acetato unidad 1

Modelado de Sistemas Unidad 1

UNIDAD I

CONCEPTOS BÁSICOS

Objetivos particulares de la unidad

El alumno utilizará tanto la terminología que involucra el modelado de los

sistemas físicos, como su relación con los sistemas de control.

1 de 46


1.1. Introducción

El estudio del comportamiento dinámico de los sistemas físicos

ha ocupado un lugar importante dentro de la ingeniería, ya que

trata una cantidad considerable de situaciones que se presentan

de manera frecuente en el ejercicio profesional de los ingenieros.

En esta área de estudio se combinan las bases teóricas

adquiridas en los cursos de física y matemáticas en general,

especialmente en mecánica, termodinámica, ecuaciones

diferenciales, cálculo diferencial e integral y álgebra.

Por consiguiente la primera gran tarea de la ingeniería de control

es obtener un modelo del sistema en estudio; es decir, reducir el

sistema físico a un conjunto de ecuaciones matemáticas, las

cuales puedan incluir derivadas ordinarias y parciales con o sin

retardo, variantes o invariantes en el tiempo entre otras

características. Con la finalidad de poder experimentar con este

modelo todos los posibles eventos que puedan ocurrir al sistema,

el análisis se puede dividirse en tres aspectos:

2 de 46


1) El desarrollo de un modelo matemático apropiado para el

problema físico de que se trate. Esta parte del análisis se

dedica a la obtención de “ecuaciones de movimiento”,

condiciones iniciales o de frontera, valores de parámetros, etc.

En este proceso es donde el juicio, la experiencia y los

experimentos se combinan para lograr el desarrollo de un

modelo apropiado. En cierta forma, esta primera etapa es la

más difícil de desarrollar formalmente.

2) Después de obtener un modelo apropiado, se resuelven las

ecuaciones resultantes para encontrar soluciones de diversas

formas.

3) Finalmente, la solución del modelo matemático se debe

relacionar o interpretar en función del problema físico. Es

conveniente que el desarrollo del modelo matemático sea tan

exacto que se puedan hacer interpretaciones y predicciones

significativas concernientes al sistema físico.

3 de 46


1.2. Definición de términos.

Sistema.- El tratar de definir de una manera general lo que

entendemos por sistema, tiene cierta dificultad debido

fundamentalmente a la existencia de una gran variedad de significados

e interpretaciones. Como consecuencia de la gran diversidad donde se

aplica. Se utiliza en el área de las ciencias exactas, sociales,

humanísticas, administrativas, financieras y medico-biológicas; sin

embargo con la finalidad de utilizar un concepto de sistema de la mejor

manera posible a continuación se dan algunas de las definiciones más

afines:

I. Sistema es un conjunto de elementos que se interrelacionan

para llevar a cabo una actividad o tarea determinada.

II. Sistema es la combinación de elementos que actúan de manera

conjunta para realizar una función definida, que no podría

llevarse a cabo por alguno de los elementos o parte que lo

integran.

III. La enciclopedia Americana, manifiesta que un sistema es una

conjunto de objetos que forman un todo y se combinan, ya sea

de manera natural o por medio de la acción del hombre.

4 de 46


IV. Uno de los significados o interpretaciones utilizada con más

frecuencia en el estudio de sistemas dinámicos y que puede

considerarse como una definición, aunque no tan general como

las anteriores, es la siguiente: un sistema es una entidad

formada por un conjunto de entradas y de salidas, con una

relación bien definida entre estos dos conjuntos. Tal como se

muestra en forma sintetizada en la Figura 1.

Figura 1. Proceso para la fabricación de domésticos.

En una fábrica se procesan tres equipos domésticos los cuales son:

licuadoras, exprimidores y hornos. Conociendo el proceso de

fabricación de los equipos se puede representar el sistema por medio

de un esquema donde las entradas serán las materias primas y las

salidas serán los equipos domésticos y, la relación entre estos

conjuntos (entradas y salidas) se establece mediante el maquinado de

las partes necesarias y la integración de piezas y partes.

5 de 46


Sistema de control.-Sí la palabra Control generalmente se usa para

designar regulación, dirección o comando. Entonces al combinar el

concepto de sistema con la palabra control, se tiene que:

Un sistema de control.- Es un conjunto de arreglos de componentes

físico conectados de tal manera que el arreglo se pueda comandar,

dirigir o regular a sí mismo o a otro sistema.

