matemáticas segundo parcial factorización

Son las expresiones algebraicas que

multiplicadas entre si dan como

producto a la primera expresión.

x (x + 2)

factor factor

Ejemplos:

factor factor

(x – 2) (x + 1)

x2 + 2x =

x2 – x – 2 =

Es convertir la expresión en el producto

compuesto por sus factores

Se pueden factorizar tanto los monomios

polinomios a través del uso de los

productos notables.

Todo polinomio puede ser

descompuesto en dos o más factores

distintos de 1.

Los polinomios se pueden descomponer

de distintas maneras las cuales se

explicaran a continuación.

a) Cuando todos los términos tienen un

factor común

Ejemplos:

10a + 30ax2 = 10 1 a + 10 3 a x x

10 a ( )1En ambos términos

+ 3 x2=

18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2

En todos

los términos

y= 18 m x y – 18 318 m xx x y y 18+ m y y

18 m y2 ( )x – 3 x2 + 1

1

= En cada uno de

los términos

b) Cuando todos los términos tienen un

polinomio como factor común

Ejemplos:

factor

(a – 1)(a – 1) (a – 1)

(x + 2)(x + 2) (x + 2)

factor

2x – y = (2x – y)

m + = (m + 1)

c) Cuando se agrupan los términos factor

común

Ejemplos:

aa aa =x x xx bb b byyyy +++ + + +( () )

factor

= x(a + b) + y(a + b)factor

(a + b)= ( )x y+

d) Cuando un trinomio es un cuadrado

perfecto o algún otro producto notable

• Una cantidad es cuadrado perfecto

cuando se cumple que es el cuadrado de

otra, es decir, se cumple que:

a2 2ab + b2 = (a b)(a b)

Ejemplos:

4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 + 25y2– 20xy

= (2x) (5y)(2x)(5y)2– +

= 2x

2 2

– 5y( )2

Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones

algebraicas.

e) Cuando un trinomio no es un cuadrado

perfecto o algún otro producto notable se

puede transformar a cuadrado perfecto

por adición o sustracción.

Ejemplos:

x4 + x2y2 + y4 Es un cuadrado

perfecto

x4 + x2y2 + y4

2

No es un cuadrado

perfecto1

2

Para llegar de a :1 2

x4 + x2y2 + y4

x2y2+ – x2y2

x4+ x2y2 + y4

2 – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto

= ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )

= ( x2 + y2 ) ( xy )–

Se le suma cero

Diferencia de cuadrados xy– +

2 2

xy2 2

f) Trinomios de la forma x2 bx c quecumplen con las siguientes condiciones:

Coeficiente del primer termino 1

Primer término es una letra elevada al cuadrado

Segundo término tiene la misma letra que el primero

elevado a uno y su coeficiente es una cantidad

cualquiera

Tercer término es independiente (sin letra)

Ej: y2 – 8y +15

Ejemplo:

x2 ++ 5 x 6 = ( )( )x x+

5

3

Al multiplicar

los signos:

+ + = +

+2

2 + 3 = Se tiene que buscar dos

números cuya suma sea

5 y cuyo producto sea 62 3 = 6

g) Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:

Coeficiente del primer termino distinto de 1

Primer término es una letra elevada al cuadrado

Segundo término tiene la misma letra que el primero

elevado a uno y su coeficiente es una cantidad

cualquiera

Tercer término es independiente (sin letra)

Ej: 3a2 + 7a – 6

Ejemplo:

6 x2 – 7 x – 3

Se multiplica por el

coeficiente de x2 (6) x2 – 7 x – 36 (6) (6)

(6x)2– (6x)7 – 18

Trinomios de la

forma x2 bx c

( )6x – 2( )6x9

=+

+

– –La suma y la

multiplicación

es entre un

número positivo

y otro negativo

2 – 9 = – 7

2 - 9 = – 18

Aunque ya se factorizo el polinomio hay que recordar que se

multiplico por seis por lo que para no alterar el polinomio hay

que dividirlo por el mismo valor.

(6x – 9) (6x – 2)6x2 – 7x – 3 =

6

= 3(2x – 3) 2 (3x – 1)

2 3

(2x – 3) (3x – 1)=

h) Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio.

( a + b )3 = a3 + 3 a b2+3 a2 b + b3

ó

( a + b )3 = –a3 – 3 a2 b + 3 a b2b3

Ejemplo:

8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3

(2 x2) (3 y3)–3 3

3 (2 x2) 2 (3 y3) + 3 (2 x2) 2(3 y3) –

= ( )2x2 3y3–3

i) Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos.

Ej:

x3+ 1 = ( )1x + ( )x2 x 1 + 12

cubo ( x3 )

cubo ( 13 )

cuadrado

cuadrado

Signo contrario el

que se encuentra

en término anterior

–

a3– 8 = ( )2a – ( )a2 a 2 – 22

Cubo ( a3 )

cubo ( 23 )

cuadrado

cuadrado

Signo contrario el

que se encuentra

en término anterior

+