo, T , a menudo se

caracteriza el "/0 por la frecuencia, f ,

igual al n)mero de oscilaciones

realizadas en un segundo.

2ara establecer la fuerza que produce un "/0 pensamos en un muelle

el!stico, donde la fuerza que tenemos que ejercer para producirle unaelongaci%n, x , se expresa mediante la le$ de 3oo4e 5678'59571 es decir, es

ma$or cuanto ma$or es dicha elongaci%n F aplicada = K*x , siendo K una

constante que representa a la elasticidad del muelle1.

/l estirar el muelle, #l tira de

nuestra mano con una

fuerza de recuperaci%n igual$ de sentido opuesto

F muelle = -K·x 1. espu#s de

soltarlo, la fuerza de

recuperaci%n mantiene el

movimiento de oscilaci%n.

En estas condiciones, si el

muelle fuera perfectamente

el!stico, el movimiento de

oscilaci%n sera arm%nico

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http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke

http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke




simple.

Las ecuaciones de un "/0 se pueden obtener relacionando la fuerza de

recuperaci%n de un muelle con la aceleraci%n $ #sta con la velocidad $ la

elongaci%n.

0e obtiene que las tres magnitudes posici%n, velocidad $ aceleraci%n1 tienen

una dependencia sinusoidal respecto del tiempo, siendo las gr!ficas que

representan su evoluci%n similares, si bien, la velocidad se desfasa un cuarto

de periodo respecto de la elongaci%n la velocidad es nula en las posiciones

extremas, d%nde es m!xima la elongaci%n1, $ la aceleraci%n se desfasa medio

periodo respecto de la elongaci%n, siendo proporcional $ de signo opuesto a

#sta en todo momento, la fuerza $ con ella la aceleraci%n, se opone a la

elongaci%n1.

Resortes:

La 0egunda Le$ de Ne:ton establece que ; < m=a donde m es la masa $ a la

aceleraci%n. La aceleraci%n se define como el cambio de la velocidad respecto

al tiempo. La velocidad es el cambio de la posici%n respecto al tiempo. Esto

implica que>

?, por lo tanto, la 0egunda Le$ de Ne:ton se puede escribir como>

Física II P#gina (




0e busca una funci%n, x, cu$a segunda derivada sea igual a la misma funci%n

con signo contrario $ multiplicado por una constante. 0e propone la siguiente

funci%n trigonom#trica como soluci%n>

0ustitu$endo en la ecuaci%n anterior se obtiene>

onde recibe el nombre de frecuencia angular. @ es la frecuencia

representa el n)mero de oscilaciones o ciclos por unidad de tiempo $ se

relaciona con la frecuencia angular como A < B@ .

0ea D al perodo de oscilaci%n del movimiento arm%nico simple, esto es, el

tiempo requerido para completar un viaje redondo, definimos D como>

Física II P#gina )




IV. EQUIPOS Y MATERIALES

N escripci%n c%digo cantidad

5 0ensor de movimiento C'69FB 5B Gesorte de metal 5

7 Gegla milimetrada C'66H5 5

F balanza 5

8 nterfase 5

6 -arilla met!lica de F8cm "E'I976 5

9 Jase de varilla largo "E'I978 5

I "asa de 5KKg 9

V. PROCEDIMIENTO

2GCE"END ? /CD-/E0

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a. -erificar la conexi%n $ encendido de la interfase.b. ngresar el programa ata 0tudio $ seleccionar *crear experimento+.c. 0eleccionar el sensor de movimiento de la lista de sensores $ efectuar la

conexi%n usando los cables para transmisi%n de datos de acuerdo a lo

indicado por ata 0tudio.d. Efect)e la calibraci%n para el sensor de movimiento indicando una

frecuencia de muestreo de 7K 3z.e. Menere un gr!fico para cada uno de los par!metros medidos por el

sensor de movimiento posici%n, velocidad $ aceleraci%n1.f. Gealice el montaje de accesorios $ sensores tal como se observa en la

figura.

