ayudantia extra c2

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA PROF. HUMBERTO VILLALOBOS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA Y AMBIENTAL AYUD. XIMENA CASTILLO

PRIMER SEMESTRE 2011 ALEJANDRO ARCE - PABLO AGUILERA

IWQ 214 – ANÁLISIS Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS INDUSTRIALES

Ayudantía Extra – Certamen 2

1. En una investigación a escala de planta piloto se analizaron dos factores cuantitativos, temperatura T y concentración C, y solamente un factor cualitativo, tipo de catalizador K . En la siguiente tabla se presentan los resultados obtenidos.

Factores Rendimiento (% )Temperatura

T (°C )Concentración

C (%)Catalizador

KI II

160 20 A 80 62180 20 A 65 63160 40 A 69 73180 40 A 74 80160 20 B 81 79180 20 B 84 86160 40 B 91 93180 40 B 93 93

a. Establezca el modelo de diseño estadístico que represente el rendimiento de la planta piloto. Mediante un análisis grafico comente la significancia de los efectos principales.Para un diseño 23 con dos replicas, el modelo estadístico está dado por:

y ijkl=μ+T i+C j+K k+T C ij+TK ik+CK jk+TC K ijk+ε ijkl

Donde se cumple que:

ε ijkl N (0 , σε2 )

A continuación se presentan los gráficos de los efectos principales del experimento:

Estos se realizan graficando el nivel del factor (alto o bajo) versus la respuesta obtenida para este nivel, es decir, la suma de todas las réplicas para cada uno de los niveles. Es importante cuidar que en los 3 gráficos el eje y se encuentre graduado de la misma manera para que la tendencia que estos entregan no sea errónea.

De esta forma, de los gráficos se puede concluir que el efecto que influye más en el diseño es el “Tipo de Catalizador” seguido por la “Concentración”, teniendo en último lugar al efecto de la “Temperatura”, esto de acuerdo a las pendientes de las gráficas (grafico para Catalizador presenta una pendiente mayor).

HVT / XCR




b. Mediante el uso de la tabla ANDEVA evalué la significancia de los efectos principales e interacciones del modelo.Para utilizar la tabla ANDEVA, hemos de realizar primero la tabla resumen, tal como se presenta a continuación.

Tratamiento

T C TC K TK CK TCK

(1) -1

142 -1

142 1 142 -1

142 1 142 1 142 -1

142

t 1 128 -1

128 -1

128 -1

128 -1

128 1 128 1 128

c -1

142 1 142 -1

142 -1

142 1 142 -1

142 1 142

tc 1 154 1 154 1 154 -1

154 -1

154 -1

154 -1

154

k -1

160 -1

160 1 160 1 160 -1

160 -1

160 1 160

tk 1 170 -1

170 -1

170 1 170 1 170 -1

170 -1

170

ck -1

184 1 184 -1

184 1 184 -1

184 1 184 -1

184

tck 1 186 1 186 1 186 1 186 1 186 1 186 1 186Total 10 66 18 134 14 14 -34

Divisor 8 8 8 8 8 8 8Efecto 1,250 8,250 2,250 16,75

01,750 1,750 -4,250

Donde se colocan las sumas de todas las réplicas para cada una de las combinaciones de nivel. Además se tiene que:

Total=∑ respuesta total decadanivel

Divisor=¿ replicas∗2k−1=r∗2k−1

Efecto=Total /Divisor

Nota: Tener en cuenta las diferentes formas en las cuales la información puede ser entregada.

Temperatura

T (°C )

ConcentraciónC (%)

CatalizadorK

160 - 20 - A - (1) t 1c1 k1180 + 20 - A - t t 2c1 k1160 - 40 + A - c t 1c2 k1180 + 40 + A - tc t 2c2 k1160 - 20 - B + k t 1c1 k2180 + 20 - B + tk t 2c1 k2160 - 40 + B + ck t 1c2 k2180 + 40 + B + tck t 2c2 k2

Teniendo la tabla resumen completa, procedemos a completar la tabla ANDEVA:

HVT / XCR




F. de V. GL SC CM Fobservado

T 1 6,25 6,25 0,255C 1 272,25 272,25 11,112K 1 1122,25 1122,25 45,806

TC 1 20,25 20,25 0,827TK 1 12,25 12,25 0,500CK 1 12,25 12,25 0,500

TCK 1 72,25 72,25 2,949Residual 8 196,00 24,50

Total 15 1713,75

Donde:

