métodos generales de análisis de redes -...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 4

MÉTODOS GENERALES DE

ANÁLISIS DE REDES

Hasta el momento hemos desarrollado el marco teórico de la Teoría de Redes.

Conocemos cómo plantear las ecuaciones de equilibrio, y también cómo plantear ecuaciones

linealmente independientes, debidas a la interconexión. Además conocemos diferentes

conjuntos de variables independientes y sus relaciones.

Si planteáramos las ecuaciones linealmente independientes, asociadas al modelo de una red,

obtendríamos un sistema de 2e ecuaciones en 2e incógnitas, siendo e el número de componentes

de dos terminales que tiene la red.

Un sistema de elevado número de ecuaciones suele ser complejo de resolver por métodos

convencionales. Por esta razón, tradicionalmente se han empleado diversos procedimientos para

plantear sistemas reducidos de ecuaciones; todos ellos basados en eliminar sistemáticamente

algunas de las variables, mediante el apropiado uso de las ecuaciones linealmente

independientes.

Los métodos apuntan a obtener un sistema de ecuaciones, en el cual las incógnitas sea

alguno de los conjuntos de variables independientes.

Luego de resolver el sistema y tener expresado, en función de los datos, los valores de las

variables independientes, pueden obtenerse las soluciones para el resto de las variables de la red.

Se entiende por datos de la red: los valores de las componentes y las funciones temporales

asociadas a las fuentes.

En general, se obtienen sistemas de ecuaciones integro-diferenciales no lineales. En el caso

de redes lineales, el sistema puede ser convertido a un sistema algebraico de ecuaciones

mediante la aplicación de la transformada de Laplace.

Resulta conveniente expresar los sistemas de ecuaciones en forma matricial.

Si se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

2 Teoría de Redes Eléctricas


ax by c

dx cy f

(4.1)

Empleando notación matricial, (4.1) puede representarse, en forma equivalente, mediante:

a b x c

c d y f

(4.2)

Para simplificar la notación, evitando escribir integrales y derivadas se puede emplear el

operador diferencial D, el cual se define, mediante:

1( ) ( )

( )

t

a x d aD x

dxb bD x

dt

(4.3)

El operador D debe premultiplicar a la función.

4.1. Método nodal

Su objetivo es plantear un sistema de ecuaciones en términos de los voltajes de nodo a tierra.

Se escoge un nodo como referencia y se identifican las variables voltajes de nodo a tierra.

Se plantean LCK en los nodos. Quedan (v-1) ecuaciones, en función de las corrientes de

elementos.

Se aplican las ecuaciones de equilibrio, para eliminar las corrientes, de esta forma quedan (v-

1) ecuaciones en términos de los voltajes de elementos.

Se expresan los voltajes de los elementos en función de los voltajes de nodo a tierra, quedan

(v-1) ecuaciones en función de los (v-1) voltajes de nodo a tierra.

Empleando la notación matricial desarrollada en el capítulo 3, podemos formular

matemáticamente el método nodal recién descrito.

Se tienen las siguientes ecuaciones:

LCK en nodos:

0A i (4.1a)

Ecuaciones de equilibrio, expresando las corrientes en términos de los voltajes:

i G v j (4.1b)

Capítulo 4. Métodos generales de análisis de redes. 3


Se considera un vector de excitaciones j para especificar las relaciones de equilibrio de las

fuentes independientes de corriente.

LVK expresando los voltajes en función de los voltajes de nodos:

t

nv A v (4.1c)

Si se reemplazan las ecuaciones de equilibrio (4.1b) en las ecuaciones LCK en nodos (4.1a),

resulta:

A G v A j (4.1d)

Reemplazando (4.1c) en (4.1d) se obtiene finalmente un sistema de (v-1) ecuaciones en

términos de (v-1) incógnitas.

t

nA G A v A j (4.1e)

Ejemplo 4.1.

Aplicar método nodal a la red de la Figura 4.1.

Para la red de la Figura 4.1, se tienen 12 ecuaciones en 12 incógnitas: los 6 voltajes y las 6

corrientes de los elementos.

Aplicando el método nodal, se logra un sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas: los

voltajes de nodos.

Figura 4.1. Método nodal.

Solución:

C A B

D

ig

R1 L2

R5 R4 C3



Se escoge D como nodo de referencia, se identifican las variables voltajes de nodos:

, ,A B Cv v v , como se ilustra en la Figura 4.2.

Figura 4.2. Identificación de voltajes de nodos.

LCK en nodos:

1 5 6

2 4 6

1 2 3

: 0

: 0

: 0

A i i i

B i i i

C i i i

(4.4)

Quedan tres ecuaciones, en función de las 6 corrientes de los elementos.

Aplicando ecuaciones de equilibrio, se eliminan las corrientes en (4.4), resultando:

2

2

1 51 5

2 44

31 21 3

0

1( ) 0

1- ( ) 0

g

g

v v iG G

tdv v iG

L

t dvdv vG CL dt

(4.5)

Quedan tres ecuaciones en función de 5 voltajes. Nótese que las fuentes de corriente se

consideran datos; además no es posible expresar la corriente de una fuente independiente en

términos del voltaje del elemento.

Aplicando LVK, se expresan los voltajes de los elementos en función de los voltajes de nodo

a tierra:

C A B

1 2

5 3 4

6

vB

vC

vA



1

2

3

4

5

A C

B C

C

B

A

v v v

v v v

v v

v v

v v

(4.6)

Eliminando los voltajes de los elementos en el sistema anterior (4.5), mediante (4.6), quedan

tres ecuaciones en términos de los voltajes de nodos.

2

2

51

4

1 3

( ) ( )

1(( ( ) ( )) ( )

1( ) (( ( ) ( ))

0

0

- 0

gA C A

t

gB BC

tC

BA C C

G v v G v i

v v d G v iL

dvG v v v v d C

L dt

(4.7)

Usando el operador diferencial definido en (4.3), se obtiene:

1

1

2

32

51

1

4( )

( ) )

( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( )

1)

1( )

(

0

0

- 0

B C

B C C

gA C A

gB

A C

D

D

v t v t G

v t v t C D v

G v v G v i

v iL

G v vL

(4.8)

Finalmente se emplea notación de matrices para representar el sistema de ecuaciones (4.8),

resultando:

1 5 1

1 1

4 2 2

1 1

1 2 1 2 3

0

0 ( ) ( )

( ) ( ) 0

A g

B g

C

G G G v i

G L D L D v i

G L D G L D C D v

(4.9)

Si en la red de la Figura 4.1 existiera una fuente de tensión, no es posible eliminar la

corriente a través de ésta, empleando la ecuación de equilibrio de la fuente de tensión. En este

caso la corriente en la fuente de tensión será una nueva incógnita; pero tendremos una ecuación

adicional: la relación LVK de la fuente de tensión en términos de los voltajes de nodo a tierra.

Ésta última se denomina ecuación de restricción.

Bases algorítmicas de los programas que analizan redes eléctricas

El método nodal ha sido tradicionalmente empleado para obtener la solución de una red

eléctrica mediante algoritmos computacionales.



Se describe la topología de la red empleando una lista de los elementos, a partir de la cual

pueden obtenerse la matriz de incidencia nodal A y las matrices asociadas a las ecuaciones de

equilibrio.

