INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA

CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”

Departamento de Matérias Básicas

ÁÁllggeebbrraa

11ºº.. SSeemmeessttrree

GUÍA DE APRENDIZAJE

PRESENTACION Asumiendo la Misión de la enseñanza del Álgebra en el Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional, de fortalecer y desarrollar capacidades, habilidades y destrezas numéricas y algebráicas en los estudiantes, por medio de un programa integral con apoyo de las Tecnologías de la Información y la Comunicación elaboramos la presente guía en la intención de dar respuesta a las necesidades de la sociedad, y a su vez permitir al estudiante continuar con estudios en niveles superiores, en cualquiera de las áreas de conocimiento, con valores y actitudes que se fomentan a través de estrategias de enseñanza y aprendizaje significativo. Sabedores que el modelo de cátedra expositiva que se practica en salón de clases, requiere del empleo de materiales complementarios para la adquisición del conocimiento, la Academia de Matemáticas Turno Vespertino promueve en el alumnado la ejercitación del conocimiento en la resolución de problemas típicos y cotidianos que permitan conceder sentido y significado el aprendizaje logrado, para tal fin se han establecido las guías (material escrito descriptivo), en el que los estudiantes tendrán el espacio idóneo para poner en práctica sus conocimientos, a la vez que puedan comparar sus resultados con sus compañeros, identificar y plantear sus dudas en asesorías individualizadas y/o en clase y socializar sus respuestas en el trabajo grupal. De esta manera, la presente guía se ha diseño respetando los principios que establece el Modelo Educativo del Instituto, particularmente en lo que respecta el enfoque psicopedagógico constructivista, el reconocimiento de los diversos estilos de aprendizaje, la importancia del aprendizaje grupal y por tanto del trabajo colaborativo y sobre todo la claridad de que el proceso de enseñanza debe estar centrado en el aprendizaje. Por ello su organización cuenta con información en la que se resalta el tema, con definiciones, elementos teórico explicativos, así como ejemplos que orienten acerca de la comprensión del planteamiento del problema y los algoritmos a utilizar para su resolución y finalmente se presentan un conjunto de ejercicios a resolver por parte del alumno, dichos ejercicios tienen la lógica de ir de lo sencillo a lo complejo, promoviendo con ello la progresión en el aprendizaje que garantice su adquisición sólida y significativa.

UNIDAD I. NÚMEROS REALES. OBJETIVO: Desarrollar las habilidades de razonamiento lógico a partir del análisis y la aplicación de las operaciones aritméticas y sus propiedades, en el contexto de problemas cotidianos y disciplinarios, lo que permitirá reafirmar e incrementar las destrezas operativas del alumno.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. La numeración es la rama de las matemáticas que estudia la representación, formación y expresión de los números. Para representar y formar números se utilizan un conjunto de reglas y símbolos numerales, que juntos constituyen lo que se denomina sistema de numeración. El hombre a través de su historia, ante la necesidad de contar ha inventado diversos sistemas de numeración tales como: El egipcio, el maya, el romano, el babilónico, decimal, de base dos, de base tres. Nosotros utilizamos el sistema decimal y para comprenderlo mejor y valorar sus ventajas con respecto a otros sistemas, analizaremos las características, los símbolos y los principios que utilizan diversos sistemas como el egipcio, el maya, el romano y otros, de base diferente a 10. Características y principios de los sistemas de numeración. Todos los sistemas de numeración tienen ciertas características y propiedades que son comunes a todos ellos y otras que los diferencian unos de otros, lo cual permite clasificarlos. El conocimiento de estas características y propiedades nos permite mejorar el entendimiento y la comprensión de los métodos para efectuar operaciones como la adición, sustracción, multiplicación y división entre números. Dichos métodos reciben el nombre de algoritmos. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES.

Las operaciones fundamentales del álgebra son la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la radicación. Con el fin de facilitar su aprendizaje se comenzará estudiando sus propiedades con el objetivo de comprenderlas y aplicarlas correctamente en la solución de problemas.

PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN. Propiedad conmutativa. Señala que el orden de los sumandos no altera la suma: a+b=b+a. Ejemplo: 12+3 = 3+12 Propiedad Asociativa. Señala que si se quiere efectuar la suma de los números a, b y c sin cambiar el orden de los sumandos se tienen dos opciones: a+b+c=(a+b)+c = a+(b+c). Ejemplo: 6+4+8 = (6+4)+8 = 6+(4+8) Existencia del elemento neutro. La suma de un número real a y el cero es igual a dicho número. a+0=a. Ejemplo: 7+0 = 7 Existencia del inverso aditivo. Si se considera un número real a, entonces existe otro número real (-a) tal que la suma de ellos es igual a cero. a+(-a)=0. Ejemplo: 4+(-4) = 0 Geométricamente, los inversos aditivos se representan en la recta numérica por puntos situados a la misma distancia del origen pero en direcciones opuestas. Si se tiene el número real –a, su inverso aditivo es –(-a) = a; en general, para cualquier número real a, -(-a) = a. Ejemplo: -(-7) = 7

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN. Ley de uniformidad o unicidad. El producto tiene un valor único, por ejemplo, el producto de 5(4)=20 y no puede ser otro.

Propiedad conmutativa. Establece que el orden de los factores no altera el producto. 5(4)=4(5)=20. a·b = b·a Propiedad Asociativa. Si se tiene el producto de tres números, entonces abc=(ab)c=a(bc). Ejemplo: 2x9x4 = (2x9) x 4 = 2 (9x4) = 72 Elemento neutro de la multiplicación. El elemento neutro de la multiplicación es el 1; ya que el producto de todo número por 1 es igual a dicho número. 1(a)=a. ejemplo: 1(7) = 7 ; 1(-9) = -9 Inverso Multiplicativo. Para todo número real a distinto de cero, existe un número b, también real, tal que a(b)=1. El número b no es otro que 1/a y se llama inverso multiplicativo de a. Los números a y 1/a son inversos multiplicativos uno respecto del otro.

