ANÁLISIS DE CIRCUITOS

TEMA III: Régimen Sinusoidal Permanente

E.T.S.I. de Telecomunicación

Miguel Silva Felpeto

(SI)

Índice General 1. Conceptos Básicos (definición, parámetros, tipo de respuesta)………….4 1.2-Respuesta Sinusoidal…………………………………………….5 2. Caracterización de elementos activos (fasores) y pasivos (impedancias) mediante números complejos……………………………….………………6 3. Inducción mutua y autoinducción………………………………………..8

4. Transformadores lineales e ideales (reflexión de impedancias)…………10

4.1-Transformador lineal……………………………………………10 4.2-Transformador ideal…………………………………………….12 4.2.1-Reflexión de impedancias en un transformador ideal…………………..14 4.3- Ejemplo 1 de Análisis en Régimen Sinusoidal……………….....15

5. Definiciones de potencia. Equivalentes Thévenin y Norton…………….16 5.1-Definiciones de Potencia…………………………………….….16 5.2-Equivalente Thèvenin y Norton…………………………………17 5.2.1-Máxima transferencia de potencia……………………………………...18 5.3.-Ejemplo 2 de Análisis en Régimen Sinusoidal…………………19 5.4.-Ejemplo 3 de Análisis en Régimen Sinusoidal…………………20

6. Respuesta en frecuencia: función de transferencia, resonadores……….22 6.1.-Ejemplo 4 de Análisis en Régimen Sinusoidal.………………...25

7. Principio de superposición………………………………………………26 7.1.-Ejemplo 5 de Análisis en Régimen Sinusoidal………………….27 .Bibliografía

1.- Conceptos básicos 1.1.-Magnitudes características de una onda sinusoidal A lo largo de este tema vamos a considerar circuitos energizados por fuentes de corriente o de voltaje variables en el tiempo. En particular, nos interesan las fuentes en las que el valor del voltaje o la corriente varía sinusoidalmente. La evolución de tensiones y corrientes con el tiempo viene dada por funciones de la forma: v(t)=Vmcos(ωt + φ) i(t)=Imcos(ωt + φ) En donde: ω Pulsación(rad/s) T Período(s) f Frecuencia(Hz) f= 1/T ω= 2πf = 2π/T φ Fase(rad) .También se puede expresar en grados, o en segundos Vm, Im .Amplitud máxima de la onda, módulo (V,A) λλλλ= c/f .Longitud de onda (m) f, T, ω, λ y c son siempre positivos. φ puede ser positiva o negativa. Im y Vm pueden ser positivos o negativos. En el segundo caso, lo que hacemos es considerar el módulo como positivo e introducimos una fase a mayores de 180º. Amcos(ωt + φ) = Amcos(ωt + φ + 180 °) En régimen permanente los valores de Am, f y φ permanecen constantes durante mucho tiempo (t >> T).

1.2.-Respuesta sinusoidal Ahora que tenemos caracterizada la excitación, la respuesta de un circuito a dicha excitación es la siguiente:

Vs(t)=Vmcos(ωt + φv) Para t > 0 se tiene

Vscos(ωt + φv) = Ri + Ldt

di Ecuación diferencial que caracteriza la evolución temporal de i

para t > 0 La solución de una ecuación diferencial como la indicada es de la forma: i(t) = - Imcos(φi)e-t/τ + Imcos(ωt + φi) respuesta= transitorio (desaparece para t > 5τ)+ permanente

Im = ,)( 22 LR

Vm

ω+ iϕ = vϕ -arctg (

R

Lω)

Observaciones: -La solución en régimen permanente es una función sinusoidal. -La frecuencia de la respuesta es idéntica a la frecuencia de la excitación. -La amplitud de la respuesta es distinta de la amplitud de la excitación. -El ángulo de fase de la respuesta es distinto del ángulo de fase de la excitación.

2.- Caracterización de elementos activos (fasores) y pasivos (impedancias) mediante números complejos Las magnitudes fundamentales se tratarán mediante fasores y los elementos pasivos mediante impedancias. El fasor es un número complejo1 que contiene la información del valor eficaz y ángulo de fase de una función sinusoidal. El fasor es de utilidad para el análisis en régimen permanente pues se asocia a una magnitud temporal. El concepto del fasor se establece en la identidad de Euler ϕϕϕ jsene j += cos .