PRIMERA ACTIVIDAD: Determinai!n "e #a $n%tante "e E#a%tii"a"

a. etermine la posici%n de elongaci%n natural del resorte.b. Coloque diferentes masas en el porta pesos, el cual deber! ser pesado

previamente.c. etermine la elongaci%n en cada peso.d. Gegistre sus datos en las tabla 5.e. Gepita el proceso para cada masa.f. Mrafique peso vs. elongaci%n usando ata 0tudio.g. etermine la pendiente $ calcule la constante el!stica del resorte 4.

Dabla 5

Ma%a &'() *.*+ *., *.,+ *.- *.-+ *. *.+

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E#$n(ai$ne% &m)

K.KKF K.K5 K.K56 K.KBB K.KBI K.K7F K.KF5

Constante de elasticidad 4> IK,5HB9I Nm

SE/UNDA ACTIVIDAD: Determinai!n "e# 0eri$"$ 1 #a 2re3enia "e$%i#ai!n

a. 0eleccione una masa de 5KKg col%quela en el porta pesas de modo queel sistema permita oscilaciones en una sola direcci%n.

b. etermine la posici%n de equilibrio, luego estire ligeramente el resorte $d#jelo oscilar, continuaci%n pulse el bot%n inicio para registrar laslecturas de posici%n, velocidad $ aceleraci%n respecto al tiempo.

c. Configure la calculadora para graficar peso versus elongaci%n $ no pesoversus posici%n.

d. ;inalizada la toma de datos despu#s de cinco segundos $ haciendo usode la herramienta inteligente sobre las gr!ficas generadas calcule losiguiente> amplitud de la oscilaci%n, periodo de la oscilaci%n $ frecuenciade oscilaci%n.

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/mplitud> A =

0.047

2=0.0235

2eriodo :T =2π √0.1+

0.012

3

80,19278=0.7221

;recuencia : f =

1

T =1.385

e. 0i desea mover el plano, coloque el mouse en la posici%n de cualquier eje $ haga un arrastre horizontal o vertical cuando aparezca el smbolode forma de mano.

f. 2ara construir el diagrama de fase seleccione el grafico posici%n vs.Diempo, luego seleccione el grafico velocidad vs. Diempo $ arr!strelosobre la abscisa t, del grafico posici%n vs. Diempo.

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VI. CONCLUSIONES Y SU/ERENCIAS

0e determino el periodo $ la frecuencia de oscilaci%n gracias a los

equipos, materiales $ el programa ata 0tudio que se realizo en el

laboratorio

0e llega a la conclusi%n que todo movimiento arm%nico tambi#n tiene

movimiento circular.

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0e verifico las ecuaciones del movimiento arm%nico derivando la

velocidad respecto al tiempo $ luego, la aceleraci%n derivando la

expresi%n de la velocidad $ tambi#n utilizando el Bda le$ de ne:ton.

VII. BIBLIO/RAFIA

http>intercentres.edu.gva.esiesleonardodavinci;isica"/0"/0K7.htm

http>oceanologia.ens.uabc.mxOfisica;0C/PL/J"ovimiento/rm

Q;7nico.pdf

CUESTIONARIO

5. RCu!l es el valor de la aceleraci%n de un oscilador con amplitud / $

frecuencia ; cuando su velocidad es m!ximaS

En cualquier movimiento, si la velocidad es m!xima es porque el cuerpo

no acelera m!s, por lo tanto la aceleraci%n es nula.

Física II P#gina $%

http://intercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/MAS/MAS03.htm

http://oceanologia.ens.uabc.mx/~fisica/FISICA_II/LAB/MovimientoArm%F3nico.pdf


http://intercentres.edu.gva.es/iesleonardodavinci/Fisica/MAS/MAS03.htm






En el oscilador, la velocidad es m!xima cuando pasa por la posici%n de

equilibrio. Centro de oscilaci%n1

"atem!ticamente>

x < /.cos :t1& derivamos>

v < dxdt < ' /.:.sen :t1& derivamos nuevamente>

a < dvdt < ' /.:B.cos :t1 < ' :B.x

e ac! que cuando x < K, a < K

B. R2ueden tener el mismo sentido la aceleraci%n $ el desplazamiento en

un movimiento arm%nico simpleS RLa aceleraci%n $ la velocidadS RLa

velocidad $ el desplazamientoS

En el movimiento arm%nico simple, la aceleraci%n tiene la misma direcci%n que

el desplazamiento, pero siempre con el sentido opuesto. Esto es consecuencia

de que en el sistema de referencia est!ndar& cuando el cuerpo se encuentra en

la posici%n correspondiente al desplazamiento cero, tambi#n la aceleraci%n es

cero $ la velocidad es m!xima& a partir de este punto, si la velocidad es positiva

