algebra booleana y circuitos digitales.docx

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1.5. Algebra booleana

Visin de conjunto

lgebra de la lgica (lgebra de Boole) - es una rama de las matemticas que ha surgido en el siglo XIX, gracias a los esfuerzos del Ingls matemtico George Boole. Inicialmente, el lgebra de Boole no tena ningn valor prctico. Sin embargo, en el siglo XX, sus disposiciones se han utilizado en la descripcin del funcionamiento y el desarrollo de diversos circuitos electrnicos. Las leyes y el lgebra de la lgica se utiliz en el diseo de las diferentes partes de ordenadores (memoria, CPU). Aunque no es la nica rea de la ciencia.

Historia

Frmula de la lgebra vectorial es muy diferente de las frmulas de lgebra elemental. Por ejemplo, en lgebra elemental y una suma de vectores. Pero se est ejecutando de manera muy diferente. Aadir nmeros realizadas de manera muy diferente, como la suma de vectores.Hay otro lgebra, lgebra lineal, estructuras algebraicas, Algebra, anillos, lgebra de la lgica, o, de manera equivalente, el lgebra de Boole. En las lecciones escolares que probablemente nunca haya odo hablar de George Boole - pero todos sabemos que el nombre de uno de su hija EthelVoynich talentoso (1864 - 1960). Ella escribi una novela, "El Tbano", que habla de la lucha por los derechos de los carbonarios italianos.

George Boole naci en Inglaterra, 2 de noviembre de 1815. A lo largo de su vida trabaj como profesor de matemticas y fsica en la escuela. Decirle a los estudiantes acerca de las dificultades que inevitablemente se enfrentan los investigadores en la bsqueda de la verdad, el maestro sola decir, una sabidura oriental: hasta el trono persa no puede llevar a una persona tanto placer, como el ms pequeo descubrimiento cientfico.Rango de Bull intereses cientfica era muy amplio: es igualmente interesadosen las matemticas y la lgica - la ciencia de las leyes y formas de pensamiento. A los cientficos les gustara hacer la ciencia de las leyes y las formas de pensamiento a la misma rigurosa como cualquiera de las ciencias naturales, las matemticas y la fsica dicen. Para ello, Bull lleg a referirse a las letras no nmeros, como se hace en lgebra ordinaria, y las declaraciones, y demostr que estas ecuaciones es muy similar a la algebraica, podemos resolver la cuestin de la verdad o falsedad de las declaraciones hechas por el hombre. As que hubo un lgebra de Boole.

En la actualidad, el lgebra de la lgica se ha convertido en una parte importante de las matemticas. Uno de sus problemas - la solucin de ecuaciones diferentes, las relaciones numricas que sustituy alfabtico. Cada uno de ustedes, probablemente, durante toda su vida para recordar la forma de resolver las ecuaciones de segundo grado y tercer lugar con coeficientes literales. As, Bull en su nueva lgebra usar todas estas frmulas y reglas.Nuevo en el lgebra de Boole es que los elementos que lo examinaron, no son nmeros, y las declaraciones. Si la solucin de ecuaciones algebraicas ordinarias determina qu nmero es X desconocidos, lgebra escuela en busca de una respuesta a la pregunta: "Cunto?". El lgebra de la lgica trata de responder a la pregunta: "Es verdad o de otra indicacin, indicado por la letra X?.El significado y el contenido de las declaraciones no juegan ningn papel. Cada declaracin slo puede ser verdadera o falsa. No puede ser un medio falso y verdadero medio. A modo de ejemplo podemos recordar que lanza los dados con monedas.Hay slo dos estados se consideran moneda - cara o cruz. Por acuerdo de las partes guila es SI, y las colas no lo es. No hay otras posiciones intermedias en la teora de probabilidad no se consideran, a pesar de que son posibles. Lanzado moneda puede caer en el borde, rodar por el suelo a las patas de la silla o la mesa y se qued en posicin vertical, ya veces hasta caer en una gran grieta en el suelo. (Similar a los dos ltimos circuitos elctricos de la situacin puede ser vista como un fracaso en la forma de los contactos quemados). Pero en aquellos das, el lgebra de Boole, por desgracia, no lleg popular.

El recin "descubierto" Boolean algebra Claude Shannon. En 1938, cuando todava era un estudiante en el Instituto de Tecnologa de Massachusetts y los EE.UU., el joven Claude demostr que el lgebra de Boole es completamente adecuado para el anlisis y sntesis de rel y circuitos de conmutacin. Usando el lgebra de Boole puede ser muy fcil hacer un circuito elctrico de la mquina que se ejecuta en el rel.Para ello, resulta que slo es necesario saber exactamente qu hacer automtico, es decir, tener un algoritmo para trabajar. As se sentaron las bases de la teora de las mquinas digitales, que funciona en el principio de SI o NO.

lgebra de Boole en el anlisis y sntesis de circuitos

Para describir el comportamiento de un circuito combinatorio compuesto una tabla que contiene todos los valores posibles de las variables de entrada con los valores correspondientes de las variables de salida, es decir, los valores de funciones. Esta tabla se llama tabla de verdad (tabulaciones cruzadas).Tabla 1. Tabla de verdadx1x2xn-1xnf

0000f(0,0,,0,0)

0001f(0,0,,0,1)

0010f(0,0,,1,0)

0011f(0,0,,1,1)

..

1111f(1,1,,1,1)

La manera ms fcil para llenar la tabla es una secuencia de exploracin en el sistema binario de los nmeros de 0 a 2x - 1.Herramientas matemticas para el anlisis y sntesis de circuitos lgicos, es un lgebra de Boole. Sencillas funciones booleanas (AND, OR y NOT) permiten construir nuevas funciones booleanas por composicin. El funcionamiento de superposicin est sustituyendo los argumentos de otras funciones booleanas. Superposicin de las funciones de un elemento de las funciones generatrices de un solo argumento, los dos elementos hace que sea posible construir una funcin de cualquier nmero de argumentos. Bienes funciones elementales correspondientes darse cuenta de su elemento. La superposicin de funciones corresponde a los elementos de conexin. La superposicin de funciones booleanas representado como frmulas lgicas.La misma funcin puede ser representado por las frmulas diferentes.Cada uno tiene su propia frmula, la composicin, y por lo tanto, sus elementos de diagrama de conexin.Entre las frmulas de representacin de funciones booleanas y circuitos destinados a su aplicacin una correspondencia.Tablas de verdad y expresiones booleanas describir circuito combinatorio equivalente. La tabla de verdad es til para describir los parmetros de entrada y de salida del circuito, y la expresin booleana tambin describe su estructura interna. Por lo tanto, para el anlisis y sntesis de circuitos combinacionales debe ser capaz de realizar la conversin de una forma de descripcin a otro.En la construccin de la funcin que implementa la tabla de verdad para considerar la ambigedad de la definicin de expresiones booleanas.

Representacin grfica de los elementos lgicos

Nombre de la funcinLa vlvula de BooleanoExpresin notacin grficaMIL (milspec)

Y

O

NO (Inverter)

Y-NO

O-NO

Exclusive O

Exclusive O-NO

Figura 4. Representacin grfica de elementos lgicos.

Qu es un lgebra de la lgica? En primer lugar, se examinan los mtodos que permitan determinar la verdad o falsedad de las declaraciones lgicas complejas utilizando mtodos algebraicos. En segundo lugar, el lgebra de Boole hace de modo que el complejo se describe mediante la expresin lgica que se evala que puede ser verdadera o falsa (1 o 0). El argumento de la funcin (expresin simple) slo puede tener dos valores, 0 1.Qu es una declaracin lgica simple? Son frases como "ms de dos", "5,8 es un entero." En el primer caso, tenemos la verdad, y la segunda falsa. El lgebra de la lgica no afecta a la sustancia del discurso. Si alguien decide que la declaracin "la Tierra es cuadrada" es verdad, entonces el lgebra de la lgica que tomar como un hecho. El hecho de que un lgebra de Boole es el resultado de clculos complejos relacionados con las declaraciones lgicas basadas en pre-conocidos valores de oraciones simples.

Las operaciones lgicas. Disyuncin, conjuncin y negacin

Entonces, cmo comunicarse unos con otros estados lgicos simples, formando complejo? En el lenguaje natural, se utiliza una variedad de los sindicatos y otras partes del discurso. Por ejemplo, "y", "o", "o", "no", "si", "qu", "cundo". Ejemplos de oraciones complejas: "Tiene los conocimientos y habilidades", "llegar el martes o el mircoles", "Voy a estar jugando entonces, cuando he aprendido", "5 no es igual a 6". Cmo decidimos lo que nos dijeron la verdad o no? De alguna manera es lgico, incluso en alguna parte inconscientemente, con base en la experiencia previa de la vida, nos damos cuenta de que la verdad est en la palabra "y" se produce en el caso de ambos estados simple verdad. Slo se necesita un ser mentira y toda la oracin compleja es falsa. Sin embargo, cuando se vinculan "o" debe ser cierto slo una simple declaracin, y entonces toda la expresin sea verdadera.lgebra de Boole para cambiar esta experiencia en el aparato de las matemticas para formalizar, introdujo normas estrictas para la obtencin del resultado inequvoco. Los sindicatos fueron llamados aqu por los operadores lgicos.El lgebra de la lgica proporciona un conjunto de operaciones lgicas. Sin embargo, tres de ellos merecen especial atencin, ya que pueden ser utilizados para describir todos los dems, y por lo tanto utilizar una menor variedad de dispositivos en el diseo de circuitos. Estas operaciones son la conjuncin (AND), disyuncin (OR) y negacin (NOT). A menudo denotan la conjuncin& disyuntiva - ||, y la negacin - una barra sobre una variable que indica la declaracin.Cuando la verdad de la conjuncin de una expresin compleja slo se plantea si la verdad de todas las expresiones simples que componen el complejo. En todos los otros casos, una expresin compleja es falsa.Cuando la verdad de la disyuncin de una expresin compleja se produce en la verdad de al menos uno de su trmino simple constituyente o dos a la vez. Sucede que la expresin complicada consta de ms de dos nmeros primos. En este caso es suficiente con tener una simple para ser verdad, y luego, de una declaracin es verdadera.Negacin - es una operacin unaria, innecesariamente realizar respecto de una expresin simple, o con respecto al resultado de la compleja. Como resultado, se obtiene una nueva declaracin negando lo contrario de la original.

Tabla de verdadOperaciones lgicas pueden ser convenientemente descrita por tablas de verdad llamados, que reflejan los resultados del clculo de oraciones complejas en diferentes oraciones simples iniciales. Declaracin simple es una variable (por ejemplo, A y B).Tabla 2. Tabla de verdadY en de A y BConjuncin&

000

100

010

111

Disyuncin||

000

101

011

111

Negacin

01

10

Fundamentos lgicos de ordenadorEn los ordenadores, dispositivos diferentes, que funcionan perfectamente describe el lgebra de la lgica. Estos dispositivos incluyen el grupo de botones de radio, triggers, sumadores.Por otra parte, la conexin entre el lgebra de Boole y las computadoras radica en el uso de las computadoras en la notacin. Como sabemos lo binario. Por lo tanto, los dispositivos de la computadora puede almacenar y transformar tanto el nmero y valor de las variables lgicas.Circuitos de conmutacinEn el equipo utilizado circuito elctrico constituido por una pluralidad de conmutadores. El conmutador puede ser en slo dos estados: cerrada y abierta. En el primer caso - la corriente fluye en el segundo - no. Describir el funcionamiento de estos sistemas son muy cmodos usando el lgebra de la lgica. Dependiendo de la posicin de los interruptores puede o no puede recibir seales en las salidas.Gates, flip-flops y sumadoresLa vlvula es una puerta, que tiene unos valores binarios y produce otro, dependiendo de su aplicacin. Por ejemplo, hay puertas que implementan una conjuncin lgica (conjuncin), suma (disyuncin) y la negacin.Disparadores y sumadores - es un dispositivo relativamente complejas que consisten de elementos ms simples - portones.Un disparador puede almacenar un bit, por lo que puede estar en dos estados estables. La mayora de los activadores se utilizan en los registros del procesador.Sumadores son ampliamente utilizados en una unidad lgica aritmtica (ALU) del procesador y realizar la suma de los dgitos binarios.

Las leyes de Boole

Para los valores booleanos se utilizan normalmente tres operaciones:1. Conjuncin - una conjuncin lgica (Y) - and, &, .2. Disyuncin - disyuncin lgica (O) - or, |, .3. Negacin lgica (NO) - NOT, .Las expresiones booleanas pueden ser convertidos de acuerdo con las leyes del lgebra de la lgica:1. Leyes reflexividada a = aa a = a2. Leyes conmutativaa b = b aa b = b a3. Ley asociativa(ab) c = a (b c)(a b) c = (a b) (a c)4. Ley distributivaa (b c) = a b a ca b c = (a b) (a c)5. La negacin ley ( a) = a6. Las leyes de de Morgan (ab) = a b (a b) = a b7. Leyes de absorcina a b = aa (a b) = a

Lista de tareas

Tarea 1

Dada la funcin booleana de tres variables:

A) Construir una tabla de verdad (que se ejecuta en Microsoft Excel) para una funcin booleana dada (tabla de verdad para construir sin ningn tipo de simplificaciones, utilizando slo la incorporada en las funciones lgicas AND, OR, NOT, IF).B) Construir el correspondiente circuito digital y diagrama de tiempos.C) Para simplificar esta expresin booleana.