Por tanto, cos Re ϕϕ je= y sen Im ϕϕ je=

El fasor asociado a la tensión sinusoidal sería: V=V =Vm ϕje y deshaciendo, se obtiene la expresión temporal: v(t)=Vmcos(ωt +φ) =Vm Re )( ϕω +tje

=Vm Re ϕω ee tj

=ReVm tjj ee σϕ ReVm tje ω ) Hay que remarcar que el fasor no tiene entidad real, su cometido es el de facilitar el cálculo matemático. Únicamente las expresiones temporales tienen entidad real. Las magnitudes: potencia y energía carecen de fasores asociados. Visto esto, la caracterización de los elementos pasivos en régimen sinusoidal se realiza empleando impedancias. La impedancia es el cociente entre los fasores de tensión y de corriente. Se mide en ohmios, (Ω). Como veremos, se trata de una generalización de la Ley de Ohm. V=ZI La impedancia no es un fasor, es un número complejo. Formas de la impedancia: Z[Ω] = R + jX

La parte real de la impedancia se denomina resistencia, R La parte imaginaria de la impedancia se denomina reactancia, X 1)Resistencia: Z =R 2)Bobina: Z =jωL

3)Condensador: Z = Cjω

1

La admitancia se define como la inversa de la impedancia:

Y =Z

1 La admitancia se mide en Siemens [S]

La parte real de la admitancia es la conductancia, G La parte imaginaria de la admitancia es la susceptancia, B Y [S] = G + jB Las relaciones funcionales en régimen sinusoidal son:

1 Se parte de que el lector tiene conocimiento básico de números complejos (definición, operaciones, etc) por lo

que esa parte no será tratada en este documento.

Rel.funcional Rel.funcional en expresión fasorial Rel.entre fases

Observamos que se trata de una generalización de la Ley de Ohm. En régimen sinusoidal permanente es posible agrupar elementos pasivos de distinta naturaleza (resistencias y/o bobinas y/o condensadores) una vez que cada uno de ellos ha sido caracterizado por su impedancia correspondiente. Las reglas para determinar las impedancias (admitancias) equivalentes de combinaciones de elementos pasivos, son idénticas a las estudiadas para los elementos resistivos, sustituyendo las resistencias (conductancias) por las impedancias (admitancias) complejas. Las impedancias en serie se suman: Zeq = 21 ZZ + nZ++ ....

Los elementos en paralelo están a la misma tensión:

nab ZZZZ

1...

111

21

+++=

Además, son aplicables las leyes de Kirchoff de las tensiones y las corrientes, así como divisores, circuitos equivalentes, agrupaciones de elementos, etc. En el caso de que el circuito sea lineal, se aplicará el principo de superposición De esta forma, con todo lo visto hasta ahora, en un circuito en régimen sinusoidal, bastará sustituír cada elemento por su modelo en corriente alterna y utilizar las técnicas de análisis de circuitos, generalizadas en circuitos de alterna, que permitirán hallar los parámetros (módulo y argumento) de las tensiones y corrientes desconocidas en el circuito con el fin de hallar las expresiones temporales.

3.- Inducción mutua y autoinducción La variación de la intensidad de corriente en una inductancia da lugar a un campo magnético variable. Este campo magnético origina un flujo magnético también variable que atraviesa la otra inductancia e induce en ella, de acuerdo con la ley de Faraday-Henry, una fuerza electromotriz. Cualquiera de las bobinas del par puede ser el elemento inductor y cualquiera el elemento inducido, de ahí el calificativo de mutua que recibe este fenómeno de inducción. El fenómeno de la autoinducción, como su nombre indica, consiste en una inducción de la propia corriente sobre sí misma. Una bobina aislada por la que circula una corriente variable puede considerarse atravesada por un flujo también variable debido a su propio campo magnético, lo que dará lugar a una fuerza electromotriz autoinducida. En tal caso a la corriente inicial se le añadirá un término adicional correspondiente a la inducción magnética de la bobina sobre sí misma. Todas las inductancias en circuitos en régimen sinusoidal presentan el fenómeno de la autoinducción, ya que soportan un flujo magnético variable. Caracterización de la inducción mutua:

Donde:

M : Coeficiente de inducción mutua M = + L1L2k (H) L 1: coeficiente de autoinducción de la primera bobina L 2: coeficiente de autoinducción de la segunda bobina K : Coeficiente de ACOPLAMIENTO Nota: K, toma valores comprendidos entre 0 (no existe acoplamiento: la inducción mutua es nula) y 1 (acoplamiento perfecto)

Polaridad y criterio de signos: “Si los flujos tienen el mismo sentido: la tensión propia del arrollamiento y la inducida en el mismo se suman”. “Si los flujos tienen sentidos opuestos: la tensión propia del arrollamiento y la inducida en el mismo se restan”. La anterior realidad física equivale a: 1. Si la corriente entra en una bobina por el punto homólogo, la polaridad de la tensión inducida en la otra bobina es positiva en el borne marcado con un punto. 2. Si la corriente sale de una bobina por el punto homólogo, la polaridad de la tensión inducida en la otra bobina es negativa en el borne marcado con un punto.

4.- Transformadores lineales e ideales (reflexión de impedancias) El factor de Inductancia mutua que hemos analizado, se utiliza en la práctica para transferir energía de un circuito a otro mediante un elemento electromagnético denominado transformador. Es muy posible que el transformador sea, en el campo de la electricidad aplicada, uno de los dispositivos más ampliamente utilizados. En su expresión más simple, un transformador está constituido por la bobina del primario, al cual se le aplica la energía eléctrica y un bobinado secundario, del cual se extrae la energía a consumir. Una de sus aplicaciones puede ser la de elevar o reducir el voltaje de corriente que se entrega a una carga, o bien puede ser la de eliminar la componente continua de una señal que incluye esa componente además de otras. Existen numerosos tipos de transformadores, nuestro estudio se centrará en los transformadores lineales y los transformadores ideales. 4.1.-Transformador lineal Su esquema es el siguiente:

R1 Resistencia del arrollamiento primario, o resistencia de pérdidas asociada al primario. R2 Resistencia del arrollamiento secundario, o resistencia de pérdidas asociada al secundario. X1 Reactancia del arrollamiento primario. X2 Reactancia del arrollamiento secundario. Xm Reactancia mutua (primario y secundario).

thV−

Fuente.

thZ Impedancia interna de la fuente.

Zc Impedancia de carga (se denomina también LZ ). Nota: La nomenclatura empleada en caso del dominio de la frecuencia será Mjω (reactancia

mutua), 1Lω y 2Lω (reactancia del arrollamiento primario y secundario, respectivamente).

Si obtenemos las ecuaciones de malla que describen al circuito:

−−−−++= 2111 )( IjXIjXRZV mthth

−−

+++−= 2221 )(0 IZjXRIjX cm

Sea

1111 jXRZZ th ++= ( impedancia total del primario)

cZjXRZ ++= 2222 ( impedancia total del secundario)

Resolviendo

−−

+= th

m

VXZZ

ZI

22211

221

−−−=

+= 1

222

2211

2 IZ

jXV

XZZ

jXI m

th

m

m −

−

+= th

m

VXZZ

ZI

22211

221

Impedancia vista a la entrada del transformador (desde a y b):

thmthth

ab ZZ

XZ

I

IZV

I

VZ −+=−== −

−−

−

−

22

2

11

1

1

1

1

1111 jXRZZ th ++= c

mab ZjXR

XjXRZ

++++=

22

2

11

cZjXRZ ++= 2222

abZ es independiente de la polaridad magnética del transformador.

El tercer término de la ecuación recibe el nombre de impedancia reflejada ( rZ ), debido a que es la impedancia equivalente de la bobina del secundario y la impedancia de la carga transmitida, o reflejada, al lado del primario del transformador.

Para considerar la impedancia reflejada con mayor detalle, expresamos primero la impedancia de carga en forma rectangular:

CCC jXRZ += )( 22

2

CC

mR XXjRR

XZ

+++=

( ) ( )[ ]2

22

2

222

)()( CC

cCmR XXRR

XXjRRXZ

++++−+=

( )[ ])( 222

22

2

CCm

R XXjRRZ

XZ +−+=

donde )( 2222 CC XXjRRZ +++=

y

[ ]222

2

Z

Xm es un factor de escala

La impedancia del devanado secundario se refleja en el primario afectada por un factor de escala y conjugada:

Puede demostrarse que se verifica (independientemente de las posiciones de los puntos en las bobinas) que

)(1

__

pthth ZZIV +=−

siendo Rp ZjXRZ ++= )( 11 la impedancia total en el primario(excluida la

excitación). 4.2.-Transformador ideal El transformador ideal es un dispositivo sin pérdidas, y si se lleva al límite: k = 1, L1 =∞ H = L2

Está constituido por dos bobinas cuya relación de transformación es:

1

2

n

na =

El transformador ideal se denota con dos rayas entre las bobinas, e indicando la relación de transformación. (1: a)

Funcionando en c.abierto se tiene:

,12

−−= IjXV m ,

1

11 jX

VI

−

= por tanto −−−

== 11

1

12 V

L

MV

X

XV m

y dado que 21LLM = −−−

== 11

21

1

22 V

n

nV

L

LV por tanto

Las tensiones engloban los fenómenos de autoinducción y de inducción mutua. Funcionando en cortocircuito:

2210−−

+−= IXjIjX m para k=1

1

2

1

2

21

22

2

1

N

N

L

L

LL

L

M

L

I

I ====−

−

Tenemos que se verifica que, la relación de tensiones (corrientes) es positiva (negativa) si ambas tienen la misma polaridad en los puntos, es decir, si ambas entran o salen simultáneamente por los puntos. A continuación veremos cual es el criterio de determinación de los signos:

-Si −

1V y −

2V son ambos positivos o negativos en los bornes marcados: V2 = aV1 = - aV1'

en caso contrario V2' = aV1' = - aV1

-Si −

1I e −

2I ambas entran en o salen por los bornes marcados: I1 = - aI2 = I2'

en caso contrario I1' = - aI2' = aI2

4.2.1-Reflexión de Impedancias en un transformador ideal

Zth : impedancia asociada a la excitación. Zc: impedancia de carga. Zab: impedancia reflejada (también denominada Zr).

a

VV

−−

= 21 ,

−−= 21 IaI cab Z

aI

V

aI

VZ

2

2

2

2

1

1 11 === −

−

−

−

2a se puede ajustar para que lo que dá lugar a la máxima transferencia de potencia. Se puede demostrar que se verifica (independientemente de las posiciones de los puntos en las bobinas)

)(1

__

abthth ZZIV +=−

Hay que aclarar que en el caso de estos transformadores (lineales e ideales), cuando hay una fuente (dependiente o independiente) en la parte del circuito que se quiere reflejar en la otra, o también cuando los circuitos del primario y del secundario comparten uno o más elementos, no es posible la reflexión de impedancias.

4.3.-Ejemplo 1 de Análisis en Régimen Sinusoidal Este ejercicio engloba todos los conceptos vistos hasta ahora en sólo un circuito (expresiones temporales, inducción mutua, transformadores…), por ello es de interés exponerlo:

El circuito de la figura, en cuya representación se ha utilizado notación fasorial, funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular ω.

1 Escribir un sistema algebraico de cinco ecuaciones que permita obtener 2−I ,

−

3I ,−

4I ,−

SV y −

4V

a partir de los elementos del circuito.

Utilizando los valores GV−

= - 1 + j V, SI−

= 1 A, ω = 100 krad/s, RS = 1 Ω, RG = 1 Ω, R4 = 1 Ω, SL = 20 µH, GL = 20 µH, M = 10 µH, GC = 5 µF,

4C = 10 µF y a = 2, 2 Obtener la expresión temporal de la potencia en la fuente de tensión.

