UNIVERSIDAD DE LA FUERZAS ARMADAS ESPESISTEMAS DIGITALES

Nombre: Byron Fabian Chicaiza

Nivel: Quinto Ing. Automotriz

Fecha: Latacunga 5 de noviembre de 2015

ABSTRACT

El presente trabajo tiene como finalidad definir la algebra booleana. El álgebra booleana fue estudiada por primera vez por George Boole y desde entonces es de gran ayuda para sistemas computacionales hasta la actualidad, son usadas en el diseño de circuitos, Todas las variables y constantes del Álgebra booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos pueden ser representados por números binarios de un dígito, por lo cual el Álgebra booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario. Al igual que en álgebra tradicional, también se trabaja con letras del alfabeto para denominar variables y formar ecuaciones para obtener el resultado de ciertas operaciones mediante una ecuación o expresión booleana. Los resultados de las correspondientes operaciones también serán binarios.

DESARROLLO

1 ALGEBRA DE BOOLE

En 1815 George Boole propuso una herramienta matemática llamada Algebra de Boole. Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta algebra es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.

El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 o 1. Y las operaciones b asicas son OR (+) y AND (·).

Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).

En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el álgebra normal.

[1]

2 OPERACIONES

SUMA BOOLEANA

La suma booleana es equivalente a la operación OR y a continuación se muestran sus reglas básicas junto con su relación con la puerta OR:

FIGURA 1 SUMA BOOLEANA

En el álgebra de Boole, un término suma es una suma de literales. En los circuitos lógicos, un término suma se obtiene mediante una operación OR, sin que exista ninguna operación AND en la expresión. Algunos ejemplos de términos suma son A + B,

MULTIPLICACIÓN BOOLEANA

La multiplicación booleana es equivalente a la operación AND y sus reglas básicas junto con sus relaciones

con la puerta AND se ilustran a continuación:

FIGURA 2 MULTIPLICACION BOOLEANA

LEYES Y REGLAS DEL ÁLGEBRA DE BOOLEAl igual que en otras áreas de las matemáticas, existen en el álgebra de Boole una serie de reglas y leyes bien determinadas que tienen que seguirse para aplicarla correctamente.

LEYES CONMUTATIVAS La ley conmutativa de la suma para dos variables se escribe como sigue:

A + B = B + AEsta ley establece que el orden en que se aplica a las variables la operación OR es indiferente. Recuerde que cuando se aplica a los circuitos lógicos, la suma y la operación OR es lo mismo.

FIGURA 3 APLICACION DE LA LEY CONMUTATIVA

AB = BAEsta ley establece que el orden en que se aplica a las variables la operación AND es indiferente.

FIGURA 4 APLICACION LEY CONMUTATIVA

LEYES ASOCIATIVAS La ley asociativa de la suma para tres variables se escribe como sigue:

A + (B + C) = (A + B) + CEsta ley establece que cuando se aplica la operación OR a más de dos variables, el resultado es el mismo independientementede la forma en que se agrupen las variables..

FIGURA 5 COMPUERTA OR

La ley asociativa de la multiplicación para tres variables se escribe del siguiente modo:

A(BC) = (AB)CEsta ley establece que cuando se aplica la operación AND a más de dos variables, el resultado es el mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables.

FIGURA 6 COMPUERTA AND

LEY DISTRIBUTIVA

La ley distributiva para tres variables se escribe como sigue:

A(B + C) = AB + ACEsta ley establece que aplicar la operación OR a dos o más variables y luego aplicar la operación AND al resultado de esa operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación AND a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego realizar la operación OR con los productos resultantes. La ley distributiva expresa también el proceso de sacar factor común en el que la variable común A se saca como factor de los productos parciales.

AB + AC = A(B + C).FIGURA 7 APLICACION LEY DISTRIBUTIVA

[2]

REGLAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANAEXPRESIONES BOOLEANAS. Las nueve primeras reglas las veremos en términos de su aplicación a las puertas lógicas. Las reglas 10 a 12 se obtendrán a partir de las reglas más

sencillas y de las leyes anteriormente explicadas.

FIGURA 8 REGLAS DE BOOLE

TEOREMAS DE DeMORGAN

DeMorgan, matemático que conoció a Boole, propuso dos teoremas que constituyen una parte muy importante del álgebra de Boole. En términos prácticos, los teoremas de DeMorgan proporcionan una verificación matemática de la equivalencia entre las puertas NAND y negativa-OR, y las puertas NOR y negativa-AND

FIGURA 9 TEOREMAS DE MORGAN

[2]CONCLUSIONES

1. El álgebra booleana es de gran importancia en la simplificación de funciones lógicas.

2. El álgebra booleana posee una estructura matemática coherente y fácil de comprender y aplicarla.

3. Los teoremas DeMorgan ayudan a la resolución de problemas lógicos ya que gracias a estos se puede aplicar una solución más a problemas más complejos.

BIBLIOGRAFIA

[1] Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Informática. “Algebra de Boole”. (2006). Disponible en

http://users.dcc.uchile.cl/~clgutier/Capitulo_3.pdf

[2] Sistemas digitales. “Algebra Booleana”. (2009). Disponible en Fundamentos de sistemas digitales Thomas L. Floyd novena edición.