Dos términos que definen a un sistema de control:

La entrada.- Es él estimulo o excitación que se aplica a un sistema

desde una fuente de energía externa, generalmente con el fin de

producir una respuesta especifica.

La salida.- Es la respuesta obtenida del sistema, esta puede ser igual

o diferente al valor de la respuesta esperada.

El propósito para el que esta destinado el sistema de control

generalmente lo determina o define la entrada y la salida. Es decir,

que es posible determinar o definir la naturaleza de los componentes

del sistema si se conocen sus entradas y sus salidas.

Modelado.- Es la descripción matemática de un sistema por una

aplicación directa de leyes físicas establecidas.

6 de 46


Proceso.- Es la secuencia de operaciones, caracterizada por un

conjunto de cambios graduales que llevan a un resultado o estado final

a partir de un estado inicial de un sistema.

Servomecanismo.- Sistema de control retroalimentado cuya variable

de salida es una posición mecánica. La palabra servomecanismo, esta

compuesta de las palabras siervo (esclavo) y mecanismo. Así la

palabra servomecanismo significa mecanismo esclavo.

Actuador.- Elemento físico que lleva a cabo la acción de control dentro

de un proceso.

Simulación.- Es un componente de un conjunto básico de

herramientas de computación que pueden facilitar significativamente

las tareas a un diseñador de sistemas. Las técnicas de simulación que

se describen por lo general son para el estudio de los sistemas de

tiempo continuo.

Sistema en tiempo real.- Los Sistemas de Tiempo Real (STR) son

parte importante de nuestra vida diaria, gracias a ellos se tiene energía

eléctrica, transportes, y muchos productos y servicios que nos hacen

la vida más fácil. Los STR son imprescindibles en la sociedad actual,

tanto que paradójicamente no nos damos cuenta de que están aquí

presentes.

7 de 46


Una definición que presentan Alan Burns y Andy Wellings de STR

es la siguiente: “Un sistema en Tiempo Real es cualquier sistema

donde el tiempo en que se produce su salida es significante. Esto

es debido a que generalmente la entrada corresponde a algún

instante del mundo físico y la salida tiene relación con ese mismo

instante. El retrazo transcurrido entre la entrada y la salida debe

ser lo suficientemente pequeño para considerarse una respuesta

puntual”.

Figura 1.4. Diagrama de bloques de un sistema de tiempo real genérico.

8 de 46


Emulador.- No es más que un programa mediante el cual podremos

cargar el software de sistemas antiguos y usarlo tranquilamente en

nuestro ordenador exactamente igual (o casi igual) que lo hacíamos en

años pasados. Eso quiere decir que un emulador se limita a imitar lo

más fielmente el funcionamiento interior de nuestras añoradas

máquinas y hacerlo accesible a nuestro flamante PC.

Función de transferencia.- Es una representación matemática, que se

emplea con mucha frecuencia en el estudio de los sistemas de control,

para indicar la relación que existe entre las magnitudes de entrada y

de salida.

Se define como el cociente de la transformada de Laplace de las

magnitudes de entrada y de salida, suponiendo que todas las

condiciones iniciales son cero.

Para este caso, se tiene que la función de transferencia del sistema

está dada por:

O también:

9 de 46


Figura 1.5. Representación esquemática de F(s).

Donde:

X(s) Es la entrada aplicada al sistema.

Y(s) Es la salida producida por el sistema.

F(s) Es la función de transferencia del sistema.

X(0) Es el estado inicial del sistema, que en esta caso

se considera ………………………..nulo.

De lo anterior se tiene que la salida producida por el sistema está

dada por:

Por tanto:

10 de 46


1.3. Clasificación de los sistemas.

Los sistemas se clasifican de la siguiente manera:

Estáticos y dinámicos.- En los primeros la salida producida en un

tiempo determinado depende de manera única de la entrada

aplicada en ese mismo tiempo. También a este tipo de sistema se

le conoce como sistema algebraico o sistema sin memoria y se

representa por ecuaciones algebraicas. Mientras que a los

segundos se les conocen como sistemas con memoria y, son

aquellos en los que en un tiempo t la salida depende de la entrada

aplicada en ese mismo tiempo y tiempos anteriores. Se

representan con ecuaciones diferenciales.

1.3.1.- Parámetros distribuidos, parámetros concentrados.

Sistemas de parámetros distribuidos.- Son aquellos en que la

variable primitiva del sistema dependerá de otra variable

(distancia, espacio o desplazamiento). Es decir, hay dos variables

de las que dependerá el sistema.

11 de 46


Sistemas de parámetros concentrados.- Son aquellos en que los

cambios están en función del tiempo.

1.3.2.- Deterministicos, Estocásticos.

Los sistemas deterministicos.- Son los que tienen una entrada y

se conoce la salida.

Los sistemas estocásticos.- Son los que tienen una entrada y no

se conoce la salida, además tiene variables aleatorias que se

pueden estudiar.

1.3.3.- Tiempo continuo, Tiempo discreto.

Sistemas continuos.- Si las repuestas de un sistema son

funciones del tiempo, son continuos en el tiempo.

Sistemas discretos.- Son aquellos donde las señales tanto de

entrada como de salidas son discontinuas en el tiempo.

12 de 46


1.3.4.- Lineales, No lineales.

Sistemas lineales.- Son aquellos que cumplen con el principio de

superposición y, son representados por ecuaciones diferenciales

ordinarias lineales.

Sistemas no lineales.- Son aquellos que no cumplen el principio

de superposición y, se representan por ecuaciones diferenciales

ordinarias no lineales.

1.3.5.- Variantes en el tiempo, Invariantes en el tiempo.

Variantes en el tiempo.- Los parámetros que intervienen en sus

modelos matemáticos presentan características dinámicas. Es

decir, que los parámetros varían en función del tiempo y, se

representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con

coeficientes variables.

Invariantes en el tiempo.- Los parámetros que intervienen en sus

modelos matemáticos presentan características de no

dependencia del tiempo y, se representan por medio de

ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes

constantes.

13 de 46


1.3.6.- Homogéneos, No homogéneos.

Homogéneos.- Son aquellos sistemas lineales que cumplen con la

propiedad que se llama homogeneidad, que de manera intuitiva

consiste en que un sistema lineal es aquél en el cual la salida es

en cierta forma proporcional a la entrada. Es decir, si para la

entrada se obtiene la salida , entonces para se

obtendrá cualquiera que sea la constante .

No homogéneos.- Son aquellos sistemas que cumplen con el

principio de superposición pero no necesariamente con la

propiedad de homogeneidad. Sin embargo, en la realidad éstos

son ejemplos raros que no tienen representación física. Debido a

esto, será suficiente verificar la superposición para comprobar la

linealidad de una relación entrada-salida.

14 de 46


1.4. Diferentes representaciones de los modelos matemáticos

SISO y MIMO.

Los sistemas físicos pueden tener una sola entrada y una sola

salida o pueden ser multivariables (tener varias entradas y varias

salidas). El modelo matemático de los primeros es el denominado

“SISO” y el modelo matemático de los segundo es el denominado

“MIMO”.

Por otra parte, el tipo de representación que es de interés en el

estudio de los sistemas dinámicos usualmente se hace en base

en la conveniencia. Es decir, la selección de la representación a

emplearse dependerá del tipo de sistema que se pretenda

estudiar. Además, del tipo de análisis que se desee practicar

sobre éste.

1.4.1.- Representación en ecuaciones diferenciales.

Es una representación matemática de algún fenómeno físico, que

se establece en función de las leyes que lo rigen dependiendo de

la naturaleza de cada uno de los elementos que en él intervienen.

Por ejemplo, el modelo matemático del sistema eléctrico formado

por una resistencia, una inductancia y una capacitancia

alimentados por una fuente de voltaje como se muestra a

continuación:

15 de 46


En donde las variables

seleccionadas para modelar son:

a) El voltaje en el capacitor

b) La corriente en la inductancia

En función de : En función de :

En ambos casos, se obtiene una ecuación diferencial ordinaria

con coeficientes constantes que describe las principales

características y propiedades del sistema eléctrico

en estudio. Se debe recordar que un modelo matemático de un

sistema de cualquier naturaleza, deberá ser un reflejo, lo más fiel

posible de su comportamiento del físico

16 de 46


1.4.2.- Representación en variables de estado.