Ejemplo: El inverso multiplicativo de 6 es 1/6 por lo que 166

616 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Propiedad Distributiva con respecto a la adición. Si a, b y c son números reales cualesquiera, entonces a(b+c)=ab+ac. Ejemplo: 8 (5+3) = 8 (5) + 8 (3) = 40 + 24 = 64 Propiedad Distributiva con respecto a la resta. Si a, b y c son tres números reales cualesquiera, entonces a(b-c) = ab – bc Ejemplo: 4 (7-3) = 4(7) – 4(3) = 28 – 12 = 16 Relaciona correctamente las siguientes columnas colocando dentro del paréntesis las letras que corresponden a cada una las propiedades de los números reales: a (b c) = ( a b) c ( ) AA)Elemento neutro de la multiplicación

(a ) ( 1 / a) = 1 ( ) AB)Elemento neutro de la suma

(a) (b) =(b) (a) ( ) AC)Inverso aditivo

( a ) + ( -a) = 0 ( ) CB)Inverso multiplicativo

a + b = b + a ( ) DE)Propiedad asociativa de la multiplicación

a + (b + c) = (a + b) + c ( ) EF)Propiedad asociativa de la suma

| - a | = a ( ) FG)Propiedad conmutativa de la multiplicación

( a ) ( 1 ) = a ( ) GH)Propiedad conmutativa de la suma

a + 0 = a ( ) HI)Propiedad distributiva

a ( b+ c) = ab + ac ( ) IJ)Valor absoluto

POTENCIACIÓN. Las potencias de un número son los resultados que se obtienen al tomarlo como factor dos o más veces. Ejemplo:

5x5 = 25 = 5² 5x5x5 = 125 = 5³ 5x5x5x5 = 625 = 5 Cabe precisar que la primera potencia de un número es el mismo número. Ejemplo: 5 = 5¹. El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia. Para denotar la potenciación se escribe en la parte superior derecha de la base un número pequeño que indica cuantas veces se multiplica la base.

LEYES DE LOS EXPONENTES

Ejemplo:

827

23

23).....k.....................................

91

313)j

12222)....i.................

31

31

33).....h..................................55

55).g

y)y)....(f.....5)5()5).....(e..............................44)4).(dxxx)....c.............4444).....b..............................3333).a

3

33

22

0222

2

255

2224

2

4

123463x23263x232

8352535364242

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=======

=−=−=−==

=====

−

−−

−

+−−+

nn

1

n1n

0

aa

aa

1a

=

=

=

-

-

n..para...ma

1aa

mnn

m

<=

=

=⋅

−

+

n mn

m

n mnm

aaa

aaa

-

( ) n m m

mmm

m

mm

aa

bab)(a

b

a

b

a

n=

⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Resuelve los siguientes ejercicios:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

=======⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

−

−−

−−−

3

7

25

3

236352235432

634256640

0

bx).13........

yx).12.........)yba2).(11.........)zxy3).(10........)ba).(9

)xy).(8........)x5).(7........)b).(6.............)a).(5.........x).4........3).3..........32)2........)9).(1

RADICACIÓN. La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite, conociendo la potencia y el exponente, hallar la base correspondiente. Como 6² = 36 se dice que 6 es raíz cuadrada de 36 y se denota por 636 =

Como 3³ = 27 se dice que 3 es raíz cúbica de 27 y se denota por 3273 = El signo n se llama radical, el número o expresión que se encuentra dentro del radical se llama radicando y, el número n, el cual es un número natural, se llama índice del radical. Las raíces cuadradas tienen índice 2 y, por lo general, éste no se escribe. En general, si n es un número natural y ban = entonces, por definición, a es la raíz n-ésima de b. Si b es positivo, entonces sólo hay un número positivo tal que ban = , dicho número se representa n b y recibe el nombre de raíz n-ésima

principal de b. Por ejemplo, la raíz cuadrada principal de 64 es 8 y se escribe ;864 = la raíz cuarta principal de 81 es 3 y se escribe

3814 = . Si b es negativo y n es par, entonces no existe la raíz real de b, pero si n es impar, si existe la raíz (número negativo). Ejemplo: a) 39 = b) 283 −=− c) 4 8− No esta definida d) 21287 −=− EXPONENTES RACIONALES. Una expresión radical de la forma n ma se puede escribir como una expresión exponencial de la siguiente manera:

nmn m aa =

Ejemplos:

a) 4 343 22 = b) 1616 21 = c)

9 595 xx = d) ww =21

Expresa los siguientes radicales en forma exponencial.

2 4433 62 x).6........x).5........x).4.........x).3........x).2.........x).1 Escribe en forma de radical las siguientes expresiones.

92

74

31

83

32

z).5........y).4.........x).3......x).2.........x).1 Notación Científica. En la actividad científica y en la resolución de problemas en el campo de la física, química, etc., frecuentemente se requiere efectuar operaciones con números muy grandes o muy pequeños. Entonces para facilitarla se utiliza la denominada notación científica, la cual consiste en expresar los números con ayuda de la potencia de base 10. La nota se complementa resolviendo los ejercicios de las páginas en Internet que se proponen: Google: Notación cientifica-Wikipedia, la enciclopedia libre Notación cientifica o notación exponencial.

UNIDAD II. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS. OBJETIVO: Operar adecuadamente el lenguaje algebraico a través de reglas algebraicas aplicadas en la resolución de ejercicios y problemas de su entorno que requieren el uso de un modelo algebraico básico. Terminología algebráica y notación. A partir de los conocimientos de aritmética, se desarrollará un lenguaje mediante símbolos y términos técnicos, para elaborar una serie de técnicas de cálculo; dicho lenguaje y las técnicas de cálculo mencionadas, constituyen una rama importante de la matemática, el ÁLGEBRA ELEMENTAL. Pueblos antiguos como los egipcios (hacia 1700 a.c.), los griegos (del S. VI a.c. al S. III d.c.), los hindúes (del S. V al S. XII), los árabes (del S. IX al XV) y otros, tuvieron ideas rudimentarias de álgebra. Pero el álgebra tal como la conocemos, inició su desarrollo en Europa hacia el S. XIII. La diferencia fundamental del álgebra con respecto a la aritmética es que esta última utiliza para efectuar sus operaciones números concretos, mientras que en el álgebra se utilizan, además de números concretos, las letras del alfabeto para representar cantidades conocidas o desconocidas; o sea, los símbolos que utiliza el álgebra para representar cantidades son los números y las letras del alfabeto. Las operaciones algebraicas son las mismas que las de la aritmética: suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.

