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Modelado de Sistemas Unidad 1
UNIDAD I
CONCEPTOS BÁSICOS
Objetivos particulares de la unidad
El alumno utilizará tanto la terminología que involucra el modelado de los
sistemas físicos, como su relación con los sistemas de control.
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1.1. Introducción
El estudio del comportamiento dinámico de los sistemas físicos
ha ocupado un lugar importante dentro de la ingeniería, ya que
trata una cantidad considerable de situaciones que se presentan
de manera frecuente en el ejercicio profesional de los ingenieros.
En esta área de estudio se combinan las bases teóricas
adquiridas en los cursos de física y matemáticas en general,
especialmente en mecánica, termodinámica, ecuaciones
diferenciales, cálculo diferencial e integral y álgebra.
Por consiguiente la primera gran tarea de la ingeniería de control
es obtener un modelo del sistema en estudio; es decir, reducir el
sistema físico a un conjunto de ecuaciones matemáticas, las
cuales puedan incluir derivadas ordinarias y parciales con o sin
retardo, variantes o invariantes en el tiempo entre otras
características. Con la finalidad de poder experimentar con este
modelo todos los posibles eventos que puedan ocurrir al sistema,
el análisis se puede dividirse en tres aspectos:
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1) El desarrollo de un modelo matemático apropiado para el
problema físico de que se trate. Esta parte del análisis se
dedica a la obtención de “ecuaciones de movimiento”,
condiciones iniciales o de frontera, valores de parámetros, etc.
En este proceso es donde el juicio, la experiencia y los
experimentos se combinan para lograr el desarrollo de un
modelo apropiado. En cierta forma, esta primera etapa es la
más difícil de desarrollar formalmente.
2) Después de obtener un modelo apropiado, se resuelven las
ecuaciones resultantes para encontrar soluciones de diversas
formas.
3) Finalmente, la solución del modelo matemático se debe
relacionar o interpretar en función del problema físico. Es
conveniente que el desarrollo del modelo matemático sea tan
exacto que se puedan hacer interpretaciones y predicciones
significativas concernientes al sistema físico.
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1.2. Definición de términos.
Sistema.- El tratar de definir de una manera general lo que
entendemos por sistema, tiene cierta dificultad debido
fundamentalmente a la existencia de una gran variedad de significados
e interpretaciones. Como consecuencia de la gran diversidad donde se
aplica. Se utiliza en el área de las ciencias exactas, sociales,
humanísticas, administrativas, financieras y medico-biológicas; sin
embargo con la finalidad de utilizar un concepto de sistema de la mejor
manera posible a continuación se dan algunas de las definiciones más
afines:
I. Sistema es un conjunto de elementos que se interrelacionan
para llevar a cabo una actividad o tarea determinada.
II. Sistema es la combinación de elementos que actúan de manera
conjunta para realizar una función definida, que no podría
llevarse a cabo por alguno de los elementos o parte que lo
integran.
III. La enciclopedia Americana, manifiesta que un sistema es una
conjunto de objetos que forman un todo y se combinan, ya sea
de manera natural o por medio de la acción del hombre.
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IV. Uno de los significados o interpretaciones utilizada con más
frecuencia en el estudio de sistemas dinámicos y que puede
considerarse como una definición, aunque no tan general como
las anteriores, es la siguiente: un sistema es una entidad
formada por un conjunto de entradas y de salidas, con una
relación bien definida entre estos dos conjuntos. Tal como se
muestra en forma sintetizada en la Figura 1.
Figura 1. Proceso para la fabricación de domésticos.
En una fábrica se procesan tres equipos domésticos los cuales son:
licuadoras, exprimidores y hornos. Conociendo el proceso de
fabricación de los equipos se puede representar el sistema por medio
de un esquema donde las entradas serán las materias primas y las
salidas serán los equipos domésticos y, la relación entre estos
conjuntos (entradas y salidas) se establece mediante el maquinado de
las partes necesarias y la integración de piezas y partes.
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Sistema de control.-Sí la palabra Control generalmente se usa para
designar regulación, dirección o comando. Entonces al combinar el
concepto de sistema con la palabra control, se tiene que:
Un sistema de control.- Es un conjunto de arreglos de componentes
físico conectados de tal manera que el arreglo se pueda comandar,
dirigir o regular a sí mismo o a otro sistema.
