señales - universidad técnica federico santa...

1

Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Apéndice 3

Señales

Una señal es una función del tiempo.

La gráfica de una señal se denomina forma de onda.

A3.1 Representación de formas de ondas

Estudiaremos algunas propiedades de la representación de formas de ondas.

Sea la forma de onda de la Figura A3.1

Figura A3.1

La forma de onda no cambia si se cambia el argumento de la función. Se suele decir que el

argumento es una variable muda. La Figura A3.2 muestra el cambio de t por (at+b).

Si la función f(at+b) se representa en términos de (at+b); su forma de onda es idéntica a la

representación de f(t) en función de t, de la Figura A3.1.

En dirección opuesta al aumento de la variable independiente, existe un eje, en cuya

dirección aumentan los valores negativos de la variable.

Figura A3.2 Cambio de argumento.

f(t)

t

f(at+b)

at+b -(at+b)

2 Teoría de Redes Eléctricas


Rotación respecto del eje de ordenadas

Si se representa f(-t) en términos de (-t) y luego se dibuja el eje (+t) aumentando hacia la

derecha, se tiene la forma de onda de la Figura A3.3, que representa un giro o rotación respecto

del eje de las ordenadas (t=0).

Figura A3.3 Giro respecto de t=0.

Corrimiento a la derecha

Si se representa f(t-2) en términos de (t-2), se tendrá la misma forma de onda. Si se considera

el cambio de ejes que se ilustra en la Figura A3.4:

Figura A3.4

Se tendrá que la forma de onda de f(t-a) corresponde a una traslación de a unidades a la

derecha, como se muestra en la Figura A3.5, con a positivo.

Figura A3.5 Corrimiento a la derecha.

Corrimiento a la izquierda

La forma de onda de f(t+a) corresponde a una traslación de a unidades a la izquierda, como

se muestra en la Figura A3.6, con a positivo.

f(-t)

t

t

f(t-2)

t-2 0

t

2

t

t 2

t

4

t

0

t

Apéndice 3. Señales 3


Figura A3.6 Corrimiento a la izquierda.

Corrimiento y giro

Podemos combinar el corrimiento a la derecha y el giro respecto al eje de ordenadas. Esto lo

logramos, si la Figura A3.3, la desplazamos en dos unidades a la derecha, reemplazando t por

(t-2).

Figura A3.7 Corrimiento y giro.

Igual resultado obtenemos a partir de la Figura A3.5, si efectuamos un giro relativo al eje

ubicado en t-2=0

La Figura A3.8 ilustra un corrimiento a la izquierda con un giro relativo al eje de ordenadas.

A partir de la Figura A3.3, la desplazamos a la izquierda reemplazando t por t+2.

Figura A3.8

Ampliación o reducción horizontal

La Figura A3.9 muestra ampliación o reducción horizontal de la forma de onda de la Figura

A3.1

f(t+2)

t

t

f(2-t)

f(t) f(-2-t)

t



Figura A3.9

Cambio de escala

Se puede lograr un efecto de ampliación o reducción horizontal cambiando la escala

temporal. La Figura A3.10 ilustra una ampliación cambiando la base de tiempo.

Figura A3.10

Ampliación o reducción vertical

La Figura A3.11 muestra ampliación o reducción vertical de la forma de onda de la Figura

A3.1

Figura A3.11

La Figura A3.12 muestra traslaciones verticales de la forma de onda de la Figura A3.1.

t

t

f(t)

2t

f(2t)

f(t/2)

f(-t)/2

2f(t)



Figura A3.12

A3.2. Señales discontinuas

Definiremos varias señales que han mostrado ser útiles en análisis de redes.

A3.2.1. Escalón unitario.

Se define la señal escalón unitario, según:

1, 0( )

0, 0

tu t

t

Permite modelar un cambio instantáneo de una variable en un determinado tiempo; lo cual

no es posible en la realidad física. Esta idealización permite un tratamiento matemático

simplificado, de una situación en la que ocurren cambios.

La Figura A3.13 es una representación gráfica del escalón unitario.

Figura A3.13

Ejemplo A3.1.

Representar la forma de onda de la Figura A314, mediante escalones unitarios.

t

t

u(t)

f(t)-2

f(t)+2



Figura A3.14

Aplicando corrimiento a la derecha a un escalón unitario, luego restando a un escalón y

multiplicando por dos, se obtiene:

f(t) = 2( u(t)-u(t-2) )

Ejemplo A3.2.

