algebra matrices

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMATRICES

PROGRAMACIN LINEAL

Matemticas 2 de Bachillerato Ciencias Sociales

Profesor: Jorge EscribanoColegio Inmaculada Nia

Granadawww.coleinmaculadanina.org

Departamento de MatemticasColegio Inmaculada Nia de Granada

- 1 - Sistemas de Ecuaciones

TEMA 1.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.- INTRODUCCINUna ecuacin lineal es una expresin del tipo:

bxaxaxaxa nn ...332211Por ejemplo: 3x+2y-z=1

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales:

Donde las ix son las incgnitas, las ija los coeficientes de las incgnitas y las jb lostrminos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones y n incgnitas.

Por ejemplo:

54

123

22

zyx

zyx

zyx

Todo sistema tiene asociada una matriz:

Que no es sino una forma ms sencilla de escribir el sistema. En el ejemplo anterior, lamatriz asociada al sistema sera:

Una solucin de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores quecumplen a la vez todas las ecuaciones del sistema.



As, una solucin del sistema

02

3

yx

yx es (1,2) (x=1, y=2) (Es fcil resolver por

cualquiera de los mtodos conocidos)

Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

As, los sistemas

2

52

yx

yx y

723

63

yx

yx son equivalentes puesto que ambos

tienen como solucin (3,1)

2.- CLASIFICACIN DE UN S.E.L.Segn su nmero de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:

Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una nicasolucin.

El sistema

422

2

yx

yx es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas

soluciones (hay infinitas parejas de nmeros que sumen 2) como se puede comprobar alresolverlo.

El sistema

1

2

yx

yx es un sistema Incompatible ya que no tiene solucin (es

imposible que dos nmeros sumen 2 y a la vez sumen 1)

Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solucin y, caso de tenerla, saber sies nica o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en casode ser compatible, si es determinado o indeterminado.



3.- SISTEMAS ESCALONADOS

Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo:

Por ejemplo:

62

323

72

z

zy

zyx

La ventaja de estos sistemas es que son muy fciles de resolver. En el ejemplo anterior,despejando de la ltima ecuacin sale z = 3, de la segunda sale y = -1 y de la terceraecuacin sale x = 2.

4.- MTODO DE GAUSS DE RESOLUCIN DE S.E.L. (REDUCCIN)El mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (tambin llamadomtodo de reduccin) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que seaequivalente a l (es decir, tenga las mismas soluciones).

Nota: al usar este mtodo usaremos la matriz asociada al sistema para facilitar lasoperaciones.

Para convertir un sistema en otro hay 3 operaciones vlidas que no cambian lassoluciones del sistema:

Transformaciones Vlidas:

a) Intercambiar entre s las filas de la matrizb) Multiplicar o dividir una fila por un nmero distinto de 0c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un nmero y

sumrsela

Ejemplo 1:

Resolver el sistema:

2965

11532

2

zyx

zyx

zyx



Obtenemos su matriz asociada:

2965111532

2111

Hemos sealado la diagonal de la matriz para darnos cuenta de que los elementos quehay que hacer 0 para que el sistema se transforme en uno escalonado son justamente losque hay por debajo de ella (el 2, el 1 y el -5). Para ello usaremos las transformacionesque hemos indicado:

Hemos conseguido transformarlo en un sistema escalonado equivalente que sera:

6923

73

2

z

zy

zyx

, cuya solucin, como es fcil ver, es (1,-2,3)

Este mtodo permite adems discutir el sistema a la vez que se resuelve. En este caso setrata de un Sistema Compatible Determinado (una nica solucin)

Ejemplo 2:

Discutir y resolver el sistema

43

32

2642

zyx

zy

zyx



El elemento redondeado es el en el que nos basamos para hacer cada transformacin(hacer ceros) llamado elemento pivote.

Vemos que en la ltima matriz queda una fila entera de ceros, lo que indica que esa filase puede eliminar. Esto significa que como nos queda un sistema con ms incgnitasque ecuaciones tendr infinitas soluciones. Por tanto se trata de un Sistema CompatibleIndeterminado.

Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incgnitas como si fuese unnmero (le llamamos, por ejemplo, ), y despejamos las restantes incgnitas:

Dndole distintos valores a , podramos obtener las infinitas soluciones del sistema.Por ejemplo, si =1, una solucin sera (-12,-5,1), si =0, otra solucin sera (-5,-3,0),si =-1, otra solucin sera (2,-1,-1),

Ejemplo 3:

Discutir y resolver el sistema

1842

342

2

zyx

zyx

zy

Intercambiando la 1 fila por la 2:



Como vemos la ltima ecuacin no tiene sentido (0 = 5), y por tanto se trata de unSistema Incompatible.

Ejercicios:

1.- Discutir y resolver los sistemas:

32423452

)111

)yx

zyxzyx

bzyxzyxzyx

a

2.- Dado el sistema:

azayxazyx

zayx

6)22(1124

a) Disctelo y resulvelo para a = 4b) Disctelo y resulvelo para a = 0

5.- CASO PARTICULAR: SISTEMAS HOMOGNEOSUn sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogneo si todos sus trminosindependientes son nulos, es decir, un sistema del tipo:

Por ejemplo:

033

032

042

zyx

zyx

zyx

Estos sistemas siempre son compatibles, pues al menos tienen la solucin (0,0,0),llamada solucin trivial. La cuestin es si slo tiene esa solucin o tiene infinitassoluciones adems de sa.