Expresión algebráica. Cualquier expresión que nos indique una o varias de las operaciones algebraicas se llama expresión algebraica; ejemplos:

322

22

)y4).....(g)......3x)(7x3).....(f................................9x2x).....e

4x5x).....d............................x7).....c.......................x6).....b..................................ya5)....a

+−−+

+−+

La expresión algebraica más sencilla es aquella en la que intervienen números o letras por medio de cualquier operación algebraica excepto la

suma y la resta, ejemplo. ,x7,....ba,....x2,...bc5,..x4 2 etc. A cada una de este tipo de expresiones se le llama término algebraico.

Elementos de un término. Los elementos de un término son: El signo, El coeficiente numérico, La parte literal. Ejemplo: ,x,z4,x5 2− El grado de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. Así el término a5 es de primer grado, ab2 es de segundo grado y 3xy9 es de cuarto grado. Ejercicio: Determina el grado de los siguientes términos algebraicos.

23343 ym).c...............yx2).b...............yx6),a − Lenguaje algebraico. Frecuentemente en la resolución de problemas matemáticos se requiere escribir una expresión algebráica que represente un enunciado verbal y viceversa. Ejemplo:

Lenguaje común (verbal) Lenguaje algebraico El triple de un número 3x, 3z, 3w

La diferencia de dos números a-b, h-w, r-p El doble del cubo de un número 333 a2,c2,x2

El cociente de dos números nm,

wr,

yx

La mitad de un número ,y21,

2d

El doble de un número disminuido en 7 2x-7, 2c-7 La suma de dos cubos 3333 ba,zw ++

La raíz cuadrada de la tercera parte de un número y

31,

3x

El producto de un número por el cuadrado de otro 22 yn,cb Ejercicio: Completa el siguiente cuadro con el lenguaje indicado en cada caso.

Lenguaje común Lenguaje algebráico

1.-La mitad del cuádruplo de un número menos tres.

2.-La cuarta parte de la suma de dos números menos diez.

3.-

3 ( x + y + z ) + 6

4.-El doble de la suma de dos números, más el triple de uno de ellos entre cinco.

5.- 3(x2 + y) - 7

6.-La semidiferencia de dos números más el cuadrado de uno de ellos.

7.-

( 3x + y ) + 2y3

8.-El cubo del cociente de dos números, menos tres.

9.-

3 (x2 + y2 + z2 ) + 4

Representar algebraicamente las siguientes expresiones del lenguaje cotidiano: 1. La suma de ocho números iguales a: “x”, disminuida en la suma de tres números iguales a: “y”. 2. El perímetro de un cuadrado que mide: “a” unidades por cada lado. 3. El perímetro: “P” de un rectángulo, que tiene: “b” cm de base y “a” cm de altura. 4. Un número cualquiera disminuido en su cuarta parte. 5. Un número par cualquiera. 6. Un número impar cualquiera. 7. Un número positivo cualquiera. 8. Un número que sea cinco veces mayor que otro. 9. Un número que difiera de otro, cinco unidades. 10. El exceso de cien sobre un número cualquiera. 11. Tres números pares consecutivos. 12. Tres números impares consecutivos. 13. El costo de un traje de “n” dólares con el descuento del 30%. 14. Si el costo de una impresora con el descuento del 18% fue de: “x” pesos, ¿cuál es el costo real de la misma sin el descuento?

Términos Semejantes. Son aquellos que tienen la misma literal y el mismo exponente sin importarnos que signo tenga, ni cual es su coeficiente. Ejemplo:

-8n n 3n 3x16 3x4 3x186− 2y

43

34y² -5y²

24z z -z Operaciones con Polinomios. Símbolos de agrupación más usuales: ( ) Paréntesis redondo (ordinario) [ ] Paréntesis rectangular o corchete { } Llaves Recuerde que para eliminar los signos de agrupación se deben realizar las operaciones de adentro hacia fuera, respetando siempre la ley de signos y finalmente reduciendo los términos semejantes encontrados. Ejemplo: Simplificar las siguientes expresiones, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes. 1. 2x - { 3x + [ 4x – ( x - 2y ) + 3y ] - 4y } + 2y =

2x – { 3x + [ 4x –x + 2y + 3y ] – 4y} + 2y 2x – { 3x + [ 3x + 5y ] -4y} + 2y 2x – { 3x + 3x + 5y – 4y } + 2y 2x – { 6x + y } + 2y 2x – 6x – y + 2y -4x + y

2. 2a - { 2a - [ 2a - (2a - b) - b ] - b } = 2a – { 2a – [ 2a -2a + b – b ] – b } 2a – { 2a – 2a + 2a – b + b – b } 2a – 2a + 2a - 2a + b –b + b B

Ejercicios: Simplificar las siguientes expresiones, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes. 3. 4s - [ 2s - (3s - t) + 2t ] = 4. 3a - { 2a + [ 2a + (2a - b) - b ] + b } = 5. (a + b) - 3[ 2a + b(-a + 2)] = 6. 4x2 - { - 3x + 5 - [-x + x(2 - x) ] } 7. 4x - { 3y + [ 4x - ( 3y - 4x ) -3y] -4x } - 3y = 8. 2x2 - 3x [ 2x - y(x - 2y) - y2 ] = 9. a - (x + y) -3(x - y) + 2[- (x - 2y) - 2(-x - y)] = 10. - [ 3x - 2y + (x - 2y) - 2(x + y) - 3(2x + 1)] = 11. 2x + 3y +4x - {x – 6y + [4y – (3x – y) – 8] – 5x – 3} – 2x –5 12. - {5rt – 6t + [- 7r – (3t– rt) – 18] – 5rt – 3r} – 6r –5t 13. 8a +4b - {5ab – 16b + [- 7a – (-5ab – a) – 3] – 2a – 3} – 2b –5 14. 2mn - 3n - {-4m – 5n + [4m – (1 3n – 4) – 8n] – 5m – 3n}

