unidad 1 fundamentos de algebra matricial parte...

Propedeutico 2008 Facultad de Ciencias 1

Unidad 1Fundamentos de Algebra Matricial

Parte 1

Dra. Ruth M. Aguilar PonceFacultad de Ciencias

Departamento de Electrónica


Matrices

• Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular dispuesto en m renglones y n columnas

• Las matrices se denotan mediante letras mayúsculas (A, B, C, etc. …)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

Diagonal

Triangular superior

Triangular inferior


Vectores y Escalares

• Un Vector renglón de n componentes es un arreglo de n números, denotados por una letra minúscula con una flecha sobre ella. Se puede ver como una matriz de dimensión 1 × n

• Vector columna es una matriz de dimensión n × 1• Un escalar es una matriz de dimensión 1 × 1 y se

representan por una letra minúscula.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

xM

v 2

1

( )nxxxx Lv

21= 2=a


Operaciones algebraicas entre Matrices

• Suma y resta de Matrices

• Multiplicación por un escalar

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

±±±

±±±±±±

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

±

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=±

mnmnmmmm

nn

nn

mnmm

n

n

mnmm

n

n

bababa

babababababa

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

BA

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

2211

2222222121

1111111111

21

22221

11211

21

22221

11211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

mnmm

n

n

cacaca

cacacacacaca

aaa

aaaaaa

ccA

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

21

22221

11211


Propiedades asociativa, conmutativa y distributiva

AA =+ 0

00 =A

ABBA +=+

( ) ( )CBACBA ++=++

AA =1

( ) BABA ααα +=+

( ) AAA βαβα +=+


Producto Matricial

• El producto punto de dos vectores a y b estádado por

• El producto matricial de dos matrices A y B de dimensiones m × p y p × n, es una matriz C de dimensión m × n. Donde el elemento ijde la matriz es el producto punto de el renglón i y la columna j.

nnbabababa +++=⋅ Lrr

2211


Producto Matricial

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

mpmm

ipii

p

p

aaa

aaa

aaaaaa

LM

M

L

L

L

M

M

M

M

L

L

21

21

22221

11211

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

pnpjpp

nj

nj

bbbb

bbbbbbbb

LL

MLMKMM

LK

LL

21

222221

111211

pjipjijiij bababac +++= L2211


Propiedades asociativa y distributiva

( ) ACABCBA +=+

( ) ( )CABBCA =

( ) ACABCBA +=+

( ) BCACCBA +=+

( ) ( )CABBCA =p × n p × n

p × nm × p

m × n

m × p p × n

m × n p × r r × n

p × nm × p

m × n

m × n

m × p p × r

m × r r × n

m × n


Matriz Transpuesta

• La transpuesta de una matriz A se denota por At y se obtiene al al intercambiar los renglones por las columnas de A.

• La transpuesta de un vector renglón es un vector columna, y viceversa.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

45026759253.214.14

A⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

4569107254.1253.24

tA

( )931=av

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

931

tav


Matriz Transpuesta

• Propiedades• Sea A y B matrices de m × n y C una matriz

de n × p. – (AT)T= A– (cAT)= cAT

– (A+B)T = AT+BT

– (AC)T= CT AT

– Si A es invertible entonces AT también lo es (AT)-1 = (A-1)T


Matriz Conjugada

• La conjugada A* de una matriz A con elementos complejos, es la matriz que se obtiene tomando el complejo conjugado de cada elemento de A.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−++−+−+

=iii

iiii

A2425510135321

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−+−

=iii

iiii

A2425510135321

*


Matriz Asociada

• La Matriz Asociada a un sistema de ecuaciones lineales esta formada por los coeficientes de las variables del sistema. También es conocida como Matriz de Coeficientes.

• La Matriz Asociada Aumentada se obtiene al agregar el lado derecho del sistema

2525 321 =++ xxx522 31 −=− xx

15 32 =+ xx ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=510202

251A

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=15

25

510202

251 A


Determinante

• El determinante de una matriz A de 2 × 2 esta definido de la siguiente manera:

• El determinante de una matriz A de 3 × 3 se obtiene de la siguiente forma:

cbaddcba

AA −===det

122133113223312213322113312312332211

333231

232221

131211

det aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

A −−−++==


Menores, Cofactores y Determinantes

• El menor ij de A, representado por Mij, se obtiene eliminando el renglón i y la columna j.

• El Cofactor ij de A denotado por Cij, esta definido como

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

436510412

A ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3610

13M

( ) ijji

ij MC +−= 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5042

32M


Menores, Cofactores y Determinantes

• Determinante de una matriz A de n × n esta definido por

• Esta expresión es conocida como expansión por cofactores.

∑=

=+++==n

iiinn CaCaCaCaAA

1111112121111det L

3231

222113

3331

232112

3332

232211

333231

232221

131211

detaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

A +−==


Propiedades del Determinante

• Si cualquier renglón (columna) de A es el vector cero, entonces det A = 0

• Si un renglón (columna) de A es un múltiplo de otro renglón (columna) entonces det A = 0

• Si cualquier renglón (columna) de A se multiplica por un escalar c entonces det A = c det A.

• El intercambio de cualesquiera dos columnas o renglones de A tiene el efecto de multiplicar al determinante por -1.

• Si cualquier renglón (columna) de A se multiplica por un escalar, entonces y se suma a otro renglón (columna) de A, entonces det Ano cambia.


Propiedades del Determinante

• Sean A y B matrices de n × n

• Si A es invertible, entonces det A ≠ 0

• det A = det At

• Si A es una matriz de n × n triangular superior, triangular inferior o diagonal , cuyas componentes en la diagonal son a11, a22, …, ann. Entonces

( )( )BAAB detdetdet =

AA

det1det 1 =−

nnaaaA L2211det =


Traza de una Matriz

• La traza tr(A) de una matriz A de n × n es la suma de todos los elementos de la diagonal:

• Propiedades:– tr(A) = tr(At)– tr(AB) = tr(BA)– tr(A+B) = tr(A)+tr(B)– tr(cA) = ctr(A)

( ) ∑=

=n

iiiaAtr

1


Matriz Identidad

• La matriz identidad In de n × n se caracteriza por tener unos en la diagonal y ceros fuera de ella.

• Propiedades: In A = AIn = A; det(I) = 1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

100010001

3I


Inversa de una Matriz

• Una matriz A de n × n es invertible si existe una matriz B de n × n tal que AB = BA = In. En este caso decimos que B es la inversa de A y se denota por B = A-1

• Propiedades de las inversas– Si A es invertible, entonces su inversa es única.– (AB)-1 = B-1A-1.– Si A es invertible, entonces det A ≠ 0 y

det A-1 = 1/det A.



• Sea A una matriz de 2 × 2, A es invertible si y solo si el det A ≠ 0 y su inversa esta definida por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

1121

12221

det1

aaaa

AA



• El método Gauss-Jordan para obtener la inversa de una matriz consiste en considerar el siguiente sistema de ecuaciones lineales

• Entonces usamos Gauss-Jordan sobre la matriz aumentada.

nIAB =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010001

333231

232221

131211

aaaaaaaaa


Inversa de una matriz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

1-211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12-01

3-0

11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3132

01

1011

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 3132

3131

1001

Matriz Aumentada

-2r1 + r2

(-1/3)r2

r1 - r2


Matriz Inversa

• la matriz adjunta de una matriz cuadrada Ade n × n es aquella formada de sustituir cada elemento aij por su respectivo adjunto o cofactor

• La matriz inversa de A se define como

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nnnn

n

n

CCC

CCCCCC

AAdj

M

MOMM

L

L

21

22221

11211

( )tAAdjA

Adet

11 =−


Matrices Particionadas

• Una matriz A de m × n puede ser particionada en varias submatrices para facilitar las operaciones matriciales.

• Propiedades– Suma

– Multiplicación por escalares

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

=2221

1211

211391201638022310251

AAAA

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

BABABABA

BBBB

AAAA

BA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

2221

1211

AAAA

AAAA

Aαααα

αα


Matrices Particionadas

• Propiedades– Multiplicación de Matrices

– Inversa de una matriz. Sea una matriz A de rango(A)=n particionada de tal forma que A11 y A22 son submatrices cuadradas invertibles

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

BABABABABABABABA

BBBB

AAAA

AB

( ) ( )( ) ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−−−= −−−−−

−−−−−−

112

1112122

112

111212212

111

121

122121121

122

121

12212111

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

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