analisis sinusoidal -...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 8

ANALISIS SINUSOIDAL

8.1. Redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado estacionario

Se desea desarrollar métodos eficientes para analizar redes sometidas a excitaciones

sinusoidales.

Nos interesará determinar la solución de la red que solamente depende de las excitaciones

sinusoidales.

Supongamos que en cierto instante to, instante de referencia, conectamos las excitaciones a la

red; la solución contendrá una parte que dependerá del estado inicial, es decir de las condiciones

iniciales y otra parte que dependerá de las excitaciones sinusoidales.

Después de un lapso de tiempo, todas las variables de la red serán sinusoidales, esto se

justificará en 8.2. Esto sucederá cuando los términos que componen la parte transitoria de la

respuesta, puedan considerarse que son iguales a cero, dependiendo de la exactitud con que se

desee realizar los cálculos.

Cuando todas las variables de la red, que forman el conjunto de la solución, se han

estacionado en señales estrictamente sinusoidales, diremos que la red se encuentra en estado

estacionario.

La importancia del estudio de métodos adecuados para tratar redes en régimen sinusoidal se

justifica por los siguientes hechos:

La generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica se efectúa mediante señales

sinusoidales.

Las señales con formas de ondas complejas pueden ser representadas por sumas de señales

sinusoidales, mediante desarrollos en series de Fourier. Además, si el sistema es lineal, se

podrá aplicar superposición; con lo cual podremos determinar la respuesta, para cualquier

excitación periódica, si conocemos la respuesta a una excitación sinusoidal. En la especialidad

de Electrónica se presentan a menudo señales con formas de ondas complejas. Ejemplos típicos

son las señales de audio y video, empleadas en la transmisión de información.

En este curso, estudiaremos redes sometidas a excitaciones sinusoidales de igual frecuencia

angular. Esta restricción no restará generalidad a los métodos que desarrollaremos; ya que

mediante la aplicación del teorema de superposición, siempre se podrá descomponer el

problema en redes que solamente estén sometidas a sinusoidales, de igual frecuencia angular.

2 Teoría de Redes Eléctricas


Ejemplo 8.1.

En la Figura 8.1 se muestra una red con dos excitaciones de frecuencias angulares diferentes,

y se desea calcular como respuesta el voltaje v.

v2=A2cos( 2t)

v1=A1cos( 1t)

v

Red lineal

e invariante

Figura 8.1. Red con dos excitaciones.

El estudio se puede efectuar analizando, por separado, las redes que se muestran en las

Figuras 8.2 y 8.3.

v2=A2cos( 2t) V10

Red lineal

e invariante

Figura 8.2. Red con excitación uno igual a cero.

v1=A1cos( 1t)

V20

Red lineal

e invariante

Figura 8.3. Red con excitación dos igual a cero.

Capítulo 8. Análisis sinusoidal 3


Cada una de estas redes está sometida a una excitación sinusoidal solamente, y cada una de

ellas podrá ser analizada por los métodos especiales que serán desarrollados en este capítulo.

Luego de obtenidas las respuestas individuales, la respuesta total, debido a la propiedad de

superposición, será:

10 20v V V (8.1)

8.2. Propiedades de las señales sinusoidales

Denominamos señal sinusoidal a una que tenga uno de los dos siguientes modelos

matemáticos.

( ) cos( )

( ) ( )

f t F t

f t Fsen t

(8.2)

En el capítulo 4, sobre métodos generales de análisis, se vio que las ecuaciones de la red

contienen sumas de las variables y además derivadas e integrales de esas variables.

Mostraremos a continuación que dichas ecuaciones pueden satisfacerse, si todas las variables

son sinusoides de igual frecuencia angular.

8.2.1. Derivada

La derivada de una señal sinusoidal de frecuencia angular , es una señal sinusoidal de igual

frecuencia.

Sea:

( ) sen( )f t F t (8.3)

Derivando (8.3) se obtiene:

( )cos( ) sen( )

2

df tF t F t

dt

(8.4)

La derivada de una señal sinusoidal es también una señal sinusoidal, de igual frecuencia

angular, pero de distinta amplitud y fase.

8.2.2. Integral

La integral de una señal sinusoidal de frecuencia angular , es una señal sinusoidal de igual

frecuencia, pero de diferente amplitud y fase.

Integrando, en forma definida, la señal sinusoidal (8.3) se obtiene:

( ) cos( ) cos( )

o

t

ot

F Ff d t t

(8.5)



Si se escoge to, con n entero, tal que:

(2 1)2

ot n (8.6)

Se obtiene:

( )

2( ) cos( )

o

t

t

Fsen t

Ff d t

(8.7)

8.2.3. Suma de sinusoidales

La suma de dos señales sinusoidales, de igual frecuencia angular , es una señal sinusoidal

de la misma frecuencia.

Sea:

1 2( ) sen( ) cos( )f t F t F t (8.8)

A partir de la siguiente identidad trigonométrica:

( ) sen( ) cos( ) ( ) ( )cos( )f t F t F sen t Fsen t (8.9)

Comparando (8.8) y (8.9), se obtiene el sistema de ecuaciones:

1

2

cos( )

( )

F F

Fsen F

(8.10)

Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones y además obteniendo el cuociente de (8.10),

se obtiene la solución del sistema:

2 2

1 2

2

1

)( nF

F F F

Farctg

(8.11)

Escogiendo el valor positivo de F, y el valor principal para el ángulo se obtiene:

2 2 21 2

1

( ) sen arctgF

f t F F tF

(8.12)



8.2.4. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

8.2.4.1. Excitados por señales sinusoidales

Si observamos las matrices resultantes de los distintos métodos generales de análisis, y

aplicamos los conceptos del punto 8.2.1., nos daremos cuenta que si las excitaciones de una red

lineal e invariante en el tiempo son señales sinusoidales de igual frecuencia, se tendrá que las

incógnitas deberán ser señales sinusoidales de la misma frecuencia angular; ya que en las

ecuaciones aparecen sumas, derivadas e integrales de las variables.

Entonces en una red en estado estacionario se tendrá:

e1=E1cos( t) r1=R1cos( t+ 1) Red lineal

e invariante

Figura 8.4. Sistema lineal con excitación real.

Para la excitación:

1 1 cos( ) e E t (8.13)

la respuesta será:

1 1 1cos( ) r R t (8.14)

Es importante notar que la respuesta tiene igual frecuencia que la excitación; pero, en

general, tendrá distinta fase y amplitud.

8.2.4.2. Excitados por señales exponenciales imaginarias

Se denomina función exponencial imaginaria a:

( ) j te t Ee (8.15)

Donde:

1j (8.16)

Es conveniente que se asocie a la raíz de menos uno el símbolo j, ya que en ingeniería

eléctrica la letra i se emplea para identificar corrientes.



Se desea determinar la respuesta de un sistema lineal e invariante en estado estacionario a

una excitación exponencial imaginaria. Como veremos, esto conducirá a un método

simplificado para estudiar redes en las condiciones descritas anteriormente.

Si al sistema de la Figura 8.4, le aplicamos la excitación e2:

2 1 1( ) sen( ) cos( )2

e t E t E t (8.17)

Se tendrá, aplicando la propiedad de invariancia temporal, la siguiente respuesta:

2 1 1( ) cos( )2

r t R t (8.18)

Aplicando propiedades de funciones sinusoidales, (8.18) puede escribirse, en forma

equivalente según:

2 1 1( ) sen( )r t R t (8.19)

Como el sistema es lineal, será homogéneo; y se tendrá, multiplicando (8.17) y (8.19) por j,

que se cumple la relación causa-efecto que se ilustra en la Figura 8.5.

je2=jE1sen( t) jr2=jR1sen( t+ 1) Red lineal

e invariante

Figura 8.5. Sistema lineal con excitación imaginaria.

Es decir: para la excitación: 2 ( )je t la respuesta será: 2 jr ( ).t

Como el sistema es lineal, será aditivo y por lo tanto puede generarse un estímulo igual a la

suma de los estímulos mostrados en las Figuras 8.4 y 8.5. Esto se muestra en la Figura 8.6.

e1 + je2

Red lineal

e invariante

r1 + jr2

Figura 8.6. Sistema lineal con excitación compleja.



Se desprende entonces que para la excitación: 1 2 )(e je la respuesta del sistema lineal será:

1 2 )(r jr

Recordamos a continuación algunas fórmulas y definiciones relativas a números complejos:

-

cos sen 1

cos sen 1

cos2

sen2

j

j

j j

j j

e j

e j

e e

e e

j

(8.20)

Usaremos el convenio de escribir un punto debajo de una variable que puede adoptar valores

que son números complejos.

Tenemos entonces que, si la excitación es:

1 1 1 1 2•( ) cos( ) sen( ) ( ) ( )j te t E e E t jE t e t je t (8.21)

La respuesta será, aplicando superposición, homogeneidad e invariancia temporal:

1 2 1 1 1 1( ) ( ) cos( ) sen( )( ) r t jr t R t jR tr t (8.22)

La relación (8.22) puede expresarse abreviadamente, según:

1 1( )1 1( ) j t j j tr t R e R e e (8.23)

Las relaciones (8.21) y (8.23) se ilustran en la Figura 8.7:

E1 e

j t

Red lineal

e invariante

(R1 ej 1

)ej t

Figura 8.7. Excitación exponencial compleja.

Hemos demostrado que, para una red lineal e invariante, para la excitación: 1

j tE e , la

respuesta será: 1

1(R )j j te e



Finalmente, llegamos a la importante conclusión: la respuesta de un sistema lineal invariante

en el tiempo y en estado estacionario, a una función exponencial imaginaria, es un número

complejo multiplicado por la misma función exponencial imaginaria.

El problema de análisis sinusoidal, del sistema ilustrado en la Figura 8.7, consistirá en

calcular R1 y 1 a partir de E1 y de los datos de la red.

Los cálculos podrán ser efectuados sólo con números complejos, sin preocuparse de las

funciones temporales; ya que todas las variables tienen su dependencia temporal en el factor

común j te ; el cual puede simplificarse.

Una vez efectuados dichos cálculos con números complejos, la respuesta temporal a

cualquier señal sinusoidal real, variables medidas con instrumentos, será fácil y simplemente

obtenible.

Ejemplo 8.2.

Se desea obtener la respuesta a una excitación: 1 cos( )E t .

Si ya se ha calculado la relación (8.23), se tendrá sacando parte real a la excitación y a la

respuesta de la Figura 8.7:

E1 cos( t)

Red lineal

e invariante

Re{R1 ej 1

ej t

}

Figura 8.8. Parte real de la respuesta.

Donde: 11 Re j tj

R e e es la parte real del número complejo; empleando (8.20) se

obtiene:

11 ( )

1 1 11 Re cos( )Rej tj j t

R e R tR e e (8.24)

Ejemplo 8.3.

Para la siguiente red determinar v(t) en estado estacionario cuando la excitación e(t) es una

señal sinusoidal.



Figura 8.9. Red RLC.

Solución:

Planteando las ecuaciones de la red:

, , ,LC R R C L

dv dii C v L e Ri v i i i

dt dt

(8.25)

Puede obtenerse la ecuación diferencial que describe el voltaje v en función de la excitación

e, mediante la eliminación de iR, iC, iL, resulta:

(8.26)

Ecuación diferencial, de segundo grado, que es lineal e invariante en el tiempo.

Para comparar las ventajas de introducir señales complejas, resolveremos el problema

empleando primero métodos trigonométricos; luego usaremos los conceptos recién vistos.

Solución empleando funciones trigonométricas

Asumiendo que la excitación puede expresarse según:

( ) cos( )e t E t (8.27)

Y que la respuesta v(t) en estado estacionario se representa por:

1( ) cos( )v t V t (8.28)

Transformamos el problema en encontrar: V, 1 y , asumiendo conocidos: R, L, C, E, y

.

Reemplazando los valores de v y e, en la ecuación diferencial (8.26), se obtiene:

2

1 1 1 1 1cos( ) ( ) cos( ) ( )

VRRCV t V sen t t E sen t

L

(8.29)

R Cd

d2

t2( )v t

d

d

t( )v t

( )v t R

L d

d

t( )e t

R

L C e

+

v

iR

iL iC



Empleando fórmulas trigonométricas para expandir senos y cosenos de suma de ángulos en

los senos y cosenos de los ángulos:

cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( )

( ) ( ) cos( ) cos( ) ( )

sen sen

sen sen sen

(8.30)

Resulta: 2 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

cos( ) ( )

( ) ( )

cos( ) ( )

( ) cos( ) cos( ) ( )

cos

cos cos

cos

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

RCV t RCV t

V t V t

VR VRt t

L L

E sen t E t sen

sen sen

sen sen

sen sen

(8.31)

Podemos expresar (8.31) del siguiente modo, factorizando las funciones que dependen del

tiempo, según:

1 1cos( ( cos( ) ( )) )A Bsen C t Dsen tt t (8.32)

Para que la ecuación (8.31) se cumpla, para todo t, se requiere que:

1 , ,A C B D (8.33)

Observando (8.32) con 1 , se tiene que las condiciones (8.33) pueden obtenerse

evaluando (8.31) en 0 ( )t A C y en ( )2

t B D .

Debe notarse que la frecuencia angular de la respuesta debe ser igual a la frecuencia angular

de la excitación y que las dos ecuaciones ,A C B D , permiten calcular las dos incógnitas: V

y , en función de: R, L, C, E, y .

Entonces, para cumplir (8.33) deben cumplirse:

(8.34)

(8.35)

Para obtener una solución numérica, podemos asumir los siguientes datos:

1, 1, 1, 1, , 13

R L E C (8.36)

R C V 2 ( )cos V ( )sinV R ( )cos

LE ( )sin

R C V 2 ( )sin V ( )cosV R ( )sin

LE ( )cos



Valores que al ser reemplazados en las ecuaciones (8.34) y (8.35), permiten obtener el

sistema:

( ) ( )3

Vsen sen

cos( ) cos( )3

V

(8.37)

El sistema de ecuaciones (8.37), tiene dos soluciones:

21, , 1,

3 3V V

(8.38)

Es tradicional expresar la respuesta como la solución con amplitud positiva.

Solución empleando funciones exponenciales complejas

La excitación (8.27), empleando el operador parte real de un número complejo, puede

expresarse según:

( ) Re j j te t Ee e (8.39)

La respuesta v(t), en estado estacionario, se representa por:

( ) Re j j tv t Ve e (8.40)

En la expresión (8.40) se considera que la respuesta tiene igual frecuencia angular que la

excitación, de acuerdo al resultado obtenido en 8.2.4.1.

La relación causa-efecto, para la excitación (8.27), puede visualizarse en el diagrama de la

Figura 8.10.

Figura 8.10. Red RLC. Excitación coseno.

Si se tiene la relación estímulo-respuesta anterior, y si la red es lineal e invariante en el

tiempo, lo que se cumple para la ecuación diferencial (8.26) que relaciona e con v, se cumple

también la relación causa-efecto que se muestra en la Figura 8.11.

R

L C e(t) = Ecos( t + ) +

v(t) = Vcos( t + )



Figura 8.11. Red RLC Excitación seno.

Aplicando linealidad, se tendrá que cuando la excitación es:

2( ) ( )e t je t (8.41)

la respuesta será:

2( ) ( )v t jv t (8.42)

Empleando el operador parte imaginaria, se tiene que:

2 ( ) Im j j te t Ee e

2 ( ) Im j j tv t Ve e

(8.43)

Entonces si la red es lineal, y si se excita con:

( ) Re Imj j t j j t

Ce t Ee e j Ee e (8.44)

Se tiene que la respuesta de la red lineal e invariante en el tiempo será:

( ) Re Imj j t j j t

Cv t Ve e j Ve e (8.45)

La relación entre el estímulo complejo y la respuesta compleja se visualiza en la Figura 8.11.

Figura 8.12. Red RLC. Excitación compleja.

La relación (8.44), puede escribirse, según:

( ) j j t

Ce t Ee e (8.46)

R

L C e2(t) = Esen( t + )

+

v2(t) = Vsen( t + )

R

L C ec(t) +

vc(t)



La relación (8.45) puede escribirse:

( ) j j t

Cv t Ve e (8.47)

Reemplazando los valores de vc y ec, en (8.46) y (8.47), en la ecuación diferencial (8.26), se

obtiene:

(8.48)

Hemos transformado el problema en encontrar: V y , asumiendo conocidos: R, L, C, E, y

, mediante la relación (8.48).

Simplificando la exponencial , en (8.48), resulta:

(8.49)

La relación (8.49) no depende del tiempo, solo relaciona número complejos. Despejando jVe , de (8.49), se obtiene:

(8.50)

El lado derecho, de (8.50) está en función de los datos (8.36), y puede calcularse empleando

operaciones con números complejos, resultando:

= (8.51)

El cual es igual al resultado anterior (8.38).

Ejemplo 8.4.

Determinar la corriente i(t) cuando la red, de la Figura 8.13, se encuentra en estado

estacionario, y con excitación sinusoidal: ( ) cos( )e t E t .

R C V e( )j 2 e

( )t jV e

( )je

( )t jj

V e( )j

e( )t j

R

LE e

( )je

( )t jj

e( )t j

V e( )j

( )R C 2 L L j R

LE e

( )jj

V e( )j E e

( )jL j

R C 2 L L j R

V e( )j

e( )/1 3 j



Figura 8.13. Red RL en estado estacionario.

La relación causa-efecto se ilustra en la Figura 8.14.

e Red lineal

e invariante i

Figura 8.14. La corriente es la respuesta.