Un modelo de estado es una ecuación diferencial que se expresa

en un formato especial que ofrece un método unificado para el

estudio de los sistemas de control. El modelo de estado es

particularmente ventajoso cuando se aplica en la simulación, ya

que proporciona el fundamento matemático para un importante

conjunto de técnicas de análisis y diseño. Si un sistema es lineal,

el modelo de estado se puede expresar utilizando una ecuación

matricial que mantiene el mismo formato sin tomar en

consideración el orden del sistema.

Así, se pueden describir metodologías generalizadas que son

independientes del orden del sistema. Una de las características

particularmente importantes y útil de los modelos de estado es la

facilidad relativa de conversión a un modelo equivalente en

tiempo discreto. Además de proporcionar una interacción eficaz

con las técnicas digitales, la utilización de este modelo permite la

consideración simultánea de entradas múltiples, salidas múltiples

y condiciones iniciales no nulas.

17 de 46


A continuación se ilustra un ejemplo de un circuito RLC en serie:

Seleccionando las variables que

están relacionadas directamente al

almacenamiento de energía, las

dos variables de estado deseadas

son y . El siguiente paso es

obtener dos ecuaciones de primer orden que contengan la

primera derivada de las variables de estados seleccionadas. La

escritura de una ecuación de malla que está cuidadosamente

limitada a una relación de primer orden proporciona:

Ahora se requiere de otra ecuación diferencial de primer orden.

Como la primera ecuación no incluye la relación entre la tensión y

la corriente en el condensador, la segunda relación (expresada

como una ecuación diferencial) es:

18 de 46


Si se reagrupan las ecuaciones para despejar las respectivas

derivadas se obtiene:

y

Expresando las relaciones combinadas de las anteriores

ecuaciones y, utilizando la notación matricial se proporciona la

formación deseada con:

El desarrollo del modelo se puede extender a un sistema de

orden. Suponiendo que son variables de estados

y son entradas, un sistema lineal de orden con

coeficientes constantes se puede describir como ecuaciones de

primer orden tal que:

19 de 46


Con variables de estado y entradas. Aplicando la notación

matricial al modelo lineal de orden , la formación matricial se

representa:

Que se puede describir simplemente como:

20 de 46


1.4.3.- Representación en diagramas de simulación analógica.

La simulación analógica se implementa al construir circuitos

eléctricos dinámicos que son análogos al sistema que está bajo

estudio. Las entradas se introducen como formas de onda de

tensión y las salidas se generan como señales modificadas que

presentan la conducta de las variables del sistema análogo. Las

funciones de respuesta se pueden observar y registrar utilizando

un osciloscopio que se interconecta con una impresora o un

trazador gráfico. Esta técnica ha sido sustituida casi

completamente por la simulación digital en investigación y en

aplicaciones de desarrollo, pero hay características de la

simulación analógica que son particularmente adecuadas para los

estudios académicos.

Más sin embargo, en algunas de las situaciones el estudiante, al

utilizar esta técnica gana práctica en el diseño y utilización de los

circuitos analógicos.

21 de 46


Sin embargo, la precisión del cálculo analógico es dependiente de

algunos factores, incluyendo las tolerancias de elementos

pasivos y las pequeñas derivadas que se introducen por los

circuitos de los amplificadores operacionales. Si las derivadas de

los amplificadores operacionales son muy pequeñas, la precisión

de una simulación analógica depende fundamentalmente de la

precisión de los generadores de señal y de los instrumentos de

medida y de las tolerancias de los elementos de pasivos R C.

Para obtener propiedades dinámicas casi ideales los

condensadores deben presentar una capacidad casi pura (la

resistencia dieléctrica es idealmente infinita). Los materiales R C

deberían también mostrar pequeños coeficientes térmicos que

sean idealmente iguales y opuestos en signo. Una propiedad de la

operación “ganancia infinita” de los circuitos del amplificador

operacional es producir funciones de transferencia que son casi

totalmente dependientes de las características de los elementos

pasivos R C.

Así, los circuitos del amplificador operacional proporcionan

modelos que tienden a ser ideales e insensibles a las variaciones

de los circuitos activos.

22 de 46


1.4.4.- Representación en función de transferencia.

En vista de la gran variedad de técnicas de análisis y diseño que

utilizan modelos algebraicos, la capacidad de desarrollar y aplicar

modelos de función de transferencia es una habilidad

fundamental e importante. Si un sistema físico lineal es continuo,

los modelos de función de transferencia se obtienen utilizando la

transformada de Laplace, la transformada de Fourier o la

metodología de álgebra de fasores.

