respuesta en frecuencia -...

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Leopoldo Silva Bijit 27-06-2008

Capítulo 9

Respuesta en frecuencia

9.1. Función de transferencia

El análisis de redes sometidas a una excitación sinusoidal en estado estacionario permite

estudiar problemas que ocurren frecuentemente en la generación, transmisión, distribución y

utilización de la energía eléctrica.

Sin embargo en estudios de ingeniería electrónica interesa conocer como una red altera la

amplitud y fase de un conjunto de señales sinusoidales de diferentes frecuencias. De esta forma

podrán conocerse las propiedades de algunas redes para enfatizar ciertos rangos de frecuencias o

de rechazar o atenuar otros.

r e Filtro

f1 f2

e(f)

f1 f2

r(f)

Figura 9.1 Múltiples frecuencias.

La Figura 9.1 ilustra una red a la cual ingresan dos señales sinusoidales de frecuencias f1 y

f2. Suponemos que la señal útil es la de frecuencia f1 y que la componente de frecuencia f2 se

ha producido, debido a no linealidades en la red que genera la señal e. Entonces la señal

indeseada puede removerse introduciendo la excitación en una red, denominada filtro en la

Figura 9.1, tal que la ganancia a frecuencia f2 sea mucho menor que la ganancia a frecuencia f1.

Si bien se ha ilustrado el cambio de amplitud, en función de la frecuencia, también interesa

el cambio de fase, en función de la frecuencia, que se produce en las señales que pasan a través

de la red.

Un cambio de fase implica cambios en el tiempo que podrían afectar la información que pasa

por el filtro.

Si todas las frecuencias que pasan por la red, son cambiadas en un ángulo de fase

proporcional a la frecuencia, la salida estará desfasada en tiempo, pero mantendrá la misma

forma de onda de la entrada. Esto considerando que no cambian las amplitudes. Se dará una

breve justificación de lo anterior en 9.9.

2 Teoría de Redes Eléctricas


Cuando la excitación de una red lineal e invariante en el tiempo es una señal sinusoidal:

( ) ( )e t sen t (9.1)

La respuesta en estado estacionario también será sinusoidal, de igual frecuencia pero tendrá

amplitud y fase diferentes:

( ) ( ) ( ( ))r t A sen t (9.2)

Si la excitación tiene magnitud unitaria y fase cero, las funciones ( )A y ( ) se

denominan respuesta en frecuencia de la red, y dependen de la frecuencia angular.

Estas funciones suelen representarse en diagramas denominados espectros, porque se

representan en función de la frecuencia angular.

Si consideramos la excitación y la respuesta como exponenciales complejas, el cuociente

entre la transformada fasorial de la respuesta y la transformada fasorial de la excitación, puede

expresarse como un cuociente de polinomios en j. Este cuociente se denomina función de

transferencia H(j).

En un caso general, se definen las funciones Ganancia A y Ángulo de fase según:

( ) ( )

180º( ) arg( ( ))

A H j

H j

(9.4)

Para poder representar grandes variaciones de la frecuencia, en un mismo diagrama, se elige

escala logarítmica para la frecuencia.

En diagramas de Bode la cantidad:

20log( ( ))A (9.3)

Se denomina Ganancia y se expresa en decibeles (dB).

Esta elección permite observar grandes cambios de la amplitud en el mismo diagrama.

La función ( ) se denomina Ángulo de fase, y la ordenada se representa en grados en los

diagramas de Bode.

Ejemplo 9.1.

Sea (9.5) la ecuación diferencial que relaciona la excitación e(t) con la respuesta r(t):

Capítulo 9. Respuesta en Frecuencia 3


22 2

2

( ) ( )2 ( ) ( )n n n

d r t dr ta r t e t

dt dt

(9.5)

Y sean las excitaciones exponenciales complejas:

( )

( )

j t

j t

e t Ee

r t Re

(9.6)

Si se reemplaza (9.6) en (9.5), se obtiene:

2 2( )( ) 2 ( )j t j t j t j t

n n nR j j e a R j e Re Ee (9.7)

Formado el cuociente R/E puede definirse la función de transferencia, según:

2

2 2( )

( ) 2 ( )

n

n n

RH j

E j a j

(9.8)

Si se efectúa el reemplazo s j , con 1j , en (9.8) se obtiene:

2

2 2( )

2

n

n n

H ss a s

(9.9)

La relación (9.9) también se logra aplicando la transformación de Laplace a la ecuación

diferencial (9.5) que relaciona la entrada con la salida. En general las funciones de

transferencias serán cuocientes de polinomios. Se dice que la función de transferencia es de

segundo orden debido a que el polinomio de mayor grado en la función (9.9) es de orden dos.