Si se asume una excitación compleja:

( ) j te t Ee (8.52)

La respuesta, que no conocemos, deberá tener la forma:

( ) j ti t I e (8.53)

La red con variables con variables exponenciales complejas, se muestra en la Figura 8.15.

Figura 8.15. Red con excitación exponencial compleja.

No confundir, en (8.52), la letra e que simboliza al voltaje, con la letra e que representa la

base de los logaritmos naturales.

Aplicando el método de las mallas, a la red de la Figura 8.15, se obtiene:

R

b

vL e(t)

a

i(t)

L

R

b

vL e(t)

a

i(t)

L



( )( ) j t

d i tL R i t E

dte

(8.54)

Ecuación diferencial no homogénea que deberemos resolver para calcular ( )i t .

La respuesta (8.53) debe ser solución de (8.54). Si sustituimos (8.53) en (8.54), se tiene:

j t j t j tLj I e R I e Ee (8.55)

Nuevamente la dependencia con la variable tiempo, es común a todos los términos, y puede

simplificarse. Lo cual nos permite obtener:

EI

R j L

(8.56)

Tendremos, por (8.53), que:

( ) j tEi t e

R j L

(8.57)

La excitación dada es la parte real de (8.52), entonces la respuesta buscada, solución del

problema, será la parte real de (8.57).

( ) Rej tEe

R j Li t

(8.58)

Racionalizando (8.58), y empleando (8.20) se obtiene:

2 2 2Re( ) (cos( ) sen( ))( )

Ei t t j t R j L

R L

(8.59)

Sacando parte real a (8.59), se obtiene finalmente:

2 2 2( ) ( cos( ) sen( ))

Ei t R t L t

R L

(8.60)

Empleando (8.30), la relación (8.60), puede expresarse como una señal sinusoidal, de la

siguiente forma:



2 2 2( ) cos( )

( )l

R

Ei t t

R L

tg

(8.61)

En el Ejemplo 8.4, se han aplicado los conceptos desarrollados en los puntos 8.2.4.1 y

8.2.4.2. Nótese que la manipulación matemática de las funciones sinusoidales se ha

simplificado notablemente al emplear números complejos, en lugar de funciones

trigonométricas.

A continuación se desarrollará un procedimiento matemático que permitirá una

manipulación simple y sistemática de las señales sinusoidales, en redes en estado estacionario.

8.3. Transformación fasorial

8.3.1. Definición

Consideremos las funciones temporales que puedan escribirse de la siguiente forma:

( ) Re ( )j tf t e F (8.62)

Nótese que ( )F es un número complejo que no depende del tiempo.

Se define la transformación fasorial P, para todas las funciones que cumplan la relación

(8.62), según:

( ) ( )P f t F w (8.63)

La expresión (8.63) se lee: la transformada fasorial de ( )f t es ( )F .

La función temporal compleja (8.64), se denomina fasor asociado a ( )f t , y puede

representarse según:

( ) ( )j tef t F (8.64)

La transformada fasorial inversa se define según:

1 ( ) ( )P F f t (8.65)



La relación (8.65) se lee: la transformada fasorial inversa de ( )F es ( )f t .

Nótese que P opera sobre funciones temporales, y que P-1

opera sobre números complejos

que son funciones de .

Ejemplo 8.5.

Sea la señal sinusoidal:

cos( )( ) m tf t F (8.66)

Podemos escribir (8.66) en forma alternativa, según:

( ) Re j t j

mf t e F e (8.67)

Se tiene que ( )f t cumple (8.62) y puede aplicarse transformación fasorial a (8.66).

Por lo tanto, aplicando la definición (8.63), podemos escribir:

( ) ( ) · (cos sen )j

m m mP f t F F e F F j (8.68)

Aplicando (8.65) a (8.68) obtenemos:

1 cos( )j

m mP F e F t (8.69)

8.3.2. Teoremas

Sean: a y b constantes reales

f, f1 y f2 funciones que cumplan la relación (8.62).

Teorema 8.1. Homogeneidad

( ) ( )P af t aP f t (8.70)

Demostración.

Si tenemos el número complejo.

z x jy (8.71)

Se tiene, con a real, que:

Re Rea z a x jy ax (8.72)



También se tiene que:

Re Reaz ax jay ax (8.73)

Entonces de (8.72) y (8.73):

Re Rea z az (8.74)

De la condición de existencia (8.62) se tiene que si:

( ) Re ( )j t

f t e F (8.75)

Entonces, de la definición (8.63), se tiene.

( ) ( )P f t F (8.76)

Multiplicando ambos lados de (8.75) por el número real a, se tiene que:

( ) Re ( )j t

af t a e F (8.77)

Aplicando (8.74), a (8.77), se logra:

( ) Re ( )j t

af t e a F (8.78)

De la definición de transformada fasorial, (8.63) se reconoce que (8.78) implica:

( ) ( )P af t a F w (8.79)

Teorema 8.2. Linealidad

1 2 1 2( ) ( )P af t bf t aP f bP f (8.80)

Demostración.

Si las funciones cumplen la condición de existencia (8.62), se tiene que:

1 1 2 2 1 1 2 2Re Re

j t jwta f t a f t a F e a F e

(8.81)

Aplicando (8.74) en (8.81), se obtiene:



1 1 2 2 1 1 2 2Re Re

j t j ta f t a f t a F e a F e

(8.82)

El operador real es lineal, entonces:

1 1 2 2 1 1 2 2Re

j t j ta f t a f t a F e a F e

(8.83)

Factorizando:

1 1 2 2 1 1 2 2Re ( ) j t

a f t a f t a F a F e

(8.84)

Reconociendo en (8.84) la definición de trasformada fasorial (8.63), se logra:

1 1 2 2 1 1 2 2P a f t a f t a F a F

(8.85)

Que demuestra (8.80).

Teorema 8.3. Transformada fasorial de la derivada

( )df

P j Fdt

(8.86)

Demostración.

Debido a que los operadores parte real y derivada son lineales, puede intercambiarse el orden

en que se aplican, con lo cual se tiene:

Re ( ) Re ( )

Re ( )

j t j t

j t

df d de F e F

dt dt dt

dfe j F

dt

(8.87)

Comparando (8.87) con la definición (8.63), se tiene la tesis.

Teorema 8.4. Transformada fasorial de la integral

( )( )

o

t

t

FP f d

j

(8.88)

Demostración:



Debido a que los operadores parte real e integral son lineales, puede intercambiarse el orden

en que se aplican, con lo cual se tiene:

( ) Re ( ) Re ( )

Re ( )

( ) ( ) Re Re

o o o

o

o

jt t t j

t t t

j tj t

j tj t

f d F d e F d

e eF

j j

F Fe e

j j

e

(8.89)

Escogiendo to como un número negativo bastante grande, y tal que ( )

oj t Fe

jsea

imaginario, se tendrá la tesis. Esta elección de to siempre será posible de efectuar.

Ejemplo 8.5.

Para la red de la Figura 8.16, con: ( ) ( )g t Esen te , determinar las corrientes de

mallas, en estado estacionario, aplicando la transformación fasorial.

Figura 8.16. Red con excitación sinusoidal.

Aplicando método de mallas, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones íntegro-

diferenciales:

1 1

2 2

4 5 1 5 2 4 3

1 1 1 1

5 1 2 5 6 2 2 3

1 1

4 1 2 3 4 3

( )

( ) 0

( ) 0

g

C D C D

R L D i L Di R i e

L Di C D L D R i C D i

R i i R R i

(8.90)

Sean las siguientes trasformadas fasoriales de las variables:

i1

i2 i3

eG

R4 L5

R3 R6 C2



1 1 2 2 3 3; P i ; P i

g gE P e

I P i I I

(8.91)

Aplicando transformada fasorial, al sistema (8.90), y empleando (8.91), se obtiene:

4 5 5 4 1

5 5 6 2

2 2

3

4 3 4

2 2

1 10

01 1

gER j L j L R I

j L j L R Ij C j C

IR R R

j C j C

(8.92)

Resulta un sistema algebraico de ecuaciones, que puede ser resuelto por Cramer u otros

métodos.

Una vez determinadas las transformadas fasoriales de las corrientes: 1 2 3

• • •

, ,I I I , se aplica

transformación fasorial inversa para obtener: 1 2 3( ), ( ), ( )i t i t i t .

Ejemplo 8.6.

Dada la siguiente suma de señales sinusoidales:

0( ) 2cos(2 60 ) 4sen(2 ) 2sen(2 )d

f t t t tdt

Se desea expresar ( )f t como una sinusoide, del tipo:

( ) cos(2 )mf t F t

Como todas las sinusoides, son de igual frecuencia angular, podemos aplicar transformación

fasorial; y luego efectuar cálculos con números complejos. Se logra, aplicando las propiedades:

3 2 2

0 0

0

( ) ( ) 2 4 2 2

( ) 2cos 60 2sen 60 4(0 )) 2 2 (0 )

( ) 5 (4 3) 7,6 48,8

j j j

P f t F e e je

F j j j j

F j

(8.93)

En forma gráfica:



Figura 8.17. Representación gráfica de F ( ).

Sacando la transformada fasorial inversa de (8.93), se obtiene:

( ) 7,6cos(2 48,8 )f t t (8.94)

La transformada fasorial permite efectuar desarrollos analíticos simplificados; sin embargo,

su mayor ventaja es que su representación gráfica permitirá desarrollar un método, muy

eficiente, para cálculos numéricos en redes sometidas a excitaciones sinusoidales en estado

estacionario.

El método gráfico tiene, además, la ventaja de representar en forma simbólica y resumida las

señales de una red en estado estacionario. El análisis del diagrama será utilizado, a menudo, en

cursos de ingeniería.

8.4. Representación gráfica de fasores

8.4.1. Definición de fasor

Se denomina fasor de f(t) a la función temporal compleja )t(f .

Donde:

f (t) F( )

( ) ( )

Re f (t) f(t)

j te

P f t F

(8.95)

Para un tiempo determinado, el fasor será un número complejo que podrá ser representado en

un plano complejo. En el eje de abscisas se anotará la parte real del fasor, y en el eje de

ordenadas la parte imaginaria; el tiempo se tratará como un parámetro y se indicará en el

extremo del vector complejo.

48,8°

F

5,732

Re(F)

j Im(F)

5

7,6



Se tiene:

(0) ( )f F (8.96)

Es decir, el fasor en el instante cero es la transformada fasorial de ( )f t .

Si definimos la transformada fasorial (8.96), en forma polar:

( ) mF F (8.97)

8.4.2. Representación del fasor en t=0

La Figura 8.18 representa al fasor en el instante cero.

Debe notarse:

Que el módulo, siempre positivo, del fasor en el instante cero es Fm; y que el identificador F

está asociado al número complejo que, en el diagrama, se representa como un vector.

Figura 8.18. Representación gráfica en t=0.

Se ha definido la referencia para medir el ángulo como en la trigonometría. La polaridad

asociada al valor del ángulo debe interpretarse como el ángulo definido por la línea radial en

que está la flecha (polaridad positiva) menos el ángulo definido por la línea radial en que está el

pequeño círculo (polaridad negativa). En el Ejemplo 8.7 se ilustran algunas medidas.

Ejemplo 8.7.

F = f(0)

Re(f(t))

c

jIm(f(t))

c



Figura 8.19. Medición de ángulos.

Se tienen:

1

2

2 1

3

45 0

0 45

225 360

(8.98)

Si la dirección en que apunta la referencia para el ángulo, coincide con la trigonométrica

positiva, el ángulo será positivo; en caso contrario el ángulo tendrá valor negativo.

8.4.3. Representación del fasor en cualquier instante

Para dibujar el fasor, en cualquier instante, debe observarse que la dependencia temporal es

únicamente el número complejo j te ; cuyo módulo es uno y su ángulo es t.

Entonces:

( ) (0)·1 t f t f (8.99)

Empleando (8.97) en (8.99), se tiene:

( ) t mf t F (8.100)

Re(f(t))

c

jIm(f(t))

c

1 2

3



Figura 8.20. Representación del fasor.

Es importante notar que la proyección de la punta de•

( )f t sobre el eje real, da el valor

instantáneo de la señal ( )f t asociado al fasor. Entonces si se conoce •

( )f t se conocerá ( )f t .

También es útil considerar que el fasor está girando con frecuencia angular , en contra del

reloj; y que su punta describe un círculo, ya que el módulo es constante.

Si se observa, desde un punto ubicado sobre el eje imaginario en menos infinito, la

proyección del fasor sobre el eje real, se tendrá que ésta será igual a la amplitud instantánea de

la señal asociada.

También se puede determinar ( )f t en cualquier instante si se conocen: la posición inicial, es

decir, su transformada fasorial F ; y la frecuencia angular .

8.4.4. Fasor de coseno

Estudiaremos algunas señales características, con miras a obtener un procedimiento sencillo

para calcular las transformadas fasoriales de señales sinusoidales.

Sea la señal:

( ) cos( )c t t (8.101)

La cual, empleando (8.20), puede expresarse:

·1( ) Re j tec t (8.102)

F = f(0)

Re(f(t))

c

jIm(f(t))

c

t

f(t)=Fej t

f(t)



Reconocemos entonces que: 1C es la transformada fasorial de ( )c t , y ( ) j tc t e es el

fasor asociado a ( )c t .

La Figura 8.21 representa al fasor que se ha dibujado en tres instantes; y la Figura 8.22 la

señal en el tiempo.

Figura 8.21. Fasor de coseno.

Figura 8.22. Forma de onda de coseno.

Para comprender la relación entre el fasor y la forma de onda, debe imaginarse que la

proyección sobre el eje real de c da la ordenada, en ese instante, de ( )c t . Es importante

concentrarse en el movimiento de la punta de c y al mismo tiempo ver cómo se va generando

( )c t .

Se advierte que los valores que toma ( )c t en determinados instantes pueden leerse en la

gráfica de ( )tc .

C = c(t=0)

Re(c(t))

c

jIm(c(t))

c

t1

c(t1) = ej t1

c(t2) = ej t2

t1

t2



Los instantes, o los ángulos, en que cos( )t vale cero, menos uno y más uno, pueden

establecerse exactamente, mirando la gráfica de ( )tc . Lo cual da un método nemotécnico para

recordar los valores relevantes de la función trigonométrica coseno.

Es útil reconocer que ( )c t será mayor que cero para ángulos en el primer y cuarto cuadrante.

Resumiendo, las propiedades y valores de la señal cos( )t pueden asociarse al siguiente

símbolo:

Figura 8.23. Fasor de coseno.

Es decir, a partir de este símbolo uno debiera poder: dibujar la forma de onda, calcular

valores característicos, determinar condiciones para que la señal sea positiva o negativa, etc.

8.4.5. Fasor de coseno más un ángulo

Sea la señal:

( ) cos( )f t t (8.103)

Aplicando la definición de la transformada fasorial puede determinarse que:

( ) ·j j tf t e e (8.104)

La Figura 8.24 representa el fasor, y la Figura 8.25 la forma de onda. Se ha dibujado con

=40º.

Re(c(t))

c

jIm(c(t))

c

t

C = c(0)

ej t



Figura 8.24. Fasor de cos( )t .

Figura 8.25. Forma de onda de cos( )t .

Debe notarse que en el instante en que el fasor apunta en la dirección positiva del eje real, la

forma de onda pasa por un máximo positivo.

En el ejemplo, esto sucede grados antes que t=0, o que t=0º.

En la Figura 8.24 el ángulo ha sido medido contra el reloj; es decir, en igual sentido a la

dirección de referencia para medir los ángulos, que está dada por t. En la forma de onda la

referencia para el ángulo resulta en igual dirección al eje t.

Por teoremas de corrimiento de señales, la forma de onda corresponde a un coseno

desplazado en grados hacia la derecha; y el fasor F debe desplazarse grados contra el reloj

para coincidir con C , la transformada fasorial de coseno.

En el diagrama también se advierte que en los instantes en que el fasor apunta en la dirección

positiva (o negativa) del eje imaginario, la forma de onda pasa por cero.

En el caso que se analiza, a F le faltan para pasar por el eje imaginario, en la Figura

8.24; y la forma de onda pasa por cero después de respecto a t igual a cero, o a t=0º.

c s

F = f(0)

Re(f(t))

c

jIm(f(t))

c

t

Fej t



8.4.6. Fasor de coseno menos un ángulo

Sea la señal ( ) cos( )f t t :

Figura 8.26. Transformada fasorial de cos( )t .

Figura 8.27. Forma de onda de cos( )t .

La señal cos( )t pasa por cero grados antes del instante t=0. También puede

considerarse que la señal puede representarse como un seno corrido hacia la derecha en

grados; es decir: ( )sen t , con + =90º.

Ambos diagramas, el fasor y la forma de onda, representan la misma información. A partir

de un gráfico puede determinarse el otro.

El simbolismo de los fasores es sin lugar a dudas una herramienta abstracta adecuada para

representar variaciones sinusoidales, y es muy superior a las formas de ondas.

c

s

F

Re(f(t))

c

jIm(f(t))

c

t

Fej t



Ejemplo 8.8.

En el siguiente ejemplo se representan dos señales f1 y f2.

Figura 8.28. Transformadas fasoriales de F 1 y F 2.

Figura 8.29. Formas de ondas de F 1 y F 2.

Se tiene que: la transformada fasorial 2F adelanta, en sentido trigonométrico positivo, en º

a 1

F .