Dos términos que definen a un sistema de control:
La entrada.- Es él estimulo o excitación que se aplica a un sistema
desde una fuente de energía externa, generalmente con el fin de
producir una respuesta especifica.
La salida.- Es la respuesta obtenida del sistema, esta puede ser igual
o diferente al valor de la respuesta esperada.
El propósito para el que esta destinado el sistema de control
generalmente lo determina o define la entrada y la salida. Es decir,
que es posible determinar o definir la naturaleza de los componentes
del sistema si se conocen sus entradas y sus salidas.
Modelado.- Es la descripción matemática de un sistema por una
aplicación directa de leyes físicas establecidas.
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Proceso.- Es la secuencia de operaciones, caracterizada por un
conjunto de cambios graduales que llevan a un resultado o estado final
a partir de un estado inicial de un sistema.
Servomecanismo.- Sistema de control retroalimentado cuya variable
de salida es una posición mecánica. La palabra servomecanismo, esta
compuesta de las palabras siervo (esclavo) y mecanismo. Así la
palabra servomecanismo significa mecanismo esclavo.
Actuador.- Elemento físico que lleva a cabo la acción de control dentro
de un proceso.
Simulación.- Es un componente de un conjunto básico de
herramientas de computación que pueden facilitar significativamente
las tareas a un diseñador de sistemas. Las técnicas de simulación que
se describen por lo general son para el estudio de los sistemas de
tiempo continuo.
Sistema en tiempo real.- Los Sistemas de Tiempo Real (STR) son
parte importante de nuestra vida diaria, gracias a ellos se tiene energía
eléctrica, transportes, y muchos productos y servicios que nos hacen
la vida más fácil. Los STR son imprescindibles en la sociedad actual,
tanto que paradójicamente no nos damos cuenta de que están aquí
presentes.
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Una definición que presentan Alan Burns y Andy Wellings de STR
es la siguiente: “Un sistema en Tiempo Real es cualquier sistema
donde el tiempo en que se produce su salida es significante. Esto
es debido a que generalmente la entrada corresponde a algún
instante del mundo físico y la salida tiene relación con ese mismo
instante. El retrazo transcurrido entre la entrada y la salida debe
ser lo suficientemente pequeño para considerarse una respuesta
puntual”.
Figura 1.4. Diagrama de bloques de un sistema de tiempo real genérico.
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Emulador.- No es más que un programa mediante el cual podremos
cargar el software de sistemas antiguos y usarlo tranquilamente en
nuestro ordenador exactamente igual (o casi igual) que lo hacíamos en
años pasados. Eso quiere decir que un emulador se limita a imitar lo
más fielmente el funcionamiento interior de nuestras añoradas
máquinas y hacerlo accesible a nuestro flamante PC.
Función de transferencia.- Es una representación matemática, que se
emplea con mucha frecuencia en el estudio de los sistemas de control,
para indicar la relación que existe entre las magnitudes de entrada y
de salida.
Se define como el cociente de la transformada de Laplace de las
magnitudes de entrada y de salida, suponiendo que todas las
condiciones iniciales son cero.
Para este caso, se tiene que la función de transferencia del sistema
está dada por:
O también:
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Figura 1.5. Representación esquemática de F(s).
Donde:
X(s) Es la entrada aplicada al sistema.
Y(s) Es la salida producida por el sistema.
F(s) Es la función de transferencia del sistema.
X(0) Es el estado inicial del sistema, que en esta caso
se considera ………………………..nulo.
De lo anterior se tiene que la salida producida por el sistema está
dada por:
Por tanto:
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1.3. Clasificación de los sistemas.
Los sistemas se clasifican de la siguiente manera:
Estáticos y dinámicos.- En los primeros la salida producida en un
tiempo determinado depende de manera única de la entrada
aplicada en ese mismo tiempo. También a este tipo de sistema se
le conoce como sistema algebraico o sistema sin memoria y se
representa por ecuaciones algebraicas. Mientras que a los
segundos se les conocen como sistemas con memoria y, son
aquellos en los que en un tiempo t la salida depende de la entrada
aplicada en ese mismo tiempo y tiempos anteriores. Se
representan con ecuaciones diferenciales.
1.3.1.- Parámetros distribuidos, parámetros concentrados.
