redes dinámicas -...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 7

REDES DINÁMICAS

Redes que contengan condensadores e inductores se denominan dinámicas. Su

comportamiento queda descrito por ecuaciones diferenciales.

Se estudiarán las soluciones de algunas redes dinámicas básicas sin excitaciones y con

excitaciones constantes y sinusoidales.

7.1. Redes de primer orden

Su conducta queda descrita por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y con

coeficientes constantes.

Si se define ( )r t como la respuesta o variable que se desea conocer; y ( )e t como la

excitación, una red de primer orden tiene el siguiente modelo matemático:

( ) 1( ) ( )

dr tr t e t

dt T

(7.1)

Ecuación que requiere de una condición inicial para ser resuelta en forma unívoca.

Sea la condición inicial:

(0)r R (7.2)

Como se verá más adelante, se denomina constante de tiempo al valor T que aparece en

(7.1).

La solución de la ecuación diferencial, desde un punto de vista matemático puede

descomponerse en una parte homogénea y en una parte denominada función particular.

( ) ( ) ( )h pr t r t r t (7.3)

Donde ( )hr t es la respuesta homogénea y se obtiene como solución de:

10h

h

drr

dt T

(7.4)

2 Teoría de Redes Eléctricas


Puede comprobarse, por simple reemplazo, que la función exponencial (7.5) es solución de

(7.4). Donde k es una constante.

/( ) t T

hr t ke (7.5)

Cuando la excitación es cero, el sistema descrito por (7.1) se denomina autónomo.

Cualquier solución de:

1p

p

drr e

dt T

(7.6)

Se denomina solución particular; obviamente puede escogerse la solución más simple.

Se advierte que si se reemplaza r por la suma:h prr , en la relación (7.1), ésta se sigue

cumpliendo.

La respuesta homogénea podría tratarse como la parte de la respuesta que es debida a las

condiciones iniciales, cuando se ha igualado a cero la excitación forzante e(t), por esta razón se

la denomina respuesta natural.

La solución particular es la parte de la respuesta que se debe a la excitación e(t), cuando los

elementos dinámicos están inicialmente relajados, por esta razón se la denomina respuesta

forzada.

De esta forma (7.3) refleja la propiedad de descomposición de un sistema lineal.

7.1.1. Excitación continua o constante

Con ( )e t E , la solución particular más simple que satisface (7.6) es:

pr ET (7.7)

Entonces, la solución general es la suma de (7.5) y (7.7):

/( ) t Tr t ke ET (7.8)

La constante k puede evaluarse, calculando con t igual a cero la relación (7.8) y usando la

(7.2), se obtiene:

0/(0) Tr R ke ET (7.9)

De la cual se despeja la constante k, se obtiene:

k R ET (7.10)

Capítulo 7. Redes dinámicas. 3


Reemplazando (7.10) en (7.8), se obtiene la solución general de la ecuación diferencial de

primer orden, para excitación continua o constante.

/( ) ( ) t Tr t R ET e ET (7.11)

Otra forma de descomponer la respuesta, desde un punto de vista físico, es en parte

estacionaria y transitoria.

( ) ( ) ( )t er t r t r t (7.12)

La respuesta transitoria es aquella que existe durante un cierto tiempo y luego tiende

prácticamente a cero.

La respuesta estacionaria, es la parte de la respuesta que queda una vez extinguida la

respuesta transitoria.

Aplicando esta definición, se identifica en (7.11), la parte transitoria, como:

/( ) ( ) t T

tr t R ET e (7.13)

Para 4t T , el valor de ( )tr t es menor que el 2% del valor inicial, en t igual a cero.

Entonces, con (7.13) y (7.11), se tiene la parte estacionaria:

( )er t ET (7.14)

Puede comprobarse, en (7.11), que:

( )r ET (7.15)

Empleando (7.2) y (7.15) en (7.11), se puede escribir, en forma alternativa, la solución

general, según:

/( ) ( (0) ( )) ( )t Tr t r r e r (7.16)

Después de un tiempo elevado ( 4t T ), la respuesta estacionaria es constante. Ésta puede

calcularse directamente de la ecuación diferencial original (7.1), haciendo cero el término de la

derivada; ya que, en condiciones estacionarias, r es una constante.

7.1.2. Red RC

Sea la red, formada por un condensador y una resistencia, que se muestra en la Figura 7.1.



R

C E

+

Figura 7.1. Red RC.

Se desea calcular v(t), el voltaje en el condensador, para t>0 con v(0)=V.

En la Figura 7.2, se definen las variables de la red:

R

C E

+

v

i

i vR

Figura 7.2. Variables en red RC.

En la definición de variables, se aplicó LCK en forma implícita, por esto se identifica una

variable corriente en la Figura 7.2.

Por LVK se tiene:

RE v v (7.17)

De las ecuaciones de equilibrio:

Rv Ri

dvi C

dt

(7.18)

Eliminando i y vR, empleando (7.18) en (7.17), se obtiene la ecuación diferencial que

describe la red de la Figura 7.2.

1dv Ev

dt RC RC

(7.19)

Comparando (7.19) con (7.1), se tienen:

( )v E

T RC

(7.20)



Nótese que v( ) puede calcularse haciendo cero dv

dt, en la ecuación diferencial.

Entonces la solución general de (7.19) es:

/( ) ( ) t RCv t V E e E (7.21)

La gráfica de la solución (7.21), se muestra en la Figura 7.3, con E>V, y con los valores: E =

10, RC = 1 y V=4,

Figura 7.3. Carga de un condensador.

Para la red de la Figura 7.2, debido a la ecuación de equilibrio del condensador, se tendrá, en

condiciones estacionarias: i=0. Lo cual permite calcular el valor v( ), aplicando conceptos de

redes. Se tiene, por LVK, que: ( )v E cte , ya que el voltaje en la resistencia es cero en

condiciones estacionarias.

Si se considera V>E, con V = 10, E = 4, RC = 1, se tiene la gráfica de (7.21) que se muestra

en la Figura 7.4.

Figura 7.4. Descarga de un condensador.

V

E



Considerando que la carga q de un condensador, puede expresarse en términos del voltaje,

según: q C v ; se advierte que si el voltaje en el condensador disminuye, también disminuirá

la carga en el condensador; en este caso se dice que el condensador se descarga.

7.1.3. Condensadores y red de polarización

Se estudia el efecto de corrientes continuas en redes RC.

La aplicación de tensiones continuas a componentes electrónicas se denomina polarización.

