ALGEBRA MATRICIAL

1.1. GENERALIDADESLos métodos de cálculo matricial de estructuras son un conjunto de métodos que tienen en común organizar toda la información en forma de matrices. En estos métodos, todas las relaciones entre distintas partes de una estructura dan lugar a sistema de ecuaciones con un alto número de variables pero donde no se han realizado suposiciones o simplificaciones en las que se pierda información relevante. Esta generalidad, junto a la estructura de la información en matrices, permite que su planteamiento y resolución pueda ser ejecutada de manera automática por medio de programas de ordenador.

1.2. CARACTERISTICAS DE LOS METODOS MATRICIALESEm primer lugar es interesante hacer un breve análisis de diversas características que presentan estos métodos frente a los clásicos cálculos de estructuras:

Generalidad: Puesto que todas las ecuaciones que describen el comportamiento de la estructura son implementadas en el problema, el cálculo matricial se puede considerar un método de cálculo general, no esta limitado por la aplicación del mismo a una tipología de estructura particular. Esto contrasta con los métodos para estructuras articuladas, en los que se exige que todos los nudos puedan considerarse como articulados, así como con el método de cross, donde se asume que los efectos de acortamiento de barras son despreciables.

Conocimiento: La aplicación del cálculo matricial, una vez que sus relaciones ya han sido desarrolladas, requiere un nivel de conocimiento para el operador mucho más básico. No es necesario entender el sentido físico de estas relaciones para aplicarlas. Los métodos particulares exigen un conocimiento preciso del problema estructural a tratar y una toma de decisiones continúa sobre la influencia de diversos aspectos con el fin de simplificarlos. En el cálculo matricial, al no tener que evaluar hipótesis o estimar efectos despreciables sobre el resultado final, la aplicación es directa.

Numero de ecuaciones: La diferencia fundamental radica en el número de ecuaciones que intervienen en la resolución del problema. En el cálculo matricial interviene todas, no se descarta

ninguna incluso aunque a priori se pueda estimar que su influencia pueda ser despreciable. El método esta establecido de manera automáticamente se tengan en cuenta todos los efectos. La potencialidad de los métodos particulares radica en limitarse a aplicar las ecuaciones significativas con lo que se llegaba a una solución muy aproximada ala real pero con un costo de tiempo y de cálculo mucho menor.

Velocidad de cálculo: Al incluirse todas las ecuaciones en el cálculo matricial, el tiempo de cálculo es mucho mayor. Los métodos particulares estaban desde el principio establecidos para poder aplicarse de manera manual y rápida, bien con ayuda de algún elemento de cálculo o incluso de manera gráfica.

Sentido físico del problema: durante la aplicación de los métodos particulares se puede entender y seguir sin grandes dificultades el comportamiento estructural del sistema. Esta es la razón por la que se siguen enseñando en las materias de teoría y cálculo de estructuras: tienen un valor didáctico para comprender el comportamiento de estructuras. Sin embargo, en el cálculo matricial tenemos finalmente un conjunto de números ordenados en matrices, que tienen una significación pero a la que puede costar más establecer su correspondiente con las características visibles de la estructura.

Automatización del método: Esta es unas características derivadas de las anteriores y termina siendo la razón fundamental por la que los métodos matriciales son los que se han implando actualmente, en partícula el denominado método de la rigidez. La generalidad del método y el hecho de que se implementen todas las ecuaciones, reducen al mínimo las decisiones previas para modelar el problema matemáticamente. Si se organiza la información de manera que se puedan seguir pasos repetitivos para cada elemento que intervenga en la estructura, es muy fácil desarrollar un algoritmo de aplicación automática para todos los casos. En eso consiste el método matricial de la rigidez, y tiene como consecuencia que sea muy sencillo implementar programas de ordenador para aplicar el método.

1.3. Modelización del problemaLa modelización matemática del problema y de su correcta discretizacion. El cálculo puede estar bien realizado pero de nada sirve si el problema no responde a la realidad que pretendemos presentar.

