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Universidad de Santiago de ChileUniversidad de Santiago de ChileDepartamento de Ingeniería en Obras CivilesDepartamento de Ingeniería en Obras Civiles

Diseño en Hormigón ArmadoDiseño en Hormigón Armado

Leonardo Brescia NorambuenaLeonardo Brescia Norambuena

Compresión Compresión Simple Simple Página Página 33

EjercicioEjercicio 11

Para la estructura mostrada en la figura determine la máxima sobrecarga que puede Para la estructura mostrada en la figura determine la máxima sobrecarga que puede resistir el elemento centralresistir el elemento centralindicado en esta si se está utilizando H30 y A63-42. No considere falla por funcionamiento de la losa y verifiqueindicado en esta si se está utilizando H30 y A63-42. No considere falla por funcionamiento de la losa y verifiquela carga crítica de pandeo para el caso más favorable y desfavorable.la carga crítica de pandeo para el caso más favorable y desfavorable.

DesarrolloDesarrollo

1-. S1-. Se debe determinar el facto ω, para esto se debe determinar el casoe debe determinar el facto ω, para esto se debe determinar el caso más desfavorable, dado que no haymás desfavorable, dado que no haymayor información, para esto se considerara K=0.5 (si la losa aporta rigidez suficiente junto a los otros elementosmayor información, para esto se considerara K=0.5 (si la losa aporta rigidez suficiente junto a los otros elementospara empotrar la columna en la parte superior) y K=2 (si la columna se comporta como voladizo)para empotrar la columna en la parte superior) y K=2 (si la columna se comporta como voladizo)

ll 2.22.2 bb 3030ccmm hh 3030ccmm 0.60.6

SiSi KK 0.0. Caso más favorableCaso más favorable

l l KK( ( ))

bb3.6673.667 ==>==> 11 (de tabla 1.1)(de tabla 1.1)

SiSi KK 22 Caso más desfavorableCaso más desfavorable

l l KK( ( ))

bb14.66714.667 ==>==> 11 (de tabla 1.1)(de tabla 1.1)

2-. Calculo de Pn2-. Calculo de Pn

AAgg 909000ccmm22

AAss 4 2.544 2.54 ccmm22

fyfy 42004200kgkg

ccmm22

f´cf´c 250250kgkg

ccmm22

PPnn 0.850.85 AAg g AAss( ( ))f´f c c AAs s fyfy

PPnn 231763231763kkgg

3-. Calculo de SC max:3-. Calculo de SC max:

Viendo las combinaciones de la NCh3171of2010, se tiene que el caso más desfavorableViendo las combinaciones de la NCh3171of2010, se tiene que el caso más desfavorableserá:será:

Pu max=1.2PP+1.6SCPu max=1.2PP+1.6SC

Para la carga de PP será necesario Cubicar el AREA TRIBUTARIA que descarga al elementoPara la carga de PP será necesario Cubicar el AREA TRIBUTARIA que descarga al elemento





hormhorm 25002500kgkg

mm33

PlosaPlosa 99mm220.150.15 mm hormhorm PlosaPlosa 33753375kgkg

PpilarPpilar 0.30.3mm 0.30.3 mm 2.22.2 mm hormhorm PpilarPpilar 494955kkgg

PPP P PPlolossa a PPpipilala PPPP 38703870kkgg se considera peso pilar porque es el caso más desfavorable para estese considera peso pilar porque es el caso más desfavorable para este

PPumumaax x 0.80.8PPnn PumaxPumax 120516.76120516.76kkgg

SCmaxSCmaxPumPumaax x 1.21.2PPPP( ( ))

1.61.6 SCmaxSCmax 72420.47572420.475kkgg

Pero la SC debe darse distribuida en el Área TributariaPero la SC debe darse distribuida en el Área Tributaria

SCSCSCmaxSCmax

99mm22

SCSC 8046.7198046.719kgkg

mm22

4-. Calculo de Cargas Críticas de Pandeo4-. Calculo de Cargas Críticas de Pandeo

I I bbhh

33

1212 II 6750067500ccmm

44 EcEc 1500015000

kgkg

cmcm22

fćfćcmcm

22

kgkg EcEc 237170.825237170.825

kgkg

ccmm22

KK 0.0.