Las redes de polarización, permiten establecer voltajes y corrientes continuas en los

terminales de dispositivos no lineales.

Para redes alimentadas con fuentes continuas, después de extinguido el transiente, para t>4T,

los voltajes en los condensadores toman valores estacionarios constantes, o continuos; en este

caso, las corrientes a través de los condensadores son iguales a cero.

Si los condensadores se reemplazan por circuitos abiertos, pueden calcularse las tensiones y

corrientes continuas en la red.

Ejemplo 7.1.

Para la red de la Figura 7.5, se tienen las ecuaciones:

R C

R

C

I i i

vi

R

dvi C

dt

(7.22)

R C v I

iC iR

Figura 7.5. Condensador en red de polarización.

Se obtiene la siguiente ecuación diferencial, eliminando iR e iC, en (7.22).

dv vI C

dt R

(7.23)



Para t>4T, se tiene que la corriente en el condensador es cero. Esto se debe a que para

tiempos mayores que 4T, el voltaje en el condensador es constante.

constante( ) ( )

0 0

F

c

v t v v

dvi C C

dt

(7.24)

La red equivalente para tiempos mayores que 4T, se ilustra en la Figura 7.6, y se emplea para

calcular las tensiones que aparecen en los condensadores.

R vF I

iR

Figura 7.6. Red continua de polarización.

Donde resulta sencillo, calcular la tensión en el condensador:

Fv R I (7.25)

En esta red, vF también es el voltaje aplicado en el condensador, y podría ser sustituido por

una fuente de voltaje constante de valor vF, para cálculos de polarización.

R vF I

iC iR

Figura 7.7. Fuente de polarización.

Si la fuente de corriente es una señal sinusoidal de frecuencia elevada, puede demostrarse

que la corriente en la resistencia será mucho menor que la corriente en el condensador. En estas

condiciones al condensador se lo denomina de bypass, ya que se lo emplea para conducir

corrientes variables alrededor de la componente conectada en paralelo con el condensador.

7.1.4. Condensador de acoplo

Veremos otro uso frecuente de condensadores en redes electrónicas. En este caso la finalidad

del condensador es impedir que las corrientes continuas o constantes circulen entre dos partes de

una red. Los condensadores que se emplean con este propósito se denominan de desacoplo.



Cuando se emplean con el propósito de hacer circular corrientes variables en el tiempo de

una etapa a la siguiente se denominan de acoplo.

Consideremos la red de la Figura 7.8.

R C

e +

i

RC

vC

Figura 7.8. Condensador de acoplo.

Aplicando LVK y las ecuaciones de equilibrio de las resistencias, se tiene:

( )c Ce R R i v (7.26)

Eliminando la corriente, empleando la ecuación de equilibrio para el condensador, resulta

cuando e es una constante de valor V:

( ) CC C

dvV R R C v

dt

(7.27)

Ecuación similar a la resuelta en 7.1.2.

Para 4t T , resultan: ( )Cv t V constante, con i=0.

Vemos entonces que la corriente a través del condensador no puede tener una componente

continua. El condensador desacopla el paso de corriente continua.

Si la fuente de voltaje tiene componente alterna y continua, sólo la parte alterna produce

variaciones en Rc.

7.1.5. Carga y descarga de un condensador

Consideremos la red de la Figura 7.9.



V1

v R

V2

R

a

b C

t=0

Figura 7.9. Carga y descarga de un condensador.

Para t<0:

Si se considera que ha pasado mucho tiempo (4RC) en esa condición, el voltaje en el

condensador será continuo y de valor:

1Fv V (7.28)

En esta situación el condensador está cargado con: q = CV1.

Para t>0:

Se tiene, por (7.28) que v(0) = V1.

Además, de (7.20), se tiene:

2( )v V (7.29)

Entonces, reemplazando (7.29) y (7.28) en (7.16), se obtiene:

/

1 2 2( ) ( ) t Tv t V V e V (7.30)

La red con interruptor, de la Figura 7.9, puede estudiarse como una red con excitación con

una discontinuidad:

R

C e

+

v

i

i vR

Figura 7.10. Fuente con discontinuidad.

Con:



t

e

V2

V1

Figura 7.11. Fuente con discontinuidad.

7.1.6. Red RC sometida a un tren de pulsos

La situación anterior puede generalizarse a un generador de un tren de pulsos:

t

e

T1 T

V

Figura 7.12. Generador de pulsos.

En los generadores de laboratorio, puede cambiarse el período T, y también T1, que se

denomina ciclo de trabajo. Si T1=T/2 se dice que el generador es de onda cuadrada, o de ciclo de

trabajo de 50%.

En general si T1 y (T-T1) son mucho mayores que cuatro constantes de tiempo, la forma

de onda del voltaje de salida será un pulso similar al de la entrada, pero distorsionado. Esto se

muestra en la Figura 7.13, con T1=8, T=16, RC=1.

Figura 7.13. Distorsión de pulsos en redes RC.



Pero si T1 y (T-T1) son menores que cuatro constantes de tiempo, además de la distorsión del

pulso se producirá atenuación. Ya que el valor máximo del voltaje en el condensador será

menor que V, el voltaje máximo del generador.

En estado estacionario, con T1=1, T=10, RC=1, se obtiene:

Figura 7.14. Atenuación y distorsión.

Si definimos que:

(0)c iv V (7.31)

Para el intervalo de carga, de la Figura 7.14, se tiene la solución general para el voltaje en el

condensador (7.16):

/( )c i

t RCv V V e V (7.32)

Evaluando (7.31) en T1, se obtiene:

1

/1( ) ( )c if

T RCv T V V V e V (7.33)

Que define el valor final del voltaje en el ciclo de carga del condensador.

Para el intervalo de descarga, con T1 < T < T, se tiene:

/( ) ( 0) 0d f

t RCtv V e (7.34)

Esto definiendo:

(0)d f

v V (7.35)

Evaluando, (7.34) en T-T1 se logra:

1

( )/1( ) id f

T T RCv T T V V e

(7.36)



Las ecuaciones (7.36) y (7.33) permiten calcular Vi y Vf, en términos de V, T1 y T.

1

1

/

/

/

/

(1 )

(1 )

( 1)

( 1)

f

i

T RC

T RC

T RC

T RC

eV V

e

eV V

e

(7.37)

Si el ciclo de trabajo es muy pequeño, T1<<T, puede considerarse que no aparece un pulso

en v si Vf << V.

