redes equivalentes -...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 5

REDES EQUIVALENTES

En variadas situaciones no interesa conocer todos los valores de los voltajes y corrientes de

una red, sino sólo un pequeño conjunto de ellos.

Pueden lograrse simplificaciones importantes, en el cálculo de una parte de la solución de la

red, empleando redes equivalentes.

Sean tres redes R1, R2 y R, conectadas de la forma en que se indica en la Figura 5.1.

Figura 5.1. R2 es equivalente a R1 respecto de R.

Denominamos solución de R, a los valores de las corrientes y voltajes de las componentes

dentro de R.

R1 es equivalente a R2 si la solución de R no cambia, si está conectada a R1 o a R2.

R no puede darse cuenta si tiene conectada la red R1 o la red R2.

Si sólo se desea obtener la solución en R cuando está conectada a R1; un método efectivo

consiste en determinar una red R2, equivalente a R1 y tal que los cálculos para determinar la

solución en R sean más simples.

5.1. Característica terminal de una sub-red

Si para una subred se plantean las ecuaciones de interconexión y las de equilibrio, en función

de las variables internas y de las terminales v e i; se puede lograr una relación entre v e i,

eliminando las variables internas.

A esa relación se la denomina característica terminal o de punto motriz. Y es equivalente a

definir la subred por su ecuación de equilibrio.

R1 R

v

i

R2 R

v

i

2 Teoría de Redes Eléctricas


Figura 5.2. Relación terminal.

Se dice que una característica terminal es controlada por voltaje si la corriente terminal

puede describirse por una función del voltaje:

( )i f v (5.1)

Figura 5.3. Característica controlada por voltaje.

Para cada valor de v, existe sólo uno de i.

Se dice que una característica terminal es controlada por corriente si el voltaje terminal

puede describirse por una función de la corriente:

( )v f i (5.2)

Figura 5.4. Característica controlada por corriente.

Una característica no controlada por voltaje ni por corriente queda descrita por una relación

entre v e i:

( , ) 0f v i (5.3)

Subred R

v

i

v

i

v

i

Capítulo 5. Redes equivalentes 3


Figura 5.5. Relación entre v e i.

5.2. Valores en terminales

En la Figura 5.6 si sólo se desea calcular v e i en los terminales, pueden determinarse las

características terminales de R1 y R2.

Resultan:

1 1

2 2

( , ) 0 para R

( , ) 0 para R

f v i

f v i

(5.4)

Figura 5.6. Intersección de características.

Resolviendo el sistema de dos ecuaciones (5.4) pueden calcularse los valores en los

terminales: v e i.

La solución anterior puede visualizarse gráficamente:

Figura 5.7. Solución gráfica.

v

i

R1

v

i R2

v

i f1

f2 is

vs



Donde: vs e is son los valores terminales, o solución del sistema, ya que satisfacen

simultáneamente el sistema descrito en (5.4).

Este método gráfico es muy útil si una de las sub-redes es no lineal y si se conoce su

característica terminal en forma gráfica.

En sistemas reales la solución es única.

Ejemplo 5.1.

Un caso frecuente de subred es un generador real de tensión. Veremos algunas propiedades

de su característica terminal.

Determinar característica terminal de la red RG:

Figura 5.8. Recta de generación.

Se tiene, aplicando LVK y las ecuaciones de equilibrio de las componentes internas, que la

relación terminal es:

RG: v e Ri (5.5)

La función ( )i f v , en (5.5), se representa en forma gráfica en la Figura 5.9.

Figura 5.9. Parámetros de la recta.

La gráfica se dibuja en cierto instante. Si e es constante, la gráfica es válida para todo t.

v

i

e/R

e

e

v

i

R

RG



Si e cambia, con R constante, la recta se desplaza paralelamente.

Si R cambia, con e constante, la recta rota, manteniendo fija la intersección con el eje v.

La recta resultante podría denominarse recta de generación.

Ejemplo 5.2.

Determinar la solución en los terminales.

Figura 5.10. Generador y carga.

Para la sub-red RC, a la derecha de los terminales:

RC : Cv R i (5.6)

Para el generador real, a la izquierda de los terminales:

RG : v e Ri (5.7)

La solución gráfica del sistema descrito por (5.6) y (5.7) puede visualizarse en la Figura

5.11.

Figura 5.11. Recta de carga.

La gráfica de RC es una recta, comúnmente denominada de carga. Es la carga del generador

real; si RC disminuye aumenta la corriente que debe suministrar el generador.

v

i

e/R

e

1

1/RC

vs

is

e

v

i

R

RC

RC

RG



En la intersección de la recta de generación con la recta de carga, se encuentra la solución

del voltaje y la corriente, en los terminales de la red.

5.3. Tipos de redes equivalentes

5.3.1. Equivalencia por igual característica terminal

En el esquema presentado en la Figura 5.1, si puede encontrarse una red R2 que tenga

estructura interconectada interna diferente a R1, pero con igual característica terminal que R1, se

dice que R1 y R2 son equivalentes por tener igual característica terminal.

5.3.2. Equivalencia por iguales valores terminales

Si la característica de R es controlada por voltaje, la red R1, de la Figura 5.1, puede

substituirse por una fuente de voltaje que tenga igual valor que el voltaje terminal. En este

caso, la red equivalente es una fuente de tensión.

