matrices algebra lineal.doc

7/26/2019 MATRICES ALGEBRA LINEAL.doc

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Matrices

INDICE


2/42

Pg.

Introduccin..04

Matrices.....05

Tipos de matrices.05

Operaciones con matrices..08

Igualdad de una matriz...09

Suma de matrices10

roducto de matrices...10

roducto de un escalar por una matriz.11

Matriz in!ersa11

"alculo de la matriz in!ersa1#

Matriz traspuesta .1$

%uto!alores & auto!ectores de una matriz..1$

olinomio caracter'sticos...1(

)iagonalizacion de una matriz ...1(

)eterminante...19

)eterminante por co*actor.19

Matriz co*actor..#1

Matriz ad+unta##


3/42

Matriz in!ersa#$

,ectores.#$

Tipos de !ectores..#4

,ectores independiente..#5

,ectores dependiente..#5

-ase canon'ca..#5

Trans*ormacin lineal..#

Sistema de ecuacin lineal#8

Sistema de ecuacin lineales compati/les e incompati/les#8

"onclusin$0

%neos


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INTRODUCCION

as matrices & los determinantes son 2erramientas del 3alge/ra ue*acilitan el ordenamiento de datos as' como su mane+o.

as matrices se encuentran en auellos 6m/itos en los ue se tra/a+a

con datos regularmente ordenados & aparecen en situaciones propias de las

"iencias Sociales 7conmicas & -iolgicas.

os determinantes resultan de gran utilidad a la 2ora de resol!er

determinados sistemas de ecuaciones lineales los llamados sistemas de

"ramer discutir la eistencia de solucin de sistemas de ecuaciones

lineales generales mediante el concepto de rango de una matriz & del

Teorema de :ouc2;


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Matrices

7s un arreglo /idimensional de n>meros & en su ma&or generalidadde elementos de un anillo. as matrices se usan generalmente para descri/ir

sistemas de ecuaciones lineales sistemas de ecuaciones di*erenciales o

representar una aplicacin lineal dada una /ase. as matrices se descri/en

en el campo de la teor'a de matrices.

as matrices se utilizan para m>ltiples aplicaciones & sir!en en

particular para representar los coe*icientes de los sistemas de ecuaciones

lineales o para representar las aplicaciones lineales? en este >ltimo caso lasmatrices desempe=an el mismo papel ue los datos de un !ector para las

aplicaciones lineales.ueden sumarse multiplicarse & descomponerse de

!arias *ormas lo ue tam/i;n las 2ace un concepto cla!e en el campo del

6lge/ra lineal.

Tipos de matrices

Matriz fila@ Ana matriz *ila est6 constituida por una sola *ila.

# $4

Matriz columnaa matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangulara matriz rectangular tiene distinto n>mero de *ilas ue

de columnas siendo su dimensin mn.

04


6/42

Matriz traspuesta)ada una matriz % se llama matriz traspuesta de % a lamatriz ue se o/tiene cam/iando ordenadamente las *ilas por las columnas.

%tt B %

% C -t B %t C -t

D E%t B DE %t

% E -t B -t E %t

Matriz nula@ 7n una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadradaa matriz cuadrada tiene el mismo n>mero de *ilas ue de

columnas. os elementos de la *orma aii constitu&en la diagonal principal. a

diagonal secundaria la *orman los elementos con iC+ B nC1 siendo n el orden

de la matriz.

Matriz triangular superior7n una matriz triangular superior los elementos

situados por de/a+o de la diagonal principal son ceros.

0


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Matriz triangular inferior7n una matriz triangular in*erior los elementos

situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal 7n una matriz diagonal todos los elementos ueno est6n situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar Ana matriz escalar es una matriz diagonal en la

ue los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad@ Ana matriz ident idad es una matriz

diagonal en la ue los elementos de la diagonal principal son

iguales a 1.

0


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Matriz regular@ Ana matriz regular es una matriz cuadrada uetiene in!ersa.

Matriz singular Ana matriz singular no tiene matriz in!ersa.

Matriz idempotente Ana matriz % es idempotente si@

%#B %.

Matriz in!oluti!a Ana matriz % es in!oluti!a si@

%#B I.

Matriz sim"tricaAna matriz sim;trica es una matriz cuadrada

ue !eri*ica@

% B %t.

Matriz anti sim"trica o #emisim"trica Ana matriz anti sim;trica o2emisim;trica es una matriz cuadrada ue !eri*ica@

% B F% t.

