tutorial factorizaciÓn de polinomios

Integrantes:Hector Orlando Valenzuela.Nereira Sarai Pinto Morán.

Esly Amaya.Antonia Euceda Videz.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Pre-Prueba

Resuelva los siguientes ejercicios de factorización. 4,6,10 6(x+2), 9(x+6) 4X+4 2X(2X-3)2 +X2 (2X-3) X2-1 80X5-5X X4-Y4

X2+3X+2 2X2-7X-4 X2+Y2

Ver Resultado

Pre-prueba: Respuestas

2X(2X-3)2 +X2 (2X-3) =x(2x-3)

X2-1 =(x+1)(x-1)

X2+3X+2 =(x+1)(x+2)

6(x+2), 9(x+6) =3

4X+4 =2(x+2)

80X5-5X =5x(4x2+1)(2x+1)(2x-1)

X4-Y4 =(x2+y2)(x+y)(x-y)

X2+Y2 No se puede factorizar

2X2-7X-4 =(x-4)(2x+1)

4,6,10 = 2

Factorizar completamente cada término:

Factorización de Polinomios

La factorización de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas.

Antes de continuar debemos tener en claro que la factorización da la posibilidad de factorizar de diferentes formas las expresiones algebraicas denominando a este proceso casos de factorización.

Durante el desarrollo de este tutorial se explicarán los diferentes

casos de factorización.

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

Casos de Factorización

Factorización de Trinomios

Factorización de Binomios

Factor Común

Factor Común Monomio

Factor Común Poliomio

Diferencia de Cuadrados

Factor Común por Agrupación

Trinomio de la forma ax2+bx+c, a=1

Trinomio Cuadrado Perfecto

Diferencia de Cubos Perfectos

Suma de cubos Perfectos

Trinomio de la forma ax2+bx+c, a≠1

Factor común

El factor común de dos o más términos es el término formado por el máximo común divisor (MCD ) de los coeficientes numéricos de los términos y las potencias de menor exponen-te de las literales comunes a todos ellos.

El máximo factor común (M.F.C.) o máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto de enteros se define como el entero mayor que divide a cada uno de los números de dicho conjunto.

Pasos para obtener el factor común de dos o más números

1) Recordemos que primero se factorizan los enteros en sus factores primos.

2) Como segundo paso se escriben los factores empleando exponentes.

3) Luego se toman las bases comunes, cada una con su exponentes mínimo.

4) Por último se efectúa el producto de los factores obtenidos en paso 3.

Ejemplo 1: Encontrar el M.F.C. de 30, 45, 60

Solución:

Paso 1Escriba el producto de sus números primos

30 45 60

15 2 5 9 6 10

3 5 3 3 2 3 2 5 30=2x3x5 45=3x3x5 60=2x2x3x5

Paso 2Escribir los factores empleando exponentes

30 = 2 x 3 x 545 = 32 x 5 60 = 22 x 3 x 5

Paso 3Determinar los factores primos comunes a todos los números con su mínimo exponente.

Las bases comunes son 3 y 5. El mínimo exponente de 3 es 1 y el de 5 es 1.

Paso 4Efectuar el producto.

Por consiguiente, el M.F.C. = 31 x 51 = 15.

Otra forma de encontrar máximo común factor (mcd)

Calcular el máximo común divisor de 30 , 45, 60.

30 45 60

32

2010 15

4

3

5

Menor Divisor primo común de 30, 45 y 60

Menor Divisor primo común de 10, 15 y 20

Aquí termina porque 2, 3 y 4 no un divisor primo común.

3*5=15 Máximo Común Divisor de 30, 45, 60

Pasos para obtener el factor común de dos o más términos

1) Calcular el factor común de los coeficientes de cada término.

2) Tomar las variables comunes de todos lo términos .

3) Escoger las variables elevadas al menor exponente.

4)Multiplicar el factor común de los coeficientes por las variables elevadas al menor exponente.

Ejemplo 1: Hallar el M.F.C. de 9x3 y2, 12x4 y,-15x5.

Solución

Se toman las variables comunes de todos términos.La variables común es x.

El mínimo exponente de x es 3.

Efectuar el producto de los factores obtenidos en paso 1 y paso 3Por lo tanto, el M.F.C. = 3x3

3x512=9=3x3

15=2x2x3

El factor Común es 3

Paso #1

Paso #3

Paso #2

Paso #4

Números primos

Ejemplo 2: Hallar el Máximo Factor Común de 18xy2, 15x3y3, 27xy5

15x3y318xy2 27xy5

2*32*x*y2 3*5x3*y3 33*x*y5

3 x y2

Factor Común en todos los términos

Observación: Se toman las bases de menor exponente.

Factor Común Monomio

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.

