desigualdades -...

29/01/15

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Números Reales

INECUACIONES o DESIGUALDADES

DESIGUALDADES

•  Una desigualdad en una variable es una expresión donde se establece una relación entre dos canHdades.

•  Las relaciones de orden son: <, >, ≤, ≥

DESIGUALDADES

•  Ejemplos:

2x + 4 < 6x +1−6x +3≤ −8x −7x2 > 3x − 2

−5x +8 ≤10

Solución de desigualdades

•  Por resolver una desigualdad se enHende determinar los intervalos o combinación de intervalos de números reales que saHsfacen la desigualdad.

•  Para resolver una desigualdad se uHlizan los axiomas de los números reales.

RECORDATORIO

Propiedades de orden: •  Al sumar un número se conserva la relación de orden.

•  Al mulHplicar por un número posiHvo, se conserva la relación de orden.

•  Al mulHplicar por un número negaHvo, se invierte la relación de orden.

EJEMPLO 0

•  Ejemplo 0: Resolver las desigualdades

•  Tarea: Realizar los ejercicios de Khan Academy: desigualdades de un paso.

5x >12−2x <12

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EJEMPLO 1

•  Ejemplo 1: resolver la desigualdad

•  Solución: una técnica es uHlizar los axiomas de los números reales para transformar la desigualdad a la forma: (o ) , donde es alguno de las relaciones de orden y es un número real.

2x + 4 < 6x +1

x Δ rΔ

r Δ x

r

EJEMPLO 1

2x + 4 < 6x +1

EJEMPLO 2


•  Solución:

−6x +3≤ −8x −7

EJERCICIOS

Ejercicios 1: Resolver: Realizar los ejercicios de Khan Academy: •  Desigualdades de dos pasos •  Desigualdades lineales de varios pasos

x + 2 < 3x +1−7x + 4 ≤ −9x −8

EJEMPLO 3


•  Solución: observar que la variable solo ocurre en la “parte central” de la desigualdad. Para resolver la desigualdad, se usan los axiomas de manera de “aislar” la variable

3< 5x −72

≤10

EJEMPLO 3

•  Solución: 3< 5x −7

2≤10

135< x ≤ 27

5

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3

y además

EJEMPLO 3

•  Solución como intervalo

x ∈ 135,

"

#$

275%

&'

EJERCICIO

•  Ejercicio 2: resolver la desigualdad

−2 < 6− 2x4

≤ 5

EJEMPLO


•  Solución: Se Henen dos posibles casos, según el signo del denominador, observar que el denominador no puede ser cero.

x −8x + 4

≥ 5

que se cumpla

ésta desigualdad o ésta desigualdad

EJEMPLO 4

•  Caso 1: si el denominador es posiHvo, o sea, ,

se mulHplica por y se obHene la desigualdad Al reducir se obHene o si se prefiere, La solución al caso 1 es

x + 4 > 0

x + 4x −8 ≥ 5(x + 4)

(x > −4)

−7 ≥ x

(x > −4) y (x ≤ -7)x ≤ -7

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4

EJEMPLO 3

•  El intervalo solución es la intersección de estos intervalos, que es un conjunto vacío

∅

EJEMPLO 3

•  Caso 2: el denominador es negaHvo, o sea, , ahora la desigualdad es con la restricción

•  Al reducir la desigualdad se obHene que, , pero no olvidar la restricción

•  El intervalo de solución (del caso2) es la intersección de los dos intervalos, esto es: y como intervalo

x + 4 < 0 (x < −4)x −8 ≤ 5(x + 4) x < −4

x ≥ −7

−7 ≤ x < −4 x ∈ [−7,4)

x < −4

Ejemplo 3

•  La solución a la desigualdad es la unión de las soluciones de los casos 1 y 2

O sea:

∅ ∪ [-7,4) = [-7,4)x ∈ [-7,4)

EJEMPLO 5


•  Solución: se procede a expresar la desigualdad como un producto de binomios:

x2 > 3x − 2

x2 −3x + 2 > 0

(x −1)(x − 2) > 0

EJEMPLO 5

•  El producto , debe ser posiHvo, se Henen dos casos: ambos factores son de signo negaHvo o de signo posiHvo.