Matriz ortogonalAna matriz es ortogonal si !eri*ica ue@

% E %tB I.

Operaciones con matrices

)adas dos matrices de la misma dimensin % B a i + & - B / i +

se de*ine la matriz suma como@

08


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$ % & ' (a i) % * i) +

a matr iz suma se o/t iene sumando los elementos de las dosmatrices ue ocupan la misma posicin.

7+emplo

Igualdad de una matriz

)os matr ices son iguales si t ienen las mismas dimensiones &cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda

ue ocupa su misma posicin. 7s decir@

Mmn

7+emplo

08


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,uma de matrices

Si las matrices %Bai+ & -B/i+ tienen la misma dimensin la matriz

suma es@

%C-Bai+C/i+.

a matriz suma se o/tienen sumando los elementos de las dos

matrices ue ocupan la misma misma posicin.

Productos de matrices

)os matrices % & - se dicen multiplica/les si el n>mero de

columnas de % coincide con el n>mero de *ilas de -.

%m n -n p B "m p

7l elemento ci+ del matriz producto se o/tiene

multipl icando cada elemento de la * i la i de la matriz % por cada

elemento de la columna + de la matriz - & sum6ndolos.

10


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Producto de un escalar por una matriz

Si multiplicamos una matriz por una escalar multiplicamos

cada elemento de la matriz por ese escalar. 7s decir@ producto

de un n>mero real por una matriz es la aplicacin ue asocia a

cada par *ormado por un n>mero real & una matriz otra matriz

cu&os elementos se o/t ienen mult ipl icando el n>mero real por

todos los elementos de la matriz.

Sea &

Matriz in!ersa

Si pre multiplicamos multiplicamos por la izuierda o pos

mul tipl icamos mult ip li camos por la derec2a una mat riz

cuadrada por su in!ersa o/tenemos la matriz identidad.

% E %F1 B %F1 E % B I

10


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Calculo de la matriz in!ersa

"alculamos el determinante de la matriz en el caso ue el

determinante sea nulo la matriz no tendr6 in!ersa.

Gallamos la matriz ad+unta ue es auella en la ue cada

elemento se sustitu&e por su ad)unto.

Calculamos la traspuesta de la matriz ad)unta.

a mat riz in!ersa es igual a l in!erso del !alor de su

determinante por la matriz traspuesta de la ad+unta.

10
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/adjunto.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/adjunto.html


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Matriz transpuesta

)ada una matr iz % se l lama matr iz traspuesta de % a la

matriz ue se o/tiene cam/iando ordenadamente las *ilas por las

columnas

$uto!alores - $uto!ectores de una matriz.

Sea % una matriz cuadrada de orden m. )iremos ue un escalar H "

es un auto!alor de % si eiste un !ector ! "m ! B 0 tal ue %! B H! en

cu&o caso se dice ue ! es un auto!ector de % asociado al auto!alor H.

O/!iamente si tenemos un auto!ector ! de % asociado a un auto!alor

H cualuier m>ltiplo no nulo de ! tam/i;n es un auto!ector de % asociado al

mismo auto!alor H. or otra parte si tenemos dos auto!ectores !1 & !#

asociados a un mismo auto!alor H cualuier com/inacin lineal no nula de

dic2os auto!ectores tam/i;n es un auto !ector de % asociado al mismo

auto!alor H.

O*ser!aciones.

%l 2acer trans*ormaciones *ila o columna so/re una matriz % losauto!alores & los auto!ectores de la matriz ue se o/tiene O guardan

relacion en general con los autoJ !alores & auto!ectores de la matriz

original. 7n general tampoco es cierto ue los auto!alores de una matriz

1$


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SumaKrestaKproducto de otras dos sean sumaKrestaKproducto de los

auto!alores de cada uno de los sumandos.

7l concepto de auto!alor & auto!ector no es eclusi!o de los espacios

de coordenadas ni de los espacios !ectoriales de dimensin *inita. or

e+emplo siendo , el espacio !ectorial de las *unciones &@ R LR

inde*inidamente deri!a/les & siendo T @ , L , la aplicacin lineal & FL T& B

& se tiene ue H B 0 es un auto!alor de T & todo polinomio de primer grado

es un auto!ector asociado. or otra parte HB 1 tam/i;n es auto!alor & la

*uncin & B e es un auto!ector asociado.

a Ecuaci/n Caracter0stica.

Proposici/n.)ada una matriz cuadrada % & un numero H0 " son

eui!alentes@

1 H0 es un auto!alor de %.

# 7l sistema 2omog;neo %FH0 I B 0 es un sistema compati/le

indeterminado.

$ dim Nul %FH0 IP1. $Q 7l rango N% F H0 I no es m6imo.

4a matriz %FH0I no tiene in!ersa.

5det N%FH0I B 0.

14


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or tanto los auto!alores de % son las soluciones de la ecuacion pH

B det N%FHI B 0. 7sta ecuacin se denomina ecuacin caracter'stica de la

matriz %

Rp H B det N%FHI se denomina polinomio caracter'stico.

7l su/espacio !ectorial ul N%FH0I se denomina espacio propio

asociado al auto!alor H0 notemos ue en general estar a compuesto por

!ectores comple+os los auto!ectores de % asociados aH0 & el !ector nulo

ul N%FH0I B 0U auto!ectores asociados aH0U.

)e manera 2a/itual cuando 2a/lemos de auto!ectores asociados a un

auto!alor nos re*eriremos a una /ase del espacio propio asociado es decir

auto!ectores linealmente independientes de *orma ue cualuier auto!ector

asociado al auto!alor en cuestin sea com/inacin lineal de ellos.

E)emplo.

%dem6s de los e+emplos considerados anteriormente !eamos el

siguiente e+emplo en el ue la matriz % !iene dada. "onsideremos la matriz

% B 1 #

# 1

%uto!alores@ ara cualuier escalar H tenemos ue

%FHI B 1F H #

# 1FH Bdet %FHI B 1FH #F4 B H#F#HF$ B HF$ HC1 .

15


16/42

or tanto det %FHI B 0 H B F$ o H B F1.

$uto!ectores

%sociados a H1B $@ son los !ectores noJnulos ue est6n en el espacio nulo

de %F$I

%F$I B 0 V F# # 0 J 1 1 0 1 1

# F# 0 L 0 0 0 B # 1 !1B 1

%sociados a H# B F 1 @ son los !ectores noJnulos ue est6n en el espacio

nulo de % CI

% CI B 0 V F# # 0 J 1 1 0 1 1

# F# 0 L 0 0 0 B # 1 !#B 1

as propiedades re*eridas a auto!alores las podemos agrupar

dependiendo de si pueden o/tenerse directamente de la de*inicin con lo

cual estar6n in!olucrados los auto!ectores o si se o/tienen a partir del

polinomio caracter'stico algunas de ellas pueden o/tenerse de las dos

*ormas.

Proposici/n.Sea H un auto!alor de % & ! un auto!ector asociado

entonces@

1DH es un auto!alor de D% & ! es un auto!ector asociado.

# H W X es un auto!alor de % W XI & ! es un auto!ector asociado.

$HY es un auto!alor de % Z &! es un auto!ector asociado

1


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4 Si es un polinomio entonces H es un auto!alor de % & ! es

un auto!ector asociado.

Polinomio caracter0stico

Matriz % de orden m se tiene ue det% J HI es un

polinomio de grado m ue se llama polinomio caracter'stico de %

& se denota por p%H . a ecuacin det %JHI B 0 se l lama

ecuacin caracter'st ica de %. as relaciones ue l igan las

ent radas de una mat riz con los coe*icientes del pol inomio

caracter'st ico son mu& compl icadas. o o/stante c iertos

coe*i cien tes de d ic2o polinomio son / ien conocidos @ el

coe*iciente l'der el siguiente & el t;rmino independiente.

a demostracin de dic2as relaciones se /asa en la de*inicin de

determinante no es demasiado di*'ci l aunue no la incluimos

au'.

Diagonalizaci/n de una matriz

Ana matriz es diagonaliza/le si es cuadrada & el n>mero de !alores

propios es igual al de *ilas o columnas de la matriz. [)iagonalizar una matriz[

se reduce a encontrar sus !ectores & !alores propios. Tomemos la matriz@

1(


18/42

Se aplica el teorema de "a&le&JGamilton@

or e+emplo !amos a calcular para !er si se cumple@

& !eamos ue es diagonaliza/le@

7sta matriz tiene los !alores propios@

%s' es una matriz # por # con # !alores propios di*erentesentonces se dice ue es diagoniza/le.Si ueremos diagonalizar

necesitamos calcular los correspondientes !ectores propios. 7llos son@

Ano podr'a !eri*icar *6cilmente esto mediante@

%2ora es la matriz in!erti/le con los !ectores propios de como

columnas

18
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamiltonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamiltonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Valor_propio


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"on in!ersa

Gallemos a2ora la matriz diagonal usando esta matriz como sigue@

:ealizamos el c6lculo introduciendo los datos@

uego resulta ue eisten matrices & tales ue

"umpliendo & los reuisitos pedidos al principio & por tanto la

matriz es diagonaliza/le.

Definici/n de determinantes

ara una matr iz cuadrada %Nnn el determinante de %

a/re!iado det% es un escalar de* inido como la suma de n\

t;rminos in!olucrando el producto de n elementos de la matriz

cada uno pro!eniente eactamente de una * ila & columna

di*erente. %dem6s cada t;rmino de la suma est6 multipl icado

por J1 C1 dependiendo del n>mero de permutaciones del orden

de las columnas ue contenga.

Determinante por Cofactor.

Si en una matriz eiste alg>n rengln o columna ue sea nuloue

sean puros ceros entonces su determinante ser6 igual a cero

19


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Si alg>n rengln o columna es m>ltiplo de otro rengln o columna

su determinante ser6 igual a cero.

Si una matriz tiene dos columnas o renglones iguales tu

determinante ser6 igual a cero.

7n matrices triangulares la determinante ser6 igual ala

multiplicacin de los elementos de su diagonal principal.

Calculo del Determinante

Sea nuestra matriz@ ara tra/a+ar la me+or opcin es tomar la

columna donde 2a&a ma&or n>mero de ceros pues nos *acilitar6 el

tra/a+o. a *rmula para tra/a+ar con los elementos de esa columna ser'a@

]%] B a1$c1$ C a#$c#$ C a$$c$$ C a4$c4$

"omo los elementos a1$ a#$ & a4$ son igual a 0 se cancelan

]%] B a1$c1$ C a#$c#$ C a$$c$$ C a4$c4$

or lo tanto tenemos ue el )et ]%] B a$$c$$.

Tenernos ue calcular el co*actor para as' o/tener el determinante. a

*rmula para calcular es@ "i+ B J1iC+ Mi+ 7s un J1 ele!ado a la potencia i C +

ue multiplica a la matriz reducida Mi+

"$$ B J1$C$ M$$ B J1 M$$

"$$B 1 M$$ B M$$ B ara o/tener esta matriz tomamos las columnas

R renglones no determinadas por M$$.

#0


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)e/emos o/tener el determinante de la matriz anterior esto lo

podemos 2acer por el m;todo ue sea de nuestra pre*erencia en este caso

aplicaremos el mismo m;todo de co*actores por lo ue nuestro resultado

ser6@

M$$ B a11c11 B # J11C1 NJ1 J$ J# Se o/tiene de la matriz reducida

M$$ B # E 1 B # "omo &a se 2a calculado M$$ !ol!emos a ]%] B "$$ M$$ &

tenemos ue@

]%] B $ E # B

]%] B

Matriz Cofactor

Sea % una matriz cuadradade orden n .%l uitarle la l'nea i & la

columna + se o/tiene una su/matriz de orden nJ1 ue se denota

2a/itualmente %i+.or e+emplo con n B 4 i B $ & + B #@

7l determinantede esta su/matriz se llama la menor relati!a a la

casilla i +@ M i + B det% i +.

7n el e+emplo M$ # B $4

#1
http://es.wikipedia.org/wiki/Matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinantehttp://1.bp.blogspot.com/_IRsI6z_ADQA/SigNxNB2DdI/AAAAAAAAAF8/As4xke2ZAbA/s1600-h/1.bmphttp://es.wikipedia.org/wiki/Matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante


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7l co*actor de ai+ es decir el co*actor relati!o a la casilla i + de la

matriz % B ai+ es la menor multiplicada por el signo J1 i C +. Se le nota c i

+ B J1 i C + E Mi+ o ai+ con una tilde encima.

7n el e+emplo c $ # B J15 ^ $4 B J$4.

a matriz de los co*actores de % se llama la comatriz de % & se nota

com % o % con una tilde encima. a comatriz sir!e para calcular la matriz

in!ersade % cuando eiste gracias a la relacin@ %Etcom % Btcom % E % B det

%E In donde In es la matriz identidad de orden n.

Matriz $d)unta

a matr iz ad+unta es auel la en la ue cada elemento se

sustitu&e por su ad+unto.

Se llama ad+unto del elemento ai+ al menor complementarioanteponiendo@

7l signo es C si iC+ es par.

7l signo es J si iC+ es impar.

7+emplo

##
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_inversa


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Matriz in!ersa

Se dice ue una matriz cuadrada % es in!ersi/le si eiste una matriz

- con la propiedad de ue %E- B -E% B IsiendoI la matriz identidad.

)enominamos a la matriz - la in!ersa de % & la denotamos por %J1.

Ana matriz se dice ue es in!ersi/le o regular si posee in!ersa. 7n

caso contrario se dice ue es singular.

1ectores

Se llama !ector de dimensin a una tuplade n>meros realesue

se llaman componentes del !ector. 7l con+unto de todos los !ectores

de dimensin se representa como *ormado mediante el producto

cartesiano.

%s' un !ector perteneciente a un espacio se representa como@

le*t donde

An !ector tam/i;n se puede !er desde el punto de !ista de

la geometr'acomo !ector geom;tricousando *recuentemente el espacio

tridimensional /idimensional .

An !ector *i+o del plano eucl'deo es un segmento orientado en el ue 2a&

ue distinguir tres caracter'sticas@1#$

mdulo@ la longitud del segmento

direccin@ la orientacin de la recta

sentido@ indica cual es el origen & cu6l es el etremo *inal de la recta

#$
http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#Eqnref_lefthttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion1-1http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion2-2http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion2-2http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion3-3http://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#Eqnref_lefthttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion1-1http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion2-2http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-definicion3-3


24/42

7n ingl;s la pala/ra [direction[ indica tanto la direccin como el

sentido del !ector con lo ue se de*ine el !ector con solo dos caracter'sticas@mdulo & direccin.4

os !ectores *i+os del plano se denotan con dos letras ma&>sculas por

e+emplo ue indican su origen & etremo respecti!amente.

Tipos de !ectores

ECTORE, E2UIPOENTE,."uando dos !ectores tienen el mismomdulo direccin & sentido se dice ue son euipolentes. _`u;

uiere decir `ue miden igual se encuentran en l'neas paralelas &

apuntan 2acia el mismo lado. 1ECTORE, I&RE,7l con+unto de los !ectores euipolentes reci/e

el nom/re de !ectores li/res. 7s decir ue un !ector li/re es el grupo

de !ectores ue cuentan con el mismo modulo direccin & sentido. 1ECTORE, 3I4O,un !ector *i+o es el representante de un !ector

li/re. 7s decir ue estos ser6n iguales slo si tienen igual mdulodireccin sentido & si cuentan con el mismo punto inicial

1ECTORE, I5$DO, son auellos !ectores euipolentes ue se

encuentran en la misma recta. %s' esta clase de !ectores tendr6n la

igual direccin mdulo sentido & adem6s *ormar6n parte de la misma

recta. 1ECTORE, OPUE,TO, cuando dos !ectores tienen la misma

direccin el mismo mdulo pero distinto sentido reci/en el nom/re de

!ectores opuestos. 1ECTORE, UNIT$RIO,son !ectores de mdulo uno. Si se uiere

o/tener un !ector unitario con la misma direccin & sentido a partir del

!ector dado se de/e di!idir a este >ltimo por su mdulo.

#4
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-englishdefinition-4http://es.wikipedia.org/wiki/Vector#cite_note-englishdefinition-4


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1ECTORE, CONCURRENTE, si dos !ectores tienen el mismoorigen se los denomina !ectores concurrentes

DEREC6O, RE,ER1$DO, Se permite la total o parcial

reproduccin del contenido siempre & cuando se reconozca & se

enlace a este art'culo como la *uente de in*ormacin utilizada.

1ectores Independientes.

7s linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito

con una com/inacin linealde los restantes. or e+emplo en :$ el con+unto

de !ectores 1 0 0 0 1 0 & 0 0 1 es linealmente independiente

mientras ue # F1 1 1 0 1 & $ F1 # no lo es &a ue el tercero es la

suma de los dos primeros.

1ectores Dependiente

)ado un con+unto *inito de !ectores se dice ue estos

!ectores son linealmente dependientes si eisten n>meros no

todos iguales a cero tales ue@

&ase can/nica

a /ase cannica o /ase usual es una coleccin de !ectores

linealmente independientes cu&o n>mero coincide con la dimensindel

propio espacio !ectorial.