Figura 5.12. Substitución por fuente de voltaje.

La solución en R no cambia, al substituir la sub-red R1 por una fuente de voltaje.

Si la característica de R es controlada por corriente, la red R1, de la Figura 5.1, puede

ser substituida por una fuente de corriente que tenga igual valor que la corriente terminal. Esto

se ilustra en la Figura 5.13.

Figura 5.13. Substitución por fuente de corriente.

a

b

v

i

v(t)

R

a

b

v

i

i(t)

R



Casos particulares son la substitución por un cortocircuito, si se conoce que el voltaje

terminal es cero; y la substitución por un circuito abierto si se conoce que la corriente terminal

es cero.

5.4. Conexiones

Veremos algunas equivalencias que dependen de cómo estén conectadas las componentes

entre sí. Existen definiciones para algunas conexiones típicas, que estudiaremos a continuación.

5.4.1. Conexión serie

Dos componentes están en serie si son atravesadas por la misma corriente. Las componentes

tienen un y sólo un terminal común; y en ese terminal común no hay más componentes

conectadas. Se dice que C1 y C2 están en serie. Como se aprecia en la Figura 5.14, en A no hay

otras componentes conectadas.

Figura 5.14. Conexión serie.

5.4.2. Conexión paralelo

Dos componentes están en paralelo si tienen ambos terminales comunes; es decir, tienen

igual voltaje entre terminales. En la Figura 5.15, se dice que C1 y C2 están en paralelo.

Figura 5.15. Conexión paralelo.

C1 C2 A

i i

C1 C2 v v



5.5. Conmutatividad

5.5.1. Conmutatividad serie

Dos componentes en serie pueden conmutarse, sin cambiar la característica terminal del

conjunto.

Se tiene, para las componentes C1 y C2 de la Figura 5.16:

1 2( ) ( ) ( )v i v i v i (5.8)

Figura 5.16. Conmutatividad serie a.

La relación (5.8), que es una ecuación LVK, puede escribirse:

2 1( ) ( ) ( )v i v i v i (5.9)

Que puede interpretarse gráficamente como se ilustra en la Figura 5.17.

Figura 5.17. Conmutatividad serie b.

Las redes de las Figuras 5.16 y 5.17 son equivalentes respecto a la red R, por tener iguales

características terminales.

C1 C2 A

i i

v1 v2

v

R

C2 C1 A

i i

v2 v1

v

R



5.5.2. Conmutatividad paralelo

Dos componentes en paralelo pueden conmutarse, sin cambiar la característica terminal del

conjunto.

Se tiene para las componentes C1 y C2 de la Figura 5.18, la siguiente relación terminal:

1 2( ) ( ) ( )i v i v i v (5.10)

Figura 5.18. Conmutatividad paralelo a.

La relación (5.10), que es una ecuación LCK, también puede escribirse según:

2 1( ) ( ) ( )i v i v i v (5.11)

La que puede interpretarse según la Figura 5.19.

Figura 5.19. Conmutatividad paralelo b.



5.6. Bilateralidad

Una componente cuya característica terminal sea simétrica respecto del origen puede

conectarse al revés, intercambiando terminales, sin cambiar su característica terminal.

Si para la componente C, en la Figura 5.20, se tiene:

C1 C2 v v

i i1 i2

R

C2 C1 v v

i i2 i1

R



( , ) 0f v i (5.12)

Figura 5.20. Bilateralidad a.

Si la relación (5.12) es simétrica respecto del origen, se tendrá:

( , ) ( , )f v i f v i (5.13)

Debido a (5.13) puede plantearse la conexión de la componente C, como se indica en la

Figura 5.21.

Figura 5.21. Bilateralidad b.



5.7. Redundancia

5.7.1. Redundancia serie

En la Figura 5.22 se muestra una componente C, en serie con una fuente de corriente.

Para la red de la Figura 5.22, se tiene:

( )i j t (5.14)

v

i

C R

v

i

C R



Figura 5.22. Redundancia serie a.

Para la red de la Figura 5.23, también se cumple la relación (5.14); pero debe notarse que los

valores de la variable v, en las Figuras 5.22 y 5.23 son diferentes.

Figura 5.23. Redundancia serie b.

Se dice que la componente C, como se muestra en la Figura 5.22, es redundante en serie; y

puede sacarse, como se ilustra en la Figura 5.23.


valores de la corriente terminal.

La componente C no puede ser una fuente de corriente diferente a j. Si lo fuera la estructura

no sería red, ya que no se cumpliría LCK.

5.7.2. Redundancia paralelo

Una componente C en paralelo con una fuente de tensión, como se muestra en la Figura 5.24,

es redundante en paralelo, y puede sacarse, como se ilustra en la Figura 5.25, conservando los

valores terminales del voltaje.

Para las redes de las Figuras 5.24 y 5.25, se cumple que el valor terminal del voltaje es:

( )v e t (5.15)

a

b

v

i

j(t)

C

R

a

b

v

i

j(t) R



Figura 5.24. Redundancia paralelo a.

Figura 5.25. Redundancia paralelo b.

Es evidente que la energía que suministra la fuente e, es diferente en ambas situaciones;

también la corriente i, es diferente. Lo que no cambia es la solución al interior de la red R.


valores del voltaje terminal.

La componente C no puede ser una fuente de tensión diferente de e, en este caso no es red;

ya que no se cumple LVK.

