exposicion del algebra booleana equipo 4 los mejores amigos por siempre

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ALGEBRA BOOLEANA

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ALGEBRA BOOLEANA

George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formalizar la lógica proposicional. El libro se llama “Análisis matemático de la lógica”.

George Boole1815-1864

Algebra de BooleAlgebra de Boole

El sistema consiste en un cálculo para resolver problemas de lógica proposicional (dos valores posibles [0, 1] y tres operaciones:

• AND (y) • OR (o) • NOT (no) )

Las variables Booleanas solo toman los valores binarios: 1 ó 0.

Una variable Booleana representa un el balor que puede tomar un bit, que como vimos quiere decir:

Binary digit

Algebra de BooleAlgebra de Boole

Operadores básicosOperadores básicos

Un operador booleano puede ser Un operador booleano puede ser completamente descripto usando completamente descripto usando tablas de verdadtablas de verdad..

El operador El operador ANDAND es conocido como es conocido como producto booleano (.) y el producto booleano (.) y el OROR como co-producto booleano (+)como co-producto booleano (+)

El operador El operador NOTNOT (¬ ó una barra (¬ ó una barra encima de la expresión) conocido encima de la expresión) conocido como complemento.como complemento.

Funciones booleanasFunciones booleanas

Tabla de verdad de Tabla de verdad de esta función:esta función:

El NOT tiene más El NOT tiene más precedencia que el precedencia que el resto de los operadoresresto de los operadores

Y el AND más que el ORY el AND más que el OR

TEOREMAS Y TEOREMAS Y POSTULADOSPOSTULADOSLos postulados mas comunes incluyen las siguientes propiedades:

1. Conjunto Cerrado: Un conjunto S es cerrado con respecto a un operador binario, si para cada par de elementos de S, el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único S. El conjunto de los números naturales N = { 1, 2, 3, 4,…,}, por ejemplo, es Cerrado con respecto al operador binario (+)´por las reglas de la suma aritmetica ya que por cada a, b Є N se obtiene una c Є N única por la operación a + b = c. El conjunto de los números naturales No es Cerrado con respecto al operador binario menos (-) por las reglas de la sustracción aritmética ya que 2 – 3 = -1 y 2, 3 Є N mientras que (-1) Є N.

2. Ley Asociativa: Se dice que un operador binario * en un conjunto S es asociativo si:

( x * y ) * z = x * (y * z ) para toda x, y, z Є S.

3. Ley Conmutativa: Se dice que un operador binario * en un conjunto S es conmutativo si:

x * y = y * x para toda x, y Є S

4. Elemento de Identidad: Se dice que un conjunto de S tiene elemento de identidad con respecto a la operación binaria * en S si existe un elemento e Є S con la propiedad:

e * x = x * e = x para toda x Є S

Ejemplo: El elemento 0 es un elemento de identidad con respecto a la operación + en el conjunto de enteros I = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Ya que:

x + 0 = 0 + x = x para toda x Є I

5. Inverso: Se dice que un conjunto S, que tiene un elemento de identidad e con respecto a un operador binario *, tiene un inverso si para cada x Є S existe un elemento y Є S tal que:

x * y = e

Ejemplo: En el conjunto de enteros I con e = 0, el inverso del elemento a es (-a) ya que a + (-a) = 0.

6. Ley Distributiva: Si * y . son dos operadores binarios en un conjunto S, se dice que * es distributivo con respecto a . si:

x * (y . z) = (x * y) . (x * z)

POSTULADO/POSTULADO/TEOREMATEOREMA

OR (SUMA)OR (SUMA) AND (MULTIPLIC.)AND (MULTIPLIC.)

Postulado 2Postulado 2

Postulado 5Postulado 5

Teorema 1Teorema 1

Teorema 2Teorema 2

Teorema 3, Teorema 3,

InvoluciónInvolución

Postulado 3, Postulado 3,

ConmutativoConmutativo

Teorema 4, Teorema 4,

AsociativoAsociativo

Postulado 4, Postulado 4,

DistributivoDistributivo

Teorema 5, Teorema 5,

DeMorganDeMorgan

Teorema 6, Teorema 6,

AbsorciónAbsorción

(a) x + 0 = x(a) x + 0 = x

(a) x + x’ = 1(a) x + x’ = 1

(a) x + x = x(a) x + x = x

(a) x + 1 = 1(a) x + 1 = 1

(x’)’ = x(x’)’ = x

(a) x + y = y + x(a) x + y = y + x

(a) (a) x + (y + z) = (x + y) + zx + (y + z) = (x + y) + z

(a) x (y + z) = xy + xz(a) x (y + z) = xy + xz

(a) (x + y)’ = x’y’(a) (x + y)’ = x’y’