Sistemas de parámetros distribuidos.- Son aquellos en que la
variable primitiva del sistema dependerá de otra variable
(distancia, espacio o desplazamiento). Es decir, hay dos variables
de las que dependerá el sistema.
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Sistemas de parámetros concentrados.- Son aquellos en que los
cambios están en función del tiempo.
1.3.2.- Deterministicos, Estocásticos.
Los sistemas deterministicos.- Son los que tienen una entrada y
se conoce la salida.
Los sistemas estocásticos.- Son los que tienen una entrada y no
se conoce la salida, además tiene variables aleatorias que se
pueden estudiar.
1.3.3.- Tiempo continuo, Tiempo discreto.
Sistemas continuos.- Si las repuestas de un sistema son
funciones del tiempo, son continuos en el tiempo.
Sistemas discretos.- Son aquellos donde las señales tanto de
entrada como de salidas son discontinuas en el tiempo.
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1.3.4.- Lineales, No lineales.
Sistemas lineales.- Son aquellos que cumplen con el principio de
superposición y, son representados por ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales.
Sistemas no lineales.- Son aquellos que no cumplen el principio
de superposición y, se representan por ecuaciones diferenciales
ordinarias no lineales.
1.3.5.- Variantes en el tiempo, Invariantes en el tiempo.
Variantes en el tiempo.- Los parámetros que intervienen en sus
modelos matemáticos presentan características dinámicas. Es
decir, que los parámetros varían en función del tiempo y, se
representan por ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con
coeficientes variables.
Invariantes en el tiempo.- Los parámetros que intervienen en sus
modelos matemáticos presentan características de no
dependencia del tiempo y, se representan por medio de
ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes
constantes.
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1.3.6.- Homogéneos, No homogéneos.
Homogéneos.- Son aquellos sistemas lineales que cumplen con la
propiedad que se llama homogeneidad, que de manera intuitiva
consiste en que un sistema lineal es aquél en el cual la salida es
en cierta forma proporcional a la entrada. Es decir, si para la
entrada se obtiene la salida , entonces para se
obtendrá cualquiera que sea la constante .
No homogéneos.- Son aquellos sistemas que cumplen con el
principio de superposición pero no necesariamente con la
propiedad de homogeneidad. Sin embargo, en la realidad éstos
son ejemplos raros que no tienen representación física. Debido a
esto, será suficiente verificar la superposición para comprobar la
linealidad de una relación entrada-salida.
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1.4. Diferentes representaciones de los modelos matemáticos
SISO y MIMO.
Los sistemas físicos pueden tener una sola entrada y una sola
salida o pueden ser multivariables (tener varias entradas y varias
salidas). El modelo matemático de los primeros es el denominado
“SISO” y el modelo matemático de los segundo es el denominado
“MIMO”.
Por otra parte, el tipo de representación que es de interés en el
estudio de los sistemas dinámicos usualmente se hace en base
en la conveniencia. Es decir, la selección de la representación a
emplearse dependerá del tipo de sistema que se pretenda
estudiar. Además, del tipo de análisis que se desee practicar
sobre éste.
1.4.1.- Representación en ecuaciones diferenciales.
Es una representación matemática de algún fenómeno físico, que
se establece en función de las leyes que lo rigen dependiendo de
la naturaleza de cada uno de los elementos que en él intervienen.
Por ejemplo, el modelo matemático del sistema eléctrico formado
por una resistencia, una inductancia y una capacitancia
alimentados por una fuente de voltaje como se muestra a
continuación:
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En donde las variables
seleccionadas para modelar son:
a) El voltaje en el capacitor
b) La corriente en la inductancia
En función de : En función de :
En ambos casos, se obtiene una ecuación diferencial ordinaria
con coeficientes constantes que describe las principales
características y propiedades del sistema eléctrico
en estudio. Se debe recordar que un modelo matemático de un
sistema de cualquier naturaleza, deberá ser un reflejo, lo más fiel
posible de su comportamiento del físico
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1.4.2.- Representación en variables de estado.