– 2mn –5m 15. 13s +4t - {-9t – 6t + [-14t – (-3s – t) – 8s] – 5s – 7t} – 12t – s 16. 2a + 3ab - {-a – 6b + [4ab– (1 3ab – b) – 8b] – 6a – 3b} –

2ab –5b 17. 12x + 7y - {-4x – 6y + [8y – (9x – 2y) – 7] – 5x – 3} – 2x – 15 18. 2 - {a – 6ab+ [4b – (3ab – b) – 8a] – 5b– 3a} – 2ab –5b 19. 4 - {m – 6n + [14mn – (3m – n) – 8mn] – 5m – 3} – 2n –5m 20. 3s +4t - {7s – 6t + [4t – (- 13 – t) – 8] – 15 – 3s} – 2t –5 MULTIPLICACIÓN. Producto de un monomio por un polinomio. Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica cada término del polinomio por el monomio. Recordemos con la siguiente tabla las leyes de los signos.

+ por + = + + por - = - - por - = + - por + = -

Ejemplo: Efectuar el producto indicado de un monomio por un polinomio. 1. (-2a) (am - am - 1 + am - 2) = 1mm1m a2a2a2 −+ −+−

Ejercicios: Resolver las siguientes multiplicaciones. 2. (-4x2) (x3 - 3x2 + 5x - 6) = 3. (3x2m) (3xm - xm - 1 + xm + 1) = 4. (-anx2) (an + 3 - 3an + 2 - 4an + 1 - an) = 5. (xn - xn +1 + xn + 2) (x - n) = 6. (-2x) (3x3 - x2) = 7. -2x (3x3 - x2) = 8. (a2 - 2ab + b2) (-ab) = 9. -4m3x (m4 - 3m2n2 + 7n4) = 10. xn - 3 - xn - 2 + xn - 1) ( x2 - n ) = Multiplicación de Polinomios. El resultado se encuentra al sumar los productos obtenidos al multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro. Ejemplo: Efectuar el producto indicado por los siguientes polinomios 1. (a - b) (a2 + b2 - 2ab) = .bab3ba3abba3ab3aab2bbaba2aba 32233223232223 −+−=−−+=+−−−+ Ejercicios: Efectúa las siguientes operaciones. 2. (a3 + a2 - a) (a - 1) = 3. (x2 + x + 1) (x2 - x - 1) = 4. (ax - ax + 1 + ax + 2) (a + 1) = 5. (xn + 1 + 2xn + 2 - xn + 3) (x2 + x) = 6. (an + 2 - 2an + 3an + 1) (an + an + 1) = 7. (x3 – 5x) (x – 3x + 8) 8. (5 mn – n3) (m – n – 7) 9. (2x – 3) (x – 3x2 – 6) (-2x2) 10. (3m – n) (m – 2) (n – 5) 11. (-2x) (4x3 – 5x +8) (x – 2) 12. (2 b – a) b(a – 3) (b +5) 13. (-3/4 x) (2 – 3x) (5x3 – 6x2) DIVISIÓN.

La división también llamada cociente, es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), calcular el otro factor (cociente). De lo anterior, se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo, siempre y cuando el residuo sea igual a cero. División de monomios. Para realizar la división entre monomios se realizan los siguientes pasos:

1. Se dividen los coeficientes. 2. Se utiliza la ley de signos. 3. Se usa la ley de los exponentes para dividir las potencias de la misma base.

Ejemplo: Efectúa la siguiente operación:

23

248 aaa

−=−

Ejercicios: Efectuar las siguientes divisiones de monomios tomando en cuenta las siguientes leyes de exponentes:

nn

1

n1n

0

aa

aa

1a

=

=

=

-

-

n mn

m

n mnm

aaa

aaa

-=

=⋅ +

( ) n m m

mmm

m

mm

aa

bab)(aba

ba

n=

⋅=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

=

=÷

=÷

=∗=•=∗

=•=••

=⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

ba4ba2.6

ba4ba2.5

)s2()s8(.4)a3()a3(.3

53

513

513

513

óncomprobaci53

513

5353

5353.2

53-.1

2-2-

2-1-3-

3-21-

1-3-

3-1-33

2-332

11

2323

32

23

2-3-

3-2-

3

tt

=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−−−

−−

2-

3-

2-

2

31-

2-2

01-4-

23-2-

31-2

2-23

6262

28

2442

242

428

1-2-1-

21-4-

2-1-1-2-

1-22-1-

yx81yx27.11

ca3

ba6.10

yx9yx3.9

ba161

256ba16

a2bba4

ba4ba2

ba4ba2.8

zyx2zyx3.7

División de polinomios entre monomios. Se separa en términos independientes el polinomio que se encuentra en el numerador, y se utiliza el mismo denominador generando divisiones de monomios simplificando las operaciones.

Ejemplo: Dividir x2

x6x8x12x4 234 −+−

Solución: Separando en términos independientes, tenemos: x2x6

x2x8

x2x12

x2x4 234

−+− Simplificando nos queda: 3x4x6x2 23 −+−

Ejercicios: Efectúa las siguientes divisiones:

1.- 3

9x6 + 2.-

x2x6x2 2 +

3.- 2

2345

x4x12x28x4x8 −+−

4.- y4

y4y12y4 34

−+−

5.- 2

63452

z3z36z15z18z9z6

−−+−−

Divisiones entre polinomios: Para realizar este tipo de operaciones se tiene que emplear los siguientes pasos:

1. Se ordenan cada uno de los polinomios en potencias de mayor a menor. 2. Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor. 3. El resultado obtenido es el primer término del cociente. 4. Multiplicamos el término hallado por todo el divisor y le cambiamos el signo obtenido en cada uno de los productos realizados. 5. Se van colocando los términos semejantes en una misma columna y realizamos la operación indicada. 6. Se considera el residuo como el nuevo dividendo y se repiten los pasos 2, 3, 4 y 5.