el desplazamiento comenzara a crecer positivamente con el tiempo& pero en

este proceso, ira apareciendo una fuerza en direcci%n opuesta al

desplazamiento $ a la velocidad, que ira frenando el cuerpo, hasta alcanzar una

velocidad igual a cero, un desplazamiento positivo m!ximo $ una aceleraci%n

negativa m!xima en valor absoluto. espu#s la misma fuerza que freno al

cuerpo, comenzara a acelerarlo negativamente, de ese modo se generara una

velocidad negativa que ir! aumentando en valor absoluto, hasta llegar al

desplazamiento cero, donde tendr! la velocidad m!xima negativa $ de nuevo

una aceleraci%n igual a cero. ;ue necesario que la fuerza $ aceleraci%n tuviera

el signo contrario que el desplazamiento, para que el cuerpo que pasa por el

desplazamiento cero, pudiera regresar de nuevo al desplazamiento cero.

7. Re qu# forma se puede calcular el coeficiente de amortiguamientoS ?

RTu# tiempo trascurrir! para q la masa vuelva a su estado de reposoS

Los valores de algunas magnitudes, que designaremos por y t 1, varan con el

tiempo t seg)n la funci%n exponencial>

Física II P#gina $&




onde A $ λ son n)meros reales positivos. 2ara t <K resulta y K1< A. Es decir,

el coeficiente A de la funci%n 51 siempre es el valor de y t 1 para t <K, por lo queaqu escribiremos esa funci%n as>

Tue est! representada en la figura 5 a partir de t <K.

Como se ve en la figura 5, y t 1 decrece desde su valor inicial y K1 hastaacercarse asint%ticamente a cero. 2or eso llamaremos a B1 funci%nexponencial decreciente. El decrecimiento es m!s o menos r!pidodependiendo del valor de . 2ara un mismo valor de t , tal como t 5 ;ig. 51,

es menor si . es ma$or.

Física II P#gina $'




2or tanto puede utilizarse como indicador de la rapidez del decrecimiento dey t 1, $ se llama por eso coeficiente de amortiguamiento de la funci%nexponencial decreciente.

Cuanto ma$or sea el coeficiente de amortiguamiento de una funci%n

exponencial decreciente m!s r!pidamente decrece la funci%n. Como t delexponente de B1 es adimensional $ t designa al tiempo, la dimensi%n de estiempo a la menos uno, es decir, su unidad en el 0istema nternacional de

Unidades es S−1

.

EJEMPLO:

Un p#ndulo simple tiene un periodo de B s $ una amplitud de B. espu#s de 5Koscilaciones completas su amplitud se ha reducido a 5.8. 3alle la constante deamortiguamiento.

La amplitud del movimiento oscilatorio infra amortiguado disminu$eexponencialmente>

onde AK es la amplitud inicial para t < K. espejando de la expresi%n anterior la constante de amortiguamiento V cuando ha transcurrido un tiempo t 5 < NT <BK s>

F. RC%mo varia el coeficiente de amortiguamiento si la amplitud desciende

r!pidamente con el transcurrir del tiempoS ? RTu# movimiento se

realizaraS

Física II P#gina $(




En este caso, que es m!s interesante, tenemos un oscilador que oscilaalrededor de la posici%n de equilibrio con amplitud decreciente. 0ucedecuando>

La soluci%n es>

Como antes, $ son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Lapulsaci%n es>

La pulsaci%n del sistema amortiguado es un poco menor que la

pulsaci%n del sistema no amortiguado porque la fuerza que loamortigua, frena la masa $ la retarda.

La oscilaci%n del sistema est! descrita por una sinusoide de frecuencia

cu$a amplitud est! multiplicada por una exponencial

decreciente cu$a constante de tiempo es .

O%i#ai$ne% am$rti(3a"a%. La am0#it3" "e #a %in3%$i"e e%t4 $ntr$#a"a0$r #a e50$nenia#.