Debe notarse que si la corriente en C es el elemento de control de una fuente controlada, no

es redundante y no puede sacarse; ya que altera la solución en la sub-red R conectada.

5.8. Contracción de cortocircuitos

Si en una sub-red existe un cortocircuito, éste puede contraerse manteniendo la característica

terminal de la sub-red. Se ilustra un cortocircuito entre los nodos A y B, de la Figura 5.26.

a

b

v

i

e(t) C

+

R

a

b

v

i

e(t)

+

R



Figura 5.26. Contracción de cortocircuito.

En las ecuaciones internas de R1, vc aparece en ecuaciones LVK, en circuitos que contengan

al elemento AB; estas ecuaciones no cambian si se reemplaza vc por cero.

En R1, hay dos ecuaciones LCK, que contienen a ic; las asociadas a los nodos A y B.

Nótese que vA y vB con respecto a una referencia común, son iguales, debido a LVK.

Si se elimina el cortocircuito, por contracción, queda sólo una ecuación LCK, asociada al

nodo fusionado A y B.

Entonces ambos sistemas de ecuaciones permiten derivar igual relación para las variables

terminales v e i.

La sub-red con el cortocircuito contraído, tiene una ecuación LCK menos que la red original;

pero también tiene una variable corriente menos que la red original; y las ecuaciones LVK son

las mismas.

5.9. Duplicación de nodo

Nótese que cualquier nodo puede “partirse” en dos, conectados por un cortocircuito.

El nodo b, de la Figura 5.27 izquierda, se ha duplicado en b y b’, en la Figura 5.27 derecha.

Según se vió en 5.8, el cortocircuito entre b y b’, en la Figura 5.27 a la derecha, puede

contraerse, originando la Figura 5.27 izquierda.

Figura 5.27. Duplicación de nodo.

R1 R

v

i

iC A B

vC

v

i

C

b

R

v

i C

b

b’

R



Puede decirse que el nodo b puede partirse en los nodos b y b’ conectados por un

cortocircuito.

Las redes originan iguales ecuaciones LCK y LVK, y de equilibrio. La red de la derecha

aporta una ecuación de equilibrio adicional, y las dos variables asociadas al cortocircuito.

Ambas redes son equivalentes, con respecto a R, por tener iguales características terminales.

Esta equivalencia es muy usada para darle una característica reticular a los diagramas de

redes eléctricas.

5.10. Apertura de elementos

Si en una sub-red se conoce que la corriente es cero en un elemento, éste puede reemplazarse

por un circuito abierto, o sacarse, manteniendo la característica terminal de la sub-red.

Figura 5.28. Substitución por circuito abierto.

En las ecuaciones internas de R1, ia interviene en las LCK en los nodos A y B; y éstas no

cambian al reemplazar ia por cero.

En redes planas, existen dos mallas que contienen al elemento AB. Por lo tanto, existen dos

ecuaciones LVK que contienen el voltaje del elemento.

Al sacar el elemento, la nueva red contiene una ecuación LVK menos. Y esa ecuación es la

que resulta de eliminar el voltaje del elemento en las dos ecuaciones anteriormente

mencionadas. Lo cual muestra que ambos sistemas de ecuaciones permiten derivar igual

relación para las variables terminales v e i.

Un caso particular de los teoremas anteriores, vistos en 5.8 y 5.9, es el que se produce:

Cuando se conoce que el voltaje de un elemento es cero, y puede deducirse por su ecuación de

equilibrio, que la corriente también es cero. Por ejemplo, esto sucede si el elemento es una

resistencia.

Se produce una situación similar, cuando se conoce que la corriente es cero, y por la

ecuación de equilibrio se deduce que el voltaje es cero.

R1 R

v

i

ia A B

va



En ambos casos se tendrá que el elemento es un oport. Y puede ser considerado circuito

abierto o cortocircuito según convenga. Es decir, el elemento se puede “sacar” o bien

reemplazar por un cortocircuito; el que a su vez puede “contraerse”.

5.11. Movilidad de fuentes de tensión

Consideramos la red que se ilustra en la Figura 5.29.

Entre A y B hay un circuito abierto. Si 1 2e e , se tiene que el voltaje entre A y B es cero, y

puede aplicarse el teorema de substitución por un cortocircuito.

Figura 5.29. Movilidad de fuentes de tensión a.

Conectando un cortocircuito, entre A y B, tendremos:

0Ci , 0Cv

Esto puede verse en la Figura 5.30.

Figura 5.30. Movilidad de fuentes de tensión b.

Contrayendo el cortocircuito y aplicando redundancia paralela, se logra:

i1

R A

e2

i2

B

e1

i1

R A

e

i2

B

e

iC

vC



Figura 5.31. Movilidad de fuentes de tensión c.

Si en un nodo hay conectada una fuente de tensión, como se muestra en la Figura 5.31, ésta

puede “moverse” hacia todas las componentes conectadas al nodo. Se mueve la fuente a través

de A y B, hacia los elementos, originando la Figura 5.29, con 1 2e e .

El generador ideal, de la Figura 5.31, queda como varios generadores reales, en la Figura

5.29; es decir, cada generador de tensión queda con una componente en serie.

5.12. Movilidad de fuentes de corriente

Consideremos la red, de la Figura 5.32.

Figura 5.32. Movilidad de fuentes de corriente a.