La lista de los elementos se define especificando el nombre del elemento mediante

convenios, si es resistencia el nombre comienza con R, si es inductor el nombre comienza con

L, si es condensador el nombre comienza con C, si es fuente de corriente el nombre comienza

con I, y si es fuente de tensión el nombre comienza con E. Luego se colocan los nodos, el

primer nodo indica que de ese nodo sale la corriente en el elemento; el segundo indica que a ese

nodo llega la corriente del elemento. A continuación puede especificarse el valor de la

componente.

Para la red de la Figura 4.1 con las direcciones de referencia de la figura 4.2, se tiene, la

siguiente lista de elementos, que describe completamente la red:

1

2

3

4

5

g

R A C

L B C

C C D

R B D

R D A

i A B

(4.9a)

Las ecuaciones (4.9a) se denominan netlist, en inglés, y permiten dibujar el esquemático o

diagrama de la red.

De la lista (4.9a) puede obtenerse, mediante un algoritmo, la matriz de incidencia A. Las

columnas representan los elementos, en orden 1, 2, 3, 4, 5, y 6; los renglones los nodos, en

orden A, B, C. Para cada columna asociada a un elemento, se coloca +1, en el renglón asociado

al primer nodo, y -1 en el renglón asociado al segundo nodo. El nodo, D en este caso, usado

como referencia no interviene en la matriz.

1 0 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1

1 1 1 0 0 0

A

(4.9b)

A partir de (4.9a) puede obtenerse como una matriz diagonal la relación (4.1b) que

representa las ecuaciones de equilibrio:



1

1

2

3

4

5

0 0 0 0 00

00 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

00 0 0 0 0

00 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0g

G

D

L

G jC D

G

Gi

(4.9c)

Reemplazando (4.9b) y (4.9c) en (4.1e) se obtiene (4.9), lo cual puede comprobarse

efectuando las operaciones con matrices.

La Ecuación (4.1e) puede escribirse, sacando inversa, según:

1( )t

nv A G A A j (4.9d)

Entonces la solución de la red se logra programando la ejecución de las operaciones

matriciales en (4.9d), donde previamente se han calculado las matrices A, G y j, a partir de la

lista de los elementos (4.9a), que debe ingresarse como dato. La aplicación SPICE analiza las

redes de esta forma.

El siguiente programa Maple, calcula (4.9d) a partir de las matrices A, G y j:

> restart: with(LinearAlgebra):

> A := Matrix(3,6,[[1, 0, 0, 0,-1, 1], [0, 1, 0, 1, 0,-1],[ -1, -1, 1, 0, 0, 0]]):

G:=Matrix(6,6,[[G1, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1/(L2*s), 0, 0, 0, 0],[ 0, 0, C3*s, 0, 0, 0],

[0, 0, 0, G4, 0, 0], [0, 0, 0, 0, G5, 0],[ 0, 0, 0, 0, 0, 0] ]):

J := Vector(6, [0, 0, 0, 0, 0, ig]):

D1:=MatrixMatrixMultiply(MatrixMatrixMultiply(A, G), Transpose(A)):

V:=MatrixVectorMultiply(MatrixInverse(D1), MatrixVectorMultiply(A, -J)):

collect(simplify(V[1]), s);

4.2. Método de mallas

Sólo puede aplicarse si la red es plana, y su objetivo es plantear un sistema de ecuaciones en

las variables independientes corrientes de mallas.

Se identifican las variables corrientes de mallas.

Se plantean LVK en las mallas. Quedan (e-v+1) ecuaciones en función de los voltajes de los

elementos.

Se eliminan los voltajes de los elementos, usando las ecuaciones de equilibrio, quedando (e-

v+1) ecuaciones en términos de las corrientes de los elementos.

Se expresan las corrientes de los elementos en función de las corrientes de mallas.



Quedan (e-v+1) ecuaciones en función de las (e-v+1) corrientes de mallas.


matemáticamente el método de las mallas.


LVK en mallas:

0M v (4.2a)

Ecuaciones de equilibrio, expresando los voltajes en términos de las corrientes:

v R i e (4.2b)

Se considera un vector e, para especificar las ecuaciones de equilibrio de las fuentes

independientes de voltaje.

LCK expresando las corrientes en función de las corrientes de mallas:

t

mi M i (4.2c)

Si se reemplazan las ecuaciones de equilibrio (4.2b) en las ecuaciones LVK en mallas (4.2a),

resulta:

M R i M e (4.2d)

Reemplazando (4.2c) en (4.2d) se obtiene finalmente un sistema de (e-v+1) ecuaciones en

términos de (e-v+1) incógnitas.

t

mM R M i M e (4.1e)

Ejemplo 4.2.

Aplicar el método de las mallas a la red de la Figura 4.3.



Figura 4.3. Método de mallas.

Solución.

Se identifican y se eligen sentidos de recorridos para las corrientes de mallas ia, ib, ic.

Figura 4.4. Identificación de corrientes de mallas.

Aplicando LVK en mallas, resultan:

1 4 5

2 5 6

2 3 4

: 0

: 0

: 0

a v v v

b v v v

c v v v

(4.10)

Mediante las ecuaciones de equilibrio se eliminan los voltajes de los elementos en (4.10),

quedando un sistema de ecuaciones en términos de las corrientes de los elementos:

C A B

D

eG

R4 L5

R3 R6 C2

4 5

3 2 6

1

ia

ib ic



0)(

0)(

0

443321

2

665521

2

5544

iRiRiDC

iRDiLiDC

DiLiReg

(4.11)

Los voltajes de las fuentes independientes de tensión se consideran datos.

Empleando LCK, se expresan las corrientes de los elementos en función de las corrientes de

mallas:

2

3

4

5

6

b c

c

a c

a b

b

i i i

i i

i i i

i i i

i i

(4.12)

Reemplazando las corrientes de los elementos en (4.11) por las corrientes de mallas, según

(4.12), resulta finalmente:

4 5 5 4

1 1

5 6 5 2 2

1 1

4 2 3 4 2

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0

a g

b

c

R L D L D R i e

L D R L D C D C D i

R C D R R C D i

(4.13)

Si en la red de la Figura 4.3 existiera una fuente de corriente, no es posible eliminar el

voltaje de ésta, empleando la ecuación de equilibrio de la fuente de corriente. En este caso la

tensión en la fuente de corriente será una nueva incógnita; pero tendremos una ecuación de

restricción adicional: la relación LCK de la fuente en términos de las corrientes de mallas.

La matriz resulta simétrica, para redes formadas por resistencias, condensadores, inductores

y fuentes.

4.3. Método de los conjuntos de corte fundamentales

Voltajes de ramas

Se desea plantear un sistema de ecuaciones en términos de las variables independientes

voltajes de ramas.

Se escoge un árbol y se identifican los voltajes de ramas.

Se plantean LCK en ccf. Quedan (v-1) ecuaciones en función de las corrientes de los

elementos.

Se aplican las ecuaciones de equilibrio para eliminar las corrientes. Quedan (v-1) ecuaciones

en términos de los voltajes de elementos.



Se eliminan los voltajes de cuerda, empleando LVK en circuitos fundamentales. Quedan (v-

1) ecuaciones en términos de los voltajes de ramas.


matemáticamente el método de los conjuntos de corte fundamentales.