Un modelo de estado es una ecuación diferencial que se expresa
en un formato especial que ofrece un método unificado para el
estudio de los sistemas de control. El modelo de estado es
particularmente ventajoso cuando se aplica en la simulación, ya
que proporciona el fundamento matemático para un importante
conjunto de técnicas de análisis y diseño. Si un sistema es lineal,
el modelo de estado se puede expresar utilizando una ecuación
matricial que mantiene el mismo formato sin tomar en
consideración el orden del sistema.
Así, se pueden describir metodologías generalizadas que son
independientes del orden del sistema. Una de las características
particularmente importantes y útil de los modelos de estado es la
facilidad relativa de conversión a un modelo equivalente en
tiempo discreto. Además de proporcionar una interacción eficaz
con las técnicas digitales, la utilización de este modelo permite la
consideración simultánea de entradas múltiples, salidas múltiples
y condiciones iniciales no nulas.
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A continuación se ilustra un ejemplo de un circuito RLC en serie:
Seleccionando las variables que
están relacionadas directamente al
almacenamiento de energía, las
dos variables de estado deseadas
son y . El siguiente paso es
obtener dos ecuaciones de primer orden que contengan la
primera derivada de las variables de estados seleccionadas. La
escritura de una ecuación de malla que está cuidadosamente
limitada a una relación de primer orden proporciona:
Ahora se requiere de otra ecuación diferencial de primer orden.
Como la primera ecuación no incluye la relación entre la tensión y
la corriente en el condensador, la segunda relación (expresada
como una ecuación diferencial) es:
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Si se reagrupan las ecuaciones para despejar las respectivas
derivadas se obtiene:
y
Expresando las relaciones combinadas de las anteriores
ecuaciones y, utilizando la notación matricial se proporciona la
formación deseada con:
El desarrollo del modelo se puede extender a un sistema de
orden. Suponiendo que son variables de estados
y son entradas, un sistema lineal de orden con
coeficientes constantes se puede describir como ecuaciones de
primer orden tal que:
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Con variables de estado y entradas. Aplicando la notación
matricial al modelo lineal de orden , la formación matricial se
representa:
Que se puede describir simplemente como:
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1.4.3.- Representación en diagramas de simulación analógica.
La simulación analógica se implementa al construir circuitos
eléctricos dinámicos que son análogos al sistema que está bajo
estudio. Las entradas se introducen como formas de onda de
tensión y las salidas se generan como señales modificadas que
presentan la conducta de las variables del sistema análogo. Las
funciones de respuesta se pueden observar y registrar utilizando
un osciloscopio que se interconecta con una impresora o un
trazador gráfico. Esta técnica ha sido sustituida casi
completamente por la simulación digital en investigación y en
aplicaciones de desarrollo, pero hay características de la
simulación analógica que son particularmente adecuadas para los
estudios académicos.
Más sin embargo, en algunas de las situaciones el estudiante, al
utilizar esta técnica gana práctica en el diseño y utilización de los
circuitos analógicos.
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Sin embargo, la precisión del cálculo analógico es dependiente de
algunos factores, incluyendo las tolerancias de elementos
pasivos y las pequeñas derivadas que se introducen por los
circuitos de los amplificadores operacionales. Si las derivadas de
los amplificadores operacionales son muy pequeñas, la precisión
de una simulación analógica depende fundamentalmente de la
precisión de los generadores de señal y de los instrumentos de
medida y de las tolerancias de los elementos de pasivos R C.
Para obtener propiedades dinámicas casi ideales los
condensadores deben presentar una capacidad casi pura (la
resistencia dieléctrica es idealmente infinita). Los materiales R C
deberían también mostrar pequeños coeficientes térmicos que
sean idealmente iguales y opuestos en signo. Una propiedad de la
operación “ganancia infinita” de los circuitos del amplificador
operacional es producir funciones de transferencia que son casi
totalmente dependientes de las características de los elementos
pasivos R C.
Así, los circuitos del amplificador operacional proporcionan
modelos que tienden a ser ideales e insensibles a las variaciones
de los circuitos activos.
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1.4.4.- Representación en función de transferencia.
En vista de la gran variedad de técnicas de análisis y diseño que
utilizan modelos algebraicos, la capacidad de desarrollar y aplicar
modelos de función de transferencia es una habilidad
fundamental e importante. Si un sistema físico lineal es continuo,
los modelos de función de transferencia se obtienen utilizando la
transformada de Laplace, la transformada de Fourier o la
metodología de álgebra de fasores.