(a) x + xy = x(a) x + xy = x

(b) x . 1 = x(b) x . 1 = x

(b) x . x’ = 0(b) x . x’ = 0

(b) x . x = x(b) x . x = x

(b) x . 0 = 0(b) x . 0 = 0

(b) xy = yx(b) xy = yx

(b) x (yz) = (xy) z(b) x (yz) = (xy) z

(b) (b) x + yz = (x + y) (x + x + yz = (x + y) (x +

z)z)

(b) (xy)’ = x’ + y’(b) (xy)’ = x’ + y’

(b) x (x + y) = x(b) x (x + y) = x

EJERCICIO:

SIMPLIFICAR MEDIANTE EL ALGEBRA DE BOOLE LOS SIGUIENTES TERMINOS

a) xy + xy´=

b) (x + y)(x + y’) =

c) xyz + x’y + xyz’ =

d) zx + z´x’y =

e) (A + B)’ (A’ + B’)’ =

f) y(wz’ + wz) + xy =

1. x + x’y =

2. x(x’ + y)=

3. x’y’z + x’yz + xy’=

4. xy + x’z + yz

5. (x + y)(x’ + z)(y + z)=

1. x + y

2. xy

3. x’z + xy’

4. xy + x’z

5. (x + y)(x’ + z)

a) x

b) X

c) Y

d) z(x + y)

e) 0

f) y(x + w)

Sumas de Productos (SP)Sumas de Productos (SP)

F= ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD F es suma de productos

Sea una función F(ABCD) que sólo es 1 para los casos:0011, 1011, 1110, 1111

Cuando ABCD=0011, únicamente la expresión producto ABCD es 1.

Cuando ABCD=1011, únicamente la expresión producto ABCD es 1

…y así sucesivamente… resultando que

Productos de Sumas (PS)

F=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

Cuando ABCD=0010, sólo la suma A+B+C+D es 0.

Cuando ABCD=0100, sólo la suma A+B+C+D es 0, …

…y así sucesivamente…

La función F es 0 (o bien F es 1)

cuando ABCD=0010

o cuando ABCD=0100

o cuando ABCD=0111

o cuando ABCD=1010

o cuando ABCD=1101

y en ningún otro caso más.

F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)

F es producto de sumas

De Morgan

Sea una función F(ABCD) que sólo es 0 para los casos:0010, 0100, 0111, 1010, 1101

• Se usa para minimizar el número de puertas requeridas en un circuito digital. Es adecuado en vez de usar leyes y propiedades cuando el circuito es grande y/o la función es de entre 3 a 6 variables

• Un MK contiene en la misma tabla de verdad de la función pero dispuesta en dos dimensiones.

• Celdas adyacentes: En direcciones y, dependiendo del tamaño del MK, la adyacencia puede existir doblando el mapa sobre sí mismo o mediante reflexión en ejes verticales y horizontales

• Emplea un código Gray, que se caracteriza porque entre los códigos consecutivos de celdas adyacentes se diferencian en 1 bit.

Minimización de funciones lógicas Mapa de Karnaugh

3 var

4 var5 var

Espejo

Mapas de Karnaugh de 3 Mapas de Karnaugh de 3 variablesvariables

00 01 11 10

0

1

A

A

B C B C B C B CCódigo Gray

0 1 3 2

4 5 7 6

1 1 1

1 1

0

00

• Una celda a 1 implica a 3 variables

• Dos celdas adyacentes a 1 implican a 2 variables

• Cuatro celdas adyacentes a 1 implican a 1 variable

• Ocho celdas adyacentes a 1 constituyen función de valor 1

F = C + AB

Mapa de Karnaugh de 4 Mapa de Karnaugh de 4 variablesvariables

Código Gray

A B

A B

A B

A B

C D C D C D C D

00

01

11

10

00 01 11 10

•Una celda a 1 implica a 4 variables

•Dos celdas adyacentes a 1 implican a 3 variables

•Cuatro celdas adyacentes a 1 implican a 2 variables

•Ocho celdas adyacentes a 1 implican a 1 variable

•Dieciséis celdas adyacentes a 1 constituyen función de valor 1

Ejemplo 1.Ejemplo 1.