Representar la forma de onda de la función definida por secciones, mediante escalones

unitarios.

0, 0

, 0 1( )

2 , 1 2

0, 2

t

t tf t

t t

t

Figura A3.15

La recta que pasa por el origen con pendiente uno, se representa por t, y se la hace válida en

el intervalo [0..1] multiplicando por la resta de escalones: u(t)-u(t-1).

La recta que pasa por el origen con pendiente menos uno, se representa por –t; se la desplaza

a la derecha en dos unidades reemplazando t por (t-2), lo cual puede escribirse como (2-t), luego

se la hace válida en el intervalo [1..2] multiplicando por la resta de escalones: u(t-1)-u(t-2).

Finalmente:

f(t) = t ( u(t)-u(t-1) ) + (2-t)(u(t-1)-u(t-2))

f(t)

t



La función escalón está definida en Maple como la función Heaviside( ); sin embargo no está

definida en t=0.

La forma de onda de la Figura A3.15, puede obtenerse con:

plot(t*(Heaviside(t)-Heaviside(t-1))+(2-t)*(Heaviside(t-1)-Heaviside(t-2)),t=-1..3);

También se puede definir una expresión, por secciones lineales usando piecewise.

f:= piecewise( t<0, 0, t<=1, t, t<=2, 2-t, t>2, 0 );

plot( f, t=-1..3);

Una función f(t) se define según:

f := t -> piecewise(t<0, 0, t<=1, t, t<=2, 2-t, t>2, 0);

plot( f(t), t=-1..3);

A3.2.2. Impulso.

El impulso o distribución -Dirac está definido por el siguiente par de propiedades:

( ) 0 0

( ) 1

t t

t dt

En t=0 tiene singularidad infinita.

Las propiedades de la distribución -Dirac pueden obtenerse como el límite del área de una

figura cuya área tiende a uno, a pesar que su ancho tiende a cero y su altura a infinito.

Un ejemplo sencillo es un área rectangular unitaria cuyo ancho tiende a cero y cuya altura

tiende a infinito, consideremos:

0( ) lim ( )

( ) ( )( )

2

t h t

u t u th t

La Figura A3.16 muestra una representación gráfica de h para tres valores de : 2, 1 y ½.

Figura A3.16



Pueden existir diferentes formas de áreas unitarias, que cumplan las propiedades anteriores.

Relaciones con el escalón unitario.

Se tienen:

( )( )

( ) ( )

t

du tt

dt

d u t

Normalmente la distribución -Dirac se emplea para modelar señales físicas que actúan

sobre intervalos muy cortos de tiempo, y cuando los efectos dependen de la integral de la señal.

Ejemplos: un impulso de corriente a través de un condensador produce un cambio instantáneo

del voltaje; la apertura de un inductor por el cual circula corriente constante produce un impulso

de tensión entre los terminales del inductor.

Permiten modelar la derivada de señales con discontinuidades finitas; en cada “salto” de la

señal se producen impulsos en su derivada. Del mismo modo la integración de una señal que

contiene impulsos presenta “saltos” en la forma de onda en los instantes en que están presentes

los impulsos.

Ejemplo A3.3.

Expresar analíticamente la señal f(t) y su derivada g(t).

Se tiene: ( ) 3 ( ) 3 ( 2)f t u t u t

f(t)

3

t

1 2

t

1

2

g(t)

3

3

Figura A3.17



La derivada de f(t), se obtiene según:

( )( ) 3 ( ) 3 ( 2)

df tg t t t

dt

Integrando g(t) se obtiene f(t): ( )

0 (0) 0

( ) (3 ( ) 3 ( 2))

f tt t

f

g d df d

( ) (0) 3 ( ) 3 ( 2)f t f u t u t

En la representación gráfica de un impulso la flecha indica que la ordenada tiende a infinito,

al lado de la flecha se coloca el valor del área constante y finita bajo la curva. Por esta razón en

el impulso ubicado en t=2, en la Figura A3.17, se dibuja la flecha hacia abajo.

Propiedad de muestreo.