Las raíces del polinomio del denominador de (9.9):

2

1,2 ( 1) ns a a (9.10)

Si a es menor que uno, se tienen raíces complejas conjugadas, las que se ilustran en la Figura

9.2. Como cos=a, el valor de a, que se denomina amortiguamiento, define la ubicación de las

raíces. Con a=1, se tienen dos raíces reales iguales y se denomina amortiguamiento crítico. Para

amortiguamiento mayor que uno se tienen raíces reales diferentes.



n

-an

s1

s2

Figura 9.2 Ubicación de las raíces en plano complejo.

Para la función de transferencia (9.8), resultan, luego de un trabajo algebraico:

4

4 2 2 4 2 2 2( )

2 4

n

n n n

Aa

(9.11)

2 2

2180º( ) ( )n

n

aarctg

(9.12)

Para a = 0,2 y n = 1 se tiene:

Figura 9.3 Diagrama de Bode de la amplitud.

El diagrama de Bode para la Ganancia muestra que la amplitud tiene un máximo en

frecuencias angulares cercanas a n. La frecuencia para la cual se produce la máxima amplitud

se denomina frecuencia de resonancia.

Para bajas frecuencias no hay atenuación y la salida tiene igual amplitud que la entrada, ya

que el logaritmo de la unidad es cero. En altas frecuencias la amplitud de la respuesta tiende a

disminuir rápidamente.



Figura 9.4 Diagrama de Bode para el ángulo.

La Figura 9.4 muestra la variación del ángulo respecto de la frecuencia. En frecuencias

elevadas el desfase es cercano a menos 180 grados. En la frecuencia de resonancia el desfase es

de menos 90º; en bajas frecuencias es cercano a cero grados.

9.2. Decibeles, décadas, puntos de media potencia

En un eje logarítmico el intervalo entre 0.1 y 1.0 es el mismo que entre 1.0 y 10.0, ya que las

potencias de 10 se representan en el eje logarítmico como enteros.

El intervalo entre dos potencias consecutivas de 10 representadas en un eje logarítmico se

denomina década.

Así también el intervalo en el eje logarítmico entre el doble de un número y el número es una

octava. El concepto se tomó de la teoría musical, ya que las mismas notas en escalas adyacentes

difieren en una octava.

En el eje de frecuencias angulares de la gráfica anterior entre 1 y 2 se tiene una octava;

también entre 0,5 y 1. Y también entre 4 y 8.

Para una señal sinusoidal ( ) ( )s t S sen t la potencia promedio disipada en un período, en

una resistencia de 1 ohm puede calcularse según:

2 2

2 2

0 0

1( ) ( )

2

T TS S

P s d sen dT T

(9.13)

Se define el Bell como una medida comparativa entre la magnitud de dos potencias según:

10log ( )ref

PB

P

(9.14)

Si la potencia P es diez veces mayor que la potencia de referencia se tiene 1 Bell. Sin

embargo, tradicionalmente se ha usado el decibel [dB] como la unidad de medida de

comparación entre dos potencias. Se define según:



1010 log ( ) [ ]ref

PdB dB

P

(9.15)

Si la potencia P es mayor en 100 veces que la potencia de referencia, y ésta es de 1 Watt,

puede decirse que P es 20 dB. Para indicar que es una medida de potencia, y no una

comparación, se anota la unidad en dBm, que indica que son decibeles respecto a 1 mili Watt.

Si la potencia es el doble de la potencia de referencia se tiene que ésta tiene una medida de 3

dB; y si es la mitad de la referencia se mide como - 3dB.

El número anterior es una aproximación, el valor exacto es muy cercano a tres, como

muestra la relación (9.16).

10

210 log ( ) = 3,010299957 [ ]

PdB

P

(9.16)

Es tradicional caracterizar la ganancia o atenuación de la función de transferencia de una red

en decibeles.

Si las señales son sinusoidales puede expresarse el cuociente entre potencias, como cuociente

entre los cuadrados de los valores máximos, o efectivos de las señales. Esto debido a (9.13).

2

10 10210 log ( ) =20 log ( ) [ ]

ref ref

S SGanancia dB

S S

(9.17)

Entonces si la amplitud de la salida es igual a la de la entrada, la ganancia será 0 dB.

Si la amplitud de la salida es un décimo de la amplitud de entrada, la atenuación es de 20 dB,

la ganancia será - 20 dB.