LCK expresando las corrientes de ramas en función de las corrientes de cuerdas:

r c ci Q i (4.3a)

Ecuaciones de equilibrio, expresando las corrientes en términos de los voltajes:

r r r ri G v j

c c c ci G v j

(4.3b)

Se consideran vectores de excitación para representar las ecuaciones de equilibrio de las

fuentes de corriente. En caso de tener fuentes de voltaje, las ecuaciones de equilibrio para éstas

son ecuaciones de restricción, y se agregan como incógnitas las corrientes de las fuentes de

voltaje.

LVK expresando los voltajes de cuerdas en función de los voltajes de ramas:

t

c c rv Q v (4.3c)

Si se reemplazan las ecuaciones de equilibrio (4.3b) en las ecuaciones LCK (4.3a), resulta:

r r r c c c c cG v j Q G v Q j (4.3d)

Reemplazando (4.3c) en (4.3d) se obtiene:

t

r r r c c c r c cG v j Q G Q v Q j (4.3e)

Agrupando los términos de (4.3e) se obtiene finalmente un sistema de (v-1) ecuaciones en

términos de (v-1) incógnitas.

t

r c c c r r c cG Q G Q v j Q j (4.3f)

Ejemplo 4.3.

Aplicar método de conjuntos de corte a la red de la Figura 4.5.



Figura 4.5. Método de conjuntos de corte.

Solución.

Se elige árbol = {1, 2, 3} y se identifican las variables independientes: los voltajes en las

ramas: v1, v2, v3.

Figura 4.6. Identificación de voltajes en ramas.

LCK en conjuntos de corte fundamentales.

1 1 5 6

2 2 4 6

3 3 4 5

: 0

: 0

: 0

ccf i i i

ccf i i i

ccf i i i

(4.14)

Eliminando las corrientes en (4.14) mediante las ecuaciones de equilibrio, se obtiene:

C A B

D

iG

R1 L2

R5 R4 C3

C A B

1 2

5 3 4

6

ccf1 ccf2

ccf3



1 1 5 5

1

2 2 4 4

3 3 4 4 5 5

0

( ) 0

0

g

g

G v G v i

L D v G v i

C Dv G v G v

(4.15)

Aplicando LVK en circuitos fundamentales, se expresan los voltajes en las cuerdas,

mediante los voltajes de ramas:

4 2 3

5 1 3

6 1 2

v v v

v v v

v v v

(4.16)

Eliminando los voltajes de las cuerdas, en (4.15) mediante (4.16), resulta finalmente:

1 5 5 1

1

4 2 4 2

5 4 4 5 3 3

0

0 ( )

0

g

g

G G G v i

G L D G v i

G G G G C D v

(4.17)

Si en la red de la Figura 4.5 un elemento fuera una fuente de tensión, se agrega como

incógnita la corriente en la fuente de tensión; y al mismo tiempo se agrega una ecuación de

restricción: la relación LVK entre el voltaje de la fuente y los voltajes de ramas.

4.4. Método de los circuitos fundamentales

Corrientes de cuerdas

Se desea plantear un sistema de ecuaciones en términos de las variables independientes

corrientes de cuerdas.

Se escoge un árbol y se identifican las corrientes de cuerdas.

Se plantean LVK en circuitos fundamentales, quedan (e-v+1) ecuaciones en términos de los

voltajes de elementos.

Se aplican ecuaciones de equilibrio, eliminando los voltajes, quedan (e-v+1) ecuaciones en

términos de las corrientes de elementos.

Se eliminan las corrientes de ramas aplicando LCK en conjuntos de corte fundamentales,

quedan (e-v+1) ecuaciones en términos de las corrientes de cuerdas.

Este método puede aplicarse a redes no planas.


matemáticamente el método de los circuitos fundamentales.





c r rv C v (4.4a)


r r r rv R i e

c c c cv R i e

(4.4b)

Se consideran vectores de excitación para representar las ecuaciones de equilibrio de las

fuentes de voltaje. En caso de tener fuentes de corriente, las ecuaciones de equilibrio para éstas

son ecuaciones de restricción, y se agregan como incógnitas los voltajes de las fuentes de

corriente.


t

r r ci C i (4.4c)

Si se reemplazan las ecuaciones de equilibrio (4.4b) en las ecuaciones LVK (4.4a), resulta:

c c c r r r r rR i e C R i C e (4.4d)

Reemplazando (4.4c) en (4.4d) se obtiene:

t

c c c r r r c r rR i e C R C i C e (4.4e)

Agrupando los términos de (4.4e) se obtiene finalmente un sistema de (e-v+1) ecuaciones en

términos de (e-v+1) incógnitas.

t

c r r r c c r rR C R C i e C e (4.4f)

Ejemplo 4.4.

Aplicar método de circuitos fundamentales a la red de la Figura 4.7. La red se conoce como

puente de Wheatstone, y se emplea en mediciones eléctricas.



Figura 4.7. Método de los circuitos fundamentales.

Solución:

Se elige árbol = {4, 5, 6}, y se identifican las corrientes de cuerdas i1, i2, i3.

Figura 4.8. Corrientes de cuerdas i1, i2, i3.

LVK en circuitos fundamentales:

1 1 4 6

2 2 5 6

3 3 4 5

: 0

: 0

: 0

cf v v v

cf v v v

cf v v v

(4.18)

Se eliminan los voltajes de los elementos, mediante las ecuaciones de equilibrio, resulta:

0

0

0

554433

5522

4411

iRiRiR

eiRiR

eiRiR

g

g

(4.19)

Mediante LCK en conjuntos de corte fundamentales, se expresan las corrientes de ramas en

términos de las corrientes en las cuerdas:

R3

R5 R4

R2 R1

eG +

- V

3

5 4

2 1

6



6 6 1 2

5 5 2 3

4 4 1 3

:

:

:

ccf i i i

ccf i i i

ccf i i i

(4.20)

Eliminando las corrientes de ramas en (4.19), mediante (4.20), resulta finalmente:

1 4 4 1

2 5 5 2

4 5 3 4 5 3

0

0

0

g

g

R R R i e

R R R i e

R R R R R i

(4.21)

Si en la red de la Figura 4.7 un elemento fuera una fuente de corriente, se agrega como

incógnita la tensión de la fuente de corriente; y al mismo tiempo se agrega una ecuación de

restricción: la relación LCK entre la corriente de la fuente y las corrientes de cuerdas.

Si se calcula i3, ya sea invirtiendo la matriz o aplicando el método de Cramer, resulta:

4 2 1 5

3

1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 4 5 3 4 5

( )ge R R R Ri

R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

Para tener i3 = 0 se requiere:

4251 RRRR (4.22)

La relación (4.22) se conoce como condición de puente equilibrado.

La red anterior se utiliza para medir una resistencia desconocida mediante el equilibrio de los

brazos del puente. El puente está constituido por cuatro resistencias que forman un circuito

cerrado, siendo la resistencia R5 la que se desea medir. La resistencia R3, se reemplaza por un

galvanómetro, que puede medir con precisión cuando es cero la corriente en esa rama.

R1, R4 son resistencias de valores conocidos y precisos, además la resistencia R2 es ajustable,

y su valor puede leerse en una escala graduada. Se varía R2 hasta que la corriente en el

galvanómetro sea cero, y mediante la condición de equilibrio del puente, puede calcularse la

resistencia que se desea medir.

4.5. Método mixto

Pueden escogerse como variables independientes, las corrientes de cuerdas y los voltajes de

ramas.

Debido a que las incógnitas son corrientes y voltajes se denomina mixto a este método.