Si se despeja T1, de (7.33) se obtiene:

1

( )ln

( )i

f

V VT RC

V V

(7.38)

Relación que muestra que al aumentar C, aumenta el tiempo en que se produce Vf en el

condensador. Entonces un pulso a través de una red RC experimenta un retardo.

7.1.7. Red RC con generador real

La red de la Figura 7.15, no tiene la estructura de la red RC de la Figura 7.1. Sin embargo,

debido a la presencia de un condensador es una red de primer orden.

R

C e

+

v

i

vR

RC

Figura 7.15. Red RC con generador real.

Obteniendo la red Thévenin, vista por el condensador se tiene la Figura 7.16, para la cual ya

hemos encontrado su solución general.

R1

C e1

+

v

i

i

Figura 7.16. Red equivalente de la Figura 7.15.

Calculando el equivalente Thévenin, de la red de la Figura 7.15, se obtienen:



1

1

T C

T C

C

T C

R RR

R R

Re e

R R

(7.39)

Reemplazando (7.39) en (7.20), considerando e constante, se obtienen:

( )

T C

T C

C

TC

R RT C

R R

Rv e

R R

(7.40)

Las ecuaciones (7.40) permiten resolver la ecuación diferencial para v. Debe asumirse:

v(0)=V.

Nótese que v( ) podría haberse calculado en la Figura 7.14, considerando el condensador

como un circuito abierto, y aplicando la fórmula del divisor de tensión.

7.1.8. Discontinuidad en condensadores

La red de la Figura 7.17 muestra una fuente ideal de tensión, conectada a un condensador.

C e

+

v

i

Figura 7.17. Discontinuidad en condensadores.

En la práctica esta situación no puede ocurrir, ya que la fuente de tensión tendrá una pequeña

resistencia en serie; y el condensador tendrá una resistencia de fuga en paralelo con él, debido a

un dieléctrico imperfecto. También se tendrá una pequeña resistencia en serie, debido a los

conductores no ideales empleados en su fabricación.

Sea la siguiente excitación, que también es una idealización ya que en la práctica se

requiere un tiempo para efectuar el cambio de E1 a E2.



t

e

E2

E1

Figura 7.18. Generador con discontinuidad.

Para t<0 se tienen:

1

1 0

v E

dEdvi C C

dt dt

(7.41)

Para t>0 se tienen:

2

2 0

v E

dEdvi C C

dt dt

(7.42)

Si intentamos resolver la ecuación diferencial de la red, con instante inicial en t=0-,

tendremos, para t 0:

1

2

(0 )v E

v E

dvi C

dt

(7.43)

Se presenta una discontinuidad finita en la función voltaje, lo cual implica que la derivada de

éste no puede determinarse.

Sin embargo es usual emplear entidades matemáticas conocidas como distribuciones, para

las cuales están definidas las derivadas. Para la forma de onda de la Figura 7.18, puede

expresarse su derivada mediante la distribución delta de Dirac.

2 1( ) ( )dv

E E tdt

(7.44)

Si consideramos el cambio de carga en el condensador como:



2 1q CE CE C (7.45)

Reemplazando (7.44) y (7.45) en (7.43), se obtiene la forma de onda de la corriente:

( ) ( )i t q t (7.46)

Cuya gráfica se ilustra en la Figura 7.19.

t

i

q (t)

Figura 7.19. Impulso de carga.

La fuente suministra el impulso de carga, que en forma instantánea cambia el voltaje del

condensador de E1 a E2. Lo cual implica una corriente infinita en un tiempo cero. La

conservación de la carga implica que el aumento de carga en el condensador es debido a una

disminución de la carga en la fuente de tensión.

Si por consideraciones físicas no se acepta una discontinuidad en la carga de un

condensador, tendremos que no podremos considerar cambios instantáneos del valor del voltaje,

y de la carga.

7.1.9. Carga lineal. Generador de barrido

Consideremos la red, de la Figura 7.20, la cual muestra un generador de corriente

alimentando un condensador.

C j v

i

Figura 7.20. Generador de barrido.

Formulando las ecuaciones para la red, se obtienen:



i j

dvi C

dt

(7.47)

Entonces, con j = I = constante y con v(0)=0, se tiene:

0

( )t I I

C Cdv t t

(7.48)

Es decir, una tensión directamente proporcional al tiempo. Este tipo de señales se aplican a

los dispositivos que deflectan horizontalmente el haz electrónico, o el barrido, de un

osciloscopio. Cambiando C o I se cambia la base de tiempo; es decir, cuántas divisiones

horizontales de la escala del osciloscopio, representan un determinado tiempo.

7.1.10. Carga por gotas

Si el generador de corriente envía pulsos hacia el condensador, según la Figura 7.21, con

v(0)=0, se tendrá que el voltaje en el condensador puede describirse por:

0

1( ) j( )d

t

v tC

(7.49)

En los intervalos que j es cero, no aumenta el voltaje. En los intervalos que j es constante, el

voltaje aumenta linealmente, según se vio en (7.48). La Figura 7.22 muestra la forma de onda

del voltaje en el condensador.

t

j

T1 T

Figura 7.21. Pulsos de corriente.

Se observa que con valores pequeños de I, durante también pequeños intervalos de

tiempo, puede lograrse inyectar cargas elevadas en el condensador.



t

v

T1 T

IT1/C

2IT1/C

Figura 7.22. Carga por gotas.

7.1.11. Red RL

Las redes RL ocurren menos frecuentemente en Electrónica y más frecuentemente en

Electricidad.

R

b

vL E

a

i(t)

L

Figura 7.23. Red RL serie.

Para el circuito serie RL, de la Figura 7.23, se pueden plantear las ecuaciones de la red:

Aplicando LVK y las ecuaciones de equilibrio se obtiene:

diE Ri L

dt

(7.50)

Arreglando (7.50) se tiene el modelo de red de primer orden, visto en (7.1).

1

/

di Ei

dt L R L

(7.51)

Se reconoce en (7.51) la constante de tiempo:

LT seg

R

(7.52)

Para resolver en forma única la ecuación (7.50) es preciso conocer la condición inicial: i(0).



Para t>>4T, la parte estacionaria, o continua, de la corriente resulta:

constante( ) Fi i (7.53)

Entonces, después de la parte transiente, se tendrá corriente constante; entonces el voltaje en

el inductor será cero.

Entonces de (7.51) se obtiene que:

F

E

Ri

(7.54)

Las constantes anteriores permiten resolver la ecuación diferencial (7.51), cuya solución

general es:

/( ) ( (0) ( )) ( )t Ti t i i e i (7.55)

El cálculo de iF puede realizarse reemplazando el inductor por un cortocircuito, en la Figura

7.23.