Es de la forma:ab + ac + ad = a ( b + c + d )

Pasos para obtener el Factor Común Monomio

1)Determinar el máximo común divisor de todos los términos del polinomio.

2)Dividir cada término entre el M.F.C o MCD

Ejemplo 1: Factorice el MFC en cada término de la expresión 4x-8

Solución:Paso 1Determinar el M.C.D.4x-8 =

MCD es 22

Paso 2Dividir cada término entre el M.F.C. o M.C.D.

22x-23

Se toma la base de menor exponente.=4

4X

4=

( )4x-8 =

4

8

4

=

X 2-

Máximo Común Divisor obtenido en el paso 1

Ejemplo 1: Factorice la expresión: 36x12+24x8

36x12+24x8 = 12X8 (

)3X4 + 2

36x12

12X8=

24x8

12X8 =

Factor Común de los Términos

Expresión factorizada

Factor Común Polinomio

Se de este caso de factorización cuando el factor común que aparece es un binomio o un polinomio.

En el siguiente caso podemos observar que tememos como factor común un binomio de la expresión polinómica.

Factor Común a+b. x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)

Expresión polinómica

Expresión factorizada

Ejemplo: Factorice 3b(a-2)-4(a-2)

El Factor Común de 3b(a-2)-4(a-2) es (a-2)

Al factorizarlo 3b(a-2)-4(a-2)= (a-

2)( )-3b 4 Expresión Factorizda

3b(a-2)(a-2)

=4(a-2)(a-2)

=

Dividir cada término entre el factor

común.

Factor Común por Agrupación

Ocurre cuando no existe un máximo común divisor para todos los

términos, pero al agrupar convenientemente, los términos

algebraicos de cada grupo si lo tienen. Requiere factorizar dos

veces de manera consecutiva .

Por ejemplo:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

=x(a+b)+y(a+b)

=(a + b )( x + y )

Agrupar los términos donde se pueda factorizar

Factorizar la expresión

Expresión Factorizada

Ejemplo: Factorizar x2 - 2x+ax-2a

X(x-2)+a(x-2)

(x-2)(x+a)

(x2-2x)+(ax-2a)

x2 - 2x+ax-2a

Agrupar los términos que contengan factor común.

Factorizar la expresión

Expresión Factorizada

Factorización de Binomios

Los binomios son expresiones algebraicas que contienen dos términos o monomios.

Explicaremos algunos casos de factorización de binomios como los siguientes:

Cuadrados Perfectos (Diferencia de Cuadrados). Suma y Diferencia de Cubos Perfectos.

Diferencia de Cuadrados Perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de

cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz

cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos

términos por la suma de los otros dos términos.

La fórmula de este tipo de factorización es la siguiente:

a2-b2=(a-b)(a+b)

Ejemplo 1: Factorice la expresión: x2-9

( - ) ( + )

√x2 √9

x3 3x

x 3

Se extrae la raíz cuadrada de cada término.

a2-b2=(a-b)(a+b)

Aplicar la fómula de Diferencia de Cuadrados

x2 - 9=

Ejemplo 2: Factorice 4x2-16y2

4(x2-4y2)

4(x-2y)(x+2y)

4x2-16y2 =

Sacar factor común de ambos términos. MFC 4

Aplicar la diferencia de cuadrados

Expresión factorizada

Suma de Cubos Perfectos

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

a3 b3=(a b)(a2 ab b2)+ + - +

Siempre positivo

Mismo signo

Signo opuesto

Ejemplo: Factorizar x3+8

x3+8=(x)3+(2)3

Aplicar la fórmula de la suma de dos cubos

3 + 3=( + )( 2 - * + 2)

3 3=()( 2 ) ( 2 2)

= (x + 2)(x2 - 2x + 4)

aa

x

b

2

b a a

x x

b b

2 2 2+ + x - * +

Expresión Factorizada-

Diferencia de Cubos Perfectos

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

a3 b3=(a b)(a2 ab b2)- - + +

Siempre positivo

Mismo signo

Signo opuesto

Ejemplo: Factorizar y3+125

y3-125=(y)3+(5)3

Aplicar la fórmula de la diferencia de dos cubos

3 - 3=( - )( 2 + * + 2)

3 3=()( 2 ) ( 2 2)

= (y - 5)(y2 + 5y + 25)

aa

y

b

5

b a a

y y

b b

5 5 5- - y + * +

Expresión Factorizada.