Se resuelven por Gauss de la misma manera que todos los sistemas, si bien suclasificacin es un poco distinta:

)()(

solucionessCompatible

trivialsolucinlaslolesIncompatibHomogneosLinealesSistemas



Ejemplo:

Discutir y resolver el sistema:

023

032

025

zyx

zyx

zyx

En este caso nos quedan dos ecuaciones y tres incgnitas y por tanto el sistema tendrinfinitas soluciones, por tanto se trata de un Sistema Homogneo Compatible:

1312

132525

135

0513

025

zyx

yzzy

zyx

Como podemos ver, si =0 se obtiene la solucin trivial (0,0,0)



EJERCICIOS

1.- Discute y resuelve los siguientes sistemas:

a)0=2y+3x

1=y+x

b)

23=y2x7=y+x

2c)

4

82

=yx

=y+2x

d)2-=z-y-x

7=2z+2y+x

0=z+y-x

e)1=z-2y-3x

0=2z-y-x

1=4z+2y-3x

e)

5

93

3359

zyx

zyx

zyx

f)

1023

12

02

zyx

zyx

zyx

g)

1

2

032

zyx

zy

zyx

h)

42

1

52

yx

yx

yx

i)1-=2z+2y+x

0=z-y+x

4=z+y-3x

j)

032

0823

02

zyx

zyx

zyx

k)

132

342

6423

zyx

zyx

zyx

l)

13

12

62

yx

zyx

zyx

m)

658

42

32

zyx

zyx

zyx

n)2-=z+y-x

2=5z+y-2x

7-=2z+3y-4x

o)3=3z-2y-x

3=2z+y+x-

4-=z+3y+2x

p)3=z+3x

0=z-y-2x

1-=3z+y-x

q)

0=z+y+x

0=z+y+x

0=z+y+x

2

2 r)

2=z+2y+x

0=z-y+x

2=z+2y+x

s)1-=3z-y+3x-

5=z-3y+x-

3=z+y+x

t)0=6y-3x

3=2y+x

1=y-3x



2.- Dado el sistema:1=y-x

2=3z+y+2x

a) Clasifcalo y resulvelob) Aade una ecuacin de manera que sea incompatiblec) Aade una ecuacin de manera que sea compatible y determinado y

resulvelo en ese caso

3.- En una reunin hay 60 personas entre altas, medianas y bajas. Se sabe que lasbajas y medianas duplican el nmero de altas. Tambin se sabe que las altas y eldoble de las medianas son el doble de las bajas. Cul es el nmero de personasaltas, medianas y bajas?

4.- Dos kilos de naranjas ms un kilo de pltanos ms dos kilos de mangos, valen12 euros. Dos kilos de naranjas ms dos kilos de pltanos ms tres kilos demangos, valen 18 euros. Tres kilos de naranjas ms un kilo de pltanos, ms doskilos de mangos, valen 13 euros. Cunto vale un kilo de naranjas? Cuntovale un kilo de pltanos? Cunto vale un kilo de mangos?

5.- En una heladera, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos, lecobran 15 euros un da. Otro da, por cuatro copas de la casa y cuatrohorchatas, le cobran 20 euros y, un tercer da, le piden 12 euros por unahorchata y cuatro batidos.Tienes motivos para pensar que alguno de los tres das le han presentado unacuenta incorrecta?

6.- El seor Garca deja a sus hijos herederos de todo su dinero con las siguientescondiciones: al mayor le deja la media de lo que les deja a los otros dos ms30.000 euros; al mediano, exactamente la media de lo de los otros dos; y alpequeo, la media de lo de los otros dos menos 30.000 euros.Conociendo estas condiciones solamente, pueden los hijos saber cunto dineroha heredado cada uno?

7.- En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 5,10 y 20 euros, respectivamente.Cierto da, la recaudacin total fue de 11.000 euros. Si se sabe, adems, que dela clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y quede la B se vendi el doble que de la C, averigua cuntas localidades de cadaclase se vendieron ese da.

8.- En una reunin hay 22 personas, entre hombres, mujeres y nios. El doble delnmero de mujeres mas el triple del nmero de nios es igual al doble delnmero de hombre.a) Con estos datos, se puede saber el nmero de hombres que hay?b) Si adems se sabe que el nmero de hombres es el doble del de mujeres,

cuntos hombres, mujeres y nios hay?


- 1 - Matrices

TEMA 2.- MATRICES

1.- INTRODUCCINSe llama matriz de orden mn a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestosen m lneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n.Los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denotala fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 ser el elemento de lafila 2 y columna 5.

Por ejemplo:

512

331A , es de orden 2 x 3

120

043

352

B , es de orden 3 x 3

La dimensin de una matriz se suele indicar:

3215

32

13

x

A

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin (u orden) y los elementosque ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

2.- TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a suutilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.


- 2 - Matrices

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es deorden 1n.Ejemplo 411321 x

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto esde orden m 1.

