algebra 06
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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL.Es una desigualdad que tiene la forma general.
Conjunto SolucinEn el conjunto solucin, esta dado por los valores reales de la variable , que satisface la inecuacin dada.
Ejemplo: Hallar el conjunto solucin de la inecuacin Solucin:
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REALLa inecuacin cuadrtica o de segundo grado en una variable real presenta la siguiente forma general.
SOLUCIN GENERALPara resolver una inecuacin de segundo grado es recomendable que en caso contrario multiplicar por y la desigualdad se invierte. Luego teniendo en cuenta el discriminante se presentan los casos.1. Si se cumple: 2. Si se cumple: 3. Si La inecuacin se resuelve por puntos crticos, pues el trinomio siempre es factorizable (ya sea por factorizacin o utilizando la formula de baskara) en el campo de los nmeros reales. El procedimiento es: Pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro. Se factoriza la expresin, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos crticos. Estos puntos crticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos y en forma alternada empezando de derecha a izquierda. La solucin de la inecuacin estar expresada por las zonas positivas si el sentido de la desigualdad original es mayor que o mayor o igual o por las zonas negativas si es que el sentido de la desigualdad original es menor que o menor o igual que
Ejemplo: Resolver Solucin: multiplicando por se tiene (la desigualdad se invierte)Hallando los puntos crticos: Ubicando los puntos crticos en la recta real y asignando los signos y
-+310+-+
Teorema: Si el trinomio tiene discriminante , entonces Ejemplo: Resolver
Solucin: El trinomio tiene discriminante Entonces luego la ecuacin original es equivalente e resolver
-+-45++-
VALOR ABSOLUTODEFINICIN: El valor absoluto de un nmero real a esta definido por:
Propiedades:1. 2. 3. 4. 5. 6. ; 7. ; ;8. 9. ; (Desigualdad triangular)ECUACINES CON VALOR ABSOLUTOPara resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.1. 2. Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin:
Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin:
INECUACINES CON VALOR ABSOLUTOPara resolver inecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.1. 2. 3. 4. 5. 6. Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin: .. Propiedad 1
Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de . Propiedad 2Solucin:
Interceptando)
Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin: .. Propiedad 3
Ejemplo: Encontrar el conjunto solucin de Solucin: .. Propiedad 6
EJERCICIOS
CEPRU UNSAAC ALGEBRA CEPRU UNSAAC ALGEBRA
57CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO
64CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO
65CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO1. El conjunto solucin de:
Rpta.: .
2. El conjunto solucin de:
Rpta.: .
3. El conjunto solucin de:
Rpta.: .
4. El conjunto solucin de:
Rpta.: .
5. El mayor valor entero que satisface al sistema:; es:Rpta.: 26.
6. Para que valores de x se verifica la siguiente inecuacin:
Rpta.: .
7. Resolver: Rpta.: .
8. Resolver:. Sealando el menor valor que puede tener x.Rpta.: .
9. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
10. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
11. El conjunto solucin de la inecuacin: , es:Rpta.: .
12. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
13. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
14. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
15. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
16. Resolver: y hallar su conjunto solucin: Rpta.: .
17. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.:
18. Para que valores de en la inecuacin cuadrtica siguiente se cumple que para todo : .Rpta.: .
19. Determinar el valor de a tal que la inecuacin: ; se verifique .Rpta.: 0.
20. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
21. Al resolver:
. El conjunto solucin; es.
Rpta.:
22. Cuntas de las siguientes proposiciones son verdaderas?I. tiene II. tiene III. tiene IV. tiene
23. Hallar el valor de k, si la ecuacin Tiene solucin nica.
24. Resolver
25. Resolver
26. Al resolver: , el conjunto solucin, es:Rpta.: .
27. Al resolver: , indicar la solucin negativa.Rpta.: .
28. El conjunto solucin de: , es.Rpta.: .
29. Al resolver: , el conjunto solucin, es:Rpta.: .
30. Resolver: ; siendo el conjunto solucin , indicar .Rpta.: 6.
31. Resolver: ; siendo el conjunto solucin , indicar .Rpta.: 81.
32. La suma de las soluciones de la ecuacin:, es:Rpta.: .
33. La suma de las soluciones de la ecuacin: , es:Rpta.: .
34. El producto de las races de la ecuacin: , es:Rpta.: .35. El producto de las races de la ecuacin: , es:Rpta.: .36. Sealar el menor valor entero positivo que verifique la inecuacin: .Rpta.: .37. Al resolver: , el conjunto solucin, es:Rpta.: .