Con: a T b , se tiene, si f(t) es continua en t=T, que:

( ) ( ) ( )

b

a

cf t t T dt cf T

Lo que permite representar una función por infinitas muestras instantáneas:

( ) ( ) ( )f t f t d

A3.2.3. Rampa

Se define la señal rampa unitaria, según:

, 0( )

0, 0

t tr t

t

Y se tienen las siguientes relaciones con el escalón unitario:

( )( )

( ) ( )

t

dr tu t

dt

u d r t

También se tiene que:

( ) ( )r t tu t

2

2

( )( )

d r tt

dt



A3.3.4. Aproximación de una señal por escalones.

Una señal e(t) puede ser aproximada mediante escalones unitarios como se muestra en la

Figura A3.18.

e(t)

e(tk)

t

tk tk+1

Figura A3.18

Entonces puede expresarse:

1( ) ( )( ( ) ( ))k k k

k

e t e t u t t u t t

Si se define incrementos iguales de tiempo, la variable discreta puede escribirse:

kt k

Reemplazando en la relación anterior, se obtiene:

( ) ( )( ) ( )

k

u t k u t ke t e k

Si 0 podemos reemplazar por d .

La variable discreta podemos reemplazarla por una variable continua:

0

( )klim

Aplicando la definición de derivada, tenemos:

( ) ( ) ( )u t k u t k du t

d

La sumatoria se reemplaza por una integral, se obtiene:

( )( ) ( )

du te t e d

d

La derivada del escalón puede representarse mediante la distribución -Dirac:

( ) ( ) ( )e t e t d



La cual es la propiedad de muestreo definida antes.

Si e(t) es la excitación de un sistema lineal e invariante en el tiempo, y si se conoce que la

respuesta a un escalón unitario es s(t), se tendrá que la respuesta r(t) a la excitación e(t), puede

expresarse según:

1( ) ( )( ( ) ( ))k k k

k

r t e t s t t s t t

Procediendo de manera similar a la anterior, se obtiene:

( )( ) ( )

ds tr t e d

d

Si la respuesta a un escalón es s(t), la respuesta a la derivada de un escalón, es decir a un

impulso, será la derivada de s(t). La respuesta a un impulso suele denominarse h(t), entonces se

tiene que:

( ) ( ) ( )r t e h t d

Otra forma de descomponer la excitación es a través de incrementos de escalones como se

aprecia en la Figura A3.18a.

e(t)

e(tk)

t

tk tk+1

e(tk+1)

Figura A3.18a

Entonces la excitación puede aproximarse por la suma:

1( ) ( ( ) ( )) ( )k k k

k

e t e t e t u t t

Si definimos: kt k , se obtiene:

( ) ( )( ) ( )

k

e k e ke t u t k

Si 0 se obtiene:

( )( ) ( )

dee t u t d

d



Si la red es lineal e invariante, la respuesta será:

1( ) ( ( ) ( )) ( )k k k

k

r t e t e t s t t

Empleando kt k , se obtiene:

( ) ( )( ) ( )

k

e k e kr t s t k

En el límite se tiene:

( )( ) ( )

der t s t d

d

Que permite calcular la respuesta para cualquier excitación si se conoce la respuesta s(t) a un

escalón unitario.

A3.3. Exponenciales

Los valores de una función exponencial decreciente te , disminuyen rápidamente a medida

que el tiempo aumenta.

Si multiplicamos por 100 la ordenada para visualizar en porcentaje el decaimiento

exponencial, puede observarse en la figura A3.19, que en t=1 el valor de la función es un 36,8

% del valor inicial. Luego de cuatro constantes de tiempo disminuye al 1,83 %; y luego de cinco

constantes de tiempo, la función es menor que un 1 % del valor inicial.

Figura A3.19

Estudiemos la señal

( )t

Tr t Re , en la cual se tiene que: (0)r R y ( ) 0r .

Podemos visualizar el efecto de la constante de tiempo T, si obtenemos gráficas para varios

valores de T. A medida que la constante de tiempo T aumenta, el decaimiento exponencial es

más lento.



Figura A3.20

Ejemplo A3.4.

La siguiente forma de onda representa la solución general de una ecuación diferencial de

primer orden con excitación constante. Es de interés dibujar la forma de onda para diferentes

valores de la función en cero y en infinito.

( ) ( (0) ( )) ( )t

Tr t r r e r

a) Con T=1, para (0) 4r y ( ) 1r , se tiene la Figura A3.21.

