lgebra

N D I C E

Captulo

I. Factorizacin I: Factor comn - Identidades ........................................................................ II. Factorizacin II: Agrupacin - Aspa simple ......................................................................... III. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. IV. Ecuaciones de primer grado con enunciado ........................................................................ Factorizacin IFactor comn - IdentidadesCaptulo I

FACTORIZACIN

Factorizar: (x - y)x + (x - y)y; indicando la suma de sus factores primos.Es un proceso que consiste en escribir una expresinalgebraica mediante producto de factores primos.MTODOS DE FACTORIZACINExisten muchos mtodos para factorizar, pero hoy slo veremos dos:Factor comnEste mtodo consiste en ubicar los coeficientes y variables comunes, es decir, los que se "repiten" en cada trmino del polinomio dado. Luego, estos elementos sern escritos fuera de un parntesis, en cuyo interior se ubicarn los cocientes que resulten al dividir cada trmino entre los elementos hallados.* Ejemplos: Factorizar: 5x8 - 5x7 + 5x4Solucin:Dado el polinomio: 5x8 - 5x7 + 5x4

Solucin:el factor comn es (x - y)Luego: (x - y)x + (x - y)y = (x - y)(x + y)piden: (x - y) + (x + y) = 2x Indicar el nmero de factores primos, luego de factorizar:xm2 - xn2Solucin:Extraemos el factor comn "x":xm2 - xn2 = x(m2 - n2 )descomponemos en dos factores= x(m + n)(m - n)xUbicamos coeficientes y variables comunes: 5; x4Entonces tenemos: 5x4 (x4 - x3 + 1)

Los factores primos del polinomio son existen tres factores primos

m + n m - nOJOObserva que la variable comn es retirada con el menor exponente!! Factorizar: 24 x8y5 - 32 x4y7 + 20x7y9Solucin:Ubicamos coeficientes y variables comunes: 4; x4; y5Luego tenemos: 4x4y5 (6x4 - 8y2 + 5x3 y4) Factorizar:a. 2ab2x2 - 4ab2xy + 6ab2y2b. 3m2n3 + 3m3n2 - 6mn

IdentidadesEn este mtodo haremos uso de los Productos Notables: [a + b]2 = a2 + 2ab + b2(binomio al cuadrado)[a + b][a - b] = a2 - b2(diferencia de cuadrados)* Ejemplos:1. Factorizar: x2 + 6x + 9Solucin:Reescribiendo el polinomio tenemos:x2 + 6x + 9 = x2 + 2(x)(3) + 32Solucin:a. 2ab2x2 - 4ab2xy + 6ab2y2 = 2ab2(x2 - 2xy + 3y2)b. 3m2n3 + 3m3n2 - 6mn = 3mn(mn2 + m2n - 2)

Note que este resultado corresponde a"binomio al cuadrado"2. Factorizar: 16x2 + 24xy + 9y2

= (x + 3)2Solucin:

16x2 + 24xy + 9y2

Factorizar: 4a4x6 - 25b6y4Solucin:= (4x)2 + 2(4x)(3y) + (3y)2= (4x + 3y)23. Factorizar: 4x2 - 49Solucin:Aplicaremos "diferencia de cuadrados", pero antes, reescribiremos el polinomio:

4a4x6 - 25b6y4= (2a2x3)2 - (5b3y2)2= (2a2x3 + 5b3y2)(2a2x3 - 5b3y2) Factorizar: x4y3 - x2y5 ; indicando sus factores primosSolucin:4x2 - 49 = (2x)2 - (7)2

x 4 y3 x2 y5 x 2 y3

x2 y2Luego tenemos: [2x + 7][2x - 7]

x 2 y3 (x + y)(x - y)Trinomio que es un cuadrado perfecto(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2* Ejemplo:

Los factores primos son:Suma y diferencia de cubos

x yx + y x - y Factorizar: 9x2 - 12xy + 4y2Solucin:9x2 - 12xy + 4y2 = (3x)2 - 2(3x)(2y) + (2y)2= (3x - 2y)2

* Ejemplos:

a3 +b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) Factorizar: a3 - 27Diferencia de cuadradosLa forma de factorizar queda sugerida por el tipo:a2 - b2 = (a + b)(a - b) Factorizar: x2 - 25Solucin:x2 - 25 = x2 - 52= (x + 5)(x - 5) Factorizar: x4 - 16

Solucin:x4 - 16= (x2)2 - 42= (x2 + 4)(x2 - 4)= (x 2 +4)(x2 - 22 )