X = A B C D + A B C D + A B C D + A B C X = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D +D +

A B C D + A B C D A B C D + A B C D 00 01 11 10

C D C D C D C D

1

1

1

1

1

1

X = ABD + ABC + CD

Intentar con reducciones booleanas

00

01

11

10

Código Gray

A B

A B

A B

A B

00 01 11 10

Ejemplo 2.Ejemplo 2. Z = B C D + B C D + C D + B C D + A Z = B C D + B C D + C D + B C D + A

B CB C

A B

A B

A B

A B

C D C D C D C D

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

X = C + A B + B D

00

01

11

10

00 01 11 10

Mapa de Karnaugh de 5 Mapa de Karnaugh de 5 variablesvariables

•Una celda a 1 implica a 5 variables

•Dos celdas adyacentes a 1 implican a 4 variables

•Cuatro celdas adyacentes a 1 implican a 3 variables

•Ocho celdas adyacentes a 1 implican a 2 variables

•Dieciséis celdas adyacentes a 1 implican a 1 variable

SIMPLIFICACIÓN POR KARNAUGHSIMPLIFICACIÓN POR KARNAUGH

1) Realizar agrupaciones de 1's, con sus adyacentes, lo 1) Realizar agrupaciones de 1's, con sus adyacentes, lo mayor posibles, pero siempre en cantidades mayor posibles, pero siempre en cantidades potencias de 2potencias de 2..

2) No dejar ningún 1 sin agrupar. Puede ocurrir que un 2) No dejar ningún 1 sin agrupar. Puede ocurrir que un 1 pertenezca a más de una agrupación. No se pueden coger 1 pertenezca a más de una agrupación. No se pueden coger agrupaciones totalmente contenidas en otras.agrupaciones totalmente contenidas en otras.

3) Por cada agrupación de 1's resulta un producto de 3) Por cada agrupación de 1's resulta un producto de variables. Cuanto más 1's se agrupen, más sencilla resultará variables. Cuanto más 1's se agrupen, más sencilla resultará la expresión de esa agrupación. la expresión de esa agrupación.

4) En cada agrupación, cada una de las variables 4) En cada agrupación, cada una de las variables puede aparecer en alguno de los siguientes casos:puede aparecer en alguno de los siguientes casos:

a) Si siempre vale 1 -----> Se pone afirmada.a) Si siempre vale 1 -----> Se pone afirmada. b) Si siempre vale 0 -----> Se pone negada.b) Si siempre vale 0 -----> Se pone negada. c) Si cambia de valor (50% de los casos un valor y el c) Si cambia de valor (50% de los casos un valor y el

otro 50% otro valor) -----> No se pone. otro 50% otro valor) -----> No se pone. 5) La expresión de la función booleana será la suma 5) La expresión de la función booleana será la suma

lógica de todos los productos que hayan salido (expresión lógica de todos los productos que hayan salido (expresión como Suma de Productos)como Suma de Productos)

Compuertas lógicasCompuertas lógicas

Una Una puerta lógicapuerta lógica, o , o compuerta compuerta lógicalógica, es un dispositivo , es un dispositivo electrónico el cual es la expresión electrónico el cual es la expresión física de un operador booleano en la física de un operador booleano en la lógica de conmutación. Cada puerta lógica de conmutación. Cada puerta lógica consiste en una red de lógica consiste en una red de dispositivos interruptores que dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son para el operador particular. Son esencialmente circuitos de esencialmente circuitos de conmutación integrados en un chip.conmutación integrados en un chip.

Claude Elwood Claude Elwood Shannon experimentaba con relés o Shannon experimentaba con relés o interruptores electromagnéticos para interruptores electromagnéticos para conseguir las condiciones de cada conseguir las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana función booleana YY (AND) colocaba  (AND) colocaba interruptores en circuito serie, ya que interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de éstos que tuviera la con uno solo de éstos que tuviera la condición «abierto», la salida de la condición «abierto», la salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una para la implementación de una compuerta compuerta OO (OR), la conexión de los  (OR), la conexión de los interruptores tiene una configuración interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.en circuito paralelo.

La tecnología microelectrónica actual La tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración permite la elevada integración de transistores actuando como de transistores actuando como conmutadores en redes lógicas conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito dentro de un pequeño circuito integrado. El chip de la CPU es una integrado. El chip de la CPU es una de las máximas expresiones de este de las máximas expresiones de este avance tecnológico.avance tecnológico.

En nanotecnología se está En nanotecnología se está desarrollando el uso de desarrollando el uso de una compuerta lógica molecular, que una compuerta lógica molecular, que haga posible la miniaturización de haga posible la miniaturización de circuitos.circuitos.

Compuertas LógicasCompuertas LógicasLas más simples: AND, OR, y NOT.Las más simples: AND, OR, y NOT.

Se corresponden exactamente con Se corresponden exactamente con las funciones booleanas que vimoslas funciones booleanas que vimos

Compuertas lógicasCompuertas lógicas NANDNAND y y NORNOR son son

dos compuertas muy dos compuertas muy importantes. importantes.

Con la identidad de Con la identidad de De Morgan se De Morgan se pueden implementar pueden implementar con con ANDAND u u OROR..