Figura A3.21

Derivando y evaluando en cero la señal r(t), se obtiene:

(0) ( (0) ( ))( ) (180º )

dr r rtg tg

dt T

Para el caso de la figura A3.21 se tiene:

T=10

T=5

T=1

r(0)=4

r( )=1



( (0) ( ))(180º )

r rtg

T

Lo cual permite obtener la recta tangente a la curva en t=0, la cual se ilustra en la figura

A3.21. Un procedimiento aproximado para dibujar la forma de onda es hacerla tangente a la

recta pendiente en el origen, y también tangente a la recta ( )r en t=4T.

b) Con T=1, para (0) 2r y ( ) 4r , se tiene la Figura A3.22.

Ahora, debido a los valores, la pendiente en el origen puede calcularse según:

( ( ) (0))( )

r rtg

T

Entonces la curva exponencial “arranca” tangente a la recta pendiente en el origen y

“termina” siendo tangente a la recta ( )r en t=4T.

Figura A3.22

Debido a que se tiene:

( ) ( ) ( )r r t dr t

T dt

Se puede trazar, en cualquier instante t, una recta tangente a la forma de onda, con el

procedimiento que se indica en la Figura A3.23. Dibujando algunas pendientes, puede trazarse

la curva exponencial, con bastante aproximación.

r(t)

r( )

t

t t+T

Figura A3.23

r(0)=2 r( )=4



A3.4. Sinusoidales

Una señal sinusoidal tiene tres parámetros: la amplitud A, la frecuencia angular , y el

ángulo de fase .

( ) cos( )f t A t

La variación de la señal depende de la frecuencia angular, se mide en rad

s.

El argumento de la función coseno, el ángulo ( )t , suele medirse en radianes; pero

también puede expresarse en grados.

La variación temporal también puede medirse en términos del período T, el cual se mide en

segundos:

2

T

Donde T es el mínimo intervalo de tiempo después del cual la señal toma iguales valores. El

período T es la duración de un ciclo.

Otra medida de la variación temporal es el número de ciclos en un segundo, lo que se define

como frecuencia; se mide en ciclos por segundo o Hertz, la unidad se anota [Hz].

Las tres medidas de la velocidad de variación de una señal sinusoidal, están relacionadas por:

1

2f

T

La Figura A3.24 muestra un período de la señal coseno, con amplitud y frecuencia angular

unitaria, con ángulo de fase cero, y el eje de abscisas en radianes.

Figura A3.24. ( ) cos( )f t t

La Figura A3.25, muestra el eje de abscisas y el ángulo de fase en grados.



Figura A3.25. ( ) 2cos( 30º )f t t

Para ilustrar la influencia, en la forma de onda de sinusoides, de un cambio de período y

amplitud, la Figura A3.26 muestra la aproximación por series de Fourier de una señal cuadrada,

de amplitud uno; las abscisas se expresan en radianes. Se muestra la fundamental, la tercera y

quinta armónica.

4 1 1( ) ( ( ) (3 ) (5 ))

3 5f t sen t sen t sen t

El período de la tercera armónica es un tercio del período de la fundamental. La frecuencia

de la quinta armónica es cinco veces la de la primera.

A la derecha de la Figura A3.26, se muestra un espectro de líneas, con las tres frecuencias

presentes en la señal.

Figura A3.26.

La Figura A3.27 muestra la relación de fases de tres señales que constituyen un sistema

trifásico.

sen(3t)/3

sen(t)

f(t)

sen(5t)/5

1

3

5



2 2( ), ( ), ( )

3 3sen t sen t sen t

Figura A3.27.

El producto de dos señales sinusoidales con gran diferencia entre las frecuencias puede

representarse gráficamente como la variación de baja frecuencia de la amplitud de la señal de

alta frecuencia. Esto se logra multiplicando, punto a punto, las dos señales. El proceso se

denomina modulación de amplitud AM.

( ) ( ) (20 )f t sen t sen t

La Figura A3.28, muestra las envolventes, de baja frecuencia, y la portadora de alta

frecuencia, cuya amplitud varía.

Figura A3.28.

La suma de dos señales sinusoidales de frecuencias muy cercanas entre sí, tiene una forma

de onda característica, que se conoce como “batidos”; si las frecuencias son casi iguales, se

tiene prácticamente una señal sinusoidal cuya amplitud no cambia. Al aumentar la diferencia

entre las frecuencias se produce una variación notoria de la amplitud. Este método se emplea

para afinar guitarras, oprimiendo dos cuerdas cuyos sonidos deberían tener igual frecuencia; se

ajusta una de ellas hasta que cesen los batidos.

