1

2

DefiniciónSi un observador está mirando un objeto, entonces la línea del ojo del observador al objeto se llama línea de visión.

Angulo de elevación

Angulo de depresión

Línea de visión

Línea de visión

Si el objeto está debajo de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama ángulo de depresión.

Si el objeto que está siendo observado está arriba de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se llama ángulo de elevación.

3

Una persona parada sobre una colina ve un asta de bandera que sabe tiene 60 pies de altura. El ángulo de depresión respecto a la parte inferior del asta es 30° y el ángulo de elevación respecto a la parte superior del asta es 45°. Encuentre la distancia x.

45°30°

x

60-h

h

60

Tomamos las distancias h y 60-h En el triángulo 45°- 45°-

90°:

x

h45tan

En el triángulo 30°- 60°-90°:

x

h60

30tan

Ejemplo 1:

4

45°30°

x

60-h

h

60

Despejamos h e igualamos:

Despejamos x:

x

h45tan

x

h60

30tan

Ejemplo 1(continuación):

45tan30tan60 xx

60)45tan30(tan x

45tan30tan

60x

piesx 09.38

133

60

5

La fórmula para el volumen V de un cono circular recto es . Si el radio de la base es r =6, y la altura h, exprese el volumen como función de α.

V r h213

tan6h

Por lo tanto:

6tan h

Reemplazando este valor en V se tiene:

21 (6) (6tan )3

V

72 tanV

α

h

r

Ejemplo 2:

6

El techo se define en meteorología, como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes. Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. ¿Cuál es el valor de esta altura h?

tan(71.5 )150

x

150tan(71.5) 448.302x

1.7 448.302 1.7 450h x m 1.7

150 m

71.5

x

h

Ejemplo 3:

7

Un piloto vuela en línea recta a una altitud constante, a 800 pies sobre el nivel del mar. A unos 3000 pies hay una montaña, la cual, de acuerdo con su mapa, tiene una elevación de 2000 pies. ¿Cuál es el ángulo mínimo al cual debe dirigir el avión para poder sobrevolar la montaña?

800

2000

3000

1200

α

1200 2tan53000

1 25

tan 21.8

Ejemplo 4:

8

Se construye un túnel recto con extremos A y B a través de una montaña. Desde el punto C, el topógrafo determina que AC= 600 metros, BC=500 metros y el ángulo C= 80°. Determine la longitud del túnel.

BA

C

600 50080

Aplicando la ley del coseno se tiene:

c a b ab C2 2 2 2 cos

c2 22 500 600 2 500 600 cos80

c metros686.8

Ejemplo 5:

9

Una caja rectangular de lados 6m, 8m y 10m se muestra en la figura siguiente. Determine el ángulo α formado por la diagonal de la base con la diagonal del lado 6 x 8.

Solución

Trazamos la diagonal del lado 10x8 y hallamos sus medidas:

106

8

Extraemos el triángulo formado por las diagonales.

1068

342610

412810

22

22

22

c

b

a

Ejemplo 6:

10

a

c

b

a

b

c

2 41

2 34

10

Aplicamos la ley del coseno:

a b c bc2 2 2 2 cos

164 136 100 213600 cos

1cos 0.00264705

89.8

Ejemplo 6(continuación):

11

Un helicóptero vuela a una altura de 1500 pies sobre la cima de una montaña A, con una altura conocida de 4800 pies. Una segunda cima de otra montaña cercana B, más alta, es vista con un ángulo de depresión de 50⁰ desde el helicóptero y con un ángulo de elevación de 15 ⁰ desde A. Determine la distancia entre las dos cimas de las montañas y la altitud aproximada de B.

15⁰

50⁰

1500 pies

AB

C A C B

Se tiene

75 40 por lo tanto 65 R R R

c

Aplicando la ley del seno

sen65 sen401500

c pies1500sen40

1063.85sen65

c es la distancia entre las dos montañas

Ejemplo 7:

12

Para hallar la altitud de la montaña B utilizamos el triángulo rectángulo con ángulo agudo 15°

sen151063.85

x

275.34 piesx

Altitud de B

3300 275.34 pies

3575.34

pies

15⁰

50⁰

1500 pies

A

B15⁰ x

Ejemplo 7(continuación):

13

Ejemplo 8:

Desde la parte superior de un edificio de 100 pies, un hombre observa un automóvil que se mueve delante de

él. Si el ángulo de depresión del automóvil cambia de 15° a 33° durante el periodo de observación, ¿Cuál es la

distancia que recorrió el automóvil?

10015°

30°

x

El triángulo que se tiene es:

100

x

15°30°

14

Ejemplo 8 (continuación):

15°30°

100

x

Del triángulo rectángulo se tiene:

a

b100

30ab

sen 1001/ 2

ab

200ab

c

En el triángulo abc se tiene:ángulo en b = 150°

200a c

x

sen sen

ángulo en c = 15°

200 1515

senx

sen

x = 200 pies

La distancia recorrida por el vehículo son 200 pies

(triángulo isósceles)