GLTotal=¿ datos−1

SC Efect os=(Total tabla resumen )2

r∗2k

SCTotal=(n−1 )∗S y2

CM=SCGL

Fobservado=CM EfectoCM Residual

Habiendo completado la tabla ANDEVA, se procede a evaluar la significancia de los efectos principales e interacciones planteando la siguiente regla de decisión:

RD : {Fobs/Fobs>F1−α ; (GLEfecto; GLResidual ) }Donde, utilizando un 5% de significancia se tiene que:

RD : {Fobs/Fobs>F0,95 ; (1 ;8 )=5,318}Planteamos ahora nuestras hipótesis:

H 0 :Efecto=0 vsH 1 :Efecto≠0

Obteniéndose:

Fuente de Variación

Fobservado F0,95 ; (1 ;8 ) Conclusión

T 0,255 5,318 No RechazoC 11,112 5,318 RechazoK 45,806 5,318 Rechazo

TC 0,827 5,318 No RechazoTK 0,500 5,318 No RechazoCK 0,500 5,318 No Rechazo

TCK 2,949 5,318 No Rechazo

De modo que se tiene que solo los factores C y K son significativos.

HVT / XCR




Por ende, nuestro modelo queda reducido a:

y ijk=μ+C j+ K k

c. ¿Los datos sustentan la hipótesis de normalidad en los residuos?De la pregunta anterior, tenemos que el modelo ajustado está determinado por:

y ijk=μ+C j+ K k

y ijk=79,125+8,2502

∗x j+16,7502

∗xk

Donde se tiene que

x i={−1 si esnivel bajo+1 si esnivel alto

De esta forma, calculamos los pronósticos para cada nivel, valor que luego utilizamos para calcular los residuos de acuerdo a:

rijkl= y ijkl− y ijk

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos para cada tratamiento.

ResiduosTratamiento C K Estimado I II

(1) -1 -1 66,625 13,375 -4,625t -1 -1 66,625 -1,625 -3,625c 1 -1 74,875 -5,875 -1,875tc 1 -1 74,875 -0,875 5,125k -1 1 83,375 -2,375 -4,375tk -1 1 83,375 0,625 2,625ck 1 1 91,625 -0,625 1,375tck 1 1 91,625 1,375 1,375

Se procede ahora a ordenar los residuos de menor a mayor en la siguiente tabla:

i Datos Fx Obs Fx Esp Dn Dn Abs1 -5,875 0,031 0,1176 -0,0864 0,08642 -4,625 0,094 0,1751 -0,0813 0,08133 -4,375 0,156 0,1884 -0,0321 0,03214 -3,625 0,219 0,2320 -0,0132 0,01325 -2,375 0,281 0,3157 -0,0344 0,03446 -1,875 0,344 0,3524 -0,0087 0,00877 -1,625 0,406 0,3713 0,0349 0,03498 -0,875 0,469 0,4298 0,0389 0,03899 -0,625 0,531 0,4498 0,0815 0,0815

10 0,625 0,594 0,5502 0,0435 0,0435

HVT / XCR




11 1,375 0,656 0,6094 0,0468 0,046812 1,375 0,719 0,6094 0,1093 0,109313 1,375 0,781 0,6094 0,1718 0,171814 2,625 0,844 0,7021 0,1417 0,141715 5,125 0,906 0,8498 0,0565 0,056516 13,375 0,969 0,9966 -0,0278 0,0278

Donde:

F x obs=i−0,5n

=1−0,516

F x esp=P [Z≤ ri−0

√CM Residual ]De esta forma, teniendo la tabla ya completa, se procede a plantear la siguiente regla de decisión:

RD : {Dn ,máx /Dn ,máx>Dn ,Tabla=Dn ,(1−α )}Así, para una muestra de 16 datos, con un 5% de significancia, la regla de decisión queda:

RD : {Dn ,máx /Dn ,máx>0,213 }Dn , máx=0,1718<0,213

Considerando que las hipótesis del test son:

H 0 :Siguen distribuciónnormal vsH 1 :No siguendistribuciónnormal

Como mi regla de decisión no se cumple, no puedo rechazar mi hipótesis nula, por lo que no puedo rechazar que los residuos sigan una distribución normal.

d. ¿Se puede establecer el supuesto de homogeneidad de varianzas?Para determinar si las varianzas son o no homogéneas utilizamos el “test de Cochrane”. Para esto, se debe calcular la varianza asociada a los residuos de cada combinación de tratamiento, tal y como se muestra en la siguiente tabla.