Ejemplo: Dividir 2x

x2x3 2

+++

1. Ordenamos cada polinomio en potencias de mayor a menor.

2x3x2x 2 +++

2. Dividimos xxx2

=

3. El resultado es el x2x3x2x 2 +++

4. Multiplicamos ( ) x2xx2x2xx 22 −−=+=+

1x +

5. Se van colocando los términos semejantes

0................2x........2x..0...

x2x2x3x2x

2

2

−−++

−−

++++

Ejercicios: Realizar las siguientes divisiones entre polinomios: 1.- 678910 1041431024 aaaaa +−++− entre 234 276 aaa +− 2.- 432224 7511106 babbabaa −++− entre 222 ba − 3.- 88 1681 yx − entre 22 23 yx − 4.- 338 yx − entre yx −2 5.- 827 6 −a entre 23 2 −a

6.- 33

8127 ba +− entre

ab 3

21

− 7.- 213312556 2345 −−+−+ xxxxx entre 232 2 +− xx

8.- 338 yx − entre yx −2 9.- 33

8127 ba +− entre

ab 3

21

− 10.- 363 8zyx − entre 322 2zyx +

11.- 39125 ba + entre ba +35 12.- 36364 zyx + entre zxy +24 13.- 3x2 + 2x – 8 entre x + 2 14.- 6x2 - xy - 2y2 entre y + 2x 15.- 4x8 - 10x6 - 5x4 entre : 2x3 + 1 16.- a3 + 3ab2 - 3a2b - b3 entre : a – b 17.- a4 + a entre : a + 1 18.- a4 - a2 - 2a – 1 entre : a2 + a + 1 19.- 17.- a5 + b5 entre : a + b 20.- x6 - y6 entre : x – y 21.- a5 - a4 + a2 – a entre : a3 - a2 + a 22.- x6 - 5x5 + 31x2 - 8x + 21 entre : x3 - 2x - 7

UNIDAD II. EXPRESIONES ALGEBRÁICAS.

OBJETIVO. Operar adecuadamente el lenguaje algebraico a través de las reglas del álgebra aplicándolas a ejercicios para resolver problemas del entorno que requieran un modelo algebraico elemental. Resultado de aprendizaje propuesto: Efectuar productos notables y factorizaciones con polinomios. Productos notables y Factorización. Los productos notables son aquellas expresiones matemáticas que pueden resolverse por simple inspección y que cumplen con reglas fijas, sin necesidad de multiplicar paso a paso, advirtiendo que el proceso opuesto a desarrollar el producto conduce a su factorización. Desarrolla los siguientes productos notables: Binomios al cuadrado: El cuadrado de un binomio es un trinomio, y sus términos se obtienen de la siguiente manera:

• Elevamos al cuadrado el primer término del binomio. • Obtenemos el doble producto de los dos términos del binomio. • Elevamos al cuadrado el segundo término del binomio.

Ejemplo: Resolver el siguiente binomio cuadrado 2)3m( + = 9m6m3)3)(m(2m 222 ++=++

Ejercicios: Resolver los siguientes binomios al cuadrado:

2. 2)5( x+ 4. 21210 )10( yx + 6. 2

73

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −xy

3. 2)49( m+ 5. 2)( nn aa +− 7. 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ab

ba

8. 222 )( byxa + 9. 221 )( −+ + xa yx 10. ( )22 yx yx + Binomios al cubo:

• El cubo de un binomio tiene cuatro términos que se obtienen así: • Se eleva al cubo el primer término del binomio. • Se obtiene el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo. • Obtenemos el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo. • Se eleva al cubo el segundo término del binomio.

Ejemplo: Resolver el siguiente binomio al cubo ( ) 322332233 yxy3yx3xy)y)(x(3)y()x(3xyx +++=+++=+ Ejercicios: Desarrolle cada uno de los siguientes binomios al cubo.

3

3

3

)4(.3)3(.2

)2(.1

−

+

+

nma

32

3

3

)2(.6)21(.5

)12(.4

ban

xn

−

−

+

Binomios conjugados: El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

El conjugado de un número es el mismo número pero con signo contrario ejemplo: ( 2y + 7 ) su conjugado es ( 2y – 7); (3x-1) su conjugado es (3x+1). Ejemplo: Resolver el siguiente producto de binomios conjugados ( )( ) ( ) ( ) 49r167r47r47r4 222 −=−=−+ Ejercicios: Desarrolle cada uno de los productos de binomios conjugados.

))((.5)13)(31(.4

)12)(12(.3))((.2

))((.1

3333

2222

babaaxax

aaaxax

yxyx

+−

+−+−−+

−+

( )( )1111

2222

22

22.10)35)(53(.9

))((.8)6)(6(.7

)3)(3(.6

+−−+ +−

+−

−+

+−

+−

xxxx

amma

nmnm

abbaxyyx

babaxmxxmx

yyyy

Binomios con término común. El producto de dos binomios con términos comunes es igual al producto de los términos comunes, más el producto de la suma algebráica de los no comunes por el común, más el producto de los no comunes. Ejemplo: Resolver los siguientes productos. ( )( ) ( ) [ ]( )( )( ) ( ) [ ]( )( )( ) ( ) ( ) [ ]( ) 42b13b6)7(b67b6b7b

15w2w3)5(w35w3w5w8x6x2)4(x24x2x4x

42222

22

22

+−=−−+−−+=−−

−−=−++−+=+−

++=+++=++

Ejercicios: Resolver los siguientes productos con término común.