La siguiente suma:

sen(t)

-sen(t)

sen(20t)



1 2( ) ( ) ( )f t sen n t sen n t

Puede expresarse, en forma equivalente, como el producto:

1 2 1 2( ) 2cos( ) ( )2 2

n n n nf t t sen t

Puede considerarse como una señal modulada en amplitud, donde la envolvente será el

sinusoide de baja frecuencia. La gráfica de f(t) se muestra en la figura A3.29, con n1=10 y

n2=10,75.

Figura A3.29.

La suma de dos señales, de diferente amplitud, tales que una de las frecuencias es un

múltiplo de la otra, también tiene una forma de onda característica.

La Figura A3.30, muestra una señal de frecuencia fundamental que tiene el doble de

amplitud que la segunda armónica; la señal puede representarse por:

( ) 2 ( ) (2 )f t sen t sen t

La forma de onda se reconoce como distorsión de segunda armónica, y se produce cuando

debido a no linealidades se genera en forma no deseada, el sinusoide con el doble de la

frecuencia de la señal de interés.

Figura A3.30.

2cos(0,75t/2) sen(20,75t/2)

1

2



La suma de una señal de baja frecuencia con otra de mayor amplitud y frecuencia, genera

una forma de onda característica. Se conoce como ruido de baja frecuencia, si la señal de

interés es la de alta frecuencia. Para la señal:

( ) ( ) 10 (12 )f t sen t sen t

Se muestra su gráfica en la Figura A3.31.

Figura A3.31.

También puede considerarse que es una señal modulada en amplitud, si la señal de interés es

la de baja frecuencia.

A3.5. Sinusoidales amortiguadas exponencialmente

Este tipo de señales ocurre frecuentemente en redes lineales, como respuesta natural de

sistemas cuya ecuación característica tiene un par de raíces complejas conjugadas.

Si la parte real de estas raíces es negativa, tendremos exponenciales decrecientes, y se dice

que se tiene una red estable.

Si las raíces complejas tienen parte real cero, la respuesta será sinusoidal con amplitud

constante.

Si la parte real es positiva, se tendrán sinusoides cuyas amplitudes varían con exponenciales

crecientes, lo cual produce que la amplitud de la respuesta aumente rápidamente, llevando a la

destrucción del sistema o bien a trabajar en zonas no lineales, que saturan la respuesta.

Analizaremos la forma de onda con exponenciales decrecientes modulando la amplitud de la

señal:

2( ) R e cos( )

c

e

tT t

r tT

Para 1, 2, 0,7e cR T T se tiene la forma de onda de la Figura A3.32



Figura A3.32.

La envolvente exponencial se extingue para t>4Te.

Para 1, 2, 6e cR T T se tiene la forma de onda de la Figura A3.33.

Figura A3.33.

La forma de onda, cuando el período de la sinusoidal es mayor que la constante de tiempo de

la exponencial, muestra una respuesta menos oscilatoria.

Para 1, 2, 16e cR T T se tiene la forma de onda de la Figura A3.34.

En este caso la respuesta es preponderantemente exponencial.

Figura A3.34.

e-t/2

Tc



Si se suman dos exponenciales de diferentes constantes de tiempo, la forma de onda tendrá,

luego de un tiempo, la forma de la señal con constante de tiempo mayor. Se dice que esta

exponencial es dominante. Esto se muestra en la Figura A3.35, con T=1.

4( )

t t

T Tr t e e

Figura A3.35.

Lo mismo puede decirse en caso de sumar dos sinusoidales con amortiguamiento

exponencial. La que demora más en extinguirse es la dominante; y es la que fija la duración de

los transientes.

Para la siguiente suma, con T=1, el modo dominante está dado por la exponencial con

constante de tiempo 6, lo cual se aprecia en la Figura A3.36.

6( ) cos( ) cos(4 )tt

TTr t e t e t

Para t>4 se ha extinguido prácticamente la exponencial con constante de tiempo igual a uno.

Después de ese tiempo, no se distingue la respuesta total, de la señal con constante de tiempo

igual a 6.

Figura A3.36.

e-t/4

e-t

r(t)

T=1 r(t)

T=6



A3.6. Medidas características

Existen varias formas de medir el tamaño de una señal s(t) que existe para t>0.

El valor máximo absoluto es una indicación del mayor valor positivo o negativo que tendrá

una señal. Las componentes suelen tener especificado el mayor voltaje o corriente que pueden

soportar sin destruirse, o bajo los cuales se comportan de acuerdo a su especificación. En inglés

de denomina valor peak.

