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  • 7/30/2019 Algebra Booleana con compuertas.pdf

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    lgebra Booleana y

    Simplificacin LgicaM. en C. Erika Vilches

    Parte 1

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    Operaciones Booleanas

    y Expresiones Variable, complemento y literal son lostrminos utilizados en lgebra booleana.

    Variable smbolo utilizado pararepresentar una cantidad lgica Complemento el inverso de una variable

    y se indica con una barra sobre la variable Literal una variable o el complemento de

    una variable

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    Suma Booleana: Equivalente a la operacin OR

    Multiplicacin Booleana: Equivalente a la operacion AND

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    Leyes del Algebra Booleana

    Leyes conmutativas

    Para la suma de dos variables se escribe:

    A + B = B +A

    El orden en que se OReen las variables no hace diferencia.

    Para la multiplicacin de dos variables se escribe:AB = BA

    El orden en que se ANDeen las variables no hace diferencia

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    Leyes asociativas

    Para la suma de tres variables se escribe:

    A + (B + C) = (A + B) + C

    Para la multiplicacin de tres variables se escribe:

    A

    (BC

    ) = (AB

    )C

    Cuando se ORean ms de dos variables, el resultado es elmismo sin importar la agrupacin

    Cuando se ANDean dos o ms variables, no importa elorden en que se agrupen las variables

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    Ley Distributiva

    Se escribe para tres variables como:

    A(B + C) =AB +ACORear dos o ms variables y ANDear posteriormenteel resultado con una sola variable es equivalente a

    ANDear la variable sola con cada una de las dos o msvariables y despues ORear los productos

    El proceso inverso (factorizacin) tambin esexpresado por esta ley. Una variable comn se

    factoriza de los trminos.

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    Reglas del Algebra

    BooleanaReglas tiles para manipular y simplificar

    expresiones Booleanas.

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    Regla 1. A + 0 =A. Una variable OReada con 0 essiempre igual a la variable.

    Regla 2. A + 1 = 1. Una variable OReada con 1 es

    siempre igual a 1.

    Regla 3. A 0 = 0. Una variable ANDeada con 0 essiempre igual a 0.

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    Regla 4. A 1 =A. Una variable ANDeada con 1 essiempre igual a la variable.

    Regla 5. A +A =A. Una variable OReada con sigo misma

    es siempre igual a la variable.

    Regla 6. . Una variable OReada con sucomplemento es siempre igual a 1.

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    Regla 7. AA =A. Una variable ANDeada con ella mismaes siempre igual a la variable.

    Regla 8. . Una variable ANDeada con su

    complemento es siempre igual a 0.

    Regla 9. . El doble complemento de una variable essiempre igual a la variable.

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    Regla 10. A +AB =A. Esta regla se puede probar

    aplicando la ley distributiva, la regla 2 y la regla 4.

    A + AB =A(1 + B)=A1

    =A

    Factorizacin (ley distributiva)Regla 2: (1 + B) = 1

    Regla 4: A1 =A

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    Regla 11. . Esta regla se puede probar como

    sigue:

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    Regla 12. (A + B)(A + C) =A + BC. Esta regla se puedeprobar como sigue:

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    Teoremas de DeMorgan

    El complemento de un producto de variableses igual a la suma de los complementos delas variables

    En otras palabras: El complemento de dos oms variables ANDeadas es equivalente alOR de los complementos de las variablesindividuales

    Primer Teorema de DeMorgan

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    El complemento de la suma de variables esigual al producto de los complementos delas variables.

    En otras palabras: El complemento de dos oms variables OReadas es equivalente al

    AND de los complementos de las variablesindividuales

    Segundo Teorema de DeMorgan

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    Para el primer teorema de DeMorgan

    Para el segundo teorema de DeMorgan

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    Los teoremas de DeMorgan pueden ser aplicados aexpresiones con ms de dos variables.

    Ejemplos:

    Tres variables

    Cuatro variables

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    Cada variable en los teoremas de DeMorgan puederepresentar una combinacin de otras variables.

    Ejemplo:Si aplicamos a la expresinobtenemos

    Si a los 2 trminos del resultado anteriory les aplicamos individualmente el teorema

    nos queda

    Si volvemos a aplicar el teorema de DeMorgan ay a nos queda

    El resultado se podra simplificar ms con las reglas y leyes

    Booleanas, pero ya no ms con con los teoremas de DeMorgan

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    Aplicacin de los teoremas de DeMorgan y algebraBooleana a la expresin

    1. Identificar los trminos a los que se les puede aplicarlos teoremas de DeMorgan y pensar en ellos como sifuesen 1 sola variable. Tomemos y .

    2. Dado que ,

    3. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras doblessobre el trmino de la izquierda (esto no es parte delos teoremas de DeMorgan)

    4. Aplicar el teorema de DeMorgan al segundotrmino

    5. Utilizar la regla 9 para cancelar las barras dobles

    sobre

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    Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgana la siguiente expresin

    Tomemos y . La expresin

    se encuentra en la forma y se puedereescribir como

    Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan altrmino

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    Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgana la siguiente expresin

    Tomemos y . La expresin

    se encuentra en la forma y se puedereescribir como

    Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan a

    los trminos y

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    Ejemplo: Aplique los teoremas de DeMorgana la siguiente expresin

    Tomemos , y . La expresin

    se encuentra en la forma y se puedereescribir como

    Ahora, aplicar el teorema de DeMorgan a

    los trminos , y