Si la amplitud de la entrada es 2 refS la ganancia será de 3 dB aproximadamente; el cálculo

exacto se muestra en (9.18).

10

220 log ( ) 3,01029996 [ ]

ref

ref

SGanancia dB

S

(9.18)

También se observa en el diagrama de Bode de la Ganancia, de la Figura 9.3, que para

frecuencias mayores que n se tiene una atenuación bastante fuerte de 40 dB por década o de 12

dB por octava. Éstos son valores aproximados, los exactos se calculan a continuación en (9.19)

y (9.20); efectuando la resta de dos ordenadas separadas en una década y en una octava, en la

zona con >1.



10 1020 log ( ( 20)) 20 log ( ( 2)) -42.18043312A A (9.19)

10 1020 log ( ( 20)) 20 log ( ( 10)) -12.10141555A A (9.20)

9.3. Variaciones de la respuesta en frecuencia

Cambiando los parámetros de la función de transferencia pueden obtenerse diferentes

respuestas en frecuencia.

Para la función de transferencia (9.8), con n=4, si se varía el parámetro amortiguamiento a,

se tendrá:

A medida que disminuye a, la respuesta en frecuencia de la ganancia muestra un máximo

cada vez más pronunciado y angosto en torno a n.

Figura 9.5 Variación de amplitud con el amortiguamiento.

Figura 9.6 Variación de la fase con el amortiguamiento.

0,1 0,2

1

10

10

1 0,1



Para la función de transferencia (9.8), con a=0,1, si se varía el parámetro n, denominado

frecuencia natural, se tendrá para valores: 0,5, 1, 3 y 8:

Figura 9.7 Variación de la ganancia con n.

Figura 9.8 Variación de la fase con n.

Para la función (9.8) la frecuencia en la que se produce la máxima amplitud se obtiene

derivando A() respecto de e igualando a cero, se obtiene:

2

max 1 2n a (9.21)

Y la ordenada de ganancia máxima:

max2 2

1

2 (1 )A

a a

(9.22)

0,5 1 8 3



9.4. Filtros pasa bajos RC de primer orden

Para la red de la Figura 9.9:

Figura 9.9 Filtro pasa bajos con resistencia de carga.

Un análisis para excitación sinusoidal en estado estacionario, y considerando un divisor de

corrientes, muestra que para frecuencias altas la corriente en el condensador será mucho mayor

que en la resistencia de carga, debido a la baja impedancia del condensador; esto indica que el

voltaje debido a frecuencias altas será bajo en la resistencia de carga. Lo contrario sucede a

frecuencias bajas, en este caso el aporte a la tensión en la resistencia de carga será mayormente

el debido a las componentes de baja frecuencia.

Tradicionalmente se ha considerado que si la potencia entregada por el generador, para una

frecuencia determinada, disminuye a la mitad en la resistencia de carga, el efecto de esta

frecuencia es despreciable en el voltaje de salida. Es decir, es filtrada por la red.

Lo anterior puede expresarse diciendo que las frecuencias cuyas amplitudes disminuyen en

un 30% en la carga, relativas a las producidas por el generador son filtradas por la red. Esto

considerando que una atenuación de potencia a la mitad, implica una atenuación de la amplitud

en 1

0,70710678102 .

En un filtro pasa bajos, se denomina frecuencia de corte aquella sobre la cual las amplitudes

son atenuadas, disminuyendo la potencia que portan a la mitad o más. Las frecuencias bajo la de

corte se considera que llegan a la carga sin atenuación.

Para la red de la Figura 9.9, se obtiene mediante análisis en estado estacionario la siguiente

función de transferencia:

1

( )1 1

c

RCH j

jRC R C

(9.23)

Para la cual se obtiene, con un trabajo algebraico, la función ganancia:

R

C Vin

+ Vout

1 2

0

Rc ~



2

2 2 2 2 2( )

( )

c

c c

RA

R R R R C

(9.24)

180º( ) ( )c

c

RRarctg C

R R

(9.25)

Determinando el valor de la frecuencia para la cual la amplitud disminuye en un 30%

aproximadamente respecto a las amplitudes en bajas frecuencias, mediante:

(0)( )

2c

AA

(9.26)

Se obtiene la frecuencia de corte:

cc

c

R R

R RC

(9.27)

Si la resistencia de carga es mucho mayor que la del generador se tiene la siguiente

frecuencia de corte:

1c

RC

(9.28)

Para los siguientes valores de los parámetros: R=10 [], C=1[F] y Rc=1 [K], se obtiene

una frecuencia de corte c=101[Krd/seg], que equivale a una frecuencia de fc=158,65 [KHz].