Estas técnicas de transformación proporcionan un cambio de
variables y todas convierten modelos de ecuaciones diferenciales
lineales a modelos algebraicos. En tal sentido la transformada de
Laplace se puede utilizar para obtener una solución general para
diferentes tipos de funciones de entrada, mientras el álgebra de
fasores es aplicable solamente con entradas sinusoidales y da
sólo la respuesta transitoria o en estado estacionario. Aunque
hay una disparidad obvia en aplicación y notación existen rasgos
comunes muy importantes entre una y otra técnica de
transformación, pero se pueden utilizar para obtener una función
de transferencia y con la excepción de la variable de
transformación, la función de transferencia es idéntica.
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El empleo de una de las técnicas de transformación se puede ver
como una estratagema matemática que se puede utilizar para
obtener una solución de lápiz y papel o una solución simbólica.
Con este objetivo en mente, no es necesario aplicar ningún
significado físico al modelado del sistema transformado. Sin
embargo, ocurre un fenómeno útil cuando se utilizan las técnicas
de transformadas, se observa que en general las relaciones
causa-efecto son más fáciles de entender cuando se considera el
modelo del sistema transformado (en lugar de trabajar con el
modelo de ecuación diferencial). De tal forma, que es un
procedimiento común considerar conceptos de análisis y diseño
en términos de los parámetros del sistema cuando aparecen en
una función de transferencia.
Utilización de la transformada de Laplace.
La transformada de Laplace es una herramienta matemática que
permite la transformación de ecuaciones diferenciales ordinarias
o ecuaciones algebraicas, facilitando con esto su manejo.
La transformada de Laplace de una función continua f(t) definida
para todo tiempo t>0 se obtiene por la integral impropia.
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Se dice que la integral existe y es la transformada de Laplace
correspondiente de f(t), si la integral que contiene a f(t) converge
para algunos valores de la variable de la Transformada de Laplace
s, es decir si la integral converge para algunos convergerá
para toda de otra manera esta integral no existe. Las
notaciones más usuales para esta transformada son ó
Figura 1.7. Representación esquemática de la transformada de
Laplace.
El operador L transforma una función del dominio del tiempo al
dominio del tiempo t al dominio de Laplace s, y se dice que la
transformada inversa de Laplace es:
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1.4.5.- Representación en diagramas a bloques.
En términos matemáticos, un diagrama de bloques proporciona
una representación gráfica de un conjunto de ecuaciones
algebraicas simultáneas. Está constituido por cuatro partes
principales:
a) Bloque simple.
b) Punto de suma.
c) Punto de toma.
d) Flechas.
Un bloque simple muestra la dependencia funcional de una
variable con respecto a la otra. Por lo general en un bloque se
incluye una función de transferencia parcial que a su vez puede
ser usada para generar un bloque que represente al sistema total.
Figura 1.8. Elementos de un diagrama de bloques.
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Un punto de suma es una parte del diagrama que entrega la
diferencia de dos señales incidentes. En ocasiones este elemento
puede ser utilizado como un sumador de señales.
El punto de toma es aquél donde una salida se deriva hacia otros
elementos del diagrama. Finalmente las flechas indican la
dirección del flujo de la señal.
Procedimientos para trazar diagramas de bloques.
Para trazar adecuadamente el diagrama de bloque de un sistema
físico, se sigue un procedimiento similar al usado para la
obtención de la función de transferencia. En resumidas cuentas la
mecánica es la siguiente:
1. Escribir las ecuaciones diferenciales que representan el
comportamiento dinámico del sistema.
2. Se toma la transformada de Laplace de cada elemento con
condiciones iniciales iguales a cero.
3. Se representa a cada elemento en un bloque.
4. Juntar todos los bloques individuales para formar el sistema
completo.
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En la figura 10 se muestra la representación canónica de un
sistema con retroalimentación, donde podemos obtener las
siguientes definiciones:
Figura 1.10. Forma canónica de un diagrama de bloques.
Donde:
G ----------- Función de Transferencia Directa.
H ----------- Función de Transferencia de Retroalimentación.
GH ----------- Función de Transferencia de Lazo Abierto.
C/R ----------- Función de Transferencia de Lazo Cerrado.
E/R ----------- Razón de Error.