Ejemplo

134

2

1

x

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo nmero de filas que de columnas, esdecir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n,y no n n.Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principalde la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonalsecundaria.

Ejemplo

3251

342

031

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At,a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera filade A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segundacolumna de At, etc.

De la definicin se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es deorden n m.

Ejemplo

424

135

012

410

231

452tAA

Matriz simtrica: Una matriz cuadrada A es simtrica si A = At, es decir, si aij = aji.

Ejemplo

254

562

421

A


- 3 - Matrices

Atendiendo a los elementos

Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos nopertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplo

300

040

001

;30

02BA

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.

Ejemplo

400

040

004

;20

02BA

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonalprincipal iguales a 1.

Ejemplo

100

010

001

;10

0132 II

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos queestn a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangularespueden ser de dos tipos:Triangular Superior: Si los elementos que estn por debajo de ladiagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 i


- 4 - Matrices

3.- OPERACIONES CON MATRICES

Suma y Diferencia de Matrices

La suma (o diferencia) de dos matrices A=(aij)mxn, B=(bij)mxn es otra matriz con trminogenrico (aijbij)mxn. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener lamisma dimensin.

As, para el caso de dimensin 2x2 :

Ejemplo:323232 402

511

331

120

133

411

xxx

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)4. La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,

recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A (A) 0.

Producto de una Matriz por un Nmero

El producto de una matriz A = (aij)mxn por un nmero real k es otra matriz B = (bij)mxn dela misma dimensin que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aijpor k, es decir, bij = kaij.

Ejemplo:22 010

155

02

315

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1)2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2)3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)4. 1A = A (elemento unidad)


- 5 - Matrices

Producto de Matrices

Sean A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp:

El producto de las matrices A y B (AB) es otra matriz C de orden mxp con m filas y pcolumnas, cuyo elemento cij es el producto de la fila i de la matriz A por la columna jde la matriz B:

mxpijnxpijmxnij cba

donde:

Ejemplos:

5436101

3

2

5

4132

14

41

x

x

Propiedades del producto de matrices

1. A(BC) = (AB)C2. El producto de matrices en general no es conmutativo: A.B B.A3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene AIn = InA = A.4. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:

A(B + C) = AB + AC


- 6 - Matrices

Ejercicios:

1.- Siendo

2502

1013

4331

1212

A y

4235

1410

1322

0213

B , calcula

3A 2B

2.- Dadas las matrices:

011

121

101

,

115

003

102

BA , calcular A + B y B A


121

024

114

,

321

212

121

BA

Calcular: 22 ,,, BAABBA


43

01

12

,

043

521BA , calcular, si es

posible, A.B y B.A

4.- MATRIZ INVERSA

Dada una matriz cuadrada nA , se dice que es inversible o regular si existe una matrizcuadrada nB tal que : nnnnn IABBA .

A dicha matriz se le llama matriz inversa de A y la notaremos por 1A

Propiedades de la inversin de matrices

1. La matriz inversa, si existe, es nica2. A-1A=AA-1=I3. (AB) -1=B-1A-14. (A-1) -1=A5. (kA) -1=(1/k)A-16. (At) 1=(A-1) t


- 7 - Matrices

Hay varios mtodos para calcular la matriz inversa de otra. (No todas las matrices tieneninversa)

Uno de ellos es usando directamente la definicin.

Ejemplo:

Dada la matriz

11

12A buscamos una matriz que cumpla AA-1 = I, es decir

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

La matriz que se ha calculado realmente sera la inversa por la "derecha", pero es fcilcomprobar que tambin cumple A-1 A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.

El problema de este mtodo es que a veces, especialmente para matrices ms grandes,los clculos se complican.

5.- MTODO DE GAUSS PARA EL CLCULO DE MATRICES INVERSASSe basa en transformar, usando las mismas operaciones vlidas que se usan pararesolver sistemas de ecuaciones por el mtodo de Gauss, una matriz cuadrada en lamatriz identidad del orden correspondiente, haciendo las mismas operaciones a la vezcon dicha matriz identidad.

Vemos un ejemplo:

Calculamos la inversa de

41

23A

En primer lugar triangularizamos inferiormente:


- 8 - Matrices

Dividimos por -10 la segunda fila para que quede la diagonal de unos:

Una vez que hemos triangularizado superiormente lo hacemos inferiormente:

Y por tanto la matriz inversa de A ser:

103

101

51

52

103

101

102

104

1A

Nota: si al intentar triangularizar se nos convierte una fila entera en ceros, significarque la matriz no tiene inversa.

