Algebra Booleana

Algebra BooleanaINTRODUCCION

En 1847 un matemtico ingls autodidacta llamado George Boole (1815 1864), desarrolla unos smbolos matemticos con unas reglas que pueden ser aplicadas en problemas de lgica deductiva. Hacia el ao 1854, public un libro en el que explicaba cmo convertir las proposiciones lgicas en smbolos matemticos y cmo aplicar ciertas reglas muy simples para determinar la verdad o falsedad de proposiciones relacionadas entre s. La matemtica desarrollada por Boole se conoce en la actualidad como lgebra booleana, lgebra de Boole lgica simblica. Despus de su muerte, algunos matemticos perfeccionaron su sistema para hacerlo ms utilizable, nos interesa particularmente la aplicacin que en 1938 ide el cientfico Claude E. Shannon. En su tesis de graduacin del Instituto Tecnolgico de Massachuset, Shannon demostr cmo poda aplicarse el lgebra de Boole al diseo y la simplificacin de los rels y circuitos de conmutacin que se utilizan en los complejos circuitos que forman las computadoras electrnicas, pues permite simplificar las conexiones fsicas reduciendo el hardware y consiguientemente el espacio necesario para alojarlo.

DEFINICIN DE LGEBRA DE BOOLE Un conjunto cualquiera A en el que se han definido dos operaciones binarias que llamaremos suma lgica ( + ) y un producto lgico ( ), una operacin unitaria que llamaremos complemento ( ), se dice que es un lgebra de Boole si se cumplen las siguientes propiedades axiomticas:A1. Conmutativa: para todo a y b que son elementos del conjunto A; la suma de a + b es igual que b + a de la misma manera que el producto de a b es igual a b a. a, b A, a + b = b + a y a b = b aA2. Identidad: Los elementos neutros de ( + ) y () son, respectivamente, el elemento cero (0) yel elemento (1). a A, a + 0 = a y a 1 = aA3. Distributiva: a, b, c A, a + (b c) = (a + b) (a + c) y a (b + c) = (a b) + (a c)A4. Complementario: a A, a + a = 1 y a a = 0

Comentarios importantesa) De los axiomas anteriores se deducen las siguientes tablas para las operaciones ( + ) y(). Suma Lgica ( + ) + 0 1 0 0 1 1 1 1Producto lgico ( ) + 0 1 0 0 0 1 1 1

As 0 + 0 = 0 0 0 = 0 0 + 1 = 1 0 1 = 0 1 + 0 = 1 1 0 = 0 1 + 1 = 1 1 1 = 1

b) Para que el lgebra de Boole anterior sea aplicable a circuitos lgicos se define un conjunto A de dos elementos como A = {0, 1}, con las operaciones ( + ) y ( ). En consecuencia, las variables a, b, c, que utilizamos son variables binarias, y slo pueden tomar un valor de entre dos posibles valores que son 0 y 1. Al lgebra de Boole de varias variables binarias se le denomina lgebra de Boole binaria. A partir de ahora supondremos que seguimos trabajando con esta lgebra.c) La operacin producto lgico () muchas veces se omitir, dejndose sobreentendida si se escriben varias variables seguidas; as por ejemplo, son equivalentes las expresiones siguientes: a (b + c) = a b + a c a (b + c) = a b + a cd) Se supondr, al igual que en el lgebra ordinaria, que la operacin () es prioritaria sobre la ( + ), salvo que esta prioridad se altere por medio de los parntesis. As: es lo mismo que a + (b c) a (b + c) y es diferente a (a + b) c

Coordenadas PolaresEJEMPLO 2. Determinar las coordenadaspolares de las vrtices deun hexgono regular A, B, C,D, E, y F, tomando comopolo al punto 0, centro delhexgono y como eje polaral rayo OC , segn la figura.SOLUCINTomando O C = 1C(1,0);D(1,/3);E(1,2/3);F(1,);A(1,4/3);B(1,5/3)

2. Coordenadas polares generalizadasEn la situacin de ciertos problemas es conveniente considerar sobre una recta que pasa por el polo, dos puntos M y N que se encuentran en diferentes semi-rectas con relacin al punto 0. Como se observa en la figura siguiente:En este caso se toma por ngulo polar de los puntos M y N el mismo ngulo, y r, para el punto M, se considerara positivo y para el punto N ser negativo.Las coordenadas y r < 0 se llaman coordenadas polares generalizadas del punto N.

2.1. Relacin entre coordenadas polares y rectangulares de un puntoPara transformar las coordenadas de un punto de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orgenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje positivo de las abscisas o de las x, como se ve en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P, cualquiera. Las coordenadas en ambos sistemas del punto P son: P (x, y) y P (r, )

3 .Cambio de sistema de coordenadas cartesianas a polares y viceversa

Secciones cnicasUna seccin cnica (o cnica) es una curva de interseccin de un plano con un cono recto circular de dos hojas; tenemos cuatro tipos de curvas: CIRCUNFERECNIA, ELIPSE, HIPRBOLA Y PARBOLA. El matemtico Apolonio estudio las secciones cnicas en trminos de Geometra utilizando este concepto.

CIRCUNFERENCIAEs el lugar geomtrico de los puntos P(x, y) del plano que (equidistan) de un punto C(h, k) llamado Centro. R = radio C(h,k) = CentroP(x,y) = Punto Cualquiera de Circunferencia. Vamos a obtener la ECUACIN CANNICA de circunferencia. Por definicin de Distancia entre dos puntos, se tiene: R = d(C, P)

ELIPSE

Es el lugar Geomtrico de los puntos P(x, y) del plano, cuya suma de distancias a dos puntos F1 y F2 (focos) es constante. (Ver grafica)

d(P,F1) + d(P,F2) = d(A1, A2) Donde:

C(h, k) es el centro. A1, A2, B1, B2 Son los Vrtices

F1, F2 Focos. A1A2= 2a Eje Mayor. F1F2 = Eje Focal B1B2= Eje Menor.

PARBOLA

Es el lugar geomtrico de los puntos P(x, y) y del plano que equidistan (estn a la misma distancia) de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada Directriz. Veamos la grfica para identificar los elementos en sistemas de coordenadas cartesianas.

HIPRBOLALa hiprbola es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano,tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante. A esta distancia constante se le denomina longitud del eje transverso. Tambin existe el eje conjugado, perpendicular al eje transverso y de longitud finita.La hiprbola puede tener el eje transverso paralelo al eje X, paralelo al eje Y o bien oblicuos.

Elementos de la hiprbola:Donde la longitud entre V1 y C es igual a aCentro Como su nombre lo indica, es el punto central de la hiprbola, es donde se intersecan los ejes conjugado y transverso.Focos Son dos puntos localizados sobre el eje de la hiprbola (que ser la recta infinita que contiene al centro a los vrtices y a los focos), su . localizacin no es arbitraria.Eje transverso Es el segmento de recta que une a los vrtices de la hiprbola y su longitud equivale a la longitud del segmento V1V2 esto es 2a.Eje conjugado Es el segmento de recta perpendicular al eje transverso. Corta a ste en el centro y su longitud es igual a 2b.Vrtices Puntos extremos del eje transverso y a la mitad de su distancia se localiza el centro de la hiprbola.