ResiduosTratamiento I II Varianza

(1) 13,375 -4,625 162t -1,625 -3,625 2c -5,875 -1,875 8tc -0,875 5,125 18k -2,375 -4,375 2tk 0,625 2,625 2ck -0,625 1,375 2tck 1,375 1,375 0

Teniendo estos resultados, planteamos la regla de decisión asociada al test:

RD : {C /C>C r , k; (1−α ) }

HVT / XCR




Donde

C=Máx {S i

2 }∑ S i

2

Reemplazando, tenemos:

C= 162162+2+8+18+2+2+2+0

=162196

=0,827

De la tabla tenemos que

C2 ,8 ; (0,95 )=0,5157

Nota: “r” corresponde al número de réplicas con las que se está trabajando, mientras que “k” corresponde al número de niveles (combinaciones de tratamiento).

Siendo nuestras hipótesis que

H 0 :varianzas homogeneas (σ i2=σ2 ) vsH 1: varianzasno homogeneas(σ i

2≠σ2)

Tenemos que nuestra regla de decisión si se cumple, por lo que rechazamos nuestra hipótesis nula, es decir, las varianzas de los residuos no son homogéneas.

e. Si se desea reducir el experimento a un diseño factorial 22 utilizando la ecuación definitoria TCK . ¿Cuáles son los dos grupos que formaría?, ¿es una buena ecuación definitoria?Considerando la ecuación definitoria entregada:

I=TCK→L=x1+x2+x3

Se procede a realizar la formación de los dos grupos requeridos de acuerdo a la siguiente tabla:

Corrida L(1) 0

t 1c 1tc 0k 1tk 0ck 0tck 1

Reordenando, se tienen los siguientes grupos:

( 1 )tctkck

tck

tck

Para saber si son buenas ecuaciones definitorias o no establecemos cuales son los alias asociados a los efectos principales:

HVT / XCR




TCKT → CK → lT +CK

C → TK → lC+TK

K → TC → lK+TC

Como se puede apreciar, no se encuentran efectos confundidos dentro del mismo grupo, por lo que se puede decir que la ecuación definitoria empleada es buena.

HVT / XCR




2. (C2-2010-S1) Las impurezas en forma de óxido de hierro disminuyen en valor económico y la utilidad de minerales industriales, como el caolín, utilizados en las industrias cerámicas y de procesamiento de papel. Se efectuó un diseño factorial para evaluar el porcentaje de hierro eliminado de muestras de caolín, en donde los factores y los resultados obtenidos se muestran a continuación:

Corrida

% de hierro Corrida % de hierro

( 1 ) 7 d 28a 11 ad 51b 7 bd 33

ab 12 abd 57C 21 cd 70ac 41 acd 95bc 27 bcd 77

abc 48 abcd 99

Factor

Descripción Bajo Alto

A H 2SO 4 (M) 0,10 0,25B Toiurea (g/L) 0,0 5,0C Temperatura (°C) 70 90D Tiempo (min) 30 130

a. Mediante el uso de la tabla resumen realice una gráfica de probabilidad de los tratamientos y evalúe cuál de estos puede ser considerado para estimar la varianza residual.Para realizar la gráfica de probabilidad debemos completar primero la tabla resumen, tal como se muestra a continuación:

Corrida

Y ijkl A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CDACD

BCDABC

D( 1 ) 7 - - + - + + - - + + - + - - +

a 11 + - - - - + + - - + + + + - -

b 7 - + - - + - + - + - + + - + -

ab 12 + + + - - - - - - - - + + + +

c 21 - - + + - - + - + + - - + + -

ac 41 + - - + + - - - - + + - - + +

bc 27 - + - + - + - - + - + - + - +

abc 48 + + + + + + + - - - - - - - -

d 28 - - + - + + - + - - + - + + -

ad 51 + - - - - + + + + - - - - + +

bd 33 - + - - + - + + - + - - + - +

abd 57 + + + - - - - + + + + - - - -

cd 70 - - + + - - + + - - + + - - +

acd 95 + - - + + - - + + - - + + - -

bcd 77 - + - + - + - + - + - + - + -

abcd 99 + + + + + + + + + + + + + + +

Total 684144

36 0272

32 12 -4336

44 8 -4 72 -32 -12 -4

Divisor

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

Efecto 18 4,5 0 34 4 1,5 -0,5 42 5,5 1 -0,5 9 -4 -1,5 -0,5

HVT / XCR




Para realizar la gráfica solicitada, ordenamos los efectos (valores) de menor a mayor, como se indica en la siguiente tabla:

i Efecto Probabilidad1 -4 0,032 -1,5 0,13 -0,5 0,174 -0,5 0,235 -0,5 0,36 0 0,377 1 0,438 1,5 0,59 4 0,57

10 4,5 0,6311 5,5 0,712 9 0,7713 18 0,8314 34 0,915 42 0,97

Donde la probabilidad viene dada por la expresión:

Probabilidad=i−0,5n

=i−0,515

Graficando así la probabilidad versus el efecto tenemos:

Nota: Este ejercicio corresponde al certamen 2 de 2010-1s, de modo que en honor al tiempo no se requiere tanto detalle a la hora de realizar la gráfica. Solo es necesario realizar una gráfica de manera cualitativa considerando de la tabla resumen que efectos son importantes y “dibujándolos” lejos de la línea trazada. De esta forma, el número de efectos utilizados en la tabla ANDEVA dependerá del criterio de cada uno.

HVT / XCR




Así, de acuerdo a la gráfica, los efectos que pueden ser considerados en el cálculo de la varianza residual serán los que sean considerados como no significativos, es decir, los efectos AB, BC, ABC, BD, ABD, BCD, ABCD (atravesados por la línea roja en la gráfica).

b. Con la información obtenida anteriormente, utilice la tabla ANDEVA para evaluar si existe una combinación de tratamiento que sea más efectiva que otra.Luego de realizar la gráfica de probabilidad, procedemos a completar la tabla ANDEVA, colocando solo los efectos principales e interacciones que puedan ser considerados como significativos.De esta forma, la tabla ANDEVA ya completa queda:

F. de Variación GL SC CM Fobs

A 1 1296 1296 362,88B 1 81 81 22,68C 1 4624 4624 1294,72D 1 7056 7056 1975,68

AC 1 64 64 17,92AD 1 121 121 33,88CD 1 324 324 90,72

ACD 1 64 64 17,92Residual 7 25 3,571

Total 15 13655

Nota: Al realizar este ejercicio en ayudantía utilice menos efectos e interacciones que ahora. Todo depende de lo que cada uno considere y que sea coherente a la hora de desarrollar el ejercicio completo.

De esta forma, procedemos a plantear nuestra regla de decisión considerando un 5% de significancia:

RD : {Fobs/Fobs>F1−α ; (GLEfecto; GLResidual ) }RD : {Fobs/Fobs>F1−0,05 ; (1 ;7 )=5,591 }

Planteamos ahora nuestras hipótesis:

H 0 :Efecto=0 vsH 1 :Efecto≠0

Obteniéndose:


Fobservado F0,95 ; (1 ;7 ) Conclusión

A 362,88 5,591 RechazoB 22,68 5,591 RechazoC 1294,72 5,591 RechazoD 1975,68 5,591 Rechazo

AC 17,92 5,591 RechazoAD 33,88 5,591 RechazoCD 90,72 5,591 Rechazo

ACD 17,92 5,591 Rechazo

De esta forma, se tiene que todos los efectos e interacciones considerados son significativos, por lo que nuestro modelo ajustado queda expresado de la forma:

HVT / XCR




y ijkl= μ+ Ai+ B j+C k+Dl+ ACik+ ADil+CDkl+ ACDikl

Ahora, se nos pregunta si existe alguna combinación de tratamiento que sea mejor que otra. Considerando que en la tabla ANDEVA todos los efectos e interacciones elegidos son significativos, hemos de realizar el test de “mínimas diferencias significativas” a las combinaciones de tratamiento asociadas a los efectos elegidos.

Así, para este test tenemos la siguiente regla de decisión:

RD : {y i− y j / y i− y j> t1−α ; (GLResidual )√ 2CMResr }

Donde al ser un diseño con una sola replica, no es necesario calcular ningún promedio, sino que se coloca directamente el valor entregado (respuesta).