Ejercicios: Calcular las matrices inversas de

21

42;

002

121

311

;43

21;

421

210

321

DCBA

6.- APLICACIONES DE LAS MATRICES

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias (sociales, econmicas,demogrficas, estadsticas,) como elementos que sirven para clasificar valoresnumricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo:

Un importador de globos los importa de dos colores: Naranja (N) y Fresa (F). Todosellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros)indicado en la tabla siguiente:


- 9 - Matrices

Sabiendo que en un ao se venden el siguiente nmero de paquetes:

a) Recoger la informacin anterior en dos matrices A2x3 y B3x2 que recojanlas ventas en un ao (A) y los precios (B)

b) Calcular los productos A.B y B.A e interpretar los resultados obtenidos

Solucin:

a) Nos piden que organicemos la informacin en dos matrices de tamao concreto.Si nos fijamos en las tablas, es fcil obtener las matrices:

Estas matrices se llaman matrices de informacin, y simplemente recogen losdatos numricos del problema en cuestin.

b)

4350065200

91000136000BA

La diagonal de esta matriz representa las ventas totales (en euros) obtenidas porlos globos de color Naranja (136000) y Verde (43500)

1000007520088000

650005000058500

350002520029500

AB

La diagonal de esta matriz representa las ventas totales (en euros) obtenidas porlos paquetes de 2unidades (29500), los de 5 unidades (50000) y los de 10unidades (100000)


- 10 - Matrices

7.- DETERMINANTES

Un determinante es un nmero real que se la asocia a una matriz cuadrada. Lellamaremos AA detDependiendo del orden de la matriz, los determinantes se calculan de una u otra forma:

Determinantes de orden 1:


Ejemplo: 7425354

23


En este ltimo caso, para acordarnos de todos los productos posibles y suscorrespondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquemagrfico para los productos positivos y otro para los negativos:


- 11 - Matrices

Ejemplo:

213

132

241

A

35116181246116181246213

132

241

A

Ejercicio: Calcula los determinantes de las matrices:

243

111

111

;

111

322

221

;37

25;

22

13DCBA

8.- MATRIZ ADJUNTA

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila iy la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre dematriz complementaria del elemento aij.

Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en lamatriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:


- 12 - Matrices

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matrizcomplementaria del elemento aij , ijM

Se llama adjunto de aij , y se representa por Aij, al nmero (1)i+j. ijM

Es decir, si i+j es par, el menor complementario se deja con su signo, pero si i+j esimpar, se le cambia el signo.

Ejemplo: Dada la matriz

313

022

121

A

El adjunto del elemento 11 ser: 631

0211 A


0212

A


2213

A


1221

A

Y los dems:

633

1122

A 513

2123

A 202

1231

A

202

1132

A 222

2133

A

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A)o por *A a la matriz de los adjuntos, *A =Adj(A) = (Aij).

As, la matriz adjunta del ejemplo anterior ser:


- 13 - Matrices

222

567

466

)(* AAdjA

Ejercicio: Calcula las adjuntas de las matrices:

243

111

111

;

111

322

221

;37

25;

22

13DCBA

9.- CLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES

Si tenemos una matriz tal que det(A) 0, se verifica:

A

AAt*

1

En el ejemplo anterior:

313

022

121

A 2A

254

266

276

222

567

466

)( ** tAAAdjA

Y por tanto la inversa de la matriz A ser:

A

AAt*

1

12

52

133

1273

2254

266

276


- 14 - Matrices

Importante:

Para que una matriz tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de 0

Ejercicio: Calcula las inversas de las matrices:

243

111

111

;

111

322

221

;37

25;

22

13DCBA

10.- ECUACIONES MATRICIALES

Son ecuaciones en las que la incgnita es una matriz.

Se resuelven como las ecuaciones normales, con la salvedad de que no se pueden dividirmatrices.

ABCXBCAXCBAX

xxxx

23663173713

Esto ltimo con matrices no se puede hacer.

En lugar de dividir por una matriz, que no se puede, lo que haremos es multiplicar laecuacin por la inversa de esa matriz:

BAXBAXIIAAComoBAAXABAX 11111 )(

Es importante que hay que multiplicar por 1A por el lado en el que est A (en el casoanterior por la izquierda) para que quede la identidad, ya que el producto de matrices noes conmutativo.

Por ejemplo:

1

111

ABCX

ABCIXABCXAABCXACBXA


- 15 - Matrices

Ejercicio:

Resolver la ecuacin: AX + B = 2C , siendo:

100

214

121

013

11

02CBA

11.- RESOLUCIN MATRICIAL DE UN S.E.L.Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) del tipo:

se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse Am,n Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz se denominamatriz de coeficientes.

Es decir, se puede expresar como una ecuacin matricial: A.X = B, y por tanto se puederesolver como: BAX 1

Ejemplo: Resolver matricialmente el sistema

143

034

233

zyx

zyx

zyx

Matricialmente se puede expresar como:

1

0

2

431

341

331

z

y

x


- 16 - Matrices

Es decir, A.X = B, donde

431

341

331

A ,

1

0

2

B y

z

y

x

X

Como BAX 1 , calculamos la inversa de A:

101

011

3371A (comprobarlo9

Y por tanto:

3

2

17

1

0

2

101

011

337

X

Es decir, es un sistema Compatible Determinado cuya solucin es: x=17 , y=-2 , z=-3

Nota: si la matriz A no tiene inversa, el sistema no se puede resolver de formamatricial, sino slo por Gauss.