Factorización de Trinomios

Primero debemos saber que un trinomio es una expresión que cuenta de 3 términos de esta forma aa+ab+ac donde las letras pueden ser cualquier termino conocido o desconocido ejemplo

8x+4y+10

ahora factor zar es encontrar un factor común de los 3 términos es decir un numero que pueda ser divisor de los 3 para expresarlo a una manera mas reducida

ahora factorizar un trinomio es realizar esa operación en una expresión como la que te dije(aa+ab+ac)

ejemplofactorizar:

8x+4x+10xR:2x(4+2+5) si multiplicamos esto llegasmos a lo mismo

Los siguientes casos de factorización de trinomios los estudiaremos Trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio de la Forma x2+bx+cTrinomio de la forma ax2+bx+c

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Ejemplo: x2+6x+9=(x+3)2 a) Se escribe un paréntesis ( )b) Se obtiene la raíz cuadrada al primer término (en este caso x2),

por lo que se obtiene: se obtiene xc) Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término, en este caso 9, por

lo que: se obtiene 3d) Se escribe el resultado de los pasos (b) y (c) en el paréntesis con

el signo del segundo término:(x+3)e) Se eleva al cuadrado el binomio resultante y se obtiene:(x+3)2, que mantiene la igualdad con el trinomio x2+6x+9

Factorización de Trinomios de la Forma ax2+bx+c ,a=1, por ensayo y error

Para factorizar este tipo de tipo de trinomio debemos seguir el siguiente procedimiento:

Encontrar dos números cuyo producto sea igual a la constante, c, y cuya suma sea igual al coeficiente del término con x, que es b.

Utilizar los dos numeros que encontramos en el paso 1, incluidos sus signos, para escribir el trinomio en su forma factorizada.Dicho trinomio será:

(x+ un numero )(x+ segundo numero)

Ejemplo: Factorizar x2+7x+12 por ensayo y error

Factorizar x2+7x+12 donde a=1, b=7, c=12

X2 7x+12=

(x ) (x )

c=12=3*4

b=3+4=7

Buscar dos números que multiplicado de el valor de c y

sumado el valor de b

3 4+ ++

++* =+

El signo del segundo factor se obtiene multiplicando el

primer signo por el segundo signo de la

expresión .

Factorización de Trinomios de la Forma ax2+bx+c ,a≠1, por ensayo y error

Para factorizar este tipo de tipo de trinomio debemos seguir el siguiente procedimiento:

Determinar si existe un factor común a los tres términos. Y si lo hay factorizarlo.

Escriba todas las parejas de factores del coeficiente del término cuadrado, a.

Escriba todas las parejas de factores del término constante, c.

Pruebe varias combinaciones de estos factores hasta encontrar hasta encontrar el término medio correcto, bx.

Ejemplo: Factorizar 3x2+20x+12

No hay factor común.

Parejas de factores del primer término3*1 y 1*3.

parejas de factores del último término1*12, 2*6, 3*4, 4*3, 6*2, 12*1.

Al probar los factores que da como resultado el término de bx = 20x son 3*1 y 2*6 quedando factorizado:

(x+2)(x+6) 2*x= 2x

3*6x= 18x 20x Término medio.

Procedimiento General para factorizar un polinomio

1.Si todos los términos del polinomio tiene un MFC o MCD distinto de 1 factorícelo.

2. Si el polinomio tiene dos términos (o es un binomio), determine si se trata de una diferencia de dos cuadrado o una suma o una diferencia de dos cubo. En cada caso, factorizar por la fórmula apropiada

3. Si el polinomio tiene tres términos, factorice con los métodos para factorizar trinomios.

4. Si el polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo por agrupamiento.

5. Como paso final, estudie el polinomio que factorizó para determinar si los términos de cualesquiera factores tienen algún factor común. Si encuentra alguno, factorícelo en este punto.

Factorizar:

• 30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz =

5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) = sacamos como M.F.C. 5a2,

5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] = agrupamos sacando factores comunes entre grupos

5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] = factor común negativo

5a2.(2a - z).(3ax - y) factor común (2a - z)

Primero se puede sacar factor común 5a2, y luego agrupar para sacar factor común en grupos .Fue necesario incorporar el uso de corchetes son para no usar "paréntesis dentro de paréntesis". El tercer paso está de más si se prefiere sacar factor común negativo.

•

Post-Prueba

Factorizar completamente cada expresión

7x3-2401

5b3-125b

X(a+b+c)-2(a+b+c)

z2-z+2

ax+bx+ay+by

X2+2xy+y2-z2

x4+x3+x+1

8x5+32x3+112x2+96x

3x+9

4xy-8x2yVer respuesta

Post-prueba: Respuestas

z2-z+2

ax+bx+ay+by

8x5+32x3+112x2+96x

5b3-125b

x(a+b+c)-2(a+b+c)

X2+2xy+y2-z2

x4+x3+x+1

4xy-8x2y

3x+9

7x3-2401

Factorizar completamente cada expresión: