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REGIME SINUSOIDAL: retour de vacances...

Tensions et courants sinusoïdaux

Nombres complexes associés

Loi des mailles en régime sinusoïdal

Loi des nœuds en régime sinusoïdal

Les dipôles élémentaires en régime sinusoïdal

La résistance

L'inductance

La capacité

Association RLC série

Association RLC parallèle


TENSIONS ET COURANTS SINUSOIDAUX

Valeur efficace (en Volt).

Pulsation (en radian par seconde).ω = 2πf où f est la fréquence (en Hertz)

Valeur maximale (en Volt) : Û = U .2 Phase à l'origine (en radian)

u t =U 2 ∙ sinω tθ


TENSIONS ET COURANTS SINUSOIDAUX

Exemple :


NOMBRE COMPLEXE ASSOCIE

Forme trigonométrique :

Nombre complexe correspondant :

Forme cartésienne :

u t =U 2 ∙ sin ω tθ

Axe imaginaire

Axe réel

U

U

θ

U ∙ cosθ

U ∙ sinθU=[U ; θ ]

Re U =U ∙ cosθ

Im U =U ∙ sinθ

U=U ∙ cos θ j ∙ U ∙ sinθ


Loi des mailles en régime sinusoïdal

u1

u2

u3

u

U1U 2U3=U

Exemple :

u1 t=32∙sin ω ∙ t−

2

u2 t=52∙sin ω ∙ t

u3 t=42 ∙sin ω ∙ t56

⇒

⇒

⇒

U1 = [3;−

2] = 3 ∙cos−

2 j ∙3∙sin −

2 = − j ∙3

U2 = [5 ;0 ] = 5∙ cos0 j ∙5 ∙sin 0 = 5

U3 = [4;5∙

6] = 4 ∙cos

5 ∙6

j ∙4 ∙sin 5∙

6 = −3,46 j ∙2

Re

Img U = U1U2U3 = −j ∙35−3,46 j ∙2 = 1,54−j ∙1

U

∣U∣ = 1,54 ²1 ² = 1,83 ArgU = arctan −11,54

[] = −

6et

U = [1,83;−

6] ⇒ u t=1,832 ∙sinω ∙ t−

6


Loi des nœuds en régime sinusoïdal

i4

i2

i1

i3

A vous de jouer !

i1 t=0,252 ∙sinω ∙ t−

2

i2 t=0,12∙sinω ∙ t

i3 t=0,22 ∙sinω ∙ t

6

I 1 I 4=I 2I 3

Trouver i4(t)


LES DIPÔLES PASSIFS ELEMENTAIRES

Le résistor

Il est caractérisé par sa résistance R

qui s'exprime en Ohm (Ω)

I

U

U = R I

La bobine

Elle est caractérisée par son inductance L

qui s'exprime en Henry (H)

i

u

u=Ldidt

Le condensateur

Il est caractérisé par sa capacité C

qui s'exprime en Farad (F)

i

u

i=Cdudt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010864202468

10

u(t) (V) i(t) (mA)

temps en millisecondes

i(t) u(t)


LE RESISTOR

U=R I

I=1R

U

Z R=[R ; 0 ]=R

Y R=[1R

; 0]=1R

si i= I 2 sin ω tθI

alors u=RI 2 sin ω tθI

L'intensité du courant « i » qui le traverse est toujours en phase avec la tension « u » qui lui est appliquée.

I

U

Impédance et admitance complexe :

Loi d'Ohm avec les complexes :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1086

420

2468

10

u(t) (V) i(t) (mA)


i(t)

u(t)


LA BOBINE

si i= I 2 sin ω tθI alors

u=L ω I 2 sin ω tθ Iπ2

L'intensité du courant « i » qui la traverse est toujours en retard d'un quart de période sur la tension « u ».

i

u


Z L=[ Lω ; π2]= j Lω

Y L=[1

Lω;−π2]=

1j Lω


U= j L ω I

I=1

j L ωU

Comportement du dipôle

aux basses fréquences :

aux hautes fréquences :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10864202468

10

u(t) (V)

i(t) (mA)


i(t)u(t)


LE CONDENSATEUR

Comportement du dipôle

aux basses fréquences :

aux hautes fréquences :

L'intensité du courant « i » qui le traverse est toujours en avance d'un quart de période sur la tension « u ».

i

u

si i= I 2 sinω tθI alors

u=I

C ω2 sin ω tθ I−

π2


Z C=[1

C ω;−π2]=

1j C ω

Y C=[C ω ;π2]= j Cω


U=1

j C ωI

I= j C ωU


ASSOCIATION « RLC » SERIE

Quand les dipôles sont en série on peut appliquer la loi d'additivité des tensions les tensions complexes.

i

uR

R

uL

L

uC

C

u

ZR = R ZL = jLω ZC = 1/ jCω

Quand les dipôles sont en série leurs impédances complexes s’ajoutent pour donner l’impédance complexe de l’association.

Z=R j Lω−1

C ω

∣Z∣=Z= R2Lω−1C ω

2

φ=Arg Z ⇒ tg φ=Lω−

1C ω

R

⇒

U=U RU LUC

Z = ZR + ZL + ZC


ASSOCIATION « RLC » PARALLELE

Quand les dipôles sont en série leurs admittances complexes s’ajoutent pour donner l’admittance complexe de l’association.

⇒

Quand les dipôles sont en parallèle on peut appliquer la loi d'Ohm avec les tensions complexes.

I= I RI LIC

i

iRR

iLL

iC

C

u

Z=1

[1R j C ω−

1Lω

]

Y = YR + YL + YC Z=1

1R

2

C ω−1

Lω

2

φ=tg−1

1Lω

−C ω

1R

YR = 1/R YL = 1/jLω YC = jCω

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