Ejercicio: resuelve matricialmente los sistemas:

a)1=2z+y+x

0=z-3y+2x

1-=z+2y+x

b)2-=z-2x

4=z+2y

1=z+y-3x


- 17 - Matrices

EJERCICIOS

1.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA

2.- Efecta todos los productos posibles con las siguientes matrices:

0152 00365172

43101107

152321 CBA

3.- Dadas las matrices

31 60,15 03 BA , encuentra una matriz X quecumpla: 3X-2A = 5B

4.- Dadas las matrices

23 11,03 74,30 21 CBA

Calcula:

a) (A.B) + (A.C) b) (A-B).C c) A.B.C

5.- Calcula las inversas, si existen, de las siguientes matrices por el mtodo deGauss:

6.- Halla los valores a y b en la matriz

abaA 0 de forma que se cumpla:

BAA 22 , siendo

00 10B

7.- Dada la matriz

12 32A , halla el valor que deben tener x e y para que secumpla la igualdad: 02 yIxAA

120101212

=B

011112

101=A


- 18 - Matrices

8.- Dada la matriz

xx

xA

000000

, calcular el valor de x para que se verifique la

ecuacin: 0962 IAA

9.- Razonar si existe algn valor de x tal que BB 2 siendo

xx

B 11

10.- Una fbrica de alimentos produce dos tipos de turrones, X e Y. Se elaboran detres calidades: Normal (N), Extra (E) y Suprema (S), al precio (en euros) queindica la matriz A:

donde la matriz B indica las unidades diarias producidas:

a) Calcula los producto A.B y B.Ab) Qu informacin proporcionan las diagonales de ambos productos?

11.- Calcula los siguientes determinantes:

3-12121

1-01

3121-11

102

1311-122-11

12.- Calcula, usando determinantes, las matrices inversas de:

121

11001-1

=B

2-011101-12

=A

10 11C

643021311

E

1-10212

01-1=D

13.- Dada la matriz:

302010121

A , calcular 1 tAA


- 19 - Matrices

14.- Dada la matriz

221131122

A

a) Calcular IAIA 52 c) Razonar si existe la inversa de A y calcularla en caso afirmativo

15.- Dada las matrices:

102121

101,

010021213

BA

a) Calcular 11 , BAb) Calcular la inversa de A.Bc) Comprobar que 111 ABBA

16.- Resuelve la ecuacin AX = B donde:

101-011

=B1011

=A

17.- Hallar k para que la matriz A no tenga inversa. Calcular la inversa para k = 0.

111

k1-11k1

A

18.- Resolver la ecuacin matricial AX+B=C, siendo:

a)

4-03-527

=C1-101-01

=B12-

20=A

b)

1-1031201-1

=C111

11-0012

=B

2-10121

1-01=A

19.- Resuelve la ecuacin matricial: A.X.B = C, siendo:

20.- Resuelve matricialmente los sistemas:

a)

142312

zyxzyx

zyxb)

1

53yxyx

c)

32431732

10

zyxyx

zx


- 20 - Matrices


- 1 - Programacin Lineal

TEMA 3.- PROGRAMACIN LINEAL1.- INECUACIONES Y REGIONES DEL PLANO

Una inecuacin lineal es una expresin del tipo:

bxaxaxaxa nn ...332211donde el smbolo puede ser cualquiera de los smbolos de desigualdad: ,, .

Por ejemplo: 33 yxUna inecuacin con dos incgnitas representa un semiplano.

As, 33 yx son todos los puntos del plano que verifican esa inecuacin: (0,0), (2,0),(-1,1),

Para representar el semiplano correspondiente primero dibujamos la recta asociada(cambiando el smbolo de desigualdad por el =):

33 yx

Para saber qu parte del plano es, sustituimos un punto cualquiera en la inecuacin. Si lacumple, es sa parte, y si no la cumple, ser la otra.

En nuestro caso, si tomamos por ejemplo el punto (0,0) vemos que s cumple ladesigualdad 33 yx , y por tanto el semiplano ser:

33 yx

Si la desigualdad es , la recta est incluida en el semiplano correspondiente,mientras que si es < >, no lo estar.

Ejercicio: representar grficamente los semiplanos:

032)1535)0)2)1)2) yxfyxeydyxcyxbxa



Un sistema de inecuaciones lineales es un conjunto formado por varias inecuaciones.En el caso de inecuaciones de dos incgnitas:

Representan grficamente una regin del plano limitada por los diversos semiplanos quecorresponden a las distintas inecuaciones.

As:

1

33x

yx

Esta regin puede estar o no acotada, dependiendo de las inecuaciones. Incluso puedeno tener sentido (por ejemplo: 3;2 xx ):



Ejercicio: representar grficamente los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:

xyyxg

yx

yxyx

f

y

x

yxyx

e

yx

yxyx

dyx

x

yxyx

c

x

yyx

bx

yyx

a

12)42

02

)

421

02

)

00

0203

)32

1222

)00

0332)

00

0332)

2.- PROGRAMACIN LINEALEn 1946 comienza el largo perodo de la guerra fra entre la antigua Unin Sovitica(URSS) y las potencias aliadas (principalmente Inglaterra y Estados Unidos). Uno delos episodios ms llamativos de esa guerra fra se produjo a mediados de 1948, cuandola URSS bloque las comunicaciones terrestres desde las zonas alemanas en poder delos aliados con la ciudad de Berln, iniciando el bloqueo de Berln. A los aliados se lesplantearon dos posibilidades: o romper el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegar aBerln por el aire. Se adopt la decisin de programar una demostracin tcnica delpoder areo norteamericano; a tal efecto, se organiz un gigantesco puente areo paraabastecer la ciudad: en diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladasdiarias; en marzo de 1949, se lleg a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba porcarretera y ferrocarril antes del corte de las comunicaciones. En la planificacin de lossuministros se utiliz la programacin lineal. (El 12 de mayo de 1949, los soviticoslevantaron el bloqueo).

Los fundamentos matemticos de la programacin lineal se deben al matemticonorteamericano de origen hngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928public su famoso trabajo Teora de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de losproblemas de programacin lineal y la teora de matrices desarrollada en sus trabajos.La influencia de este respetado matemtico, discpulo de David Hilbert en Gotinga y,desde 1930, catedrtico de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace queotros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de estadisciplina

En 1858 se aplicaron los mtodos de la programacin lineal a un problema concreto: elclculo del plan ptimo de transporte de arena de construccin a las obras deedificacin de la ciudad de Mosc. En este problema haba 10 puntos de partida y 230de llegada. El plan ptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 dasdel mes de junio, rebaj un 11% los gastos respecto a los costes previstos.

Se ha estimado, de una manera general, que si un pas subdesarrollado utilizase losmtodos de la programacin lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentara entre un10 y un 15% en tan slo un ao.



En infinidad de aplicaciones de la industria, la economa, la estrategia militar, etc. sepresentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas funciones quese encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Para hacernos una idea ms clara, veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1: Problema de mximos.

En una granja se preparan dos clases de piensos, P y Q, mezclando dos productos A yB. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 deB. Cada saco de P se vende a 3 euros. y cada saco de Q a 8 euros. Si en la granja hayalmacenados 80 kg de A y 25 de B, cuntos sacos de cada tipo de pienso debenpreparar para obtener los mximos ingresos?

Ejemplo 2: Problema de mnimos.

Una campaa para promocionar una marca de productos lcteos se basa en el repartogratuito de yogures con sabor a limn o a fresa. Se decide repartir al menos 30000yogures.Cada yogur de limn necesita para su elaboracin 0.5 gramos de un producto defermentacin y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Sedispone de 9 kg de este producto para fermentacin. El coste de produccin de unyogur de limn es de 03 euros y 02 euros uno de fresa. Cuntos yogures de cada tipose deben repartir para que la campaa salga lo ms econmica posible?

En los dos ejemplos descritos est claro que tanto la cantidad que deseamos maximizarcomo la cantidad que deseamos minimizar podemos expresarlas en forma de ecuacioneslineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambosproblemas se pueden expresar en forma de inecuaciones lineales.

Tratemos de plantear en trminos matemticos los dos ejemplos anteriores:

1) Si designamos por x al nmero de sacos de pienso de clase P y por y el nmero desacos de pienso de clase Q que se han de vender, la funcin: Z = 3x + 8y representar lacantidad de pesetas obtenidas por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemosmaximizar.

Podemos hacer un pequeo cuadro que nos ayude a obtener las restricciones:

N kg de A kg de BP x 8x 2xQ y 10y 5y

80 25



Por otra parte, las variables x e y, lgicamente, han de ser no negativas, por tanto: x 0,y 0Conjunto de restricciones:

8x + 10y 802x + 5y 25x 0, y 0

2) Si representamos por x el nmero de yogures de limn e y al nmero de yogures defresa, se tiene que la funcin de coste es Z = 03x + 02y. Por otra parte, las condicionesdel problema imponen las siguientes restricciones:

De nmero : x + y 80 De fermentacin: 0.5x + 0.2y 9000 Las variables x e y han de ser, lgicamente, no negativas; es decir: x 0, y 0

Conjunto de restricciones:

x + y 800.5x + 0.2y 9000x 0, y 0

En definitiva:

Se llama programacin lineal al conjunto de tcnicas matemticas que pretendenresolver la situacin siguiente:

Optimizar (maximizar o minimizar) una funcin objetivo (funcin lineal de variasvariables), sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.

Un problema de programacin lineal en dos variables, tiene la siguiente formulacinestndar:

pudiendo cambiar maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades.

En un problema de programacin lineal intervienen:

La funcin z=f(x,y) = ax + by + c llamada funcin objetivo y que es necesariooptimizar. En esa expresin x e y son las variables de decisin, mientras que a, by c son constantes.



Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su nmero depende delproblema en cuestin. El carcter de desigualdad viene impuesto por laslimitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores:< o ); como mnimo de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizarcomo de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dossentidos.

Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de lasrestricciones se lo denomina regin factible. Todo punto de ese conjunto puedeser solucin del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puedeser solucin.

La solucin ptima del problema ser un par de valores (x0, y0) de la reginfactible que haga que f(x,y) tome el valor mximo o mnimo.

3.- RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEALLos pasos para resolver un P.P.L. son:

Primer Paso:

Dibujar la regin factible

Segundo Paso:

Calcular los vrtices de la regin factible (son puntos de corte de las rectas quela forman)

Tercer Paso:

Sustituir los vrtices en la funcin objetivo. Donde valga ms se alcanzar elmximo y donde valga menos corresponder al mnimo.