Pcrit1Pcrit1

22EcEc II

K K ll( ( ))22

Pcrit1Pcrit1 13058082.59613058082.596kkgg

KK 22

Pcrit1Pcrit1

22EcEc II

K K ll( ( ))22

Pcrit1Pcrit1 816130.162816130.162kkgg

Nota: Se ve que la carga crítica de pandeo es muy superior a la carga que se resiste porNota: Se ve que la carga crítica de pandeo es muy superior a la carga que se resiste pormaterialesmateriales

Ejercicio 2Ejercicio 2

Determine la armadura para una columna de 6 m de alto, de sección bruta de 30x30, libre en su extremo superior yDetermine la armadura para una columna de 6 m de alto, de sección bruta de 30x30, libre en su extremo superior yempotrada en el extremo inferior, sometida a empotrada en el extremo inferior, sometida a una carga ultima de 50 una carga ultima de 50 toneladas, con acero A44-28, y hormigón H25.toneladas, con acero A44-28, y hormigón H25.

LL 66 fćfć 200200kgkg

ccmm22

fyfy 28002800kgkg

ccmm22

0.60.6

AAtt 3030ccmm 3030 ccmm AAc c ccmm22

AAcc AAstst

ww** PPu u 00. 8. 8 PnPn w=3 (a=2,w=3 (a=2, L*L*aa /b=40) /b=40)

PnPn 0.850.85 fćfć AAt t AAstst( ( )) fy Asfy As AAstst

PuPu 5000050000 kgkg





AAstst 51.50651.506ccmm22

AsminAsmin 0.010.01AAtt AsminAsmin 99ccmm22

AsmaxAsmax 0.080.08AA AsmaxAsmax 7272ccmm22

Por lo que se está dentro de los rangos permitidos. La armadura se escogerá de la siguiente tabla obtenida de Gerdau AzaPor lo que se está dentro de los rangos permitidos. La armadura se escogerá de la siguiente tabla obtenida de Gerdau Aza

Con 12Con 12 ϕϕ28 se tiene un área de:28 se tiene un área de:

12 4.8312 4.83 ccmm22

57.9657.96ccmm22

Se obtiene con un recubrimiento de 2 cm una separación libre entre refuerzos de 5cm aproximadamente, con el siguienteSe obtiene con un recubrimiento de 2 cm una separación libre entre refuerzos de 5cm aproximadamente, con el siguienteesquema de diseño:esquema de diseño:

Recordar que no deben existir refuerzos a distancias mayores a 30cm, no obstante cuando se trabaja con compresiónRecordar que no deben existir refuerzos a distancias mayores a 30cm, no obstante cuando se trabaja con compresiónsimple se asumen deformaciones planas, por lo que todos los elementos de refuerzo se consideran, por lo que si sesimple se asumen deformaciones planas, por lo que todos los elementos de refuerzo se consideran, por lo que si seagregan estos aumentan la cuantía de trabajo del elementoagregan estos aumentan la cuantía de trabajo del elemento

AstAst

PuPu

0.80.80.850.85 f f ´ cc AtAt

fyfy 0.850.85f f ´ cc




Diseño Diseño Armadura Armadura Flexión Flexión Simple Simple Página Página 1212

2-. Flexión Simple2-. Flexión Simple

Consideraciones PreviasConsideraciones Previas- Toda ecuación aquí presentada puede ser deducida por equilibrio de fuerzas y deformaciones- Toda ecuación aquí presentada puede ser deducida por equilibrio de fuerzas y deformaciones- Se está diseñando bajo método LRFD, puede que valores de factores cambien de acuerdo a la versión del- Se está diseñando bajo método LRFD, puede que valores de factores cambien de acuerdo a la versión delcódigo ACI Vigente.código ACI Vigente.