)e entre las in*initas /aseseistentes la /ase cannica est6

normalizada es decir los mdulosde los !ectoresson unitarios o lo ue es

#5
http://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unitario


26/42

lo mismo !alen una unidad m;trica seg>n el sistema de re*erencias

utilizado.%dem6s en geometr'a euclidiana los !ectores de la /ase se *i+an a un

punto de aplicacin com>n ue es el punto de origen del sistema de

re*erencia o punto cero.

Todas estas caracter'sticas 2acen ue la /ase cannica sea >nica

para cada espacio !ectorial.

Atilizando el operador interno aditi!oadicinde !ectores & operador

eterno productoproducto de un escalarpor un !ector caracter'sticos de

todo espacio !ectorial generan com/inaciones linealesde la siguiente *orma@

Sean H X b se leen respectivamente: lambda, mu, nu J una *orma

de representar a tres n>meros cualesuiera o escalares reales o comple+os.

Sea la /ase cannica para el espacio eucl'deo para el

espacio siendo sus coordenadas re*eridas en ese

espacio@

An !ector cualuiera puede ser representado a tra!;s de una

com/inacin lineal@

Ejemplo

Transformaciones lineales

Sean , & espacios !ectoriales

#
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aditivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aditivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Adici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Combinaci%C3%B3n_lineal


27/42

Sea T una *uncin cu&o dominio con+unto de salida es , &

cu&o codomio con+unto de llegada es entonces

T@,JJJJ


28/42

,istema de ecuaciones lineales

un sistema de ecuaciones lineales tam/i;n conocido como sistema

lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal es un con+unto

de ecuaciones linealeses decir un sistema de ecuacionesen donde

cada ecuacines de primer grado de*inidas so/re uncuerpoo un anillo

conmutati!o. An e+emplo de sistema lineal de ecuaciones ser'a el siguiente@

7l pro/lemaconsiste en encontrar los !aloresdesconocidos de las

!aria/lesx1x#&x$ue satis*acen las tres ecuaciones.

7l pro/lema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los m6s

antiguos de la matem6tica & tiene una in*inidad de aplicaciones como

en procesamiento digital de se=ales an6lisis estructural estimacin

prediccin & m6s generalmente en programacin linealas' como enla aproimacinde pro/lemas no lineales dean6lisis num;rico.

,istema de ecuaciones lineales incompati*le

)e un sistema se dice ue es incompati*lecuando no presenta

ninguna solucin. or e+emplo supongamos el siguiente sistema@

as ecuaciones se corresponden gr6*icamente con dos rectas am/as

con la misma pendiente %l ser paralelas no se cortan en ning>n punto es

decir no eiste ning>n !alor ue satis*aga a la !ez am/as ecuaciones

#8
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Paralelahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1aleshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Paralela


29/42

Matem6ticamente un sistema de estos es incompati/le cuando el

rango de la matriz del sistema es in*erior al rango de la matriz ampliada. Anacondicin necesaria para ue esto suceda es ue el determinante de la

matriz del sistema sea cero@

,istema de ecuaciones lineales compati*le

Si tiene solucin en este caso adem6s puede distinguirse entre@

Sistema compati/le determinado cuando tiene una >nica solucin.

Sistema compati/le indeterminado cuando admite un con+unto in*inito

de soluciones.

#9


30/42

CONCU,ION

Se llama matriz a todo cuadro de n>meros distri/uidos en *ilas &

columnas. as matrices se utilizan en el c6lculo num;rico en la resolucin de

sistemas de ecuaciones lineales de las ecuaciones di*erenciales & de las

deri!adas parciales. %dem6s de su utilidad para el estudio de sistemas de

ecuaciones lineales las matrices aparecen de *orma natural en geometr'a

estad'stica econom'a in*orm6tica *'sica entre otros.

% tra!;s del m;todo de medicin es posi/le o/tener el !alor de laresultante & del 6ngulo de dic2o !ector. % continuacin se presentan dos

e+emplos ilustrati!os del m;todo del pol'gono para la o/tencin del !ector

resultante usando el proceso de medicin.

$0


31/42

ANEXOS


32/42

E)ercicios de Matriz

N7 8

"alcular@

% C -? % F -? % -? - %? %t.


33/42

N7 9

)emostrar ue@ %#

F % F # I B 0 siendo@

N7 :

Sea % la matriz . Gallar %n para n


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N7 ;

Sea % la matriz . Gallar %n para n

N7

matrices algebra lineal.doc

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