23/10/14

1

2

2.2

© 2012 Pearson Education, Inc.

Algebra de Matrices

LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Slide 2.2- 2

INVERSA DE UNA MATRIZ

§  Una matriz A de es invertible si existe una matriz C de tal que

y donde , es la matriz identidad de .

§  En este caso, C es la inversa de A. §  De hecho, C es única y está determinada por A,

porque si B fuera otra inversa de A, entonces . La inversa de A se denota por , de manera que: y .

n n×n n×CA I= AC I=nI I= n n×

( ) ( )B BI B AC BA C IC C= = = = =

1A A I− = 1AA I− =

1A−

INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2

Ejemplo 1: Determinar la inversa de la matriz

La inversa debe ser otra matriz de 2x2, digamos

2 5−3 −7

"

#$

%

&'

a bc d

!

"#

$

%&

INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2

Aplicando la definición

Se observan dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma

matriz de coeficientes (recordar definición de producto de matricies),

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−− 1001

7352

dcba

2 5−3 −7

"

#$

%

&'⋅ a

c

"

#$

%

&'= 1

0

"

#$

%

&' 2 5

−3 −7

"

#$

%

&'⋅ b

d

"

#$

%

&'= 0

1

"

#$

%

&'

INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−− 10730152

Con matriz escalonada reducida (comprobarlo)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

23105701

Los dos sistemas se pueden resolver en una sola matriz aumentada

INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2

La solución a cada sistema de ecuaciones es ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

37

ca b

d

!

"#

$

%&= −5

2

!

"#

$

%&

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

23105701

23/10/14

2

INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2x2

La solución a cada sistema de ecuaciones es Y la inversa de la matriz

−1

A = −7 −53 2

"

#$

%

&'

ac

!

"#

$

%&= −7

3

!

"#

$

%& b

d

!

"#

$

%&= −5

2

!

"#

$

%&

CALCULO DE LA INVERSA

§  Denotar las columnas de In por e1, e2, … en y las columnas de A-1 por x1, x2, … xn

§  El producto AA-1 = In se puede interpretar como n sistemas de ecuaciones lineales Ax1=e1, Ax2=e2, …, Axn=en. Estos n conjuntos se pueden escribir en una sola matriz aumentada

Slide 2.2- 8 © 2012 Pearson Education, Inc.

A e1 e2 ! en!"#

$%&= A I!

"#$%&

CALCULO DE LA INVERSA

§  La solución a los n sistemas de ecuaciones son las columnas de A-1, esto es, si A es invertible la forma escalonada de la matriz aumentada es

§  Y si no es invertible?? §  Ver ejemplos de matrices invertibles y no

invertibles de 2x2

Slide 2.2- 9 © 2012 Pearson Education, Inc.

A I!"#

$%& I A−1"

#$%&'

Slide 2.2- 10 © 2012 Pearson Education, Inc.

Calculo de la inversa

§  Ejemplo 2: Encontrar la inversa de la matriz

, si existe. §  Solución:

0 1 01 0 34 3 8

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]0 1 2 1 0 0 1 0 3 0 1 01 0 3 0 1 0 0 1 2 1 0 04 3 8 0 0 1 4 3 8 0 0 1

A I⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

:

1A−

Slide 2.2- 11 © 2012 Pearson Education, Inc.

Calculo de la inversa

1 0 3 0 1 0 1 0 3 0 1 00 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 00 3 4 0 4 1 0 0 2 3 4 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

: :

1 0 3 0 1 00 1 2 1 0 00 0 1 3 / 2 2 1/ 2

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

:

1 0 0 9 / 2 7 3 / 20 1 0 2 4 10 0 1 3 / 2 2 1/ 2

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

:

1A−

Slide 2.2- 12 © 2012 Pearson Education, Inc.

Calculo de la inversa §  La forma escalonada reducida de A es I, entonces A es

invertible, y .

§  Verificando la respuesta.

1

9 / 2 7 3 / 22 4 1

3 / 2 2 1/ 2A−

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

1

0 1 2 9 / 2 7 3 / 2 1 0 01 0 3 2 4 1 0 1 04 3 8 3 / 2 2 1/ 2 0 0 1

AA−

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1A−

23/10/14

3

EJERCICIOS

§  Ejercicios: determinar la inversa, si existe

Slide 2.2- 13 © 2012 Pearson Education, Inc.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=

531532211

A⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

412721511

B

PROPIEDADES DE LA INVERSA

§  Sean A y B matrices invertibles, c un escalar y n un número natural:

§  (A-1)-1 = A §  (cA)-1 = A-1

§  (AB)-1 = B-1A-1

§  (An)-1 = (A-1)n

§  (At)-1 = (A-1)t

Ver la demostración de las propiedades

Slide 2.2- 14 © 2012 Pearson Education, Inc.

c1

ALGEBRA DE LAS MATRICES

§  Ejemplo 3: determinar la mínima expresión para determinar X de :

Solución:

Slide 2.2- 15 © 2012 Pearson Education, Inc.

)2(2

2233233222

ABAAXAAABAX

ABAAABAXAXABAXAXABAA

+=

−−=−

+−−=−

−=+−

2A(A− B+ Z ) = 3A(X − B)

ALGEBRA DE MATRICES

Slide 2.2- 16 © 2012 Pearson Education, Inc.

ABXABIIX

ABAAAXA

2)2(

)2(11

+=

+=

+= −−

ALGEBRA DE MATRICES

§  Ejemplo 4: expander el binomio: Solución:

Slide 2.2- 17 © 2012 Pearson Education, Inc.

2)( BA+

BBBAABAABABABBAABA

BABABA

+++=+

+++=+

+⋅+=+

2

2

2

)()()()(

)()()(

Slide 2.2- 18 © 2012 Pearson Education, Inc.

LA MATRIZ INVERSA Y LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES §  Teorema 5: Si A es una matriz invertible de ,

entonces para cada b in Rn , la ecuación tiene la solución única .

§  Demostración: Asumir cualquier b en Rn . §  Si se sustituye por x, se tiene

§  De manera que es una solución. §  Para demostrar que la solución es única, mostrar que

si u es cualquier solución, entonce u debe ser . §  Si ,multiplicamos ambos lados por , y

tenemos , , y .

n n×x bA =

1x bA−=

1 1x ( b) ( )b b bA A A AA I− −= = = =

u bA =1 1u bA A A− −= 1u bI A−= 1u bA−=

1bA−

1bA−

1bA−

1A−

23/10/14

4

Ejercicios de tarea

Sección 2.2 del libro de texto. Ejercicios: 1 a 11, 13, 14, 16, 31, 32, 35