Armadura SimpleArmadura Simple

I) Caso 1: Cálculo de ResistenciaI) Caso 1: Cálculo de Resistencia

a) Calculo de Equilibrio de fuerzasa) Calculo de Equilibrio de fuerzas

(2.1)(2.1)

(2.2)(2.2)(1) Rectángulo de compresión según ACI(1) Rectángulo de compresión según ACI(2) Área de Hormigón Comprimida (cambia para viga no(2) Área de Hormigón Comprimida (cambia para viga norectangular)rectangular)

T: TracciónT: TracciónC: CompresiónC: CompresiónAs: Área de Acero (de As: Área de Acero (de manuales comerciales)manuales comerciales)fy: Limite de fluencia del Acerofy: Limite de fluencia del Acerofć: Resistencia en probeta cilíndrica del fć: Resistencia en probeta cilíndrica del HormigónHormigóna: Altura que alcanza la compresión del Hormigóna: Altura que alcanza la compresión del Hormigónb: Ancho Vigab: Ancho Viga

b) Determinar a y con esto c (C=a/β1, donde β1 depende b) Determinar a y con esto c (C=a/β1, donde β1 depende de fć)de fć)c) Determinar el momento nominal de la c) Determinar el momento nominal de la vigaviga

Mn Mn ddaa

22

AsAs fyfy (2.3)(2.3)

Mn: Momento nominal que resiste la vigaMn: Momento nominal que resiste la vigad: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimientod: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimiento

d) Calcular el Momento Ultimo de la vigad) Calcular el Momento Ultimo de la viga

MMuu MM (2.4)(2.4)

ϕϕ: Factor de reducción que minora resistencia de la viga.: Factor de reducción que minora resistencia de la viga. ϕϕ=0.9=0.9

Fig. 2.1Fig. 2.1aa( ( )) bb( ( )) cc( ( ))

Fig. 2.1 (a): Esquema básico viga con armadura simple.Fig. 2.1 (a): Esquema básico viga con armadura simple.Fig. 2.1 (b): Diagrama deformación vigaFig. 2.1 (b): Diagrama deformación vigaFig. 2.1 (c): Esquemas de tensiones en vigaFig. 2.1 (c): Esquemas de tensiones en viga





II) Caso 2: Diseñar la II) Caso 2: Diseñar la ArmaduraArmadura

a) Determinar Mu al cual está sometida la viga. Se recomienda mayoría los momentos para cada punto y no lasa) Determinar Mu al cual está sometida la viga. Se recomienda mayoría los momentos para cada punto y no lascargas, con los factores dados por NCh3171cargas, con los factores dados por NCh3171

b) Con la ecuación dada a continuación obtener armadura necesaria (y la cuantía):b) Con la ecuación dada a continuación obtener armadura necesaria (y la cuantía):

(2.5)(2.5)

AsAs

b db d(2.6)(2.6)

As: Área de armadura necesaria para satisfacer el momento que solicita la vigaAs: Área de armadura necesaria para satisfacer el momento que solicita la vigafy: Limite de fluencia del Acerofy: Limite de fluencia del Acerofć: Resistencia en probeta cilíndrica del fć: Resistencia en probeta cilíndrica del HormigónHormigónb: Ancho Vigab: Ancho Vigad: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimientod: Altura libre de Grieta de la viga (sección transversal). d = H - recubrimientoρ: Cuantíaρ: Cuantía

Nota:Nota:- Si As es - Si As es mayor que 0, se debe verificar los mayor que 0, se debe verificar los límites máximos y mínimos de armaduralímites máximos y mínimos de armadura- Si As es menor o igual a 0, no requiere armadura, no obstante se utiliza armadura mínima- Si As es menor o igual a 0, no requiere armadura, no obstante se utiliza armadura mínima- Si As - Si As es un n° es un n° complejo, se requerirá refuerzo complejo, se requerirá refuerzo de acero a de acero a compresión.compresión.

c) Determinar la cuantía de balancec) Determinar la cuantía de balance

balbal0.850.85 fćfć 11

fyfy

0.0030.003EsEs

fyfy 0.0030.003EsEs (2.7)(2.7)

ρbal: Cuantía de Balanceρbal: Cuantía de BalanceEs: Modulo de elasticidad del AceroEs: Modulo de elasticidad del Acero

d) Comparar Cuantía obtenidad) Comparar Cuantía obtenida

maxmax 0.750.75bal bal CCasasoEstoEstaatticicooif if

0.0250.025 Caso SismicoCaso Sismicoif if mmin in mmaaxx

1414

fyfy

0.0.88 fćfć

fyfy

(2.8) (2.9)(2.8) (2.9)