Las Figuras 9.10 y 9.11 muestran los diagramas de Bode de (9.23).

Figura 9.10 Ganancia Filtro pasa bajos.



Figura 9.11 Ángulo Filtro pasa bajos.

Se emplean filtros pasa bajos cuando se desea remover las componentes de alta frecuencia de

una señal.

9.5. Filtros pasa bajos LR de primer orden

Para la red de la Figura 9.12:

Figura 9.12 Filtro pasa bajos LR.


voltajes, muestra que para frecuencias altas la tensión en el inductor será mucho mayor que en

la resistencia de carga, debido a la alta impedancia del inductor; esto indica que el voltaje

debido a frecuencias altas será bajo en la resistencia de carga. Mientras mayor sea la inductancia

de la bobina mejor será el filtro pasa bajos, por esta razón se suele colocar un núcleo de ferrita

en estos filtros en base a inductancias.

Este filtro LR suele emplearse para atenuar las altas frecuencias que se producen en

eliminadores de baterías basados en fuentes de conmutación “switching”. Estas fuentes eliminan

los transformadores con núcleo de fierro, logrando fuentes continuas de bajo peso.

Para la red de la Figura 9.12, se obtiene mediante análisis en estado estacionario la siguiente

función de transferencia:

L

Vin

+ Vout

1 2

0

Rc ~



( )

R

LH jR

jL

(9.29)

La ganancia resulta:

22

2

1( )

1

AL

R

(9.30)

El ángulo puede expresarse, según:

180º( ) ( )

Larctg

R

(9.31)

La determinación de la frecuencia de corte se obtiene de la siguiente ecuación:

(0)( )

2c

AA

(9.32)

c

R

L

(9.33)

Para R=1, L=1, se obtiene:

Figura 9.13 Ganancia Filtro pasa bajos LR.



9.6. Filtro pasa altos de primer orden

Figura 9.14 Filtro pasa altos.


voltajes, muestra que para frecuencias altas la tensión en el condensador será mucho menor que

en la resistencia de carga, debido a la baja impedancia del condensador; esto indica que el

voltaje debido a frecuencias altas será alto en la resistencia de carga. Por esto se dice que pasan

las altas frecuencias, y las bajas son atenuadas.

La función de transferencia, resulta:

( )1

jH j

jRC

(9.34)

Calculando la respuesta en frecuencia se obtienen:

2

2

2

( )1

( )

A

RC

(9.35)

180º( ) ( )arctg RC

(9.36)

La frecuencia de corte se calcula relativa a la disminución de la amplitud con respecto a las

altas frecuencias.

( )( )

2c

AA

(9.37)

Se obtiene:

1c

RC

(9.38)

Para R=1, C=1, se obtienen:

C Vin

+ Vout

1 2

0

R ~



Figura 9.15 Ganancia Filtro pasa altos.

Se atenúan las frecuencias inferiores a la de corte.

Figura 9.16 Ángulo Filtro pasa altos.

En bajas frecuencia el ángulo de la función de transferencia es más 90º, en la frecuencia de

corte de 45º, y en altas frecuencias es de 0º.

Se emplean para remover componentes de baja frecuencia de una señal. Por ejemplo la señal de

audio que se envía a los parlantes “tweeters” para sonidos agudos no debe contener frecuencias

bajo los 2 KHz ya que éstas pueden dañar mecánicamente al parlante.

9.7. Filtros pasa banda. Segundo orden

Las frecuencias altas y bajas son atenuadas en la salida. Existe una zona o banda de

frecuencias que disipan menos de la mitad de la potencia que portan en el filtro.

Para el filtro de la Figura 9.17, no se ha representado la resistencia de carga.

En altas frecuencias el condensador se comporta como un cortocircuito evitando que estas

frecuencias aparezcan en la resistencia de carga. En bajas frecuencias el inductor se comporta

como un cortocircuito, y se considera que estas frecuencias no llegan a la resistencia de carga.



Figura 9.17 Filtro pasa banda.

La impedancia de la combinación paralelo de la inductancia y el condensador puede

expresarse por:

( )1

( )LC

jZ j

CL

(9.39)

El denominador toma valor cero para la frecuencia:

1n

LC

(9.40)

Con lo cual la impedancia tendrá un valor infinito; y puede reemplazarse por un circuito

abierto. Se dice que esa frecuencia y sus cercanas forman la pasa banda del filtro; las

frecuencias fuera de la banda de paso que son atenuadas por el filtro, forman las bandas de

atenuación.