Entre A y B hay un cortocircuito.

Si 1 2j j , se tiene, por LCK, que la corriente en el cortocircuito es cero.

Si el oport entre A y B es reemplazado por un circuito abierto, y se aplica redundancia serie

de fuentes de corriente, se logra, la Figura 5.33.

i1

R A i2

e

B

A

v1

R

A

j2 v2

B

j1



Figura 5.33. Movilidad de fuentes de corriente b.

En la Figura 5.33, la fuente que mueve corriente de A hacia C, puede ser reemplazada por

una fuente que lleva corriente de A hacia B y otra que lleva de B hacia C, como se ilustra en la

Figura 5.32.

Nótese que el cortocircuito entre A y B del primer diagrama puede contraerse.

Esta equivalencia permite transformar un generador ideal de corriente en generadores reales;

es decir, cada generador de corriente con una componente en paralelo, tal como se ilustra en la

Figura 5.32.

5.12. Redes equivalentes de componentes de igual tipo

5.12.1. Dos resistencias en serie

Para la conexión serie de dos resistencias, que se muestra en la Figura 5.34, puede obtenerse

una resistencia equivalente, aplicando las ecuaciones a la sub-red izquierda, y luego eliminando

las variables internas de ésta.

Figura 5.34. Resistencias en serie.

Aplicando LVK:

1 2v v v (5.16)

v1

R

j

v2

B

C

A

v

i

R1

Red

R2

v1

v2



Empleando las ecuaciones de equilibrio de las resistencias en (5.16), se eliminan v1 y v2, se

obtiene:

1 1 2 2v R i R i (5.17)

Aplicando LCK, se tiene:

1 2i i i (5.18)

Eliminando las corrientes internas, se obtiene:

1 2( )v R R i (5.19)

Para la red de la Figura 5.35, se tiene la siguiente relación entre variables terminales:

v Ri (5.20)

Figura 5.35. Resistencia serie equivalente.

Comparando las relaciones (5.19) y (5.29) se tiene que las redes de las Figuras 5.34 y 5.35

son equivalentes, por tener igual característica terminal, si se cumple que:

21 RRR (5.21)

La combinación serie de dos resistencias es equivalente a una resistencia R, con el valor

dado por la relación (5.21).

5.12.2. Dos resistencias en paralelo

Para la conexión en paralelo de dos resistencias, que se muestra en la Figura 5.36, puede

obtenerse una resistencia equivalente, aplicando las ecuaciones a la sub-red, y luego eliminando

las variables internas de ésta.

v

i

R

Red



Figura 5.36. Resistencias en paralelo.

Se tienen por LVK y las ecuaciones de equilibrio:

1 1

2 2

v R i

v R i

(5.22)

Aplicando LCK:

1 2i i i (5.23)

Reemplazando, las corrientes en (5.23) mediante las ecuaciones de equilibrio de (5.22), se

obtiene:

1 2

v vi

R R

(5.24)

Resulta, factorizando:

1 2

1 1i v

R R

(5.25)

Para la red de la Figura 5.37, se obtiene la relación (5.20).

Figura 5.37. Resistencia paralelo equivalente.

Comparando (5.20) con (5.25) se tiene que las redes de las Figuras 5.36 y 5.37 son

equivalentes por tener la misma característica terminal, si se cumple que:

v

i

R2

Red

R1

i1 i2

v

i

R

Red



1 2

1 1 1

R R R

(5.26)

Despejando R, de la relación (5.26), se obtiene:

21

21·

RR

RRR

(5.27)

Para recordar la fórmula en (5.27), nótese que el producto de las resistencias debe ir en el

numerador; para mantener la dimensión física de la resistencia equivalente. La relación (5.27)

suele anotarse: 1 2

R R R .

Interpretación gráfica: Si se colocan, como ordenadas, los valores de R1 y R2 separados en

cierta cantidad en el eje de abcisas; y se unen los extremos, se forman dos triángulos, según

muestra la Figura 5.38.

Figura 5.38. Resistencia en paralelo.

Por semejanza de triángulos, o bien calculando las tangentes de y se logra:

12 ; Rx x R

tg tga a b b a b

(5.28)

A partir de estas expresiones, puede obtenerse:

2 1

; x a x b

R a b R a b

(5.29)

Sumando las relaciones en (5.29) se obtiene:

2 1

1x x

R R

(5.30)

R2

x

R1

a b



Despejando x, en (5.30), se obtiene:

1 2

1 2

R Rx

R R

(5.31)

Volviendo a la Figura 5.38, se tiene que el valor de la resistencia equivalente está

representado por x.

Se observa que la resistencia de la combinación paralela es menor que R1 y R2.

5.12.3. Cálculos aproximados

Para el caso serie, si R1 10R2 se tendrá R R1.

Para el caso paralelo, si R1 10R2 se tendrá R R2.

Se define el error relativo como:

( ) - ( .)100%

( )

valor exacto valor aproxe

valor exacto

(5.32)

En el caso serie, el error relativo en porcentaje es:

1 1 1

1

( /10)100% 9,09% 10%

1,1

R R Re

R

(5.33)

En el caso paralelo, el error relativo es:

2 2

2

(10 /11)100% 10%

(10 /11)

R Re

R

(5.34)

Entonces, si se emplean componentes cuya tolerancia de fabricación es del 10%, la forma de

aproximar mostrada mantiene los cálculos dentro de la tolerancia.