Nota:Nota:-- Si As es menor a ρmin, se utiliza armaduraSi As es menor a ρmin, se utiliza armadura mínimamínima-- Si ρ es mayor que ρmax, se aumenta seccióSi ρ es mayor que ρmax, se aumenta sección, o se aumenta calidad del acero, o se cambia a armaduran, o se aumenta calidad del acero, o se cambia a armaduradobledoble- Se aclara que la armadura que estamos diseñando es para la - Se aclara que la armadura que estamos diseñando es para la zona en Tracción, dado que se zona en Tracción, dado que se asume queasume quela resistencia del hormigón a tracción es cerola resistencia del hormigón a tracción es cero

AsAs0.850.85 fćfć bb dd

fyfy

0.850.85 fćfć bb dd

fyfy

221.891.89 MuMu bb fćfć( ( ))

fyfy22





Armadura DobleArmadura Doble

Nota: Se mantiene Nomenclatura utilizada para Armadura Simple y principios utilizados en esta.Nota: Se mantiene Nomenclatura utilizada para Armadura Simple y principios utilizados en esta.

I) Caso 1: Cálculo de ResistenciaI) Caso 1: Cálculo de Resistencia

La resistencia de la viga se lograra mediante un proceso iterativo, del cual se describen los pasos a continuación.La resistencia de la viga se lograra mediante un proceso iterativo, del cual se describen los pasos a continuación.

a) Realizar equilibrio de fuerzas y con esto determinar aa) Realizar equilibrio de fuerzas y con esto determinar a

CCc c CCss TT (2.10)(2.10)

0.850.85 fćfć aa bb As´ fsÁs´ fs´ As fsAs fs (2.11)(2.11)

aaAs fsAs fs As´ fsÁs´ fs´( ( ))

0.850.85fć bfć b(2.12)(2.12)

Nota: aquellos términos con ´ en su final son para denotar la armadura que trabaja a compresión, en este casoNota: aquellos términos con ´ en su final son para denotar la armadura que trabaja a compresión, en este casoademás, se desconoce la tensión de trabajo del acero. Para la primera iteración se ingresa con fs=fs´=fyademás, se desconoce la tensión de trabajo del acero. Para la primera iteración se ingresa con fs=fs´=fy

b) Determinar c=a/β1b) Determinar c=a/β1

c) Realizar diagrama de deformación unitaria, y obtener deformación unitaria del acero. Sec) Realizar diagrama de deformación unitaria, y obtener deformación unitaria del acero. Serecomienda usar congruencia de triángulosrecomienda usar congruencia de triángulos

Fig. 2.2Fig. 2.2

aa( ( )) bb( ( )) cc( ( ))

Fig. 2.2 (a): Esquema básico viga con armadura doble.Fig. 2.2 (a): Esquema básico viga con armadura doble.Fig. 2.2 (b): Diagrama deformación vigaFig. 2.2 (b): Diagrama deformación vigaFig. 2.2 (c): Esquemas de tensiones en vigaFig. 2.2 (c): Esquemas de tensiones en viga

d) Verificar hipótesis de que acero trabaja a fluencia, de no ser así se debe volver al paso a), donde el valord) Verificar hipótesis de que acero trabaja a fluencia, de no ser así se debe volver al paso a), donde el valorpara fpara fs=εs*Es y fs´=εs´*Es (si fs o fs´ mayor a fy, usar fy para este)s=εs*Es y fs´=εs´*Es (si fs o fs´ mayor a fy, usar fy para este)

e) Iterar entre el paso a) y el paso d), hasta que converjan los valores de fs´ y fs.e) Iterar entre el paso a) y el paso d), hasta que converjan los valores de fs´ y fs.

f) Determinar el momento que resiste la f) Determinar el momento que resiste la viga, para esto hay diversa ecuaciones.viga, para esto hay diversa ecuaciones.

MMnn 0.850.85 fćfć aa bb ccaa

22

As´ fsÁs´ fs´ c c h1h1( ( )) As fsAs fs d d cc( ( )) (2.13)(2.13)

h1: Distancia entre As´ y borde de la viga.h1: Distancia entre As´ y borde de la viga.