El valor medio o promedio en un intervalo se define según:

0

1( )

T

s s t dtT

El valor efectivo o raíz del valor medio cuadrático, en un intervalo, se define según:

2

0

1( )

T

efS s t dtT

En inglés, el valor efectivo se denomina rms por root mean square.

La energía de la señal, o integral de la señal al cuadrado, se define según:

2

0

( )sE s t dt

Equivale a la energía que disiparía la señal en una resistencia de un ohm.

Para algunas señales estas medidas pueden ser infinitas o no estar definidas.



Índice general

APÉNDICE 3 .......................................................................................................................... 1

SEÑALES................................................................................................................................ 1

A3.1 REPRESENTACIÓN DE FORMAS DE ONDAS .................................................................... 1 Rotación respecto del eje de ordenadas ........................................................................... 2 Corrimiento a la derecha .................................................................................................. 2 Corrimiento a la izquierda ................................................................................................ 2 Corrimiento y giro ............................................................................................................ 3 Ampliación o reducción horizontal ................................................................................... 3 Cambio de escala .............................................................................................................. 4 Ampliación o reducción vertical ....................................................................................... 4

A3.2. SEÑALES DISCONTINUAS ............................................................................................. 5 A3.2.1. Escalón unitario. .................................................................................................. 5

Ejemplo A3.1. ............................................................................................................................................. 5 Ejemplo A3.2. ............................................................................................................................................. 6

A3.2.2. Impulso. ................................................................................................................ 7 Ejemplo A3.3. ............................................................................................................................................. 8

A3.2.3. Rampa ................................................................................................................... 9 A3.3.4. Aproximación de una señal por escalones. ........................................................ 10

A3.3. EXPONENCIALES ....................................................................................................... 12 Ejemplo A3.4. .................................................................................................................. 13

A3.4. SINUSOIDALES ........................................................................................................... 15 A3.5. SINUSOIDALES AMORTIGUADAS EXPONENCIALMENTE ............................................ 19 A3.6. MEDIDAS CARACTERÍSTICAS .................................................................................... 22 ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................. 23

Índice de Figuras.

Figura A3.1 .................................................................................................................................... 1 Figura A3.2 Cambio de argumento. .............................................................................................. 1 Figura A3.3 Giro respecto de t=0. ................................................................................................. 2 Figura A3.4 .................................................................................................................................... 2 Figura A3.5 Corrimiento a la derecha. .......................................................................................... 2 Figura A3.6 Corrimiento a la izquierda. ........................................................................................ 3 Figura A3.7 Corrimiento y giro. .................................................................................................... 3 Figura A3.8 .................................................................................................................................... 3 Figura A3.9 .................................................................................................................................... 4 Figura A3.10 .................................................................................................................................. 4 Figura A3.11 .................................................................................................................................. 4 Figura A3.12 .................................................................................................................................. 5 Figura A3.13 .................................................................................................................................. 5 Figura A3.14 .................................................................................................................................. 6



Figura A3.15 .................................................................................................................................. 6 Figura A3.16 .................................................................................................................................. 7 Figura A3.17 .................................................................................................................................. 8 Figura A3.18 ................................................................................................................................ 10 Figura A3.18a .............................................................................................................................. 11 Figura A3.19 ................................................................................................................................ 12 Figura A3.20 ................................................................................................................................ 13 Figura A3.21 ................................................................................................................................ 13 Figura A3.22 ................................................................................................................................ 14 Figura A3.23 ................................................................................................................................ 14 Figura A3.24. ( ) cos( )f t t ....................................................................................................... 15

Figura A3.25. ( ) 2cos( 30º )f t t ............................................................................................ 16

Figura A3.26. ............................................................................................................................... 16 Figura A3.27. ............................................................................................................................... 17 Figura A3.28. ............................................................................................................................... 17 Figura A3.29. ............................................................................................................................... 18 Figura A3.30. ............................................................................................................................... 18 Figura A3.31. ............................................................................................................................... 19 Figura A3.32. ............................................................................................................................... 20 Figura A3.33. ............................................................................................................................... 20 Figura A3.34. ............................................................................................................................... 20 Figura A3.35. ............................................................................................................................... 21 Figura A3.36. ............................................................................................................................... 21

señales - universidad técnica federico santa...

Documents