1 Por mallas:

(1)

Por las propiedades del transformador ideal:

2 Sustituyendo los datos del enunciado, a partir de (1) obtenemos

y reflejando impedancias en el transformador ideal se obtiene

5.- Definiciones de potencia. Equivalentes Thèvenin y Norton 5.1.-Definiciones de Potencia En régimen sinusoidal, podemos hablar de siete tipos de potencias diferentes cuyos cálculos son los siguientes:

________________________________________________________________

Potencia instantánea ReRe)()()( jwtjwt eIeVtitvtp−−

== (potencia real) [W] Potencia aparente

[VA, voltio-amperio] jQPIV

S +==2

*

Potencia compleja

[VA, voltio-amperio] jQPIV

S +==2

*

Potencia media [W] ReSP = Potencia reactiva [VAR, voltio-amperio reactivo] ImSQ =

Potencia media en una impedancia resistiva pura Z=R 22

22RI

R

VP ==

Potencia reactiva en una impedancia reactiva pura Z=jX 22

22XI

X

VQ ==

Recordamos que no existe fasor de la potencia en ningún caso y que P, S y Q no son fasores. Y además, todos los cálculos de potencia vistos, irán precedidos de un signo negativo en el caso de que la corriente entre por el polo negativo de la impedancia. 5.2.-Equivalente Thèvenin y Norton Se sabe que, dado un circuito, su comportamiento hacia el exterior desde la perspectiva de dos cualesquiera de sus terminales puede ser caracterizado indistintamente mediante su circuito equivalente de Thèvenin o su circuito equivalente de Norton. Un circuito tiene tantos equivalentes (de Thèvenin o Norton) distintos como pares distintos de terminales se elijan en él.

El equivalente queda completamente definido cuando conocemos dos de las tres magnitudes que se citan seguidamente:

thV Generador equivalente de Thèvenin. Es igual a la tensión entre a y b cuando están en

circuito abierto.

NI Generador equivalente de Norton. Es igual a la corriente que circula desde a hacia b cuando ambos están en cortocircuito.

thZ Impedancia equivalente de Thèvenin.

Así: N

thth I

VZ =

Existen otras dos posibilidades para obtener la impedancia equivalente de Thèvenin. El procedimiento a seguir consiste en: -El circuito contiene fuentes dependientes Se desactivan las fuentes independientes2 Se aplica un generador auxiliar Vaux entre a y b (positivo en a). Se calcula la corriente Iaux que proporciona tal generador(saliente por a).

aux

auxth I

VZ =

- El circuito no contiene fuentes dependientes Se desactivan las fuentes independientes. Se calcula la impedancia total entre a y b ( abZ )

thab ZZ =

5.2.1-Máxima transferencia de Potencia En el apartado 4.2.1 visto anteriormente, se dió una pequeña pista acerca de la posibilidad de conseguir la máxima transferencia de potencia en un circuito. Pues bien, supongamos un circuito caracterizado por su equivalente Thèvenin al que se le conecta una carga (LZ ).

Para *thC ZZ = thL RR = , thL XX −= se sabe que la potencia media en la carga es la

máxima posible, y vale:

C

th

C

CthC

CthCth

thL R

V

R

RVR

XXRR

VPP

2

2

2

22

2

max 4

1

4)()(==

+++==

2 Para desactivar las fuentes independientes: si se trata de una fuente de corriente se sustituye por un circuito

abierto y si se trata de una fuente de tensión, por un cortocircuito.

5.3.-Ejemplo 2 de Análisis en Régimen Sinusoidal En este ejemplo, volvemos a considerar el circuito del ejemplo anterior puesto que es posible continuar sacándole partido.

En esta ocasión se pide calcular el equivalente de Thèvenin entre los puntos x e y. ¿Qué impedancia hay que colocar entre esos dos puntos para que en ella se disipe la máxima potencia media posible?

