matemáticas segundo parcial factorización

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Page 1: Matemáticas Segundo Parcial Factorización
Page 2: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Son las expresiones algebraicas que

multiplicadas entre si dan como

producto a la primera expresión.

x (x + 2)

factor factor

Ejemplos:

factor factor

(x – 2) (x + 1)

x2 + 2x =

x2 – x – 2 =

Page 3: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Es convertir la expresión en el producto

compuesto por sus factores

Se pueden factorizar tanto los monomios

polinomios a través del uso de los

productos notables.

Page 4: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Todo polinomio puede ser

descompuesto en dos o más factores

distintos de 1.

Los polinomios se pueden descomponer

de distintas maneras las cuales se

explicaran a continuación.

Page 5: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

a) Cuando todos los términos tienen un

factor común

Ejemplos:

10a + 30ax2 = 10 1 a + 10 3 a x x

10 a ( )1En ambos términos

+ 3 x2=

Page 6: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

18 m x y2 – 54 m x2 y2 + 36 m y2

En todos

los términos

y= 18 m x y – 18 318 m xx x y y 18+ m y y

18 m y2 ( )x – 3 x2 + 1

1

= En cada uno de

los términos

Page 7: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

b) Cuando todos los términos tienen un

polinomio como factor común

Ejemplos:

factor

(a – 1)(a – 1) (a – 1)

(x + 2)(x + 2) (x + 2)

factor

2x – y = (2x – y)

m + = (m + 1)

Page 8: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

c) Cuando se agrupan los términos factor

común

Ejemplos:

aa aa =x x xx bb b byyyy +++ + + +( () )

factor

= x(a + b) + y(a + b)factor

(a + b)= ( )x y+

Page 9: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

d) Cuando un trinomio es un cuadrado

perfecto o algún otro producto notable

• Una cantidad es cuadrado perfecto

cuando se cumple que es el cuadrado de

otra, es decir, se cumple que:

a2 2ab + b2 = (a b)(a b)

Page 10: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Ejemplos:

4x2 + 25y2 – 20xy = 4x2 + 25y2– 20xy

= (2x) (5y)(2x)(5y)2– +

= 2x

2 2

– 5y( )2

Se puede aplicar también si el primero y/o el tercer termino son expresiones

algebraicas.

Page 11: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

e) Cuando un trinomio no es un cuadrado

perfecto o algún otro producto notable se

puede transformar a cuadrado perfecto

por adición o sustracción.

Page 12: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Ejemplos:

x4 + x2y2 + y4 Es un cuadrado

perfecto

x4 + x2y2 + y4

2

No es un cuadrado

perfecto1

2

Para llegar de a :1 2

x4 + x2y2 + y4

x2y2+ – x2y2

x4+ x2y2 + y4

2 – x2y2 = ( x2 + y2 ) 2 – x2y2 Cuadrado perfecto

= ( x2 + y2 ) ( x2 + y2 )

= ( x2 + y2 ) ( xy )–

Se le suma cero

Diferencia de cuadrados xy– +

2 2

xy2 2

Page 13: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

f) Trinomios de la forma x2 bx c quecumplen con las siguientes condiciones:

Coeficiente del primer termino 1

Primer término es una letra elevada al cuadrado

Segundo término tiene la misma letra que el primero

elevado a uno y su coeficiente es una cantidad

cualquiera

Tercer término es independiente (sin letra)

Ej: y2 – 8y +15

Page 14: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Ejemplo:

x2 ++ 5 x 6 = ( )( )x x+

5

3

Al multiplicar

los signos:

+ + = +

+2

2 + 3 = Se tiene que buscar dos

números cuya suma sea

5 y cuyo producto sea 62 3 = 6

Page 15: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

g) Trinomios de la forma ax2 bx c que cumplen con las siguientes condiciones:

Coeficiente del primer termino distinto de 1

Primer término es una letra elevada al cuadrado

Segundo término tiene la misma letra que el primero

elevado a uno y su coeficiente es una cantidad

cualquiera

Tercer término es independiente (sin letra)

Ej: 3a2 + 7a – 6

Page 16: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Ejemplo:

6 x2 – 7 x – 3

Se multiplica por el

coeficiente de x2 (6) x2 – 7 x – 36 (6) (6)

(6x)2– (6x)7 – 18

Trinomios de la

forma x2 bx c

( )6x – 2( )6x9

=+

+

– –La suma y la

multiplicación

es entre un

número positivo

y otro negativo

2 – 9 = – 7

2 - 9 = – 18

Page 17: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Aunque ya se factorizo el polinomio hay que recordar que se

multiplico por seis por lo que para no alterar el polinomio hay

que dividirlo por el mismo valor.

(6x – 9) (6x – 2)6x2 – 7x – 3 =

6

= 3(2x – 3) 2 (3x – 1)

2 3

(2x – 3) (3x – 1)=

Page 18: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

h) Cuando la expresión es un cubo perfecto de un binomio.

( a + b )3 = a3 + 3 a b2+3 a2 b + b3

ó

( a + b )3 = –a3 – 3 a2 b + 3 a b2b3

Page 19: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

Ejemplo:

8 x6 + 54 x2 y9 – 27 y9 – 36 x4 y3

(2 x2) (3 y3)–3 3

3 (2 x2) 2 (3 y3) + 3 (2 x2) 2(3 y3) –

= ( )2x2 3y3–3

Page 20: Matemáticas Segundo Parcial Factorización

i) Cuando la expresión es una suma o diferencia de cubos perfectos.

Ej:

x3+ 1 = ( )1x + ( )x2 x 1 + 12

cubo ( x3 )

cubo ( 13 )

cuadrado

cuadrado

Signo contrario el

que se encuentra

en término anterior

a3– 8 = ( )2a – ( )a2 a 2 – 22

Cubo ( a3 )

cubo ( 23 )

cuadrado

cuadrado

Signo contrario el

que se encuentra

en término anterior

+