La función de transferencia de la Figura 9.17, resulta

2

1

1 1( ) RC

RC LC

s

H s

s s

(9.41)

Debido a que el polinomio del denominador resulta de segundo orden se dice que el filtro es

de segundo orden.

Definiendo:

2 1

1

nLC

BRC

(9.42)

L Vin

+ Vout

1 2

0

R

~ C



Reemplazando (9.42) en (9.41), se obtiene:

2 2( )

n

BsH s

s Bs

(9.43)

Comparando con la relación (9.9) se tiene que el amortiguamiento definido para polinomios

de segundo orden puede expresarse según:

2 n

Ba

(9.44)

Las frecuencias de corte se calculan relativas a la disminución de la amplitud con respecto al

centro de la pasa banda. Se obtienen de la ecuación:

( )( )

2

nc

AA

(9.45)

Existen cuatro soluciones, dos positivas y dos negativas:

2 2

2 2

1( 4 )

2

1( 4 )

2

cp n

cn n

B B

B B

(9.46)

Si las frecuencias de corte positivas se definen con subíndices h por “high” y l por “low”:

2 2

2 2

1( 4 )

2

1( 4 )

2

h n

l n

B B

B B

(9.47)

Los valores de estas frecuencias se ilustran en la Figura 9.18, para n = 1 y B = 4.

Figura 9.18 Frecuencias de corte. Pasa banda.

h l

n

B



De (9.47), resultan:

h l

h l n

B

(9.48)

B se define como el ancho de la banda de paso. La frecuencia en el centro de la pasa banda

es n, y resulta ser el medio geométrico entre h y l.

En un ambiente de filtros resulta una buena medida de la selectividad el factor de calidad Q,

definido según:

nQB

(9.49)

Para una frecuencia central dada, a mayor Q, menor ancho de banda, y la respuesta en

frecuencia tiene una forma muy aguda o angosta en torno a la frecuencia central.

Comparando con la relación (9.44) se tiene que el amortiguamiento es inversamente

proporcional a Q.

1

2a

Q

(9.50)

9.8. Elimina banda. Segundo orden

Figura 9.19 Filtro elimina banda.

Realiza la función opuesta del filtro pasa banda. En frecuencias bajas, el condensador se

comporta como circuito abierto. En frecuencias altas, el inductor se comporta como circuito

abierto. En ambos casos las señales de entrada pasan hacia la salida; las bandas se denominan de

paso.

La impedancia de la combinación serie de la inductancia y el condensador puede expresarse

por:

L Vin

+ Vout

1 2

0

R

~

C



1( ) ( )LCZ j j L

C

(9.51)

La impedancia toma valor cero para la frecuencia:

1n

LC

(9.52)

Señales con frecuencias cercanas a n, son “cortocircuitadas” por el filtro y no pasarán hacia

la resistencia de carga. Esta zona se denomina banda de eliminación.

La función de transferencia del filtro de la Figura 9.19, resulta:

2

2

1

1( ) LC

R

L LC

s

H s

s s

(9.53)

Definiendo:

2 1n

LC

RB

L

(9.54)

Reemplazando (9.54) en (9.53), se obtiene:

2 2

2 2( ) n

n

sH s

s Bs

(9.55)

Las soluciones para los puntos a -3DB de la ganancia a frecuencias altas y bajas quedan

dadas por (9.47).

Los valores de estas frecuencias se ilustran en la Figura 9.20 para n = 1 y B = 1.

Figura 9.20 Filtro elimina banda.

B

h l

n



La función ángulo se visualiza en la Figura 9.21.

Figura 9.21 Ángulo filtro elimina banda.

Se emplean para remover frecuencias no deseadas, afectando lo menos posible al resto del

contenido armónico.

9.9. Pasa todo. Desplazador de fase

Sean e(t) y r(t) la excitación y la respuesta de un filtro, formadas por la suma de dos señales

sinusoidales de frecuencias diferentes; y tales que las amplitudes de las señales no cambian al

pasar por el filtro. Sólo cambian las fases de las señales.

1 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e t Asen t Bsen t

r t Asen t Bsen t

(9.56)

Si la red produce un desfase que varía linealmente con la frecuencia, según:

( ) (9.57)

Entonces la respuesta r(t) en (9.56), puede escribirse:

1 1 2 2( ) ( ) ( )r t Asen t Bsen t (9.58)

Factorizando (9.58), se obtiene:

1 2( ) ( ( )) ( ( ))r t Asen t Bsen t (9.59)

Comparando el lado derecho de (9.59), con la excitación e(t) en (9.56), se obtiene:

( ) ( )r t e t (9.60)



Es decir, la respuesta tendrá la misma forma que la excitación, pero desfasada en el tiempo.