38. El conjunto solucin de: , es: Rpta.:.
39. Determinar la suma de las soluciones de la inecuacin: .Rpta.: .
40. Hallar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
41. Determinar el conjunto solucin de:
Rpta.: .
42. Sealar la suma de las soluciones enteras: Rpta.: .
43. El conjunto solucin de la inecuacin:
Rpta.: .
44. El conjunto solucin de la inecuacin:
Rpta.:.
45. El conjunto solucin de la inecuacin:
Rpta.:.
46.
Calcular: ; si.Rpta.: 1.
47. La solucin de:; es. Rpta.: 0.
48. El valor de la expresin:
Si ; es. Rpta.: 5.
49. El conjunto solucin de la Inecuacin:
; es.
Rpta.:
50. Determinar el conjunto solucin de la ecuacin:
.
Rpta.:
51.
Al resolver la inecuacin: Se obtiene por conjunto solucin . Hallar el valor de: .Rpta.: 50.
52. Conjunto solucin de:
; es.
Rpta.:
53. La solucin de:
; es.
Rpta.: 54. Si ; determinar su conjunto solucin.
Rpta.:
55. Al resolver , el conjunto solucin, es:
Rpta:
56. El conjunto solucin de la inecuacin , es:Rpta:[5,+
57. El conjunto solucin de la inecuacin , es:Rpta: ,3]
58. El conjunto solucin de
, es:Rpta:,1
59. El conjunto solucin de la inecuacin , es:Rpta:4,+
60. Resolver la inecuacin Rpta. [1,+
61. Resolver
Rpta.
62. Resolver la inecuacin
Rpta:
63. Cuntos valores enteros cumplen con la inecuacin Rpta:6
64. Resolver
Rpta:65. Cuntos valores enteros satisfacen la inecuacin ?Rpta:4
66. La suma de los valores enteros que cumplen con la desigualdad , es:Rpta:9
67. El conjunto solucin de la inecuacin , es:
Rpta:
68. El conjunto solucin de la inecuacin , es:
Rpta:
69.
Si . Hallar tal que .Rpta:1/5
70. El conjunto solucin de la inecuacin , es
Rpta: 71.
Entre que lmites debe variar para que la inecuacin se verifique para todo valor real de .
Rpta:
72. El conjunto solucin de la inecuacin , es:
Rpta:
73. Determinar el mayor valor de k en:
Rpta: 4
74. Resolver:
Rpta: -7/5,+
75. Al resolver: , se obtiene:
Rpta: x[-7,-6]U[6,7]
76. Resolver la ecuacin: Rpta: {-3,3}
77. Hallar el menor valor entero positivo que verifica la desigualdad:
Rpta: 4
78. El conjunto solucin de la inecuacin: , es:Rpta:
79. Si x es un nmero real que verifica: , este nmero. A que conjunto pertenece?
Rpta: -,-3U[8,+
80. El nmero real que satisface a la ecuacin: , es:
Rpta: 4
81. Cul es el mayor nmero entero x que verifia: ?Rpta: 0
82. El conjunto solucin de: ,Rpta: -1/3, 3
83. El conjunto solucin de la inecuacin,
, es:Rpta: -,-1/2]
84. Resolver:
Rpta: -3,-1U{2}
85. Determinar el menor de los nmeros enteros M que satisface la inecuacin:
.Rpta: 7
86. Determinar el conjunto solucin de la desigualdad:
.Rpta: 2,4-{3}