Estas técnicas de transformación proporcionan un cambio de

variables y todas convierten modelos de ecuaciones diferenciales

lineales a modelos algebraicos. En tal sentido la transformada de

Laplace se puede utilizar para obtener una solución general para

diferentes tipos de funciones de entrada, mientras el álgebra de

fasores es aplicable solamente con entradas sinusoidales y da

sólo la respuesta transitoria o en estado estacionario. Aunque

hay una disparidad obvia en aplicación y notación existen rasgos

comunes muy importantes entre una y otra técnica de

transformación, pero se pueden utilizar para obtener una función

de transferencia y con la excepción de la variable de

transformación, la función de transferencia es idéntica.

23 de 46


El empleo de una de las técnicas de transformación se puede ver

como una estratagema matemática que se puede utilizar para

obtener una solución de lápiz y papel o una solución simbólica.

Con este objetivo en mente, no es necesario aplicar ningún

significado físico al modelado del sistema transformado. Sin

embargo, ocurre un fenómeno útil cuando se utilizan las técnicas

de transformadas, se observa que en general las relaciones

causa-efecto son más fáciles de entender cuando se considera el

modelo del sistema transformado (en lugar de trabajar con el

modelo de ecuación diferencial). De tal forma, que es un

procedimiento común considerar conceptos de análisis y diseño

en términos de los parámetros del sistema cuando aparecen en

una función de transferencia.

Utilización de la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace es una herramienta matemática que

permite la transformación de ecuaciones diferenciales ordinarias

o ecuaciones algebraicas, facilitando con esto su manejo.

La transformada de Laplace de una función continua f(t) definida

para todo tiempo t>0 se obtiene por la integral impropia.

24 de 46


Se dice que la integral existe y es la transformada de Laplace

correspondiente de f(t), si la integral que contiene a f(t) converge

para algunos valores de la variable de la Transformada de Laplace

s, es decir si la integral converge para algunos convergerá

para toda de otra manera esta integral no existe. Las

notaciones más usuales para esta transformada son ó

Figura 1.7. Representación esquemática de la transformada de

Laplace.

El operador L transforma una función del dominio del tiempo al

dominio del tiempo t al dominio de Laplace s, y se dice que la

transformada inversa de Laplace es:

25 de 46


1.4.5.- Representación en diagramas a bloques.

En términos matemáticos, un diagrama de bloques proporciona

una representación gráfica de un conjunto de ecuaciones

algebraicas simultáneas. Está constituido por cuatro partes

principales:

a) Bloque simple.

b) Punto de suma.

c) Punto de toma.

d) Flechas.

Un bloque simple muestra la dependencia funcional de una

variable con respecto a la otra. Por lo general en un bloque se

incluye una función de transferencia parcial que a su vez puede

ser usada para generar un bloque que represente al sistema total.

Figura 1.8. Elementos de un diagrama de bloques.

26 de 46


Un punto de suma es una parte del diagrama que entrega la

diferencia de dos señales incidentes. En ocasiones este elemento

puede ser utilizado como un sumador de señales.

El punto de toma es aquél donde una salida se deriva hacia otros

elementos del diagrama. Finalmente las flechas indican la

dirección del flujo de la señal.

Procedimientos para trazar diagramas de bloques.

Para trazar adecuadamente el diagrama de bloque de un sistema

físico, se sigue un procedimiento similar al usado para la

obtención de la función de transferencia. En resumidas cuentas la

mecánica es la siguiente:

1. Escribir las ecuaciones diferenciales que representan el

comportamiento dinámico del sistema.

2. Se toma la transformada de Laplace de cada elemento con

condiciones iniciales iguales a cero.

3. Se representa a cada elemento en un bloque.

4. Juntar todos los bloques individuales para formar el sistema

completo.

27 de 46


En la figura 10 se muestra la representación canónica de un

sistema con retroalimentación, donde podemos obtener las

siguientes definiciones:

Figura 1.10. Forma canónica de un diagrama de bloques.

Donde:

G ----------- Función de Transferencia Directa.

H ----------- Función de Transferencia de Retroalimentación.

GH ----------- Función de Transferencia de Lazo Abierto.

C/R ----------- Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

E/R ----------- Razón de Error.

B/R ----------- Razón de Retroalimentación Primaria.

