1

Algebra de Matrices

2

Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de valores llamados elementos, organizados por filas y columnas.

Ejemplo:

Notas:

1. Las matrices son denotadas con letras mayúsculas.

2. Para hacer referencia a un elemento de una matriz, A, indicamos la fila y la columna donde se encuentra usando notación con subíndices, 𝑎𝑖𝑗.

a 12= 5 a 23= 6 a 22= 2

624

153A

fila

co

lum

na

fila

fila

co

lum

na

co

lum

na

3

Dimensión de una matriz

La dimensión de una matriz es el número de filas por el número de columnas de la matriz.

Ejemplo:

La dimensión de la matriz A es 3 x 2

filas columnas

La dimensión de la matriz B es 2 x 3

Nota: El producto del número de filas por el número de columnas nos indica el número de elementos que tiene la matriz.

02

45

13

A

765

321B

4

El vector fila es una matriz con una sola fila y varias columnas; es decir, su dimensión es 1 x n.

El vector columna es una matriz con una sola columna y varias filas; es decir, su dimensión es n x 1.

La matriz cero es una matriz con todos sus elementos iguales a cero.

matriz cero con dimensión 2x3

Matrices Especiales

2432

5

2

3

1

000

000

5

Matrices especiales (cont.)

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene la misma cantidad de filas que columna.

Dado una matriz cuadrada, los elementos donde los índices de las filas y las columnas son iguales se denominan los elementos sobre la diagonal de la matriz.

1097

435

012

B

25

31A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

232221

131211

bbb

bbbB

elementos sobre la diagonal

una matriz que no es cuadrada, NO tiene diagonal,

6

Matrices especiales (cont.)

La matriz de identidad es una matriz con todos los

elementos de la diagonal iguales a 1 y todos los demás

elementos fuera de la diagonal iguales a cero.

10

012I

100

010

001

3I

Igualdad de matrices

Las matrices A y B son iguales, A = B,

si y sólo si

tienen la misma dimensión

elementos correspondientes son

equivalentes: 𝑎𝑖,𝑗 = 𝑏𝑖,𝑗 para toda i, j.

Ejemplo:

1278

304

152

1278

034

152

8

Operaciones con matrices

1. Multiplicación por un escalar

Dado una matriz A de dimensión m x n y c un

número real, el producto cA es una matriz de

dimensión m x n obtenida multiplicando cada

elemento de A por la constante c.

041

532A

041

53222A

9

Operaciones con matrices

Ejemplo: Determine C si C = 1

2𝐵 𝑦

𝐵 =1 −98 3

10 16

Solución:

𝐶 =1

2

1 −98 3

10 16

C = 1

2𝐵

𝐶 =

10

Operaciones con matrices

2. Suma y resta

Para sumar o restar dos matrices A y B, las mismas tienen

que tener dimensiones iguales. La suma o la resta de A y B,

denotada A+B ó A-B, se obtiene sumando o restando los

elementos correspondientes.

1048

613A

3112

952B

11

Operaciones con matrices

Ejemplo: Dado A y B determine 1)C = 𝐵 − 𝐴 2)𝐷 = 2𝐴 + 3𝐵

𝐴 =0 1 2

−3 5 −1 B =

1 2 59 5 0

Solución:

1) 𝐶 =

2)𝐷 =

Multiplicación de matrices

Para multiplicar dos matrices A y B, el número de columnas de A tiene que ser igual al número de filas de B.

El producto, AB, es una matriz con el mismo número de filas de A y el mismo número de columnas de B.

Am x n Bn x p = Cm x p

12

Las matrices que se muestran son compatibles, ya

que tienen las dimensiones apropiadas para formar

el producto.

3 2 5

7 1 0

8 2

1 5

0 3

Dimensiones: 3 x 2 2 x 3

Si estos valores son iguales, entonces las

matrices son compatibles para la multiplicación.

Estos valores nos dan la

dimensión del producto.

Multiplicación de matrices

Multiplicación de matrices

Si C=AB entonces el elemento cij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.

Ej. Si C = AB y entonces el

elemento 𝐶21 se obtuvo multiplicando la fila 2 de A por la columna 1 de B.

14

Multiplicación de Matrices

15

232221

131211

aaa

aaaA

3231

2221

1211

bb

bb

bb

B

Multiplicación de Matrices

16

2(3) + -1(5) 2(-9) + -1(7) 2(2) + -1(-6)

3(3) + 4(5) 3(-9) + 4(7) 3(2) + 4(-6)

Multiplicación de Matrices

Dimensiones: 2 x 3 2 x 2

Son iguales,

matrices compatibles

Dimensiones: 2 x 3

Multiplicación de Matrices

Ejemplo 1: B y C son matrices tal que

Hallar Q.

18

Multiplicación de Matrices

Ejemplo 2: B y C son matrices tal que

CB = R, hallar R .

19

Multiplicación de Matrices

Ejemplo 4: Determinar el producto.

• El producto de estas matrices NO está definido por que

las matrices no son compatibles; las dimensiones no

son las apropiadas.

• Recuerda que para multiplicar matrices el número de

columnas en la primera matriz debe ser igual al número

de filas en la segunda.

3 x 3 2 x 2

Sea 𝐴 =

1201

y 𝐵 = 3 4 1 −1 ,

determinar AB y BA.

𝐵𝐴 =

Propiedades de la Multiplicación de

Matrices

𝐵𝐴 = 10

Note: ABBA. Esto implica que la multiplicación de

matrices NO es conmutativa.

EJEMPLOS ADICIONALES

El álgebra de matrices

22

Multiplicación de Matrices

Ejemplo 5: Hallar el producto ABC para

Solución:

24

211

539

874

,

5106

640

312

BA

2)1(1

539

)8(74

41

41

41

41

41

41

41

41

41

B41

Sea

Ejemplo: Determinar C si C= 2A - ¼B

Solución:

2521026

262420

232122

2A

102012

1280

624

5.025.025.0

25.175.025.2

275.11

42

41

41

45

43

49

47

5.1025.2025.12

75.1025.725.2

875.33

C

25

211

539

874

,

5106

640

312

BASea

Ejemplo: Determinar C si C= 2A - ¼B

Solución:

,640

312

11

42

39

74

BASea

Ejemplo: Determinar C si C= -½AB

Solución:

640

312

11

42

39

74

21

)6)(1()3)(1()4)(1()1)(1()0)(1()2)(1(

)6)(4()3)(2()4)(4()1)(2()0)(4()2)(2(

)6)(3()3)(9()4)(3()1)(9()0)(3()2)(9(

)6)(7()3)(4()4)(7()1)(4()0)(7()2)(4(

21

352

18184

92118

54248

21

5.15.21

992

5.45.109

27124

Multiplicación de Matrices

Ejemplo 3: Determinar el producto.