Ejemplo:

Max f(x,y) = 5x+4y

s.a.

0015003210002

yx

yxyx

Solucin:

En primer lugar representamos la regin factible:



Calculamos los vrtices. A(0,0), B(0,500) y D(500,0) han salido directamente de lospuntos de corte de la rectas con los ejes.Para calcular el vrtice C resolvemos el sistema:

375250500215003210002

xyyrestamosyxyx

Luego C(375,250)

Sustituimos los vrtices en la funcin objetivo f(x,y) = 5x+4y

f(A) = f(0,0) = 0f(B) = f(0,500) = 2000f(C) = f(375,250) = 2875f(D) = f(500,0) = 2500

Luego el mximo es 2875 y se alcanza en el punto (375,250)

(El mnimo se alcanzara en el punto (0,0) y valdra 0)

Otra forma de calcular el mximo (o el mnimo) es usando el llamado mtodo de lasrectas de nivel.Para ello, en lugar de tener que sustituir la funcin objetivo en todos los vrtices,dibujamos el vector asociado a la funcin objetivo, ),( bav , en nuestro caso el vector

)4,5(v , aunque por razones de unidades podemos dibujar cualquier vector proporcionala l, por ejemplo, el vector )40,50(v , )80,100(v , )160,200(v .Despus recorremos la regin factible con rectas perpendiculares a dicho vector en elsentido de ste. stas son las llamadas rectas de nivel. El ltimo punto donde dichasrectas toquen a la regin factible ser el mximo. (el primer punto donde toquen sera elmnimo):



Como puede verse el ltimo punto donde las rectas de nivel tocan a la regin factible esel (375,250).

Notas:

En un problema de programacin lineal con dos variables, si existe unasolucin nica que optimice la funcin objetivo, sta se encuentra en un puntoextremo (vrtice) de la regin factible acotada, nunca en el interior de dicharegin.

Si la funcin objetivo toma el mismo valor ptimo en dos vrtices, tambin tomaidntico valor en los puntos del segmento que determinan. (es decir, el mximoo mnimo se alcanzara en todo el segmento, y no en un solo vrtice)

En el caso de que la regin factible no es acotada, la funcin lineal objetivo noalcanza necesariamente un valor ptimo concreto, pero si lo hace, ste seencuentra en uno de los vrtices de la regin

Ejercicios: resolver los siguientes P.P.L.:

a) Max f(x,y) = 2x+3y b) Max f(x,y) = 5x+4y

s.a.

0015003210002

yx

yxyx

s.a.

c) Min f(x,y) = -x+y d) Max f(x,y) = 10x+y

s.a.

0015003210002

yx

yxyx

s.a.

00

35

yx

yxyx

126

27

x

yyx



e) Min f(x,y) = x+y f) Max f(x,y) = 4x+2y

s.a.

0015003210002

yx

yxyx

s.a.

00

142

yx

yxyx

4.- P.P.L. CON ENUNCIADO

Para resolver un problema de programacin lineal con enunciado conviene seguir lossiguientes pasos:

1. Se localizan las variables. Como en la programacin de la asignatura, slo entraprogramacin lineal bidimensional, existen nicamente dos variables. Ayuda aencontrar cules son las variables considerar cual es la funcin objetivo. Paradefinir las variables y la funcin objetivo suele ser til ver qu pregunta elejercicio.

2. Se plantean como inecuaciones las restricciones que impone el enunciado3. Se determina la regin factible correspondiente al sistema de inecuaciones

planteado.4. Se determina el vector asociado a la funcin objetivo5. Se determina la solucin ptima, bien grficamente, trazando las rectas de nivel

que pasan por los vrtices de la regin factible, o bien analticamente probandola funcin objetivo en cada uno de los vrtices de la regin factible.

Ejemplo:

Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescarcomo mximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, adems, en total,las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el preciode la merluza es de 6 /kg y el precio del rape es de 9 /kg, qu cantidades debepescar para obtener el mximo beneficio?

1.- Definimos las variables:x = n de toneladas de merluzay = n de toneladas de rape

2.- La funcin objetivo que da el beneficio en euros y que hay que maximizar vienedada por:z = f(x,y) = 6x + 9y

3.- Del enunciado deducimos las restricciones:

Como mximo 2000 toneladas de merluza: x 2000 Como mximo 2000 toneladas de rape: y 2000 Las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas:

x + y 3000 Las toneladas son n positivos, luego 0,0 yx



Luego el problema planteado en trmino de programacin lineal sera:

Max f(x,y) = 6x+9y

s.a.

003000

20002000

yx

yxyx

Representamos la regin factible:

Los vrtices A(0,0), B(0,2000) y E(3000,0) son fciles de obtener. Calculamos C y D:

)2000,1000(20003000 Cy

yxC

)1000,2000(20003000 C

x

yxD

Si sustituimos los vrtices en la funcin objetivo f(x,y) = 6x+9y

f(A) = f(0,0) = 0f(B) = f(0,2000) = 18000f(C) = f(1000,2000) = 24000f(D) = f(2000,1000) = 21000f(E) = f(3000,0) = 18000

Luego para que el beneficio sea mximo hay que pescar 1000 toneladas de merluza y2000 de rape, y dicho beneficio ser de 24.000 .