-Cuando x e y están en circuito abierto la situación es la de la figura. En consecuencia, utilizando los valores del ejemplo anterior

Desactivando las fuentes (la de corriente se sustituye por un circuito abierto y la de tensión por un cortocircuito) y reflejando impedancias en el primario del transformador lineal se obtiene

La impedancia a colocar entre x e y para obtener la máxima potencia media es

Obsérvese que el cálculo de la corriente de cortocircuito entre x e y no es sencillo, ya que hay corriente tanto en el cortocircuito como en SL . La segunda es necesaria para compensar la

caída de tensión que se produce en dicha inductancia a causa de la inducción mutua entre SL

y GL .

5.4.-Ejemplo 3 de Análisis en Régimen Sinusoidal

El circuito de la figura, en cuya representación se ha utilizado notación fasorial, funciona en régimen sinusoidal permanente a una frecuencia angular ω. 1 Formular un sistema algebraico de siete ecuaciones a partir del cual sea posible obtener los

valores de GI−

, 1

−I , 2

−I , 3

−I , 1V , 2V , y CV .

Utilizando los valores GV = 1 V, ω = 1 Mrad/s, a = 0.5, b = - 0.25, R = 1 Ω, M = 0 H,

GL = 4 µH, 2L = 1 µH, 3L = 1 µH, GC = 0.25 µF, 2C = 1 µF, y 3C = 1 µF,

2 Obtener la potencia instantánea en la fuente dependiente. 3 Obtener el equivalente de Thèvenin entre x e y.

1

Ecuaciones de malla Ecuación de fuente dependiente y ecuaciones del transformador ideal

2

Reflejando impedancias en los transformadores,

3 La tensión de circuito abierto se calcula con el circuito en las condiciones del apartado anterior. En consecuencia,

Para calcular la corriente de cortocircuito, se sustituye 2C por dicho cortocircuito.

Reflejando impedancias en los transformadores,

6.- Respuesta en frecuencia Se llama respuesta en frecuencia al estudio del comportamiento de un circuito eléctrico frente a las distintas frecuencias a las que es sometido. En función de la excitación, así será la respuesta del circuito. Es decir, la excitación se caracteriza por amplitud y fase constantes y frecuencia variable. Por ello, la salida depende de los elementos del circuito, así como de la amplitud y fase de la excitación y, por supuesto, de la frecuencia (la dependencia del comportamiento de un circuito de la frecuencia de la excitación se denomina comportamiento tipo filtro y es una de las bases de la tecnología de telecomunicaciones). Por esta última razón, se podría decir que se trata del apartado más importante dentro del tema de régimen sinusoidal. Los elementos del circuito suelen ser resistencias y elementos reactivos, según su configuración, se denominan resonadores (serie o paralelo). La respuesta en frecuencia de los resonadores viene dada por la función de transferencia ( )(ωT ) que se define como el cociente entre el fasor de salida del circuito y el fasor de entrada.

Resonador paralelo

ω 0 rad/s )(ωT jωL≈ j0 Ω

ω ∞ rad/s )(ωT Cjω

1≈-j0 Ω ω intermedia )(ωT no nula

Resonador serie

ω 0 rad/s )(ωT jωRC≈ j0

ω ∞ rad/s )(ωT Lj

R

ω≈-j0 Ω ω intermedia )(ωT no nula

CjLjR

ZI

VT eq

G ωω

ω

++===

1110

)(

RLjCj

RZ

V

VT eq

G ++===

ωω

ω 10

)(

Como ya explicamos, la variación de la respuesta (salida) de un circuito con la frecuencia de la excitación se debe a la variación de la impedancia en los elementos reactivos. Para unos valores dados de L y C ω 0 rad/s ∞ rad/s

Z=Cjω

1 -j∞Ω -j0 Ω

(circuito abierto, fase de - 90 º) (cortocircuito, fase de – 90º) Z=jωL j0Ω -j∞ Ω (cortocircuito, fase de 90 º) (circuito abierto, fase de 90 º) Para un valor dado de ω

L,C 0(H,F) ∞(H,F)

Z=Cjω

1 -j∞Ω -j0Ω

(cortocircuito, fase de -90 º) (cortocircuito, fase de – 90º) Z=jωL j0Ω j∞ Ω (cortocircuito, fase de 90 º) (circuito abierto, fase de 90 º) Existen dos agrupaciones simples de elementos reactivos, LC-serie y LC-paralelo

En ambas, no tiene sentido hablar de fases, ni de signos.