El cálculo matricial, es el proceso de modelado y discretizacion, aunque siempre está presente en los otros métodos de cálculo de estructuras, en este caso es mucho más explícito y repercute de manera muy directa en los resultados que podamos extraer.El concepto de discretizacion debe ser establecido de manera precisa. Consiste en la representación del comportamiento de un medio continuo por medio de un conjunto finito de variables, en nuestro caso fuerzas aplicadas sobre el sólido y desplazamientos. Este número finito de variables son los desplazamientos en cada uno de los grados de libertad de un sistema.Determinar dichos grados de libertad y establecer todas sus relaciones son el punto de partida a partir del cual se resolverá el problema. El cálculo matricial solo aportara información en esos grados de libertad, cualquier información adicional exigirá un paso adicional de interpretación de los resultados directos.Para cada grado de libertad, existirá una variable en fuerza y otra en desplazamiento. De ellas, una estará determinada por las condiciones de contorno y la otra será la incógnita a despejar. En caso de ser incógnita de fuerzas estaremos hablando de reacciones. Tanto los esfuerzos como cualquier incógnita interna diferentes de los grados de libertad definidos en el problema deberán ser derivados posteriormente a partir de los resultados directos obtenidos en cada grado de libertad definido.

1.4. Método de cálculo matricialEn términos generales, existen dos procedimientos genéricos en mecánica de medios continuos de solidos deformables para poder establecer el sistema completo de ecuaciones dependiendo del orden en que las vayamos aplicandoLas ecuaciones que podemos poner en juego son las ecuaciones de equilibrio, las de comportamiento y las de compatibilidad del problema. Cuando partiendo de las ecuaciones de equilibrio las utilizamos para incorporarlas a las de comportamiento y finalmente el resultado lo introducimos en las ecuaciones de compatibilidad, estamos aplicando el método denominado de la compatibilidad o flexibilidad. Hablando en términos de las variables implicadas, en este caso llegamos a formular los desplazamientos en función de las cargas aplicadas.Si seguimos el procedimiento inverso, inicialmente relacionamos deformaciones y desplazamientos aplicando las ecuaciones de compatibilidad para posteriormente aplicar las leyes de comportamiento y

finalmente las ecuaciones de equilibrio, en ese caso el método se denomina de la rigidez o del equilibrioEn el cálculo matricial, es posible aplicar ambos procedimientos.

1.5. Método de la rigidez

Hipótesis: Estructura lineal- Todos los movimientos y esfuerzos son funciones lineales de las cargas- Pequeñas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada). Las barras son rectas y de sección constante.

Para estudiar una estructura por el método de la rigidez, al igual que en cualquier otro problema elástico, disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse.

Ecuaciones de compatibilidad Ecuaciones constitutivas Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de compatibilidad relacionan las deformaciones de barras con los desplazamientos nodales. Introduciendo estas relaciones en las ecuaciones constitutivas, relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales

Introduciendo estas últimas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un conjunto de ecuaciones de fuerzas nodales en función de desplazamientos nodales, que pueden ser consideradas como Ecuaciones de Equilibrio de la estructura en función de desplazamientos.

La resolución de este sistema de ecuaciones nos permite obtener el valor de las incógnitas (desplazamientos nodales), a partir de los cuales se obtienen las solicitaciones de las barras de la estructura, así como las reacciones.

Cuando se van a calcular las relaciones esfuerzos de extremo de barra - desplazamientos, es natural escoger un sistema de coordenadas que haga estas ecuaciones lo más sencillas posible.

Tomaremos por lo tanto como eje x el que coincide con el eje geométrico de la pieza y los ejes y y z coincidentes con los ejes principales de la

sección transversal. Tal sistema pertenece a la barra, y no depende de la orientación de la misma en la estructura y lo denominaremos sistemas de ejes locales.

