algebra

7/21/2019 algebra

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-56d9e3ed98241 1/51

UNAD

116

Resolver la ecuación:

2

4x3

5

8x6

Solución: por fracciones equivalentes:

20x1516x125x4x32x8x6

reorganizando términos: 1620x15x12

3

36x36x3

Entonces: 12x

De las ecuaciones racionales, es importante las llamadas fracciones parciales,

tema que analizaremos en seguida.

RACCIONES PARCIALES

Toda fracción racionales de la forma

xh

xgxf ; donde xg y xh son

polinomios y 0xh , se pueden expresaar como suma o resta de fracciones

racionales más simples. Para que se pueda hacer este procedimiento, el grado

de xg debe ser menor al grado de xh ; además, xh se puede descomponer

en factores primos. Por teoría algebraica cualquier polinomio con coeficientes

reales se puede escribir como producto de factores lineales y/o cuadráticos.

Se presentan diversos casos, que analizaremos a continuación:

F

Ejemplo 2

7/21/2019 algebra


ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

117

h(x) es producto de factores lineales diferentes

Podemos hacer una generalización de caso así:

n21 nx

N...

bx

B

ax

A

xh

xg

Donde A, B,...,N, son constantes

Veamos algunos ejemplos:

Dada la fracción:6x5x

5x4

2

. Expresado como fracciones parciales.

Solución: debemos linealizar el denominador; es decir; expresarlos como producto

de factores lineales, entonces: 2x3x

5x4

6x5x

5x4

2

Ahora expresamos dicha fracción como suma de fracciones simples, lo cual se

hace de la siguiente manera:

2x

B

3x

A

2x3x

5x4

El trabajo consiste en hallar el valor de A y B, lo que se hace trabajando la

segunda parte de la ecuación y al final compararla con la primera parte de la

misma. Veamos:

2x3x

B3Bx A 2 Ax

2x3x

3xB2x A

2x

B

3x

A

Ejemplo 1

7/21/2019 algebra


UNAD

118

Ahora igualamos la primera y última fracción:

2x3x

B3Bx A 2 Ax

2x3x

5x4

organizando la segunda fracción, tenemos:

2x3x

B3 A 2B A x

2x3x

5x4

como los denominadores son iguales, igualamos los

numeradores B3 A 2B A x5x4 tomando términos por separado.

. Para B A 4:x

. Para indeterminantes: A 3 A 25

tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolvémoslas por reducción:

5B3 A 2

4B A

Luego: 3B

para hallar A, reemplacemos en la cuación: 4B A ; entonces:

7 A 34 A 43 A 43 A , con los valores de A y B,los reemplazamos en la primera ecuación, luego:

2x

3

3x

7

2x3x

5x4

Escribir como fracciones parciales la siguiente expresión:

4x9x2

5xf

2

3B

5B3 A 2

8B2 A 2

Ejemplo 2

7/21/2019 algebra



119

Solución: expresamos el polinomio del denominador como productos lineales,

luego:

4x1x2

5

4x9x2

5

2

, ¡por favor compruebe la factorización

del denominador!

Ahora escribimos la fracción como suma de dos facciones simples:

4x

B

1x2

A

4x1x2

5

operamos la segunda parte de la ecuación:

4x1x2

1x2B4x A

4x

B

1x2

A

operando el numerador y reorganizando:

4x1x2

B A 4B2 A x

4x1x2

BBx2 A 4x A

Igualamos la primera y última fracción:

4x1x2B A 4B2 A x

4x1x25

En la ecuación, el denominador es igual; luego debemos igualar numeradores;

entonces:

B A 4B2 A x5

. Para B2 A 0:x (No hay valor para x en la primera parte de la igualdad)

. Para independientes: B A 45

Tenemos dos ecuaciones con los incógnitas:

5B A 4

0B A

Despejamos B, entonces:

7/21/2019 algebra


UNAD

120

por reducción:

3

5B

5B3

5B A 4

0B4 A 4

para hallar luego,B A 0B A : A

3

53/5 A

Finalmente, reemplazamos ecuación de suma de fracciones parciales:

4x3

5

1x23

5

4x1x2

5

h(x) es producto de factores lineales, repetición de algunos

Cuando xh tiene factores lineales que se repite k veces, se presenta una

descomposición de la siguiente manera:

kn

221 nx

N

...bx

A

ax

A

xh

xg

Descomponer en fracciones parciales: 21xx

1x2

Solución: el procedimiento es similar que en el caso anterior, solo que, el factor

que se repite, se debe repetir tantas veces como lo indique k; por este caso, 2

veces.

22 1x

C

1x

B

x

A

1xx

1x2

Ejemplo 1

7/21/2019 algebra



121

operando:

2

2

2

22

2

22

2

2

1xx

A CB A 2xB A x

1xx

CxBxBx A Ax2 Ax

1xx

CxBxx1x2x A

1xx

CxB1xx1x A

Igualamos la última fracción con la primera.

2

2

2 1xx A CB A 2xB A x

1xx1x

como los denominadores son iguales, igualamos los numeradores.

A CB A 2xB A x1x2 2

Analizamos término a término:

Para: B A 0:x2 . En el primer término no hya valor para 2x

Para: CB A 22:x

Para independientes: A 1

Resolviendo:

A 1

Para hallar 11B1B0B A :B

1B

Para hallar C; en la ecuación 2C1122CB A 2

3C3122C

7/21/2019 algebra


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122

Reemplazando a la fracción propuesta:

22 1x

3

1x

1

x

1

1xx

1x2

h(x) tiene factores cuadráticos irreduc ibles

Cuando h(x) presenta factores cuadráticos irreducibles, se debe expresar la fracción

parcial como cociente de un numerador lineal y un denominador cuadrático:

cbxax

B Ax

xh

xg

2

Expresar como suma de fracciones parciales:

2xx

5x

2

Solución: la fracción se puede escribir.

2x

CBx

x

A

2xx

5x

22

Operando como se ha venido haciendo:

2xx

A 2CxB A x

2xx

CxBx A 2 Ax

2xx

CBxx2x A

2x

CBx

x

A

2

2

2

22

2

2

2

Ejemplo 1

7/21/2019 algebra



123

Igualando la primera y última fracción:

2xx

A 2CxB A x

2xx

5x

2

2

2

como el denominador es equivalente, igualamos numerador y procedemos:

Para B A 0:x2 no hay término de 2x en le primer término

Para C1:x

Para independiente: A 25

Hallemos los valores de A, B y C.

Tenemos que 1C de la ecuación para x. De la ecuación de los términos

independientes 2/5 A A 25 . Finalmente

2/52/5B A B

2x

1x2

5

x2

5

2xx

5x

22

2x2

2x5

x2

5

2x

2

2x5

x2

5

2xx

5x

222

Así queda expresada la fracción inicial, como suma de fracciones parciales.

x2

5

2x2

2x5

2xx

5x

22

7/21/2019 algebra


UNAD

124

EJERCICIOS:

Dada las siguientes expresiones, escribirlas como suma o resta de fracciones

parciales.

1xxx

1x3

xx

2x5x2

xx

1x

8x2x

14x

4x1x

5

2x1x

1

23

3

3

2

23

2

2

1.

2.

3.

4.

5.

6.

31x

2

1x

2x:Rta

1x

5

x

2:Rta

x

1

x

1

1x

3:Rta

2x

2

4x

3:Rta

4x

1

1x

1:Rta

2x3

1

1x3

1:Rta

2

2

2

7/21/2019 algebra



125

Las inecuaciones son expresiones donde dos términos se comparan por medio

de símbolos particulares, por esto las inecuaciones se le llama también

desigualdades.

Para este tema, se va a estudiar inicialmente los intervalos; ya que la solución

de una desigualdad se da por un intervalo. También analizaremos las

propiedades que gobiernan las desigualdades, demostrando algunas de ellas.

Al igual que se hizo en las ecuaciones, vamos a estudiar las clases de

inecuaciones tales como: lineales con una y dos variables,cuadráticas con una

variables y mixtas; que pueden ser lineal y cuadrática con una incógnita.

Las desigualdades son la base para abordar temáticas más avanzadas como la

programación lineal y la investigación de operaciones en general, área de las

matemáticas muy importante para la optimización en problemas de ingeniería,

administración, economía y otras.

Para desarrollar la temática de inecuaciones, es importante tener en cuenta el

concepto de comparación entre dos expresiones algebraicas. Dichos signos son

,,, . Que indica mayor, menor, mayor o igual y menor o igual

respectivamente. A las dos primeras se les llama desigualdades estrictas.

Un trabajo juicioso y sistemático para el desarrollo de desigualdades permitirá

adquirir conocimientos sólidos que conllevan a resolver problemas del mundo

real en donde se necesitan las desigualdades.

INECUACIONES

Introducción

7/21/2019 algebra


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126

Objetivo general

. Que los estudiantes identifiquen claramente las inecuaciones, sus propiedades,

principios, clasificación y las formas de resolverlas; además, plantear

situaciones descriptivas con desigualdades.

Objetivos específicos

. Conocer los principios sobre intervalos y desigualdades.

. Reconocer una inecuación lineal, sus carcterísticas y la forma de resolución.

. Identificar inecuaciones cuadráticas y la forma de resolverlas.

. Plantear y resolver problemas que involucren inecuaciones

ESIGUALDAD

Una desigualdad es una expresión de la forma , donde xP es un

polinomio; al igual que xQ , pero también uno de ellos puede ser un término

independiente. la expresión indica que xP es menor que xQ . Otras

formas de expresar desigualdades:

xQxP : indica que xP es mayor que xQ

xQxP : indica que xP es menor o igual que xQ

xQxP : indica que xP es mayor o igual que xQ

Por ejemplo si decimos: 2a , está indicando que cualquier valor mayor que

dos satisface la expresión dada. Cuando decimos , nos indica que cual-quier valor menor que cinco satisface la expresión, pero además cinco también lo

satisface.

D

xQxP

5a

7/21/2019 algebra



127

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b y c números reales, entonces:

1. cbcaentonces,baSi

Demostración:

Como ba , por deinifición ab es positivo, como abcacb ,

entonces cacb es positivo, así: cbca .

2. cbcaentonces,baSi

Demostración:

Para el mismo argumento de la propiedad uno, tenemos: cbca ,

así: cbca

3. cbcaentonces,0cybaSi

Demostración:

Como ba , entonces ab es positivo; como c es positivo, el producto c.ab

espositivo, luego cacb es positivo, por lo tanto cbca .

4. cbcaentonces,0cybaSi

Demostración:

Hacer la demostración individual, en grupo colaborativo, como último recurso

con el tutor.

5. Tricotomía: sea a y b números reales, una de las siguientes expresiones

se cumple: baobaoba ¿qué pasa cuando b = 0? ¡Analícelo!

7/21/2019 algebra


UNAD

128

I

6. La No negatividad: para cualquier número real a;

0a2

7. Para cualquier número real a:

0a

1entonces,0aSi

0a

1entonces,0aSi

Se recomienda que plantee ejemplos que ilustren las 7 propiedades de las

desigualdades, por lo menos dos de cada una. Esto le permitirá comprender la

esencia de las mismas.

NTERVALOS

Podríamos preguntarnos cómo gráfico: 4x1;5x,2x,3x . la

respuesta está en los intervalos. Un intervalo es un segmento de recta que

contiene los valores que satisfacen la desigualdad, limitado por dos extremos.

Veamos las clases de intervalos.

Intervalo cerrado

Son todos aquellos donde los extremos hacen parte del intervalo, La notación

se hace con paréntesis angular: b,a , en desigualdad bxa y

gráficamente.

vemos que hay dos formas de presentación gráficas.

a b a b

/////////////// ///////

7/21/2019 algebra



129

Intervalo abierto

Son todos aquellos donde los extremos no hacen parte del intervalo. La notación

se hace con paréntesis circular b,a , en desigualdad bxa y gráficamente.

Intervalo semiabierto

Ocurre cuando uno de los extremos no hacen parte del intervalo. Se conocen

como semiabiertos de izquierda o semiabierto a derecha.

bxa;b,a

bxa;b,a

Operaciones con intervalos

Las operaciones realizadas entre conjuntos, tales como: unión, intersección,

diferencia, diferencia simétrica y complemento, se puede trasladar a los

intervalos, ya que los intervalos se puede considerar como un conjunto de

números.

Unión: sean los intervalos d,cRyb,aS , entonces: RS sea la unión

de los elementos de S y los de R.

a b a b

a b a b

a b a b

a b c d

/////////////// /////// /////////////// ///////

///////////////

///////////////

//////

//////

7/21/2019 algebra


UNAD

130

//////

Sea RShallar,10,0Ry2,4S

Solución:

10,4RS , gráficamente

Dado qphallar,10,2qy20,8p

Solución: vemos que los extremos de la unión son 20,8 , gráficamente

La solución nos hace ver que pq (q contenido en p).

Intrersección

Se busca identificar los elementos comunes en los intervalos que participan en la

operación.

30,10By18,2 A . la intersección será el conjunto de 18,10

La solución es donde se cruzan las líneas.

Ejemplo 1

-4 0 2 10

Ejemplo 2

-8 0 2 10 20

0 2 10 18 30

//////////// ////// //////

////// ////// ////// //////xxxxxx

7/21/2019 algebra



131

Las demás oepraciones son similares a como se hace en los conjuntos. Para el fin

de las desigualdades, las operaciones más importantes son la unión y laintersección.

sea 10,1vy5,4u . Hallar la unión, intersección,

diferencia uvyvu y la diferencia simétrica.

Solución:

.

01,51,4vu

01,5uv

1,4vu

5,1vu

10,4vu

NECUACIONES LINEALES

Las inecuaciones lineales que vamos a analizar en este aparte son de dos tipos:

una inecuación con una incógnita y dos inecuaciones con dos incógnitas.

Inecuaciones lineales con una incógnita

Son inecuaciones de la forma cbax , puede ser con cualquiera de los signos

de comparación. Para resolver inecuaciones de éste tipo se busca despejar la

I

-4 0 1 5 10

-4 0 1 5 10

-4 0 1 5 10

-4 0 1 5 10

xxxxxx

-4 0 1 5 10

xxxxxx

////////////

////// //////

////////////

7/21/2019 algebra


UNAD

132

variable, aplicando las propiedades estudiadas anteriormente y las leyes

matemáticas básicas; como la de los signos, términos semejantes y demás.

Resolver la desigualdad: 114x3

Solución: la idea es despejar x dejándola al lado derecho de la desigualdad.

aplicamos la propiedad 2.

3/7x3

7

3

x3

luego,3porosdimdivi,7x341144x3

La solución será todo valor mayor de 3/7

para comprobar reemplazamos cualquier valor de intervalo solución en la

intersección original; por ejemplo 0.

11411403

observamos que la solución No incluye el extremo, ya que es una desigualdad

estricta.

Hallar el conjunto solución de la desigualdad: 1x3x5x2

Solución: primero hacemos la multiplicación, luego:

310luego,3x310x33x3x10x2

como la desigualdad es verdadera, ésta es equivalente a la desigualdad original.

Ejemplo 1

3/7 0

Ejemplo 2

7/21/2019 algebra



133

Como la expresión es verdadera independiente del valor de x, nos indica que

cualquier valor es solución de la desigualdad.

Probemos; tenemos 3 valores para x.

121913335323x

31010305020x

5416210412325222x

como es obvio los extremos son abiertos ya que infinito es una símbolo más no

una cantidad.

Resolver: 12

x345

Solución: como debemos despejar x y por ser una desigualdad compuesta,

aplicamos las propiedades para tal fin.

21

2

2x3425

, multiplicamos todo por 2 para que la expresión

quede entera.

2x3410 , ahora restamos 4 a todo

2x31442x344410

Nos falta solo eliminar el 3 que acompaña a la x, luego dividimos todo por

3 , ojo el signo de la desigualdad cambia, recordemos la propiedad 7.

0

Ejemplo 3

7/21/2019 algebra


UNAD

134

3/14x3/2

3

2

3

x3

3

14

La solución será todos los x entre 2/3 y 14/3, vemos que incluye el extremo superior.

Hallar los valores de x que satisfacen la expresión.

02x

1

Solución: para que la función sea mayor que cero, como el numerador siempre

es positivo, entonces el denominador debe ser mayor que cero, esto sucede

cuando: 2x02x .

La solución son todos los valores mayores que 2.

Resolver la desigualdad: 1y332y5

Solución: como ya sabemos la técnica, procedemos secuencialmente a despejar

la incógnita. Entonces:

10y27377y237y2:Obtenemos

3y3y37y3y53y37y53y3310y5

0 2/3 2 4 14/3

Ejemplo 4

0 2

Ejemplo 5

7/21/2019 algebra



135

I

5y

2

10

2

y2:últimopor en este caso el signo de la desigualdad no

cambia, ya que se dividió por un valor

positivo.

La solución son los valores mayores de 5 ,5

Hallar el conjunto solución para la expresión:

2

1x

3

1x

Solución: lo primero que debemos hacer es transformar las fracciones a

enteros, ya que los denominadores son constantes. Luego:

x1:Finalmente

33x323x23x2x32x2x2

: Ahora.3x32x21x31x2

La solución son todos los valores mayores o iguales a 1 .

NECUACIONES RACIONALES

Las inecuaciones racionales son aquellas donde el numerador y denominador

de la fracción que la define son polinomios lineales, se pueden esquematizar

así:

,,conserpuede,0xQparacxQ

xP

Ejemplo 6

-2 -1 0 1 2

7/21/2019 algebra


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136

Resolver inecuaciones de éste tipo, se puede hacer por dos métodos, el que relaciona

el valor de la desigualdad respecto a cero, llamada por conectivos lógicos y el otrose le llama por diagrama de signos.

Con ejemplos modelos ilustrar los métodos propuestos.

Resolver la inecuación: 03x

2x

Solución: resolvámoslo por los dos métodos:

Método de conectivos lógicos: como la desigualdad está comparada con

cero, entonces; para que la fracción sea mayor que cero, hay dos posibilidades:

a. 03x,,02x . dicho en otras palabras cuando el numerador es

positivo y el denominador positivo, el cociente será mayor que cero.

Resolviendo:

3x,,2x . Obtenemos dos intervalos que debemos intersectar, ya que

la , indica intersección.

b. 03x,,02x . Cuando el numerador es negativo y el denominador

negativo, el cociente será positivo.

Ejemplo 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

,2;2x

,3;3x

,2:Soluciónxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

7/21/2019 algebra



137

3x03x;2x02x

Luego, para la fracción puede ocurrir: b,,a . Quiere decir que para que la

fracción sea positiva, puede ocurrir a ó b. Siendo , la disyunción, que indicaunión.

Con este principio la solución general es la unión de las dos soluciones obtenidas

en las posibildiades propuestas.

Solución: x2y3x;,23

La solución la dimos en forma de conjunto, en forma de desigualdad y en forma

gráfica.

Método de diagrama de signos: existe método que es relativamente más

corto que el anterior. Graficamos cada parte de la fracción y determinamos en

donde ésta es positiva y negativa en la recta real, por último hacemos ley de

signos para cociente que cumple la desigualdad. Veamos.

3críticopunto3x03x

2críticopunto2x02x

Luego miramos como es 2x y después de 2 , igual para 3x .

-2 0

-3 0

-3 0

2;2x

3;3x

3,:Solución

-3 -2 0

//////////

//////////

xxxxxxx

xxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxx

7/21/2019 algebra


UNAD

138

2x

3x

Solución:

La ley de signos para cociente produce que entre 3 la función sea

positiva, entre 2,3 la fracción sea negativa y entre ,2 la fracción sea

positiva.

Como la expresión original nos dice que la fracción debe ser positiva, entonces

la solución será la parte positiva de los intervalos; luego, la solución es:

,23,

vemos que las soluciones son iguales.

Hallar el conjunto solución para la expresión: 06x2

12x3

Solución:

Método conectivos lógicos: para que la fracción sea menor que cero, se

pueden presentar dos posibilidades.

a. 06x2,,012x3 , porque positivo sobre negativo produce un

cociente negativo

3x6x206x2

4x12x3012x3

02

0

Las x menores que 2 ,

son negativos y los

mayores que 2 ,

positivos

Las x menores que 3 ,

son negativos y los

mayores que 3 ,

positivos

Ejemplo 2

23

7/21/2019 algebra



139

b. 06x2,,012x3 , porque negativo sobre positivo produce

cociente negativo.

3x6x206x2

4x12x3012x3

Método diagrama de signos: despejamos la incógnita en numerador y

denominador para identificar los puntos críticos.

críticopunto,3x6x206x2

críticopunto,4x12x3012x3

Ahora, para 12x3 :

para 6x2 :

Cociente:

0 4

-3 0

-3 0 4

,4;012x3

3,,06x2

vacío:Solución

0 4

-3 0

-3 0 4

xxx x xxxxxx

4,;012x3

,3;06x2

4,3:Solución

0 4

-3 0

//////////

//////////

////////// //////////

7/21/2019 algebra


UNAD

140

xxxxx

como la fracción debe ser menor que cero, se toma el cociente que sea negativo

Solución: 4x3;4,3

Hallar la solución de la desigualdad.

03x

8x4

Solución:

Método conectivos lógicos:

a. 3xy2x:8x403xy08x4 , no puede ser igual

porque incluiría el denominador y no habría solución.

b. 3xy2x:8x403xy08x4

/////////////////

Ejemplo 3

0 2

-3 0

-3 0 xxxxxxxxx

//////////////////

,2;08x4

0 2

-3 0

-3 0

2,;08x4

3,;03x

3,:Solución

,3;03x

,2:Solución

7/21/2019 algebra



141

Solución total: ,23,

Método diagrama de signos:

críticopunto3x03x

críticopunto2x8x408x4

8x4para

3xpara

Cociente

Como el cociente de la fracción debe ser positiva o igual a cero, se escoge donde

se obtiene cociente positivo.

Solución: ,23.

Resolver 21x2

4x

Solución: antes de aplicar cualquiera de los métodos descritos, debemos llevar

la fracción a comparación con cero, veamos como se hace.

xxxxx

-3 0 2

xxxxxxxxx

20

03

03 2

Ejemplo 4

7/21/2019 algebra


UNAD

142

0

1x2

1x224x02

1x2

4x2

1x2

4x

operando y simplidicando:

01x2

6x3

Con esta última fracción si aplicamos cualquiera de los métodos propuestos,

para este caso vamos a aplicar el diagrma de signos.

Dejamos como ejercicio que usted estimado estudiante lo resuelva por conectivos

lógicos y compara resultados.

p2/1x1x201x2

2x6x306x3

6x3para

1x2para

cociente

Solución: ,22/1,

0 2

0 1/2

0 1/2 2

punto crítico

unto crítico

7/21/2019 algebra



143

EJERCICIOS: INECUACIONES LINEALES Y RACIONALES

1. Dada la desigualdad 42 cuál será la desigualdad obtenida si:

a. Se suma 4 Rta: 86

b. Se resta 10 Rta: 148

c. Se multiplica por 3 Rta: 5218

2. Expresar las siguientes desigualdades como intervalo y hacer la gráfica.

a. 4x Rta: 4,

b. 3x Rta: ,3

c. 2x5 Rta: 2,5

d. 8x0 Rta: 8,0

3. Expresar los siguientes intervalos como desigualdad.

a. 4,3 Rta. 4x3

b. 56, Rta: desarrollar con el tutor

c. 04,2 Rta. desarrollar con el tutor

4. Resolver los siguientes desigualdades lineales.

a. 75x2 Rta: 1,;1x

b. 6

x

23

x

Rta: ,12;12x

c. 75

3x23

Rta: 19,9;19x9

7/21/2019 algebra


UNAD

144

d. x

2

14x

3

19 Rta: ,6

5. Resolver las siguientes desigualdades racionales.

a. 02x3

4

Rta: 3/2x

b. 0x1

1x

Rta: ,11,

c.

0x

1x1x

Rta: 1,01,

d. 25x2

2x3

Rta: ,7/82/5,

e. 3R7

R7 Rta: 4/21R

7/21/2019 algebra



145

I NECUACIONES CUADRÁTICAS

Las desigualdades cuadráticas son de la forma 0cbxax2 ,

0cbxax2 ; también puede ser ó , con 0a .

La resolución de este tipo de inecuaciones, se puede hacer por los métodos ya

descritos en desigualdades racionales.

Como ya sabemos resolver una expresión cuadrática, solo la conjugamos con

las desigualdades.

Resolver la inecuación: 06xx2

Solución: primero expresamos el trinomio como factores lineales. Luego

aplicando el método de conectivos lógicos, debemos definir la siguiente

propiedad:

Si 0b,,0a,,0b,,0a:ocurrirpuede;0ba

Si 0b,,0a,,0b,,0a:ocurrirpuede;0ba

Aplicando el ejemplo propuesto:

02x3x06xx2 . Para que esto ocurra:

a. 2x,,3x02x,,03x

Ejemplo 1

0 3 //////////////

-2 0

0

,3;3x

2,;2x

vacío:Solución

7/21/2019 algebra


UNAD

146

b. 2x,,3x02x,,03x

Solución total: 3,23,2

Hallar la solución para la desigualdad:

012x4x2

Solución: usemos para este ejercicio el método de diagrama de signos, primero

expresamos el polinomio como producto de factores lineales.

críticopunto,2x2xpara

críticopunto,6x6xpara

02x6x

:luego,2x6x12x4x2

6x :

2x :

producto:

0 3

-2 0

//////////////////////

-2 0 3

3,;3x

3,2:Solución

Ejemplo 2

0 6

-2 0

-2 6

xxxxxxx xxxxx

7/21/2019 algebra



147

como la desigualdad debe ser mayor que cero; es decir, positiva, se selecciona los

intervalos que dieron positivo el producto.

Solución: ,62, , otra forma de dar la solución.

x6y2x

Aunque el ejemplo que proponemos en seguida no es cuadrático, pero se puede

resolver de igual manera que polinomios cuadráticos.

Hallar la solución de: xx4

Solución: recordemos que debemos llevar la desigualdad a compararla con cero,

luego:

01xx1xx01xx0xx 234

Resolvamóslo por diagrama de signos:

puntos críticos: 1xy0x ¡verifíquenlo!

El trinomio 1xx2 , no tiene solución real, pero podemos ver que esta expresión

siempre será positiva para todo Rx .

Entonces:

:x

:1x

1xx2

Ejemplo 3

0

0 1

0 1

7/21/2019 algebra


UNAD

148

producto:

Indica incluye extremo

Indica no incluye extremo

Solución: 1x0:decires;1,0 .

Observación: los ejemplos modelos muestran que las inecuaciones racionales y

cuadráticas (también polinómicas) se pueden resolver por el método de conectivos

lógicos o diagramas de signos, también llamado técnica del cementerio; por aquello

de las cruces. Cualquiera de los métodos es válido, pero en muchos casos es más

práctico el diagrama de signos, como lo veremos a continuación.

NECUACIONES MIXTAS

Se le ha denominado a aquellas inecuaciones que son racionales, pero el numerador

y denominador son polinomios cuadráticos o de mayor grado. Para este tipo de

desigualdades el método más adecuado es el de diagrama de signos.

Hallar la solución para: 0xx

6xx

2

2

Solución: expresamos la fracción como productos lineales.

1xx

2x3x

Ahora se identificamos los puntos críticos:

1x01xy0x

2x02xy3x03x

0 1

Ejemplo 1

I

7/21/2019 algebra



149

3x :

2x :

x:

1x :

producto:

como la desigualdad indica que la fracción es negativa; entonces la solución

es: 3,10,2

Resolver: 2

1x

2xx2

Solución: llevamos la fracción a compararla com cero; luego:

01x

x3x0

1x

2x22xx02

1x

2xx 222

Ahora expresamos el numerador como factores lineales:

0

1x

3xx

0 3

-2 0

0

0 1

-2 0 1 3

Ejemplo2

7/21/2019 algebra


UNAD

150

En seguida, podemos aplicar el diagrama de signos.

críticopunto,1x01x

críticopunto,3x03x

críticopunto0x

por las condiciones de la desigualdad, 1x .

:x

3x :

1x :

producto:

Solución: 3,10,

3x1y0x

En la medida que se estudien detalladamente los ejemplos modelos y se

resuelvan los ejercicios propuestos, se podrá comprender, interiorizar y aplicar

las temáticas de inecuaciones, en cualquier contexto.

0 3

0 1 3

0 1

0

7/21/2019 algebra



151

EJERCICIOS: INECUACIONES MIXTAS

1. 0x41x2x Rta: ,41,2 U

2. 12x2x2 2 Rta: 3,2

3. 8x4x2

1 Rta: 20,

4. 0x3x2x23

Rta: ,30,1

5. 23 xx Rta: x1

Hallar el conjunto solución de las inecuaciones racionales polinómicas

propuestas a continuación:

6. 12x

4x

Rta: 2x

7.1x1x

1x5x2

Rta: ,21,13,

8. 0x2x

xx

2

2

Rta: 1,00,2

9. 010x3x

2x

2

Rta: ,52,2

10.

0

10x3x

5x4x3x

2

22

Rta: ,44,33,55,

7/21/2019 algebra


UNAD

152

Para resolver problemas con inecuaciones, aparece una inquietud nueva y es

el planteamiento de la desigualdad, lo cual se hace por medio de una lectura

y análisis cuidadoso del problema, se debe comprender términos como: a lo

más, mínimo, máximo, que son quienes darán las condiciones para plantear

la inecuación.

Por favor lea el problema las veces que sea necesarias hasta que sea biencomprendido, ya que así es posible plantear la inecuación.

Esperando que los ejemplos modelos seleccionados sean suficientes para

enfrentarse a cualquier situación.

La función utilidad al valor x unidades está dado por:

120x7xP 2 , ¿cuál será el mínimo de unidades para que no haya pérdida,

tampoco ganancia?

Solución: para que no haya pérdida, ni ganancia, 0P . Entonces.

015x8x120x7x0 2

por la ley de producto nulo:

15x015xy8x08x

En número de unidades que se debe producir para que no haya pérdida ni

ganancia es de 15.

ROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNAVARIABLE

Ejemplo 1

P

7/21/2019 algebra



153

Para el problema del ejemplo 1, cual será el número mínimo de unidades para

obtener ganancia.

Solución: para obtener ganancia 0P , luego:

críticopunto,15x015x

críticopunto,8x08x

signosdemagradiapor,015x8x

oresolviend,0120x7x2

8x :

15x :

producto:

Solución: ,158,

por las condiciones del problema es obvio que la solución debe ser positiva.

Entonces para obtener utilidad se deben producir más de 15 unidades; es decir,

mínimo 16 unidades.

-8 0 15

0 15

-8 0

Ejemplo 2

7/21/2019 algebra


UNAD

154

En una clase de matemáticas un estudiante obtuvo las notas en sus primeras

cuatro evaluaciones de 60, 80, 78, 82, faltando el examen. Para obtener una

calificación de aprobatoria el promedio de las 5 notas debe ser mayor o igual a

80 y menor que 95, ¿cuál debe ser la nota mínima que necesita el estudiante

para aprobar el curso?

Solución: según las condiciones del problema, el promedio de las notas es:

5

x84788568 , este promedio debe estar entre 80 y 90 para aprobar, luego:

160x85

:luego,315475x300300315400

475x315400

955

x8278806080

para aprobar el curso, el estudiante debe obtener mínimo 85 de calificación en el

examen.

En la fabricación de un equipo para calentamiento, la renta obtenida por venta de

x unidades es de 450x. El costo de producción para x equipos es 200x + 750,

¿cuántos equipos mínimo se deben fabricar para obtener utilidad?

Solución: la utilidad se mide así: ingresos- egresos, luego.

0750x200x450

Ejemplo 3

Ejemplo 4

7/21/2019 algebra



155

xxxxx

0750x2500750x200x450 , luego:

3250

750x750x250 , por consiguiente:

3x . Se deben fabricar mínimo 4 equipos para obtener utilidad.

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 m/seg.

La distancia y de la pelota al suelo después de t segundos es: 2t16t80y .

¿En qué intervalo de tiempo la pelota estará a más de 96 metros de altura?

Solución: como entonces,96yademásyt16t80y 2

096t16t8096t16t80 22 , luego por cambio de signo:

096t80t16 2 , dividiendo por 16 tenemos:

06t5t2 , factorizamos

02t3t , resolvemos por conectivos lógicos

a. 02t,,03t , recordemos mayor y menor, produce menor

2t,,3t

No hay solución, ya que la intersección es

b. 02t,,03t , para este caso, menor y mayor da menor

2t,,3t

La solución es 3,2 , luego la pelota estará a más de 96 metros entre 2 y 3

segundos.

Ejemplo 5

//////////////// 0 3

0 2 3

7/21/2019 algebra


UNAD

156

Lea cuidadosamente cada problema y resuélvalos con todos los pasos necesarios.

1. El costo de producir x unidades está dada por la expresión:

x6xc 2 , la utilidad por concepto de ventas está dada por xx2u 2 ,

¿cuántas unidades se deben vender para obtener la utilidad?

Rta: 5x

2. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, cuya función altura está dada

por t147t8.9h 2 , donde h en metros y t en segundos. ¿En qué intervalo

de tiempo el objeto estará por encima de 529,2m?

Rta: 9t6

3. Según la ley de Boyle, para un gas específico a temperatura constante; se

tiene la relción 200 V.P . Donde P es presión en p si y V volumen en 3lgp

¿En qué intervalo se desplaza la presión; si el volumen se encuentra entre

25 y 50 plg?

Rta: 8p4

4. El cuerpo humano tiene una temperatura normal de 37°C; si una

temperatura x difiere a lo normal en menos en 2°, se considera anormal,

¿cuál será el intervalo de temperatura para que considere anormal?

Rta:C37x

yC35x

5. La función ingreso por venta de un producto está dado por la

ecuación

2

x5

1

x40 . El costo de producir una unidad del artículo es de

$28, ¿cuántos relojes se deben vender para que la utilidad sea de $100?

Rta: 50x10

EJERCICIOS: PROBLEMAS CON INECUACIONES DE UNA VARIABLE

7/21/2019 algebra



157

NECUACIONES CON DOS VARIABLESI

Las inecuaciones con dos variables son aquellas de tipo:

Rksiendo,kbyax,lbxax 2 .

Inicialmente analizaremos la técnica de resolución de este tipo de inecuaciones

y posteriormente algunas aplicaciones.

Resolver una inecuación con las variables es hallar, un conjunto de puntos

en el plano, que llamaremos R que satisfagan la desigualdad.

Vamos a describir una metodología general para resolver desigualdades con

dos variables:

1. Dada la desigualdad, graficar la ecuación que aparece al cambiar de ó

a =. Si la desigualdad es ó ,usar líneas interrumpidas;pero si la

desigualdad es ó , usar líneas continuas.

2. La gráfica divide el plano en 2 semiplanos, se prueba un punto y,x de cada

semiplano, para determinar cuál de ellos la desigualdad es verdadera.

3. El punto que haga verdadera la desigualdad incluye el semiplano que lo

contiene, luego dicho semiplano será la solución, generalmente se subraya

o sombrea.

Resolver la desigualdad 2y

Solución: primero hacemos y = 2 y graficamos

Ejemplo 1

7/21/2019 algebra


UNAD

158

Solución el semiplano superior.

Resolver el sistema x2y

Solución: primero hacemos x2y y graficamos 2,1,0,0 que satisfecen la

ecuación propuesta.

2y

x

y

.P

.Q

Ahora reemplazamos un punto en

los dos semiplanos obtenidos.

3,2P para este punto 2y . La

desigualdad se hace verdadera

1,1Q , para este punto 2y , no

es verdadera

Ejemplo 2

x

y

Q1

2

3

1 3

Como tenemos los dos semiplanos,

reemplazamos un punto en cada

uno de estos.

4y22yLuego.2,2P

entonces 4y es verdadero, ya

que 2y .

1,3Q . Luego 6y32y

6y , es falso porque 1y Solución el semiplano que contiene

a P

P

2 1

7/21/2019 algebra



159

Hallar el conjunto solución de: 2y2x

Solución: primero planteamos la ecuación 0y2x , para

1y,2xpara,0y;0x .

Escogemos dos puntos, uno por encima

y otro por debajo de la recta, digamos

2,2Qy2,2P .

Ahora para P tenemos:

2222 verdadero

La solución será el semiplano que

contiene a Q.

Recordemos que la línea es inte-

rrumpida porque la desigualdas es

estricta.

Enseguida veremos la resolución de unn sistema de desigualdades.

Resolver el sistema: 4yx2y2yx

Solución: como en los casos anteriores.

x

y

P

Q

Ejemplo 3

Ejemplo 4

7/21/2019 algebra


UNAD

160

Para 4yx2 , escogemos los puntos 2,2qy4,3p . Ahora:

para 4432:p , falso

para q: 4222 , verdadero

La solución será el semiplano que contiene a q.

Hallar la solución para: 2y4x

Solución: 0y4x 2 , graficamos

para p: 0142 , verdadero

para q: 03442

, falso

1,2p

x

3,4Q

42

2

x

y

y

.P

q. .a4yx2

2yx

4yx2y2yx para

graficar.

Para 2yx . Escogemos los

puntos 1,2by2,2a ,

para 222:a , verdadero

para 212:b , falso

La solución será el semiplano

que contiene el punto a.

.b

Ejemplo 4

7/21/2019 algebra



161

Solución es la región que contiene p, es decir la parte interna de la curva.

Hallar la solución común para el sistema:

6yx2;4yx;0y;0x

Solución: graficar 6yx2y4yx,0y,0x , obtenemos 4 rectas

que encierran una región del plano, dicha región será la solución común.

ISTEMA DE INECUACIONES; PROBLEMAS

Para raesolver problemas que involucran inecuaciones, lo fundamental es plantear

las desigualdades, ya que la resolución de éstas se puede hacer como lo planteamos

anteriormente.

Una almacén vende dos clases de artículos, la demanda exige tener al menos

tres artículos, tipo A que tipo B. Además se debe tener al menor 12 artículos tipo

B. El espacio permite tener máximo 80 artículos exhibidos.

Ejemplo 6

x

y

6yx2

4yx 0y

Gráficamente, la solución esla región que rodea las 4

rectas.

Por favor estimado estu-

diante verifique las 4

soluciones individuales.

Ejemplo 1

S

7/21/2019 algebra


UNAD

162

70

50

30

Plantear elsistema de desigualdades y describir la región solución del sistema.

Solución: si leemos cuidadosamente el problema, podemos plantear:

x = cantidad artículo A

y = cantidad artículo B

y3x tener tres veces de artículos tipo A que B

12y tener al menos 12 artículos tipo B

36x tener tres veces artículos tipo A

80yx capacidad de exhibición en la tienda

La compañía desea comprar cable tipo AA y tipo BB para instalaciones

telefónicas, para el cual cuenta con un capital que oscila entre 600 y 1.200

millones de pesos. El valor de la unidad de cable tipo AA es de 400 mil pesos y

de tipo BB es de 300 mil pesos. La compañía requiere al menor dos veces más

cable tipo BB que tipo AA. ¿Cuál será la zona de solución del sistema y enumerar

2 posibles propuesta de compra?

Solución: se x = cable tipo AA y y = cable tipo BB, según el problema:

1

x

y

36x

y3x

Región de la solución

12y

10 30 50 70

Ejemplo 1

80yx

7/21/2019 algebra



163

y

.P

Q

.

.

.x

a. 600y300x400 valor mínimo de capital para la compra

b. 200.1y300x400 valor máximo de capital para la compra

c. x2y requerimiento de cable

Vamos a resolver cada desigualdad por separado y al final las agrupamos para

tener la solución total. Entonces:

a. 6y3x4600y300x400

b. 12y3x4200.1y300x400

.x

y

.P

Q. .

Tenemos dos puntos para graficarla recta:

para 23/6y;0x

para 4/6x;0y

Veamos si el punto

2,2Qo3,2p es solución de la

desigualdad.

para 63324:p , verdadero

para 62324:Q , falso

como p es solución, el semiplano

que contiene p es la solución.

para 4y;0x

para 3x;0y

sea 2,2Qy2,4p

para

122344:p

, falso

para 122324:Q ,

verdadero

7/21/2019 algebra


UNAD

164

c. x2y

Agrupando las tres gráficas:

y

.PQ

..

. x

para 0y;0x

para 4y;2x sea 2,2Qy2,3p

para 222:p , falso

para 222:Q , verdadero

Solución el semiplano que contiene

a Q

y

..

. x

. .

12y3x4

6y3x4

La región R solución, está demarcada por las líneas oblicuas.

Una posible solución es:

2,2/1 ,ya que está dentro de R

Otra posible solución es: 2,1 .

Así las demás posibles soluciones

x2y

7/21/2019 algebra



165

EJERCICIOS: SISTEMA DE INECUACIONES

Para los siguientes problemas, leerlos cuidadosamente y resolverlos. Las

respuestas dadas son matemáticas; las gráfics no, por lo cual se deben compartir

con sus compañeros y su tutor.

1. x2y4y3yx3 Rta: hacer la gráfica

2. 10y5x2y0xy Rta: hacer la gráfica

3. 22y2x3y19y3xy2yy1x Rta: hacer la gráfica

4. Un negociante de fina raíz vende casas y apartamentos, por la demanda se

debe tener al menos tres veces más casas que apartamentos. Se debe tener

disponible al menos 6 casas y 2 apartamentos para su ocupación. Las casas

cuestan 30 millones y los apartamentos 20 millones. El comerciante desea

mantener sus costos de inventario en 600 millones o menos. Elaborar el

sistema de desigualdades y hacer la gráfica.

Rta:600 A 20c30

10 A 2c;2 A ;6c

5. Una refinería de petróleo puede producir hasta 5.00 barriles por día, el petróleo es de

dos tipos A y B del tipo A se deben producir por día al menos 1.000 y a lo más 3.500

barriles, si hay una utilidad de 7 dólares por barril para A y 3 dólares por barril para

B. ¿Cuál será la utilidad máxima por día?

Rta: 3.500 tipo A y 1.500 tipo B

6. La empresa Sport fabrica dos tipos de balones para fútbol, el modelo pieduro

de una utilidad de 20 mil pesos y el modelo pie blando una utilidad de 13

mil pesos, para satisfacer la demanda la empresa debe producir diriamente

del modelo pieduro entre 20 y 100 inclusive, mientras que del modelo

pieblando entre 10 y 70, inclusive, por las condiciones de la fábrica el total de

producción diaria debe ser máximo de 150. ¿Cuántos balones se deben fabricar

en un día para obtener la máxima utilidad?

Rta: 100 balones pieduro y 50 balones pie blando

7/21/2019 algebra


UNAD

CUACIONES E INECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto es una figura matemática que se creó con el fin de relacionar

un valor con una distancia. En los casos de matemática básica se estudia el

concepto de valor absoluto de un número. Vamos a estudiarlo con algo de detalle.

Valo r abso lu to : la definición del valor absoluto de un número x,

esquematizado así: x , es como sigue:

0xsix

0xsi00xsix

x

Esta definición quiere decir que el valor absoluto de una cantidad positiva, es

positivo. El valor absoluto de una cantidad negativa, es negativo, y el valor

absoluto de cero es cero.

Como vemos el valor absoluto está relacionado con una medida de distancia,

ya que el valor absoluto de cualquier cantidad siempre será positivo.

Hallar el valor absoluto de ,5,10

Solución:

positivovalorunesqueya;

55ndosimplifica;negativoes5porque,55

positivoes10porque,1010

E

Ejemplo 1

algebra

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