)9)(5(.4)1)(2(.3

)5)(6(.2)2)(1(.1

22 −+

−+−−

++

aaxxmm

aa

)5)(6(.9)7)(1(.8

)6)(5(.7)7)(2(.6)7)(1(.5

11

2222

55

22

−−

+−

−++−

−−

+− xx aababa

ababaaxx

FACTORIZACIÓN. Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión. Factorización por factor común monomio. Si cada término de un polinomio tiene un factor común, el polinomio puede escribirse como el producto de dos factores, uno de los cuales es el factor común. Ejemplo: Factorizar cy6by4ay2 ++ Del polinomio dado, lo que se tiene que observar es que se tendrá un factor común numérico y un factor común literal; del ejemplo observamos que el término común numérico es 2 (MCM) mientras que el factor común literal es Y por lo que el factor común es 2y, ahora si dividimos cada uno de los términos de la expresión dada entre 2y, obtenemos el otro factor que es [ ]c3b2a ++ , por lo que la factorización queda:

( )c3b2ay2cy6by4ay2 ++=++ Factorización por factor común binomio. En algunos casos el factor común de cada término de una expresión puede tener más de un término. Ejemplo: Factorizar )ba(y)ba(x +++

Se puede observar que cada término tiene el binomio ( )ba + como factor, si dividimos la expresión dada entre ( )ba + obtenemos el cociente yx + que es el otro factor, por lo que la factorización queda como: )yx)(ba()ba(y)ba(x ++=+++

Ejercicios: Factorizar por factor común las siguientes expresiones. 1. a(x + 1) + b(x + 1) = 2. m(a - b) + (a - b)n = 3. a(n + 2) + n + 2 =

4. 3

22 ababa −+

5. 4322 562814 xxyx +− 6. 23 4xx − 7. 32 1444896 nmn +− 8. 422 xzxyx ++ 9. 2346 483 aaaa −+− 10. aaa ++ 23

11. x(a + 1) -a - 1 = 12. (1 – x) + 2a(1 - x) = 13. a(x + 1) - x - 1 =

14. 232222222 ycaxcacba +−

15. 4222 3624 yaxxya − 16. 65432 6432 aaaaa +−+− 17. axaxxa 422 22 −+

18. 23

65

3

2222 2

x

cbax

cbaxcab

+−

Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto se escribe 22 2 yxyx +± y se factoriza como ( )2yx ± Un trinomio cuadrado perfecto tiene las siguientes características:

Sus dos términos extremos son positivos y cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta). El término medio debe ser el doble producto de la raíz cuadrada del primero por la raíz cuadrada del segundo.

El binomio resultante de la factorización tiene las siguientes características: Sus dos términos son las raíces cuadradas de los términos extremos del trinomio cuadrado perfecto. El signo del binomio es el mismo que el del término medio del trinomio cuadrado perfecto.

1. x2 - 2x + 1 = 2. a2 - 10a + 25 = 3. 1 + 49a2 - 14a =

10. 4a2 - ab + b2 =

4. 4x2 - 12xy + 9y2 = 5. 22 2 baba +−

6. 22

4baba

+−

7. 24 21 yy ++

8. 93

212bb

++

9. 269 xx +−

1. x2 + bx + 4b2

=

12. 336

25251 24 xx

−+

13. 6336 2 bbaa +− 14. 22 )()(2 babaaa ++++ 15. 422 25309 abab +−

16. 22 21 x

x++

Trinomio de la forma: x2 + bx + c Para resolver una expresión de este tipo, se descompone en el producto de dos binomios cuyo primer término es x, y los segundos términos b y c son tales que dan por suma el coeficiente de x y por producto el término independiente. Ejemplo: Factoriza el siguiente trinomio.

?)?)((652 ±±=++ xxxx Para determinar el valor y signo de los segundos términos de los binomios, buscamos dos números que multiplicados den +6 (término independiente) y sumados den +5 (coeficiente de x). Los números son 3 y 2, ya que multiplicados dan 6 y sumados dan 5 entonces, )2)(3(652 ++=++ xxxx Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones: 2. x2 + 7x + 10 = 3. x2 + 3x - 10 = 4. x2 + x - 2 = 5. 20 + a2 - 21a = 6. a2 + 7a - 60 =

7. x2 - 17x - 60 = 8. m2 - 20m - 300 = 9. x2 + x - 132 = 10. c2 + 24c + 135 = 11. m2 - 8m - 1008 =

Factorización por agrupación de términos. Ejemplo: Factorizar bybxayax +++ Se observa que los dos primeros términos tienen el factor común a y los dos últimos el factor común b: agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo correspondiente.

)bybx()ayax(bybxayax +++=+++ Y se busca el factor común en cada uno de los paréntesis obteniendo la expresión )yx(b)yx(a +++ , se factoriza por factor común binomio quedando la expresión )ba)(yx( ++ .

La factorización de )ba)(yx(bybxayax ++=+++ Ejercicios: Factorizar por agrupación de términos las siguientes expresiones: 1. a2 + ab + ax + bx =

2. x2 - a2 + x - a2x = 3. am - bm + an - bn = 4. 4a2 - 1 - a2 + 4a = 5. x + x2 - xy2 - y2 =

6. a3 + a2 + a + 1 = 7. 6ax + 3a + 1 + 2x = 8. 1 + a + 3ab + 3b = 9. 2am - 2an + 2a - m + n - 1 = 10. 3abx2 - 2y2 - 2x2 + 3aby2 =

Trinomio de la forma: ax2 + bx + c Para descomponer en factores un trinomio de la forma ax2 + bx + c, buscamos dos números cuya suma algebraica sea igual al coeficiente de x, y su producto sea igual al coeficiente de 2x multiplicado por término independiente. Una vez encontrados dichos números, sustituimos el término bx por dos términos en x cuyos coeficientes sean dichos números, y luego, factorizamos la expresión resultante por el método de agrupación de términos. Ejemplo: Factorizar 12710 2 −− xx 1.- Multiplicamos el coeficiente del término al cuadrado por el término independiente (10)(-12)=-120 2.- Buscamos dos números que al multiplicarse den -120 y al sumarse algebraicamente den -7, tales números son -15 y 8. 3.- Sustituimos a -7x por -15x+8x quedando la expresión: 1281510 2 −+− xxx .