Si la fase no varía linealmente con la frecuencia se producirá distorsión.

La función de transferencia (9.61) es de un filtro desplazador de fase.

2 2

2 2( ) n

n

s BsH s

s Bs

(9.61)

La ganancia es constante, para todas las frecuencias.

( ) 1A (9.62)

Para el ángulo de fase se obtiene:

2 2

4 2 2 4 2 2

180º( ) ( )

2

n

n n

acrtgB

(9.63)

Desarrollando (9.63) en serie de potencias en torno a =0, se obtiene:

2 2

3

2 4

( 3 )180º 1( ) (2 )( ..)

3

n

n n

BB

(9.64)

Representando el ángulo de fase, con B=1 y n=1, se obtiene:

Figura 9.22 Ángulo filtro pasa todo.

Se ha dibujado la gráfica para la aproximación de primer orden, y luego con dos y tres

términos de la serie. El número n indica el mayor exponente de la serie. Se aprecia que este

filtro es una buena aproximación de (9.57).

n=7 n=1

n=3



9.10. Características de filtros

Lo ideal es tener cantos abruptos que separen las bandas de paso con las de atenuación. Sin

embargo puede demostrarse que esto no es posible.

Se definen algunos parámetros para caracterizar las respuestas en frecuencias que

aproximan las características ideales.

El máximo cambio de la ganancia dentro de la banda de paso es Am. La mínima atenuación

permitida en la banda de atenuación es Ae, medida relativa a la ganancia máxima en la banda de

paso. La frecuencia de corte en la pasa banda es fc, y fe es el inicio de la banda de atenuación.

Se ilustran en la Figura 9.23.

fc fe

Ae Am

Figura 9.23 Parámetros de aproximación.

En la Figura 9.24 se muestran dos tipos de curvas que cumplen los requerimientos de un

filtro. La de la derecha muestra oscilaciones de la ganancia en las bandas de paso y atenuación.

Es frecuente definir la pendiente, en DB por década, del “canto” que separa las bandas.

fc fe

Ae Am

fc fe

Ae Am

Figura 9.24 Características de aproximación.

Para lograr los requerimientos existen diversas funciones de transferencia que logran la

aproximación a la respuesta ideal. Para cumplir exigentes valores de la pendiente se requieren

polinomios de mayores órdenes; sin embargo a medida que aumenta la pendiente se obtienen

mayores oscilaciones en la respuesta en el tiempo, a un escalón unitario.

Puede demostrarse que los polinomios con coeficientes reales pueden ser descompuestos en

productos de polinomios de segundo orden, con las propiedades ya estudiadas antes, más

posiblemente un polinomio de primer orden.

2 2 2 2

0 1 1 2 2( ) ( )( )( )....n np s s a s B s s B s (9.65)



Aproximación Butterworth

Una de las aproximaciones más conocidas es la de Butterworth que logra una respuesta

máximamente plana en la banda de paso, y con 20 DB/década por cada polinomio de segundo

orden. La forma de la respuesta en frecuencia es similar a la de la Figura 9.24 izquierda.

2

1( )

1 ( ) n

c

H

(9.66)

Las raíces del denominador o polos, ya que en esos valores de s, la función toma valor

infinito, se ubican sobre un círculo, igualmente espaciadas.

n

Figura 9.25 Polos Butterworth pasa bajos.

Para n=1, se muestran los factores cuadráticos del denominador en (9.67):

2 2

1( )

( 0,7654 1)( 1,8478 1)H s

s s s s

(9.67)

En la figura 9.26 se ilustran las ganancias para tres valores de n, con pendientes de -12, -24 y

-48 DB/octava.

Figura 9.26 Ganancia Filtro Butterworth pasa bajos.

n=2

n=4

n=8



Aproximación Chebyshev

Si se desplazan las ubicaciones de los polos hacia el eje j, hasta ubicarlos sobre una elipse,

se obtiene un filtro Chebyshev, que muestra oscilaciones de la ganancia, dentro de la pasa

banda. Esta aproximación aumenta la pendiente fuera de la banda de paso, pero a costa de

oscilaciones de la ganancia.

n

Figura 9.27 Polos en Chebyshev pasa bajos.

2 2

1( )

1 (cos( arccos( ))H

n

(9.68)

Con =1, y n=4, se muestra la variación de la ganancia en la pasa banda.

Figura 9.28 Ganancia Chebyshev pasa bajos.