Se elige un árbol. Se identifican las variables independientes.



Se plantea LVK en circuitos fundamentales, expresando los voltajes de cuerdas en función

de los voltajes de ramas.

Se escriben las ecuaciones LCK en conjuntos de corte fundamentales, expresando las

corrientes de ramas en función de las corrientes de cuerdas.

Se eliminan los voltajes de cuerdas, empleando las ecuaciones de equilibrio para éstas.

Se eliminan las corrientes de ramas, empleando las ecuaciones de equilibrio, y expresándolas

en términos de los voltajes de ramas.


matemáticamente el método mixto.



c r rv C v (4.5a)


r r r ri G v j

c c c cv R i e

(4.5b)

En esta situación conviene definir las fuentes de tensión como cuerdas y las fuentes de

corriente como ramas. Se calculan como parte de las incógnitas las tensiones en las fuentes de

corriente y las corrientes en las fuentes de tensión.


r c ci Q i (4.5c)

Si se reemplazan las ecuaciones de equilibrio (4.5b) en las ecuaciones LVK (4.5a) y (4.5c)

resulta:

c c r r cR i C v e

c c r r rQ i G v j

(4.5d)

Expresando matricialmente (4.5d) se obtiene finalmente un sistema de e ecuaciones en

términos de e incógnitas.

r c r r

r c c c

G Q v j

C R i e

(4.5e)



Se puede flexibilizar además la elección de las fuentes. Si se cambia la definición de las

ecuaciones de equilibrio (3.5b) pueden escogerse como cuerdas las fuentes de corriente y como

ramas las fuentes de tensión.

c c c ci G v j

r r r rv R i e

(4.5f)

Si se reemplazan las ecuaciones de equilibrio (4.5f) en las ecuaciones LVK (4.5a) y (4.5c)

resulta:

r c c c c c

c r r r r r

i Q G v Q j

v C R i C e

(4.5g)

La forma del sistema (4.5g) favorece la eliminación de ri o cv .

Ejemplo 4.5.

Para la red de la Figura 4.9, interesa calcular los voltajes y corrientes en los elementos,

asumiendo que se conocen los valores de R1, R2 y R3; y las formas de ondas de e4, j5 y e6.

Figura 4.9. Método mixto.

Solución.

Si se elige el árbol: {2, 4, 6}, las cuerdas resultan: {1, 3, 5}

Se identifican corrientes en las cuerdas y los voltajes de las ramas.

C A B

D

R1

R2 R3

e4 e6 j5



Figura 4.10. Variables independientes.

Ecuaciones de interconexión:

LVK en circuitos fundamentales:

1 4 6 3 2 4 6 5 2 4, ,v v v v v v v v v v (4.23)

LCK en conjuntos de corte fundamentales:

2 3 5 4 1 3 5 6 1 3, ,i i i i i i i i i i (4.24)

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

4 4 5 5 6 6

, ,

, ,

v R i v R i v R i

v e i j v e

(4.25)

Análisis del sistema:

Se tienen 12 ecuaciones linealmente independientes, y las variables independientes son:

2 4 6 1 3 5, , , , ,v v v i i i .

Una vez obtenida la solución para este conjunto de variables independientes; es decir, los

valores de esas variables en términos de los datos, se podrá conocer la solución para las doce

variables de la red.

La elección del árbol se ha realizado de tal modo que el máximo de las variables

independientes anteriores puedan conocerse fácilmente. Por esta razón se han elegido como

ramas a las fuentes independientes de voltaje; y como cuerdas a las fuentes de corriente.

C A B

D

R1

R2

R3

e4 e6 j5

i4 i5 i6

i2 i3

i1

v4 v6

v2



Puede decirse que las ecuaciones de equilibrio de las fuentes: 4 4 5 5 6 6, ,v e i j v e son

ecuaciones de restricción, ya que restringen el número de variables independientes.

Nótese que 4 6 5, ,v v i dejan de ser variables independientes, y aparecen como nuevas

incógnitas: 4 6 5, ,i i v .

Eliminación de las ecuaciones de equilibrio:

Si se reemplazan las ecuaciones de equilibrio en las ecuaciones de interconexión, de tal

forma de dejar solamente en función de las variables independientes, resultan dos conjuntos de

ecuaciones:

El primero en términos voltajes de ramas y corrientes de cuerdas que no son fuentes:

1 1 4 6

3 3 2 4 6

23 5

2

R i e e

R i v e e

vi j

R

(4.26)

El segundo, que expresa las variables independientes asociadas a las fuentes, en términos de

las incógnitas de (4.26).

5 2 4

4 1 3 5

6 1 3

v v e

i i i j

i i i

(4.27)

La elección del árbol lleva naturalmente a expresar, en forma simple, las variables

desconocidas asociadas a las fuentes, y permite reducir el sistema formado por 12 ecuaciones a

uno de tres. El que puede expresarse matricialmente, según:

1 1 4 6

3 3 4 6

2 5

2

0 0

0 1

10 1

R i e e

R i e e

v j

R

(4.28)

Ejemplo 4.6.

Pueden resolverse sistemas de ecuaciones, empleando procesadores matemáticos. Se ilustra

el uso de Maple.



El siguiente programa, permite resolver el sistema, en forma simbólica, en términos de los

datos:

> restart;

>eceq:={v1=R1*i1, i2=v2/R2, v3=R3*i3, v4=e4, i5=j5, v6=e6};

lvk:={v1=v4-v6, v3=-v2+v4-v6, v5=-v2+v4};

lck:={i2=i3+i5, i4=-i1-i3-i5, i6=i1+i3};

ec1:=eval(lvk, eceq); ec2:=eval(lck, eceq);

solve(ec1 union ec2,{i1, i3, v2, v5, i4, i6});

Se definen tres conjuntos de ecuaciones, empleando notación de conjuntos: eceq, lvk y lck.

Se emplea el comando eval, para interceptar las ecuaciones de equilibrio, con las de

interconexión, generado dos nuevos conjuntos de ecuaciones, ec1 y ec2.

Mediante el comando solve, el sistema de ecuaciones formado por la unión de ec1 y ec2 es

resuelto para el conjunto de incógnitas, que es el segundo argumento del comando.

Nótese que en las ecuaciones de equilibrio se plantea las variables que se desea eliminar a la

izquierda. De este modo el comando eval efectúa la eliminación.

Se obtienen:

(4.29)

La solución anterior está basada en el método mixto.

Otra alternativa de solución, es obtener la solución para las doce variables, planteando las

doce ecuaciones:

>ecs:={v1=R1*i1, v2=R2*i2, v3=R3*i3, v4=e4, i5=j5, v6=e6,

v1=v4-v6, v3=-v2+v4-v6, v5=-v2+v4,

i2=i3+i5, i4=-i1-i3-i5, i6=i1+i3};

vars:={v1, v2, v3, v4, v5, v6, i1, i2, i3, i4, i5, i6};

solve(ecs, vars);

i1e4 e6

R1

i3j5 R2 e6 e4

R3 R2

v2R2 ( )R3 j5 e6 e4

R3 R2

v5R3 j5 R2 e4 R3 e6 R2

R3 R2

i4R1 e6 R1 e4 e4 R3 e4 R2 e6 R3 e6 R2 R1 j5 R3

R1 ( )R3 R2

i6R1 j5 R2 R1 e6 R1 e4 e4 R3 e4 R2 e6 R3 e6 R2

R1 ( )R3 R2



Lo que produce:

El problema de redes consiste en plantear un sistema consistente de ecuaciones linealmente

independientes.