5.12.4. Componentes dinámicas en paralelo o serie

Puede comprobarse que las inductancias en serie y en paralelo tienen expresiones similares a

las obtenidas para las resistencias.

En el caso de condensadores en serie se aplica la estructura de la fórmula para sumar

resistencias en paralelo; para el caso de condensadores en paralelo, se usa la estructura de la

fórmula para sumar resistencias en serie.

Calcularemos el condensador equivalente de dos conectados en paralelo, que se ilustra la

Figura 5.39.



Figura 5.39. Condensadores en paralelo.

De las ecuaciones de equilibrio, se tienen:

1 1

1 2

dvi C

dt

dvi C

dt

(5.35)

Aplicando LCK, y reemplazando las ecuaciones de equilibrio, se obtiene:

1 2 1 2( )dv

i i i C Cdt

(5.36)

Si se compara (5.36) con la ecuación de equilibrio de un condensador, se obtiene el valor del

condensador equivalente a la conexión paralelo:

1 2C C C (5.37)

5.12.5. Fuentes de tensión en serie

La Figura 5.40 ilustra la conexión serie de dos fuentes ideales de tensión:

Figura 5.40. Fuentes de tensión en serie.

v

i

C2

Red

C1

i1 i2

R

e1

e2

i



Aplicando LVK, puede reemplazarse la combinación serie por una fuente de tensión

equivalente con valor:

1 2e e e (5.38)

Si las fuentes ideales de tensión están en paralelo, sólo pueden ser iguales; ya que debe

cumplirse LVK.

5.12.6. Fuentes de corriente en paralelo

La Figura 5.41 ilustra la conexión paralelo de dos fuentes ideales de corriente:

Figura 5.41. Fuentes de corriente en paralelo.

Aplicando LCK, pueden reemplazarse la combinación paralelo por una fuente de corriente

independiente ideal de valor:

1 2j j j (5.39)

Si las fuentes están en serie, sólo pueden ser iguales; ya que debe cumplirse LCK.

5.12.7. Dos fuentes reales en paralelo

La Figura 5.42 muestra dos fuentes independientes de tensión, cada una con una resistencia

en serie. Se desea encontrar una red equivalente con un solo generador, como se ilustra en la

Figura 5.43.

Figura 5.42. Dos fuentes en paralelo.

j1 v j2

j

R

e1

i1

e2

i2

v

i

R1

R2



Para la Figura 5.42 se tienen las siguientes ecuaciones LVK, en las cuales se han

reemplazado las ecuaciones de equilibrio:

1 1 1

2 2 2

v e R i

v e R i

(5.40)

Además se tiene, por LCK, que:

1 2i i i (5.41)

Eliminando mediante (5.40) las corrientes internas i1 e i2, se obtiene:

1 2

1 2

e v e vi

R R

(5.42)

Despejando v, en (5.42) se obtiene:

2 1 1 2 1 2

1 2 1 2

R e R e R Rv i

R R R R

(5.43)

Para la red de la Figura 5.43, se tiene la siguiente característica terminal.

v e Ri (5.44)

Figura 5.43. Fuente equivalente.

Comparando los coeficientes de (5.43) y (5.44), las redes de las Figuras 5.42 y 5.43 son

equivalentes por tener iguales características terminales, si se cumple que:

2 1 1 2

1 2

1 2

1 2

R e R ee

R R

R RR

R R

(5.45)

R

i

e v

R



Resultado que se conoce como Teorema de Millman.

El teorema se puede extender a más de dos generadores reales conectados en paralelo. Por

ejemplo, para tres generadores en paralelo, se tiene:

31 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 1

ee e

R R Re

R R R

R R R R

(5.46)

5.12.8. Resistores en serie

La Figura 5.42 muestra dos resistores en serie. Se asumen conocidas las características

gráficas de cada componente.

Figura 5.44. Resistores en serie.

Los resistores de la Figura 5.44 son equivalentes al resistor R de la Figura 5.45.

Figura 5.45. Resistor equivalente.

Interesa determinar la característica gráfica del resistor R.

El procedimiento gráfico para componer las características no lineales de los resistores,

consiste en disponer las gráficas como se ilustra en la Figura 5.46. La característica de R se

logra punto a punto.

v1

R

v2

R1

R2

i

R v

R

i



Figura 5.46. Procedimiento gráfico. Suma serie.

Para igual corriente, se suman las abscisas individuales, aplicando LVK.

Ejemplo:

Figura 5.47. Diodo y resistencia serie.

Nótese que para valores negativos de i, el diodo es un circuito abierto.

Figura 5.48. Suma LVK gráfica.

5.12.9. Resistores en paralelo

Para componer, en forma gráfica, características de componentes en paralelo, se procede

según:

i

v2

i

v1

i

v

i

v2

i

v1

i

v

R1 v1

R

v2

i



Figura 5.49. Resistores en paralelo.

Figura 5.50. Procedimiento gráfico. Suma paralelo.

Para igual voltaje, se suman las ordenadas, según LCK.

Ejemplo:

Figura 5.51. Diodo y resistencia paralela.

v

i

Red i1 i2

v

i

D

Red

R

i1 i2

i2

v

i1

v

i

v

a

b

a+b



Figura 5.52. Suma LCK gráfica.

Nótese que para voltajes mayores que cero, el diodo puede reemplazarse por un

cortocircuito. Y al sumar en paralelo una resistencia cero con otra de valor cualquiera, queda el

cortocircuito.

5.13. Redes equivalentes estrella y triángulo

Para la conexión estrella, que se muestra en la Figura 5.53, pueden encontrarse las

resistencias de una conexión equivalente triángulo, que se muestra en la Figura 5.54, tal que se

mantengan las características terminales de ambas configuraciones.

También pueden determinarse los valores de las resistencias de la conexión estrella que sea

equivalente, por tener iguales características terminales, a la conexión triángulo.

El cálculo de las equivalencias demanda gran trabajo algebraico. Está basado en plantear las

ecuaciones de la red en término de las variables terminales, para ambas redes, y luego se

determinan las equivalencias comparando los coeficientes.

Es decir, deben lograrse las relaciones terminales (5.47) para las redes de las Figuras 5.53 y

5.54.

i2

v

i1

v

i

v



1 1

2 2

3 3

( , )

( , )

( , )

a b

a b

a b

i f v v

i f v v

i f v v

(5.47)

Figura 5.53. Conexión estrella.

Figura 5.54. Conexión triángulo.

Las resistencias del triángulo en función de las resistencias de la estrella, resultan:

1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 11 2 3

3 1 2

, , R R R R R R R R R R R R R R R R R R

r r rR R R

(5.48)

Las resistencias de la estrella en función de las resistencias del triángulo, resultan:

i1

i2

i3

r1

r2

r3

va

vb

V1

V2

V3

I1

1

I2

1

I3

1

i1

i2

i3

R1

R2 R3

va

vb

v1

v2 v3



1 3 2 31 21 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

, , r r r rr r

R R Rr r r r r r r r r

(5.49)

Si las tres resistencias de la estrella son iguales a R, la relación (5.48) se simplifica a:

3Yr R (5.50)

Si las tres resistencias del triángulo son iguales a r, la relación (5.49) se simplifica a:

3

YrR (5.51)



Problemas resueltos

Problema 5.1

Para la red de la Figura P5.1, determinar la red equivalente más simple, respecto de la red R.

Se tienen R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3, k = 4, m = 1/2

Figura P5.1.

Solución.

Definiendo la corriente i2, se plantean las ecuaciones:

No es necesaria plantear la ecuación LVK en la malla central, ésta está implícita si se define

v1 como el voltaje en la fuente dependiente de corriente.

Eliminando: i2, ia, v1 resulta:

Evaluando con los datos dados, se obtiene:

La red más simple es una resistencia de valor 2, se muestra en la Figura P5.2.

Figura P5.2.

, , ,v R3 i v1 i2 k ia ia i 0 m v1 R1 i2 v1 v1 R2 ia

vi ( )R3 R2 m R2 R3 R1 R2 R1 k R3 R1 R3

m R2 R1 k R1 R2

v 2 i

v

R i

R3

R2

R1

ia

mv1

+

kia v1

i2

v

R i

2



Problema 5.2.


Figura P5.3.

Solución.

Si se cumple la condición de puente equilibrado:

1 5 2 4R R R R

a) La corriente que circula en la resistencia R3 es cero; si se reemplaza por un circuito abierto

la resistencia equivalente será:

1 4 2 5( ) || ( )R R R R R

b) La corriente que circula en la resistencia R3 es cero; por lo tanto el voltaje en la resistencia

será cero; si se reemplaza por un corto circuito la resistencia equivalente será:

1 2 4 5( || ) ( || )R R R R R

Si no se cumple la condición de equilibrio del puente existen diversas alternativas para

reducir el puente:

c) El triángulo ABC se reemplaza por una estrella.

v R

A

B

R3

R5 R4

R2 R1

i

C

D



Figura P5.4.

La resistencia equivalente puede calcularse en la Figura P5.4 según:

2 1 4 3 5( ) || ( )R r r R r R

Donde:

1 31

1 2 3

1 22

1 2 3

2 33

1 2 3

R Rr

R R R

R Rr

R R R

R Rr

R R R

d) La estrella cuyo nodo central es B, puede reemplazarse por un triángulo, como se muestra

en la Figura P5.5; esto elimina el nodo B.

Figura P5.5.

La resistencia equivalente puede calcularse en la Figura P5.5 según:

v R

A

B

r3 r1

r2

R5 R4

i

C

D

v R

A

r1

r3

r2

R5

R2

i

C

D



2 1 2 3 5|| (( || ) ( || ))R r r R r R

Donde:

1 3 3 4 4 11

4

1 3 3 4 4 12

3

1 3 3 4 4 13

1

R R R R R Rr

R

R R R R R Rr

R

R R R R R Rr

R

Problema 5.3.


Figura P5.6.

Solución.

Definiendo variables en las componentes, según se muestra en la Figura P5.7.

Figura P5.7.

Se pueden escribir cinco ecuaciones de equilibrio:

1 1 1 2 2 2

3 4 1 5

,

, ,

v R i v R i

v mv i ki v e

v R

i R1

mv +

ki1 R2 +

e

i1

v R

i R1

mv

+ ki1

R2

+ e

i1

v5

i3 i4 i5

v4 v2

i2

v3

v1



Tres ecuaciones LCK:

5 1 3 1 2 4, , i i i i i i i

Tres ecuaciones LVK:

5 1 3 2 4, , v v v v v v v

Si en las once ecuaciones anteriores se eliminan las diez variables internas: v1, v2, v3, v4, v5,

i1, i2, i3, i4 e i5, se obtiene:

1 2 2

1 2 1 2

R R R kev i

R kmR R kmR

Definiendo:

1 2

1 2

2

1 2

e

e

R RR

R kmR

R keE

R kmR

La red equivalente puede representarse según la Figura P5.8

Figura P5.8.

v R

i

Re +

Ee



Ejercicios propuestos

Ejercicio 5.1.

Para la red de la Figura E5.1, calcular la corriente i:

Figura E5.1.

a) Mediante transformación estrella-triángulo.

b) Aplicando red equivalente entre B y C, vista por la resistencia de 4 ohms.

c) Aplicando movilidad de fuentes de corriente.

Indicar los teoremas que se aplican, y volver a dibujar la red después de aplicarlos.

Ejercicio 5.2.

Para la red de la Figura E5.2:

Figura E5.2.

Aplicar teoremas de equivalencia para:

a) Calcular las corriente i1 e i2.

b) Determinar la red equivalente vista por la resistencia de 5 ohms, entre los vértices C y E.

5

2

10

2 3

4

D C

B A

i

5

2

F

2 +

4

E

C B

A i1

3

5

4

D

G H

7

3

5

i2



c) Determinar la red equivalente vista por la resistencia de 4 ohms, entre los vértices G y B.

Ejercicio 5.3.

En la red de la Figura E5.3, calcular la corriente de B a C, y el voltaje entre B y D.

Figura E5.3.

Ejercicio 5.4.

En la red de la Figura E5.4, calcular la corriente i, y el voltaje entre B y C.

Figura E5.4.

Ejercicio 5.5.

a) Para la red de la Figura E5.5 determinar la red equivalente más simple vista por la fuente

de tensión e.

b) Para la red de la Figura E5.5 determinar la red equivalente más simple vista por la

resistencia Rc.

i

R3 R4

R2 R1

C

A

e B

+

D

i

R3 R4

R2 R1

C

A

j

e B

+

D



Figura E5.5.

Ejercicio 5.6.


de tensión e.


resistencia Rc.

Figura E5.6.

Ejercicio 5.7.


de tensión e.


resistencia Rc.

e

R1 kvBD

R2

+

D C

B A

+

RC

e

R1

kiAB

R2

+

D

R3 A

RC

C B



Figura E5.7.

e

R1

kiCB R2 +

D

R3 A

RC

C B

+

E



Índice general

CAPÍTULO 5 ........................................................................................................................... 1

REDES EQUIVALENTES ...................................................................................................... 1

5.1. CARACTERÍSTICA TERMINAL DE UNA SUB-RED ............................................................ 1 5.2. VALORES EN TERMINALES ............................................................................................ 3

Ejemplo 5.1. ...................................................................................................................... 4 Ejemplo 5.2. ...................................................................................................................... 5

5.3. TIPOS DE REDES EQUIVALENTES ................................................................................... 6 5.3.1. Equivalencia por igual característica terminal...................................................... 6 5.3.2. Equivalencia por iguales valores terminales ......................................................... 6

5.4. CONEXIONES ................................................................................................................. 7 5.4.1. Conexión serie ........................................................................................................ 7 5.4.2. Conexión paralelo ................................................................................................. 7

5.5. CONMUTATIVIDAD ........................................................................................................ 8 5.5.1. Conmutatividad serie ............................................................................................. 8 5.5.2. Conmutatividad paralelo ........................................................................................ 9

5.6. BILATERALIDAD............................................................................................................ 9 5.7. REDUNDANCIA ............................................................................................................ 10

5.7.1. Redundancia serie ................................................................................................ 10 5.7.2. Redundancia paralelo .......................................................................................... 11

5.8. CONTRACCIÓN DE CORTOCIRCUITOS .......................................................................... 12 5.9. DUPLICACIÓN DE NODO .............................................................................................. 13 5.10. APERTURA DE ELEMENTOS ....................................................................................... 14 5.11. MOVILIDAD DE FUENTES DE TENSIÓN ....................................................................... 15 5.12. MOVILIDAD DE FUENTES DE CORRIENTE .................................................................. 16 5.12. REDES EQUIVALENTES DE COMPONENTES DE IGUAL TIPO ........................................ 17

5.12.1. Dos resistencias en serie ................................................................................... 17 5.12.2. Dos resistencias en paralelo ............................................................................. 18 5.12.3. Cálculos aproximados ........................................................................................ 21 5.12.4. Componentes dinámicas en paralelo o serie ...................................................... 21 5.12.5. Fuentes de tensión en serie................................................................................. 22 5.12.6. Fuentes de corriente en paralelo ........................................................................ 23 5.12.7. Dos fuentes reales en paralelo ........................................................................... 23 5.12.8. Resistores en serie .............................................................................................. 25 5.12.9. Resistores en paralelo ........................................................................................ 26

5.13. REDES EQUIVALENTES ESTRELLA Y TRIÁNGULO ....................................................... 28 PROBLEMAS RESUELTOS ..................................................................................................... 31

Problema 5.1 .................................................................................................................. 31 Problema 5.2. ................................................................................................................. 32 Problema 5.3. ................................................................................................................. 34

EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 36 Ejercicio 5.1. .................................................................................................................. 36 Ejercicio 5.2. .................................................................................................................. 36 Ejercicio 5.3. .................................................................................................................. 37



Ejercicio 5.4. .................................................................................................................. 37 Ejercicio 5.5. .................................................................................................................. 37 Ejercicio 5.6. .................................................................................................................. 38 Ejercicio 5.7. .................................................................................................................. 38

ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................ 40

Índice de figuras.