II) Caso 2: Determinar Armadura de la viII) Caso 2: Determinar Armadura de la viga (método recomendado)ga (método recomendado)

a) Determinar una armadura base sobre la cual se comienza a trabajar, esta debe estar contenida entre As máxima ya) Determinar una armadura base sobre la cual se comienza a trabajar, esta debe estar contenida entre As máxima yAs mínima para armadura simple.As mínima para armadura simple.

b) Determinar el momento nominal que resiste b) Determinar el momento nominal que resiste la viga con esta armadura, con la viga con esta armadura, con ecuaciones de armadura simpleecuaciones de armadura simple

c) Determinar el ΔMn requeridoc) Determinar el ΔMn requerido

MnMnMuMu

MnMn

(2.14)(2.14)

d) Determinar armadura que falta para cumplir con d) Determinar armadura que falta para cumplir con momento requeridomomento requerido

AsrAsrMnMn

d d d´d´( ( )) fyfy(2.15)(2.15)

Asr: Armadura necesaria Agregar, esta se agrega tanto en zona de compresión como en zonaAsr: Armadura necesaria Agregar, esta se agrega tanto en zona de compresión como en zonade tracción.de tracción.d´: Distancia entre borde viga y armadura de refuerzo a compresión (generalmente igual ad´: Distancia entre borde viga y armadura de refuerzo a compresión (generalmente igual arecubrimiento)recubrimiento)

e) Verificar:e) Verificar:

AAss 22AAsrsr1414

fyfy (2.16)(2.16)

cc tt 0.750.75baba (2.17)(2.17)

ρc: Cuantía Armadura a compresiónρc: Cuantía Armadura a compresiónρt: Cuantía Armadura a Tracciónρt: Cuantía Armadura a Tracción

Nota:Nota:- La distribución de armaduras debe mantenerse para las condiciones aquí dadas, es decir, se deben- La distribución de armaduras debe mantenerse para las condiciones aquí dadas, es decir, se debenrepartir a la altura utilizada en las ecuaciones, o estas dejan de ser válidas.repartir a la altura utilizada en las ecuaciones, o estas dejan de ser válidas.- En la sección transversal no deben haber fierros a una distancia mayor a 30 cm entre ellos.- En la sección transversal no deben haber fierros a una distancia mayor a 30 cm entre ellos.- La armadura longitudinal se debe diseñar para más de un punto, para lo cual se utiliza la envolvente de- La armadura longitudinal se debe diseñar para más de un punto, para lo cual se utiliza la envolvente demomentos, escogiendo para cada punto el momento positivo y negativo máximo, analizando todas lasmomentos, escogiendo para cada punto el momento positivo y negativo máximo, analizando todas lascombinaciones, por esto es que se aconseja utilizar una armadura base y calcular refuerzos en zonascombinaciones, por esto es que se aconseja utilizar una armadura base y calcular refuerzos en zonasrequeridos (usar traslape de 40requeridos (usar traslape de 40ϕϕ es recomendado).es recomendado).- Para diseño sísmico la resistencia para momentos positivos la resistencia no debe ser menor que la mitad- Para diseño sísmico la resistencia para momentos positivos la resistencia no debe ser menor que la mitadde los momentos negativos en los apoyos y en los tramos no debe ser menor que un cuarto de lade los momentos negativos en los apoyos y en los tramos no debe ser menor que un cuarto de laresistencia en los apoyos para momentos positivos o negativosresistencia en los apoyos para momentos positivos o negativos

Fig. 2.3: Envolvente de momentosFig. 2.3: Envolvente de momentos





EjerciciosEjercicios

1-. Determine el momento máximo que puede resistir una viga V30/40, cuyo recubrimiento es de 2 cm, una1-. Determine el momento máximo que puede resistir una viga V30/40, cuyo recubrimiento es de 2 cm, unaarmadura inferior de 14cm2, y superior de armadura inferior de 14cm2, y superior de 8cm2, considere H30 con acero A63-428cm2, considere H30 con acero A63-42Es=2.1x10^6Es=2.1x10^6

AsAs 1414ccmm22

AAs´s´ 88ccmm22

dd 3838ccmm bb 3030ccmm

d1d1 22ccmm

fćfć 250250kgkg

cmcm22

fyfy 42004200kgkg

cmcm22

EsEs 2.1102.11066

kgkg

cmcm22

cc 0.000.00

aaAs fsAs fs As´ fsÁs´ fs´( ( ))

0.850.85fć bfć bcc

aa

11

eses ccd d cc( ( ))

cc esés´ cc

c c d1d1( ( ))

cc

ffs s ees s EEss fsfs´ ´ ees´ s´ fsfs

MMuu 0.9 0.9 0.80.855 fćfć aa bb ccaa

22

As´ fsÁs´ fs´ c c h1h1( ( )) As fsAs fs d d cc( ( ))

