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  • CURSILLO DE LGEBRA

    Factorizacin de polinomios

    Autoras

    Beatriz Elena Correa Restrepo

    Luz Elena Muoz Sierra

    Celia Villegas de Arias

    Escuela de Matemticas

    Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln

    ENCUENTRO CON LOS NMEROS

  • Tabla de Contenido

    Factorizacin de polinomios 1

    1.1 Factor comn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2 Factor comn por agrupacin de trminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    1.3 Trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.4 Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.5 Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin . . . . . . . . . . . . . 14

    1.6 Suma de dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.7 Trinomios de la forma x2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Trinomios, de la forma ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9 Cubo de binomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.10 Suma o diferencia de cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    1.11 Divisin sinttica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.12 Teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.13 Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    1.14 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    iii

  • Prefacio

    Uno de los objetivos de la Sociedad Colombiana de Matemticas (SCM) es el mejoramiento

    de la enseanza y la difusin de las Matemticas en nuestro medio. Teniendo presente este

    objetivo, la Gobernacin de Antioquia invit a la SCM a disear un plan de trabajo para

    mejorar la enseanza de las Matemticas en el Departamento de Antioquia. Las razones de

    esta invitacin se ven reejadas en los resultados en el rea de Matemticas de las pruebas

    SABER (mayo de 2012) y de los exmenes de admisin de la Universidad de Antioquia

    (mayo de 2012), y en los resultados de la Prueba de Matemticas de Antioquia (Olimpiadas

    del Conocimiento, julio de 2012): la nota promedio en Matemticas, considerando estos tres

    exmenes, fue de 1.9 sobre 5.

    Con el n de enfrentar el problema del bajo nivel matemtico de los estudiantes de los ltimos

    grados de la educacin secundaria en el departamento de Antioquia, la SCM dise el Plan

    de mejoramiento de la enseanza y apropiacin de las Matemticas en las instituciones educa-

    tivas de Antioquia. Este texto, que llega hoy a sus manos, es uno de los muchos productos

    que el Plan quiere entregarle a Antioquia y hace parte de una coleccin de cartillas, cada

    una conteniendo un pequeo cursillo, que fue escrito para los Encuentros con los Nmeros,

    y cuyo objetivo es profundizar en algn tema especco de las reas de Preclculo, lgebra,

    Trigonometra, Geometra Analtica, Geometra Euclideana y Artimtica.

    Las Matemticas son como un edicio. Para que el edicio se sostenga rmemente es necesario

    que tenga buenas bases. Los conceptos elementales que se recogen en los textos de esta

    coleccin son las bases que debe haber construido, con ayuda de sus maestros, un alumno

    de secundaria que aspire a entrar a la Universidad. Se observar que en ellos se ha tratado

    de describir en detalle los pasos a seguir en cada tema, ejercicio o problema propuesto.

    Pensamos, basados en nuestra propia experiencia, que sta es una buena manera de dictar

    una clase de Matemticas. Volviendo a la analoga inicial, as como un muro del edicio se

    construye poco a poco colocando cada uno de los ladrillos que lo componen, la solucin de

    un ejercicio o problema matemtico es una sucesin ordenada de pasos lgicos y coherentes.

    Si en la construccin del muro faltan ladrillos o hay ladrillos mal colocados es muy posible

    que el muro se derrumbe. Si en la solucin de un problema matemtico los pasos estn mal

    concatenados o faltan pasos, probablemente la solucin sea incorrecta.

    v

  • As como un deportista debe dedicar muchas horas diarias a su entrenamiento, para poder

    soar con triunfar, si queremos mejorar nuestra comprensin de las Matemticas es nece-

    sario repasar lo mismo muchas veces, aunque parezca montono y repetitivo, de esta forma

    podremos enfrentar con mayor lucidez la construccin del edicio de las Matemticas.

    Finalmente es importante sealar que estos textos no pretenden ser un tratado de Peda-

    goga. Ms bien constituyen un conjunto articulado de conocimientos matemticos que un

    docente de secundaria puede ensear de manera efectiva con el uso de los saberes pedaggicos

    adquiridos en su formacin acadmica. Responden entonces estos textos a nuestra convic-

    cin de que si se quiere ensear bien algo no son sucientes ni las estrategias pedaggicas

    utilizadas ni el uso de las nuevas tecnologas informticas, es indispensable tener previamente

    un conocimiento slido de la materia que queremos ensear.

    Carlos Montenegro

    Presidente, Sociedad Colombiana de Matemticas

    vi

  • Prlogo

    Mejorar la enseanza de las Matemticas siempre es un reto. Los conceptos matemti-

    cos bsicos tienen cierto grado de complejidad y en consecuencia es crucial que los textos

    matemticos que se escriban para apoyar el proceso de su enseanza y aprendizaje usen

    un lenguaje claro que concentre su atencin en los aspectos realmente importantes de estos

    conceptos y facilite su comprensin.

    El presente texto ha sido escrito para los Encuentros con los Nmeros como cursillo de

    formacin de docentes, dentro del programa Antioquia la ms Educada, liderado por el

    Gobernador Sergio Fajardo Valderrama. La intencin de este trabajo es hacer una exposicin

    lo ms clara posible de las nociones matemticas, del tema considerado en el presente cursillo,

    que deberan ser conocidas por un bachiller antes de su ingreso a la universidad. Para ello

    hemos reducido la terminologa matemtica a la estrictamente necesaria y hemos prescindido

    de temas accesorios, que consideramos no son esenciales para la formacin matemtica de

    los estudiantes y que por el contrario pueden despertar en ellos un rechazo al estudio de

    las Matemticas. De esta manera esperamos que este material contribuya a mejorar la

    percepcin, entre los estudiantes, de la importancia de las Matemticas y de su inmenso

    poder en la solucin de problemas concretos, tanto de las ciencias naturales como de la vida

    cotidiana.

    Comit Editorial

    vii

  • Introduccin

    Cuando los estudiantes ingresan a la universidad e inician su primer curso de Clculo en

    cualquier carrera, no necesariamente del rea de matemticas, tienen dicultades en muchos

    temas del lgebra Elemental, especialmente en la factorizacin de polinomios.

    En muchos casos, a pesar de entender los conceptos del Clculo, sus deciencias conceptuales

    en el lgebra y su poca destreza para resolver ejercicios y problemas, hacen que su rendimiento

    no sea el esperado, generando desercin en algunos casos, y en otros prdida de los cursos,

    que tambin lleva a que el estudiante tenga que salir de la universidad, con la consecuente

    frustracin y posible abandono de su formacin profesional.

    Con base en lo anterior, escogimos la factorizacin de polinomios como tema del cursillo.

    Para los asistentes a ste, en su mayora profesores o estudiantes encarretados con las

    matemticas, el tema es fcil y lo manejan muy bien, pero queremos insistir en la importancia

    de ensear y reforzar la factorizacin de polinomios en sus clases en educacin bsica y

    media.

    Presentamos al inicio de este cursillo los conceptos de factor y de factorizacin de poli-

    nomios. Luego damos las pautas para reconocer ciertos tipos especiales de polinomios, entre

    ellos algunos binomios y trinomios, y la forma de factorizarlos. Finalizamos trabajando la

    divisin sinttica y los teoremas del residuo y del factor que sirven para factorizar otro tipo

    de polinomios.

    El material que estamos entregando tiene adems una buena cantidad de ejemplos resueltos,

    muchos de ellos con la explicacin de cada uno de los pasos seguidos en su solucin, lo

    que ayuda a entenderlos mejor. Recordemos que la destreza en la solucin de ejercicios es

    cuestin de prctica, para lo cual se deben realizar muchos ejercicios, aunque algunos sean

    parecidos. La "repeticin" refuerza el conocimiento.

    El material presentado no se puede desarrollar en un cursillo de cuatro horas, pero puede

    ser de gran ayuda para todos ustedes en su trabajo diario en los cursos de matemticas.

    Esperamos que lo estudien con detenimiento y lo utilicen en sus clases.

    Las autoras

    ix

  • Cursillo de lgebra

    Factorizacin de polinomios

    Al trabajar con los productos notables y en general con la multiplicacin de polinomios,

    obtenemos un polinomio como el producto de dos o ms polinomios. Vamos ahora a estudiar

    el proceso contrario, esto es, dado un polinomio vamos a expresarlo como el producto de dos

    o ms polinomios.

    Iniciemos rerindonos al concepto de factor para nmeros enteros.

    Por ejemplo, como 12 = 3 4 decimos que 3 y 4 son factores de 12. De igual forma 2 y 6 sonfactores de 12 porque 12 = 2 6. Cmo determinar si un entero b dado es un factor de 12?Lo ser si hay un entero c tal que 12 = b c, es decir, si la divisin 12 b es exacta.En general, un entero b 6= 0 es un factor de un entero a si hay un entero