La solución del sistema es un asunto algebraico, que un procesador matemático puede

resolver mejor y sin cometer errores.

Ejemplo 4.7.

Para la red de la Figura 4.10 se plantearon LVK en circuitos fundamentales y LCK en

conjuntos de corte fundamentales.

Podemos estudiar la relación entre estos conjuntos de ecuaciones, planteando la matriz de

incidencias de los conjuntos de corte en los elementos, en la cual podemos identificar la

submatriz Qc, que es la que relaciona los dos conjuntos de ecuaciones.

Q 2 4 6 1 3 5

ccf2 1 0 0 0 -1 -1

ccf4 0 1 0 1 1 1

ccf6 0 0 1 -1 -1 0

(4.30)

Mediante matrices, las ecuaciones LCK, pueden plantearse:

r c ci Q i (4.31)

A partir de la cual se obtienen las ecuaciones LCK:

v4 e4 i5 j5 v6 e6 v1 e4 e6, , , ,

i6R1 e6 R1 e4 R1 R2 j5 R3 e4 R3 e6 R2 e4 R2 e6

R1 ( )R2 R3,

i3e6 e4 R2 j5

R2 R3v5

R2 e6 R3 e4 R3 R2 j5

R2 R3, ,

v3R3 ( )e6 e4 R2 j5

R2 R3,

i4R1 e6 R1 e4 R3 e4 R3 e6 R2 e4 R2 e6 R1 j5 R3

R1 ( )R2 R3,

i2e6 e4 R3 j5

R2 R3v2

R2 ( )e6 e4 R3 j5

R2 R3i1

e4 e6

R1, ,



2 1

4 3

6 5

0 1 1

1 1 1

1 1 0

i i

i i

i i

(4.32)

La relación (4.32) es la expresión matricial de (4.24).

De las relaciones:

c r rv C v (4.33)

t

r cC Q (4.34)

se desprende que las ecuaciones LVK, pueden plantearse:

t

c c rv Q v (4.35)

A partir de la cual se obtienen las ecuaciones LVK:

1 2

3 4

5 6

0 1 1

1 1 1

1 1 0

v v

v v

v v

(4.36)

La relación (4.36) es la expresión matricial de (4.23).

Observando (4.31) y (4.35), debe notarse que sólo es preciso conocer Qc para plantear las

ecuaciones linealmente dependientes de interconexión.

Si se hubiera planteado la matriz de incidencias de los circuitos fundamentales en los

elementos, podemos reconocer en (4.37) la submatriz Cr, que también relaciona las ecuaciones

LVK y LCK:

(4.37)

Usando la submatriz Cr, LVK puede expresarse:

c r rv C v (4.38)

De las relaciones:

C 2 4 6 1 3 5

cf1 0 -1 1 1 0 0

cf3 1 -1 1 0 1 0

cf5 1 -1 0 0 0 1



r c ci Q i (4.39)

t

c rQ C (4.40)

Se desprende que las ecuaciones LCK, pueden plantearse:

r r c

ti C i

(4.41)

Obteniendo las mismas ecuaciones que en el caso anterior, pero ahora basados en conocer

Cr.

Observamos que de la matriz C puede determinarse Q y viceversa.

También notamos que si plantean las ecuaciones LVK y LCK, pueden obtenerse las matrices

Q y C.

4.6. Método de variables de estado

En general, en una red los voltajes en los condensadores y las corrientes en los inductores

constituyen las variables de estado.

Si se conocen los valores de las variables de estado, en determinado instante, resulta sencillo

calcular la energía almacenada en la red en dicho instante.

Si se tiene un circuito formado solamente por condensadores y fuentes independientes de

tensión, uno de los voltajes de los condensadores puede expresarse como combinación lineal de

los voltajes de los otros condensadores y no forma parte de las variables de estado.

Situación similar ocurre si se tiene un conjunto de corte fundamental formado solamente por

inductores y fuentes de corriente independientes.

El método consiste en plantear un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en

términos de las variables de estado.

En un curso de Sistemas Lineales se justifican las ventajas conceptuales y computacionales

de esta formulación.

Este método es un caso particular del método mixto visto en 4.5.

Se escoge un árbol que contenga todas las fuentes de tensión independientes y los

condensadores y ningún inductor ni fuente independiente de corriente.

Se identifican las variables de estado.

LCK en conjuntos de corte fundamentales asociados a los condensadores. Usando la

ecuación de equilibrio de los condensadores.



Plantear LVK en circuitos fundamentales asociados a los inductores, usando las ecuaciones

de equilibrio de los inductores.

Eliminar variables resistivas, mediante las relaciones de equilibrio de las resistencias. Si es

necesario se emplean:

LCK para conjuntos de corte fundamentales asociados a ramas resistivas.

LVK para circuitos fundamentales asociados a cuerdas resistivas.

Después del último paso se han expresado las variables resistivas en función de las variables

de estado.

Ejemplo 4.8.

Aplicar método de variables de estado a la red de la Figura 4.11.

Figura 4.11. Método de variables de estado.

Solución.

En la Figura 4.12 se ha dibujado el grafo asociado a la Figura 4.11.

C A

E

5

6 2

3 1

B

4

D

Figura 4.12. Identificación de variables de estado.

Para cumplir con los requerimientos para escoger el árbol, los elementos 1 y 4 deben elegirse

como ramas, y los elementos 5 y 6, como cuerdas. Lo cual nos conduce a que 2 y 3 deben ser

ramas. Entonces se tiene el árbol: {1, 2, 3, 4}.

Las variables de estado son: v1, i5, i6.

C A D

E

eG

L5 L6 R2

R3

C1

B



Planteando LCK en ramas capacitivas:

0651 iii (4.42)

Aplicando la ecuación de equilibrio del condensador, resulta:

6511 iiDvC (4.43)

Se plantea LVK en cuerdas inductivas:

5 2 1

6 1 3

gv v e v

v v v

(4.44)

Aplicando ecuaciones de equilibrio de los inductores, se obtiene:

5 5 2 1

6 6 1 3

gL Di v e v

L Di v v

(4.45)

Ecuaciones de equilibrio resistivas:

2 2 2

3 3 3

v R i

v R i

(4.46)

LCK en ramas resistivas:

2 5

3 6

i i

i i

(4.47)

En este ejemplo no se tienen cuerdas resistivas.

Expresando las variables resistivas en función de las variables de estado, se obtienen:

2 2 5

3 3 6

v R i

v R i

(4.48)

Empleando estas ecuaciones para eliminar las variables resistivas, se obtiene:

1 1

1 1

25 5

5 5 5

6 6

3

6 6

1 10

0

10

010

g

C Cv v

eRdi i

dt L L Li i

R

L L

(4.49)



Definiendo el vector X, para las variables de estado:

1

5

6

v

X i

i

(4.50)

El sistema anterior toma la forma general:

BAXX (4.51)

Donde:

A es la matriz de estado y

B el vector de excitaciones.

4.7. Redes de transistores

Se reemplaza cada transistor por su modelo equivalente de red, de acuerdo al modo de

funcionamiento.

Veremos que puede aplicarse el método de las mallas con modificaciones.

Se emplea el siguiente símbolo para representar a un transistor:

Figura 4.13. Símbolo para un transistor.

4.7.1. Modelos de redes

Se suele estudiar un transistor funcionando en alguno de los siguientes modos:

Modo lineal

Las curvas simplificadas del transistor, en modo lineal, son:

C

E

B



Figura 4.14. Curvas en modo lineal.

El modelo de redes del transistor en modo lineal, se muestra en la Figura 4.15, y emplea una

fuente de corriente controlada por corriente.

Figura 4.15. Modelo de redes en modo lineal.

Para operar en modo lineal, deben cumplirse:

7,0y v 7,0v BCBE (4.52)

Modo transistor en corte

En modo corte las corrientes de emisor y colector deben ser nulas: iE = 0 e ic = 0.

Figura 4.16. Modelo de redes en modo corte.

Para operar en modo corte, debe cumplirse:

vBE

ib

0,7

vCE

iC

hfe ib

C

E

B

iC

ib

0,7 hfe ib

vCE

iE

vBE

C

E

B

iC

ib

0,7

vCE

iE

vBE



BEv 0,7 , 0 Ei e 0 Ci (4.53)

Modo transistor en saturación

Si el transistor está saturado, las curvas simplificadas son:

Figura 4.17. Curvas en modo saturado.

El modelo de redes en modo saturación:

Figura 4.18. Modelo en modo saturado.

Está en saturación si:

Ci es menor que Csat fe bi h i y BEv 0,7 (4.54)

Figura 4.19. Umbral saturación.

vBE

ib

0,7

vCE

ic

VSAT

1/r

1

r

E

B

iC

ib

0,7 Vsat

vCE

C

vCE

ic

VSAT

1/r

1

icsat



4.7.2. Ejemplos

Ejemplo 4.9.

Plantear ecuaciones para la red de la Figura 4.20.

Figura 4.20. Transistor en modo lineal.

Primero asumiremos que el transistor está en modo lineal. Se reemplaza el transistor por su

modelo, y se obtiene la Figura 4.21.

Figura 4.21. Red equivalente de la Figura 4.20.

La aplicación convencional del método de las mallas, tendría como incógnitas a Bi e Ci .

Pero la corriente de colector Ci , depende de Bi ; y además, no es posible expresar el voltaje

en la fuente controlada de corriente en función de las corrientes de mallas. Por esta razón se

emplea como incógnita a CEv , en lugar de Ci .

Para la malla de la base resulta:

0,7 0b B B E EV R i R i (4.55)

Para la del colector:

C

E

Vcc

Vb

RB B

RC

RE

C

E

Vcc

Vb

RB B

RC

RE

iC

iB

0,7 hfe iB

vCE



CE E E C C CCv R i R i V (4.56)

Además de la ecuación de equilibrio de la fuente de corriente controlada por corriente:

C fe Bi h i (4.57)

Resultan:

(1 )E B C fe Bi i i h i (4.58)

0,7

(1 )

bB

B E fe

Vi

R R h

(4.59)

(1 )CE CC C fe B E fe Bv V R h i R h i (4.60)

Luego asumimos que el transistor está saturado. Reemplazando en la Figura 4.20, el modelo

de la Figura 4.18, se obtiene la Figura 4.22:

Figura 4.22. Transistor saturado.

Aplicando mallas, con incógnitas Bi e Ci , resultan:

( ) 0,7B E B E C bR R i R i V

( )E B E C C CC satR i R R r i V V

(4.61)

Una vez calculado Ci , debe resultar menor que fe Bh i para que el transistor esté

efectivamente saturado.

r

E

Vcc

Vb

RB B

RC

RE

iC

iB

0,7 Vsat

vCE

C



Ejemplo 4.10.

Obtener la característica de transferencia vo/vi para la siguiente red:

Figura 4.23. Red con transistor.

Con:

IE = 1[mA] para VBE = 0,7 [V]

hfe = = 50

VCESAT = 0,2 [V]

VCC = 10 [V]

R1 = 2 [k ]; R2 = 10 [k ]; R3 = 1 [k ]

(4.62)

Se determina la transferencia en modo lineal y luego se limita con las zonas de saturación y

corte.

En saturación:

0, 2o CEV v (4.63)

En corte:

0Ei , 0Ci (4.64)

Resulta entonces:

o CCV V (4.65)

Planteando las ecuaciones para las corrientes de mallas que circulan por las resistencias 1 y

2, y aplicando LCK en la base, se obtiene la siguiente red:

E

Vcc

V i

R 1 B

R 3 R

2

Vo

C



Figura 4.24. Red equivalente de Figura 4.23.

Con:

1 2

5||

3bR R R k

2 1

1 2

10 20

12

i CC ib

R V RV VV

R R

(4.66)

Usando las ecuaciones obtenidas para la Figura 4.22, con RE=0, resultan:

0,7bb

b

Vi

R

3o CE CC fe bV v V R h i

(4.67)

Reemplazando (4.66) en (4.67); y luego eliminando ib, se obtiene en forma numérica:

25 19o iV V (4.68)

Que es la ecuación de una recta. Podemos dibujarla mediante dos puntos.

El primer punto, en saturación: Puede calcularse, ya que de (4.62) se conoce que el mínimo

valor de oV es 0,2, con el transistor saturado. Reemplazando este valor en la ecuación anterior,

resulta:

0,2 190,77

25isV

(4.69)

E

Vcc

v b

R b B

R 3

V o

C



El segundo punto, en corte, puede determinarse ya que se conoce que el máximo valor de oV

es CCV , cuando el transistor está en corte. Para este caso, resulta:

10 191,16

25iCV

(4.70)

Gráficamente:

Figura 4.25. Característica de transferencia.

Con:

C fe Bi h i (4.71)

Empleando (4.71) en (4.67), se obtiene:

3CE CC Cv V R i (4.72)

Que permite calcular la corriente de colector en corte y saturación:

0

10 0,29,8

1

C

S

C

C

i

i mA

(4.73)

Ejemplo 4.11.

Se tiene la siguiente red con dos transistores, los cuales se dicen que están conectados como

un espejo de corrientes:

vo

vi -0,77 -1,16

VCEsat

VCC



Figura 4.26. Espejo de corriente.

Se obtiene la siguiente red equivalente, asumiendo modo de operación lineal:

Figura 4.27. Red equivalente de la Figura 4.26.

Por LVK, resulta que:

.21 BEBE VV (4.74)

Considerando la característica no lineal base-emisor del transistor:

Figura 4.28. Característica exponencial en la base.

Si los transistores son iguales, puede concluirse que:

21

BB II (4.75)

Aplicando LCK, se obtienen:

T2

Vcc

R

T1

iB

vBE

Vcc

R

hfe IB1 hfe IB2

I1 I2

IB1 IB2 0,7

0,7



, 1 21 1 2 2 2

( ) ( 2)fe B B B fe B fe BI h I I I h I I h I

(4.76)

Con 2feh , se obtiene de (4.76) que:

12 II (4.77)

Razón por la cual se denomina espejo de corriente a la red de la Figura 4.26.

Aplicando LVK, se logra:

R

VVI BECC

1

(4.78)



Problemas resueltos

Problema 4.1

Para la red de la Figura P4.1, emplear la identificación para las variables según el diagrama

de la derecha, de tal forma que el producto de las variables asociadas a un elemento, sea la

potencia que ingresa a esa componente.