IItteerr. . ffssi i ffss''i i a a c c ees s ee''s s ffsss s ffss''s s MMn n MMuu

1 1 4422000 0 44220000.0.00 0 33.9.95 5 44.6.65 5 00.0.02211551 1 00.0.00011771 1 4455117788.1.13 3 33559900.6.63 3 2211223366886600.5 .5 1199111133117744.4.4

2 2 4422000 0 33559900.6.63 3 44.7.72 2 55.5.55 5 00.0.01177554 4 00.0.00011992 2 3366883333.7.79 9 44002299.8.80 0 1166994433993333.6 .6 1155224499554400.2.2

3 3 4422000 0 44002299.8.80 0 44.1.17 7 44.9.90 0 00.0.02200226 6 00.0.00011778 8 4422553399.2.26 6 33772299.5.51 1 1199887733006688.6 .6 1177888855776611.7.7

4 4 4422000 0 33772299.5.51 1 44.5.54 4 55.3.35 5 00.0.01188333 3 00.0.00011888 8 3388448888.4.47 7 33994422.7.71 1 1177779900223355.9 .9 1166001111221122.3.3

5 5 4422000 0 33994422.7.71 1 44.2.28 8 55.0.03 3 00.0.01199666 6 00.0.00011881 1 4411229900.9.96 6 33779955.2.21 1 1199222299771188.7 .7 1177330066774466.8.8

6 6 4422000 0 33779955.2.21 1 44.4.46 6 55.2.25 5 00.0.01188772 2 00.0.00011886 6 3399331166.2.26 6 33889999.1.14 4 1188221144667711.3 .3 1166339933220044.2.2

7 7 4422000 0 33889999.1.14 4 44.3.33 3 55.0.09 9 00.0.01199338 8 00.0.00011882 2 4400669900.1.11 1 33882266.8.84 4 1188992200550066.5 .5 1177002288445555.9.9

8 8 4422000 0 33882266.8.84 4 44.4.42 2 55.2.20 0 00.0.01188992 2 00.0.00011885 5 3399772255.7.70 0 33887777.5.59 9 1188442244885500.5 .5 1166558822336655.4.4

9 9 4422000 0 33887777.5.59 9 44.3.36 6 55.1.13 3 00.0.01199224 4 00.0.00011883 3 4400339988.4.49 9 33884422.1.18 8 1188777700554411.2 .2 1166889933448877.1.1

110 0 4422000 0 33884422.1.18 8 44.4.40 0 55.1.18 8 00.0.01199001 1 00.0.00011884 4 3399992277.0.09 9 33886677.0.00 0 1188552288228833.9 .9 1166667755445555.5.5

111 1 4422000 0 33886677.0.00 0 44.3.37 7 55.1.14 4 00.0.01199117 7 00.0.00011883 3 4400225566.3.38 8 33884499.6.66 6 1188669977448888.6 .6 1166882277773399.7.7

112 2 4422000 0 33884499.6.66 6 44.3.39 9 55.1.17 7 00.0.01199006 6 00.0.00011884 4 4400002255.8.87 7 33886611.8.80 0 1188557799003300.2 .2 1166772211112277.2.2

113 3 4422000 0 33886611.8.80 0 44.3.38 8 55.1.15 5 00.0.01199114 4 00.0.00011883 3 4400118866.9.99 9 33885533.3.32 2 1188666611882255.9 .9 1166779955664433.3.3

114 4 4422000 0 33885533.3.32 2 44.3.39 9 55.1.16 6 00.0.01199008 8 00.0.00011884 4 4400007744.2.25 5 33885599.2.25 5 118866003388990 0 1166774433550011

115 5 4422000 0 33885599.2.25 5 44.3.38 8 55.1.15 5 00.0.01199112 2 00.0.00011884 4 4400115533.0.08 8 33885555.1.10 0 1188664444339977.9 .9 1166777799995588.1.1

116 6 4422000 0 33885555.1.10 0 44.3.39 9 55.1.16 6 00.0.01199009 9 00.0.00011884 4 4400009977.9.93 3 33885588.0.00 0 1188661166005599.5 .5 1166775544445533.6.6