•  Caso 1: ambos factores de signo posiHvo, o sea

con solución : y como intervalo:

(x −1)(x − 2)

x −1> 0 y x − 2 > 0x >1 y x > 2

x ∈ (2,∞)

EJEMPLO 5

•  Caso 2: ambos factores son de signo negaHvo:

•  o sea que y

x −1< 0 y x − 2 < 0

x <1 y x < 2 x ∈ (−∞,1)

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EJEMPLO 5

•  La solución de la desigualdad se obHene con la unión de las soluciones de los casos 1 y 2

•  como intervalo

(2,∞) ∪ (−∞,1)

x ∈ (−∞,1) ∪ (2,∞)

EJERCICIO 2

•  Ejercicio 2: Resolver la desigualdad •  Solución:

x2 + 2x −8 ≤ 0

x ∈ [−4,2]

EJERCICIOS

•  Resolver ejercicios del libro de texto: 1.5: Desarrolle su competencia 2, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 21, 23, 27, 31, 35, 41, 49

VALOR ABSOLUTO

•  Definición:

•  Algunos ejemplos de números

| x |= x si x ≥ 0−x si x < 0

#$%

&%

VALOR ABSOLUTO

•  Con ecuaciones de una variable, el resultado depende del valor de la variable

•  Ejemplo 6:

| x |+x = si x ≥ 0si x < 0

"#$

%$x + x = 2x−x + x = 0

EJEMPLO 7

•  Ejemplo 7:

• 

• 

| x − 2 |+x, dos casos: x − 2 ≥ 0x − 2 < 0

#$%

&%

para x − 2 ≥ 0,o sea, x ≥ 2x − 2+ x = 2x − 2

para x − 2 < 0,o sea, x < 2−(x − 2)+ x = −x + 2+ x = 2

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EJEMPLO 7

•  En resumen

| x − 2 |+x = 2x − 2, si x ≥ 22 , si x < 2

#$%

&%

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

•  De la definición se desprende:

1. | x |≥ 02. | x |= 0 si y solo si x = 0

3. | x | = |−x |

4. | xy | = | x | | y |

5. xy

= | x || y |

, | y | ≠ 0

DESIGUALDADES Y EL VALOR ABSOLUTO

•  Propiedades del valor absoluto 1. | x |< a si y solo si − a < x < a

2. | x |> a si y solo si x < −a o x > a3. | x + y | ≤ | x |+ | y |4. x ≤ | x | y − x ≤ | x |

5. Si y ≥ 0, entonces | x |= y si y solo si x = y para x ≥ 0−x = y para x < 0

#$%

&%

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

•  Ejemplo 8. Resolver la desigualdad

•  Solución: Recordar la propiedad

que aplicada al ejemplo:

| x − 4 |< 30

| x |< a si y solo si − a < x < a

−30 < x − 4 < 30

Ejemplo 8

•  Al simplificar tenemos

•  y en forma de intervalo

−26 < x < 34

x ∈ (−26,34)

EJEMPLO 9

•  Ejemplo 9: Resolver la desigualdad

•  Solución: Recordar la propiedad

•  Que aplicada al ejemplo

| 3x +5 |> 20

| x |> a si y solo si x < −a o x > a

3x +5< −20 o 3x +5> 20

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EJEMPLO 9

•  Al resolver las desigualdades

y como intervalo

3x +5< −20,3x < −25,

x < − 253

3x +5> 20,3x >15,x > 5

x ∈ −∞,− 253

$

%&

'

()∪ (5,∞)

EJERCICIO 3

•  Ejercicio 3: Resolver la desigualdad

•  Solución: Aplicar la propiedad actualizando al símbolo ≤

|−5x +8 |≤10

| x |< a si y solo si − a < x < a

EJERCICIO 4

•  Ejercicio 4: Resolver la desigualdad

•  Solución: Aplicar la propiedad actualizando al símbolo ≥

|−2x +17 |≥10

| x |> a si y solo si x < −a o x > a

EJERCICIOS

•  Resolver ejercicios del libro de texto: 1.5: Desarrolle su competencia 53, 54, 55, 57, 61, 65, 66

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