En ambas: LC

1=ω

En LC-serie : Ω= 0eqZ cortocircuito

En LC-paralelo: Ω∞=eqZ circuito abierto

Además de todo esto, la respuesta en frecuencia se caracteriza matemáticamente por una serie de parámetros que es preciso conocer. Algunos de ellos son: Frecuencia central Cω )(max)( ωω TT C =

Factor de calidad BW

Q Cω=

Ancho de banda 12 ωω −=BW

Frecuencia de resonancia (0ω ) La impedancia que ve la excitación es puramente resistiva (se cancelan los efectos inductivos y capacitivos)

Cωω =0

En resonadores ideales, la frecuencia de resonancia está determinada por los elementos reactivos, y el factor de calidad, por la resistencia. Cuanto mayor es el factor de calidad, más aguda es la curva del módulo de la respuesta en frecuencia.

6.1.-Ejemplo 4 de Análisis en Régimen Sinusoidal Este problema recoge las cuestiones más comunes que aparecen a la hora de abordar la respuesta en frecuencia en circuitos

En el circuito de la figura son datos los valores de R, L, y C. Sabiendo que vg(t) =GV cos(ωt),

y siendo GV dato (real),

1 Hallar el valor de la impedancia (Zg) que ve la fuente independiente para un valor de ω dado. 2 Hallar los valores a los que tienden el módulo y la fase de la tensión en la capacidad marcada con una flecha cuando ω tiende a 0 rad/s y cuando ω tiende a ∞ rad/s. 3 Hay dos frecuencias angulares (finitas, positivas y no nulas) para las que la impedancia que ve la fuente es puramente resistiva. Obtener una de ellas, a la que llamaremos 0ω . ¿Cuánto

vale Zg cuando ω toma este valor? 1 Dado que el circuito funciona en régimen sinusoidal permanente, utilizamos la

nomenclatura mostrada en la figura adjunta, con GV = VG.

Agrupando impedancias se tiene:

2 Utilizando la nomenclatura del apartado anterior se tiene:

3 Para hallar el valor pedido efectuamos el siguiente razonamiento:

7.- Principio de Superposición La respuesta de un circuito lineal en régimen permanente a varias fuentes independientes que actúan simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas que se obtienen cuando cada una de las fuentes actúa por separado. A veces, la aplicación del principio de superposición simplifica los cálculos (y a veces, no). Dejando a un lado el régimen permanente, en circuitos en régimen sinusoidal tiene un notable interés práctico. Se pueden dar dos situaciones en la práctica: -Las excitaciones están en fuentes independientes distintas: si es así, entonces para el cálculo de cada respuesta las fuentes correspondientes a otras excitaciones han de estar desactivadas. -Excitaciones en la misma fuente (todas de la misma naturaleza -corrientes o tensiones-): para el cálculo de cada respuesta se prescinde de la presencia de las otras excitaciones.

7.1.-Ejemplo 5 de Análisis en Régimen Sinusoidal Retomamos el problema del último ejemplo.

Sabiendo que vg(t) = VD + VAcosω(t), siendo VD y VA datos (reales), teniendo 0ω el valor

calculado en el apartado 3, y teniendo C un valor finito, hallar la potencia instantánea en la resistencia marcada con una flecha. Como hay dos excitaciones debemos aplicar el principio de superposición. *Continua La inductancia es un cortocircuito y las capacidades son circuitos abiertos.

*Régimen sinusoidal permanente En las condiciones indicadas, la impedancia que ve la fuente es resistiva. Como se deduce de los apartados 1 y 3, vistos en el anterior ejemplo.

Finalmente, la respuesta total será la suma de ambas respuestas:

BibliograBibliograBibliograBibliografíafíafíafía

[1] Electric Circuits (6th Edition), Nilsson, James W. Prentice Hall, 2001. [2] http://www.uclm.es/area/gsee/aie/circuitos/to8.pdf [3] http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/PDFs/transp-4.pdf