En las formas de ondas, se suele decir que la señal f2 adelanta en ( / ) segundos, a la señal

f1. En el tiempo, f2 pasa primero por cero; luego, instantes después, pasa f1 por cero.

Se produce primero el máximo de f2 y después el de f1. Nótese que f1 y f2 tienen igual

período.

Resumen

Para representar gráficamente un fasor, se puede indicar el número complejo ( )F ; o sea, el

fasor en un instante de referencia, usualmente en el tiempo t=0.

30º

c s

F1

F2

0,5cos(wt+30°+ )

0,8cos(wt+30°)



Después de este convenio se subentenderá que el fasor está girando con una velocidad

angular , en contra del reloj, y que tan sólo se lo ha dibujado con una fotografía instantánea en

t=0.

Si se tienen variables sinusoidales de igual frecuencia y si se les representa según el

convenio anterior, se podrá observar las relaciones entre las fases de las variables, así como

también las relaciones entre las magnitudes de las oscilaciones.

Una explicación cualitativa de lo que se ha logrado, es la siguiente: se tenía una cantidad de

funciones que variaban sinusoidalmente, esto debido a que se las miraba desde una posición fija,

esto trae como consecuencia un “alejamiento” del problema y se reflejará en operaciones

matemáticas complicadas; es decir, se trabajará con funciones temporales sinusoidales. Si por

el contrario, el observador se “mete dentro del problema” y comienza a moverse con igual

frecuencia angular que las señales sinusoidales que desea medir, verá un problema “estático”, y

podrá operar con números complejos, no con señales.

8.5. Procedimiento gráfico

8.5.1 Transformadas basadas en la parte real

Basándonos en (8.62) se recomienda el siguiente método para trabajar gráficamente. El

procedimiento está basado en la identificación de las transformadas fasoriales de ( )sen t y

cos( )t .

Una señal sinusoidal f, con representaciones definidas en (8.2), que tenga transformada

fasorial, empleando (8.30), siempre podrá representarse según:

1 2( ) ( ) cos( )f t F sen t F t (8.105)

Es decir, como la suma de un seno y un coseno de amplitudes diferentes.

Se tiene para las señales coseno y seno respectivamente:

· / 2

·1( ) cos( ) Re

( ) sen( ) Re

j t

j t j

ec t t

s t t e e

(8.106)

Las cuales implican que:

1

1 -90º

C

S

(8.107)

Las transformadas fasoriales (8.107) se han representado gráficamente en la Figura 8.30.



Figura 8.30. Transformadas fasoriales de seno y coseno.

Las formas de ondas de (8.106) se representan en la Figura 8.31.

Figura 8.31. Formas de ondas de seno y coseno.

y SC , las transformadas fasoriales de coseno y seno de t respectivamente, constituyen

una base. Cualquier función sinusoidal tendrá una transformada fasorial que podrá expresarse

en términos de y SC .

La transformada fasorial de coseno de t adelanta en 90º a la transformada fasorial de

( )sen t .

Con las identificaciones anteriores, resultará sencillo determinar el número complejo, o sea,

la transformada fasorial, asociado a cualquier función sinusoidal.

Ejemplo 8.9.

Determinar las transformadas fasoriales de:

Re(f)

jIm(f)

s c

c(t)=cos( t)

s(t)=sen( t)

90°



( ) 3sen( 50º )

( ) 2sen( )

( ) 2cos( 180º )

( ) 3cos( 210º )

a

b

c

d

f t t

f t t

f t t

f t t

(8.108)

Si se representan las transformadas fasoriales de las señales en (8.108) en la Figura 8.32.

Figura 8.32. Transformadas fasoriales de (8.108).

De la Figura 8.32, pueden calcularse los valores:

3 -40º

2 2 90º

2 0º 2

3 210º

a

b

c

d

F

F j

F

F

(8.109)

y SC permiten establecer la ubicación de la transformada fasorial, de una función temporal

sinusoidal, en el plano complejo. Por ejemplo, fa adelanta en 50º al seno; o está atrasada en 40º

respecto al coseno. Esto permite dibujar la dirección y sentido de aF ; el módulo será 3 veces

más grande que el de S .

Una vez que, mediante la observación de las relaciones entre las fases y entre las amplitudes,

se han ubicado los números complejos, éstos deberán leerse cartesiana o polarmente; según se

desee, respecto de los ejes del plano complejo.

Nótese que los ejes en que se deben leer los números complejos no coinciden con y SC .

Empleando la Figura 8.32 también es posible determinar las transformadas fasoriales

inversas.

Es así como:

50º

210º

c s

Fb

Fa Fd

Fc



( ) 3sen( 60º ) 3cos( 150º )d

f t t t (8.110)

Ya que dF está 60º atrasado respecto de S , y atrasada en 150º respecto de .C

8.5.2. Transformadas basadas en la parte imaginaria

En la literatura existen definiciones alternativas a las desarrolladas, por ejemplo se suele

definir la transformación fasorial según:

( ) Im ( )

( ) ( )

j tf t e F

P f t F

(8.111)

Lo que llevará al siguiente procedimiento gráfico:

Figura 8.33. Transformación de c y s, basada en (8.111).

Esta definición hace coincidir la base (•

y C S ) con las direcciones de los ejes en que se mide

( )F .

En este caso la visualización de las formas de ondas deberá hacerse observando las

proyecciones de los fasores sobre el eje imaginario.

8.5.3. Referencia coseno arbitraria

Este procedimiento es recomendado a las personas ya familiarizadas con los métodos

anteriores.

Debido a que S está atrasado 90º respecto de C es usual anotar solamente un eje de

referencia, generalmente la dirección de C , respecto del cual se efectúan las transformaciones.

Y esta referencia puede dibujarse en cualquier posición sin crear ambigüedades.

Ejemplo 8.10.

Dibujar la transformada fasorial de ( ) 2sen( 30º )f t t .

Re(f)

jIm(f)

c

s



En la Figura 8.34 se ha dibujado la referencia coseno con una dirección cualquiera, y sin

referencia a los ejes reales e imaginarios de los números complejos. Subentendiendo que la

referencia para el seno está 90º atrasada respecto a la del coseno, es simple ubicar a mano alzada

la transformada fasorial de f.

Figura 8.34. Referencia coseno.

Luego de la Figura 8.34 puede leerse que: 2 60ºF

Ejemplo 8.11.

Sean

1

2

( ) 2sen( 30º )

( ) 3cos( 10º )

f t t

f t t

(8.112)

Se puede asociar la referencia a f1(t), con lo cual el diagrama se representa en la Figura 8.35.

Figura 8.35. Referencia arbitraria.

La ventaja de este procedimiento es que el número complejo asociado a la referencia resulta

un número real.

De la Figura 8.35, pueden leerse los siguientes números complejos asociados a las señales

(8.112).

30º

70º c

s

F2

F1

referencia

60º

F

Referencia

coseno



1

2

2 0º

3 70º

F

F

(8.113)

Para calcular las transformadas inversas, es conveniente en la Figura 8.35, agregar las

transformadas de c y s.

Por ejemplo, si en este sistema se tiene 3

4 -120º F , entonces la señal temporal asociada

será:

o o

3( ) 4 ( 30 120 ) 4cos( )f t sen t t

Este procedimiento corresponde a una definición de la transformada fasorial, en un tiempo

arbitrario distinto de cero.

La elección de la referencia arbitraria se realiza de tal modo que los cálculos numéricos se

vean simplificados.

8.6. Impedancia y admitancia complejas

8.6.1. Definiciones

Se desea estudiar las relaciones de equilibrio de las componentes de una red, sometida a

excitaciones sinusoidales y en estado estacionario.

Observemos una componente pasiva e identifiquemos sus variables terminales con v e i;

podemos, en general, expresar:

( ) Re

( ) Re

j t

j t

v t V e

i t I e

(8.114)

Donde:

V P v

I P i

(8.115)

Se recuerda que las relaciones terminales permiten conocer v, si se conoce i y viceversa. Es

conveniente, entonces, tener expresiones que nos permitan conocer V si se conoce I , y

viceversa.

Se definen, para una componente pasiva:



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

V Z I

I Y V

(8.116)

( )Z se denomina impedancia compleja. El nombre deriva del hecho que a voltaje

constante, a mayor impedancia menor corriente. Multiplicada por la transformada fasorial de la

corriente terminal, expresa la transformada fasorial del voltaje terminal.

( )Y se denomina admitancia compleja de la componente pasiva. Obviamente, para una

componente, se tienen:

1 1; ZY

Z Y

(8.117)

En un caso general, Z e Y serán números complejos, que podrán expresarse de la siguiente

forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Z R jX

Y G jB

(8.118)

Se definen:

Resistencia: •

( ) ReR Z

Reactancia: •

( ) ImX Z

Conductancia: •

( ) ReG Y

Susceptancia: •

( ) ImB Y

(8.119)

Nótese que las cantidades recién definidas, son funciones reales de la frecuencia angular.

Para una componente pasiva, se cumplen:

2 2

2 2

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

GR

G B

BX

G B

(8.120)



Obsérvese que si G es positiva, R es mayor que cero; y que si B es positiva, X es menor que

cero.

Ejemplo 8.12.

Para una componente se conocen la corriente en el tiempo y su impedancia:

( ) 10sen(2 45º )

32

i t t

Z j

(8.121)

Determinar v(t).

Figura 8.36. Red en estado estacionario, en el tiempo.

Solución.

Sacando transformada fasorial a la corriente, y considerando que la frecuencia angular es 2,

se obtienen:

10 -45º

3 2 30º

P i I

Z j

(8.122)

Entonces, usando (8.116), puede calcularse:

2 30º 10 -45º 20 -15ºV (8.123)

Sacando transformada inversa, resulta:

1( ) 20cos(2 15º )v t P V t

(8.124)

La Figura 8.37 muestra el desfase entre las formas de ondas.

a

b

v

i



Figura 8.37. Formas de ondas de v(t) e i(t).

La Figura 8.38 muestra las transformadas fasoriales.

Figura 8.38. Transformadas de V e I.

Nótese que, con las referencias elegidas, el ángulo de la impedancia son los grados medidos,

en el sentido trigonométrico positivo, desde I hacia V .

8.6.2. Impedancias y admitancias de las componentes elementales

8.6.2.1. Resistor lineal e invariante en el tiempo

Para el resistor de la Figura 8.39 se tiene la relación de equilibrio en el tiempo:

R Rv R i (8.125)

30º

15º

c

s V

I

v(t)=20cos(2t-15°)

i(t)=10cos(2t-45°)

45°

15°



Figura 8.39. Resistencia en el tiempo.

Sacando transformada fasorial a (8.125), se obtiene:

R R RP v P Ri RP i (8.126)

En términos de las transformadas fasoriales:

R RV R I (8.127)

Empleando la definición de impedancia (8.116), se tienen:

1

R

R

Z R

Y GR

(8.128)

Las Figuras 8.40 y 8.41 ilustran las relaciones en el tiempo y entre las transformadas

fasoriales. Se ha supuesto:

( ) cos( )R Rv t V t (8.129)

Figura 8.40. Formas de ondas de vR e iR.

a

b

vR

iR

R

vR(t)=VRcos( t+ ) iR(t)=IRcos( t+ )



Figura 8.41. Transformadas de R

V e R

I , en fase.

Observaciones:

RZ e

RY no dependen de la frecuencia angular. Sus valores son números reales.

Las transformadas fasoriales están “en fase”

Los módulos de las transformadas fasoriales del voltaje y la corriente están relacionados por

el valor de la resistencia.

8.6.2.2. Inductor lineal e invariante en el tiempo

Para un inductor se tienen:

LL

LL

LL

div L

dt

diP v P L

dt

V j L I

(8.130)

Figura 8.42. Variables en inductor lineal.

Por lo tanto, pueden calcularse la impedancia y la admitancia:

a

b

vL

iL

L

c

s

IR

VR



1

L

L

L

L

Z j L jX

jY jB

j L L

(8.131)

Los siguientes diagramas ilustran la situación; se ha supuesto:

sen( )L Li I t (8.132)

Figura 8.43. Transformadas en cuadratura.

Figura 8.44. Corriente adelanta en 90° a la tensión.

De acuerdo a la definición (8.119):

LX L (8.133)

Se denomina reactancia inductiva, y es positiva, su dimensión es [ ].

La susceptancia inductiva es negativa:

90º c

s

VL

IL

90°

iL(t)

vL(t)=VLcos( t+

)



1L

BL

(8.134)

e L L

Z Y son cantidades imaginarias, y funciones de .

La corriente L

I está “atrasada” en 90º, respecto al voltaje L

V

La relación entre los módulos, de las transformadas del voltaje y la corriente, es la reactancia

inductiva.

8.6.2.3. Condensador lineal e invariante en el tiempo

Para un condensador se tienen:

cc

cc

c c

dvi C

dt

dvP i C P

dt

I j CV

(8.135)

Figura 8.45. Variables en un condensador lineal.

Por lo tanto, pueden calcularse la impedancia y la admitancia:

1

1

C

C

c

c

jZ

j C C

Y j C

XC

B C

(8.136)

Las Figuras 8.46 y 8.47 muestran las relaciones en en plano complejo y en el plano del

tiempo.

a

b

vC

iC

C



Se ha supuesto:

( ) cos( )c Cv t V t (8.137)

Figura 8.46. Transformada de C

I adelanta en 90° a C

V

Figura 8.47. Corriente adelanta en 90° a la tensión.

Observaciones:

Xc se denomina reactancia capacitiva, y es menor que cero.

La susceptancia capacitiva Bc es positiva.

El ángulo de la impedancia es menos 90º.

La corriente está “adelantada” en 90º, respecto al voltaje.

La relación entre los módulos, de las transformadas fasoriales de la corriente y el voltaje, es

el módulo de la reactancia.

90º

c s

VC

IC

vC(t)

iC(t)

90°



8.6.2.4. Resumen

Se advierte que con la definición del concepto de impedancia, las relaciones terminales para

las componentes elementales adoptan la misma estructura; es decir: .V Z I

La función Z es distinta para cada una de las componentes elementales. Se definen e YZ

sólo para redes pasivas de dos terminales.

8.7. Diagramas para redes sometidas a excitaciones sinusoidales

8.7.1. Símbolos

Nos interesa desarrollar un diagrama simbólico que nos permita analizar con facilidad redes

eléctricas, sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado estacionario.

La representación de impedancias, puede efectuarse mediante un simbolismo análogo al

empleado en los diagramas en el plano del tiempo. Asociamos a la ecuación general de

equilibrio ,V Z I el siguiente diagrama simbólico:

Figura 8.48. Impedancia en plano complejo.

Para las fuentes independientes, empleamos los siguientes símbolos:

Figura 8.49. Fuente de tensión en plano complejo.

En la Figura 8.49 se ha empleado:

.( )g

v tgP V (8.138)

a

b

V

I

Z

a

b

V

I

Vg



Figura 8.50. Fuente de corriente en plano complejo.

En la Figura 8.50 se ha empleado:

.( )g gP i t I (8.139)

Ejemplo 8.13.

Sea la red, de la Figura 8.51, en el dominio del tiempo:

Figura 8.51. Red en el dominio del tiempo.

Si las excitaciones, en el tiempo, son:

gcos( ); i sen( )ge E t I t (8.140)

Con la simbología definida en 8.7.1, se puede lograr la Figura 8.52 a partir de la Figura 8.51.

Figura 8.52. Red en el plano complejo.

a

b

V

I

Ig

i

eg R

L

ig C

i1(t) v2(t)

I

Eg ZR

ZL

Ig ZC

I1 V2



Donde:

• •1 2

0º

-90º

; ;

; 1 2

C L

g

g

R

jj L

C

i v

E

I

R

P P

E

I

Z Z Z

I V

(8.141)

Diremos que el diagrama, de la Figura 8.52, corresponde a una red en el plano complejo.

Es importante no confundir los diagramas simbólicos. Cada uno, tiene sus propios símbolos

que representan, en forma gráfica, las relaciones analíticas que describen la conducta de la red

eléctrica. No es conveniente dibujar impedancias en una red en el dominio del tiempo; ni

tampoco emplear fasores para identificar una variable temporal.

8.7.2. Leyes de interconexión

Sean ik señales sinusoidales de igual frecuencia si aplicamos L.C.K. a la siguiente

conFiguración, en el tiempo:

Figura 8.53. Corrientes en el tiempo.

Para el conjunto de corte que se muestra en la Figura 8.53, se tiene aplicando LCK:

1 2( ) ( ) ... ( ) 0ni t i t i t (8.142)

Aplicando transformación fasorial a (8.142), como P es un operador lineal, se tendrá:

1 2 ... 0nI I I (8.143)

Relación que podrá visualizarse en el diagrama de la red en el plano complejo, que se

muestra en la Figura 8.54.

i1(t)

i2(t)

in(t)



Figura 8.54. Corrientes en plano complejo.

También podrán plantearse L.V.K. para los circuitos de la estructura interconectada, en el

plano complejo.

Ejemplo 8.14.

Se resuelve el Ejemplo 8.3, empleando diagramas en el plano complejo.

El Figura 8.55 representa a la red, de la Figura 8.9, en el plano complejo. Los elementos

dinámicos se tratan como impedancias.

Figura 8.55. Diagrama de red con impedancias.

A partir del diagrama se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

,

,

,

C L

R R L C

I j CV V j L I

E V

E I V I I I

E V

R

(8.144)

Debe notarse que aplica LVK en forma implícita en la segunda malla. De esta forma el

voltaje en la impedancia que representa al inductor es el mismo que el asociado a la impedancia

del condensador.

