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Cuaderno de Actividades: Física I 7) Movimiento Armónico Simple Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180

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Page 1: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

7) Movimiento Armónico Simple

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180

Page 2: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

7) Movimiento Armónico

Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.

Movimiento Armónico: sen, cos

Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.

7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.

i) Descripción Cinemática del MAS

Fenomenología del MAS

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

=0

PE

x-A 0 x+A x

181

Page 3: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x 0), la oscilación esta confinada para –A x A,

¿Cómo debería ser x (t) ?

Donde,

w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.

w = wk,m

A, : Dependen de las condiciones iniciales del sistema.

c.i.:x (0) v (0)

Para la velocidad,

Para la aceleración,

Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).

La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.

ii) Descripción Dinámica del MAS

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 182

Page 4: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es,

, c: depende del sistema

Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.

F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ma

a v x

FR F = -k x m

m +kx 0

+ 0

+ w2x 0,

W: frecuencia angular

A,: c.i.

X: Posición→ Elongación

A: Amplitud

: Desfasaje

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

F(x) x -A 0 x A

183

Page 5: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

7.2) Casos especiales de MAS

i) Sistema m-k

1)1)

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

PE m k =0

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Page 6: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

3)

Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en PE PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

PE

2) k d

m PE’

PE

PE’ k

o m d o’

185

Page 7: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).

ii) Sistema l–g

wt w sen

FRes wt -mg sen

: pequeño sen

F -mg, FRes - cx

FR,t mat

(t) m senwt + ; m A, . : desfasaje

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

O O g t g

l

wt

PE n PE : describe la posición

186

Page 8: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s l,

; ,

iii) Péndulo Físico

Es un CR pendular,

produce un restaurador que debe llevar al CR a la PE,

- r w sen, w mg

: pequeño = - r w Sen

O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

CR 0

PE

0

C

PE

187

Page 9: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

,

t m sen wt +

iv) P éndulo de Torsión

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

A

0 0

P P

PE PE

188

Page 10: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a (para pequeños s) de tal forma que:

restaurador - k

k: constante de torsión (de la varilla)

Analogía: k k (resorte) FRes = - kx

O: punto fijo.

;

(t) m senwt + ,

7.3) Energía en el MAS

i) Energía Cinética, Ek

Si x(t) A sen wt +

v(t) (t) Aw coswt +

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 189

Page 11: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el

; x : posición deformación , 0 PE

iii) Energía Mecánica, EM

EM Ek + Ep cte sistemas MAS,

mw2 = k

En particular sistema m–k

Gráficos:

i) Ek

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

Ek

0 T t

190

Page 12: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

ii) Ep

¿?

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

Ek

-A 0 +A x

Ep

0 T t Ep

x 0

191

Page 13: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

¿?

Observaciones:

En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse,

EM Ek + Ep,el +Ep,g PE

EM Ek + Ep,el PE’

7.4) Oscilaciones amortiguadas

Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.

f: fuerza de fricción

f a + bv + cv2 + …

f (v)

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

0

x

192

Page 14: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,

MAA

Comparaciones: MAS

m – k :

l – g :

PF :

PT :

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 193

Page 15: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

1) Caso de interés: wb < wr

Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)

A A(0) amplitud inicial

: Frecuencia de oscilación

La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial.

w del resorte, “w” del medio

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

X

A

0 t

194

Page 16: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

2) Caso cuando wb wr, Movimiento críticamente amortiguado,

3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

x

t

x

t

195

Page 17: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,

a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?b) Determinar el valor para el movimiento amortiguado débil.c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud

de 0,5 m.

SOLUCION:

= 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kg

Oscilador armónico amortiguado

Wb < w0 wk

Oscilador críticamente amortiguado

Wb w0

Oscilador sobreamortiguado

Wb > w0

en donde

a)

;

wb < w0 wk :MAA

b)

15

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 196

Page 18: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

c)

x(0) = 0,5

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

X

A

0 t

197

Page 19: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:

a) El desplazamiento en función del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleración cuando x = + A/2.d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = /15 s?

SOLUCIÓN:

a) x(t) = A sen (wt + ) x(0) = A sen (w(0) + )=Asen()=+0,05

v(t) = Aw cos (wt + ) v(0) = Aw cos (w(0) + )= Aw cos ()= 0

De la última Ec = /2 {la v (-) para t 0} A=0,05

x(t) = 0,05 sen (10t + /2)

v(t) = 0,5 cos (10t + /2)

Observen la consistencia de tomar (=)= /2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos (=)= 3/2?

b) Recordando la relación v-x

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 198

Page 20: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

c) Recordando la relación a-x

d) FR= FRES -kx= -k A sen (wt + )= -(200)(0,05) sen (10t + /2)=?

F (+)! veamos

FR (t=/15) = -10 sen (10{/15} + /2) (-10) (-0, 5) = +5

S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).

SOLUCIÓN:

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 199

Page 21: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

Nos proporcionan directamente la , las condiciones iniciales son,

Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),

a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,

Reemplazando datos,

b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

g k

v(0) m

t =0 X

x(0)=0 v(0)

v(0)

200

Page 22: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

Para t=0 y vecindades,

Para satisfacer x(0)=0, , el valor correcto es , con lo cual las ecuaciones quedan,

S6P4) En el sistema mostrado en la figuraObtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t.Si: X = A cos (w0 t + )g: aceleración de la gravedad

SOLUCION:

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

g k

+ X = 0 m

-

201

Page 23: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

En

Desde 0:

Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia

. Ahora, debido a que la fuerza resultante es , cuando se

escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,

como la , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica, por lo tanto,

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

PE 0 d PE’ 0’ x

x’

X, X’

202

Page 24: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

S6P32)

Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es s = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?

SOLUCI Ó N :

DCL (M):

De las ecuaciones anteriores,

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

s B k P

a

m Fres

M

0

a fS,M s mg

FRES

FR FRES -s mg

203

Page 25: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

S6P6)

En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda sin deslizar, considere, M masa del disco,R radio del disco y k constante del resorte.

SOLUCIÓN:

x pequeño MAS , w0 = ?x = s = R

P’ // CM : = I

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

k R

M

t M k 0 FR

P

0 o’

204

Page 26: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.

SOLUCION:

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo

k

r

205

Page 27: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

) De la dinamica rotacional,

Por la “rodadura”:

De la dinámica traslacional,

Usando nuevamente la rodadura,

De 1 y 2,

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P x P 0 O

T kx

x O’ X w P’ P

206

Page 28: MOVIMIE NTO ARMONICO

Cuaderno de Actividades: Física I

1)

De la rodadura: 2)

2) 1): 3)

Sea

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