Son más baratas y Son más baratas y ambas por sí solas ambas por sí solas son un conjunto son un conjunto adecuado para la adecuado para la lógica proposicional. lógica proposicional. Es decir que Es decir que cualquier operador se cualquier operador se puede escribir puede escribir usando cualquiera de usando cualquiera de ellas.ellas.

ANDAND

La puerta lógica La puerta lógica YY, más conocida por , más conocida por su nombre en inglés su nombre en inglés ANDAND, realiza la , realiza la función booleana de producto lógico. función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.y se lee A y B o simplemente A por B.

La ecuación característica que La ecuación característica que describe el comportamiento de la describe el comportamiento de la puerta AND es:puerta AND es:

Sus circuitos son los Sus circuitos son los siguiente: siguiente:

Símbolo de la función lógica Y:a)Contactos, b) Normalizado c)c) No normalizado

Tabla de verdad puerta AND Tabla de verdad puerta AND

Entrada    

Entrada    

Salida         

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

OROR

La puerta lógica La puerta lógica OO, más conocida por , más conocida por su nombre en inglés su nombre en inglés OROR, realiza la , realiza la operación de suma lógica. operación de suma lógica.

La ecuación característica que La ecuación característica que describe el comportamiento de la describe el comportamiento de la puerta OR es: puerta OR es:

Puerta OR con transistores

Símbolo de la función lógica O: Símbolo de la función lógica O:

a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizadoa) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizado

Tabla de verdad puerta OR Tabla de verdad puerta OR

Entrada       Entrada       Salida                 

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

NO (NOT)NO (NOT)

La puerta lógica La puerta lógica NONO((NOTNOT en inglés)  en inglés) realiza la función booleana de realiza la función booleana de inversión o negación de una variable inversión o negación de una variable lógica. Una variable lógica lógica. Una variable lógica AA a la cual  a la cual se le aplica la negación se pronuncia se le aplica la negación se pronuncia como "no A" o "A negada". como "no A" o "A negada".

La ecuación característica que La ecuación característica que describe el comportamiento de la describe el comportamiento de la puerta NOT es: puerta NOT es:

Símbolo de la función lógica NO:Símbolo de la función lógica NO:

a) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizadaa) Contactos, b) Normalizado y c) No normalizada

Tabla de verdad puerta NOT Tabla de verdad puerta NOT

Entrada    

Salida    

0 1

1 0

Puerta NOT con transistores Puerta NOT con transistores

Algebra de BooleAlgebra de Boole Las variables y constantes booleanas sólo pueden tener Las variables y constantes booleanas sólo pueden tener dos valores dos valores

posiblesposibles que se emplean para representar el nivel de voltaje presente que se emplean para representar el nivel de voltaje presente en los terminales de entrada y salida de un circuitoen los terminales de entrada y salida de un circuito

Nivel de voltaje bajo Nivel de voltaje altoFalso / Desactivado Verdadero / ActivadoNo / interruptor abierto Si / interruptor cerrado(0) (1)

Representación de un Circuito

Batería Foco

A

Batería Foco

B

A = 0 (off) B = 1 (on)

Compuertas lógicasCompuertas lógicas

Adición o suma lógicaAdición o suma lógica Llamada operación OR.Llamada operación OR. Corresponde a la disyunción de proposiciones en Corresponde a la disyunción de proposiciones en

lógica y a la unión de conjuntos.lógica y a la unión de conjuntos. Su símbolo es +Su símbolo es + El dispositivo electrónico que ejecuta esta El dispositivo electrónico que ejecuta esta

operación se denomina compuerta OR y su operación se denomina compuerta OR y su representación es:representación es:

or

Compuertas lógicasCompuertas lógicas Multiplicación o producto lógicoMultiplicación o producto lógico

Llamada operación AND.Llamada operación AND. Corresponde a la conjunción de proposiciones en lógica y a Corresponde a la conjunción de proposiciones en lógica y a

la intersección de conjuntos.la intersección de conjuntos. Su simbolo es *Su simbolo es * El dispositivo electrónico que ejecuta esta operación se El dispositivo electrónico que ejecuta esta operación se

denomina compuerta AND y su representación es:denomina compuerta AND y su representación es:

and

Compuertas lógicasCompuertas lógicas Complementación o inversión lógicaComplementación o inversión lógica

Llamada operación NOT.Llamada operación NOT. Corresponde a la negación de una proposición en lógica o a Corresponde a la negación de una proposición en lógica o a

la complementación de conjuntos.la complementación de conjuntos. Su símbolo es el apóstrofo. ( ‘ )Su símbolo es el apóstrofo. ( ‘ ) El dispositivo electrónico que ejecuta esta operación es un El dispositivo electrónico que ejecuta esta operación es un

inversor y su representación es:inversor y su representación es:

not

Compuertas lógicasCompuertas lógicas

or andnot

a b a+b

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

a b a*b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

a a´

1 0

0 1