Eliminando las corrientes en (8.144) se obtiene:

2

( )E j LV

R RLC j L

(8.145)

Que es la misma solución obtenida en (8.50).

I1

I2

In

IL IC IR R

j L 1/j C E +

V



8.7.3. Aplicación práctica de los diagramas

La importancia práctica de los diagramas de redes en el plano complejo, es que en ellos

pueden aplicarse todos los procedimientos de análisis de redes desarrollados para el dominio del

tiempo.

Una característica de la teoría de redes es la introducción de diagramas simbólicos que

condensan, en forma gráfica, toda la información que se posee acerca de un sistema eléctrico.

Permiten ver las ecuaciones de interconexión y las de equilibrio; además, permiten plantear

en forma simple las relaciones analíticas que describen el comportamiento de un sistema,

formado por la interconexión de subsistemas.

Destacamos que en los diagramas de redes en el plano complejo podrán aplicarse los

conceptos de equivalencia y los teoremas de Thévenin, Norton y superposición.

También deberá notarse que los métodos generales de análisis, aplicados a redes en el plano

complejo, darán sistemas de ecuaciones algebraicas; es decir, no aparecerán derivadas y

tampoco integrales.

Para obtener la solución de una red, deberá tenerse gran dominio en el cálculo numérico con

expresiones complejas. Es decir: conversión de forma polar a cartesiana y viceversa; suma,

resta, multiplicación y división de números complejos. Esta dificultad de cálculo se ve reducida

cuando se emplean calculadoras electrónicas.

8.8. Potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales

8.8.1. Análisis en el dominio del tiempo

8.8.1.1. Potencia instantánea

Se tiene en la Figura 8.56, que: ( ) ( ) ( )p t v t i t es el flujo energético, que ingresa a la red

pasiva proveniente del resto de la red.

Figura 8.56. Potencia instantánea.

Sean:

b

i(t) a

v(t) p(t)

Red

Pasiva



)

ˆ( ) cos( )

ˆ( ) cos(

i t I t

v t V t

(8.146)

Las variables en (8.146) deben tener igual frecuencia angular.

Resulta, para la potencia instantánea:

ˆˆ( ) cos( )cos( )p t VI t t (8.147)

Empleando la identidad trigonométrica:

cos( )cos( ) (cos( ) cos( )) / 2x y x y x y (8.148)

Aplicando (8.148) a (8.147), se obtiene:

ˆˆ( ) cos cos(2 2 )

2

VIp t t

(8.149)

Empleando la identidad trigonométrica:

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )x y x y sen x sen y (8.150)

Aplicando (8.150) a (8.149), se obtiene:

cos cos cos(2 2 ) (2 2 )ˆˆ

( )2

t sen sen tVI

p t (8.151)

Se tienen las siguientes formas de ondas:

Figura 8.57. Formas de ondas de v, i y p(t).

v(t

) i(t)

p(t)



Nótese en (8.149) que la potencia instantánea es una constante más una señal sinusoidal, con

una frecuencia angular igual al doble de la de las variables voltajes y corrientes de la red.

En la Figura 8.57, se aprecia que en determinados intervalos, la red pasiva devuelve energía

al resto de la red; esto ocurre cuando p(t) es menor que cero.

Podemos visualizar los procesos energéticos que ocurren en la red pasiva si descomponemos

la potencia en (8.151), de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )oa oop t p t p t (8.152)

De (8.152) y (8.151) pueden definirse:

ˆˆ ˆˆcos cos( ) cos(2 2 )

2 2

ˆˆsen( ) sen(2 2 )

2

oa

oo

VI VIp t t

VIp t t

(8.153)

Las formas de ondas de (8.153) se muestran en la Figura 8.58.

Figura 8.58. Potencias oscilantes.

8.8.1.2. Energía utilizable

Se denomina a poa, potencia oscilante activa o útil.

Siempre es mayor que cero, y describe el flujo de energía que entra a la red pasiva y que se

queda dentro de ella. Es la energía que fluye hacia las componentes disipadoras de la red.

Nótese que el suministro de energía activa es oscilante, en ciertos intervalos la energía

ingresa rápidamente; en otros lo hace más lentamente. La potencia oscilante activa tiene valor

medio distinto de cero, en un período. Integrando en un período, la relación (8.153) se obtiene:

poo(t)

poa(t) p(t)

Q

Pac



ˆˆcos cos

2ac oa ef ef

VIP p V I

(8.154)

Donde Pac se denomina potencia activa, y se mide en [W], su valor se ilustra en la Figura

8.58.

8.8.1.3. Energía ociosa

Se denomina poo a la potencia oscilante ociosa o reactiva. Describe el flujo de la energía que

entra a la red, y que luego sale de ella.

El valor medio de poo, en un período, es cero. Integrando en un período, la relación (8.153) se

obtiene:

0oop (8.155)

Desde un punto de vista energético, diremos que poa califica la energía que se dirige hacia los

resistores de la red pasiva; y que poo califica el intercambio de energías, en forma oscilante,

entre las componentes almacenadoras de la red pasiva con el resto de la red.

Ejemplo 8.15.

Si una red pasiva tiene dos resistores, un condensador y un inductor, podremos plantear el

siguiente balance energético.

2

1 2

2 2

1 2

2

2

( ) ( ) ( )

2( )

C

R Roa

L

oo

Cv

p t R i t R i t

Lid d

p tdt dt

(8.156)

Vaivén reactivo.

Se denomina así, al proceso descrito por poo(t). Esto provoca una molestia económica a las

compañías generadoras de energía, ya que ellas trabajan para vender energía eléctrica y no para

recibirla de vuelta. Lo ideal para ellas, y para cualquiera que venda productos, es que la energía

que sale puedan considerarla como mercadería vendida; y es malo para ellas recibir de vuelta lo

que ya creían vendido. Además, en el viaje de ida y vuelta, en el vaivén, a la planta generadora,

se disipará energía en las líneas de transmisión.

En el vaivén reactivo perderá efectivamente la compañía generadora, no así el consumidor,

esto debido al lugar donde están ubicados los medidores de energía. Por esta razón los

vendedores de energía suelen tomar precauciones para evitar el vaivén; miden la potencia

reactiva y emplean tarifas diferentes de acuerdo a su valor.



Una cantidad que califica el vaivén reactivo es la amplitud de poo, que se muestra como Q, en

la Figura 8.58.

Se define la potencia reactiva, según:

ˆˆsen sen

2ef ef

VIQ VAR V I

(8.157)

La unidad MKS de Q, es el Watt. Pero, tradicionalmente, y para diferenciarla de la unidad

para la potencia activa, se define como unidad de Q el Volt Ampère Reactivo.

Nótese que poa y Pac son proporcionales a cos ; y que poo y Q son proporcionales a sen .

Pac es un valor medio; Q es la amplitud de poo.

8.8.1.4. Valor efectivo

Consideremos los dos casos siguientes:

Sea la siguiente red, con una excitación continua:

Figura 8.59. Red con excitación continua.

Figura 8.60. Excitación continua.

La potencia disipada en la resistencia es:

WRIP 2 (8.158)

Debido a que la potencia instantánea es una constante, el valor medio toma el valor de esa

constante.

Sea, ahora, la red siguiente, cuya excitación es sinusoidal:

t

i1(t)

I

v i1(t) R



Figura 8.61. Red con excitación sinusoidal

Figura 8.62. Excitación alterna.

La potencia promedio disipada en la resistencia es:

2 22

2

0 0

1( ) ( )

2

T Tm m

ef

I R I Rp p t dt sen t dt I R W

T T

(8.159)

Ya que con T=2 : 2

0

1 1(2 / )

2

T

sen t T dtT

(8.160)

La integral definida (8.160), toma valor un medio.

Comparando (8.158) y (8.159) podemos establecer que el valor efectivo de una corriente

sinusoidal, es el valor de la corriente continua que produce el mismo efecto calórico. Se define

el valor efectivo, en términos del valor máximo, según:

ˆ

2ef

II

(8.161)

Es tradicional en el análisis de redes sometidas a excitaciones sinusoidales, en estado

estacionario, referirse a los valores efectivos de las variables voltaje y corriente. Por ejemplo, se

dice “220 volts alternos”, o “220 V c.a.”, sin especificar nada más; debe entenderse que se

refieren a valores efectivos.

v i2(t) = Imsen( t) R

i2(t)=Imsen( t)

Im



8.8.2. Análisis en el plano complejo

8.8.2.1. Relaciones básicas

Transformando, al plano complejo, la red del punto 8.8.1, resultan:

ˆ

ˆ

I P i I

V P v V

(8.162)

La red pasiva queda calificada por la impedancia .Z

Figura 8.63. Potencia en plano complejo.

De la definición de impedancia:

V Z I (8.163)

Efectuando el cuociente de (8.162) y comparando con (8.163), se tienen:

V ; Z ;

IZ Z V I

(8.164)

Para las transformadas definidas en (8.162) se tienen las formas de ondas que se muestran en

la Figura 8.64.

Figura 8.64. Formas de ondas de v(t) e i(t).

a

b

V

I

Z

v(t)=Vmcos( t+ +

)

i(t)=Imcos( t+ )



Las transformadas fasoriales se ilustran en la Figura 8.65.

Figura 8.65. Transformadas de V e I .

El ángulo se mide en sentido contrario al reloj, de I hasta V . Esto debido a que el

módulo de la impedancia se define como un número positivo, y de la definición (8.163), el

ángulo del voltaje es la suma de los ángulos de la impedancia y la corriente. Esto se aprecia en

la Figura 8.65.

Las gráficas anteriores ilustran el caso en que es positivo y perteneciente al primer

cuadrante.

Ejemplo 8.16.

Para una red en el plano complejo se tiene una impedancia con ángulo negativo, si se expresa

con valores angulares dentro del primer cuadrante. Se conoce la transformada fasorial del

voltaje.

-30º Z +330ºZ Z

ˆ V V

(8.165)

Determinar las formas de ondas de la corriente y el voltaje, y un diagrama que muestre las

transformadas fasoriales.

De (8.165) y (8.163) se obtienen:

ˆ cos( t+ )( ) Vv t

30º -30º Z

VI

Z Z

V V

ˆ cos( t+ 30º )( )

Vi t

Z

(8.166)

Las formas de ondas de (8.166), se representan en la Figura 8.66.

s

c

I

V



Figura 8.66. Formas de onda con negativo.

Las transformadas fasoriales de la corriente y el voltaje se muestran en la Figura 8.67.

Luego de 330º que v pasa por un máximo lo hace i. Se tiene que i pasa por un máximo 30º

antes que v pase por un máximo.

Figura 8.67. Transformadas en impedancia con negativo.

Ejemplo 8.17.

Para (8.162), determinar el número complejo, en forma cartesiana, asociado al producto

*

2

V I

Se indica con un asterisco el complejo conjugado de un número complejo.

Se tiene:

s c

30º V

I

330º

330°

v(t)

i(t)

+30°

30°



* ˆˆ - V I V I VI (8.167)

Dividiendo por dos, y expresando en forma cartesiana, y empleando las definiciones (8.154)

y (8.157), se obtiene:

*ˆˆ ˆˆ1

cos sen2 2 2

ac

VI VIV I j P jQ

(8.168)

Empleando (8.167) en (8.168) se logra:

ˆˆ

2ac

VIP jQ

(8.168a)

Relación que permite determinar la potencia activa y reactiva si se conocen las

transformadas fasoriales de v e i.

8.8.2.2. Transformadas fasoriales con valores efectivos

Debido a que en la práctica se trabaja numéricamente con valores efectivos, puede definirse

la siguiente transformación fasorial para las funciones temporales que puedan escribirse según:

-1

ef

( ) Re 2 ( )

; P

j t

ef

f t F e

P f F F f

(8.169)

El subíndice ef, indica que se trata de transformadas fasoriales con valores efectivos.

Comparar con las definiciones del punto 8.3.

Ejemplo 8.18.

Determine la transformada fasorial con valores efectivos de las siguientes señales:

( ) 3 (2 30º )

( ) 2 cos( )ef

i t sen t

v t V t

(8.170)

Para la corriente, aplicando (8.169), se tiene:

3 -60º

2I

(8.171)

Para el voltaje, resulta:

0ºef efV P V V (8.172)



Si hubiéramos aplicado nuestra definición inicial (8.62), nos resultaría para el voltaje:

2 0ºefV P v V (8.173)

Para la corriente, empleando (8.62):

3 -60ºI P i (8.174)

Ejemplo 8.19.

Determine en forma cartesiana el producto *,V I para las relaciones del punto 8.8.2.1; pero,

usando transformadas fasoriales con valores efectivos.

Resultan:

ef ef

ef ef

V P v V

I P i I

(8.175)

Entonces, se obtiene: *

ef ef acV I V I P jQ (8.176)

Al trabajar con valores efectivos el número complejo ( )acP jQ queda expresado por

*;V I si se emplearan valores máximos, dicho número quedará expresado por

*

2

V I.

8.8.2.3. Potencia aparente

Se define la potencia aparente como el número complejo:

acP P jQ (8.177)

En la Figura 8.68 se muestra la dirección de referencia para medir la potencia aparente.



Figura 8.68. Potencia aparente.

P califica el flujo de potencia en redes sometidas a excitaciones sinusoidales y en estado

estacionario.

El módulo de P , resulta con dimensión Watts, en el sistema MKS. Para efectuar diferencias

con la potencia activa y reactiva, el módulo de P se mide en [VA], voltamperes.

Representación gráfica en el plano complejo P .

Re(P)

jIm(P)

jQ

Pac

P

Figura 8.69. Plano complejo P .

El módulo de P se expresa según:

2 2acP P Q VA

(8.178)

La dirección de referencia, para medir el ángulo , es la trigonométrica positiva.

Si es menor que cero y dentro del cuarto cuadrante, resulta Q con valor negativo.

Ejemplo 8.20.

Sea Z = R + jX una expresión cuyos valores numéricos son conocidos. Determinar la

potencia activa y reactiva, en función del valor efectivo de la corriente que fluye a través de la

impedancia.

Se tiene, trabajando con valores efectivos:

b

I a

V P

Red

Pasiva



* * * 2 2( ) ( )ef efZ IP V I I ZII Z I R jX I (8.179)

Entonces comparando (8.179) con (8.177), se tienen: 2

2

ac ef

ef

P RI

Q XI

(8.180)

8.8.2.4. Factor de potencia

Se define el factor de potencia, asociado a un flujo de potencia según:

. .| |

acPFP p u

P

(8.181)

Es una medida de la utilización de un flujo de potencia; nótese que cuando FP = 1 se anula el

vaivén reactivo; es decir Q es cero.

En el caso desarrollado en el punto 8.8.2, la potencia fluye hacia una carga, o red pasiva. En

este caso tenemos que:

cos . .FP p u (8.182)

Donde es el ángulo de la impedancia de la red pasiva.

El significado de p.u. es: por unidad; algunas veces se especifica el factor de potencia en

porcentaje.

Ver, además, el punto 8.10. de este capítulo.

8.9. Planos complejos de admitancia e impedancia

Para lograr una mejor comprensión de los conceptos de impedancia y admitancia,

desarrollaremos su representación gráfica en un plano complejo.

La introducción de símbolos permite representar ideas. Los símbolos permiten el recuerdo,

ya que aparentemente, la memoria del hombre consiste en el almacenamiento de imágenes. Los

publicistas utilizan efectivamente los símbolos, para recordarles a los consumidores que

necesitan comprar los productos a los que se hace propaganda.



8.9.1. Ejemplo

Determinar la impedancia y admitancia para las siguientes redes pasivas, que se representan

mediante un diagrama en el dominio del tiempo.

Red RC serie

Figura 8.70. Red RC serie.

La impedancia serie se calcula empleando las definiciones (8.128) y (8.136). La admitancia

se calcula según (8.116), como el inverso de la impedancia, luego se expresa en forma

cartesiana. Se obtienen:

2 2

2 2 2

1; Y ( )

1

C jZ R j R

C C R C

(8.183)

Se tiene que: X es menor que cero; y B es mayor que cero.

Red RC paralelo

Figura 8.71. Red RC paralelo.

Se obtienen, en forma similar al caso anterior:

2 2 2

1(1 ); Y

1

RZ j RC j C

R C R

(8.184)

En el caso paralelo: X es menor que cero; y B es mayor que cero.

C

R

C R



Red RL serie

Figura 8.72. Red RL serie.

Se obtienen:

2 2 2; X 0; B 0;

R j LZ R j L Y

R L

(8.185)

Red RL paralelo

Figura 8.73. Red RL paralelo.

Se obtienen:

1 1; X 0; B 0Y j

R L

(8.186)

Red RLC serie

Figura 8.74. Red RLC serie.

Se obtienen:

1 1( ); X 0 si L

CZ R j L

C

(8.187)

En los ejemplos, nótese que X y B son funciones de la frecuencia y de los parámetros de la

red pasiva.

L R

L R

L

R

C



8.9.2. Definiciones

A pesar de que sólo se han analizado algunos casos particulares, daremos las siguientes

definiciones, en general:

Una impedancia tiene carácter inductivo si X > 0.

Una impedancia tiene carácter capacitivo si X < 0.

Una admitancia tiene carácter inductivo si B < 0.

Una admitancia tiene carácter capacitivo si B > 0.

(8.188)

Gráficamente, en un plano complejo de impedancias:

Figura 8.75. Plano complejo de impedancia.