4.- Factorizamos por agrupación:

)128()1510( 2 −+− xxx = )32(4)32(5 −+− xxx = )45)(32( +− xx

5.- Finalmente, )45)(32(12710 2 +−=−− xxxx

Ejercicios: Factoriza los siguientes trinomios 1. 2x2 + 3x - 2 = 2. 3x2 - 5x - 2 = 3. 12m2 - 13m - 35 = 4. 6x2 - 6 – 5x =

5. m - 6 + 15m2 = 6. 9a2 + 10a + 1 = 7. 16m + 15m2 - 15 = 8. 44n + 20 n2 - 15 =

Diferencia de cuadrados: Por productos notables se tiene: (a+b)(a-b)= 22 ba − inversamente, tenemos que: 22 ba − =(a+b)(a-b). Esto es una diferencia de cuadrados y se factoriza por el producto de binomios conjugados. Ejemplo: Factorizar )52)(52(254 2 −+=− aaa Ejercicios: Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados. 1. a2 - 1 = 2. 9 - b2 = 3. 1 - 4m2 = 4. 1 - 49a2b2 = 5. 100 - x2y6 = 6. 25x2y4 - 121

7. 2a4

1 - 9b2 =

8. a - b = 9. 4x2n -

91 =

10. x - y2 =

Suma y diferencia de cubos 33 yx ± : Una suma o diferencia de cubos se factoriza de la siguiente manera:

))(( 22 yxyxyx +±± . Ejemplo: Factorizar 33 27125 yx −

)91525)(35(27125 2233 yxyxyxyx ++−=− Ejercicios: Factorizar las siguientes expresiones: 1. a3 - 1 = 2. 1 - 8x3 = 3. a3b3 - x6 =

4. x6 + b9 = 5. 27m3 + 8a6 = 6. 1000x3 + 1 =

UNIDAD II. Resultado de aprendizaje propuesto: Realizar operaciones con fracciones algebraicas. Operaciones con fracciones. Ejercicios: Realizar la operación indicada de fracciones, previa reducción al mínimo común denominador, simplificando al máximo el resultado obtenido.

=+++

=++

=+

=++

+

=++

++

=

=++

=+

++

=+

++

=+

+

xxx

xxx

xx

aaaaa

xaaxax

yxx

yxyx

yxyx

xyxy

yxyyx

xyyx

yxxxyxy

aa

aa

aa

aaa

aa

aa

baba

abba

ababa

aa

aa

aa

-57

-3 -

1-2.10

221 -

2-21 - 1-.9

1 - 1 -

.8

-4

- - -.7

- 2 - .6

-1 - 1 -

-.5

4-43- -

8-87 -

222.4

9-96-2

6-62- -

331-.3

- - -.2

4-44- -

221- -

1-3.1

322

2

2

2

22

22

2

2

2

2

22

2

Ejercicios: Efectúa el siguiente producto de fracciones y simplifica al máximo la expresión resultante:

=+

•+

•

=••+

=++

+•

+•

+

=•+

•+

=++++

•

=+

•++

=+

•+

=++

•+

=•+

=++

•+

y2xxy6x

xy4xy16x

y8xy2xy10xy3x.10

4a225a

30aaa6

15a36a5a.9

4x4xx4x

xx8x2x

16xx2x.8

ax

xxaa

1ax1.7

9x3x1aa

1a27x.6

15y525y5

5y18y9y.5

4x6x3

3x62x3x2.4

xy2xyxy2x

xyxy2xy.3

nmn

nmnnm.2

50x107x7

1425x5.1

2

2

22

22

22

2

2

2

2

2

23

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

2

2

22

2

2

22

2

2

- -

- -

- -

- -

- - - -

- -

-

-

-

-

-

- -

-

- -

-

-

- -

Despeja la incógnita señalada en cada fórmula.

===

=+=

=°+°=°

=+

==

a , r ; 1 r

a LrS.5

n;r)1n(aL.4

C ; 32 C 59 F.3

b ; 2

h b) (B 2.

a 2abA.1

-

-

;

-

=+

=

==

==+

=

=+=

==+=

00

00

221

0

b;bT

Cbak.10

a;ea2V.9

n,a;2

n)va(S.8

R;R1

R1

RT1.7

,a;aVs.6

-

tt t 221

Aplicaciones:

Resuelve los siguientes problemas. 1.-En un mercado se venden tres manzanas por $3.50 ¿Cuánto se tiene que pagar por 9 manzanas? 2.-En un aparador se ofertan 3 blusas por $129. ¿Cuánto costarán 5 blusas? 3.- Una salmuera contiene 30% de sal y 70% de agua. Si se tienen 456 Kg. de sal cuanta agua se requiere para preparar la mezcla? 4.-Una rueda dentada de 18 pulgadas engrana con otra de 6 pulgadas. Suponiendo que la rueda mayor tenga 72 dientes. ¿Cuántos tendrá la más pequeña? 5.-Una polea de 60cm de diámetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 35cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña?

UNIDAD III. ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES.