Reemplazando los valores necesarios:

t 0,95 ; (7 )=1,895

√ 2CMResr

=2,672

RD : { y i− y j / y i− y j>5,0643 }Procedemos a ordenar los tratamientos de menor a mayor, tal y como se indica en la siguiente tabla, y se procede a

Efecto Corrida RespuestaB y1211 7A y2111 11C y1121 21D y1112 28

AC y2121 41AD y2112 51CD y1122 70

ACD y2122 95

De este test se puede concluir que las combinaciones de tratamiento asociadas a las fuentes de variación significativas si presentan diferencias entre sí, siendo la corrida acd la que entrega una mayor respuesta.

c. Determine la probabilidad acumulada asociada a los residuos de las combinaciones de tratamientos c y ad.Considerando el modelo ajustado:

y ijkl= μ+ Ai+ B j+C k+Dl+ ACik+ ADil+CDkl+ ACDikl

y ijkl=42,75+182

∗x i+4,52

∗x j+342

∗xk+422

∗x l+42∗x i xk+

5,52

∗x i x l+92∗xk x l−

42∗xi xk x l

Donde se tiene que

HVT / XCR





Para determinar las probabilidades acumuladas asociadas a los residuos de los tratamientos c y ad , es necesario primero calcular los pronósticos asociados.

De esta forma se tiene para el pronóstico de c:

y1121=42,75+182

∗(−1 )+ 4,52

∗(−1 )+ 342

∗(+1 )+ 422

∗(−1 )+ 42∗(−1 ) (+1 )+ 5,5

2∗(−1 ) (−1 )+ 9

2∗(+1 ) (−1 )−4

2∗(−1 ) (+1 ) (−1 )

y1121=21,75

De esta forma se tiene para el pronóstico de ad :

y2112=42,75+182

∗(+1 )+ 4,52

∗(−1 )+ 342

∗(−1 )+ 422

∗(+1 )+ 42∗(+1 ) (−1 )+ 5,5

2∗(+1 ) (+1 )+ 9

2∗(−1 ) (+1 )−4

2∗(+1 ) (−1 ) (+1 )

y2112=51,75

Así los residuos están dados por:

r1121= y1121− y1121=21−21,75=−0,75

r2112= y2112− y2112=51−51,75=−0,75

Como ambos residuos son iguales, las probabilidades acumuladas asociadas serán iguales, dadas por:

P[Z≤ r−0√CM Residual ]=P [Z ≤

−0,75√3,571 ]=P [Z≤−0,3969 ]=0,3457

d. Si se considera una fracción de un cuarto, 24−2, con las ecuaciones definitorias ACD y ABD. ¿Cuáles son los cuatro grupos que formaría?, ¿son buenas ecuaciones definitorias?Considerando las dos ecuaciones definitorias entregadas:

I=ACD→L1=x1+x3+x4I=ABD→L2=x1+x2+x4

Se procede a realizar la formación de los cuatro grupos requeridos de acuerdo a la siguiente tabla:

Corrida L1 L2 Corrida L1 L2( 1 ) 0 0 d 1 1

a 1 1 ad 0 0b 0 1 bd 1 0

ab 1 0 abd 0 1c 1 0 cd 0 1

ac 0 1 acd 1 0bc 1 1 bcd 0 0

abc 0 0 abcd 1 1

HVT / XCR





( 1 )abcadbcd

bac

abdcd

abc

bdacd

abcd

abcd


ACD ABD BCA → CD BD ABC → lA+CD+BD+ABC

B → ABCD AD C → lB+ABCD+AD+C

C → AD ABCD B → lC+AD+ABCD+B

D → AC AB BCD → lD+AC +AB+BCD

Como se puede apreciar, no se encuentran efectos confundidos dentro de los mismos grupos, por lo que se puede decir que las ecuaciones definitorias empleadas son buenas.

HVT / XCR




3. (C2-2010-S2) En un estudio de procesos para eliminar impurezas de artículos de celulosa se consideró un diseño factorial fraccionado 25−2, donde los factores controlados fueron los siguientes: concentración de la enzima (A), pH (B), temperatura (C), tiempo (D) y calidad de la celulosa (E), mientras que las ecuaciones definitorias utilizadas son ABD y ACE. Se obtuvieron los siguientes datos asociados con un proceso de desencolado.

Corrida Réplica 1 Réplica 2 Réplica 3 Corrida Réplica 1 Réplica 2 Réplica 3b 9,72 11,50 10,53 ae 12,70 12,37 11,88ac 12,80 14,01 12,34 bce 11,96 12,05 12,00d 10,13 11,27 9,99 abde 11,38 9,92 10,54

abcd 11,80 11,30 11,43 cde 11,80 11,10 11,45

a. Determine cada uno de los alías asociados a los efectos principales y realice una estimación de los efectos principales. ¿Cuál es el efecto aparentemente más importante?

b. Utilizando la tabla ANDEVA, pruebe la significancia de los efectos principales y de las interacciones entre BC y CD. Sobre la base de los resultados obtenidos, ¿cuál sería una propuesta de diseño para una futura investigación?

c. Sobre la base del modelo ajustado, realice una predicción de los residuos asociados a las combinaciones de niveles ae=12,70 y ac=14,01. ¿Cuál presenta una mayor probabilidad acumulada teórica?

HVT / XCR




4. (C2-2009) Una compañía ganó un contrato para fabricar gabinetes de aluminio con recubrimiento de un polímero plástico para transceptores. El equipo de investigación que tenía la responsabilidad de desarrollar un proceso para adherir la capa de polímero al aluminio, identificó cinco factores en el proceso que posiblemente afectaran la adhesión. Estos eran: el tipo de aleación de aluminio (A), el tipo de solvente usado para limpiar el aluminio (S), la estructura molecular del recubrimiento de polímero (M), el porcentaje de catalítico usado en el proceso de adhesión (C) y la temperatura de curado en el proceso (T). Decidieron usar un factorial fraccionario 25−1 que requería sólo 16 unidades experimentales. La interacción de cinco factores ASMCT fue el contraste de definición utilizado para generar el diseño, así podrían correr la segunda mitad del diseño, si fuera necesario completar el factorial. De la misma manera, la fracción media podía proporcionar suficiente información para indicar la necesidad de alterar los niveles de algunos factores o eliminar aquellos sin efectos.

Efecto EstimaciónCuantil Normal

A -3,94 -1,74AS -3,69 -1,24S -0,76 -0,94

SC -0,74 -0,71AM -0,41 -0,51C -0,24 -0,33

SM -0,09 -0,16AC 0,14 0,00ST 0,16 0,16CT 0,44 0,33AT 0,74 0,61MC 0,74 0,61MT 1,09 0,94T 3,61 1,24M 9,71 1,74

F. de V. g.l. SC CM111

S 1

Residual 10Total 15 561,41

a. Mediante la ecuación definitoria propuesta, establezca los alias de los efectos principales y de las interacciones dobles. ¿Es una buena ecuación definitoria?Considerando la ecuación definitoria entregada:

I=ASMCT→L1=x1+x2+x3+x4+x5

Se procede ahora a determinar los alias de los efectos principales y de las interacciones dobles a fin de determinar si son buenas ecuaciones definitorias o no.

HVT / XCR




De esta forma, para los efectos principales tenemos:

ASMCTA → SMCT → lA+SMCT

S → AMCT → lS+AMCT

C → ASMT → lC+ASMT

T → ASMC → lT +ASMC

M → ASCT → lM +ASCT

De igual manera, para las interacciones dobles tenemos:

ASMCTAS → MCT → lAS+MCT

SC → AMT → lSC+ AMT

AM → SCT → lAM+SCT

SM → ACT → lSM+ACT

AC → SMT → lAC+SMT

ST → AMC → lST +AMC

CT → ASM → lCT+ASM

AT → SMC → lAT+SMC

MC → AST → lMC+AST

MT → ASC → lMT+ASC

De esta forma, podemos ver que la ecuación definitoria utilizada es buena, debido a que no se encuentran efectos confundidos dentro del mismo grupo.

b. Considerando la información entregada en la tabla ANDEVA y la gráfica de probabilidad de los efectos. Complete la Tabla ANDEVA y evalúe la significancia de las combinaciones de niveles adecuadas de la tabla.Con la información entregada en el enunciado procedemos a completar la tabla ANDEVA teniendo en cuenta que:

Efecto= Total

r ⋅2k−1=Total

24−1

SC=[Total ]2

r ⋅2k=

[Total ]2

24

Consideramos los efectos e interacciones más significativos de acuerdo a la gráfica de probabilidad entregada y los colocamos en la tabla ANDEVA para evaluar si son efectivamente importantes para el diseño, tal y como se muestra a continuación.