Tarea 2

Disear un circuito que corresponde a los dos lados de la identidad ( 2, 7, 16) (ver Apndice), y con la ayuda de anlisis para comprobar la identidad. El informe incluye grficos y diagramas construidos por la entrada y salida de cada uno de los esquemas completados.

Apndice 1

LgicoFormulacin

1producto lgico de cualquier argumento a 0 es 0

2producto lgico de cualquier argumento por 1 es igual al argumento

3producto lgico de los mismos argumentos, el mismo argumento

4argumentos lgicos para su inverso es 0

5cantidad de cualquier argumento lgico, el argumento es igual a 0

6La suma lgica de un argumento de 1 es igual a 1

7argumento lgico con uno mismo es el argumento

8argumento lgico en su inversa es igual a 1

9argumento doble inversin le da su verdadero valor

10ley conmutativa

11ley conmutativa

12propiedad asociativa

13propiedad asociativa

14los parntesis

15excepto para la tercera

16Absorcin

17Absorcin

18Estado de De Morgan

19De Morgan regla 2

Tarea 3A) Disear un circuito digital que realiza estas acciones, y compuesta de elementos simples Y, O, NO. Los resultados confirman la construccin de una tabla de verdad y los diagramas de temporizacin correspondientes.B) Disear un circuito digital comparar dos nmeros binarios dgitos A y B en la salida "1" - si A> B y "0" -. Otra manera

Ejemplos de trabajo prctico

Tarea 1

Dada la funcin booleana de tres variables:

A) Construir una tabla de verdad (que se ejecuta en Microsoft Excel) para una funcin booleana dada (tabla de verdad para construir sin ningn tipo de simplificaciones, utilizando slo la incorporada en las funciones lgicas Y, O, NO, SI).B) Construir el correspondiente circuito digital y diagrama de tiempos.C) Para simplificar esta expresin booleana.

La solucin:A) Por conveniencia, dividimos esta expresin en 5 partes: F1, F2, F3, F4, F5, donde F1 = xxory, F2 = no z, F3 = F1 F2, F4 = No F3, F5 = xy + F4 x. Escribimos estas frmulas en el lenguaje de MS Excel:

F1 = IF (x y, 1, 0); F2 = SI (NO (z), 1, 0); F3 = SI (Y (F1 = 0, F2 = 0), 1, 0); F4 = IF (NOT (F3), 1, 0); F5 = SI (O (Y (x, y), y (F2, x)), 1, 0).

Construir una tabla de verdad para estas funciones:

La tabla de verdad de esta funcinxyzF1=x xor yF2=no zF3=F1F2F4= no F3F5=xy+F4x

00001010

00100100

01011010

01110010

10011011

10110010

11001011

11100101

B) En la simulacin se utiliza el

Figura 4. Digital circuito esta funcin

C)

Tarea 2

Disee un circuito que corresponde a los dos lados de la identidad ( 2, 7, 16) (vase el Apndice 1 pgina 12), y utilizando el anlisis para comprobar la identidad. El informe incluye grficos y diagramas construidos por la entrada y salida de cada uno de los esquemas completados.

La solucin:Para la identidad

Figura 5. Diagrama lgico del nmero de identidad 2

Para la identidad

Figura 6. Diagrama lgico del nmero de identidad 7

Para la identidad

Figura 7. Diagrama lgico del nmero de identidad 16

Tarea 3

A) Disear un circuito digital que realiza estas acciones, y compuesta de elementos simples y, o, no. Los resultados confirman la construccin de una tabla de verdad y los diagramas de temporizacin correspondientes.B) Disear un circuito digital comparar dos nmeros binarios dgitos A y B en la salida "1" - si A> B y "0" -. Otra manera

La solucin:

Let F1 y F2 de A y B, respectivamente. A, B - poco alto y bajo F1, un C, D - F2 poco alta y baja. Si F1> F2 salida tenemos que conseguir un "1", de lo contrario - "0." Formamos una tabla de verdad:

Tabla 3. Tabla de verdadF1F2F

ABCD

00000

00010

00100

00110

01001

01010

01100

01110

10001

10010

10100

10110

11001

11011

11101

11110

La expresin lgica basada en la tabla de verdad:

Para obtener las funciones del esquema lgico:

Figura 8. Diagrama lgico de la funcin resultante