28 de 46


En las siguientes ecuaciones el signo - se refiere a un sistema de

retroalimentación positiva y el signo + se refiere a un sistema con

retroalimentación negativa.

C G = F. de T. de Lazo Cerrado.R 1 G H

E 1 = Razón de Error.R 1 G H

B G H = Razón de Retroalimentación Primaria.R 1 G H

Cuando H(s) = 1, estas expresiones matematicas se escriben respectivamente como:

C = G

R 1 G

E = 1

R 1 G

B = G

R 1 G

Estas ecuaciones describen la forma clásica del sistema con

retroalimentación, al cual se le conoce también como Sistemas

con Retroalimentación Unitaria.

Su representación en diagrama de bloques, se muestra a

continuación:

29 de 46


Figura 1.11. Forma clásica del diagrama de bloques.

Reglas de simplificación de diagramas de bloques.

Los diagramas de bloques de los sistemas de control, contienen

frecuentemente varias cadenas de retroalimentación, dificultándose la

obtención de su función de transferencia. Para evitar lo anterior se

emplean algunas reglas que simplifican notablemente la tarea. En la

siguiente tabla se muestran algunas de las reglas más importantes:

No DIAGRAMA ORIGINAL DIAGRAMA EQUIVALENTE

1

2

30 de 46


3

4

5

6

7

31 de 46


8

32 de 46


La aplicación de las reglas de reducción, no obedece a un método

establecido, sino más bien al acomodo y habilidad de los que las

manipula. Sin embargo se puede recomendar desplazar

inicialmente los puntos de toma u los puntos de suma, después

intercambiar los puntos de suma y finalmente reducir los lazos

internos de retorno.

EJEMPLOS:

1. Reducir el siguiente diagrama en bloques a la forma canónica y determinar:

a) G H b) C c) E d) B R R R

Reglas 4 y 6.

33 de 46


Reglas 1 y 10.

Regla 8.

Regla 1.

Forma canónica del diagrama.

34 de 46


Solución:

G1 G2 G3 G4 1 G2 G3

a) G H = (1+G1G2)( 1+G3 G4) G| G4 = (1+G1G2)( 1+G3 G4)

G1 G2 G3 G4

b) C (1+ G1G2) ( 1+ G3 G4) R = 1 + G2 G3 = G1 G2 G3 G4

(1+G1G2)( 1+G3 G4) (1+G1G2)( 1+G3 G4) + G2 G3

c) E 1 (1+G1G2)( 1+G3 G4) R = 1+ G2 G3 = (1+G1G2)( 1+G3 G4)+ G2 G3

(1+G1G2)( 1+G3 G4)

G2 G3

d) B (1+G1G2)( 1+G3 G4) G2 G3

R = 1 + G2 G3 = (1+G1G2)( 1+G3 G4) + G2 G3

(1+G1G2)( 1+G3 G4)

(1+G1G2)( 1+G3 G4) = 1+G3G4 + G1G2 + G1G2G3G4

= 1+ G1G2 + G3G4 + G1G2G3G4

35 de 46


Diagramas de bloques de sistemas de control con múltiples entradas y salidas.

Los diagramas anteriores se caracterizan por tener una entrada y una

salida, sin embargo a veces es necesario evaluar el comportamiento

del sistema, cuando se le aplica al mismo tiempo varias entradas,

algunas de las cuales pueden ser perturbaciones.

Por el principio de superposición, en un sistema lineal que tiene

varias entradas, cada una de ellas se puede tratar

independientemente, sumando luego sus efectos para dar la

salida completa.

Del diagrama anterior, haciendo R2 (s) = 0 se tiene:

CR1 G1 G2

(s) = R1 1 + G1 G2

36 de 46


Que es la respuesta del sistema, debido a la señal de referencia

R1 (s).

Haciendo que R1 (s) = 0 se tiene:

Ordenando el diagrama:

Hacer que el bloque con –1 sea absorbido por el punto de suma:

37 de 46


De donde:

CR2 G2

(s) = R2 1 + G1 G2

Sumando las respuestas de las dos señales, se obtiene la

respuesta total del sistema:

G1 G2 R1 G2 R2

C (s) = CR1 + CR2 = + 1 + G1 G2 1 + G1G2

G1 G2 R1 + G2 R2

C(s) = 1 + G1 G2

EJEMPLO:

Determinar la salida C para el siguiente sistema:

38 de 46


Para determinar CR1, hacemos R2 y R3 igual a cero:

Regla 1.