De acuerdo a (8.188), con el ángulo de la impedancia, se tienen:

1Z con carácter inductivo ( > 0º)

2Z puramente inductiva ( = 90º)

3Z puramente resistiva ( = 0º)

4Z con carácter capacitivo ( < 0º)

5Z puramente capacitiva ( = -90º)

El símbolo Z dentro de un recuadro, en la Figura 8.75, muestra que es una representación en

el plano complejo Z .

Los siguientes diagramas condensan, más aún, la información de las definiciones anteriores

en (8.188):

Z

2Z

4Z 5Z

Re(Z)

j Im(Z)

1Z

3Z



Figura 8.76. Plano de impedancia.

Figura 8.77. Plano de admitancia.

Debe observarse que Z representa a una red pasiva, y en ésta debe cumplirse que: 0.acP

Debido a que la potencia activa es proporcional a cos , según (8.168), se tendrá que el

ángulo de la impedancia está limitado al rango:

–90º 90º (8.189)

Es decir, la resistencia y conductancia de una impedancia o admitancia, respectivamente,

serán mayores o iguales a cero.

En las Figuras 8.76 y 8.77 se insinúan los tipos de impedancia o admitancia en los ejes y en

el primer y cuarto cuadrante, mediante símbolos de componentes elementales.

8.10. Factor de potencia inductivo y capacitivo

Antes se definió, en (8.182) que: FP = cos [p.u.].

En el rango de valores permitidos al ángulo, (8.189), se cumple que:

cos = cos(- ) (8.190)

Z

Y



Gráficamente:

Figura 8.78. Tipo de factor de potencia.

Las impedancias Z ind y Z cap , en la Figura 8.78, tienen factores de potencia con igual valor

numérico. Por esta razón, se suele especificar el carácter del factor de potencia. Con este fin se

agrega al valor del factor de potencia su tipo. Por ejemplo: FP=0,8 ind; o bien, FP=0,8 cap. El

significado de las abreviaturas es obvio.

Ejemplo 8.21.

Veremos algunas ideas adicionales sobre el significado del factor de potencia. La red, de la

Figura 8.79, representa a un consumidor ( Z ) conectado a través de líneas de transmisión a una

compañía generadora de electricidad.

Figura 8.79. Resistencia en líneas de transmisión.

La potencia activa del consumidor está dada por: Pac = VI cos [W].

Si Pac y la tensión V son constantes, al aumentar el ángulo , aumentará la corriente I; o sea,

aumentarán las pérdidas de la compañía eléctrica, debido a la disipación en la resistencia de la

línea de transmisión.

También se producirá una pérdida de regulación del voltaje; V disminuirá, y por lo tanto el

consumidor podrá experimentar mal funcionamiento de los equipos eléctricos, debido a la caída

de tensión de alimentación. Se ha supuesto que la disminución es despreciable al asumir V

constante.

cap

ind

Z

Zind

Zcap

Re(Z)

j Im(Z)

a

b

V

I

Z E

R



8.11. Teorema de máxima potencia de transferencia

Dada una red en el plano complejo:

Figura 8.80. Teorema de máxima potencia transferida.

Se desea determinar la impedancia de la red pasiva, para que ésta consuma la máxima

potencia posible, proveniente de la red activa. Aplicando el teorema de Thévenin, a la red

activa, resulta la Figura 8.81.

Figura 8.81. Thévenin de la red activa.

El problema puede plantearse, en términos de las variables de la Figura 8.81.

Dados T

E y T

Z ¿cuál es el valor de ,Z que permite aprovechar más eficientemente a la

red activa?

Definiendo:

T

jX

T

TT

E E

Z R

Z R jX

(8.191)

Resulta: 2

2 2( ) ( )ac

T T

REP

R R X X

(8.192)

Nótese que Pac es función de R y X. Las condiciones para la máxima potencia, en (8.192)

son:

Red

activa Red

Pasiva V

I

a

b

V

I

Z ET

ZT



0acP

X

0acP

R

(8.193)

Aplicando la primera condición de (8.193) a (8.192), se obtiene:

0T

X X (8.194)

Aplicando la segunda condición de (8.193) a (8.192), se obtiene:

2 2 2

0( )TT

R X XR (8.195)

Resulta, finalmente, de (8.194) y (8.195):

T

T

R R

X X

(8.196)

que puede plantearse, según:

*

TZ Z (8.197)

La impedancia de la carga debe ser el complejo conjugado de la impedancia Thévenin de la

red activa.

Existen teoremas similares para casos particulares. Por ejemplo: Si la carga es solamente

resistiva, puede verificarse que la condición para máximo flujo de energía de la red activa hacia

la resistencia es:

2 2 2

T TR R X (8.198)

8.12. Diagramas fasoriales

8.12.1. Introducción

Se desea desarrollar un procedimiento gráfico para el estudio de redes sometidas a

excitaciones sinusoidales en estado estacionario.

Si se representan las variables de una red mediante sus transformadas fasoriales, los fasores

en un tiempo de referencia, se obtendrá el diagrama fasorial asociado a dicha red.



Un diagrama fasorial condensa, en forma gráfica, la información proporcionada por la

solución de la red. Es decir, muestra las relaciones entre las fases y entre las amplitudes de las

variables de la red.

Por un lado, un diagrama fasorial es teórico, ya que permite visualizar el problema, efectuar

comparaciones, sacar conclusiones, determinar posibles modificaciones. Este método se emplea

en el estudio del comportamiento de la maquinaria eléctrica.

Por otro lado, un diagrama fasorial es un procedimiento práctico, ya que siguiendo los pasos

del método podrá construirse, con ayuda de compás, transportador y regla, el diagrama fasorial

que es la solución de la red. Como se verá luego, la efectiva aplicación de este método requiere

habilidad en la manipulación de conceptos geométricos. La construcción de triángulos a partir

de determinados datos, problema básico de la geometría plana clásica, puede aplicarse

efectivamente en la construcción de los diagramas fasoriales.

Una variante comúnmente empleada por las personas no versadas en geometría, es usar

diagramas fasoriales construidos a mano alzada, y establecer la solución de la red, en forma

analítica, mediante el uso de la trigonometría.

8.12.2. Reglas elementales para la construcción gráfica

8.12.2.1. Polígono LVK

Cada LVK está asociado a un polígono.

Supongamos, por ejemplo, que tenemos tres voltajes, tales que: 1 2 3

0V V V

Sus transformadas fasoriales pueden representarse según:

Figura 8.82. Transformadas de v1, v2 y v3.

Desgraciadamente, esta forma gráfica no permite visualizar que cumplen la LVK.

Por esta razón, en los diagramas fasoriales se emplea la siguiente forma:

V1

V2

V3



Figura 8.83. LVK en forma gráfica.

Nótese que las transformadas fasoriales se consideran como vectores libres; o sea, no fijos al

origen. Técnica similar se emplea en los métodos de composición de fuerzas en la mecánica

estática. Obsérvese que si se conocen 1 2

y V V , puede determinarse el voltaje 3

V .

El polígono puede adoptar otras formas. Adviértase que las distintas formas entregan la

misma información.

Figura 8.84. Polígono LVK alternativo.

8.12.2.2. Polígono LCK

Cada LCK está asociada a un polígono de corrientes.

La siguiente forma gráfica:

Figura 8.85. Polígono LCK.

Nos indica que se cumple:

1 2 3 40I I I I

8.12.2.3. Equilibrio gráfico

Cada relación de equilibrio establece dos relaciones entre las transformadas fasoriales de la

corriente y el voltaje asociados a una componente de dos terminales.

V1 V2

V3

V2 V1

V3

I1 I2

I3 I4



Relación de módulos.

El módulo de la impedancia relaciona los módulos del voltaje y de la corriente.

Relación de ángulos.

El ángulo de la impedancia relaciona el ángulo de I con el ángulo de V , en la componente.

Ejemplo 8.22.

Para una componente elemental puramente capacitiva:

Figura 8.86. Variables en un condensador.

Figura 8.87. Diagrama fasorial para el condensador.

Relación de módulos: C CI CV .

Relación de ángulos: La corriente adelanta en 90º al voltaje.

Nótese que si se conoce CV puede construirse gráficamente la transformada fasorial cI , y

viceversa.

En las construcciones gráficas conviene escoger escalas adecuadas para las corrientes y para

los voltajes. No necesariamente un cm debe representar igual cantidad de amperes y de volts.

8.12.3. Ejemplos

Se verá, a través de ejemplos, las posibilidades del método recién fundamentado. Es

conveniente, después de estudiar los distintos ejemplos, releer la introducción.

8.12.3.1. Aplicación de las reglas elementales

Determinar vL(t) para la siguiente red:

a

b

vC

iC

C

Ic

VC



Figura 8.88. Red RL.

Definamos las variables, en el siguiente diagrama, en el plano complejo:

Figura 8.89. Red en plano complejo.

Aplicando los valores dados en la Figura 8.88, se obtienen:

1

2

2 -90º

2

3

2

E

Z

Z j

(8.199)

Procedimiento.

Dibujamos .L

V Se escoge como referencia para dibujar los voltajes.

Figura 8.90. Inicio del diagrama.

Se construye L

I mediante la regla de equilibrio.

Nótese que los diagramas se han construido a mano alzada, pues aún no se conoce .L

V

Z1

b

VR

IR a

IL

E Z2 VL

2

b

vL e(t)=2sen(3t)

a

iL

1/2

VL



Figura 8.91. Relación de equilibrio del inductor.

Mediante LCK, agregamos la corriente en la resistencia al diagrama:

Figura 8.92. Incorporación de LCK.

Mediante regla de equilibrio, para la resistencia, se dibuja .R

V

RV en fase con .

RI

Figura 8.93. Incorporación de equilibrio de la resistencia.

Aplicando LVK se dibuja E.

Figura 8.94. Diagrama fasorial completo.

IL

VL

VL/ L

IL =IR

VL

IL =VL/ L

IL =IR

VL

IL=VL/ L

VR

VR =IRR

IL =IR

VL

VR

VR =IRR VL/ L

E



Lo cual completa el diagrama fasorial, realizado a mano alzada. Nótese que, con cierta

experiencia, puede dibujarse el diagrama mediante la inspección visual de la red. Esta habilidad

se logra solamente después de resolver gran cantidad de problemas siguiendo ordenadamente

los pasos del procedimiento.

8.12.3.2. Solución analítica, empleando trigonometría

Una vez planteado el diagrama fasorial de la Figura 8.94, pueden obtenerse ecuaciones, a

través de la geometría o trigonometría, para relacionar los ángulos y las amplitudes de la

variables.

En la Figura 8.95 se ha dibujado la referencia seno coincidente con la dirección de la

transformada fasorial de la fuente de tensión.

Figura 8.95. Obtención de relaciones.

Del diagrama se desprende que puede calcularse el ángulo , y el módulo de VL.

4

3

53,130

cos 2 0,6 1, 2L

R R

L L

V I R Rtg

V I L L

V E

(8.200)

Lo cual permite conocer la transformada fasorial del voltaje, y sacando transformación

inversa, se obtiene el voltaje en el tiempo, según:

( ) 1, 2 (3 53,13º )L

v t sen t (8.201)

8.12.3.3. Solución gráfica, empleando geometría

Observando la Figura 8.94, vemos que para construir el diagrama, desde un punto de vista

geométrico, el problema consiste en construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa

y una relación entre los catetos.

IL =IR

VL

VR

VR =IRR VL/ L

E

s

c



Construcción:

Figura 8.96. Construcción geométrica.

Con compás, transportador o escuadra se levanta una perpendicular. Luego se miden 3

unidades en un lado y 4 unidades en el otro. Lo cual determina la recta AL. El procedimiento

anterior, permite dibujar un ángulo sin transportador.

Sobre AL, se mide la hipotenusa. Lo que origina AB, y luego se ubica C, mediante la

paralela, al lado de largo 4.

Se mide AC, que resulta ser 1,2; y es el módulo del voltaje en el inductor; en ángulo se

mide con un transportador. Se ubican las referencias y SC y se obtiene la transformación

fasorial inversa.

8.12.3.4. Obtención de relaciones

Determinar una relación entre R, L, C y para que la red, de la Figura 8.97, tenga factor de

potencia unitario.

La traducción de la especificación, de acuerdo a (8.182) es que I debe estar en fase con V ,

ya que el ángulo de la impedancia que ve el generador, debe tener ángulo cero.

Figura 8.97. Red en plano complejo.

A

L

C

2

B 4

3

VL

I

I1

E ZR VR

I2

V

ZL

ZC



Dibujando el diagrama fasorial, considerando que I y V deben estar en fase, que I1 debe estar

atrasada respecto a V (por ser una rama de carácter inductivo), y que VL debe adelantar en 90º a

I1, se obtiene:

Figura 8.98. Diagrama fasorial.

Del diagrama se obtienen:

2

1

sen/

cos

Ltg

R

R

R

I V C

I V R

V V

(8.202)

Eliminando VR, V y , en (8.202), se obtiene:

2 2( )

LR L

C

(8.203)

Se formulan las ecuaciones de la red en forma escalar, no con números complejos, a partir

de la inspección visual del diagrama fasorial.

8.13. Lugares geométricos. Diagramas circulares

8.13.1. Introducción

Se desea encontrar los L.G. de los extremos de las transformadas fasoriales, asociados a las

variables de una red sometida a excitación sinusoidal en estado estacionario, cuando alguna

componente elemental, R, L o C, es variable.

Previo a dicho estudio es necesario desarrollar algunos fundamentos matemáticos que nos

serán útiles.

I

I2

I1

VR VL

V =VC



8.13.2. Transformaciones

Se desea encontrar relaciones entre los planos de la impedancia y de la admitancia compleja.

8.13.2.1. Transformación de puntos

En la Figura 8.99 se muestran las transformaciones de puntos ubicados sobre los ejes:

Figura 8.99. Transformaciones de puntos sobre los ejes.

Para un punto cualquiera, si el ángulo de la impedancia es positivo, el de la admitancia será

negativo. El módulo de la admitancia será el recíproco del módulo de la impedancia.

Figura 8.100. Transformación de un punto cualquiera.

8.13.2.2. Transformación de rectas que pasan por el origen

Se aplica 8.13.2.1. para dos puntos de la recta, según se muestra en la Figura 8.101.

Z

R

jX

Re(Z)

j Im(Z)

Y

1/R

-j/X

Re(Y)

j Im(Y)

Z

z

Re(Z)

j Im(Z)

Y

y

Re(Y)

j Im(Y)



Figura 8.101. Rectas que pasan por el origen.

8.13.2.3. Transformación de una circunferencia

Efectuaremos la transformación de un círculo de impedancias en un caso general, como se

muestra en la Figura 8.102.

Figura 8.102. Circunferencia en plano Z.

De la Figura 8.102, considerando que un punto tiene coordenadas ( , )R X , se obtiene:

2 2 2( ) ( )R a X b r (8.204)

De la definición de impedancia y admitancia (8.116), considerando que las coordenadas de la

admitancia son ( , )G B , se tiene:

2 2 2 2

G BZ R jX j

G B G B

(8.205)

Eliminando R y X, en función de G y B de (8.205) en (8.204) se obtiene:

2 2

2

2 2 2 2

G Ba b r

G B G B

(8.206)

Z

z1

Re(Z)

j Im(Z)

z2

Y

y1

Re(Y)

j Im(Y)

y2

Z

b

R

j X

r

a



Definiendo una circunferencia en el plano ( , )G B , con centro en ( , )c d y radio e, se tiene:

2 2 2( ) ( )G c B d e (8.207)

Arreglando (8.206) y comparando términos con (8.207), se obtienen:

2 2 2

22

2 2 2 2

2 2 2

( )

ac

a b r

re

a b r

bd

a b r

(8.208)

Lo que demuestra que (8.206) es efectivamente una circunferencia. La cual se muestra en el

plano de admitancias, en la Figura 8.103.

Figura 8.103. Circunferencia en plano Y.

Para transformar una circunferencia se procede de la siguiente forma: se pasa una recta por el

origen y el centro de la circunferencia, se transforman los puntos, según se vio en 8.13.2.2. El

procedimiento se ilustra en las Figura 8.104 y 8.105.

Figura 8.104. Puntos diametralmente opuestos en Z.

Y

-d

G

j B

e

c

Z

R

j X



Figura 8.105. Puntos diametralmente opuestos en Y.

Se dibuja una recta que pase por el origen y por el centro de la circunferencia en plano

complejo de impedancias, Figura 8.104.

Luego se aplica 8.13.2.2. Esto puede hacerse, ya que del desarrollo anterior, en 8.13.2.3, se

conoce que la transformada de una circunferencia es una circunferencia.

8.13.2.4. Transformación de líneas que no pasan por el origen

Las rectas pueden consideranse circunferencias con centro en el infinito. Procedimiento: se

dibujan 3 puntos sobre la recta, ya que la mínima información para construir una circunferencia

son 3 puntos; y luego se transforman los puntos.

La Figura 8.106, muestra la transformación de una recta paralela al eje jX, en el plano de

impedancias, en una circunferencia en el plano de admitancias.

Figura 8.106. Transformación de recta paralela a eje jX.

La Figura 8.107, muestra la transformación de una recta paralela al eje R, en el plano de

admitancias, en una circunferencia en el plano de admitancias.

Y

G

j B

Y

G

j B

1/R

Z

R

j X

R



Figura 8.107. Transformación de recta paralela a eje R.

8.13.3. Aplicaciones

8.13.3.1. Determinar lugar geométrico de e YZ para C variable

Figura 8.108. Red RC paralelo.