B/R ----------- Razón de Retroalimentación Primaria.
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En las siguientes ecuaciones el signo - se refiere a un sistema de
retroalimentación positiva y el signo + se refiere a un sistema con
retroalimentación negativa.
C G = F. de T. de Lazo Cerrado.R 1 G H
E 1 = Razón de Error.R 1 G H
B G H = Razón de Retroalimentación Primaria.R 1 G H
Cuando H(s) = 1, estas expresiones matematicas se escriben respectivamente como:
C = G
R 1 G
E = 1
R 1 G
B = G
R 1 G
Estas ecuaciones describen la forma clásica del sistema con
retroalimentación, al cual se le conoce también como Sistemas
con Retroalimentación Unitaria.
Su representación en diagrama de bloques, se muestra a
continuación:
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Figura 1.11. Forma clásica del diagrama de bloques.
Reglas de simplificación de diagramas de bloques.
Los diagramas de bloques de los sistemas de control, contienen
frecuentemente varias cadenas de retroalimentación, dificultándose la
obtención de su función de transferencia. Para evitar lo anterior se
emplean algunas reglas que simplifican notablemente la tarea. En la
siguiente tabla se muestran algunas de las reglas más importantes:
No DIAGRAMA ORIGINAL DIAGRAMA EQUIVALENTE
1
2
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3
4
5
6
7
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La aplicación de las reglas de reducción, no obedece a un método
establecido, sino más bien al acomodo y habilidad de los que las
manipula. Sin embargo se puede recomendar desplazar
inicialmente los puntos de toma u los puntos de suma, después
intercambiar los puntos de suma y finalmente reducir los lazos
internos de retorno.
EJEMPLOS:
1. Reducir el siguiente diagrama en bloques a la forma canónica y determinar:
a) G H b) C c) E d) B R R R
Reglas 4 y 6.
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Reglas 1 y 10.
Regla 8.
Regla 1.
Forma canónica del diagrama.
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Solución:
G1 G2 G3 G4 1 G2 G3
a) G H = (1+G1G2)( 1+G3 G4) G| G4 = (1+G1G2)( 1+G3 G4)
G1 G2 G3 G4
b) C (1+ G1G2) ( 1+ G3 G4) R = 1 + G2 G3 = G1 G2 G3 G4
(1+G1G2)( 1+G3 G4) (1+G1G2)( 1+G3 G4) + G2 G3
c) E 1 (1+G1G2)( 1+G3 G4) R = 1+ G2 G3 = (1+G1G2)( 1+G3 G4)+ G2 G3
(1+G1G2)( 1+G3 G4)
G2 G3
d) B (1+G1G2)( 1+G3 G4) G2 G3
R = 1 + G2 G3 = (1+G1G2)( 1+G3 G4) + G2 G3
(1+G1G2)( 1+G3 G4)
(1+G1G2)( 1+G3 G4) = 1+G3G4 + G1G2 + G1G2G3G4
= 1+ G1G2 + G3G4 + G1G2G3G4
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Diagramas de bloques de sistemas de control con múltiples entradas y salidas.
Los diagramas anteriores se caracterizan por tener una entrada y una
salida, sin embargo a veces es necesario evaluar el comportamiento
del sistema, cuando se le aplica al mismo tiempo varias entradas,
algunas de las cuales pueden ser perturbaciones.
Por el principio de superposición, en un sistema lineal que tiene
varias entradas, cada una de ellas se puede tratar
independientemente, sumando luego sus efectos para dar la
salida completa.
Del diagrama anterior, haciendo R2 (s) = 0 se tiene:
CR1 G1 G2
(s) = R1 1 + G1 G2
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Que es la respuesta del sistema, debido a la señal de referencia
R1 (s).
Haciendo que R1 (s) = 0 se tiene:
Ordenando el diagrama:
Hacer que el bloque con –1 sea absorbido por el punto de suma:
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De donde:
CR2 G2
(s) = R2 1 + G1 G2
Sumando las respuestas de las dos señales, se obtiene la
respuesta total del sistema:
G1 G2 R1 G2 R2
C (s) = CR1 + CR2 = + 1 + G1 G2 1 + G1G2
G1 G2 R1 + G2 R2
C(s) = 1 + G1 G2
EJEMPLO:
Determinar la salida C para el siguiente sistema:
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Para determinar CR1, hacemos R2 y R3 igual a cero:
Regla 1.