Figura P4.1

a) Determinar las ecuaciones de interconexión, aplicando el método mixto.

b) Introducir las ecuaciones de equilibrio, aplicando el método de las variables de estado.

c) Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Solución.

a) Para árbol = {1, 2, 3} se expresan los voltajes de cuerdas en función de los voltajes de

ramas; y las corrientes de ramas en función de las corrientes de cuerdas:

(1), (2), (3) (4), (5), (6)

De estas seis ecuaciones, no consideramos las dos que permiten determinar el voltaje en la

fuente de corriente (2) y la que determina la corriente a través de la fuente de tensión (4).

b) Ecuaciones de equilibrio:

Ecuaciones de restricción:

Voltajes de cuerdas en función corrientes de cuerdas:

Corrientes de ramas en función de voltajes de ramas:

, ,v4 v1 v2 v5 v2 v3 v6 v1 v2 v3

, ,i1 i4 i6 i2 i4 i5 i6 i3 i5 i6

,v1 e i5 k i4

v4 R4 i4 v6 D L i6

2

4

3

1

5

6

E R4

R3 k i4

C

L



Reemplazando estas ecuaciones en (1), (3), (5), (6), resultan respectivamente:

4 4 2

6 2 3

2 4 4 6

34 6

3

R i e v

DLi e v v

DCv i ki i

vki i

R

c) Eliminando las variables i4 y v3, de la primera y cuarta ecuaciones anteriores, se obtienen:

24

4

( 2 )3 3( 4 6) 3( 6)

4

v ei

R

k v ev R ki i R i

R

Y reemplazando éstas en la segunda y tercera ecuación, para dejar en función de v2 e i6, se

obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:

2 (1 ) (1 )2 6

4 4

6 3 33 6 ( 1) 2 ( 1)

4 4

dv k kC v i e

dt R R

di R k R kL R i v e

dt R R

Problema 4.2

Determinar el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que describe la conducta

dinámica de la red.

i2 D C v2 i3v3

R3



Figura P4.2

Expresar el resultado según el método de las variables de estado, especificando el valor de

los elementos de las matrices A, B y C.

Solución.

Se definen adicionalmente las variables 4v e 6i .

Se escoge el árbol formado por la fuente de tensión, el condensador y la fuente controlada

por corriente. Quedan como cuerdas los inductores acoplados y la resistencia.

Ecuaciones LCK: 4 1 3 2 1 6 2 1, ,i i i i i i i i i i

Ecuaciones LVK: 5 4 3 2 3 6 1 3 6 4, ,v v v v v v v v v v


3 3 1 1 1 2 2 2 2 1, ,i CDv v L Di MDi v L Di MDi

5 4 6, ,v Ri v e i ki

Reemplazando, las ecuaciones de equilibrio en LCK, resultan:

4 1 3 2 1 2 1, ,i i i CDv i i i ki i i

Reemplazando, las ecuaciones de equilibrio en LVK, resultan:

B A C

D

e

R

M

i1 L1

C L2

i

i4 i2 i3

k i

v3 v2

v1

v5 v6

v4

i6

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

tv

3

ti1

ti2

b11

b12

b13

b21

b22

b23

b31

b32

b33

v3

i1

i2

c1

c2

c3



3 2 2 1 3 6 1 1 2 3 6, ,Ri e v L Di MDi v v L Di MDi v v e

Seis ecuaciones en 6 incógnitas: 4 6 3 1 2, , , , ,i i v v i i

Deben eliminarse 4 6, ,i i v para lograr tres ecuaciones en las incógnitas 3 1 2, ,v i i .

Eliminando las variables i y 6v , resultan:

2 14 1 3 1 2

( ) 1, ( )(1 )

i ii i CDv i i

k k

1 23 1 2 2 2 1

( ),

R i ie v L Di MDi L Di MDi e

k

Resultando 4 ecuaciones en las incógnitas 4 3 1 2, , ,i v i i ; las últimas tres ecuaciones permiten

plantear la solución pedida, ya que sólo dependen de 3 1 2, ,v i i :

Solución en Maple:

> restart;

>ecequilibrio:={i3=C*s*v3,v2=L2*s*i2-M*s*i1,

v1=-L1*s*i1+M*s*i2,v5=R*i,v4=e,i6=k*i};

datos:={C=1, R=1, L1=1, L2=1, M=.9, k=10}: Planteamos LCK independientes en los ccf, dejando la corriente de rama en función de las

corrientes de cuerdas.

> lck:={i4=-i-i1, i3=i-i2+i1, i6=-i2+i1};

Planteamos (e-v +1) ecuaciones LVK en cf, dejando los voltajes de cuerda en función de los

voltajes de ramas.

> lvk:={v5=v4-v3, v2=v3-v6, v1=v3-v6-v4};

Substituímos las ecuaciones de equilibrio en los dos conjuntos anteriores.

> ec1:=subs(ecequilibrio, lck);

> ec2:=subs(ecequilibrio, lvk);

> ecs:=ec1 union ec2:

Eliminando las variables i, i4 y v6, resultan:

> sol:=eliminate(ecs, {i, i4, v6});

Donde el último conjunto son las ecuaciones pedidas.

C 0 0

0 0 0

0 L1 M L2 M

tv

3

ti1

ti2

0k 1

k

k 1

k

1R

k

R

k

0 0 0

v3

i1

i2

0

e

e



Problema 4.3

Para la red identificar las variables, nodos y mallas como se indica en la Figura P4.3 a la

derecha. Las corrientes en los elementos apuntan en la dirección donde se encuentra la polaridad

negativa del voltaje.

Figura P4.3

Si escoge un árbol, debe indicar su elección e individualizar las ramas y las cuerdas.

a) Obtener un sistema consistente de ecuaciones en las variables: i1, i2 e

i4.

b) Determinar v5, v6 e i3, en función de: i1, i2 e i4.

Solución.


1 1 1 2 1 3 4 4 4 4 5 2 6, , , , ,v R i v ki v gv v R i i hi i j (1)

LVK en mallas:

6 1 2

3 2 4

5 1 3

v v v

v v v

v v v

(2)

LCK en nodos:

1 5 6

2 6 4

4 3 5

i i i

i i i

i i i

(3)

C A B

D

i4 i2 i6

i3 i1

i5

m1

m2 m3

hi2

gv4

j R4

ki1

C A B

D

R1



La estrategia consiste en eliminar mediante las ecuaciones de equilibrio a las variables: v1,

v2, v3, v4, i5 e i6, en (2) y (3).

(1) en (2):

6 1 1 1v R i ki (4.1)

4 4 1 4 4gR i ki R i (4.2)

5 1 1 4 4v R i gR i (4.3)

(1) en (3):

1 2i hi j (5.1)

2 4i j i (5.2)

4 3 2i i hi (5.3)

(5.1) (5.2) (4.2) forman el sistema pedido:

1

2

4 4 4

1 0

0 1 1

0 0

h i j

i j

k R gR i

(a)

(4.1) (4.3) (5.3) representan a v5, v6 e i3, en función de: i1, i2 e i4.

6 1 1

5 1 4 2

3 4

0 0

0

0 1

v R k i

v R gR i

i h i

(b)

La solución de (a):

Problema 4.4

Determinar las ecuaciones de estado para red de la Figura P4.3.