39 de 46

CR1 = G1G2 R1

1- G1G2 H1H2


Haciendo R1 y R3 = 0, se puede determinar CR2 :

Ordenado el diagrama se tiene:

40 de 46

CR2 = G2 R2

1- G1G2 H1H2


Finalmente haciendo R1 y R3 = 0, se obtiene CR3 .

Ordenando el diagrama:

Por lo tanto la salida total del sistema C es:

C = CR1 + CR2 + CR3 = G1G2R1 + G1R2 + G1G2H1H3

1- G1G2 H1H2

41 de 46

CR3 = G1G2H1 R3

1- G1G2 H1H2


1.4.6.- Representación en diagramas de flujo de señal.

Al igual que los diagramas de bloques, este es un método gráfico

de representación de ecuaciones lineales de un sistema. Para el

empleo de los gráficos de flujo de señal, se transforman las

ecuaciones diferenciales que representan al sistema en

ecuaciones algebraicas en función de la variable s, de manera

similar los diagramas de bloques. De hecho un gráfico de flujo de

señal es una forma alternativa de diagrama de bloques que

simplifica la manipulación de las ecuaciones de los sistemas más

ampliamente. El método para trazar los gráficos de flujo de señal

es idéntico al que se usa para la obtención de los diagramas de

bloques descrito anteriormente.

La diferencia consiste fundamentalmente en la forma en que se

dibujan las ecuaciones transformadas del sistema. La siguiente

figura muestra un gráfico de flujo de señal del cual podemos

definir los siguientes elementos:

42 de 46


Nodo: Es un punto que representa

una variable.

Transmitancia: Ganancia entre dos nodos.

Arco: Segmento de línea con

dirección y sentido que …………………………………………… une

dos nodos.

Nodo de entrada: Es un nodo del cual solo salen

arcos.

Nodo de salida: Es un nodo del cual solo entran

arcos.

Lazo: Camino o trayecto cerrado.

Ganancia de lazo: Es el producto de las

transmitancias de un…… …………………………………………… lazo.

Trayectorias directas: Trayecto desde un nodo de

entrada a un nodo ……………………………………………...de salida,

a lo lardo del cual no se repite ……………………………

………………ningún nodo.

43 de 46


Ganancia de una trayectoria directa: Es el producto de las

transmitancias de una trayectoria directa.

REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FLUJO.

La reducción de los diagramas de flujo, se puede hacer paso a

paso de manera similar a los diagramas de bloques o bien

aplicando la regla general de Masón Foury.

Evidentemente es muy laborioso obtener funciones de

transferencia de sistemas representados por diagramas de

bloques que tienen varios retornos, empleando el método de

reducción paso a paso. El trabajo se puede simplificar

grandemente usando este método de Masón-Foury a partir del

diagrama de flujo.

44 de 46


Fórmula de masón foury.

Si la entrada al sistema la denotamos por R(s) y la salida con C(s), la

función de transferencia de lazo cerrado estará determinada por F(s);

de tal forma que:

F(s) = C(s) / R(s).

De tal forma, que se puede calcular la función de transferencia de

un sistema representado por un diagrama de flujo usando la

formula de Masón Foury de la siguiente manera:

F(s)=

Donde:

Ti Es la ganancia de cada una de la posible trayectoria

directa.

i Es el numero de trayectoria directa entre R(s) y C(s).

Δ Es el determinante del sistema de control representado

por el diagrama de flujo.

Δ i es el cofactor de Ti.

45 de 46

C(s) = ∑ Ti Δ i

R(s) Δ

R(s) T(s) C(s)

T(s)= C(s)

R(s)


El determinante y cofactor se obtienen en base a las

consideraciones siguiente:

Δ=1 - ∑ LK + ∑ LK LK … lazos disjuntos - ∑ LK LKLK… lazos

disjuntos +…

K Es el numero de trayectoria de lazos en el sistema.

LK Es la ganancia de cada una de las posibles trayectorias

de lazo.

Δ i Se obtiene a partir de Δ, haciendo cero la ganancia de

las trayectorias de lazo

que tengan nodos comunes con las trayectorias directas

(i).

Trayectorias de lazo disjuntos.- Son aquellos que no tienen

nodos comunes.

46 de 46

acetato unidad 1

Documents