F. de V. GL SC CM Fobs

A 1 62,09 62,09 46,77T 1 52,13 52,13 39,27M 1 377,14 377,14 284,07S 1 2,31 2,31 1,74

HVT / XCR




AS 1 54,46 54,46 41,02Residual 10 13,28 1,33

Total 15 561,41Para evaluar si efectivamente son significativos los efectos seleccionados, se plantea la siguiente regla de decisión con un 5% de significancia:

RD : {Fobservado/Fobservado>F1−α ; (GLEfecto ;GL Residual ) }RD : {Fobservado/Fobservado>F1−0,05 ; (1 ;10)=4,965 }

Planteamos ahora nuestras hipótesis:H 0 :Efecto=0 vsH 1 :Efecto≠0

Obteniéndose:


Fobservado F0,95 ; (1 ;10) Conclusión

A 46,77 4,965 RechazoT 39,27 4,965 RechazoM 284,07 4,965 RechazoS 1,74 4,965 No Rechazo

AS 41,02 4,965 Rechazo

De esta forma se puede decir que los efectos principales A, T , M y la interaccion doble AS son significativas para el experimento.

c. Realice, de ser posible, los pronósticos para las observaciones a, c, at y mt.De acuerdo a los resultados obtenidos de la tabla ANDEVA podemos plantear nuestro modelo ajustado:

y ijklm=μ+ A i+M k+T m+ ( AS )ij

y ijklm=μ−3,942

∗x i+9,712

∗xk+3,612

∗xm−3,692

∗xi x j

Donde se tiene que:


Ahora, como no podemos determinar cuánto es el promedio muestral, dejaremos los pronósticos expresados en función suya.

De esta forma, los pronósticos para cada una de las observaciones solicitadas serán:

a: y21111= μ−3,942

(+1 )+ 9,712

(−1 )+ 3,612

(−1 )−3,692

(+1 ) (−1 )= μ−6,785

c: y11121= μ−3,942

(−1 )+ 9,712

(−1 )+3,612

(−1 )−3,692

(−1 ) (−1 )= μ−6,535

HVT / XCR




at: y21112= μ−3,942

(+1 )+ 9,712

(−1 )+3,612

(+1 )−3,692

(+1 ) (−1 )= μ−3,175

mt: y11212= μ−3,942

(−1 )+ 9,712

(+1 )+ 3,612

(+1 )−3,692

(−1 ) (−1 )= μ+6,875

d. Si se considera una fracción de un cuarto, 25−2, con las ecuaciones definitorias ASC y AMT. ¿Cuáles son los cuatro grupos que formaría?, ¿son buenas ecuaciones definitorias?Considerando las dos ecuaciones definitorias entregadas:

I=ASC→L1=x1+x2+x 4

I=AMT→L2=x1+x3+x5

Se procede a realizar la formación de los cuatro grupos requeridos de acuerdo a la siguiente tabla:

Corrida L1 L2 Corrida L1 L2( 1 ) 0 0 t 0 1

a 1 1 at 1 0s 1 0 st 1 1

as 0 1 ast 0 0m 0 1 mt 0 0

am 1 0 amt 1 1sm 1 1 smt 1 0

asm 0 0 asmt 0 1c 1 0 ct 1 1

ac 0 1 act 0 0sc 0 0 sct 0 1

asc 1 1 asct 1 0mc 1 1 mct 1 0

amc 0 0 amct 0 1smc 0 1 smct 0 0

asmc 1 0 asmct 1 1


( 1 )asm

scamcastmtact

smct

sam

casmcmctasctsmtat

asmac

smct

asmtsct

amct

asmascmc

asmctst

amtct


ASC AMT SMCTA → SC MT ASMCT → lA+SC+MT+ASMCT

S → AC ASMT MCT → lS+AC+ASMT +MCT

HVT / XCR




M → ASMC AT SCT → lM +ASMC+AT+SCT

C → AS AMCT SMT → lC+AS+AMCT+SMT

T → ASCT AM SMC → lT +ASCT+AM+SMC

En este caso, si se encuentran efectos confundidos dentro de un mismo grupo, por lo que las ecuaciones definitorias empleadas no son buenas.

HVT / XCR

ayudantia extra c2

Documents