9. 11. Filtros activos

Si se desea tener ganancia en las bandas de paso o mayores valores de Q, se utilizan filtros

activos con amplificadores operacionales. Debido a los valores requeridos para las componentes

pasivas, sólo suelen emplearse condensadores y resistencias, ya que resulta difícil construir

inductores con los valores adecuados.

210log(1 )



Los amplificadores tienen, en la práctica su propia respuesta en frecuencia de tipo filtro pasa

bajos, y debe seleccionarse uno que pueda operar dentro de los límites en que el filtro actúa.

Dos configuraciones pasa bajos, de segundo orden, muy conocidas son el amplificador no

inversor Sallen-Key y el amplificador inversor con múltiples realimentaciones, que se muestran

en las Figuras 9.29 y 9.30.

Si se cambian los condensadores por resistencias, y las resistencias por condensadores se

obtienen filtros pasa altos.

Para la Figura 9.29 se obtiene:

2

1 2 1 2 1 1 2 1 2

( )( ) ( ( ) (1 )) 1

KH s

s R R C C C R R R C K s

(9.69)

Vin

Vout

R1 R2

+

-

C2

C1

(K-1)R R

Figura 9.29 Pasa bajos activo. Sallen-Key.

Para la Figura 9.30 se obtiene:

3

2

1 2 3 1 2 2 1 2 2 3 3 1 1

( )( ) ( )

RH s

s R R R C C C R R R R R R s R

(9.70)

Vin Vout

R1 R2

+

-

C2

C1

R3

Figura 9.30 Pasa bajos activo. Múltiples realimentaciones.



Para un pasa bajos de segundo orden, arreglando (9.9) en términos de Q, y de una ganancia

K en baja frecuencia, se obtiene:

2

2

( )1

1c c

KH s

ss

Q

(9.71)

Para efectuar diseños, se reconocen en las funciones de transferencias las fórmulas para la

frecuencia de corte, la ganancia y Q; se tienen tres ecuaciones para determinar los cinco

parámetros con los valores de las componentes. Lo cual es un sistema indeterminado, y se

requieren efectuar suposiciones para realizar el diseño.

Esto se complica adicionalmente debido a las tolerancias de fabricación de las componentes

disponibles y de los valores normales de éstas. También se dispone de menos valores normales

de condensadores para escoger.

No siempre pueden lograrse los valores iniciales de ganancia, frecuencia de corte y

selectividad.

Ejemplo 9.2.

Diseñar un filtro de segundo orden Sallen-Key, pasa bajos con K=2, fc = 1KHz y Q>0,7

Para simplificar el diseño elegimos R1=R2=R y C1=C2=C, reemplazando estos valores en

(9.69) y comparando con (9.71), obtenemos:

1 1

2 3cf Q

RC K

(9.72)

Esta elección simplifica el diseño, pero lo limita ya que Q y K resultan dependientes.

Para la frecuencia dada, se escoge el condensador y se calcula la resistencia.

Para un condensador de 10 nF resulta una resistencia de 16 KOhms. La ganancia K se fija

con una resistencia a tierra de 1 KOhm y una de 2 KOhms en la de realimentación. Q resulta

igual a 1.

Referencias

James Karki. Analysis of the Sallen-Key Architecture. Application report SLOA024A Texas

Instruments, 1999.

Kerry Lacanette. A Basic Introduction to Filters Active, Passive, and Switched-Capacitor.

National Semiconductor Application Note 779. 1991.



Ejercicios propuestos

Ejercicio 9.1.

Determinar la respuesta en frecuencia y la frecuencia de corte para la red de la Figura E9.1

Figura E9.1 Pasa Bajos pasivo segundo orden.

Ejercicio 9.2.


Figura E9.2 Pasa Bajos pasivo segundo orden.

Ejercicio 9.3.


Figura E9.3 Pasa Altos pasivo segundo orden.

Ejercicio 9.4.

a) Efectuar el siguiente cambio de variables en la función de transferencia de un filtro pasa

bajos de segundo orden:

L

Vin

+ Vout

1 2

0

R ~ C

L Vin

+ Vout

1 2

0

R ~ C

Vin

+

1

~

L

Vout

2

0

R

C



2

nss

Determinar el tipo de filtro resultante.

b) Determinar el tipo de filtro que se obtiene si se multiplica por s la función de transferencia

de un filtro pasa bajos.

c) Sumar las funciones de transferencia de un pasa bajos y un pasa altos de segundo orden.

Determinar la característica del nuevo filtro.