117 7 4422000 0 33885588.0.00 0 44.3.38 8 55.1.16 6 00.0.01199111 1 00.0.00011884 4 4400113366.5.50 0 33885555.9.97 7 1188663355887766.6 .6 1166777722228899

118 8 4422000 0 33885555.9.97 7 44.3.38 8 55.1.16 6 00.0.01199110 0 00.0.00011884 4 4400110099.5.52 2 33885577.3.39 9 1188662222001144.7 .7 1166775599881133.2.2

119 9 4422000 0 33885577.3.39 9 44.3.38 8 55.1.16 6 00.0.01199111 1 00.0.00011884 4 4400112288.3.39 9 33885566.4.40 0 1188663311770099.2 .2 1166776688553388.2.2

220 0 4422000 0 33885566.4.40 0 44.3.38 8 55.1.16 6 00.0.01199110 0 00.0.00011884 4 4400111155.1.19 9 33885577.1.10 0 1188662244992288.3 .3 1166776622443355.5.5





fss y fs´s de la fila i se copian en fsi y fs´i de la fila i+1 respectivamente, y se itera nuevamente hasta convergerfss y fs´s de la fila i se copian en fsi y fs´i de la fila i+1 respectivamente, y se itera nuevamente hasta converger

Se ve con cada iteración se acerca más a un valor, lo cual se puede observar en los siguientes gráficosSe ve con cada iteración se acerca más a un valor, lo cual se puede observar en los siguientes gráficos

3550.0003550.000

3600.0003600.000

3650.0003650.000

3700.0003700.000

3750.0003750.000

3800.0003800.000

3850.0003850.000

3900.0003900.000

3950.0003950.000

4000.0004000.000

4050.0004050.000

0 0 5 5 110 0 115 5 2200

f´s (kg/cm2) vs N° f´s (kg/cm2) vs N° IteracionIteracioneses

1892000.001892000.00

1894000.001894000.00

1896000.001896000.00

1898000.001898000.00

1900000.001900000.00

1902000.001902000.00

1904000.001904000.00

1906000.001906000.00

1908000.001908000.00

0 0 5 5 110 0 115 5 220 0 2255

Mu (kgcm) vs IteracionMu (kgcm) vs Iteracion





2-. Para una viga V25/45 determine la armadura necesaria si se usa hormigón H30 y Acero A63-42, si se presenta la2-. Para una viga V25/45 determine la armadura necesaria si se usa hormigón H30 y Acero A63-42, si se presenta lasiguiente tabla de momentossiguiente tabla de momentos

ppuunntto o 1 1 2 2 3 3 4 4 55

CCoommbb1 1 33220077111 1 44116677332 2 88773355229 9 77550033116 6 553377770033

CCoommbb2 2 33000099116 6 11669955001 1 550011333 3 11332 2 113399666699

CCoommbb3 3 99003355112 2 550077113 3 11663300221 1 22990033332 2 333300773355

*Momentos en Kg*cm*Momentos en Kg*cm

DesarrolloDesarrollo

fćfć 250250kgkg

ccmm22

fyfy 42004200kgkg

ccmm22

bb 2525ccmm dd 4343ccmm

d1d1 22ccmm 11 0.80.8 EsEs 2.1102.11066

kgkg

cmcm22

a) Se calculara armadura base:a) Se calculara armadura base:

AAsmsmin in mmaaxx 1414kgkg

cmcm22

bb

dd

fyfy

0.80.8 fćfćkgkg

cmcm22

fyfybb dd

AsminAsmin 3.5833.583ccmm

22

AsmaxAsmax 0.750.750.850.85 fćfć 11 0.0030.003 EsEs( ( ))

f y f yf y f y 0.0030.003EsEs( ( )) bb AsmaxAsmax 20.80420.804ccmm

22

se utilizaran 2se utilizaran 2ϕϕ16 para16 paraenseñar a usar refuerzo deenseñar a usar refuerzo dearmadura a compresión.armadura a compresión.

AAss 2 2 22 ccmm22

tabla obtenida detabla obtenida dewww.gerdauaza.clwww.gerdauaza.cl

b) Se determina momento que puede resistir b) Se determina momento que puede resistir la viga con esta armadurala viga con esta armadura

aaAs fyAs fy

0.850.85fć bfć b aa 3.1623.162ccmm

ccaa

11 cc 3.723.72 ccmm

apunte de ayudantia ha - baixardoc.com

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