movimie nto armonico

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Cuaderno de Actividades: Fsica I7) Movimiento Armnico SimpleLic. Percy Vctor Caote Fajardo180Cuaderno de Actividades: Fsica I7) Movimiento ArmnicoAquel movimiento que es posible describir con funcin armnica.Movimiento Armnico: sen, cos Movimiento peridico complejo admite soluciones armnicas.Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripcin de movimiento peridicos complejos.7.1) Descripcin del movimiento armnico simple, MAS.i) Descripcin Cinemtica del MAS : , , a v r Fenomenologa del MAS Movimiento oscilatorio y peridico en torno a la PE (x 0), la oscilacin esta confinada para A x A, Cmo debera ser x (t) ? ( ) { x t A sen wt = +Lic. Percy Vctor Caote Fajardo =0 PE x-A 0 x+A x181Cuaderno de Actividades: Fsica IDonde,w: Frecuencia de oscilacin natural del sistema.w = w{k,m}A, : Dependen de las condiciones iniciales del sistema.c.i.:{x (0) v (0)}Para la velocidad, { cosdxv A tdt u u = = + ( ) { cos v t Aw wt = +Para la aceleracin, { 2dva Aw sen wtdt = + ( ) { 2a t Aw sen wt = +Estas ecuaciones tambin se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).La proyeccin del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estara reportando un comportamiento cinemtico idntico al MAS. ii) Descripcin Dinmica del MAS La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posicin, esto es,( ) F x cx , c: depende del sistemaLic. Percy Vctor Caote Fajardo F(x) - x -A 0 x A 182Cuaderno de Actividades: Fsica ISi se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma MAS.F = FR = Fs FRes = FR 2da ley, FR ma a v x FR F = -k x mx mx +kx 0x + kxm 0x + w2x 0, 2wmk= ( ) { x t A sen wt = + kwm W: frecuencia angular 2 1( ) ( ) 2 T periodo frecuencialinealw Trv u rv A,: c.i.X: Posicin ElongacinA: Amplitud: DesfasajeLic. Percy Vctor Caote Fajardo183Cuaderno de Actividades: Fsica I7.2) Casos especiales de MASi) Sistema m-k 1)1)3)Siempre el MAS se observar de la PE (caso 1) y de las PE (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular informacin entre sistemas coordenados de Os en PE PE, donde la conexin ser d, la cual se obtiene del equilibrio de m.Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE (2,3).Lic. Percy Vctor Caote Fajardo PE m k =0 PE 2) k d m PE PE PE k o m d o 184Cuaderno de Actividades: Fsica Iii) Sistema lg wt w sen FRes wt -mg sen : pequeo sen F -mg, FRes - cxFR,t mat mg m u lu20gl gwlu u + = (t) m sen{wt + } ; m A, gwl= km ' ' . : desfasajeAhora, si la descripcin ha de darse en los s, usando s = lu, ( ) { ms t s sen wt = + ; m s ms A lu = , gwl=Lic. Percy Vctor Caote FajardoO O g t g l wt PE w n PE : describe la posicin185Cuaderno de Actividades: Fsica Iiii) Pndulo Fsico Es un CR pendular, w produce un restaurador que debe llevar al CR a la PE, - r w sen, w mg: pequeo = - r w Sen rw I u u = = O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),= 0dmgIu u + ' ' , 2 dmgwI u (t) = um sen {wt + 22dmg Iw T TI w dmgrr = Lic. Percy Vctor Caote Fajardo CR 0 PE 0 r C PE w186Cuaderno de Actividades: Fsica Iiv) P ndulo de TorsinDebido a la torsin en la varilla vertical (segn el eje del disco) se producir un torque restaurador proporcional a (para pequeos s) de tal forma que:restaurador - k k: constante de torsin (de la varilla)Analoga: k k (resorte) {FRes = - kx}Res k t t u = = ,Re ext s I t t o = O: punto fijo.Res k I t t u u = = = 0kIu u + =; var, 0:discoillaI I punto fijoc =u(t) = um sen{wt + kwI , 2 ITkr Lic. Percy Vctor Caote Fajardo A 0 0 P P PE PE187Cuaderno de Actividades: Fsica I7.3) Energa en el MASi) Energa Cintica, Ek21:2km E mv Si x(t) = A sen {wt + v(t) = x (t) = Aw cos{wt + { 2 2 21cos2kE mA w wt +ii) Energa Potencial (Elstica), Ep,el2,12p elE kx = ; x : posicin deformacin , 0 PE{ 2 2,12p elE kA sen wt = +iii) Energa Mecnica, EM EM Ek + Ep cte sistemas MAS,{ { 2 2 2 2 21 1cos2 2ME mA w wt kA sen wt = + + + mw2 = k212mE kA = En particular sistema mkLic. Percy Vctor Caote Fajardo188Cuaderno de Actividades: Fsica IGrficos:i) Ek ii) Ep??Lic. Percy Vctor Caote Fajardo Ek 212 kA 0 T t 212 kA Ek -A 0 +A x Ep 0 T t Ep x 0 189Cuaderno de Actividades: Fsica IObservaciones:En los casos de sistemas m k donde se tenga una contribucin gravitacional, la EM deber considerarse,EM Ek + Ep,el +Ep,g PEEM Ek + Ep,el PE7.4) Oscilaciones amortiguadasSe considerara medios de amortiguacin modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas fsicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.f: fuerza de friccinf a + bv + cv2 + f (v)Ahora, para describir el sistema planteamos la 2 ley,{ { Rresorte medioF kx bv mx = = Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 0 x190Cuaderno de Actividades: Fsica I0k bx x xm m+ + = MAAComparaciones: { 20 x w x + = MASm k : kwml g : wlPF : mgdwIPT : kwI1) Caso de inters: wb < wr ( ) { 2cosbtmx t Ae wt o

= + Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)A = A(0) = amplitud inicial22k bwm m = ' ' : Frecuencia de oscilacinLa ecuacin se interpreta como una parte oscilatoria y una modulacin de la oscilacin dada por el factor exponencial.r kwm= w del resorte, 2b bwm= w del medioLic. Percy Vctor Caote Fajardo191Cuaderno de Actividades: Fsica I2) Caso cuando wb wr, Movimiento crticamente amortiguado,3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,Lic. Percy Vctor Caote Fajardo X A 2btme

0 t x t x t192Cuaderno de Actividades: Fsica IS6P5) Un oscilador armnico simple amortiguado tiene = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,a) Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento dbil?b) Determinar el valor para el movimiento amortiguado dbil.c) Escriba la ecuacin de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m.SOLUCION: = 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kgOscilador armnico amortiguadoWb < w0 wkOscilador crticamente amortiguadoWb w0Oscilador sobreamortiguadoWb > w0( ) ( )2cosbtmx t Ae t u o

+ en donde 22k bm mu | ` . ,a)2b bwm 0,112 2 0, 31b bw wmii = = 0,112 2 0, 31b bw wmii = = ~0,18; 01800241,, 31k kw wm wb < w0 = wk :MAAb) 0; ?2b b kw w bm m = =Lic. Percy Vctor Caote Fajardo193Cuaderno de Actividades: Fsica I2 2 180 0, 31 b km i = = = ~2 55,8 ~15c) ( ) { 2cosbtmx t Ae wt o

= +x(0) = 0,5( ) { 0,112 0,310, 5 cos 581 0, 03tx t e t

= Lic. Percy Vctor Caote Fajardo X A 2btme

0 t194Cuaderno de Actividades: Fsica IS6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:a) El desplazamiento en funcin del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleracin cuando x = + A/2.d) Cul es la fuerza sobre el bloque cuando t = /15 s?SOLUCIN:200200102 2kwkm m ' ( )( )0 0, 05. .0 0 x mc iv + 'a) x(t) = A sen (wt + o) x(0) = A sen (w(0) + o)=Asen(o)=+0,05v(t) = Aw cos (wt + o) v(0) = Aw cos (w(0) + o)= Aw cos (o)= 0De la ltima Ec o = r/2 {la v (-) para t ~ 0} A=0,05 x(t) = 0,05 sen (10t + r/2) v(t) = 0,5 cos (10t + r/2)Observen la consistencia de tomar (=)= /2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema cerca de 0, tanto par