Índice general

CAPÍTULO 9 ........................................................................................................................... 1

RESPUESTA EN FRECUENCIA ........................................................................................... 1

9.1. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ........................................................................................ 1 Ejemplo 9.1. ...................................................................................................................... 2

9.2. DECIBELES, DÉCADAS, PUNTOS DE MEDIA POTENCIA .................................................... 5 9.3. VARIACIONES DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA ......................................................... 7 9.4. FILTROS PASA BAJOS RC DE PRIMER ORDEN ................................................................. 9 9.5. FILTROS PASA BAJOS LR DE PRIMER ORDEN ............................................................... 11 9.6. FILTRO PASA ALTOS DE PRIMER ORDEN ....................................................................... 13 9.7. FILTROS PASA BANDA. SEGUNDO ORDEN .................................................................... 14 9.8. ELIMINA BANDA. SEGUNDO ORDEN ............................................................................. 17 9.9. PASA TODO. DESPLAZADOR DE FASE ........................................................................... 19 9.10. CARACTERÍSTICAS DE FILTROS .................................................................................. 21

Aproximación Butterworth ............................................................................................. 22 Aproximación Chebyshev ............................................................................................... 23

9. 11. FILTROS ACTIVOS ...................................................................................................... 23 Ejemplo 9.2. .................................................................................................................... 25

REFERENCIAS ..................................................................................................................... 25 EJERCICIOS PROPUESTOS .................................................................................................... 26

Ejercicio 9.1. .................................................................................................................. 26 Ejercicio 9.2. .................................................................................................................. 26 Ejercicio 9.3. .................................................................................................................. 26 Ejercicio 9.4. .................................................................................................................. 26

ÍNDICE GENERAL ................................................................................................................. 28 ÍNDICE DE FIGURAS. ............................................................................................................ 28

Índice de figuras.

Figura 9.1 Múltiples frecuencias. .................................................................................................. 1 Figura 9.2 Ubicación de las raíces en plano complejo. ................................................................. 4 Figura 9.3 Diagrama de Bode de la amplitud. ............................................................................... 4 Figura 9.4 Diagrama de Bode para el ángulo. ............................................................................... 5 Figura 9.5 Variación de amplitud con el amortiguamiento. .......................................................... 7 Figura 9.6 Variación de la fase con el amortiguamiento. .............................................................. 7 Figura 9.7 Variación de la ganancia con n. ................................................................................. 8 Figura 9.8 Variación de la fase con n. ......................................................................................... 8 Figura 9.9 Filtro pasa bajos con resistencia de carga. ................................................................... 9 Figura 9.10 Ganancia Filtro pasa bajos. ...................................................................................... 10 Figura 9.11 Ángulo Filtro pasa bajos. ......................................................................................... 11 Figura 9.12 Filtro pasa bajos LR. ................................................................................................ 11 Figura 9.13 Ganancia Filtro pasa bajos LR. ................................................................................ 12



Figura 9.14 Filtro pasa altos. ....................................................................................................... 13 Figura 9.15 Ganancia Filtro pasa altos. ....................................................................................... 14 Figura 9.16 Ángulo Filtro pasa altos. .......................................................................................... 14 Figura 9.17 Filtro pasa banda. ..................................................................................................... 15 Figura 9.18 Frecuencias de corte. Pasa banda. ............................................................................ 16 Figura 9.19 Filtro elimina banda. ................................................................................................ 17 Figura 9.20 Filtro elimina banda. ................................................................................................ 18 Figura 9.21 Ángulo filtro elimina banda. .................................................................................... 19 Figura 9.22 Ángulo filtro pasa todo. ........................................................................................... 20 Figura 9.23 Parámetros de aproximación. ................................................................................... 21 Figura 9.24 Características de aproximación. ............................................................................. 21 Figura 9.25 Polos Butterworth pasa bajos. .................................................................................. 22 Figura 9.26 Ganancia Filtro Butterworth pasa bajos. .................................................................. 22 Figura 9.27 Polos en Chebyshev pasa bajos. ............................................................................... 23 Figura 9.28 Ganancia Chebyshev pasa bajos. ............................................................................. 23 Figura 9.29 Pasa bajos activo. Sallen-Key. ................................................................................. 24 Figura 9.30 Pasa bajos activo. Múltiples realimentaciones. ........................................................ 24 Figura E9.1 Pasa Bajos pasivo segundo orden. ........................................................................... 26 Figura E9.2 Pasa Bajos pasivo segundo orden. ........................................................................... 26 Figura E9.3 Pasa Altos pasivo segundo orden. ........................................................................... 26

respuesta en frecuencia -...

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