OBJETIVO: Identificar, manejar e interpretar las ecuaciones y funciones lineales, así como sus métodos de solución, con el fin de aplicarlos en problemas surgidos de situaciones cotidianas y de las ciencias. Resultado de aprendizaje propuesto. Aplicar las ecuaciones lineales con una incógnita, como un modelo para resolver problemas de la vida cotidiana y de las ciencias. Ecuaciones lineales con una incógnita

Una ecuación lineal con una incógnita es aquella que puede escribirse como ax + b = c, donde a, b, y c son constantes arbitrarias, donde a es diferente de cero. A este tipo de igualdades se les llama también ecuaciones de primer grado, ya que el exponente de la incógnita es la unidad. Encuentra el conjunto solución de las siguientes ecuaciones lineales 1.- 6(3x – 1) – 2x = 2 (2x – 5)- 8 2.- 15x – 5 (2x – 1) = 4x – 18 3.- 3(4x – 3) – (x + 7) = 5(10 – x)

4.- 50- 5(x + 3) = 10 (x + 2) 5.- 7(x + 3) – 3 (x -2) = 16 – (2x – 3) 7.- x (x – 15) – 3 = (x + 6)( x – 6) – 18x 9.- (3x – 5)(x + 4) = x (3x – 7) + 8

10.-10

5317

134 −=−+

xx

11.- 263

2=−

xx

Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación literal es aquella en la que todas o algunas de sus cantidades conocidas están representadas por letras del alfabeto. Para resolver una ecuación literal de primer grado se utiliza el mismo método que utilizamos en la resolución de ecuaciones lineales y recuerda que el coeficiente de la incógnita debe de ser diferente de cero. Resuelve las siguientes ecuaciones literales para la incógnita x. 1.- bx + a = nc 2.- 5x – 4k = a

3.- 0=−ba

abx

4.- 9 ( x – a) = 3 (a- x) 5.- 3 a - 3x = 6c

Ecuaciones con radicales que se pueden expresar como otra equivalencia de primer grado Una ecuación con radicales es aquella en la que alguna incógnita aparece en el radicando de una radical: Por ejemplo ( ) 8653 =+−x Para resolver ecuaciones con radicales se despeja uno de los radicales aislándolo en un miembro de la ecuación (en caso de que sea neceario); a continuación se elevan ambos mienbros de la ecuación a una potencia igual al indice del radical, lo que permitirá que desaparezca el radical despejado. Este proceso se repite hasta que se hayan eliminado todos los radicales presentes y entonces se resuelve la ecuación final que resulta.

Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. 1.- ( ) 37 =−x 2.- ( ) 634 =− x 3.- ( ) 6467 =−−x 4.- ( ) 7152 =−+x Ecuaciones lineales como modelos matemáticos Para resolver problemas planteados en lenguaje verbal se recomienda lo siguiente: a) Leer el problema con atención para identificar las incógnitas y las cantidades conocidas b) Elegir las letras que se utilizarán para representar las incógnitas del problema c) Expresar mediante una ecuación la relación que existe entre los datos del problema d) Encontrar el valor o los valores de las incógnitas de la ecuación que resulta del paso anterior

e) Verificar la solución obtenida. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales como modelos matemáticos 1.- Un hombre es tres veces mayor que su hijo. Dentro de 10 años será dos veces mayor. ¿Cuál es su edad actual? 2.- La señora Treviño tiene el doble de edad que su hija. Hace nueve años la suma de su edades era 30 años, ¿Cuál es su edad actual?. 3.- Hallar dos números tales que el menor sea 3/5 del mayor y la suma de ambos sea 96. 4.- Hallar tres números consecutivos tales que tres veces el mayor sea igual a cuatro veces el menor disminuido en 19 unidades. 5.- Hallar la medida del ángulo mayor de un triángulo, si es cuatro veces mayor que el menor , y el otro es el doble del menor aumentando en cinco grados. 6.- Hallar el área de un rectángulo cuyo largo mide el triple de su ancho y su perímetro es 160 mt. 7.- El salario de un agente de ventas es de $400 diarios más 4% de comisión sobre el monto de una venta. Si al cabo de 15 días recibe $10 800 de sueldo, calcular el monto de sus ventas. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se pueden presentar los siguientes casos: 1.- Que el sistema tenga una solución única; en este caso decimos que el sistema es consistente independiente. 2.- Que el sistema no tenga solución; es decir que no existe al menos un par de valores, uno para cada incógnita que satisfaga a más ecuaciones simultáneamente; en este caso decimos que el sistema es inconsistente.

3.- Que el sistema tenga un conjunto infinito de soluciones; en este caso decimos que el sistema es consistente dependiente. METODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. 1.- Método de eliminación (suma y resta)

2.- Método de sustitución 3.- Método de igualación 4.- Método de determinantes o Regla de Cramer 5.- Método gráfico Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta.

a).- 1035

32=+=+

yxyx

b).-185622

=−−=+

yxyx

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

a).- 323

498−=+

=−yx

yx b).-

21251756

=−−=+

yxyx

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación.

a).- 82

223=+−=+

yxyx

b).- 72

43=−−=−

yxyx

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de determinantes.

a).- 219587

=+−−=+

yxyx

b).- 694

2856−=+

=−yxyx

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico.

a).- 663

=+=−

yxyx

b).- 37

=−=+

yxyx

Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método que mejor le parezca. 1. 6x – 5y = -9 3y + 4x = 13 2. 7x – 15y = 1 - 6y = 8 + x 3. x = 8 + 5y 8y = 25 + 7x 4. x – 6 = - 3y 5x = 13 + 2y

5. 6x – 1 = 3y 2x = 3 – 3y 6. 6x + 5y = 13 7x – 4y = 25 7. 7x + 6y = -8 3x + 3y = -6 8. 3

2 x + 43 y = 6

5 6x – 3y = 1

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones 3x3 por determinantes y por el método de suma y resta. .

a).-

162453

723

=−−−−=++

=−+

zyxzyxzyx

b).-

52741043

152

−=++−=+−−

=−+

zyxzyx

zyx

Ecuaciones de segundo grado: Resuelve las siguientes ecuaciones completando el cuadrado. a).- 036162 =−+ yy b).- 30522 =−+ zz c).- 062 2 =−+ yy Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la formula general de segundo grado. a).- 09642 =−+ xx b).- 495 2 −=− xx c).- 02422 =++ xx Resuelve utilizando el método grafico las siguientes ecuaciones. a).- 0322 =−− xx b).- 642 2 +−−= xxy Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completar el trinomio cuadrado perfecto. 1. 3x2 – 5x + 2 = 0 2. 5m2 – 7m – 90 = 0

3. 2x2 – 9x + 10 = 0 4. 2a2 – 5a – 7 = 0 5. 8t2 – 2t – 3 = 0