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Transformada de Laplace en
Control de Procesos
M.Sc. Esperanza Medina de Miranda Ingeniería Química – U.N.S.A. 2014
La Transformada de Laplace unilateral
Donde: L = Operador de Transformación LAPLACE S = Variable de Transformación LAPLACE: Número Complejo =Función en el dominio LAPLACE La transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
.iws
Su expresión matemática es:
Convergencia de la Transformada de Laplace No todas las funciones tienen transformada de Laplace F(s) . F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
La Transformada de Laplace de f(t) existe si:
donde: es una constante real positiva
la integral convergerá para
La región de convergencia es
σ es la abscisa de convergencia
∀t > 0
¿Por qué se usa la Transformada de Laplace?
00
1111
0
0
sRe,aeeee
se
sdte)s(FL
ibtatt)iba(st
stst
Calcular la transformada de f(t) = 1:
.sRe,s
)s(F)t(f 01
1
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
Aplicaciones:
6
1
0
1
0
1
0
0 )(
nstn
stn
stnstnn
tLs
ndtet
s
n
dts
ent
s
etdtetsFtL
Calcula la transformada de f(t) = tn:
10
1
!
1 n
n
nn
s
ntL
stL
tLs
ntL
0sRe
Aplicaciones:
7
1
1
1
1
)(
0
1
0
1
0
se
s
dtedteesFeL
ts
tssttt
Calcula la transformada de f(t) = e-t:
1
1)()(
ssFetf t
1sRe
Aplicaciones:
La Función de Transferencia
Representa el comportamiento dinámico del proceso: Indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
Proceso
CASO: NIVEL DE UN TANQUE
qo(t)
Flujo de
salida
R
(resistencia
de la válvula)
h(t)
qi(t)
Flujo de
entrada
dt
tdhAth
Rtq
tq
thR
dt
tdhAtqtq
i
o
oi
)()(
1)(
)(
)(
)()()(
Ecuación de Balance:
Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulación
A
(área del
tanque)
El rol de la transformada de Laplace Convirtiendo Ecs. Diferenciales a Ecs. Algebráicas
11
1
)(
)(
)1
)(()(
)()(1
)(
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
1)(
ARs
R
RAs
sQ
sH
RAssHsQi
sAsHsHR
sQi
dt
tdhAth
Rtq
i
i Nivel en un tanque
Función de transferencia
Propiedades de la T. Laplace
1) Linealidad
2) Integrales y Derivadas
(A)
(B)
(C)
(D)
La derivada en el dominio “t” equivale a multiplicar por “s” en el dominio “s”
Integrar en el dominio “t” equivale a dividir en el dominio “s”
Multiplicar por “s” en el dominio “s”, es tomar la derivada en el dominio “t”
Multiplicar por “t” en el dominio de “t” equivale a tomar la derivada en el dominio “s”
Dividir entre “t” en el dominio de “t” equivale a integrar en el dominio “s”
Transformadas de Laplace más comunes
1 A
f (t) f (t) f (t) F(s) F(s) F(s)
La Transforma de Laplace Inversa
La Transformada de Laplace Inversa devuelve la función al dominio del tiempo
Transformada inversa
0)()( '10 tfatfa n
)(tf
Ecuación diferencial Ecuación algebraica
0)()( 10 ssFasFsa n
)(sFSolución en
transformada L
1-L