Por el contrario, cuando las piezas se unen entre sí para formar la estructura, es necesario tener un sistema de coordenadas común para todos los movimientos y esfuerzos de extremo de barras para poder aplicar las condiciones de equilibrio y compatibilidad. A dicho sistema lo denominaremos sistema de ejes globales.

Dichos esfuerzos de extremos de barras y desplazamientos dependerán del tipo de estructura que estamos resolviendo, para barras de:

a) Reticulado Plano: tendremos dos desplazamientos por nudo b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo. En ambos casos sólo tendremos esfuerzos normales. c) Pórtico Plano: tres desplazamientos por nudo. (una rotación en el plano del pórtico y dos traslaciones), como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, un esfuerzo de corte y un momento flector. d) Pórtico Espacial: seis desplazamientos por nudo, tres traslaciones y tres rotaciones. como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, dos esfuerzos de corte dos momentos flectores y un momento torsor. e) Emparrillado de vigas: tres desplazamientos nodales (un corrimiento normal al plano de la grilla) y dos rotaciones alrededor de los ejes contenidos en el plano mencionado). Los esfuerzos son un cortante y dos momentos (un torsor y un flector).

1.6. EjemploHallar la matriz rigidez para la estructura aporticada

Se analiza los grados de libertad correspondiente a los cuatro nudos del pórtico. Y para cada uno se calcula las fuerzas necesarias para obtener dichos desplazamientos:

1.7. Caracteristicas de la matriz de rigidez La matriz de rigidez es una propiedad del sistema estructural, no

cambia en función del estado de cargas o de condiciones de contorno a que se someta la estructura. Solo se vera afectada si se introduce algún elemento adicional

Cada columna representa las acciones necesarias para conseguir un desplazamiento unitario en el grado de libertad definido por el índice de la columna a la vez que se quedan fijados a cero el resto de los grados de libertad.

Una fila es un conjunto de multiplicadores que operados sobre el vector desplazamiento completo proporcionan el valor de la fuerza correspondiente al grado de libertad definido por el índice de la fila

Cada termino Kij se puede considerar una función de peso que representa la proporción de contribución a la fuerza del grado de libertad i debido al desplazamiento del grado de libertad j. en caso de que su valor sea cero significa que ambos grados de libertad están relacionados.

1.8. Rotaciones entre sistemas de coordenadasConsiderando un punto P cuyas coordenadas en un sistema referencial global son P = [px py].si en lugar de tener dichas coordenadas las tuviéramos en un sistema que este girado un Angulo ø con respecto al de referencia siguiendo unos nuevos ejex x´e y, elmismo punto tendrá entonces unas

coordenadas locales a dicho sistema que denotamos como P´ = [p´x pý]

La relación entre ambos pares de coordenadas se puede establecer fácilmente mediante relaciones trigonométricas y conocido únicamente el

giro ø (con signo positivo en la dirección contraria a las agujas del reloj).respecto a la coordenada α en el sistema global (px), esto se obtiene restando los dos segmentos señalados, mientras que las componentes en y global (py) esta compuesta de lasuma de los dos segmentos remarcados, es decir las coordenadas globales son:

Lo que no es mas que una combinación lineal de las coordenadas locales. Una forma mas compacta y practica de representar dicho cambio de coordenadas es en forma matricial de forma que queda:

Las coordenadas globales de un punto se puede obtener mediante relaciones trigonométricas

En ocasiones no nos bastara con trabajar con un vector desplazamiento en x e y, sino que manejaremos también un giro ø. en el contexto de calculo matricial de estructuras, el angulo se corresponderá con el angulo que una

barra flecta en uno de sus extremos. Dado que un angulo de giro (un incremento de angulo) no se ve afectado por la rotación del sistema de referencia, tendremos que elgiro locales ø´coincide con el giro en globales ø. en dichos casos, la matriz de rotación se modifica asi para reflejar esta identidad

1.9.