8. RTu# es el decremento logartmicoS, explique.

2ara caracterizar la cuanta del amortiguamiento se utilizan distintospar!metros, siendo uno de los m!s frecuentes el decremento logartmico, que

est! relacionado con la disminuci%n del valor m!ximo del desplazamiento, qm.,en la forma

Física II P#gina $)




onde>

Gesultando>

-ariando el decremento logartmico en raz%n directa con el grado deamortiguamiento.0i se considera el cociente de dos elongaciones m!ximas no consecutivas,entre las que ha transcurrido n oscilaciones, se tendr! que su cociente es

Con lo que

? as

Gelaci%n que permite determinar el decremento logartmico a partir de lamedida de m!ximos no consecutivos con lo que puede mejorarse la exactitudde la determinaci%n sobre todo si se hacen las medidas sobre gr!ficas $ losm!ximos consecutivos tienen valores mu$ pr%ximos.

nversamente, si se conoce previamente se puede determinar mediante eln)mero de ciclos necesarios que han de transcurrir para que la elongaci%nm!xima se reduzca en un factor prefijado. /s, si se quiere determinar eln)mero de oscilaciones, nK, para que la amplitud se reduzca en el n)mero setendr! que

Es decir, puede interpretarse como la inversa del n)mero de oscilaciones queha de realizar el sistema para que la elongaci%n m!xima se reduzca en unfactor igual al n)mero e. Cuanto ma$or sea nK menor es el amortiguamiento deloscilador $ menor es el decremento logartmico.

6. REn qu# caso la grafica posici%n vs velocidad puede mostrar una

circunferenciaS, explique.

2ara que la gr!fica posici%n vs velocidad sea una circunferencia entonces nodebe haber variaciones en la amplitud.

Física II P#gina $*




Esto, en un oscilador forzado s%lo ocurrir! fuera de la resonancia arriba oabajo de la misma1 si el tiempo es suficientemente largo.

e este modo la soluci%n transitoria se desvanecer! $ s%lo quedar! la soluci%n

particular que es la misma que la de un oscilador arm%nico.

9. REl valor de la frecuencia es igual al te%rico solo si se toma en cuenta la

masa del resorteS R2or qu#S

e la siguiente f%rmula se tiene>

T 6 √(m+

M

3)

K

Entonces la frecuencia que es f <1

T

0e puede apreciar que siendo " la masa del resorte $ m la masa en

suspensi%n en el resorte, se ve que el resultado de no tomarse en cuenta la

masa en suspensi%n provocar! una variaci%n $ no ser! igual a que solo se

considere la masa del resorte.

I. RCu!l es la diferencia entre un movimiento oscilatorio $ un movimiento

peri%dicoS

0e conoce con el nombre de movimiento peri%dico el de un cuerpo en el que

todas las magnitudes que sirven para su descripci%n posici%n, velocidad $

aceleraci%n1 toman el mismo valor cada intervalo regular de tiempo, llamado

periodo D1.

Meneralmente los movimientos oscilatorios son peri%dicos denomin!ndose

periodo de la oscilaci%n al tiempo que tarda en producirse una oscilaci%n

completa.

tra magnitud utilizada para describir el movimiento peri%dico es la frecuencia

f1 que es n)mero de oscilaciones que se producen en la unidad de tiempo.

Entre el periodo $ la frecuencia existe la siguiente relaci%n>

f <1

T

2or ejemplo, si la frecuencia es F oscilaciones en cada segundo, cada

oscilaci%n tardar! un cuarto de segundo K,B8 s1 en producirse.

Física II P#gina $+




La unidad de frecuencia en el 0 es el hertzio 3z1= que representa una

oscilaci%n o ciclo en cada segundo. 2uede representarse como s'5.

El movimiento arm%nico simple por brevedad lo llamaremos simplemente

"/01 es el m!s importante de los movimientos oscilatorios peri%dicos $a que

es el m!s sencillo de analizar $ constitu$e una descripci%n bastante precisa demuchas oscilaciones que se presentan en la naturaleza. /dem!s cualquier

movimiento oscilatorio peri%dico se puede considerar como la superposici%n

suma1 de varios "./.0.