Ejercicios:

1.- En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinadogrupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tresprincipios nutritivos: N1, N2 y N3. Una unidad de A vale 1 euro y contiene 2unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2.40 euros y contiene 1,3, y 2 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo



necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente.Se pide:a) Plantear un problema de programacin lineal que permita determinar las

cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mnimo.b) Resolver el problema

2.- Un tren de mercancas puede arrastrar, como mximo, 27 vagones. En ciertoviaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mnimo de12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Silos ingresos de la compaa ferroviaria son de 540 por vagn de coches y 360 por vagn de motocicletas, calcular cmo se deben distribuir los vagones paraque el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea mximo y cuntovale dicho beneficio



EJERCICIOS

1.- Dibuja la regin del plano formada por los puntos (x,y) que cumplen lassiguientes desigualdades:

2.- Se considera la regin del plano determinada por las inecuaciones:

x + 3 y ; 8 x + y ; y x - 3 ; x 0 ; y 0

a) Dibujar la regin del plano que definen, y calcular sus vrtices.b) Hallar el punto de esa regin en el que la funcin F(x,y) = 6x + 4y alcanza elvalor mximo y calcular dicho valor.

3.- Maximiza la funcin z = 150x + 100y sujeta al conjunto de restricciones:

00

480260032

yx

yxyx

4.- Minimiza la funcin z = 3x + 2y+4 sujeta al conjunto de restricciones:

00

2231243

yx

yxyx

5.- a) Dibuja el recinto definido por:

422232

yxyxyx

b) Halla los vrtices del recinto anterior.c) Halla el mximo de la funcin z = 4y - x, sujeta a las restricciones

propuestas en a). En qu punto del recinto alcanza dicho mximo?

6.- Dada la regin del plano definida por las inecuaciones:

x + y - 1 0 ; 0 x 3 ; 0 y 2.

Para qu valores de la regin es mxima la funcin z = 5x + 2y?



7.- Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 gde plata, vendindolas a 40 euros cada una. Para la fabricacin de las de tipoB emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50 euros. El orfebre tienesolo en el taller 750 g de cada uno de los metales.Calcula cuntas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficiomximo

8.- Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar.Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolgrafospara la oferta, empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer bloquepondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los precios de cada paquete sern 6.5 y 7,respectivamente. Cuntos paquetes le conviene poner de cada tipo paraobtener el mximo beneficio y cul ser ste?

9.- Una fbrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fbrica esta dividida en dossecciones: montaje y acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por lasiguiente tabla:

MONTAJE ACABADOUTILITARIA 3 horas 3 horas

LUJO 3 horas 6 horas

El mximo nmero de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 enmontaje y 180 en acabado, debido a las limitaciones de operarios.Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cadanevera de lujo, cuntas deben fabricarse diariamente de cada una para obtenerel mximo beneficio?

10.- Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L1 y L2. Para sufabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1 y de 10 minutos para L2.Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximobeneficio.

11.- Se considera el recinto plano de la figura en el que estn incluidos los tres ladosy los tres vrtices de las rectas asociadas a las desigualdades:

a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto.

b) Maximizar la funcin Z = 3x - 6y sujeta a las restricciones del recinto.



12.- En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composicinmnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En elmercado slo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con unacomposicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con unacomposicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10euros y del tipo Y es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipopara cubrir las necesidades con un coste mnimo?

13.- Se dispone de 600 g de un determinado frmaco para elaborar pastillas grandes ypequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menostres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cadapastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequea de 1 . Cuntaspastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea mximo?

14.- Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de latemporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste enun lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 30 ; la oferta B consisteen un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 50 . No se deseaofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotesha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

15.- Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3, en dos plantas, A y B. Laplanta A produce diariamente 1.000 unidades de P1, 3.000 unidades de P2 y5.000 de P3. La planta B produce diariamente 2.000 unidades de cada uno de lostres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, almenos, 80.000 unidades de P1, 160.000 de P2 y 200.000 de P3.Sabiendo que el coste diario de produccin es de 1.200 en cada planta,cuntos das debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivoscomprometidos con el mnimo coste?

16.- Se tiene una regin factible determinada por el polgono de vrtices:A(1,1), B(5,0), C(6,4) y D(0,2)a) Representa grficamente dicha regin, as como las rectas de nivel asociadas

a la funcin objetivo f(x,y) = 2x + yb) En qu vrtices se alcanza su mximo y su mnimo?c) Cul es el conjunto de restricciones?

17.- Un cliente de un banco dispone de 30.000 para adquirir fondos de inversin.El banco le ofrece dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A tiene una rentabilidaddel 12% y unas limitaciones legales de 12.000 de inversin mxima. El de tipoB presenta una rentabilidad del 8% sin ninguna limitacin. Adems este clientedesea invertir en los fondos de tipo B, como mximo, el doble de lo invertido enlos fondos tipo A.a) Qu cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para obtener

un beneficio mximo?b) Cul ser el valor de dicho beneficio mximo?

algebra matrices

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