Figura 5.1. R2 es equivalente a R1 respecto de R. ........................................................................ 1 Figura 5.2. Relación terminal. ...................................................................................................... 2 Figura 5.3. Característica controlada por voltaje. ......................................................................... 2 Figura 5.4. Característica controlada por corriente. ..................................................................... 2 Figura 5.5. Relación entre v e i. ................................................................................................... 3 Figura 5.6. Intersección de características. ................................................................................... 3 Figura 5.7. Solución gráfica. ........................................................................................................ 3 Figura 5.8. Recta de generación. .................................................................................................. 4 Figura 5.9. Parámetros de la recta. ............................................................................................... 4 Figura 5.10. Generador y carga. ................................................................................................... 5 Figura 5.11. Recta de carga. ......................................................................................................... 5 Figura 5.12. Substitución por fuente de voltaje. ........................................................................... 6 Figura 5.13. Substitución por fuente de corriente. ....................................................................... 6 Figura 5.14. Conexión serie. ........................................................................................................ 7 Figura 5.15. Conexión paralelo. ................................................................................................... 7 Figura 5.16. Conmutatividad serie a. ........................................................................................... 8 Figura 5.17. Conmutatividad serie b. ........................................................................................... 8 Figura 5.18. Conmutatividad paralelo a. ...................................................................................... 9 Figura 5.19. Conmutatividad paralelo b. ...................................................................................... 9 Figura 5.20. Bilateralidad a. ....................................................................................................... 10 Figura 5.21. Bilateralidad b. ....................................................................................................... 10 Figura 5.22. Redundancia serie a. .............................................................................................. 11 Figura 5.23. Redundancia serie b. .............................................................................................. 11 Figura 5.24. Redundancia paralelo a. ......................................................................................... 12 Figura 5.25. Redundancia paralelo b. ......................................................................................... 12 Figura 5.26. Contracción de cortocircuito. ................................................................................. 13 Figura 5.27. Duplicación de nodo. ............................................................................................. 13 Figura 5.28. Substitución por circuito abierto. ........................................................................... 14 Figura 5.29. Movilidad de fuentes de tensión a. ......................................................................... 15 Figura 5.30. Movilidad de fuentes de tensión b. ........................................................................ 15 Figura 5.31. Movilidad de fuentes de tensión c. ......................................................................... 16 Figura 5.32. Movilidad de fuentes de corriente a. ...................................................................... 16 Figura 5.33. Movilidad de fuentes de corriente b. ...................................................................... 17 Figura 5.34. Resistencias en serie. ............................................................................................. 17 Figura 5.35. Resistencia serie equivalente. ................................................................................ 18 Figura 5.36. Resistencias en paralelo. ........................................................................................ 19



Figura 5.37. Resistencia paralelo equivalente. ........................................................................... 19 Figura 5.38. Resistencia en paralelo. .......................................................................................... 20 Figura 5.39. Condensadores en paralelo. .................................................................................... 22 Figura 5.40. Fuentes de tensión en serie. .................................................................................... 22 Figura 5.41. Fuentes de corriente en paralelo. ............................................................................ 23 Figura 5.42. Dos fuentes en paralelo. ......................................................................................... 23 Figura 5.43. Fuente equivalente. ................................................................................................ 24 Figura 5.44. Resistores en serie. ................................................................................................. 25 Figura 5.45. Resistor equivalente. .............................................................................................. 25 Figura 5.46. Procedimiento gráfico. Suma serie......................................................................... 26 Figura 5.47. Diodo y resistencia serie. ....................................................................................... 26 Figura 5.48. Suma LVK gráfica. ................................................................................................ 26 Figura 5.49. Resistores en paralelo. ............................................................................................ 27 Figura 5.50. Procedimiento gráfico. Suma paralelo. ................................................................. 27 Figura 5.51. Diodo y resistencia paralela. .................................................................................. 27 Figura 5.52. Suma LCK gráfica.................................................................................................. 28 Figura 5.53. Conexión estrella. ................................................................................................... 29 Figura 5.54. Conexión triángulo. ................................................................................................ 29 Figura P5.1. ................................................................................................................................. 31 Figura P5.2. ................................................................................................................................. 31 Figura P5.3. ................................................................................................................................. 32 Figura P5.4. ................................................................................................................................. 33 Figura P5.5. ................................................................................................................................. 33 Figura P5.6. ................................................................................................................................. 34 Figura P5.7. ................................................................................................................................. 34 Figura P5.8. ................................................................................................................................. 35 Figura E5.1. ................................................................................................................................. 36 Figura E5.2. ................................................................................................................................. 36 Figura E5.3. ................................................................................................................................. 37 Figura E5.4. ................................................................................................................................. 37 Figura E5.5. ................................................................................................................................. 38 Figura E5.6. ................................................................................................................................. 38 Figura E5.7. ................................................................................................................................. 39

redes equivalentes -...

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