Para la admitancia resulta: ( )Y j G j C . El lugar geométrico de la admitancia, se

muestra en la Figura 8.109, para C variando entre cero e infinito. Se muestra sobre la recta la

dirección en que se movería el valor de la susceptancia BC, cuando el condensador aumenta.

Figura 8.109. Admitancia con C variable.

El lugar geométrico de la impedancia, cuando se varía el valor del condensador, se muestra

en la Figura 8.110. Y se obtiene transformado tres puntos.

Z

R

j X

jX

Y

G

j B

-j/X

jBC G Y

Y

G

j B

G

jBC

C



Figura 8.110. Impedancia con C variable

8.13.3.2. L.G. para conductancia variable

Para la siguiente red RC paralelo, con G variable:

Figura 8.111. Red RC con G variable.

Se obtiene, para la admitancia:

( ) CY j G jB G j C (8.209)

La Figura 8.112, muestra la recta paralela al eje G, con el lugar geométrico de la admitancia

de la red de la Figura 8.111.

Figura 8.112. Admitancia RC, con G variable.

El diagrama para la impedancia, resulta una circunferencia, que se muestra en la Figura

8.113. Cuando la admitancia tiende a infinito, la impedancia tiende a cero.

Z

R

j X

1/G

C

jBC G Y

Y

G

j B

jBC G



Figura 8.113. Impedancia RC, con G variable.

8.13.3.3. L.G. de I con R variable

Para la siguiente red:

Figura 8.114. Red RL serie.

Se escoge E coincidente con la referencia, resulta E una constante real. Entonces el L.G.

de I será el L.G. de Y , multiplicado por la constante real, esto debido a (8.210).

EI E Y

Z

(8.210)

Con R variable, se tiene el lugar geométrico de la impedancia, que se muestra en la Figura

8.115.

Figura 8.115. Impedancia RL, con R variable.

Z

R

j X

-j/ C

G

R

b

I a

E j L

Z

R

j X

j L

R



Para la admitancia, se obtiene la circunferencia de la Figura 8.116.

Figura 8.116. Admitancia RL, con R variable.

Finalmente, el L.G. de I resulta:

Figura 8.117. L.G. de I con R variable.

Ejemplo 8.23.

Para la siguiente red, con: =1; R1=1; R=1; R2=3; L=1.

Figura 8.118. Red en estado estacionario.

Y

G

j B

-j/ L

R

I

Re(I)

jIm(I)

-jE/ L

R

E

i

e

R1

R2

L

R

C



Determinar:

El L.G. de la impedancia Z vista por el generador.

C para I esté en fase con V .

R2 para que exista sólo un valor de C que haga que I y V estén en fase.

Para la combinación serie de R y C, se tienen los L.G. de Z e Y de la Figura 8.119. Se

muestra la variación para la disminución del valor del condensador.

Figura 8.119. L.G. para C variable.

El valor del condensador C0, para un valor de B0 igual al radio de la circunferencia de la

admitancia, cumple la relación:

0

1

2C

R

(8.211)

Considerando la conductancia G2, en paralelo con la admitancia de la combinación serie

anterior, se logra:

Figura 8.120. L.G. de admitancia para C variable.

El L.G. de la impedancia para el conjunto anterior, resulta:

Z

R

j X

R

C

-j/ C

Y

G

j B

1/R

C C0

Y

G

j B

1/R+1/R2

C

1/R2



Figura 8.121. L.G. de impedancia para C variable.

Finalmente se suma la impedancia serie de la resistencia R1 con la inductancia L, resultando

la Figura 8.122.

Dependiendo de los valores numéricos, la circunferencia que muestra la variación del

condensador, puede ser tangente, no cortar, o cortar dos veces al eje real.

Figura 8.122. L.G. de Z para C variable.

Reemplazando los valores numéricos, se logra:

Figura 8.123. L.G. de Z para C variable.

Existiendo dos valores del condensador C para los cuales la impedancia tiene ángulo cero.

Z

R

j X

RR2/(R+R2)

C

R2

Z

R

j X

R1+RR2 /(R+R2 )

C

R1+R2

j L

R1

Z

R

j X

7/4

C

4

j1

1

C1 C2



En forma analítica, la impedancia vista por el generador, puede expresarse según:

(8.212)

De la cual pueden obtenerse los valores del condensador, que hacen cero la parte imaginaria

de la impedancia, resultan:

(8.213)

Evaluando con los datos numéricos se obtienen:

C1 = 0,4101 y C2 = 0,1524 (8.214)

Igualando la reactancia inductiva al radio del círculo se obtiene un solo valor del

condensador para tener impedancia de entrada puramente resistiva. De la Figura 8.122, se logra

la relación:

2

2

2

2R

LR R

(8.215)

Evaluando, con el resto de los datos, se obtienen:

R2 = 2,73205 y C = 0,267955 (8.216)

:= z R1 L j1

1

R2

1

Rj

C

:= C1R22 R24 8 L2 R 2 R2 4 2 L2 R22 4 L2 R2 2

2 ( )2 L R 2 R2 2 L R22 L R2 2

:= C2R22 R24 8 L2 R 2 R2 4 2 L2 R22 4 L2 R2 2

2 ( )2 L R 2 R2 2 L R22 L R2 2



Problemas resueltos

Problema 8.1

Si se define la transformación fasorial de modo que:

P{ cos(wt-15º) } = 1/0º

determine las transformadas fasoriales de:

f1(t) = 9cos(wt+85º); f2(t) = 3sen(wt-72º); f3(t) =- 5sen(wt+34º).

Solución.

A través de relaciones trigonométricas, debe expresarse:

fj(t), j {1,2,3}, como: fj(t)=|Aj|cos(wt-15º+ j)

y luego, aplicando la definición se llega a:

P{ fj(t) } =|Aj|/ j ˆ F j

En nuestro caso:

f1(t) = 9cos(wt+85º) = 9cos(wt-15º+100)

f2(t) = 3sen(wt-72º) = 3cos(wt-72º-90º) = 3cos(wt-15º-147º)

f3(t) =-5sen(wt+34º) = 5cos(wt+34º+90º) = 5cos(wt-15º+139º)

F 1 = 9 /100º F 2 = 3 /-147º F 3 = 5 /139º

Problema 8.2

Considere la red de la Figura P8.1, con los datos que se señalan:

Figura P8.1.

Datos:

e(t) = 200sen(314t) [V]; R1=5[ ]; L=5/314 [Hy]; R2=4[ ]; C=1/1256 [F].

va vb i

R2 L C

e(t) +

R1



Calcular: i(t), va(t), vb(t).

Solución:

Figura P8.2.

Las transformadas fasoriales de los datos:

Aplicando LVK:

1 2 3 41 2 3 4

1 2 1 2

3 4 3 4

(9 )

200 /0º 200 /0º22,09 /-6,34º

9 9,06 /6,34º

( ) (5 5) 22,09 /-6,34º 156, 2 /38,66º

( ) (4 4) 22,09 /

a

b

E V V V V Z I Z I Z I Z I j I

Ij

V Z I Z I Z Z I j

V Z I Z I Z Z I j -6,34º 125,0 /-51,34º

Para obtener i(t), va(t) y vb(t) debe notarse que al haber escogido /0º 200E se estableció

automáticamente a sen(314t) como referencia. Por lo tanto:

( ) 156,2sen(314 38,66º )

( ) 125,0sen(314 51,34º )

( ) 22,09sen(314 6,34º )

a

b

v t t

v t t

i t t

Observaciones:

Se puede desarrollar un “álgebra de impedancias” en forma análoga a aquella desarrollada

para resistores. Para este ejemplo se puede aplicar la idea de impedancias en serie para calcular

una impedancia equivalente e

Z , tal como es “vista” desde los terminales de la fuente.

Así:

/6,34º 06,9j9ZZZZZ4321e

11

2

23

4

200 /0º

5 /0º

5 5 /90º

4 /0º

14 4 /-90º

E

Z R

Z jwL j

Z R

Z jjwC

Va Vb I

Z4

E

Z3 Z2

+

Z1



y, consecuentemente,

eZ/EI

la cual es la misma expresión a la que se había llegado anteriormente.

Es también interesante anotar que las ideas de división de tensión y división de corriente se

aplican igualmente en el análisis sinusoidal, ahora en términos de las impedancias en vez de las

resistencias. En el ejemplo, usando el concepto del divisor de tensión, se llega a:

Problema 8.3

Calcule el equivalente Norton de la red de la Figura P8.3, entre los terminales a y b,

conociendo la red en el plano complejo:

Figura P8.3.

Solución:

La determinación de la red equivalente Norton o Thévenin, no necesita considerar las

condiciones iniciales ya que ellas influyen en la respuesta transitoria solamente y el análisis

sinusoidal sólo considera la situación estacionaria.

Como es fácilmente demostrable, las transformaciones de fuentes también son lícitas en el

dominio complejo, por lo que ese será el camino para reducir la red y llegar, por

transformaciones equivalentes, a la estructura de una red equivalente Norton.

Transformando 1 1/

gI Z a fuente de tensión y luego reduciendo las dos fuentes de tensión en

serie y las dos impedancias en serie se llega a:

1 2

3 4

a

e

b

e

Z ZV E

Z

Z ZV E

Z

1 1

22 3

2 /0º, 4 2 /45º, 20 /-30º

3 /-12º, 1 /120º, 2 /0º

g

g

I Z E

Z I Z

Ig2

Eg Z1

+

Ig1 Z3

a

Z2 b



Figura P8.4.

donde:

4 1 2

3 1 1

4 4 2,93 0,62 7,71 /26º

17,3 10 8 8 20,3 /-62,6ºg g g

Z Z Z j j

E E I Z j j

Finalmente, transformando la fuente de tensión 3g

E y reduciendo las fuentes de corrientes y

las impedancias en paralelo se llega a:

Figura P8.5.

donde:

3 4

3 4

3

2

4

15,42 /26º 15,42 /26º1,61 /5,3º

8,93 3,38 9,55 /20,7º

1 /120º 2,63 /-88,6º

0,5 0,87 0,064 2,63 0,436 1,76 1,81 /76,1º

N

g

gN

Z ZZ

Z Z j

EI I

Z

j j j

Note que el mismo resultado debe obtenerse si en la Figura P8.3, se cortocircuita el par de

terminales a-b y se midiese allí la corriente circulante.

Problema 8.4

Calcule las corrientes de malla, en estado estacionario, para la red de la Figura P8.6:

Ig2

Eg3

Z4

+

Z3

a

b

IN ZN

a

b



Figura P8.6.

Se conocen:

Solución:

Existen dos caminos alternativos: el primero consiste en formular las ecuaciones de

mallas en el tiempo y luego transformar fasorialmente esas ecuaciones para calcular ;I e Iba

el segundo es llevar simbólicamente la red al dominio fasorial y formular allí las ecuaciones de

mallas.

Seguiremos el segundo camino, pero previamente revisaremos las relaciones de equilibrio

para las inductancias acopladas en el dominio complejo:

1 21 1 1 1 21

1 2 21 222 2

( )

( )P

di div t L M v jwL I jwM I

dt dt

di di v jwM I jwL Iv t M L

dt dt

Se obtiene el siguiente modelo simbólico:

Figura P8.7.

ia ib

C5

L2 L3

M23 R4

e(t) +

R1

1 2

2 3 23

4

( ) 100cos(2 )

5[ ], 2[ ]

0,5 , 0,4

0,1 , 4

e t t V

R R

L L Hy M Hy

C F R

Ia Ib

-j/ C5

j L2 j L3

j M23 R4

E +

R1



Reemplazando los valores numéricos:

2 3

23

100 /0, 1 /90º j

jjwM 0,8 /90º j0,8, - 5 /-90º -j5

wC

E jwL jwL

Aplicando método de mallas:

1 2 23

23 4 3

E ( )

0

a b

a b

R jwL I jwM I

jjwM I R jwL I

wC

Reemplazando valores y expresando matricialmente:

5 0,8 100

0,8 4 4 0

a

b

Ij j

j j I

Calculando la inversa, y efectuando cálculos:

Se obtiene:

566 /-45º

4 4 0,8 100 29,4 /-33º1

0,8 5 0 80 /90º29,4 /-33º

29,4 /-33º

a

b

I j j

I j j

19,25 12º

2,72123º

a

b

I

I

En el dominio del tiempo:

ia(t) = 19,25 cos(2t -12º) ib(t) = 2,72 cos(2t + 123º)

Problema 8.5

Una impedancia capacitiva jwC

1RZ cc

toma 13[KVA] a FP=5/13 desde una fuente de

excitación sinusoidal de 200 [V], valor efectivo. Si se conecta a esta impedancia otra de tipo

inductivo, jwLRZ LL, en paralelo con ella, calcule, con los datos que se indican, lo

siguiente:

a) L

Z para que el FP del conjunto de ambas sea máximo y la potencia consumida por ellas

sea mínima;

b) la corriente, en valor efectivo, que debe entregar la fuente al conjunto de ambas

impedancias cuando se cumplen las condiciones establecidas en a).

Solución.



La situación es la siguiente:

Figura P8.8.

Como se desea trabajar en valores efectivos se definirá la transformación fasorial de la

siguiente forma:

1

ˆˆ cos /0º

2

2 | | cos( )

FP F wt

P F F wt F

a) FPmáx =1, por lo que la potencia reactiva total (QrC+QrL) debe ser cero; o sea, la potencia

reactiva en la impedancia inductiva debe ser:

sen sen(arccos( )) 12L C C Cr r ap C ap CQ Q P P FP KVAR

Por otro lado, para que Pact total sea mínima, la potencia consumida porL

Z debe ser cero, es

decir, RL debe ser cero. Por lo tanto:

2 2(200)3,33 3,33

12000L L

L

ap r L

Z jwL

EP Q wL Z j

wL

b) Calculamos la corriente total:

LapP /arccos(5/13) /90º

E

(5000 12000 12000) / 200 25 A

Cap

C L

PI I I

E

I j j

También tenemos para la potencia activa:

cos 5000C L CT ac ac acEI P P P

y, dado que cos 1T TFP , para cumplir el requisito de máximo, se tiene:

50002,5

cos 200

T

T

PacI A

E

IL

I

IC

ZC ZL E +



Problema 8.6

Determine gráficamente Vy V ,V ,V4321

en la red de la Figura P8.9

Figura P8.9.

Solución:

La impedancia total es 2j3ZT

, lo cual determina la fase de I respecto de la fuente.

Vy V41

están en fase con I ; 2

V adelanta a I en 90º y 3

V atrasa a I en 90º.

Además por LVK, se tiene:

1 4 3 4200 0° V V V V

Y se cumplen las siguientes relaciones entre los voltajes:

1

3

V

V

;1

2

V

V

2

3

4

1

Con estas relaciones se puede construir el diagrama fasorial, escogiendo la fuente como

referencia.

Figura P8.10.

Procedimiento:

1. Dibuje E de un largo razonable, con ángulo 0º.

2. Trace un rayo de ángulo = arctg 2/3, obteniendo el LG de I .

V1 V3 I

j

V2

-j3

V4 200|_0º

1

+

2

2

3

V1

V4

V2

I

V3

E



3. Construya el rectángulo con hipotenusa dada (E ) y un dado, el de I respecto de E .

4. En el así obtenido identifique el cateto en fase con I como: V V41

; y aquel en

cuadratura con I como: .V V32

5. Divida el cateto V V41

en relación 2:1 para obtener .Vy V41

6. Tome la mitad del cateto V V32

y cópiela a continuación del mismo para obtener

32 y V V en relación de magnitudes 3/1.

7. Conociendo que 200[V] corresponde a 6 [cm] pueden calcularse proporcionalmente las

dimensiones de las transformadas fasoriales. Los ángulos se miden con transportador.

Problema 8.7

Se tiene la red de la Figura P8.11, sometida a excitaciones sinusoidales y en estado

estacionario:

Figura P8.11

Se dispone de los siguientes datos: L =5/2, C = 1/12,

R1 = 10, R2 = 3

i2 i1

vL

e1

R2 C

i L R1

e3 e2

vR1 vR2 vC

1

2

3

4

1

2

3

4

6 200 datoˆ ˆ

V 3,3 110ˆ ˆ

V 1,7 57ˆ ˆ

V 5 167ˆ ˆ

V 1,5 50ˆ ˆ

110 /33,7º

57 /125º

167 /-55º

50 /33,7º

E cm V

cm V

cm V

cm V

cm V

V

V

V

V



e1(t) = sen(4t –45°) e2(t) = sen(4t + 135°)

e3(t) = -sen(4t –135°)

a) Determinar: i(t) e 2I

b) Determinar la potencia aparente compleja entregada por la fuente de tensión 2•

E .

c) Dibujar un diagrama fasorial, en que se muestren las tensiones en cada uno de los

elementos.

Solución.

Se obtienen las transformadas fasoriales de las fuentes.

Luego las impedancias de las componentes, y finalmente se calculan las corrientes.

Se obtienen:

Obteniendo la transformada inversa para la corriente, resulta:

i(t) = (13/30) cos(4t –45°)

b) Planteando la expresión para la potencia aparente compleja, y reemplazando los valores,

se obtiene:

1 1351

1 452

1 453

1 10 4(5 / 2) 10(1 ) 10 2 451

2 1/( ) 3 12 / 4 3(1 ) 3 2 452

31 1 135 1 45 2 180 11351

1010 2 45 10 2 451

3 2 1 45 1 45 2 902

3 2 45 3 2 451

E

E

E

Z R j L j j

Z R j C j j

EE

IZ

E E

IZ

145

3

1 1 1 1 1345 135 45 45 452 1

3 10 3 10 30I II



( )*2 2 1 1 145 225 270 02

2 2 3 6 6

E Ij

PE

El resultado indica que se tiene potencia reactiva de tipo capacitiva.

c) Se obtienen las transformadas fasoriales de los voltajes en cada componente, y luego se

dibujan los polígonos LVK y LCK, en la Figura P8.2.

Figura P8.12

Problema 8.8

Se tiene la red de la Figura P8.13, sometida a una excitación sinusoidal y en estado

estacionario:

1 1351

1 452

1 453

54 1135 90 1 225 1 1351

2

10 11351 1

121 45 90 1 1352

4

3 1 452 2

E

E

E

V j IL

V IR

V ICj

V IR

E1

E3

E2

I1

I2

VR2

VC

VL VR1

1 [V]

0,1 [A]



Figura P8.13

a) Con: e(t) = 25 cos(5t + 45°), L = 2, C = 1/5, R1= 1, R2 = 0

Determinar: p1(t), la potencia instantánea en el condensador.

b) Con: e(t) = 5 cos( t ), determinar R2 en función de R1, L y C, para que la potencia

reactiva entregada por el generador sea cero.

c) Con: e(t) = 10 cos( t), L = 1/4, C = 4/73, R1= 10, R2 = 2

Determinar la frecuencia angular para que las transformadas fasoriales de e(t) e i(t) estén

en fase.

Solución.

a) Se calculan las impedancias:

2RLz R j L (1)

C

jz

C

(2)

||p RL Cz z z (3)

Para calcular V1 e I1, primero se calcula I, se tiene:

1 p

EI

R z

(4)

Luego:

1

11

p

c

V Iz

VI

z

(5)

Para la transformada de la fuente, se tiene:

e R2 C

i i2

i1

v1

L R1

v2

v4

v3



25 45E (6)

Reemplazando los valores numéricos en (1), (2), (3) y (4), y empleando (6), se obtienen:

1

1

16,72 93,0

18,58 93,0

18,58 3,0

I

I

V

(7)

Se determinan funciones temporales de v1(t) e i1(t):

v1(t) = 18,58 cos( 5t +3,01°)

i1(t) = 18,58 cos( 5t +93,01°)

(8)

Se tiene para la potencia instantánea en el condensador:

p1(t) = 172,65 cos( 10t + 96,03°)

(9)

b) Para que la potencia reactiva entregada por el generador sea nula, la impedancia vista por

éste debe ser resistiva pura. Entonces la impedancia paralelo del condensador, y de la

combinación serie de la inductancia y la resistencia R2 debe ser un número real, sea éste R.

2( ) || (j

R j L RC

(10)

De la cual se obtienen, separando parte real e imaginaria, dos ecuaciones:

2

2 1( )

LRR

C

RR L

C C

(11)

Eliminando R, en (11), se obtiene:

2 2

2

LR L

C

(12)

c) Para que las transformadas fasoriales de e(t) e i(t) estén en fase, la impedancia vista por el

generador debe ser resistiva.

Despejando de la relación (12), se obtiene:



2

2

2

1 R

LC L

(13)

Evaluando (13) con los datos, se obtiene: = 3

Problema 8.9

Se tiene la red de la Figura P8.14, sometida a una excitación sinusoidal y en estado

estacionario:

Figura P8.14

Se dispone de los siguientes datos: L = 2, C = 3, R = 10.

a) Determinar: i(t) e 2I cuando e(t) = 25 cos(5t + 45°)

b) Con e(t) = 25 cos( t ) determinar , para que •E e

•I estén en fase.

Solución:

a) La impedancia vista por la fuente de tensión:

(1)

Reemplazando los valores numéricos, y calculando se obtiene:

9,93 89,97ºZ (2)

Se tiene la transformada fasorial de la fuente:

25 45,0ºE (3)

Puede calcularse la corriente:

25 45º2,52 45,0º

9,93 89,97º

EI

Z

(4)

:= Z L j1

1

RC j

e R C

i i2

i1

v1

L



En el dominio del tiempo:

( ) 2,52cos(5 45,0º )i t t (5)

I2 se calcula empleando un divisor de corriente, a partir de I.

2 0,017 154,61º

j

CI Ij

RC

(6)

b) Si el ángulo de la impedancia es cero, la tensión y la corriente estarán en fase. Entonces

igualando a cero la parte imaginaria de Z, se obtiene una ecuación que permite determinar .

Para positivo, diferente de cero, se obtiene:

2

2

Im( )1

( )

Cz L

CR

(7)

2( )0,407

L R C L

RLC

(8)

Problema 8.10

Se tienen: e(t) = 10cos(2t + 45°) ; la carga 1, de tipo inductivo, absorbe 10 [W] y 5 [VAR];

la carga 2 absorbe 10 [VAR] con factor de potencia = 0,8 cap.; la potencia activa total entregada

por el generador es de 35 [W]; la potencia reactiva de la carga 3, de tipo capacitivo, es de

2[VAR].

Figura P8.15

Determinar:

a) Las impedancias complejas: Z1, Z2 y Z3.

b) Las corrientes i(t) e i2(t).

c) Las potencias aparentes de las cargas en [VA]

d) El factor de potencia visto por el generador.

E

P2 P3 P

Z1 Z2 Z3

P1

I I1 I2 I3



Se requiere plantear ecuaciones sin reemplazar datos, empleando símbolos. Luego

especificar los valores de los símbolos anteriores que son datos. Luego discutir cómo pueden

calcularse las incógnitas. Para finalmente efectuar los cálculos.

Solución:

Se tienen las siguientes ecuaciones:

cos 210 45 ; 1 1 1 ; 2 2( ); 3 3 3

2

1 2 3; 1 2 3;

; 1 ; 2 ; 32 2 1 2 2 2 3

; 1 ; 2 ; 31 2 3

E P Pac Q j P Q j P Pac Q jsen

Pac Pac Pac Pac Q Q Q Q P Pac jQ

EE EE EE EEZ Z Z Z

P P P P

E E E EI I I I

Z Z Z Z

Análisis de las ecuaciones para obtener los valores pedidos:

Son datos del problema:

Pac1 = 10, Q1 = 5, cos 2 = 0,8, Q2 = -10,

Pac = 35, Q3 = -2, con los cuales se pueden calcular: P1, P2, Pac3, Q. Y también: P y P3.

Ya calculados P, P1, P2 y P3, pueden obtenerse las impedancias: Z, Z1, Z2 y Z3.

Con las impedancias calculadas, pueden determinarse las corrientes: I, I1, I2, e I3.

= 35.693|_-11.310°

= 11.180|_26.565°

= 16.667|_-36.870°

= 11.837|_-9.728°

a) Cálculo impedancias:

= 1.401|_-11.310°

= 4.472|_26.565°

= 3.000|_-36.870°

= 4.224|_-9.728°

b) Cálculo de corrientes:

= 7.139|_56.310°

= 2.236|_18.435°

= 3.333|_81.870°

= 2.367|_54.728°

:= E 5 2 5 j 2 := Pac3 11.66666666 := Q -7

:= P 35 7 j

:= P1 10 5 j

:= P2 13.33333333 10. j

:= P3 11.66666667 2. j

:= Z 1.373626374 0.2747252747j

:= Z1 4. 2. j

:= Z2 2.400000000 1.800000000j

:= Z3 4.163362410 0.713719270j

:= I 3.959797974 5.939696958j

:= I1 2.121320343 0.7071067810j

:= I2 0.4714045216 3.299831646j

:= I3 1.367073110 1.932758535j



Expresiones temporales de las corrientes:

i(t) = 7,139 cos(2t +56,31°), i2(t) = 3,333 cos(2t +81,87°)

c) Valores de las potencies aparentes:

Las potencias aparentes en [VA]:

Pap1 = 11.180 Pap2 = 16.667 Pap3 = 11.837

d) Determinación del factor de potencia y su tipo.

El factor de potencia visto por el generador, es el coseno del ángulo de la impedancia

equivalente, es decir:

F.P. = cos(11,31°) = y su tipo es capacitivo.

También puede calcularse como: Re(Z)/ abs(Z).

Es el coseno del ángulo medido desde I hacia E

F.P.= cos( (ángulo de E) – (ángulo de I))

=cos( 45° - 56,310°) = cos(-11,31°)

F.P.= cos( 11,31°) cap.

También:

F.P. = cos( ángulo de P) = cos(-11,31°) = cos(11,31°) cap.

Problema 8.11

Para la red de la Figura P8.16, se tienen:

21 20 , , 1E EE E Z

Figura P8.16

a) Determinar intervalo de valores de 2 para que la fuente E2 entregue energía activa cuando

la impedancia es puramente inductiva.

b) Determinar intervalo de valores de 2 para que la fuente E2 se comporte como una carga

inductiva cuando la impedancia es puramente capacitiva.

0.9805806757

E1

P2 P1

Z I

E2



Solución:

a) Cuando Z es puramente inductiva, se tiene: = /2 y la expresión para2

22

E IP

resulta:

22 2 2 2 2 2

2

( 0 ) (cos )(1 cos )

2 2

E E E E jsen jsenP

Z j

2

2 2 2 2

2

22

2( cos )(1 cos )

2

( )

2ac

E j sen jsenP

E senP

La fuente entrega energía activa cuando Pac2 es negativa, lo cual se cumple en el intervalo

20 180

b) Cuando Z es puramente capacitiva, se tiene: = - /2 y la expresión para 2

22

E IP

resulta:

22 2 2 2 2 2

2

( 0 ) (cos )(1 cos )

2 2

E E E E jsen jsenP

Z j

2

2 2 2 2

22

2 2 22

2 22

2 2 22

2

22

2( cos )(1 cos )

2

( cos (1 cos ) )

2

( cos cos )

2

(1 cos )

2

E j sen jsenP

E senQ

E senQ

EQ

Q2 se comporta como carga inductiva si es mayor que cero. Esto se logra para:

2

2

1 cos 0

cos 1

Lo cual se cumple para todo valor de 2.



Ejercicios propuestos

Ejercicio 8.1

En un mismo diagrama fasorial dibuje los fasores asociados a sen(2wt+ ) y sen(wt+ ) en

diferentes instantes y sabiendo que . Suponga que en ambos casos se ha usado el fasor

asociado a coseno como el fasor de referencia.

A partir de lo observado, discuta la posibilidad de usar el método fasorial para analizar redes

sujetas a excitaciones sinusoidales de diferente frecuencia (sin usar superposición).

Ejercicio 8.2

Dibuje las señales asociadas a las siguientes transformadas fasoriales:

/290º 30F

130º-/ 15F

/40º 20F

3

2

1

Suponga que F =1 /0 corresponde a 2 sen(wt-30º).

Ejercicio 8.3

Se tiene que: 1 2 3 4 5

0I I I I I , además:

º/120 4I

100º-/ 3I

º/30 4I

º/0 2I

5

3

2

1

Calcule i4(t) si I 1 corresponde a 2 2 sen(314t+20º).

Use método gráfico y método analítico.



Ejercicio 8.4

Se tienen:

/120º 200E

º120-/ 200E

º/0 200E

c

b

a

Determine V RS, V ST y V TR.

Figura E8.1.

Ejercicio 8.5

En un condensador de 1/3140[F] circula una corriente de valor 1,5 sen(314t).

En un diagrama fasorial las transformadas fasoriales para la corriente, la tensión y la carga.

¿Qué sentido tendría representar, si es posible, la energía almacenada en el mismo diagrama?

Ejercicio 8.6

En una red se conectan en serie un resistor, un inductor y un condensador y el conjunto es

alimentado por una fuente de tensión igual a E sen wt. Establezca bajo qué condiciones las

tensiones en los elementos pasivos pueden tener una amplitud mayor que E .

R

S

T

+

+

Eb Ec

Ea +



Ejercicio 8.7

Figura E8.2.

Calcule la relación entre las tensiones en L

Z y C

Z .

Calcule la relación entre las potencias disipadas en L

Z y C

Z

Ejercicio 8.8

Para la siguiente red, con:

ig1 = 10 sen t, eg6 = 100 cos(t-25º)

R2 = R3 = 2, C4 = 1, L5 = 2

Figura E8.3.

Calcule las tensiones y las corrientes de la red usando cualquiera de los métodos generales de

análisis de redes.

10:1

T.I. ZL

ZC E +

2200 /0º

2 /0º

5 /45º

L

C

E

Z

Z

L5

C4 R3 R2

+

ig1

eg6



Ejercicio 8.9

Para la siguiente red, con: E =380 /0º, 1

Z reactiva pura,

I = 10, V1 = V2 = 380

Figura E8.4.

Calcular, si es posible: 1 2 1 2, , y de I , , Z Z V V

Ejercicio 8.10

En la red del ejercicio 8.9 se sabe que:

E = 200 /0º

1Z toma 5[KVA] a FP = 0,8 IND

2Z es una reactancia capacitiva que toma 8 [KVAR]

Calcule I.

Calcule: 1 2, Z Z

Ejercicio 8.11

Para la siguiente red, con: E =400/0º, 1

Z =40 / 1,2

Z =50 / 2

La fuente entrega 2,6 [KVA] a FP = 0,9 IND.

Figura E8.5.

Z1 Z2

V1 V2 I E

+

I2

I

Z1 Z2

I1

E +



Calcule:2121

Z ,Z,I ,I , I .

Ejercicio 8.12

En la misma red del ejercicio 8.11, se sabe que:

E = 500 /0º

La fuente entrega 100 [KW] a FP = 1

I1 = 20 con Z 1 reactiva pura (cap.)

Calcule 2121

Z ,Z,I ,I , I .

Ejercicio 8.13

Para mejorar el FP de una carga Z L se le conectan en paralelo capacitores que toman 20

[KVAR]. Se sabe que la potencia aparente del conjunto es 185 [KVA] y el FP total llega a 0,9

CAP. Determine P ap en Z L.

Ejercicio 8.14

Una carga de 2 [KVA] a FP1 = 0,8 IND es conectada en paralelo con otra de 0,5 [KVA]. Si

el FP total es 0,9 IND, ¿Cuál es el FP de la segunda carga?

Ejercicio 8.15

En la red del ejercicio 8.11 se sabe que:

Z 1 = 15

Z 2 = 8-j2

Pac total = 2 [KW]

¿Cuál es la potencia activa consumida por cada carga?

Ejercicio 8.16

En la red del ejercicio 8.11 se tiene que:

Z 1 = RL+jXL

Z 2 = Rc+jXc

Determine el LG de I para C variable.



Ejercicio 8.17

Para la siguiente red, se tienen:

2 21 20 , ,E E ZE E Z

Asumir E, 2 y Z constantes.

Figura E8.6.

a) Determinar relaciones que deben cumplir el ángulo de la impedancia y el valor máximo de

la fuente de tensión dos para que ésta entregue potencia activa y reactiva.

b) Determinar relaciones que deben cumplir el ángulo de la impedancia y el valor máximo de

la fuente de tensión dos para que ésta se comporte como un condensador.

Plantear ecuaciones sin reemplazar datos, empleando símbolos. Luego especificar los valores

de los símbolos anteriores que son datos. Luego discutir cómo pueden calcularse las incógnitas,

a partir de los datos. Para finalmente efectuar los cálculos.

Ejercicio 8.18

L.G. de I con R2 variable. Considerar E como referencia. Analizar los casos: R1 variable; L

variable; C variable.

Figura E8.7. L.G. de I con R2 variable.

E1

P2 P1

Z I

E2

VR2

I

I2

E ZC VC

ZR2 VR1

I1

ZL VL

ZR1



Índice general

CAPÍTULO 8 ........................................................................................................................... 1

ANALISIS SINUSOIDAL ....................................................................................................... 1

8.1. REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES EN ESTADO ESTACIONARIO ......... 1 Ejemplo 8.1. ...................................................................................................................... 2

8.2. PROPIEDADES DE LAS SEÑALES SINUSOIDALES ......................................................... 3 8.2.1. Derivada ................................................................................................................. 3 8.2.2. Integral ................................................................................................................... 3 8.2.3. Suma de sinusoidales .............................................................................................. 4 8.2.4. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo .......................................................... 5

8.2.4.1. Excitados por señales sinusoidales ................................................................................................ 5 8.2.4.2. Excitados por señales exponenciales imaginarias ........................................................................ 5

Ejemplo 8.2. .......................................................................................................................................... 8 Ejemplo 8.3. .......................................................................................................................................... 8

Solución empleando funciones trigonométricas ............................................................................... 9 Solución empleando funciones exponenciales complejas .............................................................. 11

Ejemplo 8.4. ........................................................................................................................................ 13 8.3. TRANSFORMACIÓN FASORIAL .................................................................................. 16

8.3.1. Definición ............................................................................................................. 16 Ejemplo 8.5. ............................................................................................................................................. 17

8.3.2. Teoremas .............................................................................................................. 17 Teorema 8.1. Homogeneidad .................................................................................................................. 17 Teorema 8.2. Linealidad ......................................................................................................................... 18 Teorema 8.3. Transformada fasorial de la derivada ................................................................................ 19 Teorema 8.4. Transformada fasorial de la integral.................................................................................. 19

Ejemplo 8.5. .................................................................................................................... 20 Ejemplo 8.6. .................................................................................................................... 21

8.4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FASORES................................................................. 22 8.4.1. Definición de fasor ............................................................................................... 22 8.4.2. Representación del fasor en t=0 .......................................................................... 23 Ejemplo 8.7. .................................................................................................................... 23 8.4.3. Representación del fasor en cualquier instante ................................................... 24 8.4.4. Fasor de coseno .................................................................................................... 25 8.4.5. Fasor de coseno más un ángulo ........................................................................... 27 8.4.6. Fasor de coseno menos un ángulo ....................................................................... 29

Ejemplo 8.8. ............................................................................................................................................. 30 Resumen .................................................................................................................................................. 30

8.5. PROCEDIMIENTO GRÁFICO ........................................................................................... 31 8.5.1 Transformadas basadas en la parte real ............................................................... 31 Ejemplo 8.9. .................................................................................................................... 32 8.5.2. Transformadas basadas en la parte imaginaria .................................................. 34 8.5.3. Referencia coseno arbitraria ................................................................................ 34

Ejemplo 8.10. ........................................................................................................................................... 34



Ejemplo 8.11. .......................................................................................................................................... 35 8.6. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJAS ................................................................... 36

8.6.1. Definiciones .......................................................................................................... 36 Ejemplo 8.12. .......................................................................................................................................... 38

8.6.2. Impedancias y admitancias de las componentes elementales .............................. 39 8.6.2.1. Resistor lineal e invariante en el tiempo ..................................................................................... 39 8.6.2.2. Inductor lineal e invariante en el tiempo .................................................................................... 41 8.6.2.3. Condensador lineal e invariante en el tiempo ............................................................................ 43 8.6.2.4. Resumen .................................................................................................................................... 45

8.7. DIAGRAMAS PARA REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES ..................... 45 8.7.1. Símbolos .............................................................................................................. 45

Ejemplo 8.13. .......................................................................................................................................... 46 8.7.2. Leyes de interconexión ........................................................................................ 47

Ejemplo 8.14. .......................................................................................................................................... 48 8.7.3. Aplicación práctica de los diagramas ................................................................. 49

8.8. POTENCIA EN REDES SOMETIDAS A EXCITACIONES SINUSOIDALES ............................. 49 8.8.1. Análisis en el dominio del tiempo ....................................................................... 49

8.8.1.1. Potencia instantánea ................................................................................................................... 49 8.8.1.2. Energía utilizable ....................................................................................................................... 51 8.8.1.3. Energía ociosa ............................................................................................................................ 52

Ejemplo 8.15. ...................................................................................................................................... 52 8.8.1.4. Valor efectivo ............................................................................................................................ 53

8.8.2. Análisis en el plano complejo .............................................................................. 55 8.8.2.1. Relaciones básicas ..................................................................................................................... 55

Ejemplo 8.16. ...................................................................................................................................... 56 Ejemplo 8.17. ...................................................................................................................................... 57

8.8.2.2. Transformadas fasoriales con valores efectivos ......................................................................... 58 Ejemplo 8.18. ...................................................................................................................................... 58 Ejemplo 8.19. ...................................................................................................................................... 59

8.8.2.3. Potencia aparente ....................................................................................................................... 59 Ejemplo 8.20. ...................................................................................................................................... 60

8.8.2.4. Factor de potencia ...................................................................................................................... 61 8.9. PLANOS COMPLEJOS DE ADMITANCIA E IMPEDANCIA ............................................. 61

8.9.1. Ejemplo ............................................................................................................... 62 Red RC serie ............................................................................................................................................ 62 Red RC paralelo ...................................................................................................................................... 62 Red RL serie ............................................................................................................................................ 63 Red RL paralelo ....................................................................................................................................... 63 Red RLC serie ......................................................................................................................................... 63

8.9.2. Definiciones ......................................................................................................... 64 8.10. FACTOR DE POTENCIA INDUCTIVO Y CAPACITIVO ..................................................... 65

Ejemplo 8.21. ................................................................................................................. 66 8.11. TEOREMA DE MÁXIMA POTENCIA DE TRANSFERENCIA ............................................. 67 8.12. DIAGRAMAS FASORIALES .......................................................................................... 68

8.12.1. Introducción ...................................................................................................... 68 8.12.2. Reglas elementales para la construcción gráfica .............................................. 69

8.12.2.1. Polígono LVK ........................................................................................................................... 69 8.12.2.2. Polígono LCK ........................................................................................................................... 70



8.12.2.3. Equilibrio gráfico ...................................................................................................................... 70 Ejemplo 8.22. ...................................................................................................................................... 71

8.12.3. Ejemplos ............................................................................................................ 71 8.12.3.1. Aplicación de las reglas elementales ......................................................................................... 71 8.12.3.2. Solución analítica, empleando trigonometría ............................................................................ 74 8.12.3.3. Solución gráfica, empleando geometría .................................................................................... 74 8.12.3.4. Obtención de relaciones ........................................................................................................... 75

8.13. LUGARES GEOMÉTRICOS. DIAGRAMAS CIRCULARES ................................................ 76 8.13.1. Introducción ...................................................................................................... 76 8.13.2. Transformaciones .............................................................................................. 77

8.13.2.1. Transformación de puntos ......................................................................................................... 77 8.13.2.2. Transformación de rectas que pasan por el origen .................................................................... 77 8.13.2.3. Transformación de una circunferencia ...................................................................................... 78 8.13.2.4. Transformación de líneas que no pasan por el origen ............................................................... 80

8.13.3. Aplicaciones ...................................................................................................... 81

8.13.3.1. Determinar lugar geométrico de e YZ para C variable ...................................................... 81

8.13.3.2. L.G. para conductancia variable .............................................................................................. 82

8.13.3.3. L.G. de I con R variable ........................................................................................................ 83

Ejemplo 8.23. ...................................................................................................................................... 84 PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 88

Problema 8.1 .................................................................................................................. 88 Problema 8.2 .................................................................................................................. 88 Problema 8.3 .................................................................................................................. 90 Problema 8.4 .................................................................................................................. 91 Problema 8.5 .................................................................................................................. 93 Problema 8.6 .................................................................................................................. 95 Problema 8.7 .................................................................................................................. 96 Problema 8.8 .................................................................................................................. 98 Problema 8.9 ................................................................................................................ 101 Problema 8.10 .............................................................................................................. 102 Problema 8.11 .............................................................................................................. 104

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................. 106 Ejercicio 8.1 ................................................................................................................. 106 Ejercicio 8.2 ................................................................................................................. 106 Ejercicio 8.3 ................................................................................................................. 106 Ejercicio 8.4 ................................................................................................................. 107 Ejercicio 8.5 ................................................................................................................. 107 Ejercicio 8.6 ................................................................................................................. 107 Ejercicio 8.7 ................................................................................................................. 108 Ejercicio 8.8 ................................................................................................................. 108 Ejercicio 8.9 ................................................................................................................. 109 Ejercicio 8.10 ............................................................................................................... 109 Ejercicio 8.11 ............................................................................................................... 109 Ejercicio 8.12 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.13 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.14 ............................................................................................................... 110



Ejercicio 8.15 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.16 ............................................................................................................... 110 Ejercicio 8.17 ............................................................................................................... 111 Ejercicio 8.18 ............................................................................................................... 111

ÍNDICE GENERAL .............................................................................................................. 112

Índice de figuras.

Figura 8.1. Red con dos excitaciones. ........................................................................................... 2 Figura 8.2. Red con excitación uno igual a cero. .......................................................................... 2 Figura 8.3. Red con excitación dos igual a cero. ........................................................................... 2 Figura 8.4. Sistema lineal con excitación real. .............................................................................. 5 Figura 8.5. Sistema lineal con excitación imaginaria. ................................................................... 6 Figura 8.6. Sistema lineal con excitación compleja. ..................................................................... 6 Figura 8.7. Excitación exponencial compleja................................................................................ 7 Figura 8.8. Parte real de la respuesta. ............................................................................................ 8 Figura 8.9. Red RLC. .................................................................................................................... 9 Figura 8.10. Red RLC. Excitación coseno. ................................................................................. 11 Figura 8.11. Red RLC Excitación seno. ...................................................................................... 12 Figura 8.12. Red RLC. Excitación compleja. .............................................................................. 12 Figura 8.13. Red RL en estado estacionario. ............................................................................... 14 Figura 8.14. La corriente es la respuesta. .................................................................................... 14 Figura 8.15. Red con excitación exponencial compleja. ............................................................. 14 Figura 8.16. Red con excitación sinusoidal. ................................................................................ 20 Figura 8.17. Representación gráfica de F ( ). ............................................................................ 22

Figura 8.18. Representación gráfica en t=0. ................................................................................ 23 Figura 8.19. Medición de ángulos. .............................................................................................. 24 Figura 8.20. Representación del fasor. ........................................................................................ 25 Figura 8.21. Fasor de coseno. ...................................................................................................... 26 Figura 8.22. Forma de onda de coseno. ....................................................................................... 26 Figura 8.23. Fasor de coseno. ...................................................................................................... 27 Figura 8.24. Fasor de cos( )t . ............................................................................................... 28

Figura 8.25. Forma de onda de cos( )t . ................................................................................ 28

Figura 8.26. Transformada fasorial de cos( )t . ..................................................................... 29

Figura 8.27. Forma de onda de cos( )t . ............................................................................... 29

Figura 8.28. Transformadas fasoriales de F 1 y F 2. .................................................................. 30

Figura 8.29. Formas de ondas de F 1 y F 2. ................................................................................. 30

Figura 8.30. Transformadas fasoriales de seno y coseno. ........................................................... 32 Figura 8.31. Formas de ondas de seno y coseno. ........................................................................ 32 Figura 8.32. Transformadas fasoriales de (8.108). ...................................................................... 33 Figura 8.33. Transformación de c y s, basada en (8.111). ........................................................... 34



Figura 8.34. Referencia coseno. .................................................................................................. 35 Figura 8.35. Referencia arbitraria. ............................................................................................... 35 Figura 8.36. Red en estado estacionario, en el tiempo. ............................................................... 38 Figura 8.37. Formas de ondas de v(t) e i(t). ................................................................................ 39 Figura 8.38. Transformadas de V e I. .......................................................................................... 39 Figura 8.39. Resistencia en el tiempo. ......................................................................................... 40 Figura 8.40. Formas de ondas de vR e iR. ..................................................................................... 40

Figura 8.41. Transformadas de R

V e R

I , en fase. ...................................................................... 41

Figura 8.42. Variables en inductor lineal. ................................................................................... 41 Figura 8.43. Transformadas en cuadratura. ................................................................................. 42 Figura 8.44. Corriente adelanta en 90° a la tensión. .................................................................... 42 Figura 8.45. Variables en un condensador lineal. ........................................................................ 43

Figura 8.46. Transformada de C

I adelanta en 90° a C

V ........................................................... 44

Figura 8.47. Corriente adelanta en 90° a la tensión. ................................................................... 44 Figura 8.48. Impedancia en plano complejo. .............................................................................. 45 Figura 8.49. Fuente de tensión en plano complejo. .................................................................... 45 Figura 8.50. Fuente de corriente en plano complejo. ................................................................. 46 Figura 8.51. Red en el dominio del tiempo. ............................................................................... 46 Figura 8.52. Red en el plano complejo. ...................................................................................... 46 Figura 8.53. Corrientes en el tiempo. ......................................................................................... 47 Figura 8.54. Corrientes en plano complejo. ................................................................................ 48 Figura 8.55. Diagrama de red con impedancias. ........................................................................ 48 Figura 8.56. Potencia instantánea. .............................................................................................. 49 Figura 8.57. Formas de ondas de v, i y p(t). ............................................................................... 50 Figura 8.58. Potencias oscilantes. ............................................................................................... 51 Figura 8.59. Red con excitación continua. ................................................................................. 53 Figura 8.60. Excitación continua. ............................................................................................... 53 Figura 8.61. Red con excitación sinusoidal ................................................................................ 54 Figura 8.62. Excitación alterna. .................................................................................................. 54 Figura 8.63. Potencia en plano complejo. .................................................................................. 55 Figura 8.64. Formas de ondas de v(t) e i(t). ............................................................................... 55 Figura 8.65. Transformadas de V e I . ....................................................................................... 56

Figura 8.66. Formas de onda con negativo. ............................................................................. 57 Figura 8.67. Transformadas en impedancia con negativo. ...................................................... 57 Figura 8.68. Potencia aparente. .................................................................................................. 60 Figura 8.69. Plano complejo P . ................................................................................................. 60

Figura 8.70. Red RC serie. ......................................................................................................... 62 Figura 8.71. Red RC paralelo. .................................................................................................... 62 Figura 8.72. Red RL serie. .......................................................................................................... 63 Figura 8.73. Red RL paralelo. .................................................................................................... 63 Figura 8.74. Red RLC serie. ....................................................................................................... 63 Figura 8.75. Plano complejo de impedancia. .............................................................................. 64 Figura 8.76. Plano de impedancia. ............................................................................................. 65 Figura 8.77. Plano de admitancia. .............................................................................................. 65



Figura 8.78. Tipo de factor de potencia. ..................................................................................... 66 Figura 8.79. Resistencia en líneas de transmisión. ..................................................................... 66 Figura 8.80. Teorema de máxima potencia transferida. ............................................................. 67 Figura 8.81. Thévenin de la red activa. ...................................................................................... 67 Figura 8.82. Transformadas de v1, v2 y v3. ................................................................................. 69 Figura 8.83. LVK en forma gráfica. ........................................................................................... 70 Figura 8.84. Polígono LVK alternativo. ..................................................................................... 70 Figura 8.85. Polígono LCK. ....................................................................................................... 70 Figura 8.86. Variables en un condensador. ................................................................................ 71 Figura 8.87. Diagrama fasorial para el condensador. ................................................................. 71 Figura 8.88. Red RL. .................................................................................................................. 72 Figura 8.89. Red en plano complejo. .......................................................................................... 72 Figura 8.90. Inicio del diagrama. ............................................................................................... 72 Figura 8.91. Relación de equilibrio del inductor. ....................................................................... 73 Figura 8.92. Incorporación de LCK. ......................................................................................... 73 Figura 8.93. Incorporación de equilibrio de la resistencia. ........................................................ 73 Figura 8.94. Diagrama fasorial completo. .................................................................................. 73 Figura 8.95. Obtención de relaciones. ........................................................................................ 74 Figura 8.96. Construcción geométrica........................................................................................ 75 Figura 8.97. Red en plano complejo. .......................................................................................... 75 Figura 8.98. Diagrama fasorial. .................................................................................................. 76 Figura 8.99. Transformaciones de puntos sobre los ejes. ........................................................... 77 Figura 8.100. Transformación de un punto cualquiera. .............................................................. 77 Figura 8.101. Rectas que pasan por el origen. ............................................................................ 78 Figura 8.102. Circunferencia en plano Z. ................................................................................... 78 Figura 8.103. Circunferencia en plano Y. .................................................................................. 79 Figura 8.104. Puntos diametralmente opuestos en Z. ................................................................. 79 Figura 8.105. Puntos diametralmente opuestos en Y. ................................................................ 80 Figura 8.106. Transformación de recta paralela a eje jX............................................................ 80 Figura 8.107. Transformación de recta paralela a eje R. ............................................................ 81 Figura 8.108. Red RC paralelo. .................................................................................................. 81 Figura 8.109. Admitancia con C variable. .................................................................................. 81 Figura 8.110. Impedancia con C variable ................................................................................... 82 Figura 8.111. Red RC con G variable. ....................................................................................... 82 Figura 8.112. Admitancia RC, con G variable. .......................................................................... 82 Figura 8.113. Impedancia RC, con G variable. .......................................................................... 83 Figura 8.114. Red RL serie. ....................................................................................................... 83 Figura 8.115. Impedancia RL, con R variable. .......................................................................... 83 Figura 8.116. Admitancia RL, con R variable. ........................................................................... 84 Figura 8.117. L.G. de I con R variable. ...................................................................................... 84 Figura 8.118. Red en estado estacionario. .................................................................................. 84 Figura 8.119. L.G. para C variable. ............................................................................................ 85 Figura 8.120. L.G. de admitancia para C variable. ..................................................................... 85 Figura 8.121. L.G. de impedancia para C variable. .................................................................... 86 Figura 8.122. L.G. de Z para C variable. .................................................................................... 86 Figura 8.123. L.G. de Z para C variable. .................................................................................... 86 Figura P8.1. ................................................................................................................................. 88



Figura P8.2. ................................................................................................................................. 89 Figura P8.3. ................................................................................................................................. 90 Figura P8.4. ................................................................................................................................. 91 Figura P8.5. ................................................................................................................................. 91 Figura P8.6. ................................................................................................................................. 92 Figura P8.7. ................................................................................................................................. 92 Figura P8.8. ................................................................................................................................. 94 Figura P8.9. ................................................................................................................................. 95 Figura P8.10. ............................................................................................................................... 95 Figura P8.11 ................................................................................................................................ 96 Figura P8.12 ................................................................................................................................ 98 Figura P8.13 ................................................................................................................................ 99 Figura P8.14 .............................................................................................................................. 101 Figura P8.15 .............................................................................................................................. 102 Figura P8.16 .............................................................................................................................. 104 Figura E8.1. ............................................................................................................................... 107 Figura E8.2. ............................................................................................................................... 108 Figura E8.3. ............................................................................................................................... 108 Figura E8.4. ............................................................................................................................... 109 Figura E8.5. ............................................................................................................................... 109 Figura E8.6. ............................................................................................................................... 111

Figura E8.7. L.G. de I con R2 variable. .................................................................................. 111

analisis sinusoidal -...

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