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CR1 = G1G2 R1
1- G1G2 H1H2
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Haciendo R1 y R3 = 0, se puede determinar CR2 :
Ordenado el diagrama se tiene:
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CR2 = G2 R2
1- G1G2 H1H2
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Finalmente haciendo R1 y R3 = 0, se obtiene CR3 .
Ordenando el diagrama:
Por lo tanto la salida total del sistema C es:
C = CR1 + CR2 + CR3 = G1G2R1 + G1R2 + G1G2H1H3
1- G1G2 H1H2
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CR3 = G1G2H1 R3
1- G1G2 H1H2
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1.4.6.- Representación en diagramas de flujo de señal.
Al igual que los diagramas de bloques, este es un método gráfico
de representación de ecuaciones lineales de un sistema. Para el
empleo de los gráficos de flujo de señal, se transforman las
ecuaciones diferenciales que representan al sistema en
ecuaciones algebraicas en función de la variable s, de manera
similar los diagramas de bloques. De hecho un gráfico de flujo de
señal es una forma alternativa de diagrama de bloques que
simplifica la manipulación de las ecuaciones de los sistemas más
ampliamente. El método para trazar los gráficos de flujo de señal
es idéntico al que se usa para la obtención de los diagramas de
bloques descrito anteriormente.
La diferencia consiste fundamentalmente en la forma en que se
dibujan las ecuaciones transformadas del sistema. La siguiente
figura muestra un gráfico de flujo de señal del cual podemos
definir los siguientes elementos:
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Nodo: Es un punto que representa
una variable.
Transmitancia: Ganancia entre dos nodos.
Arco: Segmento de línea con
dirección y sentido que …………………………………………… une
dos nodos.
Nodo de entrada: Es un nodo del cual solo salen
arcos.
Nodo de salida: Es un nodo del cual solo entran
arcos.
Lazo: Camino o trayecto cerrado.
Ganancia de lazo: Es el producto de las
transmitancias de un…… …………………………………………… lazo.
Trayectorias directas: Trayecto desde un nodo de
entrada a un nodo ……………………………………………...de salida,
a lo lardo del cual no se repite ……………………………
………………ningún nodo.
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Ganancia de una trayectoria directa: Es el producto de las
transmitancias de una trayectoria directa.
REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE FLUJO.
La reducción de los diagramas de flujo, se puede hacer paso a
paso de manera similar a los diagramas de bloques o bien
aplicando la regla general de Masón Foury.
Evidentemente es muy laborioso obtener funciones de
transferencia de sistemas representados por diagramas de
bloques que tienen varios retornos, empleando el método de
reducción paso a paso. El trabajo se puede simplificar
grandemente usando este método de Masón-Foury a partir del
diagrama de flujo.
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Fórmula de masón foury.
Si la entrada al sistema la denotamos por R(s) y la salida con C(s), la
función de transferencia de lazo cerrado estará determinada por F(s);
de tal forma que:
F(s) = C(s) / R(s).
De tal forma, que se puede calcular la función de transferencia de
un sistema representado por un diagrama de flujo usando la
formula de Masón Foury de la siguiente manera:
F(s)=
Donde:
Ti Es la ganancia de cada una de la posible trayectoria
directa.
i Es el numero de trayectoria directa entre R(s) y C(s).
Δ Es el determinante del sistema de control representado
por el diagrama de flujo.
Δ i es el cofactor de Ti.
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C(s) = ∑ Ti Δ i
R(s) Δ
R(s) T(s) C(s)
T(s)= C(s)
R(s)
Modelado de Sistemas Unidad 1
El determinante y cofactor se obtienen en base a las
consideraciones siguiente:
Δ=1 - ∑ LK + ∑ LK LK … lazos disjuntos - ∑ LK LKLK… lazos
disjuntos +…
K Es el numero de trayectoria de lazos en el sistema.
LK Es la ganancia de cada una de las posibles trayectorias
de lazo.
Δ i Se obtiene a partir de Δ, haciendo cero la ganancia de
las trayectorias de lazo
que tengan nodos comunes con las trayectorias directas
(i).
Trayectorias de lazo disjuntos.- Son aquellos que no tienen
nodos comunes.
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