Las polaridades deben definirse tal que el voltaje por la corriente sea la potencia que ingresa a la

componente.

i1j R4 ( )1 h h g g

R4 g R4 k h

i2j ( )R4 g R4 k

R4 g R4 k h

i4j k ( )1 h

R4 g R4 k h



Figura P4.3

Solución.

Árbol = {1,4, 6}

LVK en cuerda inductiva + Ec. Eq Inductancia y fuente de tensión:

24 ( )

diL v e t

dt

(1)

LCK en rama capacitiva +Ec eq. Condensador y fuente de corriente:

13

dvC j i

dt

(2)

Se requiere expresar v4 e i3 en función de las variables de estado. Para lo cual disponemos de

las siguientes ecuaciones:

LVK en cuerda resistiva:

3 1 4 v v v e (3)

LCK en rama resistiva:

4 3 2i j i i (4)

Ec. Eq. Resistencias:

3 3 3 4 4 4 v R i v R i (5)

Empleando (5) en (3) y (4), para eliminar v3 e i4, se obtienen:

3 3 1 4 R i v v e

43 2

4

vj i i

R

(6)

Resolviendo el sistema (6) para i3 y v4:

R3 e(t) j(t) L

C R4

i1

v2

i4

i3 i6 i2 i5



1 4 23

3 4

4 1 3 24

3 4

( )

( ( ))

v e R j ii

R R

R v e R i jv

R R

(7)

Reemplazando (7) en (1) y (2):

1 1 4 2 4

3 4 3 4 3 4

3 4 2 4 4 32 4 1

3 4 3 4 3 4

dv v R i e R jC j

dt R R R R R R

R R i R e R R jdi R vL e

dt R R R R R R

(8)

Finalmente, expresando en forma matricial:

1

4 31

3 4 3 3 422 3 4 3 4

-1 R -1 RC 0 1 1

-1 -R R R R R0 L

dv

v edt

idi jR R R R

dt

(9)



Ejercicios propuestos

Ejercicio 4.1.

Para la red de la Figura E4.1:

Figura E4.1

Determinar un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden en las variables: i1, v2

y v3.

Ejercicio 4.2.

Para la red de la Figura E4.2:

Figura E4.2

Determinar ecuación diferencial para v(t).

Ejercicio 4.3.

Para la red de la Figura E4.3 obtener las ecuaciones de la red mediante los métodos de:

mallas, nodal, conjuntos de corte fundamentales y circuitos fundamentales. Comparar cómo se

tratan los tipos de fuentes dependiendo del método.

B

A C

D

e R

L1

C3 i4

v3

i1

v2

C2

E

j

B

A C

D

e

C3 v R2

E

j R1



Figura E4.3

C A B

D

R1

R2

R3

e4 e6 j5

i4 i5 i6

i2 i3

i1

v4 v6

v2



Índice general

CAPÍTULO 4 .......................................................................................................................... 1

MÉTODOS GENERALES DE ............................................................................................. 1

ANÁLISIS DE REDES .......................................................................................................... 1

4.1. MÉTODO NODAL ............................................................................................................ 2 Ejemplo 4.1. ..................................................................................................................... 3 Bases algorítmicas de los programas que analizan redes eléctricas ............................... 5

4.2. MÉTODO DE MALLAS ..................................................................................................... 7 Ejemplo 4.2. ..................................................................................................................... 8

4.3. MÉTODO DE LOS CONJUNTOS DE CORTE FUNDAMENTALES ........................................ 10 Ejemplo 4.3. ................................................................................................................... 11

4.4. MÉTODO DE LOS CIRCUITOS FUNDAMENTALES .......................................................... 13 Ejemplo 4.4. ................................................................................................................... 14

4.5. MÉTODO MIXTO ........................................................................................................... 16 Ejemplo 4.5. ................................................................................................................... 18 Ejemplo 4.6. ................................................................................................................... 20 Ejemplo 4.7. ................................................................................................................... 22

4.6. MÉTODO DE VARIABLES DE ESTADO .......................................................................... 24 Ejemplo 4.8. ................................................................................................................... 25

4.7. REDES DE TRANSISTORES ............................................................................................ 27 4.7.1. Modelos de redes .................................................................................................. 27

Modo lineal.............................................................................................................................................. 27 Modo transistor en corte .......................................................................................................................... 28 Modo transistor en saturación .................................................................................................................. 29

4.7.2. Ejemplos ............................................................................................................... 30 Ejemplo 4.9. ............................................................................................................................................ 30 Ejemplo 4.10. .......................................................................................................................................... 32 Ejemplo 4.11. .......................................................................................................................................... 34

PROBLEMAS RESUELTOS .................................................................................................... 37 Problema 4.1 .................................................................................................................. 37 Problema 4.2 .................................................................................................................. 38 Problema 4.3 .................................................................................................................. 41 Problema 4.4 .................................................................................................................. 42

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 45 Ejercicio 4.1. .................................................................................................................. 45 Ejercicio 4.2. .................................................................................................................. 45 Ejercicio 4.3. .................................................................................................................. 45

ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 47



Índice de figuras.

Figura 4.1. Método nodal. ............................................................................................................ 3 Figura 4.2. Identificación de voltajes de nodos. ........................................................................... 4 Figura 4.3. Método de mallas. ...................................................................................................... 9 Figura 4.4. Identificación de corrientes de mallas. ....................................................................... 9 Figura 4.5. Método de conjuntos de corte. ................................................................................. 12 Figura 4.6. Identificación de voltajes en ramas. ......................................................................... 12 Figura 4.7. Método de los circuitos fundamentales. ................................................................... 15 Figura 4.8. Corrientes de cuerdas i1, i2, i3. .................................................................................. 15 Figura 4.9. Método mixto. .......................................................................................................... 18 Figura 4.10. Variables independientes. ...................................................................................... 19 Figura 4.11. Método de variables de estado. .............................................................................. 25 Figura 4.12. Identificación de variables de estado. .................................................................... 25 Figura 4.13. Símbolo para un transistor. .................................................................................... 27 Figura 4.14. Curvas en modo lineal. ........................................................................................... 28 Figura 4.15. Modelo de redes en modo lineal. ........................................................................... 28 Figura 4.16. Modelo de redes en modo corte. ............................................................................ 28 Figura 4.17. Curvas en modo saturado. ...................................................................................... 29 Figura 4.18. Modelo en modo saturado. ..................................................................................... 29 Figura 4.19. Umbral saturación. ................................................................................................. 29 Figura 4.20. Transistor en modo lineal. ...................................................................................... 30 Figura 4.21. Red equivalente de la Figura 4.20. ......................................................................... 30 Figura 4.22. Transistor saturado. ................................................................................................ 31 Figura 4.23. Red con transistor. .................................................................................................. 32 Figura 4.24. Red equivalente de Figura 4.23. ............................................................................. 33 Figura 4.25. Característica de transferencia. .............................................................................. 34 Figura 4.26. Espejo de corriente. ................................................................................................ 35 Figura 4.27. Red equivalente de la Figura 4.26. ......................................................................... 35 Figura 4.28. Característica exponencial en la base. .................................................................... 35 Figura P4.1 .................................................................................................................................. 37 Figura P4.2 .................................................................................................................................. 39 Figura P4.3 .................................................................................................................................. 41 Figura P4.3 .................................................................................................................................. 43 Figura E4.1 .................................................................................................................................. 45 Figura E4.2 .................................................................................................................................. 45 Figura E4.3 .................................................................................................................................. 46

métodos generales de análisis de redes -...

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