La aceleraci%n de un "./.0. es producida por una fuerza recuperadora, es

decir, una fuerza que es proporcional al desplazamiento del m%vil $ va dirigida

hacia el punto de equilibrio. 0i es as, al sistema que oscila se le llama

oscilador arm%nico, $ es un modelo matem!tico que pocos osciladores reales

cumplir!n exactamente excepto en m!rgenes mu$ limitados.

Ejemplos de "./.0. son el del p#ndulo cuando las oscilaciones son peque(as o

el movimiento libre de un muelle horizontal tras haberlo comprimido o estirado.

H. R0e cumple el principio de conservaci%n de la energa en el sistema

masa'resorteS

esde un punto de vista energ#tico, un sistema oscilante es un sistema que

transforma continuamente energa cin#tica en energa potencial el!stica $

viceversa. 2ara estirar o comprimir el muelle ha$ que realizar un trabajo, por

ello decimos que el muelle en esa situaci%n adquiere energa potencial el!stica.

espu#s el muelle espont!neamente adquiere energa cin#tica a costa de la

consiguiente p#rdida de energa potencial el!stica.

0ucede al rev#s cuando se va frenando.

0i suponemos al sistema aislado, es decir que ni le damos energa ni el

sistema pierde energa por rozamiento o por cualquier otra causa, la cantidad

total de energa que tendr! el sistema ser! constante. Eso es lo mismo que

decir que la suma de la energa cin#tica $ de la energa potencial el!stica ser!

constante.

E total = E cinética + E potencial elástica = constante

Lo que es constante es la suma de las dos energas, no cada una de ellas por separado. Efectivamente, la energa cin#tica vara desde un valor m!ximo

Física II P#gina $,




cuando pasa por la posici%n de equilibrio donde la velocidad es m!xima1 a un

valor nulo cuando se encuentra en las posiciones de m!xima separaci%n de la

posici%n de equilibrio puntos en los que la velocidad es nula1& por el contrario,

la energa potencial el!stica es m!xima cuando el cuerpo est! en la posici%n

m!s separada $ nula cuando pasa por la posici%n de equilibrio.

La energa total del sistema oscilante, es decir, la suma de la energa cin#tica $

potencial el!stica, es un valor constante que coincide con el valor m!ximo de la

energa cin#tica $ con el valor m!ximo de la energa potencial el!stica que son

iguales1.

e modo que la energa del sistema oscilante la podemos obtener de tres

formas en un instante determinado siendo su posici%n x $ su velocidad v1>

E t$ta# 6 E 0$t m45 6 7 8 A-

E t$ta# 6 E in m45 6 7 m 9- m45 6 7 m - A- 6 - ;- m 2 - A-

E t$ta# 6 7 8 5- < 7 m 9-

Las ecuaciones anteriores son v!lidas no s%lo para el caso de un muelle sinoque tambi#n pueden aplicarse a un p#ndulo en este caso la energa potenciales gravitatoria1 $, en general, a cualquier movimiento arm%nico simple

5K. R2uede establecerse una analoga entre las ecuaciones del movimiento

arm%nico simple $ las del movimiento rectilneo uniformementeaceleradoS

Cuando analizamos las graficas de las aceleraciones respectivas notamos que

no podemos establecer ninguna similitud porque una aceleraci%n es variable la

del "/01 $ la otra es constante la del "GU-1.

/qu la lnea verde

representa la aceleraci%n

del "ovimiento arm%nico

simple

Física II P#gina %-




$ % & ' (-

-/(

$

$/(

%

%/(

Aceleración vs tiempo

/qu la lnea verde representa la aceleraci%n en el tiempo del "ovimiento

rectilneo uniformemente variado

0in embargo si podemos establecer una relaci%n entre las f%rmulas $a que

ambas velocidades se obtienen como la primera derivada de la posici%n con

respecto al tiempo $ la aceleraci%n se tambi#n se obtiene en ambas como la

segunda derivada de la posici%n con respecto al tiempo.

E3ai$ne% "e# MRUV

5 6 5&t)

9 6 "5 "t

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E3ai$ne% "e# MAS

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ANE?OS

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fisica 2 movimiento armonico

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