Solucin:Transformando a una diferencia de cubos a3 - 33 = (a - 3)(a2 + 3a + 32)= (a - 3)(a2 + 3a + 9) Factorizar: x3 + 8Solucin:Transformando a una suma de cubos x3 + 23= (x + 2)(x2 - 2x + 22)= (x + 2)(x2 - 2x + 4) Factorizar: 64x3 - 125y3Solucin:Transformando a una diferencia de cubospolinomioprimo

se descomponeen 2 factores

64x3 - 125y3 = (4x)3 - (5y)3= (x2 + 4)(x + 2)(x - 2)

= (4x - 5y)[(4x)2 + (4x)(5y) + (5y)2]= (4x - 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) Factorizar: a6 - b6 e indicar el nmero de factores primosSolucin:Transformando a una diferencia de cuadrados

6. Factorizar: am2 - 9aa) m(a + 3)(a - 3) b) a(m + 3)(m - 3) c) a(m + 9)(m - 1) d) a(m + 9)(m - 9) e) m(a2 - 9)a 6 b6

2 2a3 b3

7. Indicar el nmero de factores primos del siguiente polinomio: a3 b3

a3 b3

P(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 6)Factorizacin II Agrupacin y Aspa SimpleCaptulo IIContinuando con el tema, estudiaremos dos mtodos ms:AgrupacinEs un mtodo similar al del "factor comn", con la diferencia de que su aplicacin es hecha no en todos los trminos, sino slo en aquellos con caractersticas comunes.* Ejemplos:1. Factorizar: (x + y)m - (x + y)nSolucin:Notemos que el binomio (x + y) es comn a ambos trminos.Luego, factorizando tenemos:(x + y) . [m - n]2. Factorizar: a2x + b2y + a2y + b2xSolucin:En este caso, consideremos a los trminos con factores comunes:a2x + b2y + a2y + b2xOrdenando sus trminos, tenemos:a2x + a2y + b2x + b2yFactorizandoFactorizando= a2(x + y) + b2(x + y)= (x + y).[a2 + b2]ASPA SIMPLEEste mtodo lo aplicaremos a trinomios cuadrticos de la forma:ax2 + bx + c

* Ejemplos:1. Factorizar: x2 + 7x +12Solucin: tenemos: x2 + 7x + 12 x 3 x 4Multiplicando en aspa, tenemos por resultados: 4x; 3xSi sumamos ambos resultados, tenemos: 4x + 3x = 7x justamente el trmino lineal.As que el resultado ser: (x + 3)(x + 4)Nota que el resultado consiste en escribircada lnea horizontal del desdoblamiento2. Factorizar: 3x2 - 5x - 2Solucin:Desdoblando y multiplicando en aspa tenemos:3x2- 2 3x +1 x-2Verificando:- 6x+ x- 5xAs que el resultado es: (3x + 1)(x - 2)3. Factorizar: x4 - 13x2 + 36Solucin:Utilizando el aspa simple:x4 - 1 2 + 36 x2 -9 x2 -4Desdoblamos en factores los trminos cuadrtico e independiente, de tal manera que al multiplicar en aspa (de ah el nombre del mtodo) la suma de sus resultados nos d el trmino lineal.

Verificando:

- 9x2- 4x2- 13x2Entonces tenemos:x4 - 13x2 + 36 = (x2 - 32)(x2 - 22)= (x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)Observa que hemos aplicado el mtodo de Identidades.Problemas para la claseBloque I

8. Indicar un factor primo luego de factorizar:x2 + 7x + 12a) x + 12b) x2 + 7c) x2 + 3 d) x + 3e) x - 49. Sealar un factor de: x2 + 10x + 21a) x + 10b) x + 7c) x + 21 d) x - 3e) x - 710.Factorizar:1. Factorizar: x2 + xy + zx + zya) (x + y)(x + z) b) (x + z)(x + y + 1) c) (x + 1)(y + z) d) (x + y)(x + z + 1) e) (x + y + 1)(x - z)2. Factorizar: ax - bx + ay - bya) (a + x)(b + y) b) (a + b)(x - y) c) (a + b)(x + y) d) (a - b)(x + y) e) (a - b)(x - y)3. Factorizar: abc + ab + c + 1a) (c + 1)(a + b + 1)b) (c + 1)(ab + 1) c) (c + b)(ab + 1)d) (c + 1)(a + b) e) (c + a)(b + a + 1)4. Factorizar: F(x) = x5 + ax3 + 2x2 + 2aa) (x2 + a)(x3 + 2) b) (x2 + 2)(x3 + a)c) (x2 + 2)(x3 + a + 1) d) (x2 + a + 1)(x3 + 2)e) (x3 + 2)(x + a2)5. Factorizar: x2y + xy + zx + za) (x + 1)(x + y) b) (x + 1)(x + z)c) (x + 1)(xy + z) d) (x + 1)(x - y + z)e) (x + 1)(x + y + z)6. Factorizar:

x2 + 6x + 5Dar como respuesta la suma de sus factores.a)2x + 5b) 2x + 1c) 2x + 6

d)2x - 6e) x2 + 6

Autoevaluacin1. Factorizar: ax + mx + ay + my

4. Factorizar: ax2 - 5ax + 6aa) (a + m)(x + y)b)(a + x)(m + y)a) a(x + 3)(x + 2)b)x(a + 3)(a + 2)

c) (a + x)(x + m)d)(a + y)(m + y)c) a(x - 3)(x - 2)d)x(a - 3)(a - 2)

e) ax + mye) a(2x + 1)(2x - 1)

2. Factorizar: x2 - 4x - 5Indicar la suma de sus factores primos.a) 2x + 1b) 4x - 2c) 2x + 4 d) 2x - 2e) 2x - 43. Factorizar: 4x2 - 4x + 1

5. Factorizar: a2 + 10a + 25a) (a + 5)2b) (a - 5)2c) (a + 25)2d) (a - 25)2e) (2a - 5)2

a) (x + 1)2b) (x - 1)2c) (2x - 1)2

d) (2x + 2)2e) (2x - 1)

Ecuaciones de primer gradoCaptulo IIIEn matemticas se trabaja con igualdades. Si son ciertas para algunos valores, se llaman Ecuaciones. Otras igualdades que son ciertas siempre, se llaman Identidades.Observa:x + 3 = 7Esta igualdad, se verifica nicamente si: x = 4; por lo tanto, se trata de una Ecuacin.Ahora observa: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9Esta igualdad se verifica para cualquier valor de "x", por lo tanto se trata de una Identidad.LAS ECUACIONESSe llama Identidad a aquella igualdad que se satisface para cualquier valor asignado a sus letras. Por ejemplo, el cuadrado de un binomio, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, es una identidad. Cualquiera sea el valor que adopten las letras a y b, la igualdad se verifica siempre.

ecuacin. De este modo, al reemplazar las incgnitas por las races se tiene una igualdad numrica:x - 1 = 3x - 11Reemplazando: x = 5 5 - 1 = 3 . 5 - 114 = 15 - 114 = 4Las ecuaciones se pueden clasificar en polinmicas, fraccionarias e irracionales. Las enteras son aquellas en que las incgnitas estn sometidas a las operaciones de suma, resta y multiplicacin:3x + 2 = 5x - 8Ecuacin polinmicaLas fraccionarias poseen al menos una de sus incgnitas en el denominador: 3x + 2 = 5x - 3Ecuacin fraccionariaLas irracionales tienen una incgnita bajo el signo radical:x + 3 = x - 23 1010 37Para ampliar la comprensin debemos imaginar sobre las cartas los posibles nmeros que hacen coincidir los resultados.3 + x = 10x = 10 - 3 x = 7En cambio, hay igualdades que se verifican slo para algunos valores concretos; son las llamadas Ecuaciones. Las letras que intervienen en una ecuacin son las incgnitas y los valores de esas letras son las races de la

Ecuacin irracionalLas ecuaciones pueden tener una o dos incgnitas y su grado tambin puede variar.Ecuaciones de Primer gradoLas ecuaciones de primer grado con una incgnita son aquellas en las que la nica incgnita est elevada a la primera potencia: 2x + 3 = 15La letra "x" es la incgnita y los nmeros 3 y 15 son los trminos independientes. Cada una de las partes en que queda dividida la ecuacin por el signo = se denomina miembro.Para resolver la ecuacin se despeja la incgnita, es decir, ella debe quedar en un miembro de la igualdad, mientras que los trminos independientes tienen que pasar al otro miembro.Para despejar la incgnita, cada trmino que acompaa a la "x" cambia de miembro con la operacin inversa a la que inicialmente tena, es decir, la de sumar pasa a restar, mientras que la de multiplicar pasa a dividir y viceversa:2x + 3 = 152x = 15 - 32x = 12x = 12 2x = 6El 3 que sumaba en el primer miembro pasa restando al

x 7 2x x 1segundo. El 2 que multiplicaba pasa dividiendo al segundomiembro.

6 1 3 2 1

Luego: M.C.M. = 6Si se reemplaza el valor de "x" en la ecuacin se obtiene una igualdad numrica:2 . 6 + 3 = 1512 + 3 = 1515 = 15

6 - 13 - 11 - 1

- 3 -- 3 -- 1 -

2 - 1 21 - 1 31 - 1Ecuacin de primer grado8x - 6x = -4 - 6

As tenemos:

x + 42 = 4x + 3x + 642 - 6 = 4x + 3x - x2x = -10x = - 102x = -5

36=6x6=x3. Resolver la ecuacin:

Procura siempre que la variable permanezca con coeficiente positivoPara resolver esta ecuacin se agrupan los trminos con incgnitas en un miembro y los trminos independientes en el otro:

Solucin:

4x + 3 [2x - 4(x - 2)] = 72 - 6xx3 -= 3x + 172x-- 3x = 17 - 32

Resolviendo el parntesis:4x + 3 [2x - 4x + 8] = 72 - 6xEliminando el corchete, se obtiene:4x + 6x - 12x + 24 = 72 - 6xx 6x2

= 14

Transponiendo al primer miembro todos los trminos con "x" y al segundo los numricos tendremos:-7 x = 28x = -4Problemas resueltos

4x + 6x - 12x + 6x = 72 - 24 reduciendo:4x = 4848x =1. Resolver: 2x + 7 = x + 10

4 x = 12Solucin:Transponiendo trminos tenemos:2x + 7 = x + 10Recuerda que al

Ah! ... y no olvides

4. Resolver la ecuacin:(1 + 3x)2 = (5 - x)2 + 4(1 - x)(3 - 2x)Solucin:Resolviendo los parntesis:transponer trminos, estos cambian de signo.

2x - x = 10 - 7 x = 3

que la incgnita debes ubicarla a un solo lado de la igualdad.

1 + 6x + 9x2 = 25 - 10x + x2 + 12 - 20x + 8x2Transponiendo trminos al otro:9x2 - x2 - 8x2 + 6x + 10x + 20x = 25 + 12 - 1x 7 2x x 2. Resolver: 6 3 2 1Solucin:En pri mer luga r, e fect uam os e l M. C.M. a l os denominadores:

Uniendo trminos semejantes:36x = 3636x =36x = 15. Resolver la ecuacin:3(x 8) x 125Solucin:

6. Resolver:2(x + 3)2 + (x + 1)2 = 3x(x + 2) + 35Solucin:Resolviendo los parntesis:3(x 8) x 1

2(x2

+ 6x + 9) + x2

+ 2x + 1 = 3(x2

+ 2x) + 35251

2x2 + 12x + 18 + x2 + 2x + 1 = 3x2 + 6x + 35Reduciendo trminos semejantes:Luego:

(5)(3)(x - 8) = 2x + 1015(x - 8) = 2x + 1015x - 120 = 2x + 10

223x + 14x + 19 = 3x + 6x + 35Transponiendo trminos:Transponiendo trminos:15x - 2x = 10 + 12013x = 130x = 13013x = 10

3x2 + 14x - 3x2 - 6x = 35 - 198x = 1616x =8x = 2Bloque I

Problemas para la clase

5x5.2

25Resolver las siguientes ecuaciones:1.2x + 3 = x + 5a) 0b) 1c) 2 d) 3e) 42.3x + 1 = x + 13a) 2b) 4c) 6 d) 8e) 103.3x - 1 = x + 9a) 1b) 3c) 5 d) 7e) 92x

a) 10b) 5c) 0 d) 1e) -16.2x 1 33a)2b)3c)4

d)5e)6

7.x 2 43a) 14b) 13c) 12 d) 11e) 104.3 4

8.x x 25a) 2b) 4c) 6 d) 8e) 10

2 3 6a) 4b) 5c) 6d) 7e) 89.x x 53 4

6. Hallar "x" en la siguiente ecuacin:(x + 5)(x + 4) = (x + 3)(x + 2)a) 60b) 50c) 40 d) 30e) 10

a) 72

b) 1c) 210.x 1 x 2 22 4

d) 7e) 47. Indicar el valor de "x": (x - 1)2 = x2 + 13a)0b) 1c)2

d)3e) 4

11.

x 2 3

x 3 523

8. Resolver: 5(x + 1) + 3(x - 2) = 3(3x - 2)a) 1b) 2c) 3a) 0b) 1c) 2 d) 3e) 4

d) 4e) 5[(x 2 )3 ]4

(24 )9

9. Resolver:

1 x x 1 16 2x12.

x 23

3 (27 )5

2 6 3 9a) 1b) -1c) 0 d) 2e) -2Bloque II

10.Resolver:

x 1 6 1 x 71. Hallar "x" en la ecuacin: 4(x + 1) = 20

2 5 10a) 1b) 4c)2a) 20b) -12c) 9

d) 3e) 5d) -16e) -20

2. Resolver: 3(x + 1) + 4 (x - 2) = 16a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 53. Indicar el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26 a) 1b) 2c) 3d) 4e) 54. Resolver: (x + 1)2 = x2 + 13

5. Resolver: (x - 3)2 = (x + 5)2

1

Ecuaciones de primer grado con enunciadoCaptulo IVPREMBULOLa comunicacin, es una actividad muy importante para la vida y desarrollo de todo ser, pues as se pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre, de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, para poder comunicarse, han logrado desarrollar diferentes tipos de lenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticados como en el caso de los delfines o los murcilagos (que inclusive llevaron al hombre a inventar el radar).Estos animalitos, emiten seales sonoras de alta frecuencia, imperceptibles al odo humano.Existen otros lenguajes, quizs, ms "sencillos" de comprender como es el caso del perro. Es sabido que al llegar a casa, l te recibir "saludndote" moviendo la colita. Esta es una seal de afecto o tambin cuando en algn momento al acercarnos nos grue; esta es una seal de incomodidad.El ser humano, logicamente, no esperaba esta caracterstica; sin embargo l ha logrado desarrollar diferentes tipos de lenguajes, como por ejemplo: el lenguaje simblico, el lenguaje cromtico, el lenguaje gestual, el lenguaje matemtico, el lenguaje textual, etc.Observa los siguientes grficos:

Indica peligro

Indica proceso correcto

Indica primeros auxilios

Indica servicios higinicos masculinosCorresponden al lenguaje simblico.Cuando caminamos por las calles y el semforo est en verde para ti, indica que puedes cruzar la pista. Cundo vas a la playa y ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar est demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos son ejemplos del LENGUAJE CROMTICO.Ahora estos ejemplos corresponden al LENGUAJE GESTUAL:

Indica que algo est correcto

Indica silencio

Indica que algo est incorrectoEn el lenguaje matemtico hacemos uso de los "nmeros" (que en realidad son los numerales) y de algunas operaciones conocidas (adicin, sustraccin, multiplicacin, etc.) Observa los ejemplos:2 25 2 7 + 3 x 25 ; 3 En el lenguaje textual hacemos uso de las letras (que en realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplo de este lenguaje es todo lo que has ledo anteriormente.En el tema de hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemtico y el textual, interpretndolos de manera adecuada para la solucin de problemas.PARTE TERICAEn este tema no hay una teora nueva. Todas las herramientas que necesitas para solucionar problemas, t ya las conoces.Quizs lo ms dificultoso que pueda haber, es interpretar adecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguaje matemtico. No hay una regla especfica para esta "traduccin" sin embargo, aqu tienes unos ejemplos que de seguro te ayudarn:LENGUAJE TEXTUALLENGUAJE MATEMTICO

La suma de dos nmerosa + b

La suma de los cuadrados de dos nmerosx2 + y2

El cuadrado de la suma de dos nmeros(x + y)2

La suma de dos nmeros consecutivosx + (x + 1)

El cudruple de lo que tengo, aumentado en 204x + 20; tengo "x"

El cudruple, de lo que tengo aumentado en 204(x + 20); tengo "x"

Ahora, todo es cuestin de que resuelvas los problemas uno a uno. Si por algn motivo encuentras dificultad en alguno, intntalo nuevamente y con paciencia; poco a poco despejars tus dudas, t puedes hacerlo!!Problemas resueltos1. Una habitacin rectangular tiene de largo tres veces su anchura y su permetro mide 24 m. Hallar las dimensiones del rectngulo.Solucin:Sea el rectngulo de ancho "x":x3xDato del problema:3x + 3x + x + x = permetro8x = 24 x = 3Luego, las dimensiones son:largo = 9 ancho = 32. En una reunin hay 64 personas, siendo el nmero de nios el triple de los adultos. Cuntos son los nios y cuntos los adultos?Solucin:Si "x" es el nmero de adultos, el de nios ser 3x.Segn el enunciado:x + 3x = 644x = 64 x = 16Luego; los reunidos son: adultos = 16nios = 3 x 16 = 48

3. Hallar tres nmeros pares consecutivos que sumados den 216.Solucin:Si llamamos "x" al primero, "x + 2" y "x + 4" sern los otros dos.Segn el enunciado:x + (x + 2) + (x + 4) = 216 x + x + x + 6 = 2163x + 6 = 2163x = 210 x = 70... Los nmeros son 70; 72; 744. Hallar dos nmeros que sumados den 300 y restados2 00.Solucin:Llamemos "x" al mayor de ambos, el menor valdr300 - x, la diferencia de ambos nmeros es 200 que se formular por la ecuacin: x -(300 - x) = 200Eliminando el parntesis:x - 300 + x = 2002x = 500 x = 250... el mayor: 250 el menor: 505. Repartir 210 soles entre tres personas de modo que la segunda reciba 35 soles menos que la primera y 20 soles ms que la tercera.Solucin:Segn el enunciado: sea "x" la cantidad que recibe la primera persona:A: xB: (x - 35)C: (x - 35) - 20Luego: x + (x - 35) + (x - 35) - 20 = 210Reduciendo:

6. El triple de la edad de Carlos, aumentado en un ao, es igual al duplo de su edad aumentado en 15 aos. Cul es la edad de Carlos dentro de 12 aos?a) 22 aosb) 24c) 26

d) 28e) 30

7. Jos tiene cuatro aos menos que Leo. Si la suma de ambas edades es 18 aos, cul es la edad de Leo dentro de tres aos?3x - 90 = 2103x = 300 x = 100Finalmente reciben: A = 100B = 65C = 45Problemas para la claseBloque I1. Cul es el nmero que aumentado en 36 nos da 104?

8. Las edades de Dora y de Mara suman 18 aos. Si Dora es mayor que Mara por seis aos, qu edad tena Dora el anteao pasado?.a) 9 aosb) 10c) 11 d) 12e) 139. La suma de las edades de Jos y Marco es 28. Si la diferencia de estas edades es cuatro aos, cul ser la diferencia de estas edades dentro de 13 aos?a) 67b) 68c) 69

d) 70e) 71

2. Hallar el nmero que disminuido en 13, da como resultado 254.a) 267b) 266c) 265 d) 264e) 2633. Cul es el nmero cuyo duplo, aumentado en la unidad da como resultado 35?

10. La suma de dos nmeros es 200 y su diferencia 32.Cul es el nmero mayor?a) 84b) 116c) 85

d) 115e) 100

Bloque II1. El mayor de dos nmeros es tres veces el menor. Si la suma de ambos es 72, calcular su diferencia.a) 18b) 36c) 54

d) 60e) 70

4. Calcular el nmero cuyo triple disminuido en 5 resulta307.a) 102b) 103c) 104

d) 105e) 106

5. Hallar el nmero cuyo duplo aumentado en su mitad da como resultado 40.

2. Entre Carlos, Ernesto y Alex tienen S/. 1 800. Si Ernesto tiene el triple de lo que tiene Carlos, y Alex tiene S/. 200 menos de lo que tiene Carlos, qu cantidad tiene Ernesto?

3. Descomponer 180 en dos sumandos, tales que al dividir uno por el otro, da como cociente 4. Cul es el mayor sumando?a) (x + y)2 [(x2 + y2)2 - 2xy(x2 + y2) + 4x2y2] b) (x + y)2 [(x2 + y2)2 + 2xy(x2 + y2) + 4x2y2] c) (x + y)2 [(x2 + y2)2 + 2x(x2 + y2) + x2y2]d) (x - y)2 [(x2 + y2)2 - 2xy(x2 + y2) + 4x2y2]e) (x + y)2 [x2 + y2 - 2xy(x2 + y2) + 4x2y2]LGEBRA1

AO

- 5x

3x

LGEBRA1

AO

25121515MCM = 10111

a) 2b) 4c) -6d) -4e) 6

a) -12b) 15c) 9d) 8e) -7

a) 10b) 2c)83.Resolver:d) 4e) 6(x - 1)(x

a) 0b) -1c)1d) 2e) 3

LGEBRA1

AO

a) 14b) 13c) 12d) 11e) 10

a) 4b) 8c) 12d) 13e) 15

a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17

a) S/.200b) 400c) 1 200d) 1 300e) 1 400

a) 8b) 16c) 32d) 6e) 1