Para la red RL en paralelo, que se muestra en la Figura 7.24, con J constante, aplicando las

ecuaciones de la red, se obtiene la ecuación diferencial que la representa.

1

/

di RJi

dt L R L

(7.56)

R

b

vL J

a

i(t)

L

Figura 7.24. Red RL paralelo.

Si deseamos emplear (7.16) para obtener la solución, sólo es preciso conocer i( ).

Para el cálculo de i( ) se considera que vL es cero. Por lo tanto, por LVK, vR también es cero; y

también la corriente en la resistencia, debido a la ecuación de equilibrio de ésta.

Resulta, para este caso, aplicando LCK, que:



( )i J (7.57)

7.1.12. Excitación sinusoidal

Se desea resolver una ecuación diferencial de primer orden, cuando la excitación es

sinusoidal.

1drr e

dt T

(7.58)

Se conoce que:

(0)

( ) cos( )

r R

e t E wt

(7.59)

Con: E, w y son conocidos.

La solución homogénea sigue siendo:

/( ) t T

hr t ke (7.60)

Resulta laborioso, en este caso, obtener la solución particular. Pero si se asume que ésta tiene

la forma:

( ) cos( )p p p pr t R w t (7.61)

Reemplazando (7.61) en la ecuación diferencial (7.58) se obtiene:

sen( ) cos( ) cos( )p

p p p p p p

RR w w t w t E wt

T

(7.62)

Para que sea solución, debe cumplirse que ambos miembros deben ser iguales; para esto,

debido a las propiedades de las funciones trigonométricas, debe cumplirse que:

pw w (7.63)

Con esta igualdad, pueden calcularse Rp y p en función de los datos. Si se suman los

sinusoidales del lado izquierdo, y se igualan la amplitud y la fase de ambos miembros, se

tendrán dos ecuaciones para calcular Rp y p.

La solución general, se logra sumando (7.60) y (7.61):

/( ) cos( )t T

p pr t ke R wt (7.64)



Con la condición inicial, puede calcularse k.

Nótese que la parte estacionaria es ahora sinusoidal.

En el Capítulo 8, sobre excitaciones sinusoidales, se desarrollan métodos eficientes para

calcular la parte estacionaria de la respuesta.

7.2. Redes de Segundo Orden

7.2.1. Red con dos condensadores

Estudiemos la siguiente red:

R1

C1 e

+

v1

i

i1

R2

C2 v2

i2

Figura 7.25. Red de segundo orden.

Por LVK se tienen:

1

2

1

1 2

R

R

v e v

v v v

(7.65)

Las ecuaciones de equilibrio de las resistencias más LCK:

1

2

1 1 2

2 2

( )R

R

v R i i

v R i

(7.66)

Las ecuaciones dinámicas de equilibrio de los condensadores:

11 1

22 2

dvi C

dt

dvi C

dt

(7.67)

Eliminando en (7.65) los voltajes en las resistencias (7.66) y luego las corrientes (7.67) se

obtienen:



1 21 1 1 2 1

22 2 1 2

dv dvR C R C e v

dt dt

dvR C v v

dt

(7.68)

Si se elimina la derivada de v2 de la primera ecuación de (7.68) empleando la segunda, se

obtienen las ecuaciones de estado:

1 1 11 1 1 2

2 2

22 2 1 2

1dv R R

R C e v vdt R R

dvR C v v

dt

(7.69)

Relaciones que constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para

este modelo existen eficientes métodos de solución.

Si se reemplaza v1 de la segunda ecuación de (7.69), en la primera, se obtiene:

2

2 21 2 1 2 1 1 1 2 2 2 22

( )d v dv

R R C C R C R C R C v edt dt

(7.70)

La cual es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de coeficientes constantes de segundo

orden.

Para resolverla se requieren dos condiciones iniciales, los valores de:

22

(0)(0),

dvv

dt

(7.71)

De las ecuaciones de estado en (7.69), se puede calcular:

21 2

2 2

(0) 1( (0) (0))

dvv v

dt R C

(7.72)

Que permite determinar la derivada de v2, en términos de v1(0) y v2(0). Estos dos últimos

valores permiten conocer la energía inicial almacenada en la red.

La solución homogénea tendrá la forma: 1 2

1 22 ( ) s t s thv t k e k e

Con s solución de: 2

1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) 1 0R R C C s R C R C R C s



Como existen dos soluciones se considera como solución una combinación lineal de ellas.

Lo cual implica la aparición de las dos constantes k1 y k2; lo cual justifica que se requieran dos

condiciones iniciales para determinarlas en forma única.

La solución particular para ( )e t E , se obtiene con:

2 ( )pv t E

La solución de este tipo de ecuaciones se ve con más detalle en un curso de Sistemas

Lineales o de Ecuaciones Diferenciales.

7.2.2. Red LC

Para la red, de la Figura 7.26:

C

b

vL e

a

i(t)

L

v

Figura 7.26. Oscilador LC.

Aplicando LVK, se obtiene:

Le v v (7.73)

Las ecuaciones de equilibrio:

L

dvi C

dt

div L

dt

(7.74)

Eliminando Lv y luego i, reemplazando (7.74) en (7.73), se obtiene:

2

2

1d v ev

dt LC LC

(7.75)



Para resolverla deben conocerse las siguientes condiciones iniciales, que reflejan las energías

almacenadas en la red de la Figura 7.26:

0

0

v(0)

(0)

V

i I

(7.76)

Ecuación diferencial, cuya solución homogénea es:

2

2

10h

h

d vv

dt LC

(7.77)

Si se asume que la solución homogénea es:

sen( )h h h hv V t (7.78)

Reemplazando (7.78) en la ecuación (7.77), se debe cumplir para que sea solución, que:

2 10h hv

LC

(7.79)

Como hv no es cero, salvo como solución trivial, se debe cumplir:

2 1h

LC

(7.80)

Que comprueba que la solución es sinusoidal, corroborando la elección realizada en (7.78).

La solución es estrictamente sinusoidal, ya que se asume que las componentes dinámicas no

tienen pérdidas.

Las condiciones iniciales en (7.76), deben cumplir (7.78) y además la ecuación de equilibrio

del condensador:

0

0

v(0) sen

v(0)(0) cos

h

h h

h

V V

di I C C V

dt

(7.81)

Si la red tiene excitación cero, sólo se tendrá respuesta homogénea, y se pueden calcular hV y

h de las ecuaciones (7.81). Si se elevan al cuadrado y se suman se obtiene:



22

0 0 /hV V I C (7.82)

Si se dividen se obtiene:

0

0

arctgh

V C

I

(7.83)

Conocido el voltaje v, puede determinarse i, mediante (7.74). Y con éstas, se pueden

determinar las formas de ondas de las energías almacenadas en el condensador e inductor.

Puede comprobarse que el intercambio de energías es oscilatorio. Esta situación puede

compararse con el sistema mecánico de una masa y un resorte. Cuando la excitación es cero, el

sistema descrito por (7.75) se denomina oscilador armónico.

Si se aplica una excitación sinusoidal:

sen( )e ee E t (7.84)

Y si se asume una solución particular del tipo:

sen( )p p p pv V t (7.85)

Puede obtenerse la solución particular de la red:

2

2

1p

p

d vv e

dt LC

(7.86)

Reemplazando (7.84) y (7.85) en (7.86), se obtiene:

2 1sen( ) ( ) sen( )p p p p p p p e eV t V sen t E t

LC

(7.87)

Para que los sinusoides de ambos miembros sean iguales, se requiere que tengan iguales

amplitudes, frecuencias y fases. Lo cual implica:

21

p e

p e

p eV ELC

(7.88)

Que permiten calcular la solución particular:



2 2p

h e

EV

(7.89)

Nótese que si e tiende a h se produce un aumento de la amplitud del voltaje. Este

fenómeno se conoce como resonancia.

La solución general para excitación sinusoidal se obtiene sumando la respuesta homogénea

con la particular:

sen( ) sen( )h p h h h p e ev v v V t V t (7.90)

Para la corriente, se tiene:

cos( ) cos( )h h h h p e e e

dvi C V t V t

dt

(7.91)

A partir de estas ecuaciones puede calcularse hV y h en función de los datos y de i(0) y

v(0), que son las condiciones iniciales.

7.3. Soluciones numéricas.

Empleando computadores las ecuaciones diferenciales pueden resolverse en forma numérica.

Si despejamos la derivada en (7.1) obtenemos:

( ) 1( ) ( )

dr te t r t

dt T (0)r R

(7.92)

Si se considera que la excitación es una función conocida del tiempo, podemos definir:

1( , ) ( ) ( )f t r e t r t

T

(7.93)

Entonces resolver la ecuación diferencial (7.92) es equivalente a calcular la integral que se

muestra en (7.94)

0

( ) ( , ) (0)t

r t f r d r (7.94)

Existen variadas técnicas numéricas para calcular el área. La más simple es sumar pequeños

rectángulos; puede mejorarse la aproximación sumando áreas trapezoidales o segmentos

parabólicos, agregando puntos intermedios.



Figura 7.27. Integración numérica.

Empleando la definición de derivada en (7.92), se obtiene:

( ) ( ) 1( ) ( )

r t t r te t r t

t T

(7.95)

Arreglando algebraicamente y evaluando en un instante it , se obtiene:

1( ) ( ( ) ( )) ( )i i i ir t t e t r t t r t

T

(7.96)

Definiendo:

1i it t t (7.97)

Podemos escribir (7.96) como una relación de recurrencia o ecuación de diferencias:

1

1( ) ( ( ) ( )) ( )i i i ir t e t r t t r t

T

(7.98)

Si conocemos los valores de la excitación y la respuesta en el instante i-ésimo podremos

calcular el próximo valor de la respuesta.

Si los valores discretos de la excitación y la respuesta los almacenamos en arreglos, puede

escribirse la relación (7.98) según:

1[ 1] ( [ ] [ ]) [ ]r i e i r i t r i

T [0]r R

(7.97)

Esta forma de integrar se reconoce como método de Euler.



Ejemplo 7.2.

Para la siguiente ecuación diferencial:

( )3 2 ( )

dr tr t

dt (0) 1r

(7.98)

La solución general, por el método analítico visto en 7.1.1. se muestra en (7.99).

2( ) 0,5 1,5tr t e (7.99)

El siguiente segmento Maple, define la función f y resuelve las ecuaciones de diferencias

(7.97) y (7.98), calculando 20 puntos separados en 0,1:

> f:=(t, r)->3-2*r:

> t[0]:=0: r[0]:=1: Delta:=0.1:

> for n from 0 to 20 do

t[n+1]:= t[n] + Delta:

r[n+1]:= r[n] + f( t[n], r[n] )*Delta: od:

Para desplegar los resultados se genera una secuencia de puntos (t, r) con la forma de onda

de la respuesta con:

> S:=[ seq( [ t[k], r[k] ], k=0..20) ]:

El siguiente comando genera un gráfico, basado en puntos, con la forma de onda de la

respuesta:

puntos:=pointplot(S, symbol=circle):

Los siguientes comandos generan el gráfico de la solución exacta y el despliegue de ambos

gráficos. Los cuales se muestran en la Figura 7.28.

> solucionexacta:=plot(-0.5*exp(-2*t)+1.5,t=0..2):

display(solucionexacta, puntos);

Si se reduce el valor de Delta, se obtendrán más puntos, mejorando la aproximación.



Figura 7.28. Solución numérica.

El método de Euler está implementado en la biblioteca que resuelve ecuaciones diferenciales

en forma numérica, esto se logra especificando: method=classical. Puede emplearse funciones

para graficar la solución con odeplot.

> restart: with( DEtools ): with( plots ):

> ecd1 := diff( r(t), t ) = 3-2*r(t);

> ci1 := r(0)=1;

>sol1 := dsolve( { ecd1, ci1 }, r(t), type=numeric, method=classical,

stepsize=0.01 ): > odeplot( sol1, [t, r(t)], 0..2);

Figura 7.29. Solución de biblioteca.



Problemas resueltos

Problema 7.1

Para la ecuación diferencial homogénea, de segundo orden con coeficientes constantes:

2

2

( ) ( )( ) 0b

d r t dr ta r t

dt dt

(1)

Verificar que ( ) sthr t ke es una solución, donde deben determinarse k y s.

Solución.

Reemplazando la posible solución en la ecuación diferencial (1), se obtiene:

2 0st st stkas kbks e e e (2)

Factorizando, se logra: 2( )( ) 0h t as br s

Para solución no trivial, la solución está dada por las raíces del siguiente polinomio o

ecuación característica:

2( ) 0as bs (3)

a) Si las raíces son reales diferentes, se tendrán dos soluciones que dependen de los

parámetros a y b; y la solución homogénea será una combinación lineal de ambas:

1 2

1 2( ) s t s thr t k e k e (4)

Los valores de s son negativos, en caso de redes, y la forma de onda de la respuesta se

denomina sobreamortiguada; ya que no hay variaciones ondulatorias presentes.

La determinación de las constantes en (4) puede lograrse evaluando en cero la Ecuación (4) y

la derivada de la Ecuación (4); las que originan el sistema:

1 2

1 1 2 2

(0)

(0)

drs s

dt

r k k

k k

Lo cual muestra que es preciso conocer r(0) y la primera derivada de r, evaluada en el tiempo

cero, para determinar las constantes.



b) Si las raíces son iguales, como se tienen dos elementos dinámicos con energías iniciales,

para lograr un sistema que relacione esos dos valores con constantes, se intenta la solución: 1

1 2)( ) ( s th tr t k k e

La forma de onda de la solución se denomina con amortiguamiento crítico.

Evaluando en cero la solución y su derivada, se obtiene el siguiente sistema, que permite

calcular las constantes k1 y k2.

2

1 2 1

(0)

(0)

drs

dt

r k

k k

c) Si las raíces son complejas, serán conjugadas.

Con: 1,2 ns j la solución general será:

1 2( )( ) n nt j t j th

r t e k e k e

Empleando la identidad de Euler, puede comprobarse que la relación anterior, puede

escribirse, redefiniendo las constantes según:

1 2cos( ) ( ))(( ) n n

t

ht K sen tKr t e

La solución tiene variaciones sinusoidales con decaimiento exponencial de las amplitudes,

por esta razón se denomina subamortiguada.

Evaluando en cero la solución y su derivada, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

para calcular K1 y K2:

1

2 1

(0)

(0)

n

drK K

dt

r K

Problema 7.2

Para la red de la Figura P7.1, con e1, e2 y j1 constantes en el tiempo:



Figura P7.1.

a) Determinar v(0), asumiendo que la red se encuentra en estado estacionario para t<0.

b) Determinar v(t) para t>0.

Solución:

a) Para t<0: Con respecto al voltaje en el condensador: R4 es redundante paralelo con e2. Si

se abre R4, se tendrá que e2 es redundante serie con j1, por lo cual puede eliminarse e2.

Resulta entonces la siguiente red equivalente para t<0:

Figura P7.2.

Entonces, para t<0:

1(0)v e (1)

b) Para t>0 se tiene:

R4 j1

R2 R3

e2

D

C B

A

R1

C e1

E

v

t=0

j1

R3

C B

A

R1

C e1

E

v

t=0



Con respecto al voltaje en el condensador: R4 es redundante paralelo con e2. Si se abre R4,

se tendrá que e2 es redundante serie con j1, por lo cual puede eliminarse e2.

Se tiene la siguiente red y su equivalente Thévenin, para t>0:

Figura P7.3.

La solución, para t>0, en la red a la derecha en la Figura P7.3, es:

( ) ( (0) ) T

t

R C

T Tv t v e e e

(2)

Para el cálculo de la red pasiva Thévenin, a partir de la Figura P7.3, se tiene:

Figura P7.4.

Se obtiene:

3 1 2|| ( )TR R R R (3)

Para el cálculo de la fuente Thévenin se tiene:

j1

R3

C B

A

R1

C e1

E

v

R2

RT

B

A

C eT v

R3

C B

A

R1

E

v

R2



Figura P7.5.

LVK en circuito AEBA:

1 3Te e R i (4)

Ecuación de malla:

1 1 1

1 2 3

j R ei

R R R

(5)

Resulta:

1 3 1 1 2 1

1 2 3

( )T

R R j R R ee

R R R

(6)

Reemplazando (6) y (3) en (2) se obtiene lo pedido.

Problema 7.3.

Para la red de la Figura P7.6, con e(t) de valor constante E:

Figura P7.6.

Asumiendo que el interruptor se ha mantenido cerrado mucho tiempo, determinar el voltaje

en el condensador y la corriente en el inductor, en el instante t=0.

Solución.

Como la excitación es constante, las soluciones estacionarias de v1(t) e i2(t) serán constantes,

para t<0. Lo cual se demuestra a continuación.

j1R1

R3

B

A

e1

E

eT

R1+R2 i

R1

C1 e

+

v1

i

i1

R2

L2 v2

i2

t=0



Si se determinan las ecuaciones de estado para la red, se obtienen:

1 1 1 2

1

2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dv t e t v t R i t

dt R C

di t v t R i t

dt L

Eliminando la corriente se obtiene una ecuación de segundo grado para el voltaje en el

condensador: 2

1 1

1 1 2 1 2 1 22

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

d v t dv t de tR CL L R R C R R v t R e t L

dt dt dt

La solución particular para e(t)=E, se obtiene con:

21

1 2

( )( )

p

R Ev t

R R

Que puede ser verificada, reemplazándola en la anterior.

La solución homogénea tendrá la forma:

1 2

1 21 ( ) s t s thv t k e k e

Con s solución de:

2

1 1 2 1 2( ) ( ) 0R CLs L R R C s R R

Las soluciones serán algunas de las formas analizadas en el problema P7.1, con lo cual

podemos garantizar que las soluciones homogéneas tenderán a cero, y las particulares serán

constantes.

Las raíces están dadas por:

2 2

1 2 1 2 1 2 1

1,2

1

( ) ( ) 2 ( 2 )

2

L R R C R R C L R LC R Rs

R CL

Las cuales serán reales negativas o complejas conjugadas con menor que cero.

Según lo anterior, y con las ecuaciones de equilibrio del condensador y el inductor se deduce

que la corriente en el condensador será cero y que el voltaje en el inductor será cero.

Si reemplazamos el condensador por un circuito abierto y el inductor por un cortocircuito,

tendremos la red de la Figura P7.7, para t<=0:



Figura P7.7.

En esta red podemos calcular la corriente i2 según:

2

1 2

( )( )

Ei t

R R

El voltaje v1, se calcula, con un divisor de tensión, según:

21

1 2

( )( )

R Ev t

R R

Estos valores son las soluciones particulares de las ecuaciones diferenciales para la corriente

en el inductor y el voltaje en el condensador. Son los valores iniciales en t=0.

Problema 7.4.

Determinar, fundamentando sus cálculos:

a) vAC (0), asumiendo interruptor abierto por bastante tiempo. Indique una cota temporal para

que su aproximación sea válida.

b) Red Thévenin vista por el condensador para t>0, indicando la red equivalente respecto del

condensador.

c) vAC (t) para t>0, asumiendo e y j constantes.

R1

C1 E

+

v1

i

i1=0

R2

L2 v2=0

i2

t=0

=



Figura P7.8.

Solución.

a) Después de estar abierto el interruptor durante un tiempo, el voltaje en el condensador será

constante, si j es constante; la corriente que circula por el condensador tendrá valor cero. La red

equivalente para t<0:

Figura P7.9.

La corriente en R1 es cero; aplicando LVK en el circuito BCDB y empleando ecuaciones de

equilibrio, se obtiene:

3 4( )CBv j R R

Aplicando LVK en el circuito CABDC, se obtiene, en t=0:

3 4(0) ( )AC CBv v j R R

Para t<0, se tiene la siguiente Red Thévenin:

R3 R4

C2 R1

C

A

j

e B

+

D

t=0

R3 R4

R1

C

A

j

B

D

vAC



Figura P7.10.

Donde:

3 4

1 3 4

( )

( )

T

T

e j R R

R R R R

Entonces la aproximación es buena si el interruptor ha estado abierto un tiempo mayor que:

1 3 4 24( )t R R R C

b) Para t>=0, la red equivalente para calcular la fuente Thévenin vista por el condensador es:

Figura P7.11.

El voltaje debido a la fuente de tensión, debido a que la corriente es cero en R3, es:

Tev e

El voltaje debido a la fuente de corriente, resulta de aplicar LVK y las ecuaciones de

equilibrio en el circuito CADC; y debido a que vAD es cero, se tiene:

3Tjv jR

Para t>=0, la red equivalente para calcular la red pasiva Thévenin vista por el condensador

es:

+

RT

C

A

eT vAC

R3 R4

vT R1

C

A

j

e B

+

D



Figura P7.12.

La corriente en R1 y R4 es cero, entonces: 3v R i . La red pasiva es una resistencia igual a

R3.

Para t>0 se tiene el siguiente equivalente Thévenin:

Figura P7.13.

c) Para t>0, la solución de la ecuación diferencial de primer orden es: /( ) ( (0) ( )) ( )AC AC AC AC

t Tv t v v e v

Con:

3 4

3

3 2

(0) ( )

( )

AC

AC

v j R R

v e jR

T R C

Finalmente para t>=0:

3 43 2)( ) ( ( )AC

tR C

v t e jR e jR e

R3 R4

R1

C

A

i

B

D

v

+

R3

C

A

(e-jR3) vAC



Problema 7.5.

Con E=10, R1=4, C=1, R2=1, determinar la forma de onda de v(t), en la red de la Figura

P7.14. El interruptor ha estado conectado en a durante 30 segundos, luego en t=0 se conecta en

b, después en t=2R2C vuelve a conectarse en a.

Escribir una expresión analítica de v(t), para -4 < t .

Figura P7.14.

Solución.

Con el interruptor en a, la constante de tiempo de la red es R1C, es decir 4 segundos. Se asume

que después de 30 segundos de estar el interruptor en posición a, se ha extinguido el transiente.

Esto implica que la corriente en el condensador es cero y su voltaje es el de la fuente E, es decir

10 [V].

También puede asegurarse que (30-4* R1C)=14 segundos antes de t=0, el voltaje en el

condensador será 10; por lo tanto desde t=-4, hasta t=0 se tendrá:

( ) 10v t (1)

En t=0 se tiene:

(0) 10v E (2)

Para t>0, asumiendo que el interruptor permanece en b, el voltaje final en el condensador es

cero; se tiene:

2/

( ) ( (0) ( )) ( ) 0t R Cv t v v e v (3)

Reemplazando v(0)=10, v( )=0 y R2C=1, se tiene para t>0:

( ) 10 tv t e (4)

R2

E

C

R1

a

b

v



Pero el interruptor pasa a estar conectado en a, en el instante:

22 2t R C (5)

Entonces la expresión (4) es válida desde t=0 hasta t = 2. Se puede calcular en (4):

2(2) 10 1,353v e (6)

Para t>2, se tiene en general:

1( 2) /

( ) ( (2) ( )) ( )t R Cv t v v e v (7)

Como R1C=4, luego de 16 segundos (18 desde t=0 ) se tendrá que v( )=10. Reemplazando (6)

y estos valores en (7) se obtiene, para t>2:

( 2) / 4 ( 2) / 4( ) (1,353 10)) 10 8,65 10t tv t e e (8)

La representación gráfica de (1), (4) y (8):

Figura P7.15.

Una expresión definida por secciones:

( 2) / 4

10 0 4

( ) 10 2 0

8,65 10 2

t

t

t

v t e t

e t

(9)

Empleando funciones escalón unitario:



( 2) / 4

( ) 10( ( 4) ( )) 10 ( ( ) ( 2))

( 8,65 10) ( 2)

t

t

v t u t u t e u t u t

e u t

(10)

Ejercicios propuestos

Ejercicio 7.1.

Para la ecuación diferencial no homogénea o forzada, de segundo orden con coeficientes

constantes, se tiene: 2

2

( ) ( )( ) ( )b

d r t dr ta r t e t

dt dt

Verificar que para los siguientes casos de excitación o función forzante se tienen las

siguientes soluciones particulares.

Excitación: ( )e t Solución particular ( )pr t

k K

kt 1 2t KK

2kt 2

1 2 3t K t KK

( )ksen t 1 2 cos( )( ) tK sen t K

atke atKe

Ejercicio 7.2.

Para la red de la Figura E7.1, determinar la corriente en el inductor en t=0; luego determinar

v2(t) para t>0.

Figura E7.1.

Ejercicio 7.3.

Para la red de la Figura E7.2, determinar el voltaje en el condensador en t=0; luego

determinar v2(t) para t>0.

R

R1 e

+

v1

i

i1

L2 v2

i2

t=0



Figura E7.2.

Ejercicio 7.4.

Para la red de la Figura E7.3, determinar v2(t) para t>0, con v2(0)=0 y ( ) ( )g

att u tj ke .

Figura E7.3.

Analizar la solución si 1

1a

R C

Ejercicio 7.5.

Para la red de la Figura E7.4, se tienen: v1(0)=5, C1=2, C2=4, R1=3, R2=5. Determinar v2(t)

para t>0.

Figura E7.4.

Si existiera un interruptor que separa a los condensadores, y éstos tuvieran voltajes diferentes

antes de t=0: ¿Cuál sería el valor del voltaje inicial del condensador equivalente?.

R

R1 e

+

v1

i

i1

C v2

i2

t=0

R1 jg v1

i

i1

C v2

i2

C2 v1

R1

R2 v2

i2

t=0

C1



Ejercicio 7.6.

Para la red de la Figura E7.5 con: R1=1, R2=2, L=3, jg(t)=2u(t), e2(t)=5u(t). Determinar i2(0),

y luego calcular i2(t).

Figura E7.5.

Ejercicio 7.7.

Para la red de la Figura E7.6, determinar la corriente en el inductor, para todo t.

Figura E7.6.

Ejercicio 7.8.

Para la red de la Figura E7.7, determinar la corriente en la resistencia R3, para todo t.

Figura E7.7.

Ejercicio 7.9.

Para la red de la Figura E7.8, determinar la corriente en la inductancia L, para todo t.

R1 jg v1

i

i1

e2 v2

i2

R2

+ L

R3 e1 e2 t=0

R2

+ L +

R1

R4

C e1 e2 t=0

R2

+ +

R1 R3



Figura E7.8.

R2

ic

L

R3

R4

+ e1

+

R1

+

e2

t=0

ic



Índice general

CAPÍTULO 7 .......................................................................................................................... 1

REDES DINÁMICAS ............................................................................................................ 1

7.1. REDES DE PRIMER ORDEN .......................................................................................... 1 7.1.1. Excitación continua o constante ........................................................................... 2 7.1.2. Red RC .................................................................................................................. 3 7.1.3. Condensadores y red de polarización ................................................................... 6 7.1.4. Condensador de acoplo ......................................................................................... 7 7.1.5. Carga y descarga de un condensador ................................................................... 8 7.1.6. Red RC sometida a un tren de pulsos .................................................................. 10 7.1.7. Red RC con generador real ................................................................................. 12 7.1.8. Discontinuidad en condensadores....................................................................... 13 7.1.9. Carga lineal. Generador de barrido .................................................................. 15 7.1.10. Carga por gotas ................................................................................................ 16 7.1.11. Red RL ............................................................................................................... 17 7.1.12. Excitación sinusoidal ........................................................................................ 19

7.2. REDES DE SEGUNDO ORDEN .................................................................................... 20 7.2.1. Red con dos condensadores ................................................................................ 20 7.2.2. Red LC ................................................................................................................. 22

7.3. SOLUCIONES NUMÉRICAS. ........................................................................................... 25 Ejemplo 7.2. ................................................................................................................... 27

PROBLEMAS RESUELTOS .................................................................................................... 29 Problema 7.1 .................................................................................................................. 29 Problema 7.2 .................................................................................................................. 30 Problema 7.3. ................................................................................................................. 33 Problema 7.4. ................................................................................................................. 35 Problema 7.5. ................................................................................................................. 39

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 41 Ejercicio 7.1. .................................................................................................................. 41 Ejercicio 7.2. .................................................................................................................. 41 Ejercicio 7.3. .................................................................................................................. 41 Ejercicio 7.4. .................................................................................................................. 42 Ejercicio 7.5. .................................................................................................................. 42 Ejercicio 7.6. .................................................................................................................. 43 Ejercicio 7.7. .................................................................................................................. 43 Ejercicio 7.8. .................................................................................................................. 43 Ejercicio 7.9. .................................................................................................................. 43

ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 45 ÍNDICE DE FIGURAS. ........................................................................................................... 46



Índice de figuras.

Figura 7.1. Red RC. ...................................................................................................................... 4 Figura 7.2. Variables en red RC. .................................................................................................. 4 Figura 7.3. Carga de un condensador. .......................................................................................... 5 Figura 7.4. Descarga de un condensador. ..................................................................................... 5 Figura 7.5. Condensador en red de polarización. ......................................................................... 6 Figura 7.6. Red continua de polarización. .................................................................................... 7 Figura 7.8. Condensador de acoplo. ............................................................................................. 8 Figura 7.9. Carga y descarga de un condensador. ........................................................................ 9 Figura 7.10. Fuente con discontinuidad. ....................................................................................... 9 Figura 7.11. Fuente con discontinuidad. ..................................................................................... 10 Figura 7.12. Generador de pulsos. .............................................................................................. 10 Figura 7.13. Distorsión de pulsos en redes RC. .......................................................................... 10 Figura 7.14. Atenuación y distorsión.......................................................................................... 11 Figura 7.15. Red RC con generador real. ................................................................................... 12 Figura 7.16. Red equivalente de la Figura 7.15. ......................................................................... 12 Figura 7.17. Discontinuidad en condensadores. ......................................................................... 13 Figura 7.18. Generador con discontinuidad. ............................................................................... 14 Figura 7.19. Impulso de carga. ................................................................................................... 15 Figura 7.20. Generador de barrido.............................................................................................. 15 Figura 7.21. Pulsos de corriente. ................................................................................................ 16 Figura 7.22. Carga por gotas. ..................................................................................................... 17 Figura 7.23. Red RL serie. .......................................................................................................... 17 Figura 7.24. Red RL paralelo. .................................................................................................... 18 Figura 7.25. Red de segundo orden. ........................................................................................... 20 Figura 7.26. Oscilador LC. ......................................................................................................... 22 Figura 7.27. Integración numérica. ............................................................................................. 26 Figura 7.28. Solución numérica. ................................................................................................. 28 Figura 7.29. Solución de biblioteca. ........................................................................................... 28 Figura P7.1. ................................................................................................................................. 31 Figura P7.2. ................................................................................................................................. 31 Figura P7.3. ................................................................................................................................. 32 Figura P7.4. ................................................................................................................................. 32 Figura P7.5. ................................................................................................................................. 33 Figura P7.6. ................................................................................................................................. 33 Figura P7.7. ................................................................................................................................. 35 Figura P7.8. ................................................................................................................................. 36 Figura P7.9. ................................................................................................................................. 36 Figura P7.10. ............................................................................................................................... 37 Figura P7.11. ............................................................................................................................... 37 Figura P7.12. ............................................................................................................................... 38 Figura P7.13. ............................................................................................................................... 38 Figura P7.14. ............................................................................................................................... 39 Figura P7.15. ............................................................................................................................... 40 Figura E7.1. ................................................................................................................................. 41



Figura E7.2. ................................................................................................................................. 42 Figura E7.3. ................................................................................................................................. 42 Figura E7.4. ................................................................................................................................. 42 Figura E7.5. ................................................................................................................................. 43 Figura E7.6. ................................................................................................................................. 43 Figura E7.7. ................................................................................................................................. 43 Figura E7.8. ................................................................................................................................. 44

redes dinámicas -...

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